CN111127544B - 一种基于短轴回归的参数化几何椭圆拟合方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于短轴回归的参数化几何椭圆拟合方法，该方法包括建立目标的短轴回归参数，建立初始值数学模型，几何距离误差求解和加短轴的自适应迭代优化四个主要步骤；理论上圆柱体目标的任意径向截面为一个椭圆，并且椭圆轮廓由于被自身所遮挡，往往只有少量椭圆弧段信息能被获取。因此，仅小弧段的信息很难精确拟合实际椭圆模型，且现有的拟合效率低。本发明以圆拟合作为椭圆几何迭代初始值，采用已知的圆柱目标半径作为短轴回归参数，大大提高了几何迭代的效率，即使是实际的含噪情况仍可以实现高精度的拟合。

Description

一种基于短轴回归的参数化几何椭圆拟合方法

技术领域

本发明公开了一种基于短轴回归的参数化几何椭圆拟合方法，属于精密测试技术、轮廓分析技术领域。

背景技术

椭圆是最基本的几何形态。理论上圆仅属于椭圆的一种特殊形态，实际生活中所有的圆形或者圆柱形的物理材料，都可以用椭圆模型进行表示。简而言之，高精度的椭圆拟合可以应用在产品质量监测，仪器仪表标定，精确定位分析等。以材料连接领域的压印连接技术为例，两种板材在冲头和模具的作用下会形成圆柱形的凹槽，被连接处材料变形形成内锁和镶嵌，因此形成可提供一定强度的连接点。在这一过程中，由于残余应力以及板材倾斜放置放置等原因，此圆柱形状的凹槽的任意截面都可以表示为椭圆。因此，若要精准的描述压印的中心就需要对提取的截面轮廓进行椭圆拟合。

目前椭圆拟合的分析方法主要有：最小二乘法，将预测模型与测量点的误差平方和最小化；霍夫变换法，在累加器空间中通过特征投票搜索局部峰值来确定椭圆的参数；矩阵法，通过一个离散矩阵的广义特征***分解并得到椭圆参数。其中，通常以误差距离的定义和约束条件将最小二乘法分类为代数法和几何法。这些方法中拟合精度最高的是几何法，但近二十年来椭圆几何拟合研究进展缓慢。

椭圆几何拟合方法主要有以下亟待提升的方面：1)拟合效率。随着近些年批量化、规模化和智能化的发展，在实际的检测、应用，乃至基础研究中不仅对椭圆定位精度要求很高，而且越来越强调拟合效率，通常用拟合次数或者拟合时间作为量化指标；2)抗噪性。实际测量中离散的椭圆数据包含噪声，并且往往只能得到少部分椭圆弧段数据。噪声和小弧段因素会极大影响椭圆的拟合精度，甚至导致椭圆拟合的不准确或完全失效；3)自适应。现有的高斯牛顿拟合法中，由于自适应性差，在奇异值的处理上非常粗糙，存在不收敛和无意义拟合的情况，不利于椭圆拟合在各个领域的应用和推广。

发明内容

本发明针对现有的椭圆拟合法中存在的难点，提供一种基于短轴回归的参数化几何椭圆拟合方法。该方法将已知的圆柱目标半径作为回归参数，以几何圆拟合作为椭圆的初始值，并采取自适应的拟合计算。这种新的基础研究方法既可以应用于精密测试技术、轮廓分析技术领域，也可以应用在图像处理技术等多个领域。

本发明采用的技术方案为一种基于短轴回归的参数化几何椭圆拟合方法，该方法包括如下步骤：

T1：短轴回归参数

对椭圆的基础研究中，用参数向量

精确描述实际的椭圆模型。参数向量中的5项参数对应的物理意义为：X_C和Y_C分别表示OXY坐标系中椭圆中心对应在X轴和Y轴上的坐标值，a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的大小，

为椭圆模型的长轴与OXY坐标系中X轴的夹角大小，也称为椭圆的旋转角，表示椭圆的方向。

在拟合求解中，椭圆模型5项参数都会在对应的维度上形成数值调整。所以实际上椭圆拟合是根据已知离散点Xj求解在5个维度上的最优值。那么，根据椭圆形成原理，5个维度中的短轴b即是成形圆柱的半径，而成形圆柱半径的标称值是已知的，如：压印的冲头半径或标定圆柱半径等实物都具有精确的半径指标。回归参数方程：

f(k)＝b-constant＝0 (1)

