CN103403561B - 交流电气量测定装置及交流电气量测定方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种交流电气量测定装置及交流电气量测定方法。以测定对象即交流电压的频率的2倍以上的采样频率对该交流电压进行采样，对于采样得到的连续的至少4个电压瞬时值数据，在表示相邻2个电压瞬时值数据之间的前端间距离的3个差分电压瞬时值数据（v₂(t)、v₂(t-T)、v₂(t-2T)）中，利用中间时刻的差分电压瞬时值（v₂₂）对中间时刻以外的差分电压瞬时值之和的平均值（(v₂₁+v₂₃)/2）进行归一化，将归一化计算得到的值((v₂₁₊v₂₃)/(2v₂₂))作为频率系数（f_C）来进行计算。

Description

交流电气量测定装置及交流电气量测定方法

技术领域

本发明涉及交流电气量测定装置及交流电气量测定方法。

背景技术

近年来，随着电力***内的潮流日益复杂，要求高可靠性且高品质的电力供应，特别是提高用于测定电力***的电气量(交流电气量)的交流电气量测定装置的性能，变得越来越有必要。

以往，作为这种交流电气量测定装置，有例如下述专利文献1、2所示的装置。在专利文献1(保护控制测量***)及专利文献2(广域保护控制测量***)中，揭示了将相位角的变化分量(微分分量)作为偏离额定频率(50Hz或60Hz)的变化量来求得实际***的频率的方法。

在这些文献中，揭示了以下公式作为求得实际***的频率的计算公式，下述非专利文献1中也示出了这些计算公式。

2πΔf＝dφ/dt

f(Hz)＝60+Δf

另外，下述专利文献3、4为本申请发明人的在先发明专利，这些发明的内容将在后文中进行适当叙述。

现有技术文献

专利文献

专利文献1：日本专利特开2009－65766号公报

专利文献2：日本专利特开2009－71637号公报

专利文献3：日本授权专利第4038484号公报

专利文献4：日本授权专利第4480647号公报

非专利文献

非专利文献1：“IEEE Standard for Power Synchrophasors for PowerSystems”(用于电力***的功率同步相量的IEEE标准)page 30,IEEE StdC37.118-2005.

发明内容

发明所要解决的技术问题

如上所述，专利文献1、2及非专利文献1中所示的方法是通过微分计算来求得相位角的变化分量的方法。然而，实际***的频率瞬时值的变化既频繁又复杂，微分计算非常不稳定。因此，存在以下问题：对于例如频率测定，无法得到足够的计算精度。

此外，由于上述方法将额定频率(50Hz或60Hz)作为初始值来进行计算，因此存在以下问题：在计算开始时，对于测定对象在偏离***额定频率的状态下进行动作的情况，会产生测定误差，对于偏离***额定频率的程度较大的情况，测定误差会变得非常大。

有鉴于此，本发明的目的在于提供一种即使是测定对象在偏离***额定频率的状态下进行动作的情况，也可以进行高精度的交流电气量测定的交流电气量测定装置及交流电气量测定方法。

解决技术问题所采用的技术方案

为了解决上述问题以达到目的，本发明的特征在于，具备频率系数计算部，该频率系数计算部以测定对象即交流电压的频率的2倍以上的采样频率对该交流电压进行采样，对于采样得到的连续的至少4个电压瞬时值数据，在表示相邻2个电压瞬时值数据之间的前端间距离的3个差分电压瞬时值数据中，利用中间时刻的差分电压瞬时值对中间时刻以外的差分电压瞬时值之和的平均值进行归一化，将归一化计算得到的值作为频率系数来进行计算。

发明效果

根据本发明，具有如下效果：即使是测定对象在偏离***额定频率的状态下进行动作的情况，也可以进行高精度的交流电气量测定。

附图说明

图1是表示复平面上的计量差分电压群(有直流偏移)的图。

图2是表示复平面上的计量电压群(有直流偏移)的图。

图3是表示复平面上的计量电压群(无直流偏移)的图。

图4是表示复平面上的计量功率群的图。

图5是表示复平面上的计量差分功率群的图。

图6是表示复平面上的计量双电压群的图。

图7是表示复平面上的计量双差分电压群的图。

图8是表示复平面上的同步相量群的图。

图9是表示复平面上的差分同步相量群的图。

图10是表示实施方式1所涉及的功率测定装置的功能结构的图。

图11是表示实施方式1的功率测定装置中的处理流程的流程图。

图12是表示实施方式2所涉及的距离保护装置的功能结构的图。

图13是表示实施方式2的距离保护装置中的处理流程的流程图。

图14是表示实施方式3所涉及的失步保护装置的功能结构的图。

图15是表示实施方式3的失步保护装置中的处理流程的流程图。

图16是表示实施方式4所涉及的时间同步相量测定装置的功能结构的图。

图17是表示实施方式4的时间同步相量测定装置中的处理流程的流程图。

图18是表示实施方式5所涉及的空间同步相量测定装置的功能结构的图。

图19是表示实施方式5的空间同步相量测定装置中的处理流程的流程图。

图20是表示实施方式6所涉及的输电线参数测定***的功能结构的图。

图21是表示实施方式6的输电线参数测定***中的处理流程的流程图。

图22是表示实施方式7所涉及的同步接通装置的功能结构的图。

图23是表示实施方式7的同步接通装置中的处理流程的流程图。

图24是表示用案例1的参数计算出的频率系数的图。

图25是表示用案例1的参数计算出的旋转相位角的图。

图26是用案例1的参数计算出的频率测定的增益图。

图27是表示用案例2的参数计算出的频率系数的图。

图28是表示用案例2的参数计算出的瞬时电压、直流偏移、计量电压及电压振幅的图。

图29是表示用案例2的参数计算出的旋转相位角及实测频率的图。

图30是表示用案例2的参数计算出的计量有功同步相量及计量无功同步相量的图。

图31是对用案例2的参数计算出的本申请的同步相量与以往的瞬时值同步相量进行比较而示出的图。

图32是表示用案例2的参数计算出的时间同步相量的图。

图33是表示用案例3的参数计算出的频率系数的图。

图34是表示用案例3的参数计算出的瞬时电压、计量差分电压及电压振幅测定结果的图。

图35是表示用案例3的参数计算出的余弦函数法的同步相量、正切函数法的同步相量及对称性破缺判别标记的图。

图36是表示用案例3的参数计算出的同步相量的图。

图37是表示用案例3的参数计算出的电压振幅测定结果的图。

图38是表示用案例3的参数计算出的时间同步相量的图。

图39是表示用案例4的参数计算出的频率系数的图。

图40是表示用案例4的参数计算出的瞬时电压、计量差分电压及电压振幅的图。

图41是表示用案例4的参数计算出的余弦函数法的同步相量、正切函数法的同步相量及对称性破缺判别标记的图。

图42是表示用案例4的参数计算出的同步相量的图。

图43是表示用案例4的参数计算出的时间同步相量的图。

图44是表示用案例5的参数计算出的频率系数的图。

图45是表示用案例5的参数计算出的瞬时电压、计量差分电压及电压振幅的图。

图46是表示用案例5的参数计算出的余弦函数法的同步相量、正切函数法的同步相量及对称性破缺判别标记的图。

图47是表示用案例5的参数计算出的同步相量的图。

图48是表示用案例5的参数计算出的旋转相位角的图。

图49是表示用案例5的参数计算出的实际频率的图。

图50是表示用案例5的参数计算出的时间同步相量的图。

图51是用案例6的参数来进行仿真时的同步接通装置动作图。

具体实施方式

下面，参照附图对本发明的实施方式所涉及的交流电气量测定装置及交流电气量测定方法进行说明。此外，本发明并不局限于以下示出的实施方式。

(本发明的要点)

本发明是涉及作为智能电网(Smart Grid)基本技术的交流电气量测定装置的发明，其最大的特征在于用对称性群组来对交流电压电流的结构进行建模。以往的理论是在频率域和时间域中分别进行解析，而本发明是利用复平面上的矢量对称群，对依赖于频率的量(旋转相位角、振幅、电压电流间相位角、相位角差)与依赖于时间的量(电压电流瞬时值、同步相量)同时进行解析。此外，本申请的发明人已经提出了利用瞬时值同步相量测定法来计算同步相量的算法，并已在日本、美国得到了授权(上述专利文献3)。但在该专利文献3的方法(瞬时值同步相量测定法)中，本端绝对相位角存在反转区域(相位角在0～π之间逆时针或顺时针变化)，而在该反转区域中，无法确定相位角差(时间同步相量、空间同步相量)，从而需要锁存前一步骤中测量得到的相位角差。

另一方面，本申请的发明人在提出了上述专利文献3的申请后，发现了交流电压/电流的对称性，从而将对称性理论的群论引入交流***(有多个未公开的在先申请)。本发明将这种对称性理论的群论引入同步相量测定。从而，在本发明的同步相量测定方法中，由于旋转相位角在-π～π之间始终是逆时针地变化，因此在反转区域中无需锁存相位角差。因此，能够准确地确定相位角差，对于提高保护控制处理的速度是有效的。

本发明的方法能够用于频率系数测定、旋转相位角测定、频率测定、振幅测定、直流偏移测定、同步相量测定、时间同步相量及空间同步相量等各种交流电气量的计算。

(用语的含义)

在对本实施方式所涉及的交流电气量测定装置及交流电气量测定方法进行说明时，首先，对本申请说明书中所使用的用语进行说明。

·复数：用实数a、b和虚数单位j以a+jb的形式表达的数。由于在电气工学中，i是电流符号，因此，虚数单位用来表示。本申请中，用复数来表达旋转矢量。

·复平面：将复数作为二维平面上的点、以实部(Re)为横轴、以虚部(Im)为纵轴、利用直角坐标来表示复数的平面。

·旋转矢量：在与电力***的电气量(电压或电流)相关的复平面上逆时针旋转的矢量。旋转矢量的实部是瞬时值。

·差分旋转矢量：采样频率一个周期前后2个旋转矢量的差分矢量。差分旋转矢量的实部是采样频率一个周期前后2个瞬时值之差。

·采样频率：根据采样定理，采样频率限制在实际频率的2倍以上。在日本，电力***的监视保护装置多使用30度采样。在这种情况下，50Hz***的采样频率为600Hz，60Hz***的采样频率为720Hz。而在本申请中，推荐采用4倍额定频率的采样频率(50Hz***时为200Hz，60Hz***为240Hz)。在适用于智能电网的智能电表中，通过使用建议电力***的保护控制装置采用的采样频率和相关测量公式，能够获得很大的好处。

·***频率：基本上是指电力***的额定频率，有50Hz、60Hz两种。

·实际频率：电力***的实际频率。即使电力***很稳定，该实际频率也会在额定频率附近有微小的变动。本申请对应于采样频率的1/2的所有频率。例如，当电力***的发电机起动时，发电机的频率会从0Hz上升到额定频率，本申请的测定方法能够高速且高精度地跟踪发电机频率。

·旋转相位角：电压旋转矢量(以下简称为“电压矢量”)或电流旋转矢量(以下简称为“电流矢量”)在采样频率一个周期内在复平面上旋转过的相位角。旋转相位角是依赖于频率的量，因而，认为其在多个采样点之间不会发生很大的变化。如果在多个采样点之间发生了很大的变化，就判定为急剧变化(对称性破缺)。该判定使用对称性指标。

·对称性破缺：当输入波形是单纯的正弦波时，输入波形具有对称性。然而，输入波形的振幅急剧变化、相位急剧变化、或者频率急剧变化会导致输入波形的对称性破缺。为了检测出这一对称性破缺，本申请提出了几个对称性指标。通过为对称性指标设定调整值，从而不会将小的测定误差及加性高斯噪声判定为对称性破缺。当对称性破缺时，不再是单纯的交流波形，认为无法进行测定，从而锁存已测得的值。当对称性存在时，为了减小较小的测定误差及加性高斯噪声，优选增加计算所用的对称群的数量，通过对计算结果进行移动平均处理来提高测量精度。

·计量电压群：由时间序列上连续的3个电压矢量构成的对称群。此外，对于电压以外的电流、功率(有功功率、无功功率)也可以定义相同的对称群概念。

·计量电压：用计量电压群计算得到的电压不变量。

·计量差分电压群：由时间序列上连续的3个差分电压矢量构成的对称群。

·计量差分电压：用计量差分电压群计算得到的差分电压不变量。

·频率系数：本申请首次提出的频率测量公式。是利用计量差分电压群中的3个成员计算得到的参数，该值为旋转相位角的余弦函数值。由于利用的是差分电压，因此测量结果不会影响输入波形的直流偏移。

·直流偏移：输入波形的直流分量。

·计量双电压群：由端子1的连续3个电压矢量和端子2的连续2个电压矢量构成的对称群。此外，对电流也可以定义相同的对称群概念。

·计量双有功电压群：由计量双电压群的端子1的前2个电压矢量和端子2的连续2个电压矢量构成的对称群。

·计量双无功电压群：由计量双电压群的端子1的后2个电压矢量和端子2的连续2个电压矢量构成的对称群。

·计量双有功电压：用计量双有功电压群计算得到的不变量。

·计量双无功电压：用计量双无功电压群计算得到的不变量。

·计量双差分电压群：由端子1的连续3个差分电压矢量和端子2的连续2个差分电压矢量构成的对称群。

·计量双差分有功电压群：由计量双差分电压群的端子1的前2个差分电压矢量和端子2的连续2个差分电压矢量构成的对称群。

·计量双差分无功电压群：由计量双差分电压群的端子1的后2个差分电压矢量和端子2的连续2个差分电压矢量构成的对称群。

·计量双差分有功电压：用计量双差分有功电压群计算得到的不变量。

·计量双差分无功电压：用计量双差分无功电压群计算得到的不变量。

·计量功率群：由连续3个电压矢量和连续2个电流矢量构成的对称群。

·计量有功功率群：由计量功率群的前2个电压矢量和连续2个电流矢量构成的对称群。

·计量无功功率群：由计量功率群的后2个电压矢量和连续2个电流矢量构成的对称群。

·计量有功功率：用计量有功功率群计算得到的不变量。

·计量无功功率：用计量无功功率群计算得到的不变量。

·计量差分功率群：由连续3个差分电压矢量和连续2个差分电流矢量构成的对称群。

·计量差分有功功率群：由计量差分功率群的前2个差分电压矢量和连续2个差分电流矢量构成的对称群。

·计量差分无功功率群：由计量差分功率群的后2个差分电压矢量和连续2个差分电流矢量构成的对称群。

·计量差分有功功率：用计量差分有功功率群计算得到的不变量。

·计量差分无功功率：用计量差分无功功率群计算得到的不变量。

·同步相量：将以对应于实际频率的转速在-180度～+180度的范围内、在复平面上逆时针旋转的电压矢量或电流矢量的绝对相位角定义为同步相量。相量多指用复数来表达正弦信号(余弦信号)的显示方法，而在本说明书中，用旋转的绝对相位角来定义。此外，同步相量具有两个特征。第一个特征是同步相量的大小在-180度～+180度的范围内。第二个特征是从-180度向+180度的方向(逆时针方向)单向地增大。同步相量包括电压同步相量和电流同步相量。同步相量是依赖于时间的量，会随着每一采样点的不同而发生变化。

·电压绝对相位角：本申请中是指电压同步相量。

·电流绝对相位角：本申请中是指电流同步相量。

·计量同步相量群：由复平面上的3个电压矢量和2个固定单位矢量构成的对称群。

·计量有功同步相量：利用本申请所定义的计量同步相量群中的成员来进行计算的计算公式的计算结果。

·计量无功同步相量：利用本申请所定义的计量同步相量群中的其它成员来进行计算的计算公式的计算结果。

·计量差分同步相量群：由3个差分电压矢量和2个固定差分单位矢量构成的对称群。

·计量差分有功同步相量：利用本申请所定义的计量差分同步相量群中的成员来进行计算的计算公式的计算结果。

·计量差分无功同步相量：利用本申请所定义的计量差分同步相量群中的其它成员来进行计算的计算公式的计算结果。

·时间同步相量：当前时刻的同步相量与指定时刻(例如电力***额定频率一个周期前的时刻)的同步相量之差。与同步相量相同，时间同步相量的变动范围在-180度～+180度之间。时间同步相量是依赖于频率的量。当实际频率没有发生变动时，时间同步相量也保持一定的值而不发生变动。与同步相量相同，时间同步相量也包括电压时间同步相量和电流时间同步相量。

·空间同步相量：相同时刻下本端的同步相量与另一端的同步相量之差。其变动范围在-180度～+180度之间。时间同步相量是依赖于频率的量。当两端的实际频率相同且没有同时发生变动时，空间同步相量也保持为一定的值而不发生变动。与同步相量相同，空间同步相量也包括电压空间同步相量和电流空间同步相量。

·固定单位矢量群：为了计算同步相量而设定的复平面上的多个单位矢量(振幅为1)。

·电压电流间相位角：电压矢量与电流矢量之间的相位角。具有依赖频率的特性。

·电压THD指标：表示使用了电压的总谐波失真(Total HarmonicDistortion：THD)的电力品质的指标。

·电流THD指标：表示使用了电流的总谐波失真(THD)的电力品质的指标。

·同步接通装置：在达到一定条件(频率差、电压振幅差、相位差达到一定值以下)时进行操作以将分离的***连结起来的装置。在后述的实施方式7中，提出了一种新的同步接通装置。

·单独运作检测装置：在连结了分散型电源的***中，当断路器因事故等而断开时，被切断的***将会仅通过分散型电源向有需要的家庭提供电力，上述状态被称为单独运作。需要迅速地检测出单独运作的状态，并可靠地将分散型电源解列。将在后述的实施方式8中进行说明。

·距离保护装置：测定输电线的阻抗，对到故障点为止的距离进行换算，并实现输电线的故障保护。

·失步保护装置：检测电力***失步的装置。

·瞬时值同步相量测定法：上述专利文献3中揭示的同步相量计算方法。将利用最小二乘法推算出的当前时刻电压瞬时值推测值作为分子，将利用最小二乘法推算出的当前时刻电压振幅作为分母，将由此计算得到的值的反余弦函数的值作为同步相量。由于反余弦函数的值始终为正，因此同步相量的变化范围为0～π之间，变化方向也有逆时针和顺时针两种。

·群组同步相量测定法：本申请中揭示的同步相量的计算方法。

接下来，对本实施方式所涉及的交流电气量测定装置及交流电气量测定方法进行说明。在进行说明时，首先，对构成本实施方式要点的交流电气量测定方法的概念(算法)进行说明，之后，对本实施方式所涉及的交流电气量测定装置的结构及动作进行说明。另外，在以下的说明中，在小写的字母中，带括号的(例如“v(t)”)表示矢量，不带括号的(例如“v₂”)表示瞬时值。此外，大写的字母(例如“V_g”)表示有效值或者振幅值。

(计量差分电压群)

图1是表示复平面上的计量差分电压群的图。图1中，对复平面上以实际频率逆时针旋转的3个差分电压矢量v₂(t)、v₂(t-T)、v₂(t-2T)进行考察。d为直流偏移。由于电压瞬时值中包含了直流偏移，因此将复平面的虚轴Im从O’移动到O。3个差分电压矢量可以由下式来表示。

