CN111505613A - 基于虚拟天线Kuhn-Munkres算法的MIMO雷达发射天线布置方法 - Google Patents

Abstract

该发明公开了一种基于虚拟天线Kuhn‑Munkres算法的MIMO雷达发射天线布置方法,属于信号处理领域。提供了一种在Neyman‑Pearson准则下，以检测器的输出信噪比为检测性能评价指标的MIMO雷达发射天线布置方法。在该方法中，结合二部图中的匹配理论，我们将发射天线和可选网格点看作二部图中的顶点，将天线布置产生的性能影响看作图中带有权值的边。由于发射天线和网格点的数量不同，因此，原始的天线布置问题被转化为一个非对称二部图中的MWM问题。接下来，通过添加虚拟天线来构造对称二部图，即可应用Kuhn‑Munkres算法选出发射天线的最优位置。我们称该基于虚拟天线的KM算法为VKM方法。通过我们提出的VKM方法，可以在允许区域内选择最优的位置来放置发射天线，并且复杂度较低。

Description

基于虚拟天线Kuhn-Munkres算法的MIMO雷达发射天线布置 方法

技术领域

本发明属于信号处理领域，它涉及关于MIMO雷达目标检测技术领域中的发射天线布置 问题，适用于MIMO雷达发射天线布局设计。

背景技术

MIMO(Multiple Input Multiple Out)雷达的概念最初是由通信中的多输入多输出技术引出 的，分为共置MIMO雷达和分置MIMO雷达两大类。对于分置天线MIMO雷达***来说，由 于其可以从各个角度对目标同时进行探测，从而实现空间分集的增益，具有更高的目标检测性 能。天线的位置选择对于雷达***的性能有重要影响，在电磁环境日趋复杂的情况下，如何进 行天线布局以更好地提高雷达***性能成为国内外学者广泛关注的一项内容。

根据雷达信号处理理论可知，天线的数量越多，***的性能越好。对于接收端来说，发射 端的天线数量越多，接收端要处理的匹配滤波信号就越多，计算复杂度也越高。因此，在实际 应用中，出于节省***软硬件资源且保证***性能的考虑，如何利用有限的发射天线资源进行 布局设计就成为了一个重要的研究问题。目前关于MIMO雷达***天线布置的研究有很多， 对于此类优化问题，一般常采用穷举搜索来得到一个最优的天线位置设计方案。然而，穷举搜 索方法的计算量很大，并不适合对计算成本有要求的***。所以，大家会设计一些计算较快的 次优方法，如贪心算法，它是优化问题中常用的一种解决手段。虽然贪心算法在计算速度方面 表现优秀，但它并不能保证得到全局最优解。

考虑到利用图论(Graph Theory)建模直观简单，且其中的相关算法具有计算复杂度低、 可以得到问题最优解等优点，通信领域中常用它来解决资源分配的问题。在通信资源分配问题， 比较常用的是加权二部图(bipartite graph)中的匹配(matching)算法，主要有最大加权匹配 (Maximum-Weighted Matching,MWM)和平稳匹配两种。对于MWM问题，比较经典的算法 是Kuhn-Munkres(KM)算法(见文献：J.Munkres,“Algorithms for theassignment and transportation problems”,Journal of the Society of Industrialand Applied Mathematics,vol.5,no.1, pp.32-38,March 1957)，它可以在多项式时间内获得一个最大加权匹配，即所求问题的最优解。 而在雷达***中，发射天线也是一种***资源，如何将不同的天线分配给不同的位置以达到最 优***性能也是一种资源分配的问题。因此。对于发射天线布置问题，我们可以将其建模为一 个MWM问题，继而结合KM算法解决该问题。

