CN103825270B - 一种配电网三相状态估计雅可比矩阵常数化的处理方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种配电网三相状态估计雅可比矩阵常数化的处理方法，包括以下步骤：对配电网三相节点电压和三相支路电流进行相位变换；基于配电网运行特点的电压幅值和支路相角差近似化；对雅可比矩阵进行常数化处理。本发明提供一种配电网三相状态估计雅可比矩阵常数化的处理方法，实现了雅可比矩阵的常数化，在进行配电网状态估计时只需形成一次雅可比矩阵和信息矩阵，只需对信息矩阵做一次因子分解，从而大大降低了计算量，提高了计算速度。

Description

一种配电网三相状态估计雅可比矩阵常数化的处理方法

技术领域

本发明涉及一种处理方法，具体讲涉及一种配电网三相状态估计雅可比矩阵常数化的处理方法。

背景技术

近年来，分布式电源在配电网中大规模的接入对配电***的运行与控制提出了挑战，为了提高配电***运行的安全性和经济，需要配电网状态估计为对配电网进行分析与决策提供精确的基础数据。

针对配电网量测配置、网络拓扑辐射状为主、弱环和三相不平衡的特点，目前，配电网状态估计分别以节点电压、支路复电流、支路功率、节点注入复电流等为状态量，利用加权最小二乘(WLS)、加权最小绝对值(WLAV)等状态估计方法求解配电网状态量。当直接利用配电网中的各种量测时，不管采用上述何种变量作为状态量，雅可比矩阵都是非恒定的，网络规模较大时，较大的计算量将会大大影响计算速度。为了降低计算量，提高计算速度，量测等效变换技术在配电网状态估计中得到了广泛的使用，以节点电压、支路复电流、节点复电流为状态量时，将功率量测对、电流幅值量测转换为等效的电流实部量测与电流虚部量测，实现了雅可比矩阵的常数化，但是这种方法的缺点是功率量测必须成对出现，量测等效变换不可避免的会带来转换误差，影响估计精度，同时也给不良数据检测与辨识带来了困难。以支路复电流为状态量时，在电网辐射状的情况下，对电压幅值量测的使用受限于根节点电压量测精度，在配电网存在环路时，需要考虑KVL约束，增加了计算的复杂性，此时电压幅值量测无法使用。以支路功率为状态量时，将各种量测利用量测等效变换技术转换为功率量测，但是将各种量测变换为功率量测利用了较多的其他变量，量测利用效率不高，存在环路时处理KVL增加了计算的复杂性。鉴于配电网实时量测偏少，虚拟量测较多的特点，很多文献提出了基于量测匹配的思想，利用优化算法求解配电网状态的方法，显然，这种方法前提是实时量测要足够精确。以节点的电压幅值和相角为状态量的优点是能够很好的处理各种量测、对弱环不用特殊处理，但是雅可比矩阵及信息矩阵不是常数，如何能够降低计算量急需解决的问题。

配电网状态估计能够为配电网络提供更为可靠的估计数据，是对配电网分析与控制的基础，也是智能配电网态势感知的基础工具。配电网相对于输电网三相不平衡较为突出、R/X比值较高，以节点电压为状态量时，雅可比矩阵不能保持常数化，每次迭代时都要重新雅可比矩阵和因子分解，计算量较大，配电网状态估计计算效率不高，影响了配电网状态估计的实用化。

发明内容

为了克服上述现有技术的不足，本发明提供一种配电网三相状态估计雅可比矩阵常数化的处理方法，实现了雅可比矩阵的常数化，在进行配电网状态估计时只需形成一次雅可比矩阵和信息矩阵，只需对信息矩阵做一次因子分解，从而大大降低了计算量，提高了计算速度。