因此，通过实际的测量可以精确获取短轴b，将其设置为回归参数，可以减小维度上的计算量提升拟合效率。

T2：初始椭圆数学模型

在椭圆几何拟合中需要先建立初始椭圆数学模型，在此基础上进行拟合优化。由于圆拟合只有三个维度

的计算量，具有较强的鲁棒性。所以，采用高斯圆拟合来等效计算离散点X_j的初始椭圆数学模型，按以下流程进行。

1)计算初始圆

任意在OXY坐标系中离散点的重心

和圆的初始半径r₀表示为：

其中，将重心

设置为初始圆的圆心。m表示离散点的数量，X₁表示第一个离散点，X_m为最后一个离散点，X_j指第j个离散点。

2)圆的正交距离向量ε_c

以任意离散点X_j至初始圆重心X^A连线在圆上的交点称为正交点D_i。正交点的物理意义可以理解为圆上与离散点X_j最近的对应点。

于是，任意离散点X_j至正交点D_i的距离为大小，并以离散点X_j到初始圆重心X^A为向量方向，定义圆的正交距离向量ε_c。

3)高斯圆拟合

正交点_Di为初始圆上的点，可以根据正交点的雅可比矩阵，建立正交距离向量相关的线性方程组。

左矩阵为各正交点_Di对初始圆三个维度参数

的偏导。线性方程的高斯拟合方向为：

公式中将拟合的步长为1，每次拟合调整都会不断缩小正交距离向量模||ε_c||。由于只有三个维度，高斯圆拟合经过数次即可完成优化，最终得到最优圆模型的圆中心

半径r。

4)计算初始旋转角

根据优化的圆模型中心

与离散点的重心

连线，该连线与OXY坐标系中X轴的夹角定义为初始旋转角

通过反正切函数进行求解：

其中，

和

表示重心X^A在OXY坐标系中的X轴和Y轴上的值，

和

分别表示优化的圆X^B在OXY坐标系中的X轴和Y轴上的值。

5)初始椭圆数学模型

将前面三步中所求解的最优圆中心

设置为初始椭圆中心

半径r设置为椭圆的长、短轴(a₀＝b₀＝r),再加上初始圆旋转角

即，得到基于离散点的五个初始参数

建立参数化的初始椭圆数学模型：

其中，β_j表示第j个离散点在初始椭圆X_(k0)模型上所对应的离心角，这个角度需要正交距离最小的椭圆点来确定。

T3：几何距离误差向量求解

同理于圆拟合正交距离向量。椭圆模型上，任意离散点X_j都有唯一与之对应的正交点X^P。这里为了区分两者便于理解，将离散点X_j到椭圆数学模型正交点X^P的最短的连接线定义为几何距离ε_p。通过椭圆离心角β_j与几何距离ε_p之间一个离散点的映射关系表示如下：

ε_p＝X_j-X^P|_β (10)

椭圆模型是否在拟合中的优化，可以通过几何性能δ₀(β)进行量化表征：

δ₀(β)＝||X_j-X^P|_β||＝||(f_x,f_y)|| (11)

其中，几何距离误差(f_x,f_y)表示从离散点X_j到正交点X^P的向量。由于离散点X_j是已知的且初始椭圆的五个参数已经预估出来。那么，唯一未知的离心角β_j可以建立目标函数F：

其中，旋转角

通过已经广泛使用的最小二乘法即可快速求解出目标函数F最小时多对应的离心角β_j。再代入到公式(9)、(10)和(11)，即可计算出椭圆模型上的正交点X^P、正交距离ε_p和椭圆模型所对应的几何性能函数δ₀(β)值。