发明内容

本发明结合图论知识，提供了一种在Neyman-Pearson准则下，以检测器的输出信噪比为 检测性能评价指标的MIMO雷达发射天线布置方法。在该方法中，结合二部图中的匹配理论， 我们将发射天线和可选网格点看作二部图中的顶点，将天线布置产生的性能影响看作图中带有 权值的边。由于发射天线和网格点的数量不同，因此，原始的天线布置问题被转化为一个非对 称二部图中的MWM问题。接下来，通过添加虚拟天线来构造对称二部图，即可应用 Kuhn-Munkres(KM)算法选出发射天线的最优位置。我们称该基于虚拟天线的KM算法 (virtual-antenna based KM)为VKM方法。通过我们提出的VKM方法，可以在允许区域内选 择最优的位置来放置发射天线，并且复杂度较低。

本发明技术方案为,基于虚拟天线Kuhn-Munkres算法的MIMO雷达发射天线布置方法, 该方法包括:

步骤1：设N个接收天线位置固定，发射天线的个数为M，放置发射天线的区域被划分成 Q(Q＞M)个网格点，这Q个网格点可均匀划分也可随机划分；

步骤2：建立MIMO雷达接收信号模型，定义二元变量a_mq∈{0,1},m＝1,...,M,q＝1,...,Q， 若第m个发射天线放在第q个网格点，则a_mq＝1，否则a_mq＝0；设时域采样数为K，采样间 隔为T_s，将N个接收天线的所有观测值写成一个向量r；

r＝[r₁[1],...,r₁[K],...,r_N[K]]^T

其中，

这里的w_n[k]表示第n个接收天线在kT_s时刻的噪声，假设为时间和空间上白的、零均值复高斯 随机噪声，方差为

符合

的高斯分布；ζ_nq和τ_nq分别表示第n个接收天 线和第q个可选网格点之间的反射系数和时间延迟，反射系数服从

的高斯分 布，其中

表示对应ζ_nq的方差；s_m(t)是第m个发射天线的发射信号波形，E_m表示发射能量， d_R,n和d_T,q分别表示第n个接收天线和第q个网格点到目标的距离；为了后续分析，令

满足

的高斯分布，

表示对应于h_nm的方差，且

步骤3：构造二元假设检验问题，

表示目标存在，

表示目标不存在；计算对数似然 比，得到最优检测器；

表示噪声的协方差矩阵，算符

表示求数学期望。其中，噪声向量的定义为 w＝[w₁[1],...,w₁[K],...,w_N[K]]^T，其元素w_n[k]是对应于观测向量r＝[r₁[1],...,r₁[K],...,r_N[K]]^T中的观测值r_n[k]的噪声；

表示有在目标存在情况下，接收信号的协方差矩阵；则 计算得到T的最终表达式为

其中，

表示第n个接收天线处，对应于放在网格点q处的第m个 发射天线的匹配滤波输出信号，符号(·)^*表示共轭运算；

步骤4：计算检测器的输出信噪比η

这里为了简化表达式，令

步骤5：基于检测器的输出信噪比，建立优化问题

a_mq∈{0,1}

该优化问题是一个二元整数规划问题；

步骤6：根据图论知识，构造一个二部图G＝(V₁,V₂,E)来表示M个发射天线与Q个可选网 格点的关系；其中，发射天线对应的顶点用A_m,m＝1,..,M表示，构成集合V₁＝{A₁,...,A_M}，可 选网格对应的顶点用G_q,q＝1,...,Q表示，构成集合V₂＝{G₁,...,G_Q}；E表示连接V₁和V₂中顶点的 边集，定义第m个发射天线和第q个网格点之间的边的权值为

并利用权值来构造权值矩阵W，且W是M×Q维的；

步骤7：通过添加Q-M个虚拟天线，将集合V₁扩展至V₁'＝{A₁,...,A_M,A_M+1,...,A_Q}，其中 {A_M+1,...,A_Q}表示添加的虚拟天线顶点；对于V₁'中与虚拟顶点相连的边，设其权值为0；然后 通过在W中添加Q-M个全0行，将其扩展为维度是Q×Q的矩阵W'；

