CN105843043B - 一种电液负载模拟装置自适应鲁棒力控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种电液负载模拟装置自适应鲁棒力控制方法，针对电液负载模拟装置的***特点，通过摩擦辨识分析该***的摩擦特性，建立了包含连续可微摩擦模型的***非线性数学模型，基于传统的自适应控制方法，通过设计非线性鲁棒控制律使得***在同时存在参数不确定性和不确定性非线性的情况下的参数估计不受影响且获得渐近跟踪的性能。本发明公开的电液负载模拟装置自适应鲁棒力控制方法可增强传统自适应控制对外负载干扰等不确定性非线性的鲁棒性，以获得更好的跟踪性能。

Description

一种电液负载模拟装置自适应鲁棒力控制方法

技术领域

本发明属于电液伺服控制领域，具体涉及一种电液负载模拟装置自适应鲁棒力控制方法。

背景技术

精确打击武器的性能是决定现代战争胜负的最重要因素，武器的姿态、轨迹和方向的控制是关键，这个过程是靠武器上的惯性器件或导引收索***感受目标位置，再由中央控制计算机计算控制指令，然后控制输出。所有的这些控制输出都要落实到最终的伺服执行机构(舵机)上。因此，执行机构的性能关系到航空、宇航、舰船、火炮等国防工业的全方位发展，同时在民用工业的应用也得到广泛的重视。它决定了现代精确制导武器整个大控制***的结构、布局，更是武器控制动态特性的关键因素。

电液负载模拟装置一方面具有一般电液伺服***所具有的非线性、不确定性等特性,另一方面又受到被加载对象运动的强干扰,使得***结构更为复杂,因此其***分析与控制器设计与一般电液伺服***相比更为困难。电液伺服控制***的发展可以说和控制理论的发展是相辅相成的,一方面,作为控制***的应用,电液伺服控制***的发展将控制理论的成果付诸于应用；另一方面,由于电液伺服***独有的复杂特性以及越来越高的性能指标要求,其控制***的发展也推动了控制理论的发展。

目前针对电液伺服***的先进控制策略，有反馈线性化、滑模等控制方法。反馈线性化控制方法不仅设计简单，而且可以保证***的高性能，但是其要求所建立的***数学模型必须非常准确，这在实际应用中难以得到保证；作为一种鲁棒控制方法，经典滑模控制可以有效地处理任何有界的建模不确定性，并获得渐近跟踪的稳态性能。但是经典滑模控制所设计的不连续的控制器容易引起滑模面的颤振问题，从而恶化***的跟踪性能。为此，许多研究对经典滑模控制进行了改进，如采用光滑连续的双曲正切函数替代不连续的标准符号函数。但是如此一来便丧失了渐近跟踪的稳态性能，只能获得有界的跟踪误差。总结来说：传统控制方式难以满足不确定非线性的跟踪精度要求；而近年来先进的控制策略设计均比较复杂，不易于工程实现。

发明内容

本发明的目的在于提供一种电液负载模拟装置自适应鲁棒力控制方法，解决了现有电液负载模拟装置中存在被忽略的模型不确定性、基于传统的滑模的控制方法所设计的控制器不连续等问题，基于传统的自适应控制方法，通过巧妙地设计非线性鲁棒控制律使得***在同时存在参数不确定性和不确定性非线性的情况下的参数估计不受影响且获得渐近跟踪的性能，增强了传统自适应控制对外负载干扰等不确定性非线性的鲁棒性，获得了更好的跟踪性能。