[数学式1]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_2\left(t\right)={\mathrm{Ve}}^{j(\mathrm{\ωt}+\frac{3\mathrm{\α}}{2})}-{\mathrm{Ve}}^{j(\mathrm{\ωt}+\frac{\mathrm{\α}}{2})}\\ v_2(t-T)={\mathrm{Ve}}^{j(\mathrm{\ωt}+\frac{\mathrm{\α}}{2})}-{\mathrm{Ve}}^{j\left(\mathrm{\ωt}\frac{\mathrm{\α}}{2}\right)}\\ v_2(t-2T)={\mathrm{Ve}}^{j(\mathrm{\ωt}-\frac{\mathrm{\α}}{2})}-{\mathrm{Ve}}^{j(\mathrm{\ωt}-\frac{3\mathrm{\α}}{2})}\end{array}\right.---\left(1\right)$

这里，V是瞬时电压的交流分量的振幅。此外，ω为旋转角速度，并用下式表示。

[数学式2]

ω＝2πf   (2)

这里，f为实际频率。此外，公式(1)中的T为一个采样周期的时间，用下式来表示。

[数学式3]

$T=\frac{1}{f_S}---\left(3\right)$

这里，f_s为采样频率。此外，公式(1)中的α为T时间内电压矢量在复平面上旋转过的相位角。

可知图1中，3个差分电压矢量相对于中间的差分电压矢量具有对称性。这3个差分电压矢量构成计量差分电压群。此外，由于时间t可以取任意的值，因此公式(1)始终保持对称性。接下来，用这些计量差分电压群来揭示求取频率系数的公式。

(频率系数)

图1中，计量差分电压群的第一个成员v₂(t)与最后一个成员v₂(t-2T)相对于中间的成员v₂(t-T)具有对称性。因此，提出以下计算公式，并将该计算结果定义为频率系数。

[数学式4]

$f_C=\frac{v_{21}+v_{23}}{2v_{22}}---\left(4\right)$

这里，v₂₁,v₂₂,v₂₃分别是计量差分电压群各个成员的实部或虚部。下面，将展开上述计算公式。

计量差分电压群各成员的实部瞬时值如下所示。

[数学式5]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{21}=\mathrm{Re}\left[v_2\left(t\right)\right]=V\cos (\mathrm{\ωt}+\frac{3\mathrm{\α}}{2})-V\cos (\mathrm{\ωt}+\frac{\mathrm{\α}}{2})\\ v_{22}=\mathrm{Re}\left[v_2(t-T)\right]=V\cos (\mathrm{\ωt}+\frac{\mathrm{\α}}{2})-V\cos (\mathrm{\ωt}-\frac{\mathrm{\α}}{2})\\ v_{23}=\mathrm{Re}\left[v_2(t-2T)\right]=V\cos (\mathrm{\ωt}-\frac{\mathrm{\α}}{2})-V\cos (\mathrm{\ωt}-\frac{3\mathrm{\α}}{2})\end{array}\right.---\left(5\right)$

这里，Re表示复数的实部。若将差分电压矢量的实部代入公式(4)的分子，则计算得到下式。

[数学式6]

$\begin{array}{c}{v}_{21}+v_{23}=V[\cos (\mathrm{\ωt}+\frac{3\mathrm{\α}}{2})-\cos (\mathrm{\ωt}+\frac{\mathrm{\α}}{2})+\cos (\mathrm{\ωt}-\frac{\mathrm{\α}}{2})-\cos (\mathrm{\ωt}-\frac{3\mathrm{\α}}{2})]\\ =V[\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)\cos \frac{3\mathrm{\α}}{2}-\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)\sin \frac{3\mathrm{\α}}{2}-\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)\cos \frac{\mathrm{\α}}{2}+\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)\sin \frac{\mathrm{\α}}{2}\\ +\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)\cos \frac{\mathrm{\α}}{2}+\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)\sin \frac{\mathrm{\α}}{2}-\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)\cos \frac{3\mathrm{\α}}{2}-\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)\sin \frac{3\mathrm{\α}}{2}]\\ =2V\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)(\sin \frac{\mathrm{\α}}{2}-\sin \frac{3\mathrm{\α}}{2})\\ =2V\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)(4{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{3}-2\sin \frac{\mathrm{\α}}{2})\\ =-4V\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)\sin \frac{\mathrm{\α}}{2}\cos \mathrm{\α}\end{array}---\left(6\right)$

另外，若将差分电压矢量的实部代入公式(4)的分母，则计算得到下式。

[数学式7]

$\begin{array}{c}2v_{22}=2V[\cos (\mathrm{\ωt}+\frac{\mathrm{\α}}{2})-\cos (\mathrm{\ωt}-\frac{\mathrm{\α}}{2})]\\ =2V[\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)\cos \frac{\mathrm{\α}}{2}-\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)\sin \frac{\mathrm{\α}}{2}-\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)\cos \frac{\mathrm{\α}}{2}-\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)\sin \frac{\mathrm{\α}}{2}]\\ =-4V\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)\sin \frac{\mathrm{\α}}{2}\end{array}---\left(7\right)$

利用上述公式(6)、(7)，可按照下式来求出频率系数。

[数学式8]

$f_C=\frac{v_{21}+v_{23}}{2v_{22}}=\frac{-4V\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)\sin \frac{\mathrm{\α}}{2}\cos \mathrm{\α}}{-4V\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)\sin \frac{\mathrm{\α}}{2}}=\cos \mathrm{\α}---\left(8\right)$

即，频率系数是旋转相位角的余弦函数值。

频率系数也可以由差分电压矢量的虚部来求出。计量差分电压群各成员的虚部瞬时值如下所述。

[数学式9]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{21}=\mathrm{Im}\left[v_2\left(t\right)\right]=V\sin (\mathrm{\ωt}+\frac{3\mathrm{\α}}{2})-V\sin (\mathrm{\ωt}+\frac{\mathrm{\α}}{2})\\ v_{22}=\mathrm{Im}\left[v_2(t-T)\right]=V\sin (\mathrm{\ωt}+\frac{\mathrm{\α}}{2})-V\sin (\mathrm{\ωt}-\frac{\mathrm{\α}}{2})\\ v_{23}=\mathrm{Im}\left[v_2(t-2T)\right]=V\sin (\mathrm{\ωt}-\frac{\mathrm{\α}}{2})-V\sin (\mathrm{\ωt}-\frac{3\mathrm{\α}}{2})\end{array}\right.---\left(9\right)$

这里，Im表示复数的虚部。若将差分电压矢量的虚部代入公式(4)的分子，则计算得到下式。

[数学式10]

$\begin{array}{c}{v}_{21}+v_{23}=V[\sin (\mathrm{\ωt}+\frac{3\mathrm{\α}}{2})-\sin (\mathrm{\ωt}+\frac{\mathrm{\α}}{2})+\sin (\mathrm{\ωt}-\frac{\mathrm{\α}}{2})-\sin (\mathrm{\ωt}-\frac{3\mathrm{\α}}{2})]\\ =V[\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)\cos \frac{3\mathrm{\α}}{2}+\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)\sin \frac{3\mathrm{\α}}{2}-\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)\cos \frac{\mathrm{\α}}{2}-\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)\sin \frac{\mathrm{\α}}{2}\\ +\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)\cos \frac{\mathrm{\α}}{2}-\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)\sin \frac{\mathrm{\α}}{2}-\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)\cos \frac{3\mathrm{\α}}{2}+\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)\sin \frac{3\mathrm{\α}}{2}]\\ =2V\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)(\sin \frac{3\mathrm{\α}}{2}-\sin \frac{\mathrm{\α}}{2})\\ =2V\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)(2\sin \frac{\mathrm{\α}}{2}-4{\sin }^3\frac{\mathrm{\α}}{3})\\ =4V\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)\sin \frac{\mathrm{\α}}{2}\cos \mathrm{\α}\end{array}---\left(10\right)$

若将差分电压矢量的虚部代入公式(4)的分母，则计算得到下式。

[数学式11]

$\begin{array}{c}2v_{22}=2V[\sin (\mathrm{\ωt}+\frac{\mathrm{\α}}{2})-\sin (\mathrm{\ωt}-\frac{\mathrm{\α}}{2})]\\ =2V[\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)\cos \frac{\mathrm{\α}}{2}+\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)\sin \frac{\mathrm{\α}}{2}-\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)\cos \frac{\mathrm{\α}}{2}+\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)\sin \frac{\mathrm{\α}}{2}]\\ =4V\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)\sin \frac{\mathrm{\α}}{2}\end{array}---\left(11\right)$

利用上述公式(10)、(11)，可按照下式来求出频率系数。

[数学式12]

$f_C=\frac{v_{21}+v_{23}}{2v_{22}}=\frac{4V\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)\sin \frac{\mathrm{\α}}{2}\cos \mathrm{\α}}{4V\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)\sin \frac{\mathrm{\α}}{2}}=\cos \mathrm{\α}---\left(12\right)$

与实部的计算结果相同，频率系数为旋转相位角的余弦函数值。由上述结果可以确定，计量差分电压群具有对称性，且频率系数是计量差分电压群的旋转不变量。将上述计算方法称为频率系数法。频率系数是一个非常重要的参数，在本发明中是后续计算的基础。

(旋转相位角)

利用上述公式(8)或公式(12)，可按照下式计算旋转相位角。

[数学式13]

α＝cos^-1f_C                (13)

此外，频率系数f_C满足下式的条件。

[数学式14]

|f_C|≤1                    (14)

当不满足上述条件式时，判定输入波形不是交流波形。

(利用旋转相位角计算频率)

首先，按照下式来定义旋转相位角α。

[数学式15]

$\mathrm{\α}=2\mathrm{\π}\frac{f}{f_S}---\left(15\right)$

这里，f为实际频率，f_s为采样频率。利用上述公式(13)、(15)，按照下式来计算频率。

[数学式16]

$f=\frac{f_S}{2\mathrm{\π}}{\cos }^{-1}{f}_C---\left(16\right)$

至此，示出了仅用计量差分电压群来计算频率的计算公式。本申请发明人在提出本发明的申请之前，揭示了利用计量电压群及计量差分电压群这两个对称群来计算频率的计算公式(在申请本发明时尚未公开)。这里，作为计量电压群成员的计量电压含有偏移分量，但作为计量差分电压群成员的计量差分电压却不含偏移分量。因此，利用本发明的方法，能够与输入波形的直流偏移无关地计算频率。由此，通过计算频率系数，能够快速且在线地测定频率。因此，适合用于频率跟踪型的保护控制装置。

关于上述频率系数测定法的精度及特性，将通过后述案例1的仿真来进行说明。在下面的表1中，关于实际频率、频率系数及旋转相位角的关系，显示了几个值。表中的f_s为采样频率。

[表1]

(表1)频率系数、旋转相位角一览表

实际频率(Hz)	频率系数fc	旋转相位角(deg)
			0	1	0
fS/12	0.866	30
			fS/6	0.500	60
fS/4	0	90
			fS/3	-0.500	120
5fS/12	-0.866	150
			fS/2	-1	180

(旋转相位角的正弦函数值、以及旋转相位角半角的正弦函数值和余弦函数值)

为了之后的振幅计算，示出旋转相位角的正弦函数值、以及旋转相位角半角的正弦函数值和余弦函数值的计算公式。

根据以上的公式，旋转相位角的正弦函数值可用下式来求出。

[数学式17]

$\sin \mathrm{\α}=\sqrt{1-{\cos }^2\mathrm{\α}}=\sqrt{1-{f_C}^2}---\left(17\right)$

同样地，旋转相位角半角的正弦函数值和余弦函数值可用以下两个公式来求出。

[数学式18]

$\sin \frac{\mathrm{\α}}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \mathrm{\α}}{2}}=\sqrt{\frac{1-f_C}{2}}---\left(18\right)$

[数学式19]

$\cos \frac{\mathrm{\α}}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \mathrm{\α}}{2}}=\sqrt{\frac{1+f_C}{2}}---\left(19\right)$

(计量差分电压的计算公式)

接下来，展示计量差分电压的计算公式。计量差分电压V_gd可用下式来求出。

[数学式20]

$V_{\mathrm{gd}}=\sqrt{{v^2}_{22}-v_{21}{v}_{23}}---\left(20\right)$

若将上述公式(5)代入上面的公式(20)的平方根中的式子中，则可得到下式。

[数学式21]

$V_{\mathrm{gd}}=2V\sin \mathrm{\α}\sin \frac{\mathrm{\α}}{2}---\left(21\right)$

(电压振幅)

若用上述公式(17)、(18)和(21)，则电压振幅V可按照以下方式来求出。

[数学式22]

$V=\frac{V_{\mathrm{gd}}}{2\sin \mathrm{\α}\sin \frac{\mathrm{\α}}{2}}=\frac{V_{\mathrm{gd}}}{2\sqrt{1-{f_C}^2}\sqrt{\frac{1-f_C}{2}}}=\frac{\sqrt{2}{V}_{\mathrm{gd}}}{2(1-f_C)\sqrt{1+f_C}}---\left(22\right)$

上述公式(22)可以用时间序列瞬时值数据直接进行计算，并且，利用电压瞬时值的差分值还能计算计量差分电压，因此，能够高速、高精度地进行测定，而不会受到电压波形中的直流偏移的影响。此外，在将采样频率设定为***频率(额定频率)的4倍、且实际频率为额定频率的情况下，频率系数为零(参照上述表1)，且有以下的振幅计算公式成立。

[数学式23]

$V=\frac{\sqrt{2}{V}_{\mathrm{gd}}}{2}---\left(23\right)$

(用多个采样数据计算频率系数及计量差分电压的计算公式)

存在多个采样数据时的频率系数及计量差分电压的计算公式为以下两个公式。

[数学式24]

$f_C=\frac{1}{n-2}\underset{k=2}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}\frac{v_{2(k-1)}+v_{2(k+1)}}{2v_{2k}},n\≥3---\left(24\right)$

[数学式25]

$V_{\mathrm{gd}}=\sqrt{\frac{1}{n-2}\left(\underset{k=2}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}({v_{2k}}^2-v_{2(k-1)}{v}_{2(k+1)})\right)}=2V\sin \mathrm{\α}\sin \frac{\mathrm{\α}}{2},n\≥3---\left(25\right)$

这里，v_2k为差分电压瞬时值。通过利用3个点以上的采样数据，从而能够有效降低与输入波形重叠的噪声数据的影响。

上述公式(20)～(25)是采用电压数据时的计算公式，但采用电流数据时的计算公式也可以与采用电压数据时同样地进行计算。

(用多个电流采样数据计算频率系数及计量差分电压的计算公式)

用多个电流采样数据来计算频率系数及计量差分电流的计算公式为以下两个公式。

[数学式26]

$f_C=\frac{1}{n-2}\underset{k=2}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}\frac{i_{2(k-1)}+i_{2(k+1)}}{2i_{2k}},n\≥3---\left(26\right)$

[数学式27]

$I_{\mathrm{gd}}=\sqrt{\frac{1}{n-2}\left(\underset{k=2}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}({i_{2k}}^2-i_{2(k-1)}{i}_{2(k+1)})\right)}=2I\sin \mathrm{\α}\sin \frac{\mathrm{\α}}{2},n\≥3---\left(27\right)$

这里，i_2k为差分电流瞬时值。

(电流振幅)

若用上述公式(17)、(18)和(27)，则电流振幅I可按照以下方式来求出。

[数学式28]

$I=\frac{\sqrt{2}{I}_{\mathrm{gd}}}{2(1-f_C)\sqrt{1+f_C}}---\left(28\right)$

上述公式(28)可以用时间序列瞬时值数据直接进行计算，并且，还可利用电流瞬时值的差分值来计算计量差分电流，因此，能够高速、高精度地进行测定，而不会受到电流波形中的直流偏移的影响。

(直流偏移计算方式1)

接下来，说明用复平面上的计量电压群来计算直流偏移的第一方式(直流偏移计算方式1)。图2是表示存在直流偏移时复平面上的计量电压群的图。

图2中，复平面上以实际频率逆时针旋转的3个电压矢量v₁(t)、v₁(t-T)、v₁(t-2T)构成计量电压群。d为直流偏移。由于电压瞬时值中含有直流偏移，因此电压瞬时值由下式表示。

[数学式29]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{11}=V\cos (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\α})+d\\ v_{12}=V\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)+d\\ v_{13}=V\cos (\mathrm{\ωt}-\mathrm{\α})+d\end{array}\right.---\left(29\right)$

电压瞬时值的交流部分的频率系数f_C通过计量差分电压求出(参照上述公式(4))。这里，作为计量电压群成员的3个电压矢量v₁(t)、v₁(t-T)、v₁(t-2T)也具有以中心矢量即v₁(t-T)为基准的对称性，这一性质与计量差分电压群相同。从而，由计量差分电压群类推，基于上述公式(4)，有下式成立。

[数学式30]

$f_C=\frac{(v_{11}-d)+(v_{13}-d)}{2(v_{12}-d)}=\frac{v_{11}+v_{13}-2d}{2(v_{12}-d)}=\frac{V\cos (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\α})+V\cos (\mathrm{\ωt}-\mathrm{\α})}{2V\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)}=\cos \mathrm{\α}=f_C---\left(30\right)$

根据上述公式(30)，直流偏移d可由下式求出。

[数学式31]

$d=\frac{v_{11}+v_{13}-2v_{12}{f}_C}{2(1-f_C)}---\left(31\right)$

另外，用多个计量电压群计算直流偏移的计算公式如下式进行扩展。

[数学式32]

$d=\frac{1}{n-2}\underset{k=2}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}\frac{v_{1(k-1)}+v_{1(k+1)}-2v_{1k}{f}_C}{2(1-f_C)},n\≥3---\left(32\right)$

在将采样频率设定为电力***额定频率的4倍时，若假设实际频率为额定频率，则频率系数为零，有下面的直流偏移计算公式成立。

[数学式33]

$d=\frac{1}{n-2}\underset{k=2}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}\frac{v_{1(k-1)}+v_{1(k+1)}}{2},n\≥3---\left(33\right)$

图3是表示无直流偏移时复平面上的计量电压群的图。当利用上述求出的直流偏移抵消了计量电压群各成员的直流偏移分量的情况下，可以假设是图3所示的计量电压群。此时，作为计量电压群成员的3个电压矢量可用下式来表示。

[数学式34]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_1\left(t\right)=V{e}^{j(\mathrm{\ωt}+\mathrm{\α})}\\ v_1(t-T)=V{e}^{\mathrm{j\ωt}}\\ v_1(t-2T)=V{e}^{j(\mathrm{\ωt}-\mathrm{\α})}\end{array}\right.---\left(34\right)$

另外，当存在直流偏移时，计量电压群各成员的实部瞬时值可用下式表示。

[数学式35]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{11}-d=\mathrm{Re}\left[v_1\left(t\right)\right]=V\cos (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\α})\\ v_{12}-d=\mathrm{Re}\left[v_1(t-T)\right]=V\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)\\ v_{13}-d=\mathrm{Re}\left[v_1(t-2T)\right]=V\cos (\mathrm{\ωt}-\mathrm{\α})\end{array}\right.---\left(35\right)$

这里，v₁₁、v₁₂、v₁₃分别是当前时刻、一步前、二步前的电压瞬时值，d是直流偏移值。

(存在直流偏移时的计量电压计算公式)

接下来，示出存在直流偏移时的计量电压计算公式。计量电压群的第一个成员和最后一个成员相对于中间的成员具有对称性。因此，抵消了直流偏移的电压分量也有与上述公式(20)相同的关系成立。因此，存在直流偏移时的计量电压V_g可用下式求出。

[数学式36]

$V_g=\sqrt{{(v_{12}-d)}^2-(v_{11}-d)(v_{13}-d)}---\left(36\right)$

若将上述公式(35)代入公式(36)的平方根中的式子，则可得到下式。

[数学式37]

V_g＝V sinα                      (37)