为了实现上述发明目的，本发明采取如下技术方案：

本发明提供一种配电网三相状态估计雅可比矩阵常数化的处理方法，所述方法包括以下步骤：

步骤1：对配电网三相节点电压和三相支路电流进行相位变换；

步骤2：基于配电网运行特点的电压幅值和支路相角差近似化；

步骤3：对雅可比矩阵进行常数化处理。

所述步骤1中，令a＝1/120°，A＝diag(1,a,a²)，将配电网三相节点电压和三相支路电流做如下变换：

$\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{U}_i^a\\ U_i^b\\ U_i^c\end{array}\right]=A\left[\begin{array}{c}{U}_i^{a-o}\\ U_i^{b-o}\\ U_i^{c-o}\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{c}{I}_i^a\\ I_i^b\\ I_i^c\end{array}\right]=A\left[\begin{array}{c}{I}_i^{a-o}\\ I_i^{b-o}\\ I_i^{c-o}\end{array}\right]\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，和分别为配电网三相节点电压和支路电流，和分别为相位变换后的配电网三相节点电压和支路电流；

相位变换后配电网的三相节点导纳矩阵做如下变换：

$Y_n^{\mathrm{abc}}={\mathrm{AY}}_{n-o}^{\mathrm{abc}}{A}^{-1}---\left(2\right)$

其中，和分别为变换前和变换后配电网的三相节点导纳矩阵。

所述步骤2中，配电网实际运行中电压运行在额定值附近，支路中流过的功率不大，经过相位变换后，支路的节点间同相和异相的相角差都近似为0，则有

$U_i^p\≅1p.u.\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\≈1\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\≈0---\left(3\right)$

其中，为节点i的p相电压，p＝a,b,c；为节点i与j间p相和k相的相角差。

所述步骤3中的雅克比矩阵包括支路功率对应的雅克比矩阵和节点注入功率对应的雅克比矩阵；

1）支路功率对应的雅克比矩阵常数化处理过程如下：

支路的功率方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{ij},p}=V_{i,p}\underset{k=a}{\overset{b,c}{\mathrm{\Σ}}}[V_{i,k}(g_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}+b_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}})-V_{j,k}(g_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}+b_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}})]\\ Q_{\mathrm{ij},p}=V_{i,p}\underset{k=a}{\overset{b,c}{\mathrm{\Σ}}}[V_{i,k}(g_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}-b_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}})-V_{j,k}(g_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}-b_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}})]\end{array}\right.---\left(4\right)$

支路功率对应的原始雅可比矩阵为：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij},p}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{i,k}}=V_{i,p}{V}_{i,k}(g_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}-b_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}})\\ \frac{\∂P_{\mathrm{ij},p}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{j,k}}={-V}_{i,p}{V}_{j,k}(g_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}-b_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}})\\ \frac{\∂P_{\mathrm{ij},p}}{\∂V_{i,k}}=V_{i,p}(g_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}+b_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}})\\ \frac{\∂P_{\mathrm{ij},p}}{\∂V_{j,k}}={-V}_{i,p}(g_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}+b_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}})\end{array}\right.---\left(5\right)$

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂Q_{\mathrm{ij},p}}{{\∂\mathrm{\θ}}_{i,k}}=V_{i,p}{V}_{i,k}(-g_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}+b_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}})\\ \frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij},p}}{{\∂\mathrm{\θ}}_{j,k}}=-V_{i,p}{V}_{j,k}({-g}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}+b_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}})\\ \frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij},p}}{{\∂V}_{i,k}}=V_{i,p}(g_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}-b_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}})\\ \frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij},k}}{{\∂V}_{j,k}}={-V}_{i,p}(g_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}-b_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}})\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中，p＝a,b,c，k＝a,b,c；P_ij,p和Q_ij,p分别为节点i与节点j间的p相有功和无功功率；V_i,p和V_i,k分别为节点i的p相和k相电压，V_j,p和V_j,k分别为节点j的p相和k相电压；为节点i与节点j间p相和k相的互电导，为节点i与节点j间p相和k相的互电纳；θ_i,k和θ_j,k分别为节点i和节点j的k相相角，为节点i同相或异相的相角差，其中p＝k时，p≠k时， ${\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}\≈0;$

