CN105759616A - 考虑死区特性的伺服***有限时间控制方法 - Google Patents

Abstract

一种考虑死区特性的伺服***有限时间控制方法，包括：建立伺服***模型，初始化***状态以及控制器参数；对死区环节进行近似补偿；设计非线性扩张状态观测器；运用极点配置法确定观测器参数；设计全阶滑模控制器。设计扩张状态观测器，用于估计***状态以及包括***摩擦和外部扰动的不确定项，采用极点配置法确定观测器增益参数；设计全阶滑模控制器，保证***跟踪误差快速稳定并收敛至零点，并减弱抖振问题，实现伺服***的快速稳定控制。本发明解决***摩擦等外部扰动状态不可测的问题，补偿了***存在的非线性死区环节的影响，改善了普通滑模方法存在的抖振问题和收敛时间长的问题，增强了***的抗干扰性，实现了***快速稳定地跟踪期望信号。

Description

考虑死区特性的伺服***有限时间控制方法

技术领域

本发明涉及一种考虑死区特性的伺服***有限时间控制方法，适用于对一些带有非线性死区环节且要求快速精确跟踪期望信号的伺服***的控制。

背景技术

伺服***(ServoSystem)是以电动机作为动力驱动元件的伺服***，广泛应用于航空航天、机器人、火力控制等各种领域。但是，绝大多数伺服***中存在摩擦、死区等非线性环节，不仅会影响***的跟踪精度和动态特性，严重时甚至会导致***的不稳定，从而影响***的正常工作。其中，死区特性是由于电机在低速状态下由于摩擦等因素导致停转或几乎不转，这使得执行器输入等于0，从而使控制非线性化，这会严重影响***的动态特性，导致***偏离期望信号。因此，如何有效地近似补偿非线性死区环节，使执行器输入线性化，从而提高控制的效果，已成为伺服***控制中亟待解决的关键问题之一。

发明内容

为了克服现有技术的***部分状态及扰动不可测、普通滑模控制方法收敛时间长且容易产生抖振问题的不足，近似补偿***非线性死区环节和摩擦等外部扰动的影响，本发明提出一种基于扩张状态观测器的伺服***有限时间控制方法，减弱死区和摩擦对***的影响，缩短控制器的收敛时间，并减弱抖振问题。采用扩张状态观测器(ExtendedStateObserver,ESO)估计***摩擦及外部扰动等不可测状态，并补偿死区环节，同时，设计全阶滑模控制器得出控制量，实现了***快速稳定地跟踪期望信号。

为了解决上述技术问题提出的技术方案如下：

一种考虑死区特性的伺服***有限时间控制方法，包括以下步骤：

步骤1，建立如式(1)所示的伺服***模型，初始化***状态以及控制参数；

其中，θ_m，为状态变量，分别表示电机输出轴位置和转速；J和D是折算到电机轴上的等效转动惯量和等效阻尼系数；K_t是电机扭矩常数；v(u)是具有死区特性的控制量，b_ir,b_il分别为死区特性的上下边界，u为控制器的输出量；T是折算到电机轴上的负载摩擦扭矩以及摩擦的扰动部分；

步骤2，对死区特性进行近似处理；

现扩展对g_ir(u),g_il(u)的定义如下：

$\left\{\begin{array}{cc}{g}_{ir}\left(u\right)=g_{ir}^{\′}\left(b_{ir}\right)(u-b_{ir})& u\∈(b_{il},b_{ir}\]\\ g_{il}\left(u\right)=g_{il}^{\′}\left(b_{il}\right)(u-b_{il})& u\∈\[b_{il},b_{ir})\end{array}\right.---\left(2\right)$

根据微分中值定理，存在ξ_il∈(-∞,b_il),ξ_ir∈(b_ir,+∞)使下式成立：

$\left\{\begin{array}{cc}{g}_{ir}\left(u\right)=g_{ir}^{\′}\left({\mathrm{\ξ}}_{ir}\right)(u-b_{ir})& u\∈\[b_{ir},+\mathrm{\∞})\\ g_{il}\left(u\right)=g_{il}^{\′}\left({\mathrm{\ξ}}_{il}\right)(u-b_{il})& u\∈(-\mathrm{\∞},b_{il}\]\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中，ξ_il＝ξ_lu+(1-ξ_l)b_il,0＜ξ_l＜1，ξ_ir＝ξ_ru+(1-ξ_r)b_ir,0＜ξ_r＜1，那么，死区特性v(u)改写为

