CN110435377A - 基于比例积分观测器的非线性主动悬架容错追踪控制方法 - Google Patents

基于比例积分观测器的非线性主动悬架容错追踪控制方法 Download PDF

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CN110435377A CN201910351648.6A CN201910351648A CN110435377A CN 110435377 A CN110435377 A CN 110435377A CN 201910351648 A CN201910351648 A CN 201910351648A CN 110435377 A CN110435377 A CN 110435377A
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Abstract

基于比例积分观测器的非线性主动悬架容错追踪控制方法，首先，为描述悬架***的模型不确定性，建立基于Takagi‑Sugeno(T‑S)模糊模型的1/2车辆悬架模型；其次，基于该模型，开发鲁棒H∞输出反馈控制器以增强悬架在正常作动器模式下的性能，其输出响应被视为理想的参考轨迹；最后，设计比例积分观测器以在线精确估计作动器故障，并进一步设计主动容错追踪控制器以补偿由作动器故障引起的性能损失；本发明用于作动器故障的非线性主动悬架控制，解决了无法应对外界的不确定干扰和作动器故障的问题。

Description

基于比例积分观测器的非线性主动悬架容错追踪控制方法
技术领域
本发明属于悬架***故障诊断与容错控制领域，具体涉及基于比 例积分观测器的非线性主动悬架容错追踪控制方法。
背景技术
车辆悬架***是指连接车架与轮胎之间的传力装置，它的主要功 用是缓和由路面不平度引起的车身振动。相比被动悬架与半主动悬架， 主动悬架能够根据实时的路况变化，通过作动器产生***所需的控制 力，因此可以对悬架***进行最优化的控制。对于主动悬架***，研 究者们已经将诸多控制策略应用其中。例如，滑模变结构控制，自适 应反推控制，鲁棒控制，模糊控制以及神经网络控制等。
虽然上述工作对提高车辆的乘坐舒适性已经取得了较大的进展， 但是仍然存在一些问题值得注意，特别是在考虑到车辆模型的不确定 性和悬架***故障的情况。首先，车辆在不同行驶道路条件和工况下， 悬架参数会在一定范围内发生变化，这就使得对悬架***的动态特性 难以用精确数学模型来描述，从而造成控制上的困难。为此考虑悬架 模型的不确定性具有一定的工程意义。此外，在实际工况中，随着车 辆的使用时间增加，悬架***的元器件会不可避免的发生老化，疲劳 以及损坏现象。如果悬架***发生故障，那么理想条件下的控制器就 会失效，甚至造成***性能的恶化。因此，为了能够更好地分析车辆 运行的实际工况，我们就有必要考虑悬架模型的不确定性和***故障 的情况。
T-S模型是由Takagi和Sugeno提出的一种模糊推理模型，是一 种精确建模的方法。由于T-S模糊模型结构简单，且能够地将非线性 ***表示成线性***的加权和，并且不失实际意义，因此通过T-S模 糊模型对非线性***建模的方法受到众多学者的青睐。结合T-S模糊 模型，将其复杂的非线性***通过模糊隶属函数分解成线性子***， 这对提高乘客舒适度和车辆稳定性具有重要意义。因此为真实模拟悬 架***在不同工况下悬架模型，考虑采用T-S模糊模型来能够提高悬 架***建模的精度。
除此之外，为有效解决悬架***发生故障时的控制问题，刘树博 提出一种滑模容错控制方法；杨柳青基于鲁棒观测器提出一种容错控 制方法实现控制律重组；张丽萍提出一种基于H2/H∞状态反馈控制的 被动容错控制策略。但是目前的研究方法多以结构简单的1/4车模型 为基础，且多为被动容错控制，对复杂的悬架***很难有较好的控制 效果，因此本发明具有一定的实用性。
发明内容