此外，该计量电压V_g是交流电压的旋转不变量，是与直流偏移无关的交流电气量。

(用计量电压计算电压振幅)

若用上述公式(17)、(37)，则电压振幅V可按照以下方式来求出。

[数学式38]

$V=\frac{V_g}{\sin \mathrm{\α}}=\frac{V_g}{\sqrt{1-{f_C}^2}}---\left(38\right)$

(用多个采样数据计算计量电压的计算公式)

用多个采样数据计算计量电压的计算公式与计量差分电压的情况相同，可以用下式来表示。

[数学式39]

$V_g=\sqrt{\frac{1}{n-2}\left(\underset{k=2}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}({v_{1k}}^2-v_{1(k-1)}{v}_{1(k+1)})\right)}=V\sin \mathrm{\α},n\≥3---\left(39\right)$

这里，V_1k为电压瞬时值。若使用更多的采样点，则能够增加计量电压群的数量并进行平均处理，因此，能够减轻输入波形的噪声的影响。此外，当将采样频率设定为电力***额定频率的4倍时，若假设实际频率为额定频率，则频率系数f_C为零，由上述公式(38)可以导出以下的振幅计算公式。

[数学式40]

V＝V_g                   (40)

(直流偏移计算方式2)

接下来，说明用复平面上的计量电压群来计算直流偏移的第二方式(直流偏移计算方式2)。

首先，将上述公式(36)的计量电压计算式按照下式展开。

[数学式41]

V_g ²＝(v₁₂-d)²-(v₁₁-d)(v₁₃-d)＝V²sin²α   (41)

另外，当上述公式(41)展开时，直流偏移d可如下求出。

[数学式42]

$d=\frac{V^2{\sin }^2\mathrm{\α}-{v_{12}}^2+v_{11}{v}_{13}}{v_{11}+v_{13}-2v_{12}}---\left(42\right)$

另外，根据上述公式(17)和公式(22)，有下式成立。

[数学式43]

$V^2{\sin }^2\mathrm{\α}={\left(\frac{\sqrt{2}{V}_{\mathrm{gd}}}{2(1-f_C)\sqrt{1+f_C}}\right)}^2(1-{f_C}^2)=\frac{{V_{\mathrm{gd}}}^2}{2(1-f_C)}---\left(43\right)$

若将该公式(43)代入上述公式(42)，则直流偏移的计算公式如下表述。

[数学式44]

$d=\frac{\frac{{V_{\mathrm{gd}}}^2}{2(1-f_C)}-{v_{12}}^2+v_{11}{v}_{13}}{v_{11}+v_{13}-2v_{12}}---\left(44\right)$

另外，若将公式(44)扩展成多个计量电压群，则直流偏移的计算公式可以表述如下。

【数学式45】

$d=\frac{1}{n-2}\underset{k=2}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}\frac{\frac{{V_{\mathrm{gd}}}^2}{2(1-f_C)}-{v_{1k}}^2+v_{1(k-1)}{v}_{1(k+1)}}{v_{1(k-1)}+v_{1(k+1)}-2v_{1k}},n\≥3---\left(45\right)$

此外，当将采样频率设定为电力***额定频率的4倍时，若假设实际频率为额定频率，则频率系数f_C为零，由上述公式(45)可以导出以下的直流偏移计算公式。

[数学式46]

$d=\frac{1}{n-2}\underset{k=2}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}\frac{\frac{{V_{\mathrm{gd}}}^2}{2}-{v_{1k}}^2+v_{1(k-1)}{v}_{1(k+1)}}{v_{1(k-1)}+v_{1(k+1)}-2v_{1k}},n\≥3---\left(46\right)$

(用多个采样数据计算计量电流的计算公式)

用多个采样数据计算计量电流的计算公式与计量差分电流的情况相同，可以用下式来表示。

[数学式47]

$I_g=\sqrt{\frac{1}{n-2}\left(\underset{k=2}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}({i_{1k}}^2-i_{1(k-1)}{i}_{1(k+1)})\right)}=I\sin \mathrm{\α},n\≥3---\left(47\right)$

这里，i_1k为电流瞬时值。若使用更多的采样点，则能够增加计量电流群的数量并进行平均处理，因此，能够减轻输入波形的噪声的影响。

(用计量电流计算电流振幅)

用计量电流计算电流振幅的情况与计量电压的情况相同，可由下式求出。

[数学式48]

$I=\frac{I_g}{\sqrt{1-{f_C}^2}}---\left(48\right)$

(旋转相位角对称性指标1)

接下来，对使用旋转相位角以作为用于评价输入波形对称性的指标的方法中的第一指标(旋转相位角对称性指标1)进行说明。旋转相位角对称性指标1按照下式来定义。

[数学式49]

α_sym＝|α_cos-α_sin|   (49)

这里，α_cos是用频率系数法计算得到的旋转相位角，α_sin是用计量电压群或计量差分电压群计算得到的旋转相位角。这些旋转相位角由下式来表达。

[数学式50]

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_{\cos }={\cos }^{-1}{f}_C\\ {\mathrm{\α}}_{\sin }=2{\sin }^{-1}\left(\frac{V_{\mathrm{gd}}}{2V_g}\right)\end{array}\right.---\left(50\right)$

这里，上述公式(50)中的第二个式子由上述公式(21)与公式(37)之间的关系得出。

当输入波形为单纯的正弦波时，公式(49)所示的旋转相位角对称性指标1为零。

另一方面，当旋转相位角对称性指标1大于规定的阈值时，即，相对于阈值α_BRK满足下式的关系时，判定为输入波形的对称性破缺，不是单纯的正弦波。在这种情况下，根据需要锁存作为测定值的旋转相位角等。

[数学式51]

α_sym＝|α_cos-α_sin|＞α_BRK   (51)

(对称性破缺时间的计算)

首先，按下式定义对称性破缺时间。

[数学式52]

t_BRK1＝t_BRK0+T   (52)

这里，t_BRK0是累计到前一步为止的连续的对称性破缺时间的累计值，t_BRK1是当前步的对称性破缺时间的值。另外，T为步长时间。此外，在对称性没有破缺的情况下，将对称性破缺时间t_BRK0设为零。

[数学式53]

t_BRK1＝0   (53)

可以说对称性破缺时间越长，电力品质越差。利用该对称性破缺时间，可以定量地监视交流***的电力品质，能够检测出交流***的干扰等。

(旋转相位角对称性指标2)

由于旋转相位角对称性指标1始终伴随着反三角函数的计算(参照公式(49)、(50))，所以需要一定的计算时间。因此，对不需要三角函数计算的第二评价指标(旋转相位角对称性指标2)进行说明。旋转相位角对称性指标2按照下式来定义。

[数学式54]

${\mathrm{s\α}}_{\mathrm{sym}}=|{\left(\sin \frac{\mathrm{\α}}{2}\right)}_{\cos }-{\left(\sin \frac{\mathrm{\α}}{2}\right)}_{\sin }|---\left(54\right)$

这里，绝对值符号内的第一项(sin(α/2)_cos)可通过频率系数法求出，绝对值符号内的第二项(sin(α/2)_sin)可由计量电压群或计量差分电压群求出。这些计算公式已被上述公式(18)、(50)呈现，此处再一次示出。

[数学式55]

$\left\{\begin{array}{c}{\left(\sin \frac{\mathrm{\α}}{2}\right)}_{\cos }=\sqrt{\frac{1-f_C}{2}}\\ {\left(\sin \frac{\mathrm{\α}}{2}\right)}_{\sin }=\frac{V_{\mathrm{gd}}}{2V_g}\end{array}\right.---\left(55\right)$

当输入波形为单纯的正弦波时，公式(54)所示的旋转相位角对称性指标2为零。

另一方面，当旋转相位角对称性指标2大于规定的阈值时，即，相对于阈值sα_BRK满足下式的关系时，判定为输入波形的对称性破缺，不是单纯的正弦波。在这种情况下，根据需要锁存作为测定值的旋转相位角等。

[数学式56]

${\mathrm{s\α}}_{\mathrm{sym}}=|{\left(\sin \frac{\mathrm{\α}}{2}\right)}_{\cos }-{\left(\sin \frac{\mathrm{\α}}{2}\right)}_{\sin }|>{\mathrm{s\α}}_{\mathrm{BRK}}---\left(56\right)$

(针对对称性破缺情况的处理)

当输入波形的对称性破缺时，在作为保护控制装置使用的情况下，有时需要锁存对称性破缺前的值。这种情况下，按照如下方式分别锁存例如旋转相位角、频率和电压振幅。

[数学式57]

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_t={\mathrm{\α}}_{t-T}\\ f_t=f_{t-T}\\ V_t=V_{t-T}\end{array}\right.---\left(57\right)$

这里，α_t、f_t、V_t分别是当前时刻的旋转相位角、频率及电压振幅，α_t-T、f_t-T、V_t-T分别是一步前的旋转相位角、频率及电压振幅。

(电压振幅对称性指标1)

接下来，对使用电压振幅以作为用于评价输入波形对称性的指标的方法中的第一指标(电压振幅对称性指标1)进行说明。电压振幅对称性指标1按照下式来定义。

[数学式58]

V_sym1＝|V_gA-V_gdA|   (58)

这里，V_gA和V_gdA是按照以下方式分别用计量电压群和计量差分电压群计算得到的电压振幅。

[数学式59]

$\left\{\begin{array}{c}{V}_{\mathrm{gA}}=\frac{V_g}{\sqrt{1-{f_C}^2}}\\ V_{\mathrm{gdA}}=\frac{\sqrt{2}{V}_{\mathrm{gd}}}{2(1-f_C)\sqrt{1+f_C}}\end{array}\right.---\left(59\right)$

当输入波形为单纯的正弦波时，公式(58)所示的电压振幅对称性指标1为零。

另一方面，当电压振幅对称性指标1大于规定的阈值时，即，相对于阈值V_BRK满足下式的关系时，判定为输入波形的对称性破缺，不是单纯的正弦波。在这种情况下，根据需要锁存作为测定值的旋转相位角、频率、电压振幅等。

[数学式60]

V_sym1＝|V_gA-V_gdA|＞V_BRK   (60)

此外，电压振幅对称性指标1的概念也同样能适用于电流振幅。将省略公式的展开。

(计量功率群)

图4是表示复平面上的计量功率群的图。图4中，示出了在复平面上以实际频率逆时针旋转的3个电压矢量v(t)、v(t-T)、v(t-2T)和在复平面上以实际频率逆时针旋转的2个电流矢量i(t-T)、i(t-2T)。这3个电压矢量v(t)、v(t-T)、v(t-2T)和2个电流矢量i(t-T)、i(t-2T)分别可用以下两个式子来表示。

[数学式61]

$\left.\begin{array}{c}v\left(t\right)={\mathrm{Ve}}^{j(\mathrm{\ωt}+\mathrm{\α})}\\ v(t-T)={\mathrm{Ve}}^{j\left(\mathrm{\ωt}\right)}\\ v(t-2T)={\mathrm{Ve}}^{j(\mathrm{\ωt}-\mathrm{\α})}\end{array}\right\}---\left(61\right)$

[数学式62]

$\left.\begin{array}{c}i(t-T)={\mathrm{Ie}}^{j(\mathrm{\ωt}+\mathrm{\φ})}\\ i(t-2T)={\mathrm{Ie}}^{j(\mathrm{\ωt}-\mathrm{\α}+\mathrm{\φ})}\end{array}\right\}---\left(62\right)$

(计量功率群、计量有功功率群及计量无功功率群)

这里，将3个电压矢量v(t)、v(t-T)、v(t-2T)和2个电流矢量i(t-T)、i(t-2T)定义为“计量功率群”。另外，在构成计量功率群的旋转矢量中，将2个电压矢量v(t)、v(t-T)和2个电流矢量i(t-T)、i(t-2T)定义为“计量有功功率群”，将2个电压矢量v(t-T)、v(t-2T)和2个电流矢量i(t-T)、i(t-2T)定义为“计量无功功率群”，

(计量有功功率)

利用上述计量有功功率群，按照下式来定义计量有功功率。

[数学式63]

P_g＝v₂i₂-v₁i₃   (63)

这里，电压瞬时值v₁、v₂分别是电压矢量v(t)、v(t-T)的实部，由下式计算得到。

[数学式64]

$\left.\begin{array}{c}{v}_1=\mathrm{Re}\left[v\left(t\right)\right]=V\cos (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\α})\\ v_2=\mathrm{Re}\left[v(t-T)\right]=V\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)\end{array}\right\}---\left(64\right)$

同样，电流瞬时值i₂、i₃分别是电流矢量i(t-T)、i(t-2T)的实部，由下式计算得到。

[数学式65]

$\left.\begin{array}{c}{i}_2=\mathrm{Re}\left[i(t-T)\right]=I\cos (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\φ})\\ i_3=\mathrm{Re}\left[i(t-2T)\right]=I\cos (\mathrm{\ωt}-\mathrm{\α}+\mathrm{\φ})\end{array}\right\}---\left(65\right)$

若将上述公式(64)、(65)代入上述公式(63)，则表示计量有功功率的计算公式变为下式。

[数学式66]

即，计量有功功率的计算公式可由下式来表示。

[数学式67]

P_g＝VI sinαsin(α-φ)   (67)

(计量无功功率)

利用上述计量无功功率群，按照下式来定义计量无功功率。

[数学式68]

Q_g＝v₃i₂-v₂i₃   (68)

这里，电压瞬时值v₂、v₃分别是电压矢量v(t-T)、v(t-2T)的实部，由下式计算得到。

[数学式69]

$\left.\begin{array}{c}{v}_2=\mathrm{Re}\left[v(t-T)\right]=V\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)\\ v_3=\mathrm{Re}\left[v(t-2T)\right]=V\cos (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\α})\end{array}\right\}---\left(69\right)$

此外，电流瞬时值i₂、i₃则如公式(65)所定义，若将该公式(65)和上述公式(69)代入上述公式(68)，则表示计量无功功率的计算公式变为下式。

[数学式70]

$\begin{array}{c}{Q}_g=v_3{i}_2-v_2{i}_3=\mathrm{VI}[\cos (\mathrm{\ωt}-\mathrm{\α})\cos (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\φ})-\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)\cos (\mathrm{\ωt}-\mathrm{\α}+\mathrm{\φ})]\\ =\frac{\mathrm{VI}}{2}[\cos (2\mathrm{\ωt}-\mathrm{\α}+\mathrm{\φ})+\cos (\mathrm{\α}+\mathrm{\φ})-\cos (2\mathrm{\ωt}-\mathrm{\α}+\mathrm{\φ})-\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\φ})\\ =\frac{\mathrm{VI}}{2}[\cos (\mathrm{\α}+\mathrm{\φ})-\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\φ})]\\ =-\mathrm{VI}\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\φ}\end{array}---\left(70\right)$

即，计量无功功率的计算公式可由下式来表示。

[数学式71]

Q_g＝-VI sinαsinφ   (71)

根据上述公式(67)和公式(71)，电压电流间相位角φ的余弦函数值及正弦函数值可用下式计算得到。

[数学式72]

$\left\{\begin{array}{c}\cos \mathrm{\φ}=\frac{P_g-Q_g\cos \mathrm{\α}}{\mathrm{VI}{\sin }^2\mathrm{\α}}\\ \sin \mathrm{\φ}=-\frac{Q_g}{\mathrm{VI}\sin \mathrm{\α}}\end{array}\right.---\left(72\right)$

从而，根据一般的功率定义，有功功率和无功功率可由下式求出。

[数学式73]

$\left\{\begin{array}{c}P=\mathrm{VI}\cos \mathrm{\φ}=\frac{P_g-Q_g\cos \mathrm{\α}}{{\sin }^2\mathrm{\α}}=\frac{P_g-Q_g{f}_C}{1-{f_C}^2}\\ Q=\mathrm{VI}\sin \mathrm{\φ}=-\frac{Q_g}{\sin \mathrm{\α}}=-\frac{Q_g}{\sqrt{1-{f_C}^2}}\end{array}\right.---\left(73\right)$

同样地，根据一般的功率定义，视在功率可由下式求出。

[数学式74]

$\begin{array}{c}S=\sqrt{P^2+Q^2}=\sqrt{{\left(\frac{P_g-Q_g\cos \mathrm{\α}}{{\sin }^2\mathrm{\α}}\right)}^2+{\left(\frac{Q_g}{\sin \mathrm{\α}}\right)}^2}=\sqrt{\frac{{P_g}^2-2P_g{Q}_g\cos \mathrm{\α}+{Q_g}^2}{{\sin }^4\mathrm{\α}}}\\ =\frac{\sqrt{{P_g}^2-2P_g{Q}_g{f}_C+{Q_g}^2}}{1-{f_C}^2}\end{array}---\left(74\right)$

同样地，功率因数可由下式求出。

[数学式75]

$\begin{array}{c}\mathrm{PF}=\frac{P}{S}=\frac{P_g-Q_g\cos \mathrm{\α}}{{\sin }^2\mathrm{\α}}\sqrt{\frac{{\sin }^4\mathrm{\α}}{{P_g}^2-2P_g{Q}_g\cos \mathrm{\α}+{Q_g}^2}}\\ =\frac{P_g-Q_g\cos \mathrm{\α}}{\sqrt{{P_g}^2-2P_g{Q}_g\cos \mathrm{\α}+{Q_g}^2}}\\ =\frac{P_g-Q_g{f}_C}{\sqrt{{P_g}^2-2P_g{Q}_g{f}_C+{Q_g}^2}}\end{array}---\left(75\right)$

(计量功率对称性指标)

接下来，对使用计量功率以作为用于评价输入波形对称性的指标的方法进行说明。计量功率对称性指标按照下式来定义。

[数学式76]

S_sym1＝|(cosφ)_VI-(cosφ)_PF|   (76)

这里，(cosφ)_VI和(cosφ)_PF是按照下式计算得到的电压电流间相位角φ的余弦函数值。

[数学式77]

$\left\{\begin{array}{c}{\left(\cos \mathrm{\φ}\right)}_{\mathrm{VI}}=\frac{P_g-Q_g\cos \mathrm{\α}}{\mathrm{VI}{\sin }^2\mathrm{\α}}=\frac{P_g-Q_g{f}_C}{V_g{I}_g}\\ {\left(\cos \mathrm{\φ}\right)}_{\mathrm{PF}}=\mathrm{PF}=\frac{P_g-Q_g{f}_C}{\sqrt{{P_g}^2-2P_g{Q}_g{f}_C+{Q_g}^2}}\end{array}\right.---\left(77\right)$

在上述公式(76)中，若输入波形为单纯的正弦波，则计量功率对称性指标为零。

另一方面，当计量功率对称性指标大于规定的阈值时，即，相对于阈值S_BRK1满足下式的关系时，判定为输入波形的对称性破缺，不是单纯的正弦波。在这种情况下，根据需要锁存测量值(计算值)。

[数学式78]

S_sym1＝|(cosφ)_VI-(cosφ)_PF|≥S_BRK1   (78)

(距离保护计算公式)

接下来，对用于距离保护的计算公式进行描述。首先，根据阻抗的定义，得到以下计算公式。

[数学式79]

$\begin{array}{c}Z=\frac{v\left(t\right)}{i\left(t\right)}=\frac{V}{I}{e}^{\mathrm{j\φ}}=\frac{V}{I}(\cos \mathrm{\φ}+j\sin \mathrm{\φ})\\ =\frac{1}{I^2{\sin }^2\mathrm{\α}}(P_g-Q_g\cos \mathrm{\α}-j{Q}_g\sin \mathrm{\α})\\ =\frac{1}{{I_g}^2}(P_g-Q_g{f}_C-j{Q}_g\sqrt{1-{f_C}^2})\end{array}---\left(79\right)$