其中的表达式如下

d(u)的表达式为：

$d\left(u\right)=\left\{\begin{array}{cc}-g_{ir}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_{ir}\right)b_{ir},& u\&GreaterEqual;b_{ir}\\ -\&lsqb;g_{il}^{\&prime;}\left(b_{il}\right)+g_{ir}^{\&prime;}\left(b_{ir}\right)\&rsqb;u& b_{il}<u<b_{ir}\\ -g_{il}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_{il}\right)b_{il},& u\&le;b_{il}\end{array}\right.---\left(6\right)$

则式(1)改写为

步骤3，设计非线性扩张状态观测器，过程如下：

3.1，令x₁＝θ_m，则式(7)改写为

其中，x₁，x₂为***状态，u为控制器的输出量，则式(8)改写为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=a\left(x\right)+bu\end{array}\right.---\left(9\right)$

其中，x＝[x₁,x₂]，

3.2，令a(x)＝a₀+Δa，b＝b₀+Δb，d＝Δa+Δbu，其中b₀和a₀分别为b和a(x)的最优估计值，根据***结构给定；基于扩张观测器的设计思想，定义扩张状态x₃＝d，且d≤l_d，其中l_d＞0，则式(9)改写为以下等效形式：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=x_3+a_0+b_{0}u\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=h\end{array}\right.---\left(10\right)$

其中，且|h|≤k_d，k_d为一个常数；

3.3，令z_i，i＝1,2,3，分别为式(10)中状态变量x_i的观测值，定义跟踪误差e_ci＝z_i ^*-x_i，其中z_i ^*为期望信号，观测误差为e_oi＝z_i-x_i，则设计非线性扩张状态观测器表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1=z_2-{\mathrm{\&beta;}}_{l}g\left(e_{o1}\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2=z_3-{\mathrm{\&beta;}}_{2}g\left(e_{o1}\right)+a_0+b_{0}u\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_3=-{\mathrm{\&beta;}}_{3}g\left(e_{o1}\right)\end{array}\right.---\left(11\right)$

其中，β₁,β₂,β₃为观测器增益参数，需用极点配置法确定，g(e_o1)为

j＝1,2,3...,n+1；其中，α_j＝[1,0.5,0.25]，δ＝1°；

步骤4，运用极点配置法确定观测器增益参数β₁，β₂，β₃的取值；

令δx₁＝e_o1＝z₁-x₁，δx₂＝z₂-x₂，δx₃＝z₃-d，则式(11)减去式(9)得

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1={\mathrm{\&delta;x}}_2-{\mathrm{\&beta;}}_{l}g\left({\mathrm{\&delta;x}}_1\right)\\ \mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2={\mathrm{\&delta;x}}_3-{\mathrm{\&beta;}}_{2}g\left({\mathrm{\&delta;x}}_1\right)\\ \mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=-{\mathrm{\&beta;}}_{3}g\left({\mathrm{\&delta;x}}_1\right)-h\end{array}\right.---\left(12\right)$

设h有界，且g(e_o1)是光滑的，g(0)＝0，g′(e_o1)≠0，根据泰勒公式，式(12)写为

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1={\mathrm{\&delta;x}}_2-{\mathrm{\&beta;}}_l{g}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&delta;x}}_1\right){\mathrm{\&delta;x}}_1\\ \mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2={\mathrm{\&delta;x}}_3-{\mathrm{\&beta;}}_2{g}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&delta;x}}_1\right){\mathrm{\&delta;x}}_1\\ \mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=-{\mathrm{\&beta;}}_3{g}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&delta;x}}_1\right){\mathrm{\&delta;x}}_1-h\end{array}\right.---\left(13\right)$

令则式(13)写为以下状态空间方程形式

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1\\ \mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2\\ \mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-l_1& 1& 0\\ -l_2& 0& 1\\ -l_3& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&delta;}{x}_1\\ {\mathrm{\&delta;x}}_2\\ {\mathrm{\&delta;x}}_3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\end{array}\right]h---\left(14\right)$

设计补偿矩阵

$A=\left[\begin{array}{ccc}-l_1& 1& 0\\ -l_2& 0& 1\\ -l_3& 0& 0\end{array}\right],E=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\end{array}\right],\mathrm{\&delta;}X=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&delta;}{x}_1\\ {\mathrm{\&delta;x}}_2\\ {\mathrm{\&delta;x}}_3\end{array}\right],$