为克服上述现有技术的不足，本发明的目的在于提供基于比例积 分观测器的非线性主动悬架容错追踪控制方法，首先，采用T-S模糊 模型来描述悬架***的模型不确定性；其次，在鲁棒H∞状输出反馈 控制器的基础上，设计比例积分观测器以实现对故障的在线估计，进 而开发出主动悬架的容错追踪控制器来抵消作动器故障带来的负面 影响。
基于比例积分观测器的非线性主动悬架容错追踪控制方法，考虑 车辆主动悬架存在非线性和执行器故障，结合T-S模糊模型方法、鲁 棒H∞输出反馈控制和比例积分观测器，提出一种容错追踪控制方法， 使得车辆在悬架发生故障后仍能保持良好的性能；包括以下步骤：
步骤1，建立线性主动悬架模型
根据牛顿第二定律，1/2车辆主动悬架***动力学方程为：
式中，ms和Iy分别为车身质量和车身转动惯量；zc，分别表示 车身的垂向位移和俯仰角；muf，mur为前后悬架车轮质量；zuf，zur分 别为前后车轮的垂向位移；F1,F2为前、后悬架组件中的弹性力；Ftf, Ftr分别为前、后轮胎组件中的弹性力；其表达式分别为：
其中：cf，cr为前后悬架阻尼系数；kf，kr为前后悬架的刚度；zrf， zrr为前后轮的路面输入位移；ktf，ktr为前后轮胎刚度系数，uFf，uFr为 前后悬架作动器产生的主动控制力，Δyf＝zsf-zuf为前悬架动行程， Δyr＝zsr-zur为后悬架动行程，且
考虑选取***状态变量为干扰输入 w(t)＝[zrf,zrr]T，测量输出以及控制输出 则主动悬架状态空 间方程可描述为
其中，A、B、B1、C、D、C1、D1、E1均为状态空间的系数矩阵； 具体可写为：
系数矩阵A和C1中的相应元素如下所示：
步骤2，基于T-S模糊模型建立非线性主动悬架模型
由于不同工况下乘客的数量和车身载荷在一定范围内变化，因此 考虑车身质量ms、前悬架车轮质量muf和后悬架车轮质量mur存在不 确定性，即ms∈[msmin,msmax]，muf∈[mufmin,mufmax],mur∈[murmin,murmax]， 基于上述情况，结合T-S模糊模型建立悬架***的非线性模型，为此 定义：
其中，ξ1(t)＝1/ms,ξ2(t)＝1/muf,ξ3(t)＝1/mur，此外， M1(ξ1(t)),M2(ξ1(t)),N1(ξ2(t)),N2(ξ2(t)),O1(ξ3(t)),O2(ξ3(t))为隶属函数，且可描述为：
其中隶属函数M1(ξ1(t))和M2(ξ1(t))分别定义为Heavy和Light，隶属函数 N1(ξ2(t))和N2(ξ2(t))分别定义为Heavy和Light，同时隶属函数O1(ξ3(t))和 O2(ξ3(t))分别定义为Heavy和Light，且满足 M1(ξ1(t))+M2(ξ1(t))＝1,N1(ξ2(t))+N2(ξ2(t))＝1,O1(ξ3(t))+O2(ξ3(t))＝1，
此时，考虑悬架***质量不确定性的悬架***(4)可用如下T-S模 型来描述：
模型规则i:如果ξ1(t)为Mr，ξ2(t)为Nj，ξ3(t)为Ol，那么
其中，r＝1,2(j＝1,2；l＝1,2；i＝1,2,3,4,5,6,7,8)；将矩阵A、 B、B1、C、D、C1、D1、E1中的ms、muf、mur分别替换为msmin(或msmax)、 mufmin(或mufmax)、murmin(或murmax)即可得到矩阵Ai、Bi、B1i、Ci、Di、C1i、 D1i、E1i；
由上述模型规则可得，考虑悬架***质量不确定性的车辆非线性 主动悬架***可通过T-S模糊模型表示为：
其中
h1(ξ(t))＝M1(ξ1(t))×N1(ξ2(t))×O1(ξ3(t)),
h2(ξ(t))＝M1(ξ1(t))×N2(ξ2(t))×O1(ξ3(t)),
h3(ξ(t))＝M2(ξ1(t))×N1(ξ2(t))×O1(ξ3(t)),
h4(ξ(t))＝M2(ξ1(t))×N2(ξ2(t))×O1(ξ3(t)),
h5(ξ(t))＝M2(ξ1(t))×N2(ξ2(t))×O2(ξ3(t)),
h6(ξ(t))＝M2(ξ1(t))×N1(ξ2(t))×O2(ξ3(t)),
h7(ξ(t))＝M1(ξ1(t))×N2(ξ2(t))×O2(ξ3(t)),
h8(ξ(t))＝M1(ξ1(t))×N1(ξ2(t))×O2(ξ3(t)).