由上式的实部和虚部，可以按照下式计算电阻和电感

[数学式80]

$\left\{\begin{array}{c}R=\frac{P_g-Q_g{f}_C}{{I_g}^2}\\ L=\frac{-Q_g\sqrt{1-{f_C}^2}}{2\mathrm{\πf}{I_g}^2}\end{array}\right.---\left(80\right)$

此外，上式中，I_g是计量电流，f是实测频率。

(失步保护计算公式)

接下来，对用于失步保护的计算公式进行描述。此外，关于失步保护用的计算公式的详细情形已在专利文献4中公开，请参考该文献。根据该专利文献4，电力***的失步判别通过下式来进行。

[数学式81]

V_C＝V cosφ_vi＜ΔV_STEP     (81)

这里，V_C是从配置有保护装置的变电所到监视输电线前方的失步中心电压，V是本端电压振幅，φ_vi是输电线电压电流间的相位角，ΔV_STEP是调整值(例如0.3PU)。这里，当在配置有失步保护装置的位置附近发生了电力***事故时，计算得到的V_C将急剧下降，而失步情况下V_C的变化则是以一定的速度发生变化。利用这一特性，能够防止失步保护装置的误动作。

此外，失步中心电压V_C的计算公式如下所示。

[数学式82]

$\begin{array}{c}{V}_C=V\cos {\mathrm{\φ}}_{\mathrm{vi}}=V\frac{P_g-Q_g\cos \mathrm{\α}}{\mathrm{VI}{\sin }^2\mathrm{\α}}=\frac{P_g-Q_g\cos \mathrm{\α}}{I_g\sin \mathrm{\α}}\\ =\frac{P_g-Q_g{f}_C}{I_g\sqrt{1-{f_C}^2}}\end{array}---\left(82\right)$

另外，在想要减轻噪声影响的情况下，使用多个采样数据即可。多个计量有功功率对称群中的计量有功功率的计算公式如下所示。

[数学式83]

$P_g=\frac{1}{n-2}\left(\underset{k=2}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}(v_k{i}_k-v_{k-1}{i}_{k+1})\right)=\mathrm{VI}\sin \mathrm{\α}\sin (\mathrm{\α}-\mathrm{\φ}),n\≥3---\left(83\right)$

而多个计量无功功率对称群中的计量无功功率的计算公式如下所示。

[数学式84]

$Q_g=\frac{1}{n-2}\left(\underset{k=2}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}(v_{k+1}{i}_k-v_{k-1}{i}_{k+1})\right)=\mathrm{VI}\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\φ},n\≥3---\left(84\right)$

其中，各电压瞬时值和电流瞬时值的时间序列数据可用下式求出。

[数学式85]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_k=\mathrm{Re}\left\{v\right[t-(k-1)T\left]\right\},k=\mathrm{1,2},...,n\\ i_k=\mathrm{Re}\left\{i\right[t-(k-1)T\left]\right\},k=\mathrm{1,2},...,n\end{array}\right.---\left(85\right)$

这里，电压矢量、电流矢量的时间序列数据可用下式求出。

[数学式86]

$\left\{\begin{array}{c}v[t-(k-1)T]={\mathrm{Ve}}^{j[\mathrm{\ωt}-(k-1)\mathrm{\α}]},k=\mathrm{1,2},...,n\\ i[t-(k-1)T]={\mathrm{Ie}}^{j[\mathrm{\ωt}-(k-1)\mathrm{\α}+\mathrm{\φ}]},k=\mathrm{1,2},...,n\end{array}\right.---\left(86\right)$

在将本发明应用于专利文献4的失步保护装置的情况下，由于计算失步中心电压时，频率变动也自动被修正，因此能够实现高速且高精度的失步保护装置。另外，关于失步保护装置更详细的情况，将在后述的实施方式3中进行说明。

(计量差分功率群)

图5是表示复平面上的计量差分功率群的图。图5中，示出了在复平面上以实际频率逆时针旋转的3个差分电压矢量v₂(t)、v₂(t-T)、v₂(t-2T)、和在复平面上以实际频率逆时针旋转的2个差分电流矢量i₂(t-T)、i₂(t-2T)。这3个电压矢量v₂(t)、v₂(t-T)、v₂(t-2T)和2个电流矢量i₂(t-T)、i₂(t-2T)分别可用以下两个式子来表示。

[数学式87]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_2\left(t\right)=v\left(t\right)-v(t-T)={\mathrm{Ve}}^{j(\mathrm{\ωt}+\mathrm{\α})}-{\mathrm{Ve}}^{\mathrm{j\ωt}}\\ v_2(t-T)=v(t-T)-v(t-2T)={\mathrm{Ve}}^{\mathrm{j\ωt}}-{\mathrm{Ve}}^{j(\mathrm{\ωt}-\mathrm{\α})}\\ v_2(t-2T)=v(t-2T)-v(t-3T)={\mathrm{Ve}}^{j(\mathrm{\ωt}-\mathrm{\α})}-{\mathrm{Ve}}^{j(\mathrm{\ωt}-2\mathrm{\α})}\end{array}\right.---\left(87\right)$

[数学式88]

$\left\{\begin{array}{c}{i}_2(t-T)=i(t-T)-i(t-2T)={\mathrm{Ie}}^{j(\mathrm{\ωt}+\mathrm{\φ})}-{\mathrm{Ie}}^{j(\mathrm{\ωt}-\mathrm{\α}+\mathrm{\φ})}\\ i_2(t-2T)=i(t-2T)-i(t-3T)={\mathrm{Ie}}^{j(\mathrm{\ωt}-\mathrm{\α}+\mathrm{\φ})}-{\mathrm{Ie}}^{j(\mathrm{\ωt}-2\mathrm{\α}+\mathrm{\φ})}\end{array}\right.---\left(88\right)$

(计量差分功率群、计量差分有功功率群及计量差分无功功率群)

这里，将3个差分电压矢量v₂(t)、v₂(t-T)、v₂(t-2T)和2个差分电流矢量i₂(t-T)、i₂(t-2T)定义为“计量差分功率群”。另外，在构成计量功率群的旋转矢量中，将2个差分电压矢量v₂(t)、v₂(t-T)和2个差分电流矢量i₂(t-T)、i₂(t-2T)定义为“计量差分有功功率群”，将2个差分电压矢量v₂(t-T)、v₂(t-2T)和2个差分电流矢量i₂(t-T)、i₂(t-2T)定义为“计量差分无功功率群”。

(计量差分有功功率)

利用上述计量差分有功功率群，按照下式来定义计量差分有功功率。

[数学式89]

这里，差分电压瞬时值v₂₁、v₂₂分别是差分电压矢量v₂(t)、v₂(t-T)的实部，由下式计算得到。

[数学式90]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{21}=\mathrm{Re}\left[v_2\left(t\right)\right]=V\cos (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\α})-V\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)\\ v_{22}=\mathrm{Re}\left[v_2(t-T)\right]=V\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)-V\cos (\mathrm{\ωt}-\mathrm{\α})\end{array}\right.---\left(90\right)$

同样，电流瞬时值i₂₂、i₂₃分别是差分电流矢量i₂(t-T)、i₂(t-2T)的实部，由下式计算得到。

[数学式91]

$\left\{\begin{array}{c}{i}_{22}=\mathrm{Re}\left[i_2(t-T)\right]=I\cos (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\φ})-I\cos (\mathrm{\ωt}-\mathrm{\α}+\mathrm{\φ})\\ i_{23}=\mathrm{Re}\left[i_2(t-2T)\right]=I\cos (\mathrm{\ωt}-\mathrm{\α}+\mathrm{\φ})-I\cos (\mathrm{\ωt}-2\mathrm{\α}+\mathrm{\φ})\end{array}\right.---\left(91\right)$

若将上述公式(90)、(91)代入上述公式(89)，则表示计量差分有功功率的计算公式变为下式。

[数学式92]

即，计量差分有功功率的计算公式可由下式来表示。

[数学式93]

$P_{\mathrm{gd}}=4\mathrm{VI}\sin \mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}\sin (\mathrm{\α}-\mathrm{\φ})---\left(93\right)$

(计量差分无功功率)

利用上述计量差分无功功率群，按照下式来定义计量差分无功功率。

[数学式94]

Q_gd＝v₂₃i₂₂-v₂₂i₂₃         (94)

这里，差分电压瞬时值v₂₂、v₂₃分别是差分电压矢量v₂(t-T)、v₂(t-2T)的实部，由下式计算得到。

[数学式95]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{22}=\mathrm{Re}[v(t-T)-v(t-2T)]=V\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)-V\cos (\mathrm{\ωt}-\mathrm{\α})\\ v_{23}=\mathrm{Re}[v(t-2T)-v(t-3T)]=V\cos (\mathrm{\ωt}-\mathrm{\α})-V\cos (\mathrm{\ωt}-2\mathrm{\α})\end{array}\right.---\left(95\right)$

此外，电流瞬时值i₂、i₃则如公式(91)所定义，若将该公式(91)和上述公式(95)代入上述公式(94)，则表示计量差分无功功率的计算公式变为下式。

[数学式96]

即，计量差分无功功率的计算公式可由下式来表示。

[数学式97]

$Q_{\mathrm{gd}}=-4\mathrm{VI}\sin \mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}\sin \mathrm{\φ}---\left(97\right)$

根据上述公式(93)和公式(97)，电压电流间相位角φ的余弦函数值及正弦函数值可用下式计算得到。

[数学式98]

$\left\{\begin{array}{c}\cos \mathrm{\φ}=\frac{P_{\mathrm{gd}}-Q_{\mathrm{gd}}\cos \mathrm{\α}}{4\mathrm{VI}{\sin }^2\mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}}\\ \sin \mathrm{\φ}=-\frac{Q_{\mathrm{gd}}}{4\mathrm{VI}\sin \mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}}\end{array}\right.---\left(98\right)$

从而，根据一般的功率定义，有功功率和无功功率可由下式求出。

[数学式99]

$\left\{\begin{array}{c}P=\mathrm{VI}\cos \mathrm{\φ}=\frac{P_{\mathrm{gd}}-Q_{\mathrm{gd}}\cos \mathrm{\α}}{4{\sin }^2\mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}}=\frac{P_{\mathrm{gd}}-Q_{\mathrm{gd}}{f}_C}{2(1+f_C){1(1-f_C)}^2}\\ Q=\mathrm{VI}\sin \mathrm{\φ}=-\frac{Q_{\mathrm{gd}}}{4\sin \mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}}=\frac{Q_{\mathrm{gd}}}{2(1-f_C)\sqrt{1-{f_C}^2}}\end{array}\right.---\left(99\right)$

同样地，根据一般的功率定义，视在功率可由下式求出。

[数学式100]

$\begin{array}{c}S=\sqrt{P^2+Q^2}=\sqrt{{\left(\frac{P_{\mathrm{gd}}-Q_{\mathrm{gd}}\cos \mathrm{\α}}{4{\sin }^2\mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}}\right)}^2+{\left(\frac{Q_{\mathrm{gd}}}{4\sin \mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}}\right)}^2}\\ =\frac{\sqrt{{P_{\mathrm{gd}}}^2-2P_{\mathrm{gd}}{Q}_{\mathrm{gd}}\cos \mathrm{\α}+{Q_{\mathrm{gd}}}^2}}{4{\sin }^2\mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}}\\ =\frac{\sqrt{{P_{\mathrm{gd}}}^2-2P_{\mathrm{gd}}{Q}_{\mathrm{gd}}{f}_C+{Q_{\mathrm{gd}}}^2}}{2(1+f_C){(1-f_C)}^2}\end{array}---\left(100\right)$

同样地，功率因数可由下式求出。

[数学式101]

$\begin{array}{c}\mathrm{PF}=\frac{P}{S}=\frac{P_{\mathrm{gd}}-Q_{\mathrm{gd}}\cos \mathrm{\α}}{4{\sin }^2\mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}}\frac{4{\sin }^2\mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}}{\sqrt{{P_{\mathrm{gd}}}^2-2P_{\mathrm{gd}}{Q}_{\mathrm{gd}}\cos \mathrm{\α}+{Q_{\mathrm{gd}}}^2}}\\ =\frac{P_{\mathrm{gd}}-Q_{\mathrm{gd}}\cos \mathrm{\α}}{\sqrt{{P_{\mathrm{gd}}}^2-2P_{\mathrm{gd}}{Q}_{\mathrm{gd}}\cos \mathrm{\α}+{Q_{\mathrm{gd}}}^2}}\\ =\frac{P_{\mathrm{gd}}-Q_{\mathrm{gd}}{f}_C}{\sqrt{{P_{\mathrm{gd}}}^2-2P_{\mathrm{gd}}{Q}_{\mathrm{gd}}{f}_C+{Q_{\mathrm{gd}}}^2}}\end{array}---\left(101\right)$

(计量差分功率对称性指标)

接下来，对使用计量差分功率以作为用于评价输入波形对称性的指标的方法进行说明。计量差分功率对称性指标按照下式来定义。

[数学式102]

S_sym2＝|(cosφ）_VI2-(cosφ)_PF2|      (102)

这里，(cosφ)_VI2和(cosφ)_PF2是按照下式计算得到的电压电流间相位角φ的余弦函数值。

[数学式103]

$\left\{\begin{array}{c}{\left(\cos \mathrm{\φ}\right)}_{\mathrm{VI}2}=\frac{P_{\mathrm{gd}}-Q_{\mathrm{gd}}\cos \mathrm{\α}}{4\mathrm{VI}{\sin }^2\mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}}=\frac{P_{\mathrm{gd}}-Q_{\mathrm{gd}}{f}_C}{V_{\mathrm{gd}}{I}_{\mathrm{gd}}}\\ {\left(\cos \mathrm{\φ}\right)}_{\mathrm{PF}2}=\mathrm{PF}=\frac{P_{\mathrm{gd}}-Q_{\mathrm{gd}}{f}_C}{{P_{\mathrm{gd}}}^2-2P_{\mathrm{gd}}{Q}_{\mathrm{gd}}{f}_C+{Q_{\mathrm{gd}}}^2}\end{array}\right.---\left(103\right)$

在上述公式(102)中，若输入波形为单纯的正弦波，则计量差分功率对称性指标为零。

另一方面，当计量差分功率对称性指标大于规定的阈值时，即，相对于阈值S_BRK2满足下式的关系时，判定为输入波形的对称性破缺，不是单纯的正弦波。在这种情况下，根据需要来锁存测量值(计算值)。

[数学式104]

S_sym2＝|(cosφ)_VI2-(cosφ)_PF2|≥_SBRK2       (104)

(距离保护计算公式)

接下来，对用于距离保护的计算公式进行描述。首先，根据阻抗的定义，得到以下计算公式。

[数学式105]

$\begin{array}{c}Z=\frac{v\left(t\right)}{i\left(t\right)}=\frac{V}{I}{e}^{\mathrm{j\φ}}=\frac{V}{I}(\cos \mathrm{\φ}+j\sin \mathrm{\φ})\\ =\frac{1}{4I^2{\sin }^2\mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}}(P_{\mathrm{gd}}-Q_{\mathrm{gd}}\cos \mathrm{\α}-j{Q}_g\sin \mathrm{\α})\\ =\frac{1}{{I_{\mathrm{gd}}}^2}(P_{\mathrm{gd}}-Q_{\mathrm{gd}}{f}_C-j{Q}_{\mathrm{gd}}\sqrt{1-{f_C}^2})\end{array}---\left(105\right)$

由上式的实部和虚部，可以按照下式计算电阻和电感。

[数学式106]

$\left\{\begin{array}{c}R=\frac{P_{\mathrm{gd}}-Q_{\mathrm{gd}}{f}_C}{{I_{\mathrm{gd}}}^2}\\ L=\frac{-Q_{\mathrm{gd}}\sqrt{1-{f_c}^2}}{2\mathrm{\πf}{I_{\mathrm{gd}}}^2}\end{array}\right.---\left(106\right)$

上式中，I_gd是计量差分电流，f是实测频率。此外，在使用计量差分功率群来计算距离保护时，与使用计量功率群的情况相比，不受因CT饱和所产生的直流偏移的影响，因此能够实现更高精度的测定(计算)。

另外，系数距离k由下式计算出。

[数学式107]

$k=\frac{L}{L_0}\×100\%---\left(107\right)$

这里，L₀是输电线全长的电感，L是根据上述公式(106)计算出的电感。例如，当k＝50％时，意味着输电线的中点发生了故障。

(距离保护对称性指标)

接下来，对使用距离保护计算的结果以作为用于评价输入波形对称性的指标的方法进行说明。距离保护对称性指标按照下式来定义。

[数学式108]

S_DZ＝|L_g-L_gd|                (108)

这里，L_g和L_gd是按照下式计算得到的电感。

[数学式109]

$\left\{\begin{array}{c}{L}_g=\frac{-Q_g\sqrt{1-f_C}}{2\mathrm{\πf}{I_g}^2}\\ L_{\mathrm{gd}}=\frac{-Q_{\mathrm{gd}}\sqrt{1-f_C}}{2\mathrm{\πf}{I_{\mathrm{gd}}}^2}\end{array}\right.---\left(109\right)$

在上述公式(109)中，若输入波形为单纯的正弦波，则距离保护对称性指标为零。

另一方面，当距离保护对称性指标大于规定的阈值时，即，相对于阈值S_DZBRK满足下式的关系时，判定为输入波形的对称性破缺，不是单纯的正弦波。在这种情况下，根据需要锁存测定值(电阻及电感)。

[数学式110]

S_DZ＝|L_g-L_gd|≥S_DZBRK      (110)

(失步保护计算公式)

上述公式(82)示出了用计量电流和计量功率来计算失步中心电压的计算公式。另一方面，使用计量差分电流和计量差分功率来计算失步中心电压的计算公式如下式所示。

[数学式111]

$\begin{array}{c}{V}_C=V\cos {\mathrm{\φ}}_{\mathrm{vi}}=V\frac{P_{\mathrm{gd}}-Q_{\mathrm{gd}}\cos \mathrm{\α}}{4\mathrm{VI}{\sin }^2\mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}}=\frac{P_{\mathrm{gd}}-Q_{\mathrm{gd}}\cos \mathrm{\α}}{2I_{\mathrm{gd}}\sin \mathrm{\α}\sin \frac{\mathrm{\α}}{2}}\\ =\frac{\sqrt{2}(P_{\mathrm{gd}}-Q_{\mathrm{gd}}{f}_C)}{2I_{\mathrm{gd}}(1-f_C)\sqrt{1+f_C}}\end{array}---\left(111\right)$

在使用计量差分功率群来计算距离保护时，与使用计量功率群的情况相比，不受因CT饱和所产生的直流偏移的影响，因此能够实现更高精度的测定(计算)。

(失步保护对称性指标)

接下来，对使用失步中心电压的计算结果以作为用于评价输入波形对称性的指标的方法进行说明。失步保护对称性指标按照下式来定义。

[数学式112]

S_OUT＝|V_Cg-V_Cgd|        (112)

这里，V_Cg和V_Cgd是按照下式计算得到的失步中心电压。

[数学式113]

$\left\{\begin{array}{c}{V}_{\mathrm{Cg}}=\frac{P_g-Q_g{f}_C}{I_g\sqrt{1-{f_C}^2}}\\ V_{\mathrm{Cgd}}=\frac{\sqrt{2}(P_{\mathrm{gd}}-Q_{\mathrm{gd}}{f}_C)}{2I_{\mathrm{gd}}(1-f_C)\sqrt{1+f_C}}\end{array}\right.---\left(113\right)$