本发明为解决上述问题采取的技术方案是：一种电液负载模拟装置自适应鲁棒力控制方法，包括以下步骤：

步骤1、基于连续可微摩擦模型，建立电液负载模拟装置的数学模型；

步骤2、对于任意的力轨迹跟踪，提出三个合理假设，根据所述合理假设，设计电液负载模拟装置自适应鲁棒力控制器；

步骤3、自适应鲁棒力控制器的性能分析。

步骤1中，基于连续可微摩擦模型，建立电液负载模拟装置的数学模型，具体方法如下：

步骤1-1、建立基于双曲正切近似的连续可微摩擦模型

公式(1)中，a₁,a₂,a₃分别表示不同摩擦特性的幅值水平，c₁,c₂,c₃均为表征摩擦特性的形状系数，表征运动速度；tanh表示双曲正切函数。

步骤1-2、建立电液负载模拟装置的动力学方程：

公式(2)中，F为输出力矩，A为负载液压缸的排量，液压缸负载压力P_L＝P₁-P₂，P₁为液压缸进油腔的压力，P₂为液压缸出油腔的压力，y为舵机产生的位置输出，为不确定非线性项，为非线性摩擦，为未建模动态及外干扰。

因此公式(2)可写成：

令则有：

步骤1-3、建立液压缸进油腔和出油腔的压力动态方程：

公式(5)中，β_e为液压油的有效体积模量，进油腔的控制容积V₁＝V₀₁+Ay，V₀₁为进油腔的初始容积，出油腔的控制容积V₂＝V₀₂-Ay，V₀₂为出油腔的初始容积，C_t为液压缸的内泄露系数，Q₁为进油腔的流量，Q₂为回油腔的流量。

Q₁、Q₂与伺服阀阀芯位移x_v有如下关系：

公式(6)中，阀系数C_d为伺服阀节流孔流量系数，w₀为伺服阀节流孔面积梯度，P_s为电液负载模拟装置供油压力，P_r为电液负载模拟装置回油压力，ρ为液压油的密度，x_v为阀芯位移，s(x_v)为符号函数，且所述符号函数定义为：

忽略伺服阀阀芯的动态，假设作用于阀芯的控制输入u和阀芯位移x_v成比例关系，即满足x_v＝k_lu，其中k_l为电压-阀芯位移增益系数，u为输入电压。

因此，公式(6)写为

其中总的伺服阀增益系数g＝k_qk_l。

基于式(4)、(5)、(8)，电液负载模拟装置的输出力动态方程，即电液负载模拟装置的数学模型为：

(9)式中，电液负载模拟装置的模型不确定性R₁和R₂的定义如下：

由公式(10)可知R₁＞0,R₂＞0，R₁和R₂均为中间变量。

步骤2中对于任意的力轨迹跟踪，提出三个合理假设，根据所述合理假设，设计电液负载模拟装置自适应鲁棒力控制器，具体步骤如下：

步骤2-1、为便于电液负载模拟装置自适应鲁棒力控制器设计，对于任意的转矩轨迹跟踪，有如下三点合理假设：

假设1：实际的液压电液负载模拟装置工作在正常工况下，由于P_r和P_s的影响，P₁和P₂满足条件：0≤P_r＜P₁＜P_s，0≤P_r＜P₂＜P_s，即P₁和P₂都是有界的；

假设2：期望的转矩指令F_d(t)是一阶连续可微的，并且指令F_d(t)及其一阶导数都是有界的，运动干扰y,也都是有界的。

假设3：参数不确定性和不确定非线性满足下列条件：

公式(11)中，θ_min＝[θ_1min,…,θ_6min]^T，θ_max＝[θ_1max,…,θ_6max]^T，Ω_θ为参数θ的界，δ_d为一有界的干扰函数。

步骤2-2、为简化电液负载模拟装置动态方程，便于控制器的设计，定义未知常值参数矢量θ＝[θ₁,θ₂,θ₃,θ₄,θ₅,θ₆]^T，其中θ₁＝β_eg，θ₂＝β_e，θ₃＝β_eC_t，θ₄＝a₁，θ₅＝a₂，θ₆＝a₃，因此动态方程(9)写成：