其中hi(ξ(t))为模糊权重函数，且hi(ξ(t))≥0,满足
步骤3，设计正常模式下的鲁棒H∞输出反馈控制器
在悬架***无故障状态下时，主动悬架***采用鲁棒H∞输出反 馈控制器：
u(t)＝K(s)y(t) (9)
且待设计的控制律u(t)满足如下状态空间表达形式
式中，xc(t)为H∞输出反馈控制器的状态向量，Ac、Bc、Cc、Dc是待 设计的控制器参数矩阵，
将待设计的控制律(10)应用于无故障***(8)，可得1/2车辆主动 悬架闭环控制***
其中，xcl(t)＝[x(t),xc(t)]T为***的状态向量，其它各系数矩阵分别为：
因此，将设计鲁棒H∞输出反馈控制器转化为求解参数矩阵Aci、 Bci、Cci、Dci使得闭环***(11)保持渐近稳定，且满足H∞性能指标 ||Tzw||∞＜β，即干扰输入w(t)到控制输出z(t)传递函数的H∞范数||Tzw||∞小 于给定上界β，根据有界实引理，满足这一设计要求的充要条件是存 在一个对称正定矩阵Q，使得：
在Matlab中利用hinflmi求解器确定参数矩阵Ac、Bc、Cc、Dc， 得形如式(10)的控制律u(t)，并将其代入矩阵Aci、Bci、Cci、Dci，可 得基于鲁棒H∞输出反馈控制器的1/2车辆主动悬架闭环控制***；
步骤4，建立悬架故障模型
当作动器发生偏差故障，同时也将悬架***质量不确定性考虑在 内时，故障悬架模型为：
其中，f(t)表示因作动器偏差故障导致作动器产生的控制力偏差， 即故障信号，作动器的偏差故障是车辆悬架***中的最常见故障情况， 因此作动器故障受到了广泛的关注，自然磨损、未知的外部严重干扰、 参数变化、***老化和部分堵塞都是造成作动器偏差故障的原因；
步骤5，设计基于比例积分观测器的容错追踪控制器
在考虑作动器偏差故障时，基于比例积分观测器设计主动悬架系 统的容错追踪控制器为：
其中，代表容错追踪控制器的补偿力，K1i为待确定的状态反馈增益矩阵，和为故障及状态向量的估计 值，
为了得到上述容错追踪控制律，建立如下的比例积分观测器：
其中，H1i,H2i是观测器的增益矩阵，在容错追踪控制策略中，通 过获得故障***的信息，来实现对故障信号的检测和隔离，
由式(13)和式(15)可得故障***与观测器***的输出误差为：
式中
定义动态跟踪误差e(t)＝x(t)-xf(t)，则
其中
由式(13)和式(15)可得故障***与观测器***的状态向量误差 为
其中
综合式(17)和式(18)，可得如下动态增广误差***
其中
如果存在H1i、H2i、K1j和正定矩阵X1>0、P2>0，且有γ＞0、P3＝I， 使得下面的凸优化问题成立：
其中，Qij＝[BiK1j 0 0]T，W＝[X1 0 0]T， Γ＝[X1 I I]T，*表示矩阵中的对称转置项，
则有以下的设计指标成立：
1)闭环***(19)是渐进稳定的；
2)在零初始条件下，对假设从干扰输入v(t)到误 差输出的闭环传递函数为那么闭环***(19)满足H∞性能指 标即：
与现有技术相比，本发明具有以下优点：
1)通过采用T-S模糊模型的方法，将其复杂的非线性悬架*** 通过模糊隶属函数分解成线性子***，这使得悬架模型更加接近实际 工况，为验证本发明的有效性奠定了坚实的基础。
2)对于无故障悬架***，采用鲁棒H∞输出反馈控制器能够较好 地保证主动悬架***的良好性能。
3)引入比例积分观测器能够准确地估计主动悬架***的作动器 故障大小，进而开发出的容错追踪控制器能够较好地弥补作动器故障 引起的性能损失，并保证闭环***的渐进稳定性。
4)方法简单易实现，***无需冗余的硬件，成本较低。
本发明所提出的方法作为一种主动悬架***的容错追踪控制方 法，具有一定的实用意义，简单易实现，***具有较好的鲁棒性，能 够有效提高主动悬架***的性能，并保证***的渐进稳定性。