步骤8：对步骤7中得到的权值矩阵W'运用KM算法，得到权值之和最大的一组a_mq取值，忽略添加的虚拟天线顶点，即得到M个发射天线与Q个网格点之间的对应结果。

本发明提出的方法可以在节省***资源的情况下做出最优的发射天线布置方案，保证*** 的目标检测性能。和常规的穷举搜索方法相比，计算复杂度有很大程度的降低，为O(Q³)算法 运行速度快。因此，该方法是解决天线布置问题的一种有效且快速的方法。

附图说明

图1给出了根据研究问题构造一个加权二部图的过程。

图2是本实验中待选网格点的位置分布示意图。

图3是在各个发射天线的发射能量不同，但各路径目标反射系数方差相同情况下的ROC 曲线图，包括利用穷举搜索得到的最优天线位置方案，本发明所提的VKM方法得到的天线位 置方案，基于贪心算法得到的方案，随机方案以及最差方案的ROC曲线。

图4是在各个发射天线的发射能量不同，且各路径目标反射系数方差也不同情况下的ROC 曲线图，包括利用穷举搜索选出的最优天线位置方案，本发明所提的VKM方法选出的天线位 置方案，基于贪心算法选出的方案，随机方案以及最差方案的ROC曲线。

表1列出了本发明所提的VKM方法与穷举搜索方法的实际运算执行时间，以及它们实际 时间的比值和理论复杂度的比值。

具体实施方式

为了方便描述，首先进行如下定义：

黑体小写字母表示向量，黑体大写字母表示矩阵，(·)^*为共轭，(·)^T为转置，(·)^H为共轭转 置，Diag{·}表示块对角矩阵，diag{·}表示对角矩阵，I_K为K阶的单位阵，det(·)表示矩阵的 行列式。

表示数学期望，Var{·}表示方差。

考虑一个MIMO雷达***具有N个接收天线，位置已知为(x_R,n,y_R,n),n＝1,...,N，M个发 射天线具有Q个可选的网格点，位置为(x_T,q,y_T,q),q＝1,...,Q，其中接收天线和发射天线均以大 的间隔分置。第m个发射天线的发射信号为

归一化波形为

表示发射能量，T_s表示采样间隔，采样时刻为k,k＝1,...,K。假设一个可能的点目标位于(x,y) 处，从第q个可选网格点位置经过目标反射到达第n个接收天线的时间延时表示为

其中d_T,q和d_R,n分别表示第q个网格点位置和第n个接收天线到目标的距离，c表示光速。为 了便于说明问题，引入一个二元选择变量a_mq

该二元变量满足

因为一个网格点最多分配给一个发射天线，以及满足

代表一个发射天线必须选择一个网格作为其位置。

第n个接收天线在kT_s时刻的接收信号为

其中

ζ_nq表示接收天线n与放在第q个网格点的发射天线之间的反射系数，其被假设为零均值 复高斯随机变量，满足

相应的，

且

公式(5)中，w_n[k]假设是一个时间和空间白的，零均值复高斯随机噪声，

定义第n个接收天线处的观测向量为r_n＝[r_n[1],r_n[2],...,r_n[K]]^T，所有N个接收天线的观测向 量可表示为

r＝[r₁ ^T,r₂ ^T,...,r_N ^T]^T＝Sh+w (7)

其中，S＝Diag{S₁,S₂,...,S_N}是一个收集所有发射信号的矩阵，

S_n＝[s_n[1],s_n[2],...,s_n[K]]^T (8)