公式(12)中非线性函数f₁,f₂,f₃的定义如下：

步骤2-3、设计电液负载模拟装置自适应鲁棒力控制器，步骤如下：

在进行控制器的设计之前先给出参数自适应所采用的不连续参数映射：令表示对***未知参数θ的估计，为参数估计误差，即为确保自适应控制律的稳定性，基于***的参数不确定性是有界的，即假设3，定义如下的参数自适应不连续映射

式(14)中i＝1,…,6，τ为参数自适应函数，并在后续的控制器设计中给出其具体的形式：给定如下参数自适应率：

式中Г>0为正定对角矩阵；对于任意的自适应函数τ，不连续映射(14)具有如下性质：

定义z＝F-F_d为***的跟踪误差，其时间的导数可写成：

根据式(18)，基于模型的控制器u可设计为：

u＝u_m+u_r

u_r＝(-kz+u_s)/f₁ (19)

式中u_m是通过式(15)给出的在线参数自适应律的自适应模型补偿项；k是正的反馈增益；u_r为鲁棒控制律，u_s是非线性鲁棒项用于克服模型不确定性对跟踪性能的影响。

定义如下的Lyapunov函数：

基于控制器(19)，函数V对时间的微分为：

式中回归器定义为：

对于鲁棒项u_s的设计，需满足如下的条件：

eu_s≤0 (23)