则式(14)写为

$\mathrm{\&delta;}\stackrel{\&CenterDot;}{X}=A\mathrm{\&delta;}X+Eh---\left(15\right)$

至此，参数β_i的确定转化为l_i的确定，使式(8)在扰动h的作用下渐近稳定的必要条件是补偿矩阵A的特征值全部落在复平面的左半平面上，即式(8)的极点充分的负，由此，根据极点配置法，选定期望的极点p_i(i＝1,2,3)，使参数l_i满足

$|sI-A|=\underset{i=1}{\overset{3}{\&Pi;}}(s-p_i)---\left(16\right)$

I为单位矩阵，令左右两边关于s的多项式的各项系数相等，则分别求出参数l₁，l₂，l₃的值，从而得到扩张状态观测器的表达式为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1=z_2-\frac{l_1}{g^{\&prime;}\left(e_{o1}\right)}g\left(e_{o1}\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2=z_3-\frac{l_2}{g^{\&prime;}\left(e_{o1}\right)}g\left(e_{o1}\right)+a_0\left(x\right)+b_{0}u\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_3=-\frac{l_3}{g^{\&prime;}\left(e_{o1}\right)}g\left(e_{o1}\right)\end{array}\right.---\left(17\right)$

步骤5，基于全阶终端滑模的方法设计终端滑模控制器u，过程如下：

5.1，设计滑模面如下：

$s={\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_{c2}+{\mathrm{\&lambda;}}_{2}sign\left(e_{c2}\right)|e_{c2}{|}^{c_2}+{\mathrm{\&lambda;}}_{1}sign\left(e_{c1}\right)|e_{c1}{|}^{c_1}---\left(18\right)$

其中，c₁,c₂和λ₁,λ₂为常数，λ₁,λ₂满足多项式p²+λ₂p+λ₁，使多项式的极点都在复平面的左半边，c∈(1-ε,1),0＜ε＜1；

5.2，终端滑模控制器设计如下：

$\left\{\begin{array}{c}u=b^{-1}(u_{eq}+u_n)\\ u_{eq}=-a_0-{\mathrm{\&lambda;}}_{2}sign\left(e_{c2}\right)|e_{c2}{|}^{c_2}-{\mathrm{\&lambda;}}_{1}sign\left(e_{c1}\right)|e_{c1}{|}^{c_1}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_n+{\mathrm{Tu}}_n=V\\ V=-(k_d+k_T+\mathrm{\&eta;})sign\left(s\right)\end{array}\right.---\left(19\right)$

其中，T≥0，k_T≥Tl_d，η＞0。

本发明的技术构思为：扩张状态观测器(TheExtendedStateObserver)是一种新型的非线性状态观测器，通过把***中的内外扰动扩张成新的一阶状态，再利用特定的非线性误差反馈，然后选择适当的观测器参数，便可以得到***所有状态的观测器，其中也包括***模型的不确定性和未知扰动的观测值。因此，它不仅可以使控制对象的状态量重现，而且可以估计出控制对象模型的不确定因素和干扰的实时值这一“扩张状态”。这非常适合于***摩擦及扰动难以估计的伺服***。但目前为止，还没有一种有效的方法来确定扩张状态观测器的参数。

极点配置法(PoleAssignment)是通过比例环节的反馈把线性定常***的极点移到预定位置的一种综合原理，其实质是用比例反馈去改变原***的***模式，以满足设计的要求。由于扩张状态观测器的观测误差是可观测，可估计的，可把观测误差看成一个线性***，那么可以通过极点配置法来使补偿矩阵的特征根全部落在复平面的左半平面，从而使整个***渐近稳定。

滑模变结构控制方法具有完全自适应性和鲁棒性，一旦进入滑模状态，***状态的转移就不再受***参数的变化和外来扰动的影响，但是一般的滑模控制，在收敛时间上并没有太大的优势，且普遍存在抖振现象。全阶滑模可以保证***在有限时间内收敛到期望点，同时又不影响***的鲁棒性。在这个基础上，如何在兼顾收敛时间的同时又减弱***抖振问题，是本发明设计滑模控制器的关键所在。