经过近似处理后，得到常数化的支路功率对应的雅可比矩阵如下：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij},p}}{{\∂\mathrm{\θ}}_{i,k}}\≈\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij},p}}{{\∂V}_{i,k}}\≈{-b}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij},p}}{{\∂\mathrm{\θ}}_{j,k}}\≈\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij},p}}{{\∂V}_{j,k}}\≈b_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij},p}}{{\∂V}_{i,k}}\≈-\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij},p}}{{\∂\mathrm{\θ}}_{i,k}}\≈g_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij},p}}{\∂V_{j,k}}\≈-\frac{\∂Q_{\mathrm{ij},p}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{j,k}}\≈-g_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\end{array}\right.---\left(7\right)$

2）节点注入功率对应的雅克比矩阵常数化处理过程如下：

节点注入功率方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{i,p}=V_{i,p}\underset{j\∈i}{\mathrm{\Σ}}\underset{k=a}{\overset{b,c}{\mathrm{\Σ}}}{V}_{j,k}(G_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}+B_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}})\\ Q_{i,p}=V_{i,p}\underset{j\∈i}{\mathrm{\Σ}}\underset{k=a}{\overset{b,c}{\mathrm{\Σ}}}{V}_{j,k}(G_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}-B_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}})\end{array}\right.---\left(8\right)$

节点注入功率对应的原始雅可比矩阵为：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂P_{i,p}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{i,k}}=V_{i,p}{V}_{j,k}(G_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}-B_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}})\\ \frac{\∂P_{i,p}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{j,k}}=V_{i,p}{V}_{j,k}(G_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}-B_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}})\\ \frac{\∂P_{i,p}}{\∂V_{i,k}}=V_{i,p}(G_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}+B_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}})\\ \frac{{\∂P}_{i,p}}{{\∂V}_{j,k}}=V_{i,p}(G_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}+B_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}})\end{array}\right.---\left(9\right)$

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂Q_{i,p}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{i,k}}=V_{i,p}{V}_{j,k}({-G}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}-B_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}})\\ \frac{\∂Q_{i,p}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{j,k}}=V_{i,p}{V}_{j,k}({-G}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}-B_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}})\\ \frac{\∂Q_{i,p}}{\∂V_{i,k}}=V_{i,p}(G_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}-B_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}})\\ \frac{{\∂Q}_{i,p}}{{\∂V}_{j,k}}=V_{i,p}(G_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}-B_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}})\end{array}\right.---\left(10\right)$

其中，为节点导纳矩阵中节点i与节点j间p相和k相的互电导，为节点导纳矩阵中节点i与节点j间p相和k相的互电纳；

经过近似处理后，得到常数化的节点注入功率对应的雅可比矩阵如下：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\∂P}_{i,p}}{{\∂\mathrm{\θ}}_{i,k}}\≈\frac{{\∂Q}_{i,p}}{{\∂V}_{i,k}}\≈{-B}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}\\ \frac{{\∂P}_{i,p}}{{\∂\mathrm{\θ}}_{j,k}}\≈\frac{{\∂Q}_{i,p}}{{\∂V}_{j,k}}\≈{-B}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\\ \frac{{\∂P}_{i,p}}{{\∂V}_{i,k}}\≈-\frac{{\∂Q}_{i,p}}{{\∂\mathrm{\θ}}_{i,k}}\≈G_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}\\ \frac{{\∂P}_{i,p}}{\∂V_{j,k}}\≈-\frac{\∂Q_{i,p}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{j,k}}\≈G_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\end{array}\right.---\left(11\right).$

与现有技术相比，本发明的有益效果在于：

本发明以节点的电压幅值和相角为状态量进行配电网三相状态估计，通过相位变换将三相的节点电压和支路电流的相角变换到同相的尺度上，这样节点间同相和异相的相角差近似为零，结合配电网的电压幅值近似为1的特点，实现了雅可比矩阵的常数化，在进行配电网状态估计时只需形成一次雅可比矩阵和信息矩阵，只需对信息矩阵做一次因子分解，从而大大降低了计算量，解决了以节点的电压幅值和相角为状态量进行配电网三相状态估计的瓶颈性问题，提高配电网三相状态估计的实用性。

附图说明

图1是配电网三相状态估计雅可比矩阵常数化的处理方法流程图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步详细说明。