附图说明
图1为1/2车主动悬架模型。
图2为主动悬架容错追踪控制***原理框图。
图3为比例积分观测器对故障的估计分析图。
图4为车身加速度响应曲线图。
图5为俯仰角加速度响应曲线图。
图6为前悬架动挠度响应曲线图。
图7为后悬架动挠度响应曲线图。
图8为前轮胎动载荷响应曲线图。
图9为后轮胎动载荷响应曲线图。
图10为前轮主动控制力响应曲线图。
图11为后轮主动控制力响应曲线图。
图12为作动器功率需求图。
图13为本发明的流程图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明做更进一步的解释。
如图1，2所示，考虑车辆主动悬架存在非线性和执行器故障， 结合T-S模糊模型方法、H∞输出反馈控制和比例积分观测器，提出一 种容错追踪控制方法，使得车辆在悬架发生故障后仍能保持良好的性 能。
图1为4自由度1/2车辆悬架***模型，它包含了车辆动力学分 析的主要特征，且结构简单，所以在悬架控制策略的研究中被广泛应 用。此外，图2描述了在存在作动器故障和外部道路干扰的情况下， 本发明对主动悬架***设计的基于比例积分观测器的容错追踪控制 策略的结构框架。由图2可知，当悬架***正常工作时，鲁棒H∞输 出反馈控制器是主动悬架***的常规控制器，且在这种模式下悬架的 输出指标是作为理想的参考轨迹的。而当作动器发生故障时，***首 先会利用比例积分观测器对故障的分析来判定作动器是否发生故障， 其次通过主动容错控制器对***进行故障补偿，同时常规控制器仍正 常工作。因此主动悬架***在考虑作动器发生故障的情况下，也可以 保证***具有良好的性能。
基于比例积分观测器的非线性主动悬架容错追踪控制方法，包括 如下具体步骤：
步骤1，建立线性主动悬架模型
建立悬架模型，根据牛顿第二定律，1/2车辆主动悬架***动力 学方程为：
式中，ms和Iy分别为车身质量和车身转动惯量；zc，分别表示 车身的垂向位移和俯仰角；muf，mur为前后悬架车轮质量；zuf，zur分 别为前后车轮的垂向位移；F1,F2为前、后悬架组件中的弹性力；Ftf, Ftr分别为前、后轮胎组件中的弹性力；其表达式分别为：
其中：cf，cr为前后悬架阻尼系数；kf，kr为前后悬架的刚度；zrf， zrr为前后轮的路面输入位移；ktf，ktr为前后轮胎刚度系数，uFf，uFr为 前后悬架作动器产生的主动控制力，Δyf＝zsf-zuf为前悬架动行程， Δyr＝zsr-zur为后悬架动行程，且
考虑选取***状态变量为干扰输入 w(t)＝[zrf,zrr]T，测量输出以及控制输出 则主动悬架状态空 间方程可描述为
其中，A、B、B1、C、D、C1、D1、E1均为状态空间的系数矩阵； 具体可写为：
系数矩阵A和C1中的相应元素如下所示：
步骤2，基于T-S模糊模型建立非线性主动悬架模型
由于不同工况下乘客的数量和车身载荷在一定范围内变化，因此 本文考虑车身质量ms、前悬架车轮质量muf和后悬架车轮质量mur存 在不确定性，即ms∈[msmin,msmax]，muf∈[mufmin,mufmax],mur∈[murmin, murmax]，基于上述情况，结合T-S模糊模型建立悬架***的非线性模 型。为此定义
其中，ξ1(t)＝1/ms,ξ2(t)＝1/muf,ξ3(t)＝1/mur。此外，M1(ξ1(t)),M2(ξ1(t)),N1(ξ2(t)),N2(ξ2(t)),O1(ξ3(t)),O2(ξ3(t))为隶属函数，且可描述为：