式中ξ代表给定的鲁棒精度，且为可任意小的正的设计参数。

令函数h满足如下条件：

式(24)中θ_M＝θ_max-θ_min，u_s可选取为：

式(25)中k_m为正的非线性增益，此时u_s满足条件(23)。

步骤3所述自适应鲁棒力控制器的性能分析，具体如下：

控制器性能：使用不连续映射自适应律(15)及自适应函数所提出的自适应鲁棒控制律(19)可保证如下性能：

A.闭环信号中所有信号都是有界的，且正定函数V满足如下不等式：

式(26)中λ＝2θ_1mink是指数收敛率。

B.如果在某一时刻t₀之后，***只存在参数不确定性，即d＝0，那么除了结论A之外，还可获得渐近跟踪的性能，即当t→∞时，e→0；

稳定性分析：选取如下的李雅普诺夫函数，运用李雅普诺夫稳定性理论进行稳定性分析：

并运用Barbalat引理可得***的全局渐近稳定的结果，因此调节参数k,ξ及Γ可使***的跟踪误差在时间趋于无穷的条件下趋于零。

本发明与现有技术相比，其显著优点在于：

(1)针对电液负载模拟装置的***特点，通过摩擦辨识分析该***的摩擦特性，建立了更加精确的新型连续可微摩擦模型，为提升该***的稳定性奠定基础。

(2)基于传统的自适应控制方法，通过设计非线性鲁棒控制律使得***在同时存在参数不确定性和不确定性非线性的情况下的参数估计不受影响且获得渐近跟踪的性能。

(3)本发明所设计的非线性自适应鲁棒控制器简单并且其控制输出光滑连续，更利于在工程实际中应用。仿真结果验证了其有效性。

附图说明

图1为本发明的一种电液负载模拟装置自适应鲁棒力控制方法的电液负载模拟装置原理图。

图2为本发明的一种电液负载模拟装置自适应鲁棒力控制方法的控制策略图。

图3为实施例中控制器u随时间变化的曲线图，控制器输入电压满足-10V～+10V的输入范围，符合实际应用。

图4是本发明所设计的电液负载模拟装置自适应鲁棒力控制器作用下***参数θ₁的估计值随时间变化的示例性曲线。

图5是本发明所设计的电液负载模拟装置自适应鲁棒力控制器作用下***参数θ₂的估计值随时间变化的示例性曲线。

图6是本发明所设计的电液负载模拟装置自适应鲁棒力控制器作用下***参数θ₃的估计值随时间变化的示例性曲线。

图7是本发明所设计的电液负载模拟装置自适应鲁棒力控制器作用下***参数θ₄的估计值随时间变化的示例性曲线。

图8是本发明所设计的电液负载模拟装置自适应鲁棒力控制器作用下***参数θ₅的估计值随时间变化的示例性曲线。

图9是本发明所设计的电液负载模拟装置自适应鲁棒力控制器作用下***参数θ₆的估计值随时间变化的示例性曲线。

图10是本发明所设计的电液负载模拟装置自适应鲁棒力控制器作用下***输出与期望输出随时间变化的曲线图。

图11是本发明所设计的电液负载模拟装置自适应鲁棒力控制器作用下***的跟踪误差随时间变化的曲线图。

具体实施方式:

下面结合附图对本发明作进一步详细描述。

结合图2，一种电液负载模拟装置自适应鲁棒力控制方法，其电液负载模拟装置结构原理如图1所示，包括以下步骤：

一种电液负载模拟装置自适应鲁棒力控制方法，包括以下步骤：

步骤1、基于连续可微摩擦模型，建立电液负载模拟装置的数学模型，具体方法如下：

步骤1-1、建立基于双曲正切近似的连续可微摩擦模型

公式(1)中，a₁,a₂,a₃分别表示不同摩擦特性的幅值水平，c₁,c₂,c₃均为表征摩擦特性的形状系数，表征运动速度；tanh表示双曲正切函数。

步骤1-2、建立电液负载模拟装置的动力学方程：

公式(2)中，F为输出力矩，A为负载液压缸的排量，液压缸负载压力P_L＝P₁-P₂，P₁为液压缸进油腔的压力，P₂为液压缸出油腔的压力，y为舵机产生的位置输出，为不确定非线性项，为非线性摩擦，为未建模动态及外干扰。

因此公式(2)可写成：

令则有：

步骤1-3、建立液压缸进油腔和出油腔的压力动态方程：

公式(5)中，β_e为液压油的有效体积模量，进油腔的控制容积V₁＝V₀₁+Ay，V₀₁为进油腔的初始容积，出油腔的控制容积V₂＝V₀₂-Ay，V₀₂为出油腔的初始容积，C_t为液压缸的内泄露系数，Q₁为进油腔的流量，Q₂为回油腔的流量。

Q₁、Q₂与伺服阀阀芯位移x_v有如下关系：

公式(6)中，阀系数C_d为伺服阀节流孔流量系数，w₀为伺服阀节流孔面积梯度，P_s为电液负载模拟装置供油压力，P_r为电液负载模拟装置回油压力，ρ为液压油的密度，x_v为阀芯位移，s(x_v)为符号函数，且所述符号函数定义为：

忽略伺服阀阀芯的动态，假设作用于阀芯的控制输入u和阀芯位移x_v成比例关系，即满足x_v＝k_lu，其中k_l为电压-阀芯位移增益系数，u为输入电压。

因此，公式(6)写为

其中总的伺服阀增益系数g＝k_qk_l。

基于式(4)、(5)、(8)，电液负载模拟装置的输出力动态方程，即电液负载模拟装置的数学模型为：

(9)式中，电液负载模拟装置的模型不确定性R₁和R₂的定义如下：

由公式(10)可知R₁＞0,R₂＞0，R₁和R₂均为中间变量。

步骤2、对于任意的力轨迹跟踪，提出三个合理假设，根据所述合理假设，设计电液负载模拟装置自适应鲁棒力控制器，具体步骤如下：

步骤2-1、为便于电液负载模拟装置自适应鲁棒力控制器设计，对于任意的转矩轨迹跟踪，有如下三点合理假设：

假设1：实际的液压电液负载模拟装置工作在正常工况下，由于P_r和P_s的影响，P₁和P₂满足条件：0≤P_r＜P₁＜P_s，0≤P_r＜P₂＜P_s，即P₁和P₂都是有界的；