1)配电网：是指35KV及其以下电压等级的电网，作用是给城市里各个配电站和各类用电负荷供给电源。

2)状态估计：根据配电***的网络接线的信息、网络参数和一组有冗余的模拟量测值和开关量状态，求取母线电压幅值和相角的估计值，检测可疑数据，辨识不良数据，校核实时量测量的准确性，并计算全部支路潮流，为电力***的可观测部分和不可观测部分提供一致的、可靠的电网潮流解。

3)三相状态估计：对电网的A相、B相、C相三相建立状态估计模型，进行状态估计。

4)量测量：通过电力***的测量设备对母线电压、线路功率、发电机功率、负荷功率的测量值。

5)雅可比矩阵：量测函数对状态变量的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵。

6)信息矩阵：雅可比矩阵的转置右乘量测权矩阵，其积再右乘雅可比矩阵得到的矩阵。

如图1，本发明提供一种配电网三相状态估计雅可比矩阵常数化的处理方法，所述方法包括以下步骤：

步骤1：对配电网三相节点电压和三相支路电流进行相位变换；

步骤2：基于配电网运行特点的电压幅值和支路相角差近似化；

步骤3：对雅可比矩阵进行常数化处理。

所述步骤1中，令a＝1/120°，A＝diag(1,a,a²)，将配电网三相节点电压和三相支路电流做如下变换：

$\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{U}_i^a\\ U_i^b\\ U_i^c\end{array}\right]=A\left[\begin{array}{c}{U}_i^{a-o}\\ U_i^{b-o}\\ U_i^{c-o}\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{c}{I}_i^a\\ I_i^b\\ I_i^c\end{array}\right]=A\left[\begin{array}{c}{I}_i^{a-o}\\ I_i^{b-o}\\ I_i^{c-o}\end{array}\right]\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，和分别为配电网三相节点电压和支路电流，和分别为相位变换后的配电网三相节点电压和支路电流；变换后各相电压和电流不再相差120°或-120°，但是变换对功率没有影响。

相位变换后配电网的三相节点导纳矩阵做如下变换：

$Y_n^{\mathrm{abc}}={\mathrm{AY}}_{n-o}^{\mathrm{abc}}{A}^{-1}---\left(2\right)$

其中，和分别为变换前和变换后配电网的三相节点导纳矩阵。

所述步骤2中，配电网实际运行中电压运行在额定值附近，支路中流过的功率不大，经过相位变换后，支路的节点间同相和异相的相角差都近似为0，则有

$U_i^p\≅1p.u.\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\≈1\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\≈0---\left(3\right)$

其中，为节点i的p相电压，p＝a,b,c；为节点i与节点j间p相和k相的相角差。

所述步骤3中的雅克比矩阵包括支路功率对应的雅克比矩阵和节点注入功率对应的雅克比矩阵；

1）支路功率对应的雅克比矩阵常数化处理过程如下：

支路的功率方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{ij},p}=V_{i,p}\underset{k=a}{\overset{b,c}{\mathrm{\Σ}}}[V_{i,k}(g_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}+b_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}})-V_{j,k}(g_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}+b_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}})]\\ Q_{\mathrm{ij},p}=V_{i,p}\underset{k=a}{\overset{b,c}{\mathrm{\Σ}}}[V_{i,k}(g_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}-b_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}})-V_{j,k}(g_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}-b_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}})]\end{array}\right.---\left(4\right)$

支路功率对应的原始雅可比矩阵为：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij},p}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{i,k}}=V_{i,p}{V}_{i,k}(g_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}-b_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}})\\ \frac{\∂P_{\mathrm{ij},p}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{j,k}}={-V}_{i,p}{V}_{j,k}(g_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}-b_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}})\\ \frac{\∂P_{\mathrm{ij},p}}{\∂V_{i,k}}=V_{i,p}(g_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}+b_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}})\\ \frac{\∂P_{\mathrm{ij},p}}{\∂V_{j,k}}={-V}_{i,p}(g_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}+b_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}})\end{array}\right.---\left(5\right)$