在上述公式(113)中，若输入波形为单纯的正弦波，则失步保护对称性指标为零。

另一方面，当失步保护对称性指标大于规定的阈值时，即，相对于阈值S_VCBRK满足下式的关系时，判定为输入波形的对称性破缺，不是单纯的正弦波。在这种情况下，根据需要锁存测量值(失步中心电压)。

[数学式114]

S_OUT＝|V_Cg-V_Cgd≥S_VCBRK              (114)

另外，在想要减轻噪声影响的情况下，使用多个采样数据即可。多个计量差分有功功率对称群中的计量差分有功功率的计算公式如下所示。

[数学式115]

$P_{\mathrm{gd}}=\frac{1}{n-2}\left(\underset{k=2}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}(v_{2k}{i}_{2k}-v_{2(k-1)}{i}_{2(k+1)})\right)=4\mathrm{VI}\sin \mathrm{\α}\mathrm{si}{n}^2\frac{\mathrm{\α}}{2}\sin (\mathrm{\α}-\mathrm{\φ}),n\≥3---\left(115\right)$

而多个计量差分无功功率对称群中的计量差分无功功率的计算公式如下所示。

[数学式116]

$Q_{\mathrm{gd}}=\frac{1}{n-2}\left(\underset{k=2}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}(v_{2(k+1)}{i}_{2k}-v_{2k}{i}_{2(k+1)})\right)=-4\mathrm{VI}\sin \mathrm{\α}\mathrm{si}{n}^2\frac{\mathrm{\α}}{2}\sin \mathrm{\φ},n\≥3---\left(116\right)$

其中，各电压瞬时值和电流瞬时值的时间序列数据可用下式求出。

[数学式117]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{2k}=\mathrm{Re}\left\{v_2\right[t-(k-1)T\left]\right\},k=\mathrm{1,2},...,n\\ i_{2k}=\mathrm{Re}\left\{i_2\right[t-(k-1)T\left]\right\},k=\mathrm{1,2},...,n\end{array}\right.---\left(117\right)$

这里，电压矢量、电流矢量的时间序列数据可用下式求出。

【数118】

$\left\{\begin{array}{c}{v}_2[t-(k-1)T]={\mathrm{Ve}}^{j[\mathrm{\ωt}-(k-1)\mathrm{\α}]}-{\mathrm{Ve}}^{j[\mathrm{\ωt}-(k-2)\mathrm{\α}]},k=\mathrm{1,2},...,n\\ i_2[t-(k-1)T]={\mathrm{Ie}}^{j[\mathrm{\ωt}-(k-1)\mathrm{\α}+\mathrm{\φ}]}-{\mathrm{Ie}}^{j[\mathrm{\ωt}-(k-2)\mathrm{\α}+\mathrm{\φ}]},k=\mathrm{1,2},...,n\end{array}\right.---\left(118\right)$

(母线间相位差)

接下来，对某一母线(或输电线)上的一个端子(以下设为“端子1”)和同一母线上的另一个端子(以下设为“端子2”)在端子1、2双方的旋转矢量为同一频率情况下的端子1、2间的旋转矢量相位差(母线间相位差)进行说明。下面，以旋转矢量为电压矢量的情况为例进行说明，但当然也适用于电压矢量以外的旋转矢量。此外，当端子1、2的旋转矢量的频率不同时，利用后述的空间同步相量即可。

(母线间电压相位差的计算)

图6是表示复平面上的计量双电压群的图。图6中，对于端子1，示出了在复平面上以实际频率逆时针旋转的电压瞬时值V₁的3个电压矢量v₁(t)、v₁(t-T)、v₁(t-2T)，对于端子2，示出了在复平面上以实际频率逆时针旋转的电压瞬时值V₂的2个电压矢量v₂(t-T)、v₂(t-2T)。这3个电压矢量v₁(t)、v₁(t-T)、v₁(t-2T)和2个电压矢量v₂(t-T)、v₂(t-2T)分别可用以下两个式子来表示。

[数学式119]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_1\left(t\right)=V_1{e}^{j(\mathrm{\ωt}+\mathrm{\α})}\\ v_1(t-T)=V_1{e}^{j\left(\mathrm{\ωt}\right)}\\ v_1(t-2T)=V_1{e}^{j(\mathrm{\ωt}-\mathrm{\α})}\end{array}\right.---\left(119\right)$

[数学式120]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_2(t-T)=V_2{e}^{j(\mathrm{\ωt}+\mathrm{\φ})}\\ v_2(t-2T)=V_2{e}^{j(\mathrm{\ωt}-\mathrm{\α}+\mathrm{\φ})}\end{array}\right.---\left(120\right)$

(计量双电压群、计量双有功电压群及计量双无功电压群)

这里，将端子1的3个电压矢量v₁(t)、v₁(t-T)、v₁(t-2T)和端子2的2个电压矢量v₂(t-T)、v₂(t-2T)定义为“计量双电压群”。另外，在构成计量双电压群的旋转矢量中，将2个电压矢量v₁(t)、v₁(t-T)和2个电压矢量v₂(t-T)、v₂(t-2T)定义为“计量双有功电压群”，将2个电压矢量v₁(t-T)、v₁(t-2T)和2个电压矢量v₂(t-T)、v₂(t-2T)定义为“计量双无功电压群”。此外，“计量双有功电压群”及“计量双无功电压群”中的“有功”、“无功”这样的用语是因为其在结构上与“计量有功功率群”及“计量无功功率群”类似。

(计量双有功电压)

利用上述计量双有功电压群，按照下式来定义计量双有功电压。

[数学式121]

V_pg＝v₁₂v₂₂-v₁₁v₂₃   (121)

这里，端子1的电压瞬时值v₁₁、v₁₂分别是电压矢量v₁(t)、v₁(t-T)的实部，由下式计算得到。

[数学式122]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{11}=\mathrm{Re}\left[v_1\left(t\right)\right]=V_1\cos (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\α})\\ v_{12}=\mathrm{Re}\left[v_1(t-T)\right]=V_1\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)\end{array}\right.---\left(122\right)$

同样地，端子2的电压瞬时值v₂₂、v₂₃分别是电压矢量v₂(t-T)、v₂(t-2T)的实部，由下式计算得到。

[数学式123]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{22}=\mathrm{Re}\left[v_2(t-T)\right]=V_2\cos (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\φ})\\ v_{23}=\mathrm{Re}\left[v_2(t-2T)\right]=V_2\cos (\mathrm{\ωt}-\mathrm{\α}+\mathrm{\φ})\end{array}\right.---\left(123\right)$

若将上述公式(122)、(123)代入上述公式(121)，则表示计量双有功电压的计算公式变为下式。

[数学式124]

即，计量双有功电压的计算公式可由下式来表示。

[数学式125]

V_pg＝V₁V₂sinαsin(α-φ)   (125)

(计量双无功电压)

利用上述计量双无功电压群，按照下式来定义计量双无功电压。

[数学式126]

V_qg＝v₁₃v₂₂-v₁₂v₂₃   (126)

这里，端子1的电压瞬时值v₁₂、v₁₃分别是电压矢量v₁(t-T)、v₁(t-2T)的实部，由下式计算得到。

[数学式127]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{12}=\mathrm{Re}\left[v_1(t-T)\right]=V_1\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)\\ v_{13}=\mathrm{Re}\left[v_1(t-2T)\right]=V_1\cos (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\α})\end{array}\right.---\left(127\right)$

此外，端子2的电压瞬时值v₂₂、v₂₃则如公式(123)所定义，若将该公式(123)和上述公式(127)代入上述公式(126)，则表示计量双无功电压的计算公式变为下式。

[数学式128]

$\begin{array}{c}{V}_{\mathrm{qg}}=v_{13}{v}_{22}-v_{12}{v}_{23}=V_1{V}_2[\cos (\mathrm{\ωt}-\mathrm{\α})\cos (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\φ})-\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)\cos (\mathrm{\ωt}-\mathrm{\α}+\mathrm{\φ})\\ =\frac{V_1{V}_2}{2}[\cos (2\mathrm{\ωt}-\mathrm{\α}+\mathrm{\φ})+\cos (\mathrm{\α}+\mathrm{\φ})-\cos (2\mathrm{\ωt}-\mathrm{\α}+\mathrm{\φ})-\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\φ})]\\ =\frac{V_1{V}_2}{2}[\cos (\mathrm{\α}+\mathrm{\φ})-\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\φ})]\\ =-V_1{V}_2\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\φ}\end{array}---\left(128\right)$

即，计量双无功电压的计算公式可由下式来表示。

[数学式129]

V_qg＝-V₁V₂sinαsinφ   (129)

根据上述公式(125)和公式(129)，端子1、2间的电压相位角差φ(以下简称为“电压相位角差φ”)的余弦函数值和正弦函数值可用下式计算得到。

[数学式130]

$\left\{\begin{array}{c}\cos \mathrm{\φ}=\frac{V_{\mathrm{pg}}-V_{\mathrm{qg}}\cos \mathrm{\α}}{V_1{V}_2{\sin }^2\mathrm{\α}}\\ \sin \mathrm{\φ}=-\frac{V_{\mathrm{qg}}}{V_1{V}_2\sin \mathrm{\α}}\end{array}\right.---\left(130\right)$

从而，电压相位角差φ可用上述公式按照下式那样求出。

[数学式131]

$\mathrm{\φ}=\begin{array}{c}{\cos }^{-1}\left(\frac{V_{\mathrm{pg}}-V_{\mathrm{qg}}{f}_C}{V_{1g}{V}_{2g}}\right),V_{\mathrm{qg}}\≤0\\ -{\cos }^{-1}\left(\frac{V_{\mathrm{pg}}-V_{\mathrm{qg}}{f}_C}{V_{1g}{V}_{2g}}\right),V_{\mathrm{qg}}>0\end{array}---\left(131\right)$

另外，端子1、2的各计量电压与各电压振幅之间存在下式的关系。

[数学式132]

$\left\{\begin{array}{c}{V}_{1g}=V_1\sin \mathrm{\α}\\ V_{2g}=V_2\sin \mathrm{\α}\end{array}\right.---\left(132\right)$

此外，如下式所示，也可以用V_pg、V_qg、f_C直接计算电压相位角差φ的余弦函数。

[数学式133]

$\begin{array}{c}{\left(\cos \mathrm{\φ}\right)}_{V12}=\frac{\cos \mathrm{\φ}}{\sqrt{{\sin }^2\mathrm{\φ}+{\cos }^2\mathrm{\φ}}}\\ =\frac{V_{\mathrm{pg}}-V_{\mathrm{qg}}\cos \mathrm{\α}}{V_1{V}_2{\sin }^2\mathrm{\α}}\frac{1}{\sqrt{{\left(\frac{V_{\mathrm{qg}}}{V_1{V}_2\sin \mathrm{\α}}\right)}^2+{\left(\frac{V_{\mathrm{pg}}-V_{\mathrm{qg}}\cos \mathrm{\α}}{V_1{V}_2{\sin }^2\mathrm{\α}}\right)}^2}}\\ =\frac{V_{\mathrm{pg}}-V_{\mathrm{qg}}\cos \mathrm{\α}}{\sqrt{{V_{\mathrm{pg}}}^2-2V_{\mathrm{pg}}{V}_{\mathrm{qg}}\cos \mathrm{\α}+{V_{\mathrm{qg}}}^2}}\\ =\frac{V_{\mathrm{pg}}-V_{\mathrm{qg}}{f}_C}{\sqrt{{V_{\mathrm{pg}}}^2-2V_{\mathrm{pg}}{V}_{\mathrm{qg}}{f}_C+{V_{\mathrm{qg}}}^2}}\end{array}---\left(133\right)$

(计量双电压对称性指标)

接下来，对使用计量双电压以作为用于评价输入波形对称性的指标的方法进行说明。计量双电压对称性指标按照下式来定义。

[数学式134]

V_2sym1＝|(cosφ)_V11-(cosφ)V₁₂|   (134)

这里，(cosφ)_V11和(cosφ)_V12是按照下式计算得到的电压相位角差φ的余弦函数值。

[数学式135]

$\left\{\begin{array}{c}{\left(\cos \mathrm{\φ}\right)}_{V11}=\frac{V_{\mathrm{pg}}-V_{\mathrm{qg}}\cos \mathrm{\α}}{V_1{V}_2{\sin }^2\mathrm{\α}}=\frac{V_{\mathrm{pg}}-V_{\mathrm{qg}}{f}_C}{V_{1g}{V}_{2g}}\\ {\left(\cos \mathrm{\φ}\right)}_{V12}=\frac{V_{\mathrm{pg}}-V_{\mathrm{qg}}{f}_C}{\sqrt{{V_{\mathrm{pg}}}^2-2V_{\mathrm{pg}}{V}_{\mathrm{qg}}{f}_C+{V_{\mathrm{qg}}}^2}}\end{array}\right.---\left(135\right)$

在上述公式(134)中，若输入波形为单纯的正弦波，则计量双电压对称性指标为零。

另一方面，当计量双电压对称性指标大于规定的阈值时，即，相对于阈值V_2BRK1满足下式的关系时，判定为输入波形的对称性破缺，不是单纯的正弦波。在这种情况下，根据需要锁存测量值(电压相位角差)。

[数学式136]

V_2sym1＝|(cosφ)_V11-(cosφ)_V12|≥V_2BRK1   (136)

另外，在想要减轻噪声影响的情况下，使用多个采样数据即可。多个计量双有功电压群中的计量双有功电压的计算公式如下所示。

[数学式137]

$V_{\mathrm{pg}}=\frac{1}{n-2}\left(\underset{k=2}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}(v_{1k}{v}_{2k}-v_{1(k-1)}{v}_{2(k+1)})\right)=V_1{V}_2\sin \mathrm{\α}\sin (\mathrm{\α}-\mathrm{\φ}),n\≥3---\left(137\right)$

而多个计量双无功电压群中的计量双无功电压的计算公式如下所示。

[数学式138]

$V_{\mathrm{qg}}=\frac{1}{n-2}\left(\underset{k=2}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}(v_{1(k+1)}{v}_{2k}-v_{1k}{v}_{2(k+1)})\right)={-V}_1{V}_2\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\φ},n\≥3---\left(138\right)$

其中，各端子的电压瞬时值的时间序列数据可用下式求出。

[数学式139]

$\left.\begin{array}{c}{v}_{1k}=\mathrm{Re}\left\{v_1\right[t-(k-1)T\left]\right\},k=\mathrm{1,2},...,n\\ v_{2k}=\mathrm{Re}\left\{v_2\right[t-(k-1)T\left]\right\},k=\mathrm{1,2},...,n\end{array}\right\}---\left(139\right)$

其中，各端子的电压矢量的时间序列数据可用下式求出。

[数学式140]

$\left.\begin{array}{c}{v}_1[t-(k-1)T]=V_1{e}^{j[\mathrm{\ωt}-(k-1)\mathrm{\α}]},k=\mathrm{1,2},...,n\\ v_2[t-(k-1)T]=V_2{e}^{j[\mathrm{\ωt}-(k-1)\mathrm{\α}+\mathrm{\φ}]},k=\mathrm{1,2},...,n\end{array}\right\}---\left(140\right)$

(计量双差分电压群、计量双差分有功电压群及计量双差分无功电压群)

图7是表示复平面上的计量双差分电压群的图。图7中，对于端子1，示出了在复平面上以实际频率逆时针旋转的电压瞬时值V₁的3个差分电压矢量v₁₂(t)、v₁₂(t-T)、v₁₂(t-2T)，对于端子2，示出了在复平面上以实际频率逆时针旋转的电压瞬时值V₂的2个差分电压矢量v₂₂(t-T)、v₂₂(t-2T)。这3个电压矢量v₁₂(t)、v₁₂(t-T)、v₁₂(t-2T)和2个电压矢量v₂₂(t-T)、v₂₂(t-2T)分别可用以下两个式子来表示。

[数学式141]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{12}\left(t\right)=v_1\left(t\right)-v_1(t-T)=V_1{e}^{j(\mathrm{\ωt}+\mathrm{\α})}-V_1{e}^{\mathrm{j\ωt}}\\ v_{12}(t-T)=v_1(t-T)-v_1(t-2T)=V_1{e}^{\mathrm{j\ωt}}-V_1{e}^{j(\mathrm{\ωt}-\mathrm{\α})}\\ v_{12}(t-2T)=v_1(t-2T)-v_1(t-3T)=V_1{e}^{j(\mathrm{\ωt}-\mathrm{\α})}-V_1{e}^{j(\mathrm{\ωt}-2\mathrm{\α})}\end{array}\right.---\left(141\right)$

[数学式142]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{22}(t-T)=v_2(t-T)-v_2(t-2T)=V_2{e}^{j(\mathrm{\ωt}+\mathrm{\φ})}-V_2{e}^{j(\mathrm{\ωt}-\mathrm{\α}+\mathrm{\φ})}\\ v_{22}(t-2T)=v_2(t-2T)-v_2(t-3T)=V_2{e}^{j(\mathrm{\ωt}-\mathrm{\α}+\mathrm{\φ})}-V_2{e}^{j(\mathrm{\ωt}-2\mathrm{\α}+\mathrm{\φ})}\end{array}\right.---\left(142\right)$

这里，将端子1的3个差分电压矢量v₁₂(t)、v₁₂(t-T)、v₁₂(t-2T)和端子2的2个差分电压矢量v₂₂(t-T)、v₂₂(t-2T)定义为“计量双差分电压群”。另外，在构成计量双差分电压群的旋转矢量中，将2个差分电压矢量v₁₂(t)、v₁₂(t-T)和2个差分电压矢量v₂₂(t-T)、v₂₂(t-2T)定义为“计量双差分有功电压群”，将2个差分电压矢量v₁₂(t-T)、v₁₂(t-2T)和2个差分电压矢量v₂₂(t-T)、v₂₂(t-2T)定义为“计量双差分无功电压群”。

(计量双差分有功电压)

利用上述计量双差分有功电压群，按照下式来定义计量双差分有功电压。

[数学式143]

V_pgd＝v₁₂₂v₂₂₂-v₁₂₁v₂₂₃   (143)

这里，端子1的电压瞬时值v₁₂₁、v₁₂₂分别是差分电压矢量v₁₂(t)、v₁₂(t-T)的实部，由下式计算得到。

[数学式144]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{121}=\mathrm{Re}\left[v_{12}\left(t\right)\right]=V_1\cos (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\α})-V_1\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)\\ v_{122}=\mathrm{Re}\left[v_{12}(t-T)\right]=V_1\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)-V_1\cos (\mathrm{\ωt}-\mathrm{\α})\end{array}\right.---\left(144\right)$

同样地，端子2的电压瞬时值v₂₂₂、v₂₂₃分别是差分电压矢量v₂₂(t-T)、v₂₂(t-2T)的实部，由下式计算得到。

[数学式145]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{222}=\mathrm{Re}\left[v_2(t-T)\right]=V_2\cos (\mathrm{\ωt}+\mathrm{\φ})-V_2\cos (\mathrm{\ωt}-\mathrm{\α}+\mathrm{\φ})\\ v_{223}=\mathrm{Re}\left[v_2(t-2T)\right]=V_2\cos (\mathrm{\ωt}-\mathrm{\α}+\mathrm{\φ})-V_2\cos (\mathrm{\ωt}-2\mathrm{\α}+\mathrm{\φ})\end{array}\right.---\left(145\right)$

若将上述公式(144)、(145)代入上述公式(143)，则表示计量双差分有功电压的计算公式变为下式。

[数学式146]