伺服***中由于存在摩擦力和外部干扰，再加上非线性死区环节的影响，导致***动态性能和稳态性能不高。针对部分状态不可测(如摩擦)、存在外部扰动和死区特性的伺服***，结合扩张状态观测器和全阶滑模控制方法，设计了一种基于扩张状态观测器的伺服***全阶滑模控制方法，尽可能地消除***摩擦及死区环节对***的影响。通过建立新的扩张状态，设计扩张状态观测器估计***摩擦等外部干扰及死区环节，并采用极点配置法确定扩张状态观测器的参数，同时设计一种全阶滑模控制器使***在有限时间内收敛至期望值，实现伺服***的快速稳定控制。

本发明的有益效果为：本发明结合扩张状态观测器和全阶滑模控制方法，设计了基于扩张状态观测器的伺服***全阶滑模控制器，同时对死区特性进行平滑处理并用观测器补偿，从而实现了伺服***快速稳定的位置跟踪控制；减弱死区和摩擦对***的影响，缩短控制器的收敛时间，并减弱抖振问题；在仿真实验中，采用对比控制的方法来凸显本发明方法的优越性。本发明分别采用以下三种方法进行对比，即：

方法一：基于扩张状态观测器的具有死区环节补偿的伺服***普通滑模控制；采用s＝e_c2+λe_c1的滑模面和的滑模控制器，其中λ＝10,k＝50。

方法二：基于扩张状态观测器的具有死区环节的伺服***全阶滑模控制；采用式(18)的滑模面和式(19)的全阶滑模控制器。

方法三：基于扩张状态观测器的具有死区环节补偿的伺服***全阶滑模控制；采用式(18)的滑模面和式(19)的全阶滑模控制器。

附图说明：

图1(a)为上述三种方法的***状态x₁响应曲线；

图1(b)为上述三种方法的***状态x₂响应曲线；

图2(a)为上述三种方法的***跟踪误差e_c1曲线；

图2(b)为上述三种方法的***跟踪误差e_c2曲线；

图3(a)为上述三种方法的***观测误差e_o1曲线；

图3(b)为上述三种方法的***观测误差e_o2曲线；

图4为上述三种方法的***控制信号输出曲线；

图5为本发明的算法的基本流程。

具体实施方式：

下面结合附图对本发明做进一步说明。

参照图1-图5，一种考虑死区特性的伺服***有限时间控制方法，包括以下步骤：

步骤1，建立如式(1)所示的伺服***模型，初始化***状态以及控制参数；

其中，θ_m，为状态变量，分别表示电机输出轴位置和转速；J和D是折算到电机轴上的等效转动惯量和等效阻尼系数；K_t是电机扭矩常数；v(u)是具有死区特性的控制量，b_ir,b_il分别为死区特性的上下边界，u为控制器的输出量；T是折算到电机轴上的负载摩擦扭矩以及摩擦的扰动部分；

步骤2，对死区特性进行近似处理；

现扩展对g_ir(u),g_il(u)的定义如下：

$\left\{\begin{array}{cc}{g}_{ir}\left(u\right)=g_{ir}^{\&prime;}\left(b_{ir}\right)(u-b_{ir})& u\&Element;(b_{il},b_{ir}\&rsqb;\\ g_{il}\left(u\right)=g_{il}^{\&prime;}\left(b_{il}\right)(u-b_{il})& u\&Element;\&lsqb;b_{il},b_{ir})\end{array}\right.---\left(2\right)$

根据微分中值定理，存在ξ_il∈(-∞,b_il),ξ_ir∈(b_ir,+∞)使下式成立：

$\left\{\begin{array}{cc}{g}_{ir}\left(u\right)=g_{ir}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_{ir}\right)(u-b_{ir})& u\&Element;\&lsqb;b_{ir},+\mathrm{\&infin;})\\ g_{il}\left(u\right)=g_{il}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_{il}\right)(u-b_{il})& u\&Element;(-\mathrm{\&infin;},b_{il}\&rsqb;\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中，ξ_il＝ξ_lu+(1-ξ_l)b_il,0＜ξ_l＜1，ξ_ir＝ξ_ru+(1-ξ_r)b_ir,0＜ξ_r＜1，那么，死区特性v(u)改写为

其中的表达式如下

d(u)的表达式为：

$d\left(u\right)=\left\{\begin{array}{cc}-g_{ir}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_{ir}\right)b_{ir},& u\&GreaterEqual;b_{ir}\\ -\&lsqb;g_{il}^{\&prime;}\left(b_{il}\right)+g_{ir}^{\&prime;}\left(b_{ir}\right)\&rsqb;u& b_{il}<u<b_{ir}\\ -g_{il}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_{il}\right)b_{il},& u\&le;b_{il}\end{array}\right.---\left(6\right)$