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂Q_{\mathrm{ij},p}}{{\∂\mathrm{\θ}}_{i,k}}=V_{i,p}{V}_{i,k}(-g_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}+b_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}})\\ \frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij},p}}{{\∂\mathrm{\θ}}_{j,k}}=-V_{i,p}{V}_{j,k}({-g}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}+b_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}})\\ \frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij},p}}{{\∂V}_{i,k}}=V_{i,p}(g_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}-b_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}})\\ \frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij},k}}{{\∂V}_{j,k}}={-V}_{i,p}(g_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}-b_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}})\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中，p＝a,b,c，k＝a,b,c；P_ij,p和Q_ij,p分别为节点i与节点j间的p相有功和无功功率；V_i,p和V_i,k分别为节点i的p相和k相电压，V_j,p和V_j,k分别为节点j的p相和k相电压；为节点i与节点j间p相和k相的互电导，为节点i与节点j间p相和k相的互电纳；θ_i,k和θ_j,k分别为节点i和节点j的k相相角，为节点i同相或异相的相角差，其中p＝k时，p≠k时， ${\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}\≈0;$

经过近似处理后，得到常数化的支路功率对应的雅可比矩阵如下：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij},p}}{{\∂\mathrm{\θ}}_{i,k}}\≈\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij},p}}{{\∂V}_{i,k}}\≈{-b}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij},p}}{{\∂\mathrm{\θ}}_{j,k}}\≈\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij},p}}{{\∂V}_{j,k}}\≈b_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij},p}}{{\∂V}_{i,k}}\≈-\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij},p}}{{\∂\mathrm{\θ}}_{i,k}}\≈g_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij},p}}{\∂V_{j,k}}\≈-\frac{\∂Q_{\mathrm{ij},p}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{j,k}}\≈-g_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\end{array}\right.---\left(7\right)$

2）节点注入功率对应的雅克比矩阵常数化处理过程如下：

节点注入功率方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{i,p}=V_{i,p}\underset{j\∈i}{\mathrm{\Σ}}\underset{k=a}{\overset{b,c}{\mathrm{\Σ}}}{V}_{j,k}(G_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}+B_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}})\\ Q_{i,p}=V_{i,p}\underset{j\∈i}{\mathrm{\Σ}}\underset{k=a}{\overset{b,c}{\mathrm{\Σ}}}{V}_{j,k}(G_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}-B_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}})\end{array}\right.---\left(8\right)$

节点注入功率对应的原始雅可比矩阵为：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂P_{i,p}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{i,k}}=V_{i,p}{V}_{j,k}(G_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}-B_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}})\\ \frac{\∂P_{i,p}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{j,k}}=V_{i,p}{V}_{j,k}(G_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}-B_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}})\\ \frac{\∂P_{i,p}}{\∂V_{i,k}}=V_{i,p}(G_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}+B_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}})\\ \frac{{\∂P}_{i,p}}{{\∂V}_{j,k}}=V_{i,p}(G_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}+B_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}})\end{array}\right.---\left(9\right)$

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂Q_{i,p}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{i,k}}=V_{i,p}{V}_{j,k}({-G}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}-B_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}})\\ \frac{\∂Q_{i,p}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{j,k}}=V_{i,p}{V}_{j,k}({-G}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}-B_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}})\\ \frac{\∂Q_{i,p}}{\∂V_{i,k}}=V_{i,p}(G_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}-B_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}})\\ \frac{{\∂Q}_{i,p}}{{\∂V}_{j,k}}=V_{i,p}(G_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}-B_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}})\end{array}\right.---\left(10\right)$

其中，为节点导纳矩阵中节点i与节点j间p相和k相的互电导，为节点导纳矩阵中节点i与节点j间p相和k相的互电纳；

经过近似处理后，得到常数化的节点注入功率对应的雅可比矩阵如下：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\∂P}_{i,p}}{{\∂\mathrm{\θ}}_{i,k}}\≈\frac{{\∂Q}_{i,p}}{{\∂V}_{i,k}}\≈{-B}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}\\ \frac{{\∂P}_{i,p}}{{\∂\mathrm{\θ}}_{j,k}}\≈\frac{{\∂Q}_{i,p}}{{\∂V}_{j,k}}\≈{-B}_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\\ \frac{{\∂P}_{i,p}}{{\∂V}_{i,k}}\≈-\frac{{\∂Q}_{i,p}}{{\∂\mathrm{\θ}}_{i,k}}\≈G_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{pk}}\\ \frac{{\∂P}_{i,p}}{\∂V_{j,k}}\≈-\frac{\∂Q_{i,p}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{j,k}}\≈G_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{pk}}\end{array}\right.---\left(11\right).$