假设2：期望的转矩指令F_d(t)是一阶连续可微的，并且指令F_d(t)及其一阶导数都是有界的，运动干扰y,也都是有界的。

假设3：参数不确定性和不确定非线性满足下列条件：

公式(11)中，θ_min＝[θ_1min,…,θ_6min]^T，θ_max＝[θ_1max,…,θ_6max]^T，Ω_θ为参数θ的界，δ_d为一有界的干扰函数。

步骤2-2、为简化电液负载模拟装置动态方程，便于控制器的设计，定义未知常值参数矢量θ＝[θ₁,θ₂,θ₃,θ₄,θ₅,θ₆]^T，其中θ₁＝β_eg，θ₂＝β_e，θ₃＝β_eC_t，θ₄＝a₁，θ₅＝a₂，θ₆＝a₃，因此动态方程(9)写成：

公式(12)中非线性函数f₁,f₂,f₃的定义如下：

步骤2-3、设计电液负载模拟装置自适应鲁棒力控制器，步骤如下：

在进行控制器的设计之前先给出参数自适应所采用的不连续参数映射：令表示对***未知参数θ的估计，为参数估计误差，即为确保自适应控制律的稳定性，基于***的参数不确定性是有界的，即假设3，定义如下的参数自适应不连续映射

式(14)中i＝1,…,6，τ为参数自适应函数，并在后续的控制器设计中给出其具体的形式：给定如下参数自适应率：

式中Г>0为正定对角矩阵；对于任意的自适应函数τ，不连续映射(14)具有如下性质：

定义z＝F-F_d为***的跟踪误差，其时间的导数可写成：

根据式(18)，基于模型的控制器u可设计为：

u＝u_m+u_r

u_r＝(-kz+u_s)/f₁ (19)

式中u_m是通过式(15)给出的在线参数自适应律的自适应模型补偿项；k是正的反馈增益，u_r为鲁棒控制律，u_s是非线性鲁棒项用于克服模型不确定性对跟踪性能的影响。

定义如下的Lyapunov函数：

基于控制器(19)，函数V对时间的微分为：

式中回归器定义为：

对于鲁棒项u_s的设计，需满足如下的条件：

eu_s≤0 (23)

式中ξ代表给定的鲁棒精度，且为可任意小的正的设计参数。

令函数h满足如下条件：

式(24)中θ_M＝θ_max-θ_min，u_s可选取为：

式(25)中k_m为正的非线性增益，此时u_s满足条件(23)。

步骤3、自适应鲁棒力控制器的性能分析，具体如下：

控制器性能：使用不连续映射自适应律(15)及自适应函数所提出的自适应鲁棒控制律(19)可保证如下性能：

A.闭环信号中所有信号都是有界的，且正定函数V满足如下不等式：

式(26)中λ＝2θ_1mink是指数收敛率。

B.如果在某一时刻t₀之后，***只存在参数不确定性，即d＝0，那么除了结论A之外，还可获得渐近跟踪的性能，即当t→∞时，e→0；

稳定性分析：选取如下的李雅普诺夫函数，运用李雅普诺夫稳定性理论进行稳定性分析：

由于未知参数θ是常值，因此有：

因此函数V_s对时间的导数为：

由式(21)和条件(23)可得：

结合τ的定义和式(17)中的性质P2，可得：

这意味着Vs≤Vs(0)。因此W∈L2且Vs∈L∞，由于所有信号都有界，根据式(18)易知W是有界的，故W一致连续。运用Barbalat引理可知，当t→∞时，W→0，此隐含着结论B。

实施例：

液压缸力控制负载模拟器参数为：

A＝2×10^-4m³/rad,β_e＝2×10⁸Pa,C_t＝9×10^-12m⁵/(N·s)，P_s＝21×10⁶Pa，P_r＝0Pa，V₀₁＝V₀₂＝1.7×10^-4m³，a₃＝80N·m·s/rad，J＝0.32kg·m²,a₁＝5×10^-4,a₂＝3.5×10^-4,c₁＝15,c₂＝1.5,c₃＝900