公式(7)中，向量

h_n＝[h_n1,h_n2,...,h_nM]^T，噪声向量

w_n＝[w_n[1],w_n[2],...,w_n[K]]^T。根据前面的假设，我们可以知 道h是一个零均值复高斯向量，其协方差矩阵为

噪声向量w的协方差为

为了简化后面的分析，我们假设源自不同发射天线m 和m'的信号近似正交，且对于感兴趣的不同时间延迟τ_m、τ_m'保持近似正交性

根据(7)式，目标检测可以由下面的二元假设检验问题给出

最优检测器为

阈值γ有虚警概率P_FA决定，则对数似然比表达式如下

上式中的R表示在

假设下，接收信号的协方差矩阵

根据Neyman-Pearson准则，在限制虚警概率P_FA≤α条件下，如果L(r)大于阈值γ，则

成立， 否则，

成立。接下来，由(13)式可得

其中T表示检测统计量，此时阈值变为γ'＝γ-ln[det(C_w)]+ln[det(R)]。接下来，计算检测统 计量T的具体表达式。根据矩阵求逆引理，有

又因为C_w是一个对角矩阵，所以检测统计量可重写为

根据(8)以及(10)中正交信号的假设，有

将(18)代入到(17)中，计算可得

其中

表示在接收天线n处，对应于放在第q个网格点的第m个 发射天线的匹配滤波输出信号。我们的目标是确定选择变量a_mq的一组值，来最大化检测概率 P_D。为计算P_D，需要分别计算T在

和

下的概率密度函数(probabilitydensity function,pdf)。 通过分析(19)可知T服从自由度为2NM的广义卡方分布，其pdf计算比较复杂，并且P_D的计算 还受到虚警概率P_FA和阈值γ的影响，直接求解P_D比较麻烦，因此要换一个角度考虑解决办法。

下面定义检测器输出信噪比的表示η

它可以近似地表征检测性能。计算η，首先计算y_nmq的期望

以及y_nmq的方差

然后将(21)和(22)中的期望与方差代入(20)，计算得

这里为了简化(23)的表示，代入

令

经过上述操作后，我们得到优化问题

注意到P1是一个二元整数规划问题，属于NP-hard问题，通常具有指数级的计算复杂度。 要想得到问题P1的最优解，必须穷举搜索Q×(Q-1)×…×(Q-M+1)个天线与可选网格点的组 合，复杂度为O(Q！/(Q-M)！)。当M和Q变大时，计算复杂度会很大。根据我们现有的知识， 在图论中有好多经典有效的算法可以用来解决类似的分配问题。因此考虑把P1转化为一个二 部图中的最大加权匹配(MWM)问题，并结合Kuhn-Munkres(KM)算法在多项式时间内得 到最优解，其复杂度为O(Q³)。

根据二部图定义以及我们要解决的问题，构造一个完全二部图G(V₁,V₂,E)来表示发射天线 和可选网格点位置之间的关系，如图1(a)所示。其中，集合V₁＝{A₁,...,A_M}中的点表示发射 天线，基数|V₁|＝M，集合V₂＝{G₁,...,G_Q}中的点表示可选网格点，基数|V₂|＝Q；

集合E＝{(A_m,G_q)|m＝1,...,M,q＝1,...Q}包含连接V₁和V₂中顶点的边。对于第m个发射天 线和第q个网格点位置之间的边，设其权值为

由权值构成的权值矩阵为

最后，得到MWM问题如下

我们可以发现问题P2等价于P1，应用Kuhn-Munkres(KM)算法可以最优地解决上述问题。 因为经典的KM算法应用于一个对称二部图，即两个顶点子集的基数相等，所以下面我们提 出基于虚拟天线的KM(virtual-antenna based KM,VKM)方法。

通过增加Q-M个虚拟天线，将天线顶点集合V₁扩展至V₁'＝{A₁,...,A_M,A_M+1,...,A_Q}，使 |V₁|＝|V₂|，并设虚拟顶点对应的边权值为0。如图1(b)所示，虚拟顶点和虚拟边用虚线表示。 将包括虚拟顶点在内的所有边的权值放在一起，构造新的权值矩阵

接下来便可以在W'上应用KM算法，即可得出问题P3的最优解。

关于VKM方法的具体步骤如下：

初始化：(1)根据(24)和(26)计算权值w_mq,m＝1,...,M,q＝1,...,Q，构造(27)中的权值矩阵； (2)增加Q-M个虚拟天线，将V₁扩展至V₁'，然后在W中添加Q-M个全零行，构造新的权 值矩阵W'，如(29)所示。