其中隶属函数M1(ξ1(t))和M2(ξ1(t))分别定义为“Heavy”和“Light”，隶 属函数N1(ξ2(t))和N2(ξ2(t))分别定义为“Heavy”和“Light”，同时隶属 函数O1(ξ3(t))和O2(ξ3(t))分别定义为“Heavy”和“Light”，且满足 M1(ξ1(t))+M2(ξ1(t))＝1,N1(ξ2(t))+N2(ξ2(t))＝1,O1(ξ3(t))+O2(ξ3(t))＝1，
此时，考虑悬架***质量不确定性的悬架***(4)可用如下T-S模 型来描述：
模型规则i:如果ξ1(t)为Mr，ξ2(t)为Nj，ξ3(t)为Ol，那么
其中，r＝1,2(j＝1,2；l＝1,2；i＝1,2,3,4,5,6,7,8)；将矩阵A、 B、B1、C、D、C1、D1、E1中的ms、muf、mur分别替换为msmin(或msmax)、 mufmin(或mufmax)、murmin(或murmax)即可得到矩阵Ai、Bi、B1i、Ci、Di、C1i、 D1i、E1i，
由上述模型规则可得，考虑悬架***质量不确定性的车辆非线性 主动悬架***可通过T-S模糊模型表示为：
其中：
h1(ξ(t))＝M1(ξ1(t))×N1(ξ2(t))×O1(ξ3(t)),
h2(ξ(t))＝M1(ξ1(t))×N2(ξ2(t))×O1(ξ3(t)),
h3(ξ(t))＝M2(ξ1(t))×N1(ξ2(t))×O1(ξ3(t)),
h4(ξ(t))＝M2(ξ1(t))×N2(ξ2(t))×O1(ξ3(t)),
h5(ξ(t))＝M2(ξ1(t))×N2(ξ2(t))×O2(ξ3(t)),
h6(ξ(t))＝M2(ξ1(t))×N1(ξ2(t))×O2(ξ3(t)),
h7(ξ(t))＝M1(ξ1(t))×N2(ξ2(t))×O2(ξ3(t)),
h8(ξ(t))＝M1(ξ1(t))×N1(ξ2(t))×O2(ξ3(t)).
其中hi(ξ(t))为模糊权重函数，且hi(ξ(t))≥0,满足
步骤3，设计正常模式下的鲁棒H∞输出反馈控制器
在悬架***无故障状态下时，主动悬架***采用鲁棒H∞输出反 馈控制器：
u(t)＝K(s)y(t) (9)
且待设计的控制律u(t)满足如下状态空间表达形式
式中，xc(t)为H∞输出反馈控制器的状态向量，Ac、Bc、Cc、Dc是待 设计的控制器参数矩阵。
将待设计的控制律(10)应用于无故障***(8)，可得1/2车辆主动 悬架闭环控制***
式中，xcl(t)＝[x(t),xc(t)]T为***的状态向量，其它各系数矩阵分别为：
因此，将设计鲁棒H∞输出反馈控制器转化为求解参数矩阵Aci、 Bci、Cci、Dci使得闭环***(11)保持渐近稳定，且满足H∞性能指标 ||Tzw||∞＜β，即干扰输入w(t)到控制输出z(t)传递函数的H∞范数||Tzw||∞小 于给定上界β。根据有界实引理，满足这一设计要求的充要条件是存 在一个对称正定矩阵Q，使得：
在Matlab中利用hinflmi求解器确定参数矩阵Ac、Bc、Cc、Dc， 得形如式(10)的控制律u(t)，并将其代入矩阵Aci、Bci、Cci、Dci，可 得基于鲁棒H∞输出反馈控制器的1/2车辆主动悬架闭环控制***；
步骤4，建立悬架故障模型
当作动器发生偏差故障，同时也将悬架***质量不确定性考虑在 内时，故障悬架模型为：
其中，f(t)表示因作动器偏差故障导致作动器产生的控制力偏差， 即故障信号，作动器的偏差故障是车辆悬架***中的最常见故障情况， 因此作动器故障受到了广泛的关注。自然磨损、未知的外部严重干扰、 参数变化、***老化和部分堵塞都是造成作动器偏差故障的原因；
步骤5，设计基于比例积分观测器的容错追踪控制器
在考虑作动器偏差故障时，基于比例积分观测器设计主动悬架系 统的容错追踪控制器为：
其中，代表容错追踪控制器的补偿力，K1i为待确定的状态反馈增益矩阵，和为故障及状态向量的估计 值，
为了得到上述容错追踪控制律，建立如下的比例积分观测器：