即，计量双差分有功电压的计算公式可由下式来表示。

[数学式147]

$V_{\mathrm{pgd}}=4V_1{V}_2\sin \mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}\sin (\mathrm{\α}-\mathrm{\φ})---\left(147\right)$

(计量双差分无功电压)

利用上述计量双差分无功电压群，按照下式来定义计量双差分无功电压。

[数学式148]

V_qgd＝v₁₂₃v₂₂₂-v₁₂₂v₂₂₃   (148)

这里，端子1的差分电压瞬时值v₁₂₂、v₁₂₃分别是差分电压矢量v₁₂(t-T)、v₁₂(t-2T)的实部，由下式计算得到。

[数学式149]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{122}=\mathrm{Re}[v_1(t-T)-v_1(t-2T)]=V_1\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)-V_1\cos (\mathrm{\ωt}-\mathrm{\α})\\ v_{123}=\mathrm{Re}[v_1(t-2T)-v_1(t-3T)]=V_1\cos (\mathrm{\ωt}-\mathrm{\α})-V_1\cos (\mathrm{\ωt}-2\mathrm{\α})\end{array}\right.---\left(149\right)$

此外，端子2的差分电压瞬时值v₂₂₂、v₂₂₃则如公式(145)所定义，若将该公式(145)和上述公式(149)代入上述公式(148)，则表示计量双差分无功电压的计算公式变为下式。

[数学式150]

即，计量双差分无功电压的计算公式可由下式来表示。

[数学式151]

$V_{\mathrm{qgd}}=-4V_1{V}_2\sin \mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}\sin \mathrm{\φ}---\left(151\right)$

根据上述公式(147)和公式(151)，端子1、2间的电压相位角差φ的余弦函数值和正弦函数值可用下式计算得到。根据上述情况，电压相位角差的余弦函数值和正弦函数值可用下式计算得到。

[数学式152]

$\left\{\begin{array}{c}\cos \mathrm{\φ}=\frac{V_{\mathrm{pgd}}-V_{\mathrm{qgd}}\cos \mathrm{\α}}{4V_1{V}_2{\sin }^2\mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}}\\ \sin \mathrm{\φ}=-\frac{V_{\mathrm{qgd}}}{4V_1{V}_2\sin \mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}}\end{array}\right.---\left(152\right)$

从而，电压相位角差φ可用上述公式按照下式那样求出。

[数学式153]

$\mathrm{\φ}=\left\{\begin{array}{c}{\cos }^{-1}\left(\frac{V_{\mathrm{pgd}}-V_{\mathrm{qgd}}{f}_C}{V_{1\mathrm{gd}}{V}_{2\mathrm{gd}}}\right),V_{\mathrm{qgd}}\≤0\\ -{\cos }^{-1}\left(\frac{V_{\mathrm{pgd}}-V_{\mathrm{qgd}}\cos \mathrm{\α}}{V_{1\mathrm{gd}}{V}_{2\mathrm{gd}}}\right),V_{\mathrm{qgd}}>0\end{array}\right.---\left(153\right)$

另外，端子1、2的各计量差分电压与各差分电压振幅之间存在下式的关系。

[数学式154]

$\left\{\begin{array}{c}{V}_{1\mathrm{gd}}=2V_1\sin \mathrm{\α}\sin \frac{\mathrm{\α}}{2}\\ V_{2\mathrm{gd}}=2V_2\sin \mathrm{\α}\sin \frac{\mathrm{\α}}{2}\end{array}\right.---\left(154\right)$

此外，如下式所示，也可以用V_pgd、V_qgd、f_C直接计算电压相位角差φ。

[数学式155]

$\begin{array}{c}{\left(\cos \mathrm{\φ}\right)}_{V22}=\frac{\cos \mathrm{\φ}}{\sqrt{{\sin }^2\mathrm{\φ}+{\cos }^2\mathrm{\φ}}}\\ =\frac{V_{\mathrm{pgd}}-V_{\mathrm{qgd}}\cos \mathrm{\α}}{4V_1{V}_2{\sin }^2\mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}}\frac{1}{\sqrt{{\left(\frac{V_{\mathrm{qgd}}}{4V_1{V}_2\sin \mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}}\right)}^2+{\left(\frac{V_{\mathrm{pgd}}-V_{\mathrm{qgd}}\cos \mathrm{\α}}{4V_1{V}_2{\sin }^2\mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}}\right)}^2}}\\ =\frac{V_{\mathrm{pgd}}-V_{\mathrm{qgd}}\cos \mathrm{\α}}{\sqrt{{V_{\mathrm{pgd}}}^2-2V_{\mathrm{pgd}}{V}_{\mathrm{qgd}}\cos \mathrm{\α}{{+V}_{\mathrm{qgd}}}^2}}\\ =\frac{V_{\mathrm{pgd}}-V_{\mathrm{qgd}}{f}_C}{\sqrt{{V_{\mathrm{pgd}}}^2-2V_{\mathrm{pgd}}{V}_{\mathrm{qgd}}{f}_C+{V_{\mathrm{qgd}}}^2}}\end{array}---\left(155\right)$

(计量双差分电压对称性指标)

接下来，对使用计量双差分电压以作为用于评价输入波形对称性的指标的方法进行说明。计量双差分电压对称性指标按照下式来定义。

[数学式156]

V_2sym2＝|(cosφ)_V21-(cosφ)_V22|                  (156)

这里，(cosφ)_V21和(cosφ)_V22是按照下式计算得到的电压相位角差φ的余弦函数值。

[数学式157]

$\left\{\begin{array}{c}{\left(\cos \mathrm{\φ}\right)}_{V21}=\frac{V_{\mathrm{pgd}}-V_{\mathrm{qgd}}\cos \mathrm{\α}}{4V_1{V}_2{\sin }^2\mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}}=\frac{V_{\mathrm{pgd}}-V_{\mathrm{qgd}}{f}_C}{V_{1\mathrm{gd}}{V}_{2\mathrm{gd}}}\\ {\left(\cos \mathrm{\φ}\right)}_{V22}=\frac{V_{\mathrm{pgd}}-V_{\mathrm{qgd}}{f}_C}{\sqrt{{V_{\mathrm{pgd}}}^2-2V_{\mathrm{pgd}}{V}_{\mathrm{qgd}}{f}_C+{V_{\mathrm{qgd}}}^2}}\end{array}\right.---\left(157\right)$

在上述公式(156)中，若输入波形为单纯的正弦波，则计量双差分电压对称性指标为零。

另一方面，当计量双差分电压对称性指标大于规定的阈值时，即，相对于阈值V_2BRK2满足下式的关系时，判定为输入波形的对称性破缺，不是单纯的正弦波。在这种情况下，根据需要锁存测量值(电压相位角差)。

[数学式158]

V_2sym2＝|(cosφ)_V21-(cosφ)_V22|≥V_2BRK2            (158)

另外，在想要减轻噪声影响的情况下，使用多个采样数据即可。多个计量双差分有功电压群中的计量双差分有功电压的计算公式如下所示。

[数学式159]

$V_{\mathrm{pgd}}=\frac{1}{n-2}\left(\underset{k=2}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}(v_{21k}{v}_{22k}-v_{21(k-1)}{v}_{22(k+1)})\right)=4V_1{V}_2\sin \mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}\sin (\mathrm{\α}-\mathrm{\φ}),n\≥3---\left(159\right)$

而多个计量双差分无功电压群中的计量双差分无功电压的计算公式如下所示。

[数学式160]

$V_{\mathrm{qgd}}=\frac{1}{n-2}\left(\underset{k=2}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}(v_{21(k+1)}{v}_{22k}-v_{21k}{v}_{22(k+1)})\right)=-4V_1{V}_2\sin \mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}\sin \mathrm{\φ},n\≥3---\left(160\right)$

其中，各端子的电压瞬时值的时间序列数据可用下式求出。

[数学式161]

$\left.\begin{array}{c}{v}_{21k}=\mathrm{Re}\left\{v_{21}\right[t-(k-1)T\left]\right\},k=\mathrm{1,2},...,n\\ v_{22k}=\mathrm{Re}\left\{v_{22}\right[t-(k-1)T\left]\right\},k=\mathrm{1,2},...,n\end{array}\right\}---\left(161\right)$

其中，各端子的电压矢量的时间序列数据可用下式求出。

[数学式162]

$\left.\begin{array}{c}{v}_{21}[t-(k-1)T]=V_{21}{e}^{j[\mathrm{\ωt}-(k-1)\mathrm{\α}]}-V_{21}{e}^{j[\mathrm{\ωt}-(k-2)\mathrm{\α}]},k=\mathrm{1,2},...,n\\ v_{22}[t-(k-1)T]=V_{22}{e}^{j[\mathrm{\ωt}-(k-1)\mathrm{\α}+\mathrm{\φ}]}-V_{22}{e}^{j[\mathrm{\ωt}-(k-2)\mathrm{\α}+\mathrm{\φ}]},k=12,k=\mathrm{1,2},...,n\end{array}\right\}---\left(162\right)$

以上的说明也适用于计量双电流群及计量双差分电流群。将省略公式的展开。

此外，当如上述那样求出电压相位角差时，假定了端子1、2的实际频率相同，但在端子1、2的频率不同的情况下，最好使用下述的空间同步相量。

(同步相量)

图8是表示复平面上的同步相量群的图。在图8的复平面上，示出了以实际频率逆时针旋转的3个电压矢量v₁(t)、v₁(t-T)、v₁(t-2T)和2个固定单位矢量v₁₀(0)、v₁₀(1)。这里，3个电压矢量v₁(t)、v₁(t-T)、v₁(t-2T)可用下式表述。

[数学式163]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_1\left(t\right)={\mathrm{Ve}}^{\mathrm{j\φ}}\\ v_1(t-T)={\mathrm{Ve}}^{j(\mathrm{\φ}-\mathrm{\α})}\\ v_1(t-2T)={\mathrm{Ve}}^{j(\mathrm{\φ}-2\mathrm{\α})}\end{array}\right.---\left(163\right)$

如上述“用语的含义”中所示，同步相量是复平面上逆时针旋转的电压矢量或电流矢量的绝对相位角。由于是绝对相位角，因此同步相量是随时随刻都会发生变化的依赖于时间的量。从而，若就照这样来表现同步相量，则其包含有依赖于旋转相位角而变化的分量、以及依赖于时间而变化的分量。因此，在上述公式(163)中，示出了使时间停止的某一时刻的绝对相位角分量。此外，当电压矢量中包含有直流偏移时，在利用上述计算方法计算出直流偏移分量，并减去所算出的直流偏移分量以将其抵消后，也可以适用以下的处理。

另外，2个固定单位矢量v₁₀(0)、v₁₀(1)可以用下式来表示。

[数学式164]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{10}\left(0\right)=e^{-\mathrm{j\α}\×0}=1\\ v_{10}\left(1\right)=e^{-\mathrm{j\α}\×1}=e^{-\mathrm{j\α}}\end{array}\right.---\left(164\right)$

这里，α是在线决定的旋转相位角。

(计量同步相量群、计量有功同步相量群及计量无功同步相量群)

将图8所示的3个电压矢量v₁(t)、v₁(t-T)、v₁(t-2T)和2个固定单位矢量v₁₀(0)、v₁₀(1)定义为“计量同步相量群”。另外，构成计量同步相量群的矢量中，将2个电压矢量v₁(t-T)、v₁(t-2T)和2个固定单位矢量v₁₀(0)、v₁₀(1)定义为“计量有功同步相量群”，将2个电压矢量v₁(t)、v₁(t-T)和2个固定单位矢量v₁₀(0)、v₁₀(1)定义为“计量无功同步相量群”。

此外，“计量有功同步相量群”及“计量无功同步相量群”中的“有功”、“无功”这样的用语是因为其与作为对称群的“计量有功功率群”及“计量无功功率群”的旋转不变量的计算结果、即“计量有功功率”及“计量无功功率”相类似而使用的。下述的计量差分同步相量群、计量差分有功同步相量群及计量差分无功同步相量群也一样。但是，计量同步相量群由旋转的矢量(v₁(t)、v₁(t-T)、v₁(t-2T))、和静止的矢量(v₁₀(0)、v₁₀(1))构成，而计量功率群则是由所有矢量均旋转的矢量(v(t)、v(t-T)、v(t-2T)、i(t-T)、i(t-2T))构成，两者的结构在这一点上不相同。

(计量有功同步相量及计量无功同步相量)

利用上述计量有功同步相量群，可按照下式来定义计量有功同步相量。

[数学式165]

SA_P＝v₁₂v₁₀₁-v₁₃v₁₀₀              (165)

另外，利用上述计量无功同步相量群，可按照下式来定义计量无功同步相量。

[数学式166]

SA_Q＝v₁₁v₁₀₁-v₁₂v₁₀₀                  (166)

上述公式(165)、(166)中的电压瞬时值v₁₁、v₁₂、v₁₃分别是电压矢量v₁(t)、v₁(t-T)、v₁(t-2T)的实部，由下式计算得到。

[数学式167]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{11}=\mathrm{Re}\left[v_1\left(t\right)\right]=V\cos \mathrm{\φ}\\ v_{12}=\mathrm{Re}\left[v_1(t-T)\right]=V\cos \\ v_{13}=\mathrm{Re}\left[v_1(t-2T)\right]=V\cos (\mathrm{\φ}-2\mathrm{\α})\end{array}(\mathrm{\φ}-\mathrm{\α})\right.---\left(167\right)$

同样，2个固定单位矢量的瞬时值v₁₀₀、v₁₀₁分别是固定单位矢量v₁₀(0)、v₁₀(1)的实部，由下式计算得到。

[数学式168]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{100}=\mathrm{Re}\left[v_{10}\left(0\right)\right]=1\\ v_{101}=\mathrm{Re}\left[v_{10}\left(1\right)\right]=\cos \mathrm{\α}=f_C\end{array}\right.---\left(168\right)$

若将上述公式(167)的v₁₁、v₁₂和上述公式(168)的v₁₀₀、v₁₀₁代入上述公式(165)，则表示计量有功同步相量的计算公式变成下式。

[数学式169]

$\begin{array}{c}{\mathrm{SA}}_P=v_{12}{v}_{101}-v_{13}{v}_{100}=V[\cos (\mathrm{\φ}-\mathrm{\α})\cos \mathrm{\α}-\cos (\mathrm{\φ}-2\mathrm{\α})]\\ =\frac{V}{2}[\cos \mathrm{\φ}+\cos (\mathrm{\φ}-2\mathrm{\α})-2\cos (\mathrm{\φ}-2\mathrm{\α})]\\ =\frac{V}{2}[\cos \mathrm{\φ}-\cos (\mathrm{\φ}-2\mathrm{\α})]\\ =\frac{V}{2}[\cos \mathrm{\φ}(1-\cos 2\mathrm{\α})-\sin 2\mathrm{\α}\sin \mathrm{\φ}]\\ =V\sin \mathrm{\α}\sin (\mathrm{\α}-\mathrm{\φ})\end{array}---\left(169\right)$

即，计量有功同步相量的计算公式可由下式来表示。

[数学式170]

SA_P＝V sinαsin(α-φ)                       (170)

另外，若将上述公式(167)的v₁₂、v₁₃和上述公式(168)的v₁₀₀、v₁₀₁代入上述公式(166)，则表示计量无功同步相量的计算公式变成下式。

[数学式171]

$\begin{array}{c}{\mathrm{SA}}_Q=v_{11}{v}_{101}-v_{12}{v}_{100}=V[\cos \mathrm{\φ}\cos \mathrm{\α}-\cos (\mathrm{\φ}-\mathrm{\α})]\\ =\frac{V}{2}[\cos (\mathrm{\φ}-\mathrm{\α})+\cos (\mathrm{\φ}+\mathrm{\α})2\cos (\mathrm{\φ}-\mathrm{\α})]\\ =\frac{V}{2}[\cos (\mathrm{\φ}+\mathrm{\α})-\cos (\mathrm{\φ}-\mathrm{\α})]\\ =-V\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\φ}\end{array}---\left(171\right)$

即，计量无功同步相量的计算公式可由下式来表示。

[数学式172]

SA_Q＝-V sinαsinφ                      (172)

在上述公式(170)、(172)中，依赖于频率的量V、α和依赖于时间的量φ出现在一个计算公式中。

(用电压矢量的虚部进行计算)

以上，是用电压矢量的实部进行计算，但也可以用电压矢量的虚部。以下，对用电压矢量的虚部进行计算的计算公式进行描述。

首先，若将电压瞬时值v₁₁、v₁₂、v₁₃设为电压矢量v₁(t)、v₁(t-T)、v₁(t-2T)的虚部瞬时值，则按照下式来进行计算。

[数学式173]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{11}=\mathrm{Im}\left[v_1\left(t\right)\right]=V\sin \mathrm{\φ}\\ v_{12}=\mathrm{Im}\left[v_1(t-T)\right]=V\sin \\ v_{13}=\mathrm{Im}\left[v_1(t-2T)\right]=V\sin (\mathrm{\φ}-2\mathrm{\α})\end{array}(\mathrm{\φ}-\mathrm{\α})\right.---\left(173\right)$

同样，若将固定单位矢量的瞬时值v₁₀₀、v₁₀₁也设为固定单位矢量v₁₀(0)、v₁₀(1)的虚部瞬时值，则按照下式来进行计算。

[数学式174]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{100}=\mathrm{Im}\left[v_{10}\left(0\right)\right]=0\\ v_{101}=\mathrm{Im}\left[v_{10}\left(1\right)\right]=-\sin \mathrm{\α}\end{array}\right.---\left(174\right)$

若将上述公式(173)的v₁₁、v₁₂和上述公式(174)的v₁₀₀、v₁₀₁代入上述公式(165)，则表示计量有功同步相量的计算公式变成下式。

[数学式175]

SA_P＝v₁₂v₁₀₁-v₁₃v₁₀₀＝V[sin(φ-α)×(-sinα)-sin(φ-2α)×0]       (175)

＝V sinαsin(α-φ)

另外，若将上述公式(173)的v₁₂、v₁₃和上述公式(174)的v₁₀₀、v₁₀₁代入上述公式(166)，则表示计量无功同步相量的计算公式变成下式。

[数学式176]

SA_Q＝v₁₁v₁₀₁-v₁₂v₁₀₀＝V[sinφ×(-sinα)-sin(φ-α)×0]         (176)

＝-V sinαsinφ

上述公式(169)与公式(175)相一致。而且，上述公式(171)与公式(176)相一致。由此可知，用电压矢量的实部得到的结果与用虚部得到的结果是一致的。这意味着交流正弦波的同步相量具有对称性。

(同步相量余弦函数法)

由上述公式(170)和公式(172)，可得到下式的关系。

[数学式177]

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{SA}}_P=V{\sin }^2\mathrm{\α}\cos \mathrm{\φ}-V\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\φ}\\ -{\mathrm{SA}}_Q\×\cos \mathrm{\α}=V\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\φ}\end{array}\right.---\left(177\right)$

根据上式，同步相量的余弦函数可用下式来表示。

[数学式178]

$\cos \mathrm{\φ}=\frac{{\mathrm{SA}}_P-{\mathrm{SA}}_Q\cos \mathrm{\α}}{V{\sin }^2\mathrm{\α}}---\left(178\right)$

从而，同步相量可用下式来求出。

[数学式179]