步骤1：对于W'中的每一行，从其每个元素中减去该行的最大元素；对于W'中的每一列，从其每个元素中减去该列的最大元素。

步骤2：考虑矩阵中的某个0元素，如果该0所在的行和列均不存在加星号的0(即0*)， 那么就把该0元素加星号为0*；对于矩阵中的每个0元素，重复以上加星号的过程。

步骤3：用划线覆盖每个0*所在的列，如果矩阵的所有列都被覆盖，那么每个0*的位置 所对应的原始矩阵W'中的元素即为选出的匹配结果，算法结束；否则，转到步骤4。

步骤4：选择一个没有被划线覆盖的0，将它加注为0'，如果该0'所在的行里没有0*，转 到步骤5；如果有0*，覆盖该0*所在的行而取消它所在列的覆盖。重复以上过程直到所有的0 都被覆盖，转到步骤6。

步骤5：按如下过程构造一个0*和0'交替的序列：用Z₀表示未被覆盖的0'，用Z₁表示Z₀所在列的0*(如果有的话)，用Z₂表示Z₁所在行的0'。重复这个过程直到某个0'所在的列不含0*，交替序列结束于该0'；在得到的交替序列中，取消0*的星号，给0'改注星号变为0*。擦除矩阵中所有0'的标记以及所有对行的覆盖，转到步骤3。

步骤6：用h表示矩阵中最大的未覆盖元素，将h加到每个覆盖的行上，然后再从每个覆 盖的列中减去h。转到步骤4。

算法结束后，输出结果即为最优匹配。忽略匹配结果中添加的虚拟天线顶点，便可得到各 发射天线的最优位置。

关于基于虚拟天线Kuhn-Munkres(VKM)方法的发射天线布置问题，给出两个仿真实例 以及算法复杂度的对比分析。

仿真参数设置如下：假设发射波形为

0＜kT_s＜T，T＝KT_s表 示整个观测时间，T_s＝0.25μs，K＝4000且

表示第m和第m+1个发射天线之间的频 率增益。二维笛卡尔坐标系中，假设待探测目标位置为原点(x,y)＝(0,0)km，两个接收机位置 为(x_R,1,y_R,1)＝(-1,0)km和(x_R,2,y_R,2)＝(1,0)km。

仿真1中，假设各发射天线的发射能量不同，对于不同的n和q，反射系数方差相同，设 为

假设有M＝6个发射天线待确定位置，发射能量设为[E₁,E₂,E₃,E₄,E₅,E₆]＝10¹²×[1,2,5,8,6,4]，有Q＝12个可选网格点，随机分布在允许区域内，其位置分布示意图如图 2所示。图3表示不同方法下得出的天线位置所对应的ROC曲线，菱形标识表示穷举搜索得 到的最优选择，正方形标识是本专利中提出的VKM方法的选择，圆形标识是基于贪心算法的 选择，三角形标识是随机选择，加号标识表示穷举搜索得到的最坏选择。可以看出，应用VKM 方法可以得到和穷举搜索一样的最优性能，且计算复杂度低，运算速度快。基于贪心算法的选 择得到的是次优性能，随机选择的性能低于贪心算法，最坏选择的性能最差。

仿真2中，假设各发射天线的发射能量不同，且对于不同的n和q，反射系数方差也不同， 按高斯分布随机产生。假设有M＝6个发射天线待确定位置，发射能量为 [E₁,E₂,E₃,E₄,E₅,E₆]＝10¹²×[2,4,6,10,9,5]，Q＝12个可选网格点，其位置分布情况与仍如图2 所示。图4表示不同方法下得出的天线位置所对应的ROC曲线。可以看出，应用VKM方法 仍然可以得到和穷举搜索一样的最优性能，且计算复杂度低，运算速度快。基于贪心算法的选 择得到的是次优性能，随机选择的性能低于贪心算法，最坏选择的性能最差。

关于算法复杂度的分析，定义穷举搜索与VKM方法的复杂度比值为ε＝Q！/((Q-M)！Q³)， 用ε来说明两种方法之间的理论复杂度差异。另外，定义穷举搜索与VKM方法在本地计算机 的实际执行时间之比为