本发明应用于以节点的电压幅值和相角为状态量时的配电网三相状态估计软件中，能够使雅可比矩阵变化常数化，在进行配电网三相状态估计时只需形成一次雅可比矩阵和信息矩阵，只需对信息矩阵做一次因子分解，从而大大降低了计算量，提高了计算速度，本发明计算量小，计算速度快，理论基础严格。

最后应当说明的是：以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非对其限制，尽管参照上述实施例对本发明进行了详细的说明，所属领域的普通技术人员应当理解：依然可以对本发明的具体实施方式进行修改或者等同替换，而未脱离本发明精神和范围的任何修改或者等同替换，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (1)

1.一种配电网三相状态估计雅可比矩阵常数化的处理方法，其特征在于：所述方法包括以下步骤：

步骤1：对配电网三相节点电压和三相支路电流进行相位变换；

步骤2：基于配电网运行特点的电压幅值和支路相角差近似化；

步骤3：对雅可比矩阵进行常数化处理；

所述步骤1中，令a＝1/120°，A＝diag(1,a,a²)，将配电网三相节点电压和三相支路电流做如下变换：

$\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{U}_i^a\\ U_i^b\\ U_i^c\end{array}\right]=A\left[\begin{array}{c}{U}_i^{a-o}\\ U_i^{b-o}\\ U_i^{c-o}\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{c}{I}_i^a\\ I_i^b\\ I_i^c\end{array}\right]=A\left[\begin{array}{c}{I}_i^{a-o}\\ I_i^{b-o}\\ I_i^{c-o}\end{array}\right]\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，和分别为配电网三相节点电压和支路电流，和分别为相位变换后的配电网三相节点电压和支路电流；

相位变换后配电网的三相节点导纳矩阵做如下变换：

$Y_n^{abc}={\mathrm{AY}}_{n-o}^{abc}{A}^{-1}---\left(2\right)$

其中，和分别为变换前和变换后配电网的三相节点导纳矩阵；

所述步骤2中，配电网实际运行中电压运行在额定值附近，支路中流过的功率不大，经过相位变换后，支路的节点间同相和异相的相角差都近似为0，则有

$\begin{array}{cccc}{U}_i^p\≅1& p.u.& {\mathrm{cos\θ}}_{ij}^{pk}\≈1& {\mathrm{sin\θ}}_{ij}^{pk}\≈0\end{array}---\left(3\right)$

其中，为节点i的p相电压，p＝a,b,c；为节点i与节点j间p相和k相的相角差；

所述步骤3中的雅克比矩阵包括支路功率对应的雅克比矩阵和节点注入功率对应的雅克比矩阵；

1)支路功率对应的雅克比矩阵常数化处理过程如下：

支路的功率方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{ij,p}=V_{i,p}\underset{k=a}{\overset{b,c}{\Σ}}\[V_{i,k}\left(g_{ij}^{pk}{\mathrm{cos\θ}}_{ii}^{pk}+b_{ij}^{pk}{\mathrm{sin\θ}}_{ii}^{pk}\right)-V_{j,k}\left(g_{ij}^{pk}{\mathrm{cos\θ}}_{ij}^{pk}+b_{ij}^{pk}{\mathrm{sin\θ}}_{ij}^{pk}\right)\]\\ Q_{ij,p}=V_{i,p}\underset{k=a}{\overset{b,c}{\Σ}}\[V_{i,k}\left(g_{ij}^{pk}{\mathrm{sin\θ}}_{ii}^{pk}-b_{ij}^{pk}{\mathrm{cos\θ}}_{ii}^{pk}\right)-V_{j,k}\left(g_{ij}^{pk}{\mathrm{sin\θ}}_{ij}^{pk}-b_{ij}^{pk}{\mathrm{cos\θ}}_{ij}^{pk}\right)\]\end{array}\right.---\left(4\right)$