则式(1)改写为

步骤3，设计非线性扩张状态观测器，过程如下：

3.1，令x₁＝θ_m，则式(7)改写为

其中，x₁，x₂为***状态，u为控制器的输出量，则式(8)改写为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=a\left(x\right)+bu\end{array}\right.---\left(9\right)$

其中，x＝[x₁,x₂]，

3.2，令a(x)＝a₀+Δa，b＝b₀+Δb，d＝Δa+Δbu，其中b₀和a₀分别为b和a(x)的最优估计值，根据***结构给定；基于扩张观测器的设计思想，定义扩张状态x₃＝d，且d≤l_d，其中l_d＞0，则式(9)改写为以下等效形式：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=x_3+a_0+b_{0}u\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=h\end{array}\right.---\left(10\right)$

其中，且|h|≤kd，kd为一个常数；

3.3，令z_i，i＝1,2,3，分别为式(10)中状态变量x_i的观测值，定义跟踪误差e_ci＝z_i ^*-x_i，其中z_i ^*为期望信号，观测误差为e_oi＝z_i-x_i，则设计非线性扩张状态观测器表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1=z_2-{\mathrm{\&beta;}}_{l}g\left(e_{o1}\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2=z_3-{\mathrm{\&beta;}}_{2}g\left(e_{o1}\right)+a_0+b_{0}u\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_3=-{\mathrm{\&beta;}}_{3}g\left(e_{o1}\right)\end{array}\right.---\left(11\right)$

其中，β₁,β₂,β₃为观测器增益参数，需用极点配置法确定，g(e_o1)为

j＝1,2,3...,n+1；其中，α_j＝[1,0.5,0.25]，δ＝1°；

步骤4，运用极点配置法确定观测器增益参数β₁，β₂，β₃的取值；

令δx₁＝e_o1＝z₁-x₁，δx₂＝z₂-x₂，δx₃＝z₃-d，则式(11)减去式(9)得

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1={\mathrm{\&delta;x}}_2-{\mathrm{\&beta;}}_{l}g\left({\mathrm{\&delta;x}}_1\right)\\ \mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2={\mathrm{\&delta;x}}_3-{\mathrm{\&beta;}}_{2}g\left({\mathrm{\&delta;x}}_1\right)\\ \mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=-{\mathrm{\&beta;}}_{3}g\left({\mathrm{\&delta;x}}_1\right)-h\end{array}\right.---\left(12\right)$

设h有界，且g(e_o1)是光滑的，g(0)＝0，g′(e_o1)≠0，根据泰勒公式，式(12)写为

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1={\mathrm{\&delta;x}}_2-{\mathrm{\&beta;}}_l{g}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&delta;x}}_1\right){\mathrm{\&delta;x}}_1\\ \mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2={\mathrm{\&delta;x}}_3-{\mathrm{\&beta;}}_2{g}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&delta;x}}_1\right){\mathrm{\&delta;x}}_1\\ \mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=-{\mathrm{\&beta;}}_3{g}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&delta;x}}_1\right){\mathrm{\&delta;x}}_1-h\end{array}\right.---\left(13\right)$

令则式(13)写为以下状态空间方程形式

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1\\ \mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2\\ \mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-l_1& 1& 0\\ -l_2& 0& 1\\ -l_3& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&delta;}{x}_1\\ {\mathrm{\&delta;x}}_2\\ {\mathrm{\&delta;x}}_3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\end{array}\right]h---\left(14\right)$

设计补偿矩阵

$A=\left[\begin{array}{ccc}-l_1& 1& 0\\ -l_2& 0& 1\\ -l_3& 0& 0\end{array}\right],E=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\end{array}\right],\mathrm{\&delta;}X=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&delta;}{x}_1\\ {\mathrm{\&delta;x}}_2\\ {\mathrm{\&delta;x}}_3\end{array}\right],$

则式(14)写为

$\mathrm{\&delta;}\stackrel{\&CenterDot;}{X}=A\mathrm{\&delta;}X+Eh---\left(15\right)$

至此，参数β_i的确定转化为l_i的确定，使式(8)在扰动h的作用下渐近稳定的必要条件是补偿矩阵A的特征值全部落在复平面的左半平面上，即式(8)的极点充分的负，由此，根据极点配置法，选定期望的极点p_i(i＝1,2,3)，使参数l_i满足