T4：回归约束的LM几何拟合

1)椭圆雅可比矩阵及其方程组

在椭圆拟合中，任意修改一个基本向量必须对其向量进行精确的调整，否则会导致参数空间的发散。回归参数方程f(k)加权的方式，对椭圆5个参数

偏导，与椭圆雅可比矩阵共同组成左矩阵。对于每一个离散点X_j建立以下线性方程组：

其中，w＝1.0×10¹²，μ表示阻尼系数，用于自适应调整椭圆模型在五个维度的变化。I是一个5×5的单位矩阵。

为参数化椭圆雅可比矩阵J_ij的逆矩阵，J_ij可通过对公式(9)偏导得到：

2)LM拟合的初始值和方向

在公式(13)中，加入单位矩阵的左矩阵是正定的，那么它有唯一解，从而保证其可逆。初始阻尼系数范围为μ∈[1,N^*]值，取值μ＝50进行椭圆五个参数的全局搜索。根据椭圆几何性能函数δ₀(β)，阻尼系数μ进行LM自适应调整策略，

其中，κ∈[0.25,0.75]，μ_next表示下一次拟合的阻尼系数，||ε_p+1||表示拟合中下一次椭圆模型所对应的几何性能的量值。LM拟合的方向为：

k_v+1＝k_v+Δk (16)

公式中，参数向量k_v中下标v∈[0,N]为自然数，表示椭圆模型包含五个参数的向量，k_v+1表示的物理意义为拟合求解的下一个椭圆模型参数向量。Δk为椭圆模型五个维度需要精确调整的向量。

3)LM拟合的终止条件

终止准则反映出椭圆模型对应的几何性能函数δ₀(β)为一个全局最小值。因此，将LM拟合步长、最陡下降率(梯度的模)和拟合上限作为终止准则，

v≥v_max (19)

其中，e₁为步长细分上限、e₂为梯度模上限和v_max为拟合次数上限。也就是说，在自适应拟合过程中只要达到以上三个上限条件中的任何一个，即判定为达到椭圆模型的最优化。

本发明一种参数化的几何椭圆精确拟合方法有以下优点：

1、采取高斯圆拟合为基础进行初始椭圆值的求解，降低了预处理的计算量，计算效率高、鲁棒性强；

2、以短轴作为回归参数，并进行加权能有效避免修改椭圆拟合参数带来的维度空间发散问题，也能节省计算量；

3、回归约束的LM几何拟合具有较强的自适应能力，能有效避免拟合中不收敛的情况；

4、抗噪性强，能适用于实际应用中提取带噪声的椭圆特征，在智能制造、质量监控、三维重建、机器人和仪器校准等领域都有潜在应用前景。

附图说明

图1高斯圆拟合的正交距离向量；

图2计算初始旋转角

图3椭圆角度定义和正交距离的计算；

图4短轴回归的LM几何拟合参数；

图5短轴回归的LM几何拟合三维图；

图6短轴回归的LM几何椭圆拟合；

图7短轴回归的参数化几何椭圆拟合流程。

具体实施方式

作为一个实施例，采用短轴为3.03184的离散点数据(表1)，结合附图对一种短轴回归的参数化几何椭圆拟合方法进一步说明。

表1用于实施例的8个离散点数据

对椭圆的基础研究中，用参数向量

精确描述实际的椭圆模型。参数向量中的5项参数对应的物理意义为：X_C和Y_C分别表示OXY坐标系中椭圆中心对应在X轴和Y轴上的坐标值，a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的大小，

为椭圆模型的长轴与OXY坐标系中X轴的夹角大小，也称为椭圆的旋转角，表示椭圆的方向。

在拟合求解中，椭圆模型5项参数都会在对应的维度上形成数值调整。所以实际上椭圆拟合是根据已知离散点X_j求解在5个维度上的最优值。那么，根据椭圆形成原理，5个维度中的短轴b即是成形圆柱的半径，而成形圆柱半径的标称值是已知的，如：压印的冲头半径或标定圆柱半径等实物都具有精确的半径指标。回归参数方程：

f(k)＝b-3.03184＝0 (20)