其中，H1i,H2i是观测器的增益矩阵。在这种容错追踪控制策略中， 我们通过获得故障***的信息，来实现对故障信号的检测和隔离，
由式(13)和式(15)可得故障***与观测器***的输出误差为：
式中
定义动态跟踪误差e(t)＝x(t)-xf(t)，则
其中
由式(13)和式(15)可得故障***与观测器***的状态向量误差 为：
其中
综合式(17)和式(18)，可得如下动态增广误差***
其中
如果存在H1i、H2i、K1j和正定矩阵X1>0、P2>0，且有γ＞0、P3＝I, 使得下面的凸优化问题成立：
其中，Qij＝[BiK1j 0 0]T，W＝[X1 0 0]T， Γ＝[X1 II]T，*表示矩阵中的对称转置项，
则有以下的设计指标成立：
1)闭环***(19)是渐进稳定的；
2)在零初始条件下，对假设从干扰输入v(t)到误 差输出的闭环传递函数为那么闭环***(19)满足H∞性能指 标即
以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领 域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出 若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。
下面以实际案例仿真说明实施方案的有效性。
本文对悬架***质量不确定性的描述为：车身质量为 ms(t)＝1235+120sin(t)(kg)，前后悬架车轮质量为muf(t)＝49+0.49sin(t) (kg)，mur(t)＝49+0.49sin(t)(kg)。
为验证本发明的有效性，考虑选取凸块路面作为路面激励输入， 其表达式为：
其中，A和L分别代表凸块输入的高度和长度，假定其值分别为 A＝50(mm)，L＝5(m)，并且车辆以36(km/h)车速匀速行驶。
另外，考虑如下的时变故障：
在Simulink中建立基于T-S模糊模型的悬架模型，并搭建容错追 踪控制器，进而结合相应参数进行时域仿真，并对以下三种模式进行 讨论分析：
1)ROFC-无故障：作动器无故障，且***仅在鲁棒H∞输出反馈 控制器下工作；
2)ROFC-有故障：作动器发生故障，且***仅在鲁棒H∞输出反 馈控制器下工作；
3)FTTC-有故障：作动器发生故障，且***在本发明提出的容 错追踪控制器下工作；
图3为比例积分观测器对故障的估计分析；图4-图9为悬架系 统的性能指标在不同模式下响应曲线；图10-图11为悬架***在不 同模式下产生的主动控制力曲线；图12为悬架***在不同模式下作 动器所需的最小功率值。
由图3可知，比例积分观测器对故障信号的估计较为准确，且响 应速度快，因此说明本发明提出的容错追踪控制器能够对***的故障 进行有效的补偿。通过分析图4-图9中的悬架***时域响应曲线可 知，在***无故障时，悬架***的各项性能指标在三种模式下均比较 稳定。当***引入故障信号后，相比其他两种模式，FTTC作用下的 悬架***在悬架动挠度和轮胎动载荷方面都表现出更加平缓的趋势， 因此开发出的容错追踪控制器能够以较低的幅度和较短的时间来降 低车身振动，进而大大提高悬架的寿命。由图10-图11可知，当车 辆***发生故障时，FTTC中的主动控制力的变化幅度符合悬架*** 预期所需控制力的大小。由此说明容错追踪控制器能够抑制作动器故 障给悬架***带来的不利影响，进而提高车辆的乘坐舒适性。分析图 12可知，在故障情况下，FTTC不仅能够取得与***无故障下相近的 效果，而且前后作动器功率需求也能保持在较低水平，进而表明所提 出的FTTC不仅能够提高车辆的乘坐舒适性，而且能够降低车辆的能 量损耗。

Claims (1)