控制器参数选取为：反馈增益K＝k+k_m＝100，自适应增益Г＝diag{7.3×10^-5,1×10¹¹,3×10^-11,5×10^-4,2×10^-4，30}，仿真的采样时间为0.2ms。***时变外干扰选取为d＝200sin t，运动轨迹为***期望跟踪的力矩指令为曲线

控制律作用效果：

图3为实施例中控制器作用下***控制输入u随时间变化的曲线图，从图中可以看出，所获得的控制输入是低频连续的信号，更利于在实际应用中的执行。

图4～图9是本发明所设计的电液负载模拟装置自适应鲁棒力控制器作用下***参数估计值随时间变化的示例性曲线，从图中可以看出，控制器作用下***的部分参数估计能较好地收敛真值。

图10是本发明所设计的电液负载模拟装置自适应鲁棒力控制器作用下***输出与期望输出随时间变化的曲线图。

图11是本发明所设计的电液负载模拟装置自适应鲁棒力控制器作用下***的跟踪误差随时间变化的曲线图。

结合图10和图11，可以看出跟踪误差是有界收敛的，并且这个界相对于期望指令的振幅来说是很小的。由上图可知，本发明提出的算法在仿真环境下能够处理模型不确定性，相比于传统PID控制，本发明设计的控制器能够极大的提高存在参数不确定性及不确定性非线性***的控制精度。研究结果表明在不确定非线性和参数不确定性影响下，本文提出的方法能够满足性能指标。

Claims (1)

1.一种电液负载模拟装置自适应鲁棒力控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、基于连续可微摩擦模型，建立电液负载模拟装置的数学模型；具体方法如下：

步骤1-1、建立基于双曲正切近似的连续可微摩擦模型

公式(1)中，a₁,a₂,a₃分别表示不同摩擦特性的幅值水平，c₁,c₂,c₃均为表征摩擦特性的形状系数，表征运动速度；tanh表示双曲正切函数；

步骤1-2、建立电液负载模拟装置的动力学方程：

公式(2)中，F为输出力矩，A为负载液压缸的排量，液压缸负载压力P_L＝P₁-P₂，P₁为液压缸进油腔的压力，P₂为液压缸出油腔的压力，y为舵机产生的位置输出，为不确定非线性项，为非线性摩擦，为未建模动态及外干扰；

因此公式(2)可写成：

令则有：

步骤1-3、建立液压缸进油腔和出油腔的压力动态方程：

公式(5)中，β_e为液压油的有效体积模量，进油腔的控制容积V₁＝V₀₁+Ay，V₀₁为进油腔的初始容积，出油腔的控制容积V₂＝V₀₂-Ay，V₀₂为出油腔的初始容积，C_t为液压缸的内泄露系数，Q₁为进油腔的流量，Q₂为回油腔的流量；

Q₁、Q₂与伺服阀阀芯位移x_v有如下关系：

公式(6)中，阀系数C_d为伺服阀节流孔流量系数，w₀为伺服阀节流孔面积梯度，P_s为电液负载模拟装置供油压力，P_r为电液负载模拟装置回油压力，ρ为液压油的密度，x_v为阀芯位移，s(x_v)为符号函数，且所述符号函数定义为：