$|sI-A|=\underset{i=1}{\overset{3}{\&Pi;}}(s-p_i)---\left(16\right)$

I为单位矩阵，令左右两边关于s的多项式的各项系数相等，则分别求出参数l₁，l₂，l₃的值，从而得到扩张状态观测器的表达式为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1=z_2-\frac{l_1}{g^{\&prime;}\left(e_{o1}\right)}g\left(e_{o1}\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2=z_3-\frac{l_2}{g^{\&prime;}\left(e_{o1}\right)}g\left(e_{o1}\right)+a_0\left(x\right)+b_{0}u\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_3=-\frac{l_3}{g^{\&prime;}\left(e_{o1}\right)}g\left(e_{o1}\right)\end{array}\right.---\left(17\right)$

步骤5，基于全阶终端滑模的方法设计终端滑模控制器u，过程如下：

5.1，设计滑模面如下：

$s={\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_{c2}+{\mathrm{\&lambda;}}_{2}sign\left(e_{c2}\right)|e_{c2}{|}^{c_2}+{\mathrm{\&lambda;}}_{1}sign\left(e_{c1}\right)|e_{c1}{|}^{c_1}---\left(18\right)$

其中，c₁,c₂和λ₁,λ₂为常数，λ₁,λ₂满足多项式p²+λ₂p+λ₁，使多项式的极点都在复平面的左半边，c∈(1-ε,1),0＜ε＜1；

5.2，终端滑模控制器设计如下：

$\left\{\begin{array}{c}u=b^{-1}(u_{eq}+u_n)\\ u_{eq}=-a_0-{\mathrm{\&lambda;}}_{2}sign\left(e_{c2}\right)|e_{c2}{|}^{c_2}-{\mathrm{\&lambda;}}_{1}sign\left(e_{c1}\right)|e_{c1}{|}^{c_1}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_n+{\mathrm{Tu}}_n=V\\ V=-(k_d+k_T+\mathrm{\&eta;})sign\left(s\right)\end{array}\right.---\left(19\right)$

其中，T≥0，k_T≥Tl_d，η＞0。

为验证所提方法的有效性和优越性，本发明通过对比控制方法进行仿真实验，设置仿真实验中的初始条件与部分参数，即：***方程中J＝0.5，K_t＝1，D＝0.3。由极点配置法计算得到的扩张状态观测器中的各增益参数同为l₁＝60，l₂＝1200，l₃＝8000，b₀＝10,a₀＝55。方法二和方法三的各参数都相同：λ₁＝22,λ₂＝160，T＝0.01,k_d+k_T+η＝180。死区特性的表达式为：

$v\left(u\right)=\left\{\begin{array}{cc}(1-0.3\sin u)(u-0.5)& 0\&GreaterEqual;0.5\\ 0& -0.25<u<0.5\\ (0.8-0.2\cos u)(u+0.25)& u\&le;-0.25\end{array}\right.---\left(20\right)$

从图1(a)可以看出，方法三在差不多0.5s后基本能跟踪期望信号，而方法一则在1s之后才勉强跟踪上期望信号，从跟踪性能上来说体现了全阶滑模控制方法在收敛时间短的特点。方法二由于未对死区特性进行补偿，导致***半个周期后才跟踪上期望信号，跟踪误差相比方法一和方法三较大，这体现了本发明中近似补偿死区方法的有效性。

从图1(b)-图4可以看出，方法一的***状态和控制量一直处在较大的抖振幅度中，而方法二和方法三的抖振问题明显较小，这体现了全阶滑模控制方法在减弱抖振现象上的优越性。

从整体来看，基于扩张状态观测器的伺服***全阶滑模控制方法可以大大减弱***抖振问题，缩短收敛时间，在死区特性的影响下对其进行近似补偿，可以减少***的跟踪误差，使***更快更稳定地跟踪期望信号。

以上阐述了本发明相比其他方法的一个对比实例，从对比结果来看，本发明的方法能有效估计补偿***存在的非线性死区环节、摩擦等外部干扰，大大减弱滑模控制存在的抖振问题，增强了***的鲁棒性和抗干扰性，增强了收敛性能，使***能快速稳定地跟踪期望信号。显然本发明不只是限于上述实例，在本发明的基础上对其他不同的***也可以进行精确地控制。

Claims (1)