1.基于比例积分观测器的非线性主动悬架容错追踪控制方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1，建立线性主动悬架模型
根据牛顿第二定律，1/2车辆主动悬架***动力学方程为：
式中，ms和Iy分别为车身质量和车身转动惯量；zc，分别表示车身的垂向位移和俯仰角；muf，mur为前后悬架车轮质量；zuf，zur分别为前后车轮的垂向位移；F1,F2为前、后悬架组件中的弹性力；Ftf,Ftr分别为前、后轮胎组件中的弹性力；其表达式分别为：
其中：cf，cr为前后悬架阻尼系数；kf，kr为前后悬架的刚度；zrf，zrr为前后轮的路面输入位移；ktf，ktr为前后轮胎刚度系数，uFf，uFr为前后悬架作动器产生的主动控制力，Δyf＝zsf-zuf为前悬架动行程，Δyr＝zsr-zur为后悬架动行程，且
考虑选取***状态变量为干扰输入w(t)＝[zrf,zrr]T，测量输出以及控制输出则主动悬架状态空间方程可描述为：
其中，A、B、B1、C、D、C1、D1、E1均为状态空间的系数矩阵；具体可写为：
D＝[0],
系数矩阵A和C1中的相应元素如下所示：
步骤2，基于T-S模糊模型建立非线性主动悬架模型
由于不同工况下乘客的数量和车身载荷在一定范围内变化，因此本文考虑车身质量ms、前悬架车轮质量muf和后悬架车轮质量mur存在不确定性，即ms∈[msmin,msmax]，muf∈[mufmin,mufmax],mur∈[murmin,murmax]，基于上述情况，结合T-S模糊模型建立悬架***的非线性模型，为此定义
其中，ξ1(t)＝1/ms,ξ2(t)＝1/muf,ξ3(t)＝1/mur，此外，M1(ξ1(t)),M2(ξ1(t)),N1(ξ2(t)),N2(ξ2(t)),O1(ξ3(t)),O2(ξ3(t))为隶属函数，且可描述为：
其中隶属函数M1(ξ1(t))和M2(ξ1(t))分别定义为Heavy和Light，隶属函数N1(ξ2(t))和N2(ξ2(t))分别定义为Heavy和Light，同时隶属函数O1(ξ3(t))和O2(ξ3(t))分别定义为Heavy和Light，且满足M1(ξ1(t))+M2(ξ1(t))＝1,N1(ξ2(t))+N2(ξ2(t))＝1,O1(ξ3(t))+O2(ξ3(t))＝1，
此时，考虑悬架***质量不确定性的悬架***(4)可用如下T-S模型来描述：
模型规则i:如果ξ1(t)为Mr，ξ2(t)为Nj，ξ3(t)为Ol，那么
其中，r＝1,2(j＝1,2；l＝1,2；i＝1,2,3,4,5,6,7,8)；将矩阵A、B、B1、C、D、C1、D1、E1中的ms、muf、mur分别替换为ms min(或ms max)、muf min(或muf max)、mur min(或mur max)即可得到矩阵Ai、Bi、B1i、Ci、Di、C1i、D1i、E1i；
由上述模型规则可得，考虑悬架***质量不确定性的车辆非线性主动悬架***可通过T-S模糊模型表示为：
其中：
h1(ξ(t))＝M1(ξ1(t))×N1(ξ2(t))×O1(ξ3(t)),
h2(ξ(t))＝M1(ξ1(t))×N2(ξ2(t))×O1(ξ3(t)),
h3(ξ(t))＝M2(ξ1(t))×N1(ξ2(t))×O1(ξ3(t)),
h4(ξ(t))＝M2(ξ1(t))×N2(ξ2(t))×O1(ξ3(t)),
h5(ξ(t))＝M2(ξ1(t))×N2(ξ2(t))×O2(ξ3(t)),
h6(ξ(t))＝M2(ξ1(t))×N1(ξ2(t))×O2(ξ3(t)),
h7(ξ(t))＝M1(ξ1(t))×N2(ξ2(t))×O2(ξ3(t)),
h8(ξ(t))＝M1(ξ1(t))×N1(ξ2(t))×O2(ξ3(t)).