支路功率对应的原始雅可比矩阵为：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂P_{ij,p}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{i,k}}=V_{i,p}{V}_{i,k}\left(g_{ij}^{pk}{\mathrm{sin\θ}}_{ii}^{pk}-b_{ij}^{pk}{\mathrm{cos\θ}}_{ii}^{pk}\right)\\ \frac{\∂P_{ij,p}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{j,k}}=-V_{i,p}{V}_{j,k}\left(g_{ij}^{pk}{\mathrm{sin\θ}}_{ij}^{pk}-b_{ij}^{pk}{\mathrm{cos\θ}}_{ij}^{pk}\right)\\ \frac{\∂P_{ij,p}}{\∂V_{i,k}}=V_{i,p}\left(g_{ij}^{pk}{\mathrm{cos\θ}}_{ii}^{pk}+b_{ij}^{pk}{\mathrm{sin\θ}}_{ii}^{pk}\right)\\ \frac{\∂P_{ij,p}}{\∂V_{j,k}}=-V_{i,p}\left(g_{ij}^{pk}{\mathrm{cos\θ}}_{ij}^{pk}+b_{ij}^{pk}{\mathrm{sin\θ}}_{ij}^{pk}\right)\end{array}\right.---\left(5\right)$

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂Q_{ij,p}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{i,k}}=V_{i,p}{V}_{i,k}\left(-g_{ij}^{pk}{\mathrm{cos\θ}}_{ii}^{pk}+b_{ij}^{pk}{\mathrm{sin\θ}}_{ii}^{pk}\right)\\ \frac{\∂Q_{ij,p}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{j,k}}=-V_{i,p}{V}_{j,k}\left(-g_{ij}^{pk}{\mathrm{cos\θ}}_{ij}^{pk}+b_{ij}^{pk}{\mathrm{sin\θ}}_{ij}^{pk}\right)\\ \frac{\∂Q_{ij,p}}{\∂V_{i,k}}=V_{i,p}\left(g_{ij}^{pk}{\mathrm{cos\θ}}_{ii}^{pk}-b_{ij}^{pk}{\mathrm{sin\θ}}_{ii}^{pk}\right)\\ \frac{\∂Q_{ij,p}}{\∂V_{j,k}}=-V_{i,p}\left(g_{ij}^{pk}{\mathrm{cos\θ}}_{ij}^{pk}-b_{ij}^{pk}{\mathrm{sin\θ}}_{ij}^{pk}\right)\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中，p＝a,b,c，k＝a,b,c；P_ij,p和Q_ij,p分别为节点i与节点j间的p相有功和无功功率；V_i,p和V_i,k分别为节点i的p相和k相电压，V_j,k为节点j的k相电压；为节点i与节点j间p相和k相的互电导，为节点i与节点j间p相和k相的互电纳；θ_i,k和θ_j,k分别为节点i和节点j的k相相角，为节点i同相或异相的相角差，其中p＝k时，p≠k时，

经过近似处理后，得到常数化的支路功率对应的雅可比矩阵如下：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂P_{ij,p}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{i,k}}\≈\frac{\∂Q_{ij,p}}{\∂V_{i,k}}\≈-b_{ij}^{pk}\\ \frac{\∂P_{ij,p}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{j,k}}\≈\frac{\∂Q_{ij,p}}{\∂V_{j,k}}\≈b_{ij}^{pk}\\ \frac{\∂P_{ij,p}}{\∂V_{i,k}}\≈-\frac{\∂Q_{ij,p}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{i,k}}\≈g_{ij}^{pk}\\ \frac{\∂P_{ij,p}}{\∂V_{j,k}}\≈-\frac{\∂Q_{ij,p}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{j,k}}\≈-g_{ij}^{pk}\end{array}\right.---\left(7\right)$