1.一种考虑死区特性的伺服***有限时间控制方法，其特征在于：所述控制方法包括以下步骤：

步骤1，建立如式(1)所示的伺服***模型，初始化***状态以及控制参数；

其中，θ_m，为状态变量，分别表示电机输出轴位置和转速；J和D是折算到电机轴上的等效转动惯量和等效阻尼系数；K_t是电机扭矩常数；v(u)是具有死区特性的控制量，b_ir,b_il分别为死区特性的上下边界，u为控制器的输出量；T是折算到电机轴上的负载摩擦扭矩以及摩擦的扰动部分；

步骤2，对死区特性进行近似处理；

现扩展对g_ir(u),g_il(u)的定义如下：

$\left\{\begin{array}{cc}{g}_{ir}\left(u\right)=g_{ir}^{\&prime;}\left(b_{ir}\right)\left(u-b_{ir}\right)& u\&Element;(b_{il},b_{ir}\&rsqb;\\ g_{il}\left(u\right)=g_{il}^{\&prime;}\left(b_{il}\right)\left(u-b_{il}\right)& u\&Element;\&lsqb;b_{il},b_{ir})\end{array}\right.---\left(2\right)$

根据微分中值定理，存在ξ_il∈(-∞,b_il),ξ_ir∈(b_ir,+∞)使下式成立：

$\left\{\begin{array}{cc}{g}_{ir}\left(u\right)=g_{ir}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_{ir}\right)\left(u-b_{ir}\right)& u\&Element;\&lsqb;b_{ir},+\mathrm{\&infin;})\\ g_{il}\left(u\right)=g_{il}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_{il}\right)\left(u-b_{il}\right)& u\&Element;(-\mathrm{\&infin;},b_{il}\&rsqb;\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中，ξ_il＝ξ_lu+(1-ξ_l)b_il,0＜ξ_l＜1，ξ_ir＝ξ_ru+(1-ξ_r)b_ir,0＜ξ_r＜1，那么，死区特性v(u)改写为

其中的表达式如下

d(u)的表达式为：

$d\left(u\right)=\left\{\begin{array}{cc}-g_{ir}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_{ir}\right)b_{ir},& u\&GreaterEqual;b_{ir}\\ -\&lsqb;g_{il}^{\&prime;}\left(b_{il}\right)+g_{ir}^{\&prime;}\left(b_{ir}\right)\&rsqb;u& b_{il}<u<b_{ir}\\ -g_{il}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_{il}\right)b_{il},& u\&le;b_{il}\end{array}\right.---\left(6\right)$

则式(1)改写为

步骤3，设计非线性扩张状态观测器，过程如下：

3.1，令x₁＝θ_m，则式(7)改写为

其中，x₁，x₂为***状态，u为控制器的输出量，则式(8)改写为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=a\left(x\right)+bu\end{array}\right.---\left(9\right)$

其中，

3.2，令a(x)＝a₀+Δa，b＝b₀+Δb，d＝Δa+Δbu，其中b₀和a₀分别为b和a(x)的最优估计值，根据***结构给定；基于扩张观测器的设计思想，定义扩张状态x₃＝d，且d≤l_d，其中l_d＞0，则式(9)改写为以下等效形式：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=x_3+a_0+b_{0}u\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=h\end{array}\right.---\left(10\right)$

其中，且|h|≤k_d，k_d为一个常数；

3.3，令z_i，i＝1,2,3，分别为式(10)中状态变量x_i的观测值，定义跟踪误差e_ci＝z_i ^*-x_i，其中z_i ^*为期望信号，观测误差为e_oi＝z_i-x_i，则设计非线性扩张状态观测器表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1=z_2-{\mathrm{\&beta;}}_{1}g\left(e_{o1}\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2=z_3-{\mathrm{\&beta;}}_{2}g\left(e_{o1}\right)+a_0+b_{0}u\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_3=-{\mathrm{\&beta;}}_{3}g\left(e_{o1}\right)\end{array}\right.---\left(11\right)$

其中，β₁,β₂,β₃为观测器增益参数，需用极点配置法确定，g(e_o1)为

其中，α_j＝[1,0.5,0.25]，δ＝1°；

步骤4，运用极点配置法确定观测器增益参数β₁，β₂，β₃的取值；

令δx₁＝e_o1＝z₁-x₁，δx₂＝z₂-x₂，δx₃＝z₃-d，则式(11)减去式(9)得

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1={\mathrm{\&delta;x}}_2-{\mathrm{\&beta;}}_{1}g\left({\mathrm{\&delta;x}}_1\right)\\ \mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2={\mathrm{\&delta;x}}_3-{\mathrm{\&beta;}}_{2}g\left({\mathrm{\&delta;x}}_1\right)\\ \mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=-{\mathrm{\&beta;}}_{3}g\left({\mathrm{\&delta;x}}_1\right)-h\end{array}\right.---\left(12\right)$