其中hi(ξ(t))为模糊权重函数，且hi(ξ(t))≥0,满足
步骤3，设计正常模式下的鲁棒H∞输出反馈控制器
在悬架***无故障状态下时，主动悬架***采用鲁棒H∞输出反馈控制器：
u(t)＝K(s)y(t) (9)
且待设计的控制律u(t)满足如下状态空间表达形式
式中，xc(t)为H∞输出反馈控制器的状态向量，Ac、Bc、Cc、Dc是待设计的控制器参数矩阵，
将待设计的控制律(10)应用于无故障***(8)，可得1/2车辆主动悬架闭环控制***
其中，xcl(t)＝[x(t),xc(t)]T为***的状态向量，其它各系数矩阵分别为：
Cci＝[C1i+D1iDcCi D1iCc],Dci＝[E1i].
因此，将设计鲁棒H∞输出反馈控制器转化为求解参数矩阵Aci、Bci、Cci、Dci使得闭环***(11)保持渐近稳定，且满足H∞性能指标||Tzw||∞＜β，即干扰输入w(t)到控制输出z(t)传递函数的H∞范数||Tzw||∞小于给定上界β，根据有界实引理，满足这一设计要求的充要条件是存在一个对称正定矩阵Q，使得：
在Matlab中利用hinflmi求解器确定参数矩阵Ac、Bc、Cc、Dc，得形如式(10)的控制律u(t)，并将其代入矩阵Aci、Bci、Cci、Dci，可得基于鲁棒H∞输出反馈控制器的1/2车辆主动悬架闭环控制***；
步骤4，建立悬架故障模型
当作动器发生偏差故障，同时也将悬架***质量不确定性考虑在内时，故障悬架模型为：
其中，f(t)表示因作动器偏差故障导致作动器产生的控制力偏差，即故障信号，作动器的偏差故障是车辆悬架***中的最常见故障情况，因此作动器故障受到了广泛的关注，自然磨损、未知的外部严重干扰、参数变化、***老化和部分堵塞都是造成作动器偏差故障的原因；
步骤5，设计基于比例积分观测器的容错追踪控制器
在考虑作动器偏差故障时，基于比例积分观测器设计主动悬架***的容错追踪控制器为：
其中，代表容错追踪控制器的补偿力，K1i为待确定的状态反馈增益矩阵，和为故障及状态向量的估计值，
为了得到上述容错追踪控制律，建立如下的比例积分观测器：
其中，H1i,H2i是观测器的增益矩阵，在容错追踪控制策略中，通过获得故障***的信息，来实现对故障信号的检测和隔离，
由式(13)和式(15)可得故障***与观测器***的输出误差为：
式中
定义动态跟踪误差e(t)＝x(t)-xf(t)，则
其中
由式(13)和式(15)可得故障***与观测器***的状态向量误差为
其中
综合式(17)和式(18)，可得如下动态增广误差***
其中
如果存在H1i、H2i、K1j和正定矩阵X1>0、P2>0，且有γ＞0、P3＝I，使得下面的凸优化问题成立：
其中，Qij＝[BiK1j 0 0]T，W＝[X1 0 0]T，Γ＝[X1 I I]T，*表示矩阵中的对称转置项，
则有以下的设计指标成立：
1)闭环***(19)是渐进稳定的；
2)在零初始条件下，对假设从干扰输入v(t)到误差输出的闭环传递函数为那么闭环***(19)满足H∞性能指标即：
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