因此，通过实际的测量中已知的短轴3.03184，将其设置为回归参数，可以减小维度上的计算量提升拟合效率。

初始椭圆数学模型

在椭圆几何拟合中需要先建立初始椭圆数学模型，在此基础上进行拟合优化。由于圆拟合只有三个维度

的计算量，具有较强的鲁棒性。所以，采用高斯圆拟合来等效计算离散点X_j的初始椭圆数学模型，按以下流程进行。

计算初始圆

任意在OXY坐标系中离散点的重心

和圆的初始半径r₀表示为：

其中，将重心X^A(5.1250，5.7500)设置为初始圆的圆心。8表示离散点的数量，X₁表示第一个离散点，X₈为最后一个离散点，X_j指第j个离散点。

圆的正交距离向量ε_c

如图1所示，以任意离散点X_j至初始圆重心X^A连线在圆上的交点称为正交点D_i。正交点的物理意义可以理解为圆上与离散点X_j最近的对应点。

于是，任意离散点X_j至正交点D_i的距离为大小，并以离散点X_j到初始圆重心X^A为向量方向，定义圆的正交距离向量ε_c。计算得到的初始圆的正交距离向量如表2所示。

表2初始圆的正交距离向量ε_c

高斯圆拟合

正交点D_i为初始圆上的点，可以根据正交点的雅可比矩阵，建立正交距离向量相关的线性方程组。

左矩阵为各正交点Di对初始圆三个维度参数

的偏导。线性方程的高斯拟合方向为：

公式中将拟合的步长为1，每次拟合调整都会不断缩小正交距离向量模||ε_c||。高斯圆拟合经过12次优化，得到最优圆模型的圆中心X^B(3.3911,4.8399)，半径r＝4.7967。

计算初始旋转角

如图2所示，根据优化的圆模型中心

与离散点的重心

连线，该连线与OXY坐标系中X轴的夹角定义为初始旋转角

通过反正切函数进行求解：

其中，

和

表示重心X^A在OXY坐标系中的X轴和Y轴上的值，

和

分别表示优化的圆X^B在OXY坐标系中的X轴和Y轴上的值。

初始椭圆数学模型

将前面三步中所求解的最优圆中心

设置为初始椭圆中心

半径r设置为椭圆的长、短轴(a₀＝b₀＝4.7967),再加上初始圆旋转角

即，得到基于离散点的五个初始参数

建立参数化的初始椭圆数学模型：

其中，β_j表示第j个离散点在初始椭圆X_(k0)模型上所对应的离心角，这个角度需要正交距离最小的椭圆点来确定。

几何距离误差向量求解

如图3所示，同理于圆拟合正交距离向量。椭圆模型上，任意离散点X_j都有唯一与之对应的正交点X^P。这里为了区分两者便于理解，将离散点X_j到椭圆数学模型正交点X^P的最短的连接线定义为几何距离ε_p。通过椭圆离心角β_j与几何距离ε_p之间一个离散点的映射关系表示如下：

ε_p＝X_j-X^P|_β (29)

椭圆模型是否在拟合中的优化，可以通过几何性能δ₀(β)进行量化表征：

δ₀(β)＝||X_j-X^P|_β||＝||(f_x,f_y)|| (30)

其中，几何距离误差(f_x,f_y)表示从离散点X_j到正交点X^P的向量。由于离散点X_j是已知的且初始椭圆的五个参数已经预估出来。那么，唯一未知的离心角β_j可以建立目标函数F：

其中，旋转角

通过已经广泛使用的最小二乘法即可快速求解出目标函数F最小时多对应的离心角β_j。再代入到公式(28)、(29)和(30)，即可计算出椭圆模型上的正交点X^P、正交距离ε_p和椭圆模型所对应的几何性能函数δ₀(β)值。

回归约束的LM几何拟合

椭圆雅可比矩阵及其方程组

在椭圆拟合中，任意修改一个基本向量必须对其向量进行精确的调整，否则会导致参数空间的发散。回归参数方程f(k)加权的方式，对椭圆5个参数

偏导，与椭圆雅可比矩阵共同组成左矩阵。对于每一个离散点X_j建立以下线性方程组：

其中，w＝1.0×10¹²，μ表示阻尼系数，用于自适应调整椭圆模型在五个维度的变化。I是一个5×5的单位矩阵。

为参数化椭圆雅可比矩阵J_ij的逆矩阵，J_ij可通过对公式(28)偏导得到：

LM拟合的初始值和方向

在公式(32)中，加入单位矩阵的左矩阵是正定的，那么它有唯一解，从而保证其可逆。初始阻尼系数范围为μ∈[1,N^*]值，取值μ＝50进行椭圆五个参数的全局搜索。根据椭圆几何性能函数δ₀(β)，阻尼系数μ进行LM自适应调整策略，