$\mathrm{\φ}=\left\{\begin{array}{c}{\cos }^{-1}\left(\frac{{\mathrm{SA}}_P-{\mathrm{SA}}_Q\cos \mathrm{\α}}{V{\sin }^2\mathrm{\α}}\right),{\mathrm{SA}}_Q\≤0\\ -{\cos }^{-1}\left(\frac{{\mathrm{SA}}_P-{\mathrm{SA}}_Q\cos \mathrm{\α}}{V{\sin }^2\mathrm{\α}}\right),{\mathrm{SA}}_Q>0\end{array}\right.---\left(179\right)$

由此可知，同步相量在-180度～+180度之间变化，是依赖于时间的量。

(同步相量正切函数法)

若使用上述公式(177)，则可得到下式的关系。

[数学式180]

$\frac{{\mathrm{SA}}_P}{{\mathrm{SA}}_Q}=\frac{{V\sin }^2\mathrm{\α}\cos \mathrm{\φ}-V\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\φ}}{-V\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\φ}}=-\frac{\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\φ}}{\sin \mathrm{\φ}}+\cos \mathrm{\α}---\left(180\right)$

根据上式，同步相量的正切函数可用下式来表示。

[数学式181]

$\tan \mathrm{\φ}=\frac{\sin \mathrm{\α}}{\cos \mathrm{\α}-\frac{{\mathrm{SA}}_P}{{\mathrm{SA}}_Q}}---\left(181\right)$

从而，同步相量可用下式来求出。

[数学式182]

$\mathrm{\φ}=\left\{\begin{array}{c}{\tan }^{-1}\left(\frac{\sin \mathrm{\α}}{\cos \mathrm{\α}-\frac{{\mathrm{SA}}_P}{{\mathrm{SA}}_Q}}\right),{\mathrm{SA}}_Q\≤0\\ {\tan }^{-1}\left(\frac{\sin \mathrm{\α}}{\cos \mathrm{\α}-\frac{{\mathrm{SA}}_P}{{\mathrm{SA}}_Q}}\right)-\mathrm{\π},{\mathrm{SA}}_Q>0\end{array}---\left(182\right)\right.$

在该公式(182)中，不存在电压振幅变量V。从而，当输入波形对称时，由于对称性的要求，公式(179)和公式(182)的结果应当相等。由此，当公式(179)与公式(182)的计算结果不同时，可以判定为输入波形的对称性破缺，输入波形不是单纯的正弦波。此外，关于使用这些公式性质的同步相量对称性指标，将在后文中描述。

(用多个采样数据计算计量有功同步相量的计算公式)

在有多个采样数据(采样点数n)的情况下的计量有功同步相量的计算公式由下式给出。

[数学式183]

${\mathrm{SA}}_P=\frac{1}{n-2}\left(\underset{k=2}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}(v_{1k}{v}_{10(k-1)}-v_{1(k+1)}{v}_{10(k-2)})\right)=V\sin \mathrm{\α}\sin (\mathrm{\α}-\mathrm{\φ}),n\≥3---\left(183\right)$

上式中，v_1k是电压瞬时值的时间序列数据。而v_10k则是由以下两式表达的固定单位矢量群成员。

[数学式184]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{10}\left(0\right)=1\\ v_{10}\left(1\right)=e^{-\mathrm{j\α}}\\ .\\ .\\ .\\ v_{10}(n-2)=e^{-j(n-2)\mathrm{\α}}\end{array}\right.---\left(184\right)$

[数学式185]

v_10k＝cos(kα)，k＝0，1，...，n-2                    (185)

(用多个采样数据计算计量无功同步相量的计算公式)

在有多个采样数据(采样点数n)的情况下的计量无功同步相量的计算公式由下式给出。

[数学式186]

${\mathrm{SA}}_Q=\frac{1}{n-2}\left(\underset{k=2}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}(v_{1(k-1)}{v}_{10(k-1)}-v_{1k}{v}_{10(k-2)})\right)=-V\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\φ},n\≥3---\left(186\right)$

(电压矢量的复数表现)

首先，电压矢量的实部和虚部如下式所示。

[数学式187]

v(t)＝v_re+jv_im                (187)

这里，v_re和v_im分别是电压矢量的实部和虚部，利用公式(172)、(178)等，按照下式进行计算。

[数学式188]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{\mathrm{re}}=V\cos \mathrm{\φ}=\frac{{\mathrm{SA}}_P-{\mathrm{SA}}_Q\cos \mathrm{\α}}{{\sin }^2\mathrm{\α}}\\ v_{\mathrm{im}}=V\sin \mathrm{\φ}=-\frac{{\mathrm{SA}}_Q}{\sin \mathrm{\α}}\end{array}\right.---\left(188\right)$

该公式(188)是非常重要的公式，意味着电压矢量的实部为电压基波瞬时值。若使用该公式(188)，则可以由时间序列数据直接计算出电压矢量的实部和虚部。

若将上述公式(188)变换成使用频率系数f_C的公式，则电压矢量的实部和虚部由下式来表示。

[数学式189]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{\mathrm{re}}=\frac{{\mathrm{SA}}_P-{\mathrm{SA}}_Q{f}_C}{1-{f_C}^2}\\ v_{\mathrm{im}}=-\frac{{\mathrm{SA}}_Q}{\sqrt{1-{f_C}^2}}\end{array}---\left(189\right)\right.$

根据上述公式(189)，电压振幅V可由下式计算得到。

[数学式190]

$\begin{array}{c}V=\sqrt{{v_{\mathrm{re}}}^2+{v_{\mathrm{im}}}^2}=\sqrt{{\left(\frac{{\mathrm{SA}}_P-{\mathrm{SA}}_Q\cos \mathrm{\α}}{{\sin }^2\mathrm{\α}}\right)}^2+{\left(\frac{{\mathrm{SA}}_Q}{\sin \mathrm{\α}}\right)}^2}\\ =\frac{\sqrt{{{\mathrm{SA}}_P}^2-2{\mathrm{SA}}_P{\mathrm{SA}}_Q\cos \mathrm{\α}+{{\mathrm{SA}}_Q}^2}}{{\sin }^2\mathrm{\α}}\\ =\frac{\sqrt{{{\mathrm{SA}}_P}^2-2{\mathrm{SA}}_P{\mathrm{SA}}_Q{f}_C+{{\mathrm{SA}}_Q}^2}}{1-{f_C}^2}\end{array}---\left(190\right)$

另外，如下式所示，也可以用SA_P、SA_Q、f_C直接计算同步相量φ的余弦函数。

[数学式191]

$\begin{array}{c}{\left(\cos \mathrm{\φ}\right)}_{\mathrm{SP}12}=\frac{v_{\mathrm{re}}}{V}=\frac{{\mathrm{SA}}_P-{\mathrm{SA}}_Q\cos \mathrm{\α}}{{\sin }^2\mathrm{\α}}\frac{{\sin }^2\mathrm{\α}}{\sqrt{{{\mathrm{SA}}_P}^{2}2{\mathrm{SA}}_P{\mathrm{SA}}_Q\cos \mathrm{\α}+{{\mathrm{SA}}_Q}^2}}\\ =\frac{{\mathrm{SA}}_P-{\mathrm{SA}}_Q\cos \mathrm{\α}}{\sqrt{{{\mathrm{SA}}_P}^2-2{\mathrm{SA}}_P{\mathrm{SA}}_Q\cos \mathrm{\α}+{{\mathrm{SA}}_Q}^2}}\\ =\frac{{\mathrm{SA}}_P-{\mathrm{SA}}_Q{f}_C}{\sqrt{{{\mathrm{SA}}_P}^2-2{\mathrm{SA}}_P{\mathrm{SA}}_Q{f}_C+{{\mathrm{SA}}_Q}^2}}\end{array}---\left(191\right)$

(同步相量余弦函数对称性指标)

接下来，对使用同步相量的余弦函数以作为用于评价输入波形对称性的指标的方法进行说明。同步相量余弦函数对称性指标由下式定义。

[数学式192]

SPS_sym1＝|(cosφ)_SP11-(cosφ)_SP12|          (192)

这里，(cosφ)_SP11和(cosφ)_SP12是按照下式计算得到的同步相量φ的余弦函数值。

[数学式193]

$\left\{\begin{array}{c}{\left(\cos \mathrm{\φ}\right)}_{\mathrm{SP}11}=\frac{{\mathrm{SA}}_P-{\mathrm{SA}}_Q\cos \mathrm{\α}}{V{\sin }^2\mathrm{\α}}=\frac{{\mathrm{SA}}_P-{\mathrm{SA}}_Q{f}_C}{V_g\sqrt{1-{f_C}^2}}\\ {\left(\cos \mathrm{\φ}\right)}_{\mathrm{SP}12}=\frac{{\mathrm{SA}}_P-{\mathrm{SA}}_Q{f}_C}{\sqrt{{{\mathrm{SA}}_P}^2-{2\mathrm{SA}}_P{\mathrm{SA}}_Q{f}_C+{{\mathrm{SA}}_Q}^2}}\end{array}\right.---\left(193\right)$

在上述公式(193)中，若输入波形为单纯的正弦波，则同步相量余弦函数对称性指标为零。

另一方面，当同步相量余弦函数对称性指标大于规定的阈值时，即，相对于阈值SPS_sym1满足下式的关系时，判定为输入波形的对称性破缺，不是单纯的正弦波。在这种情况下，根据需要锁存测定值。

[数学式194]

SPS_sym1＝|(cosφ)_SP11-(cosφ)_SP12|≥SPS_BRK1         (194)

以上的说明也适用于电流矢量及其电流振幅。将省略公式的展开。

到此为止，与同步相量相关的说明是以实际频率未知、即实际频率不一定是额定频率为前提而进行的说明。另一方面，以下，与同步相量相关的说明将在实际频率已知、即实际频率为额定频率或虽然在额定频率(50Hz或60Hz)附近变动但可视作额定频率的状态下进行说明。根据上述假设，能够在各种监视控制装置中实现高速测量，也可以适用于例如智能电表。

(α＝90°的情况)

旋转相位角α＝90°的情况在例如50Hz的***中意味着采样频率为200Hz，在60Hz的***中则意味着采样频率为240Hz。此时，构成固定单位矢量群的各成员的实数值如下式所示。

[数学式195]

这里，k＝n-2，n为采样点数。

另外，计量有功同步相量可用下式计算得到。

[数学式196]

${\mathrm{SA}}_P=\frac{1}{n-2}\underset{k=2}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}{v}_{1k},n\≥3---\left(196\right)$

这里，v_1k是电压瞬时值的时间序列数据。

另外，计量无功同步相量可用下式计算得到。

[数学式197]

${\mathrm{SA}}_Q=\frac{1}{n-2}\underset{k=2}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}{v}_{1(k-1)},n\≥3---\left(197\right)$

这里，v_1(k-1)是电压瞬时值的时间序列数据。

(α＝90°的情况下电压矢量的复数表现)

α＝90°的情况下，根据公式(188)，电压矢量的实部v_re和虚部v_im可分别简化为下式。

[数学式198]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{\mathrm{re}}={\mathrm{SA}}_P\\ v_{\mathrm{im}}={-\mathrm{SA}}_Q\end{array}\right.---\left(198\right)$

因此，电压振幅V可由下式计算得到。

[数学式199]

$V=\sqrt{{r_{\mathrm{re}}}^2+{v_{\mathrm{im}}}^2}=\sqrt{{{\mathrm{SA}}_P}^2+{{\mathrm{SA}}_Q}^2}---\left(199\right)$

若使用上述采用同步相量余弦函数法的计算公式(179)，则同步相量可用下式计算得到。

[数学式200]

$\mathrm{\φ}=\left\{\begin{array}{c}{\cos }^{-1}\left(\frac{{\mathrm{SA}}_P}{\sqrt{{{\mathrm{SA}}_P}^2+{{\mathrm{SA}}_Q}^2}}\right),{\mathrm{SA}}_Q\≤0\\ -{\cos }^{-1}\left(\frac{{\mathrm{SA}}_P}{{{\mathrm{SA}}_P}^2+{{\mathrm{SA}}_Q}^2}\right),{\mathrm{SA}}_Q>0\end{array}\right.---\left(200\right)$

此外，在日本，一般的保护控制装置广泛使用30°采样(α＝30°)。α＝30°的情况下，也可以与上述一样地导出电压振幅、同步相量、计量有功同步相量及计量无功同步相量等的计算公式。此外，关于具体的公式展开与上述相同，因此此处省略说明。

(电压振幅对称性指标2)

接下来，对使用电压振幅以作为用于评价输入波形对称性的指标的方法中的第二指标(电压振幅对称性指标2)进行说明。电压振幅对称性指标2按照下式来定义。

[数学式201]

V_sym2＝|V_SA-V_gdA|           (201)

这里，V_SA和V_gdA是按照以下方式分别用计量同步相量群和计量差分电压群计算得到的电压振幅。

[数学式202]

$\left\{\begin{array}{c}{V}_{\mathrm{SA}}=\frac{\sqrt{{{\mathrm{SA}}_P}^2-{2\mathrm{SA}}_P{\mathrm{SA}}_Q{f}_C+{{\mathrm{SA}}_Q}^2}}{1-{f_C}^2}\\ V_{\mathrm{gdA}}=\frac{\sqrt{2}{V}_{\mathrm{gd}}}{2(1-f_C)\sqrt{1+f_C}}\end{array}\right.---\left(202\right)$

当输入波形为单纯的正弦波时，公式(201)所示的电压振幅对称性指标2为零。

另一方面，当电压振幅对称性指标2大于规定的阈值时，即，相对于阈值V_BRK满足下式的关系时，判定为输入波形的对称性破缺，不是单纯的正弦波。在这种情况下，根据需要锁存作为测定值的旋转相位角、频率、电压振幅等。

[数学式203]

V_sym2＝|V_SA-V_gdA|＞V_BRK        (203)

此外，电压振幅对称性指标2的概念也同样适用于电流振幅。将省略公式的展开。

(同步相量对称性指标)

接下来，对使用同步相量以作为用于评价输入波形对称性的指标的方法进行说明。同步相量对称性指标由下式定义。

[数学式204]

φ_symA＝|φ_cos A-φ_tna A|           (204)

这里，φ_cosA和φ_tanA分别是以下分别通过同步相量余弦函数法和同步相量正切函数法计算得到的同步相量。

[数学式205]

φ_symA＝|φ_cos A-φ_tan A|＞φ_BRK       (205)

当输入波形为单纯的正弦波时，公式(204)所示的同步相量对称性指标为零。

另一方面，当同步相量对称性指标大于规定的阈值时，即，相对于阈值φ_BRK满足下式的关系时，判定为输入波形的对称性破缺，不是单纯的正弦波。此时，同步相量可由下式推算出。

[数学式206]

${\mathrm{\φ}}_t=\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\φ}}_{t-T}+2\mathrm{\πfT},{\mathrm{\φ}}_{t-T}+2\mathrm{\πfT}\≤\mathrm{\π}\\ {\mathrm{\φ}}_{t-T}+2\mathrm{\πfT}-2\mathrm{\π},{\mathrm{\φ}}_{t-T}+2\mathrm{\πfT}>\mathrm{\π}\end{array}\right.---\left(206\right)$

这里，φ_t和φ_t-T分别是当前时刻的同步相量和一步前的同步相量。另外，f为实际频率，T为采样频率一个周期。此外，这里示出的同步相量的推算值有多种用途。在后述的实施方式13中，将介绍瞬时值推算方法。

(差分同步相量)

图9是表示复平面上的差分同步相量群的图。在图9的复平面上，示出了以实际频率逆时针旋转的3个差分电压矢量v₂(t)、v₂(t-T)、v₂(t-2T)和2个固定差分单位矢量v₂₀(0)、v₂₀(1)。这里，3个差分电压矢量v₂(t)、v₂(t-T)、v₂(t-2T)和2个固定差分单位矢量v₂₀(0)、v₂₀(1)分别可用以下两个式子来表示。

[数学式207]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_2\left(t\right)={\mathrm{Ve}}^{\mathrm{j\φ}}-{\mathrm{Ve}}^{j(\mathrm{\φ}-\mathrm{\α})}\\ v_2=(t-T)=V{e}^{j(\mathrm{\φ}-\mathrm{\α})}-{\mathrm{Ve}}^{j(\mathrm{\φ}-2\mathrm{\α})}\\ v_2=(t-2T)=V{e}^{j(\mathrm{\φ}-2\mathrm{\α})}-V{e}^{j(\mathrm{\φ}-3\mathrm{\α})}\end{array}\right.---\left(207\right)$

[数学式208]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{20}\left(0\right)=1-e^{-\mathrm{j\α}}\\ v_{20}\left(1\right)=e^{-\mathrm{j\α}}-e^{-j2\mathrm{\α}}\end{array}\right.---\left(208\right)$

(计量差分同步相量群、计量差分有功同步相量群及计量差分无功同步相量群)

将图9所示的3个差分电压矢量v₂(t)、v₂(t-T)、v₂(t-2T)和2个固定差分单位矢量v₂₀(0)、v₂₀(1)定义为“计量差分同步相量群”。另外，构成计量差分同步相量群的矢量中，将2个差分电压矢量v₂(t-T)、v₂(t-2T)和2个固定差分单位矢量v₂₀(0)、v₂₀(1)定义为“计量差分有功同步相量群”，将2个电压矢量v₂(t)、v₂(t-T)和2个固定单位矢量v₂₀(0)、v₂₀(1)定义为“计量差分无功同步相量群”。

(计量差分有功同步相量及计量差分无功同步相量)

利用上述计量差分有功同步相量群，可按照下式来定义计量差分有功同步相量。

[数学式209]

SD_P＝v₂₂v₂₀₁-v₂₃v₂₀₀          (209)

另外，利用上述计量差分无功同步相量群，可按照下式来定义计量差分无功同步相量。

[数学式210]

SD_Q＝v₂₁v_201一v₂₂v₂₀₀         (210)

上述公式(209)、(210)中的电压瞬时值v₁₁、v₁₂、v₁₃分别是差分电压矢量v₂(t)、v₂(t-T)、v₂(t-2T)的实部，由下式计算得到。

[数学式211]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{21}=\mathrm{Re}\left[v_2\left(t\right)\right]=V\cos \mathrm{\φ}-V\cos (\mathrm{\φ}-\mathrm{\α})\\ v_{22}=\mathrm{Re}\left[v_2(t-T)\right]=V\cos (\mathrm{\φ}-\mathrm{\α})-V\cos (\mathrm{\φ}-2\mathrm{\α})\\ v_{23}=\mathrm{Re}\left[v_2(t-2T)\right]=V\cos (\mathrm{\φ}-2\mathrm{\α})-V\cos (\mathrm{\φ}-3\mathrm{\α})\end{array}\right.---\left(211\right)$

同样，2个固定单位矢量的瞬时值v₂₀₀、v₂₀₁分别是固定差分单位矢量v₂₀(0)、v₂₀(1)的实部，由下式计算得到。

[数学式212]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{200}=\mathrm{Re}\left[v_{20}\left(0\right)\right]=1-\cos \mathrm{\α}=1-f_C\\ v_{201}=\mathrm{Re}\left[v_{20}\left(1\right)\right]=\cos \mathrm{\α}-\cos 2\mathrm{\α}=1+f_C-2{f_C}^2\end{array}\right.---\left(212\right)$

若将上述公式(211)的v₂₁、v₂₂和上述公式(212)的v₂₀₀、v₂₀₁代入上述公式(209)，则表示计量差分有功同步相量的计算公式变成下式。

[数学式213]

即，计量差分有功同步相量的计算公式可由下式来表示。

[数学式214]

$S{D}_P=4V\sin \mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}\sin (\mathrm{\α}-\mathrm{\φ})---\left(214\right)$