表1中分别列出了穷举搜 索和VKM方法的实际运算时间以及它们的比值，通过

与理论复杂度比值ε的比较，可以看 出理论复杂度与实际执行时间的变化趋势基本一致，都反映出随着Q和M的增大，VKM方 法的复杂度远低于穷举搜索。通过对比可以证明，本发明中提出的用于发射天线布置的VKM 方法是一个性能更好的算法。

表1

Claims (1)

1.基于虚拟天线Kuhn-Munkres算法的MIMO雷达发射天线布置方法,该方法包括:

步骤1：设N个接收天线位置固定，发射天线的个数为M，放置发射天线的区域被划分成Q(Q＞M)个网格点，这Q个网格点可均匀划分也可随机划分；

步骤2：建立MIMO雷达接收信号模型，定义二元变量a_mq∈{0,1},m＝1,...,M,q＝1,...,Q，若第m个发射天线放在第q个网格点，则a_mq＝1，否则a_mq＝0；设时域采样数为K，采样间隔为T_s，将N个接收天线的所有观测值写成一个向量r；

r＝[r₁[1],...,r₁[K],...,r_N[K]]^T

其中，

这里的w_n[k]表示第n个接收天线在kT_s时刻的噪声，假设为时间和空间上白的、零均值复高斯随机噪声，方差为

符合

的高斯分布；ζ_nq和τ_nq分别表示第n个接收天线和第q个可选网格点之间的反射系数和时间延迟，反射系数服从

的高斯分布，其中

表示对应ζ_nq的方差；s_m(t)是第m个发射天线的发射信号波形，E_m表示发射能量，d_R,n和d_T,q分别表示第n个接收天线和第q个网格点到目标的距离；为了后续分析，令

满足

的高斯分布，

表示对应于h_nm的方差，且

步骤3：构造二元假设检验问题，

表示目标存在，

表示目标不存在；计算对数似然比，得到最优检测器；

表示噪声的协方差矩阵，算符

表示求数学期望。其中，噪声向量的定义为w＝[w₁[1],...,w₁[K],...,w_N[K]]^T，其元素w_n[k]是对应于观测向量r＝[r₁[1],...,r₁[K],...,r_N[K]]^T中的观测值r_n[k]的噪声；

表示有在目标存在情况下，接收信号的协方差矩阵；则计算得到T的最终表达式为

其中，

表示第n个接收天线处，对应于放在网格点q处的第m个发射天线的匹配滤波输出信号，符号(·)^*表示共轭运算；

步骤4：计算检测器的输出信噪比η

这里为了简化表达式，令

步骤5：基于检测器的输出信噪比，建立优化问题

a_mq∈{0,1}

该优化问题是一个二元整数规划问题；

步骤6：根据图论知识，构造一个二部图G＝(V₁,V₂,E)来表示M个发射天线与Q个可选网格点的关系；其中，发射天线对应的顶点用A_m,m＝1,..,M表示，构成集合V₁＝{A₁,...,A_M}，可选网格对应的顶点用G_q,q＝1,...,Q表示，构成集合V₂＝{G₁,...,G_Q}；E表示连接V₁和V₂中顶点的边集，定义第m个发射天线和第q个网格点之间的边的权值为

并利用权值来构造权值矩阵W，且W是M×Q维的；

步骤7：通过添加Q-M个虚拟天线，将集合V₁扩展至V₁'＝{A₁,...,A_M,A_M+1,...,A_Q}，其中{A_M+1,...,A_Q}表示添加的虚拟天线顶点；对于V₁'中与虚拟顶点相连的边，设其权值为0；然后通过在W中添加Q-M个全0行，将其扩展为维度是Q×Q的矩阵W'；

步骤8：对步骤7中得到的权值矩阵W'运用KM算法，得到权值之和最大的一组a_mq取值，忽略添加的虚拟天线顶点，即得到M个发射天线与Q个网格点之间的对应结果。

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