2)节点注入功率对应的雅克比矩阵常数化处理过程如下：

节点注入功率方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{i,p}=V_{i,p}\underset{j\∈i}{\Σ}\underset{k=a}{\overset{b,c}{\Σ}}{V}_{j,k}\left(G_{ij}^{pk}{\mathrm{cos\θ}}_{ij}^{pk}+B_{ij}^{pk}{\mathrm{sin\θ}}_{ij}^{pk}\right)\\ Q_{i,p}=V_{i,p}\underset{j\∈i}{\Σ}\underset{k=a}{\overset{b,c}{\Σ}}{V}_{j,k}\left(G_{ij}^{pk}{\mathrm{sin\θ}}_{ij}^{pk}-B_{ij}^{pk}{\mathrm{cos\θ}}_{ij}^{pk}\right)\end{array}\right.---\left(8\right)$

节点注入功率对应的原始雅可比矩阵为：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂P_{i,p}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{i,k}}=V_{i,p}{V}_{j,k}\left(G_{ii}^{pk}{\mathrm{sin\θ}}_{ii}^{pk}-B_{ii}^{pk}{\mathrm{cos\θ}}_{ii}^{pk}\right)\\ \frac{\∂P_{i,p}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{j,k}}=V_{i,p}{V}_{j,k}\left(G_{ij}^{pk}{\mathrm{sin\θ}}_{ij}^{pk}-B_{ij}^{pk}{\mathrm{cos\θ}}_{ij}^{pk}\right)\\ \frac{\∂P_{i,p}}{\∂V_{i,k}}=V_{i,p}\left(G_{ii}^{pk}{\mathrm{cos\θ}}_{ii}^{pk}+B_{ii}^{pk}{\mathrm{sin\θ}}_{ii}^{pk}\right)\\ \frac{\∂P_{i,p}}{\∂V_{j,k}}=V_{i,p}\left(G_{ij}^{pk}{\mathrm{cos\θ}}_{ij}^{pk}+B_{ij}^{pk}{\mathrm{sin\θ}}_{ij}^{pk}\right)\end{array}\right.---\left(9\right)$

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂Q_{i,p}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{i,k}}=V_{i,p}{V}_{j,k}\left(-G_{ii}^{pk}{\mathrm{cos\θ}}_{ii}^{pk}-B_{ii}^{pk}{\mathrm{sin\θ}}_{ii}^{pk}\right)\\ \frac{\∂Q_{i,p}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{j,k}}=V_{i,p}{V}_{j,k}\left(-G_{ij}^{pk}{\mathrm{cos\θ}}_{ij}^{pk}-B_{ij}^{pk}{\mathrm{sin\θ}}_{ij}^{pk}\right)\\ \frac{\∂Q_{i,p}}{\∂V_{i,k}}=V_{i,p}\left(G_{ii}^{pk}{\mathrm{sin\θ}}_{ii}^{pk}-B_{ii}^{pk}{\mathrm{cos\θ}}_{ii}^{pk}\right)\\ \frac{\∂Q_{i,p}}{\∂V_{j,k}}=V_{i,p}\left(G_{ij}^{pk}{\mathrm{sin\θ}}_{ij}^{pk}-B_{ij}^{pk}{\mathrm{cos\θ}}_{ij}^{pk}\right)\end{array}\right.---\left(10\right)$

其中，为节点导纳矩阵中节点i与节点j间p相和k相的互电导，为节点导纳矩阵中节点i与节点j间p相和k相的互电纳；

经过近似处理后，得到常数化的节点注入功率对应的雅可比矩阵如下：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂P_{i,p}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{i,k}}\≈\frac{\∂Q_{i,p}}{\∂V_{i,k}}\≈-B_{ii}^{pk}\\ \frac{\∂P_{i,p}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{j,k}}\≈\frac{\∂Q_{i,p}}{\∂V_{j,k}}\≈-B_{ij}^{pk}\\ \frac{\∂P_{i,p}}{\∂V_{i,k}}\≈-\frac{\∂Q_{i,p}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{i,k}}\≈G_{ii}^{pk}\\ \frac{\∂P_{i,p}}{\∂V_{j,k}}\≈-\frac{\∂Q_{i,p}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{i,k}}\≈G_{ij}^{pk}\end{array}\right.---\left(11\right).$