设h有界，且g(e_o1)是光滑的，g(0)＝0，g′(e_o1)≠0，根据泰勒公式，式(12)写为

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1={\mathrm{\&delta;x}}_2-{\mathrm{\&beta;}}_1{g}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&delta;x}}_1\right){\mathrm{\&delta;x}}_1\\ \mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2={\mathrm{\&delta;x}}_3-{\mathrm{\&beta;}}_2{g}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&delta;x}}_1\right){\mathrm{\&delta;x}}_1\\ \mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=-{\mathrm{\&beta;}}_3{g}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&delta;x}}_1\right){\mathrm{\&delta;x}}_1-h\end{array}\right.---\left(13\right)$

令则式(13)写为以下状态空间方程形式

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1\\ \mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2\\ \mathrm{\&delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-l_1& 1& 0\\ -l_2& 0& 1\\ -l_3& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&delta;x}}_1\\ {\mathrm{\&delta;x}}_2\\ {\mathrm{\&delta;x}}_3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\end{array}\right]h---\left(14\right)$

设计补偿矩阵

$A=\left[\begin{array}{ccc}-l_1& 1& 0\\ -l_2& 0& 1\\ -l_3& 0& 0\end{array}\right],E=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\end{array}\right],\mathrm{\&delta;}X=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&delta;}{x}_1\\ {\mathrm{\&delta;x}}_2\\ {\mathrm{\&delta;x}}_3\end{array}\right],$

则式(14)写为

$\mathrm{\&delta;}\stackrel{\&CenterDot;}{X}=A\mathrm{\&delta;}X+Eh---\left(15\right)$

至此，参数β_i的确定转化为l_i的确定，使式(8)在扰动h的作用下渐近稳定的必要条件是补偿矩阵A的特征值全部落在复平面的左半平面上，即式(8)的极点充分的负，由此，根据极点配置法，选定期望的极点p_i(i＝1,2,3)，使参数l_i满足

$|sI-A|=\underset{i=1}{\overset{3}{\&Pi;}}(s-p_i)---\left(16\right)$

I为单位矩阵，令左右两边关于s的多项式的各项系数相等，则分别求出参数l₁，l₂，l₃的值，从而得到扩张状态观测器的表达式为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1=z_2-\frac{l_1}{g^{\&prime;}\left(e_{o1}\right)}g\left(e_{o1}\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2=z_3-\frac{l_2}{g^{\&prime;}\left(e_{o1}\right)}g\left(e_{o1}\right)+a_0\left(x\right)+b_{0}u\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_3=-\frac{l_3}{g^{\&prime;}\left(e_{o1}\right)}g\left(e_{o1}\right)\end{array}\right.---\left(17\right)$

步骤5，基于全阶终端滑模的方法设计终端滑模控制器u，过程如下：

5.1，设计滑模面如下：

$s={\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_{c2}+{\mathrm{\&lambda;}}_{2}sign\left(e_{c2}\right)|e_{c2}{|}^{c_2}+{\mathrm{\&lambda;}}_{1}sign\left(e_{c1}\right)|e_{c1}{|}^{c_1}---\left(18\right)$

其中，c₁,c₂和λ₁,λ₂为常数，λ₁,λ₂满足多项式p²+λ₂p+λ₁，使多项式的极点都在复平面的左半边，

5.2，终端滑模控制器设计如下：

$\left\{\begin{array}{c}u=b^{-1}(u_{eq}+u_n)\\ u_{eq}=-a_0-{\mathrm{\&lambda;}}_{2}sign\left(e_{c2}\right)|e_{c2}{|}^{c_2}-{\mathrm{\&lambda;}}_{1}sign\left(e_{c1}\right)|e_{c1}{|}^{c_1}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_n+{\mathrm{Tu}}_n=V\\ V=-(k_d+k_T+\mathrm{\&eta;})sign\left(s\right)\end{array}\right.---\left(19\right)$

其中，T≥0，k_T≥Tl_d，η＞0。