其中，κ∈[0.25,0.75]，μ_next表示下一次拟合的阻尼系数，||ε_p+1||表示拟合中下一次椭圆模型所对应的几何性能的量值。LM拟合的方向为：

k_v+1＝k_v+Δk (35)

公式中，参数向量k_v中下标v∈[0,N]为自然数，表示椭圆模型包含五个参数的向量，k_v+1表示的物理意义为拟合求解的下一个椭圆模型参数向量。Δk为椭圆模型五个维度需要精确调整的向量，调整过程如图4所示。

LM拟合的终止条件

终止准则反映出椭圆模型对应的几何性能函数δ₀(β)为一个全局最小值。因此，将LM拟合步长、最陡下降率(梯度的模)和拟合上限作为终止准则，

v≥v_max (38)

其中，e₁为步长细分上限、e₂为梯度模上限和v_max为拟合次数上限。也就是说，在自适应拟合过程中只要达到以上三个上限条件中的任何一个，即判定为达到椭圆模型的最优化，如图5中所示。

如图6所示，经过第21次拟合后即可得到拟合最优解，相比于非短轴回归的拟合效率提高53.8％。最终校正的向量范数||Δk||＝8.5665×10^-7，得到稳定的正交点集{(X^P,Y^P)}，几何性能函数δ₀＝1.17188，定位椭圆中心(2.69995，3.81612)，计算得到旋转角

各项精确的拟合结果如表3所示。

表3 LM自适应计算的结果

按自适应拟合结果打印拟合结果报表。

详细的测量流程如图7所示。

Claims (1)

1.一种基于短轴回归的参数化几何椭圆拟合方法，其特征在于：该方法包括如下步骤，

T1：短轴回归参数

对椭圆的基础研究中，用参数向量

精确描述实际的椭圆模型；参数向量中的5项参数对应的物理意义为：X_C和Y_C分别表示OXY坐标系中椭圆中心对应在X轴和Y轴上的坐标值，a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的大小，

为椭圆模型的长轴与OXY坐标系中X轴的夹角大小，也称为椭圆的旋转角，表示椭圆的方向；

在拟合求解中，椭圆模型5项参数都会在对应的维度上形成数值调整；所以实际上椭圆拟合是根据已知离散点X_j求解在5个维度上的最优值；那么，根据椭圆形成原理，5个维度中的短轴b即是成形圆柱的半径，而成形圆柱半径的标称值是已知的，所述成形圆柱半径为压印的冲头半径， 所述 压印的冲头半径具有精确的半径指标；回归参数方程：

f(k)＝k-constant＝0 (1)