忽略伺服阀阀芯的动态，假设作用于阀芯的控制输入u和阀芯位移x_v成比例关系，即满足x_v＝k_lu，其中k_l为电压-阀芯位移增益系数，u为输入电压；

因此，公式(6)写为

其中总的伺服阀增益系数g＝k_qk_l；

基于式(4)、(5)、(8)，电液负载模拟装置的输出力动态方程，即电液负载模拟装置的数学模型为：

(9)式中，电液负载模拟装置的模型不确定性R₁和R₂的定义如下：

由公式(10)可知R₁＞0,R₂＞0，R₁和R₂均为中间变量；

步骤2、对于任意的力轨迹跟踪，提出三个合理假设，根据所述合理假设，设计电液负载模拟装置自适应鲁棒力控制器；具体步骤如下：

步骤2-1、为便于电液负载模拟装置自适应鲁棒力控制器设计，对于任意的转矩轨迹跟踪，有如下三点合理假设：

假设1：实际的液压电液负载模拟装置工作在正常工况下，由于P_r和P_s的影响，P₁和P₂满足条件：0≤P_r＜P₁＜P_s，0≤P_r＜P₂＜P_s，即P₁和P₂都是有界的；

假设2：期望的转矩指令F_d(t)是一阶连续可微的，并且指令F_d(t)及其一阶导数都是有界的，运动干扰也都是有界的；

假设3：参数不确定性和不确定非线性满足下列条件：

公式(11)中，θ_min＝[θ_1min,…,θ_6min]^T，θ_max＝[θ_1max,…,θ_6max]^T，Ω_θ为参数θ的界，δ_d为一有界的干扰函数；

步骤2-2、为简化电液负载模拟装置动态方程，便于控制器的设计，定义未知常值参数矢量θ＝[θ₁,θ₂,θ₃,θ₄,θ₅,θ₆]^T，其中θ₁＝β_eg，θ₂＝β_e，θ₃＝β_eC_t，θ₄＝a₁，θ₅＝a₂，θ₆＝a₃，因此动态方程(9)写成

公式(12)中非线性函数f₁,f₂,f₃的定义如下：

步骤2-3、设计电液负载模拟装置自适应鲁棒力控制器，步骤如下：

在进行控制器的设计之前先给出参数自适应所采用的不连续参数映射：

令表示对***未知参数θ的估计，为参数估计误差，即为确保自适应控制律的稳定性，基于***的参数不确定性是有界的，即假设3，定义如下的参数自适应不连续映射

式(14)中i＝1,…,6，τ为参数自适应函数，并在后续的控制器设计中给出其具体的形式：给定如下参数自适应率：

式中Г>0为正定对角矩阵；对于任意的自适应函数τ，不连续映射(14)具有如下性质：

定义z＝F-F_d为***的跟踪误差，其时间的导数可写成：

根据式(18)，基于模型的控制器u可设计为：

u＝u_m+u_r

u_r＝(-kz+u_s)f/₁ (19)

式中u_m是通过式(15)给出的在线参数自适应律的自适应模型补偿项；k是正的反馈增益，u_r为鲁棒控制律，u_s是非线性鲁棒项用于克服模型不确定性对跟踪性能的影响；

定义如下的Lyapunov函数：

基于控制器(19)，函数V对时间的微分为：

式中回归器定义为：

对于鲁棒项u_s的设计，需满足如下的条件：

eu_s≤0 (23)

式中ξ代表给定的鲁棒精度，且为可任意小的正的设计参数；

令函数h满足如下条件：

式(24)中θ_M＝θ_max-θ_min，u_s可选取为：

式(25)中k_m为正的非线性增益，此时u_s满足条件(23)；

步骤3、自适应鲁棒力控制器的性能分析，具体如下：

控制器性能：使用不连续映射自适应律(15)及自适应函数所提出的自适应鲁棒控制律(19)可保证如下性能：

A.闭环信号中所有信号都是有界的，且正定函数V(t)满足如下不等式：

式(26)中λ＝2θ_1mink是指数收敛率；

B.如果在某一时刻t₀之后，***只存在参数不确定性，即d＝0，那么除了结论A之外，还可获得渐近跟踪的性能，即当t→∞时，e→0；

稳定性分析：选取如下的李雅普诺夫函数，运用李雅普诺夫稳定性理论进行稳定性分析：

并运用Barbalat引理可得***的全局渐近稳定的结果，因此调节参数k,ξ及Γ可使***的跟踪误差在时间趋于无穷的条件下趋于零。