因此，通过实际的测量可以精确获取短轴b，将其设置为回归参数，可以减小维度上的计算量提升拟合效率；

T2：初始椭圆数学模型

在椭圆几何拟合中需要先建立初始椭圆数学模型，在此基础上进行拟合优化；由于圆拟合只有三个维度

的计算量，具有较强的鲁棒性；所以，采用高斯圆拟合来等效计算离散点X_j的初始椭圆数学模型，按以下流程进行；

1)计算初始圆

任意在OXY坐标系中离散点的重心

和圆的初始半径r₀表示为：

其中，将重心

设置为初始圆的圆心；m表示离散点的数量，X₁表示第一个离散点，X_m为最后一个离散点，X_j指第j个离散点；

2)圆的正交距离向量ε_c

以任意离散点X_j至初始圆重心X^A连线在圆上的交点称为正交点D_i；正交点的物理意义可以理解为圆上与离散点X_j最近的对应点；

于是，任意离散点X_j至正交点D_i的距离为大小，并以离散点X_j到初始圆重心X^A为向量方向，定义圆的正交距离向量ε_c；

3)高斯圆拟合

正交点D_i为初始圆上的点，可以根据正交点的雅可比矩阵，建立正交距离向量相关的线性方程组；

左矩阵为各正交点D_i对初始圆三个维度参数

的偏导；线性方程的高斯拟合方向为：

公式中将拟合的步长为1，每次拟合调整都会不断缩小正交距离向量模||ε_c||；由于只有三个维度，高斯圆拟合经过数次即可完成优化，最终得到最优圆模型的圆中心

半径r；

4)计算初始旋转角

根据优化的圆模型中心

与离散点的重心

连线，该连线与OXY坐标系中X轴的夹角定义为初始旋转角

通过反正切函数进行求解：

其中，

和

表示重心X^A在OXY坐标系中的X轴和Y轴上的值，

和

分别表示优化的圆X^B在OXY坐标系中的X轴和Y轴上的值；

5)初始椭圆数学模型

将前面三步中所求解的最优圆中心

设置为初始椭圆中心

半径r设置为椭圆的长、短轴(a₀＝b₀＝r),再加上初始圆旋转角

即，得到基于离散点的五个初始参数

建立参数化的初始椭圆数学模型：

其中，β_j表示第j个离散点在初始椭圆X_(k0)模型上所对应的离心角，这个角度需要正交距离最小的椭圆点来确定；

T3：几何距离误差向量求解

同理于圆拟合正交距离向量；椭圆模型上，任意离散点X_j都有唯一与之对应的正交点X^P；这里为了区分两者便于理解，将离散点X_j到椭圆数学模型正交点X^P的最短的连接线定义为几何距离ε_p；通过椭圆离心角β_j与几何距离ε_p之间一个离散点的映射关系表示如下：

ε_p＝X_j-X^P|_β (10)

椭圆模型是否在拟合中的优化，可以通过几何性能δ₀(β)进行量化表征：

δ₀(β)＝||X_j-X^P|_β||＝||(f_x,f_y)|| (11)

其中，几何距离误差(f_x,f_y)表示从离散点X_j到正交点X^P的向量；由于离散点X_j是已知的且初始椭圆的五个参数已经预估出来；那么，唯一未知的离心角β_j可以建立目标函数F：

其中，旋转角

通过已经广泛使用的最小二乘法即可快速求解出目标函数F最小时多对应的离心角β_j；再代入到公式(9)、(10)和(11)，即可计算出椭圆模型上的正交点X^P、正交距离ε_p和椭圆模型所对应的几何性能函数δ₀(β)值；

T4：回归约束的LM几何拟合

1)椭圆雅可比矩阵及其方程组

在椭圆拟合中，任意修改一个基本向量必须对其向量进行精确的调整，否则会导致参数空间的发散；回归参数方程f(k)加权的方式，对椭圆5个参数

偏导，与椭圆雅可比矩阵共同组成左矩阵；对于每一个离散点X_j建立以下线性方程组：

其中，w＝1.0×10¹²，μ表示阻尼系数，用于自适应调整椭圆模型在五个维度的变化；I是一个5×5的单位矩阵；

为参数化椭圆雅可比矩阵J_ij的逆矩阵，J_ij可通过对公式(9)偏导得到：

2)LM拟合的初始值和方向

在公式(13)中，加入单位矩阵的左矩阵是正定的，那么它有唯一解，从而保证其可逆；初始阻尼系数范围为μ∈[1,N^*]值，取值μ＝50进行椭圆五个参数的全局搜索；根据椭圆几何性能函数δ₀(β)，阻尼系数μ进行LM自适应调整策略，

其中，κ∈[0.25,0.75]，μ_next表示下一次拟合的阻尼系数，||ε_p+1||表示拟合中下一次椭圆模型所对应的几何性能的量值；LM拟合的方向为：

k_v+1＝k_v+Δk (16)

公式中，参数向量k_v中下标v∈[0,N]为自然数，表示椭圆模型包含五个参数的向量，k_v+1表示的物理意义为拟合求解的下一个椭圆模型参数向量；Δk为椭圆模型五个维度需要精确调整的向量；

3)LM拟合的终止条件

终止准则反映出椭圆模型对应的几何性能函数δ₀(β)为一个全局最小值；因此，将LM拟合步长、最陡下降率即梯度的模和拟合上限作为终止准则，

v≥v_max (19)

其中，e₁为步长细分上限、e₂为梯度模上限和v_max为拟合次数上限；也就是说，在自适应拟合过程中只要达到以上三个上限条件中的任何一个，即判定为达到椭圆模型的最优化。

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