另外，若将上述公式(211)的v₂₀、v₂₁和上述公式(212)的v₂₀₀、v₂₀₁代入上述公式(210)，则表示计量差分无功同步相量的计算公式变成下式。

[数学式215]

即，计量差分无功同步相量的计算公式可由下式来表示。

[数学式216]

$S{D}_Q=-4V\sin \mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}\sin \mathrm{\φ}---\left(216\right)$

(用差分电压矢量的虚部进行计算)

以上，是用差分电压矢量的实部进行计算，但也可以用差分电压矢量的虚部。以下，对用差分电压矢量的虚部进行计算的计算公式进行描述。

首先，若将电压瞬时值v₂₁、v₂₂、v₂₃设为电压矢量v₂(t)、v₂(t-T)、v₂(t-2T)的虚部瞬时值，则按照下式来进行计算。

[数学式217]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{21}=\mathrm{Im}\left[v_2\left(t\right)\right]=V\sin \mathrm{\φ}-V\sin (\mathrm{\φ}-\mathrm{\α})\\ v_{22}=\mathrm{Im}\left[v_2(t-T)\right]=V\sin (\mathrm{\φ}-\mathrm{\α})-V\sin (\mathrm{\φ}-2\mathrm{\α})\\ v_{23}=\mathrm{Im}\left[v_2(t-2T)\right]=V\sin (\mathrm{\φ}-2\mathrm{\α})-V\sin (\mathrm{\φ}-3\mathrm{\α})\end{array}\right.---\left(217\right)$

同样，若将固定单位矢量的瞬时值v₂₀₀、v₂₀₁也设为固定单位矢量v₂₀(0)、v₂₀(1)的虚部瞬时值，则按照下式来进行计算。

[数学式218]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{200}=\mathrm{Im}\left[v_{20}\left(0\right)\right]=\sin \mathrm{\α}\\ v_{201}=\mathrm{Im}\left[v_{20}\left(1\right)\right]=-\sin \mathrm{\α}+\sin 2\mathrm{\α}\end{array}\right.---\left(218\right)$

若将上述公式(217)的v₂₁、v₂₂和上述公式(218)的v₂₀₀、v₂₀₁代入上述公式(209)，则表示计量差分有功同步相量的计算公式变成下式。

【数219】

另外，若将上述公式(217)的v₂₀、v₂₁和上述公式(218)的v₂₀₀、v₂₀₁代入上述公式(209)，则表示计量差分无功同步相量的计算公式变成下式。

[数学式220]

上述公式(214)与公式(219)相一致。而且，上述公式(216)与公式(220)相一致。由此可知，用差分电压矢量的实部得到的结果与用虚部得到的结果是一致的。这意味着交流正弦波的差分同步相量具有对称性。

(差分同步相量余弦函数法)

由上述公式(214)和公式(216)，可得到下式的关系。

[数学式221]

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{SD}}_P=4V{\sin }^2\mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}\cos \mathrm{\φ}-4V\sin \mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\φ}\\ -{\mathrm{SD}}_Q\×\cos \mathrm{\α}=4V\sin \mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\φ}\end{array}\right.---\left(221\right)$

根据上式，差分同步相量的余弦函数可用下式来表示。

[数学式222]

$\cos \mathrm{\φ}=\frac{{\mathrm{SD}}_P-{\mathrm{SD}}_Q\cos \mathrm{\α}}{4V{\sin }^2\mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}}---\left(222\right)$

从而，差分同步相量可用下式来求出。

[数学式223]

$\mathrm{\φ}=\left\{\begin{array}{c}{\cos }^{-1}\left(\frac{{\mathrm{SD}}_P-{\mathrm{SD}}_Q\cos \mathrm{\α}}{4V{\sin }^2\mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}}\right),{\mathrm{SD}}_Q\≤0\\ -{\cos }^{-1}\left(\frac{{\mathrm{SD}}_P-{\mathrm{SD}}_Q\cos \mathrm{\α}}{4V{\sin }^2\mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}}\right),{\mathrm{SD}}_Q>0\end{array}\right.---\left(223\right)$

由上式求出的差分同步相量是用差分电压矢量计算得到的，因此，具有受电压波形的直流偏移的影响较小的优点。

(差分同步相量正切函数法)

若使用上述公式(221)，则可得到下式的关系。

[数学式224]

$\frac{{\mathrm{SD}}_P}{{\mathrm{SD}}_Q}=\frac{4V{\sin }^2\mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}\cos \mathrm{\φ}-4V\sin \mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\φ}}{-4V\sin \mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}\sin \mathrm{\φ}}=-\frac{\sin \mathrm{\α}}{\tan \mathrm{\φ}}+\cos \mathrm{\α}---\left(224\right)$

根据上式，差分同步相量的正切函数可用下式来表示。

[数学式225]

$\tan \mathrm{\φ}=\frac{\sin \mathrm{\α}}{\cos \mathrm{\α}-\frac{{\mathrm{SD}}_P}{{\mathrm{SD}}_Q}}---\left(225\right)$

从而，差分同步相量可用下式来求出。

[数学式226]

$\mathrm{\φ}=\left\{\begin{array}{c}{\tan }^{-1}\left(\frac{\sin \mathrm{\α}}{\cos \mathrm{\α}-\frac{{\mathrm{SD}}_P}{{\mathrm{SD}}_Q}}\right),{\mathrm{SD}}_Q\≤0\\ {\tan }^{-1}\left(\frac{\sin \mathrm{\α}}{\cos \mathrm{\α}-\frac{{\mathrm{SD}}_P}{{\mathrm{SD}}_Q}}\right)-\mathrm{\π},{\mathrm{SD}}_Q>0\end{array}\right.---\left(226\right)$

由上式求出的差分同步相量是用差分电压矢量计算得到的，因此，具有受电压波形的直流偏移的影响较小的优点。

(用多个采样数据计算计量差分有功同步相量的计算公式)

在有多个采样数据(采样点数n)的情况下的计量差分有功同步相量的计算公式由下式给出。

[数学式227]

${\mathrm{SD}}_P=\frac{1}{n-2}\left(\underset{k=2}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}(v_{2k}{v}_{20(k-2)}-v_{2(k+1)}{v}_{20(k-1)})\right)=4V\sin \mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}\sin (\mathrm{\α}-\mathrm{\φ}),n\≥3---\left(\text{227}\right)$

上式中，v_2k是差分电压瞬时值的时间序列数据。而v_20k则是由以下两式表达的固定差分单位矢量群的成员。

[数学式228]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{20}\left(0\right)=1-e^{-\mathrm{j\α}}\\ v_{20}\left(1\right)=e^{-\mathrm{j\α}}-e^{-j2\mathrm{\α}}\\ .\\ .\\ .\\ v_{20}(n-2)=e^{-j(n-2)\mathrm{\α}}-e^{-j(n-3)\mathrm{\α}}\end{array}\right.---\left(\text{228}\right)$

[数学式229]

v_20k＝cos(kα)-cos[(k-1)α]，k＝0，1，...，n-2   (229)

(用多个采样数据计算计量差分无功同步相量的计算公式)

在有多个采样数据(采样点数n)的情况下的计量差分无功同步相量的计算公式由下式给出。

[数学式230]

${\mathrm{SD}}_Q=\frac{1}{n-2}\left(\underset{k=2}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}(v_{2(k-1)}{v}_{20(k-2)}-v_{2k}{v}_{20(k-1)})\right)=-4V\sin \mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}\sin \mathrm{\φ},n\≥3---\left(\text{230}\right)$

(电压矢量的复数表现)

首先，利用公式(216)、(222)等，电压矢量的实部v_re、虚部v_im如下式表述。

[数学式231]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{\mathrm{re}}=V\cos \mathrm{\φ}=\frac{{\mathrm{SD}}_P-{\mathrm{SD}}_Q\cos \mathrm{\α}}{4{\sin }^2\mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}}\\ v_{\mathrm{im}}=V\sin \mathrm{\φ}=-\frac{{\mathrm{SD}}_Q}{4\sin \mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}}\end{array}\right.---\left(231\right)$

该公式(231)是非常重要的公式，可以由时间序列数据直接计算出电压矢量的实部和虚部。

若将上述公式(231)变换成使用频率系数f_C的公式，则电压矢量的实部和虚部由下式来表示。

[数学式232]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{\mathrm{re}}=\frac{{\mathrm{SD}}_P-{\mathrm{SD}}_Q{f}_C}{2(1+f_C){(1-f_C)}^2}\\ v_{\mathrm{im}}=-\frac{{\mathrm{SD}}_Q}{2(1-f_C)\sqrt{1-{f_C}^2}}\end{array}\right.---\left(232\right)$

根据上述公式(232)，电压振幅V可由下式计算得到。

[数学式233]

$\begin{array}{c}V=\sqrt{{v_{\mathrm{re}}}^2+{v_{\mathrm{im}}}^2}=\sqrt{{\left(\frac{{\mathrm{SD}}_P-{\mathrm{SD}}_Q\cos \mathrm{\α}}{{4\sin }^2\mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}}\right)}^2+{\left(\frac{{\mathrm{SD}}_Q}{4\sin \mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}}\right)}^2}\\ =\frac{\sqrt{{{\mathrm{SD}}_P}^2-2{\mathrm{SD}}_P{\mathrm{SD}}_Q\cos \mathrm{\α}+{{\mathrm{SD}}_Q}^2}}{4{\sin }^2\mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}}\\ =\frac{\sqrt{{{\mathrm{SD}}_P}^2-2{\mathrm{SD}}_P{\mathrm{SD}}_Q{f}_C+{{\mathrm{SD}}_Q}^2}}{2(1+f_C){(1-f_C)}^2}\end{array}---\left(233\right)$

另外，如下式所示，也可以用SD_P、SD_Q、f_C直接计算同步相量φ的余弦函数。

[数学式234]

$\begin{array}{c}{\left(\cos \mathrm{\φ}\right)}_{\mathrm{SP}22}=\frac{v_{\mathrm{re}}}{V}=\frac{{\mathrm{SD}}_P-{\mathrm{SD}}_Q\cos \mathrm{\α}}{4{\sin }^2\mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}}\frac{4{\sin }^2\mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}}{\sqrt{{{\mathrm{SD}}_P}^2-2{\mathrm{SD}}_P{\mathrm{SD}}_Q\cos \mathrm{\α}+{{\mathrm{SD}}_Q}^2}}\\ =\frac{{\mathrm{SD}}_P-{\mathrm{SD}}_Q\cos \mathrm{\α}}{\sqrt{{{\mathrm{SD}}_P}^2-2{\mathrm{SD}}_P{\mathrm{SD}}_Q\cos \mathrm{\α}+{{\mathrm{SD}}_Q}^2}}\\ =\frac{{\mathrm{SD}}_P-{\mathrm{SD}}_Q{f}_C}{\sqrt{{{\mathrm{SD}}_P}^2-{2\mathrm{SD}}_P{\mathrm{SD}}_Q{f}_C+{{\mathrm{SD}}_Q}^2}}\end{array}---\left(234\right)$

(差分同步相量余弦函数对称性指标)

接下来，对使用差分同步相量的余弦函数以作为用于评价输入波形对称性的指标的方法进行说明。差分同步相量余弦函数对称性指标由下式定义。

[数学式235]

SPS_sym2＝|(cosφ)_SP21-(cosφ)_SP22|   (235)

这里，(cosφ)_SP21和(cosφ)_SP22是按照下式计算得到的同步相量φ的余弦函数值。

[数学式236]

$\left\{\begin{array}{c}{\left(\cos \mathrm{\φ}\right)}_{\mathrm{SP}21}=\frac{{\mathrm{SD}}_P-{\mathrm{SD}}_Q\cos \mathrm{\α}}{4V{\sin }^2\mathrm{\α}{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}}=\frac{\sqrt{2}({\mathrm{SD}}_P-{\mathrm{SD}}_Q{f}_C)}{{2V}_g(1-f_C)\sqrt{1+f_C}}\\ {\left(\cos \mathrm{\φ}\right)}_{\mathrm{SP}22}=\frac{{\mathrm{SD}}_P-{\mathrm{SD}}_Q{f}_C}{\sqrt{{{\mathrm{SD}}_P}^2-{2\mathrm{SD}}_P{\mathrm{SD}}_Q{f}_C+{{\mathrm{SD}}_Q}^2}}\end{array}\right.---\left(236\right)$

在上述公式(236)中，若输入波形为单纯的正弦波，则同步相量余弦函数对称性指标为零。

另一方面，当差分同步相量余弦函数对称性指标大于规定的阈值时，即，相对于阈值SPS_sym2满足下式的关系时，判定为输入波形的对称性破缺，不是单纯的正弦波。在这种情况下，根据需要锁存测定值。

[数学式237]

SPS_sym2＝|(cosφ)_SP21-(cosφ)_SP22|≥SPS_BRK2   (237)

以上的说明也适用于电流矢量及其电流振幅。将省略公式的展开。

到此为止，与差分同步相量相关的说明是以实际频率未知、即实际频率不一定是额定频率为前提而进行的说明。另一方面，以下，与差分同步相量相关的说明将在实际频率已知、即实际频率为额定频率或虽然在额定频率(50Hz或60Hz)附近变动但可视作额定频率的状态下进行说明。根据上述假设，能够在各种监视控制装置中实现高速测量，也可以适用于例如智能电表。

(α＝90°的情况)

旋转相位角α＝90°的情况在例如50Hz的***中意味着采样频率为200Hz，在60Hz的***中则意味着采样频率为240Hz。此时，构成固定单位矢量群的各成员的实数值如下式所示。

[数学式238]

这里，k＝n-2，n为采样点数。

这里，根据上述公式(170)、(172)、(214)、(216)，有下式成立。

[数学式239]

$\frac{{\mathrm{SD}}_P}{{\mathrm{SA}}_P}=\frac{{\mathrm{SD}}_Q}{{\mathrm{SA}}_Q}=4{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}=2---\left(\text{239}\right)$

因此，提出以下所示的判别式，来作为用于判定输入交流电压的对称性破缺的判别式。

[数学式240]

$\left\{\begin{array}{c}|\frac{{\mathrm{SD}}_P}{{\mathrm{SA}}_P}-2|>\mathrm{\ϵ}\\ |\frac{{\mathrm{SD}}_Q}{{\mathrm{SA}}_Q}-2|>\mathrm{\ϵ}\end{array}\right.---\left(240\right)$

式中，ε是调整值。当满足上式时，判定为输入交流波形的对称性破缺。在这种情况下，优选进行锁存前一步的值的处理，而不采用例如下述的同步相量的计算结果。

(α＝90°的情况下电压矢量的复数表现)

α＝90°的情况下，根据公式(231)，电压矢量的实部v_re和虚部v_im可分别简化为下式。

[数学式241]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{\mathrm{re}}=\frac{{\mathrm{SD}}_P}{2}\\ v_{\mathrm{im}}=-\frac{{\mathrm{SD}}_Q}{2}\end{array}\right.---\left(241\right)$

因此，电压振幅V可由下式计算得到。

[数学式242]

$V=\sqrt{{v_{\mathrm{re}}}^2+{v_{\mathrm{im}}}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{{{\mathrm{SD}}_P}^2+{{\mathrm{SD}}_Q}^2}---\left(242\right)$

若使用上述采用同步相量余弦函数法的计算公式(223)，则同步相量可用下式计算得到。

[数学式243]

$\mathrm{\φ}=\left\{\begin{array}{c}{\cos }^{-1}\left(\frac{{\mathrm{SD}}_P}{\sqrt{{{\mathrm{SD}}_P}^2+{{\mathrm{SD}}_Q}^2}}\right),{\mathrm{SD}}_Q\≤0\\ {-\cos }^{-1}\left(\frac{{\mathrm{SD}}_P}{\sqrt{{{\mathrm{SD}}_P}^2+{{\mathrm{SD}}_Q}^2}}\right),{\mathrm{SD}}_Q>0\end{array}\right.---\left(243\right)$

此外，在日本，一般的保护控制装置广泛使用30°采样(α＝30°)。α＝30°的情况下，也可以与上述一样，导出电压振幅、同步相量、计量差分有功同步相量及计量差分无功同步相量等的计算公式。关于具体的公式展开与上述相同，因此此处省略说明。

另外，如上所述，电压振幅及同步相量可以用计量同步相量群和计量差分同步相量群中的任一个来计算得到。但是，在可以使用这两种方法的情况下，优选采用不受输入波形的直流偏移的影响的、使用差分同步相量群的计算方法。

此外，以上的说明也能适用于基于电流矢量来计算同步相量的计算处理。将省略公式的展开。

(电压振幅对称性指标3)

接下来，对使用电压振幅以作为用于评价输入波形对称性的指标的方法中的第三指标(电压振幅对称性指标3)进行说明。电压振幅对称性指标3按照下式来定义。

[数学式244]

V_sym3＝|V_SD-V_gdA|   (244)

这里，V_SD和V_gdA是按照以下方式分别用计量差分同步相量群和计量差分电压群计算得到的电压振幅。

[数学式245]

$\left\{\begin{array}{c}{V}_{\mathrm{SD}}=\frac{\sqrt{{{\mathrm{SD}}_P}^2-2{\mathrm{SD}}_P{\mathrm{SD}}_Q{f}_C+{{\mathrm{SD}}_Q}^2}}{2(1+f_C){(1-f_C)}^2}\\ V_{\mathrm{gdA}}=\frac{\sqrt{2}{V}_{\mathrm{gd}}}{2(1-f_C)\sqrt{1+f_C}}\end{array}\right.---\left(245\right)$

当输入波形为单纯的正弦波时，公式(244)所示的电压振幅对称性指标3为零。

另一方面，当电压振幅对称性指标3大于规定的阈值时，即，相对于阈值V_BRK满足下式的关系时，判定为输入波形的对称性破缺，不是单纯的正弦波。在这种情况下，根据需要锁存作为测定值的旋转相位角、频率、电压振幅等。

[数学式246]

V_sym3＝|V_SD-V_gdA|＞V_BRK   (246)

此外，电压振幅对称性指标3的概念也同样适用于电流振幅。将省略公式的展开。

(电压振幅对称性指标4)

接下来，对使用电压振幅以作为用于评价输入波形对称性的指标的方法中的第四指标(电压振幅对称性指标4)进行说明。电压振幅对称性指标4按照下式来定义。

[数学式247]

V_sym4＝|V_SA-V_SD|   (247)

这里，V_SA和V_SD是按照以下方式分别用计量同步相量群和计量差分同步相量群计算得到的电压振幅。

[数学式248]

$\left\{\begin{array}{c}{V}_{\mathrm{SA}}=\frac{\sqrt{{{\mathrm{SA}}_P}^2-2{\mathrm{SA}}_P{\mathrm{SA}}_Q{f}_C+{{\mathrm{SA}}_Q}^2}}{1-{f_C}^2}\\ V_{\mathrm{SD}}=\frac{\sqrt{{{\mathrm{SD}}_P}^2-2{\mathrm{SD}}_P{\mathrm{SD}}_Q{f}_C+{{\mathrm{SD}}_Q}^2}}{2(1+f_C){(1-f_C)}^2}\end{array}\right.---\left(248\right)$

当输入波形为单纯的正弦波时，公式(247)所示的电压振幅对称性指标4为零。

另一方面，当电压振幅对称性指标4大于规定的阈值时，即，相对于阈值V_BRK满足下式的关系时，判定为输入波形的对称性破缺，不是单纯的正弦波。在这种情况下，根据需要锁存作为测定值的旋转相位角、频率、电压振幅等。

[数学式249]

V_sym4＝|V_SA-V_SD|＞V_BRK   (249)

此外，电压振幅对称性指标4的概念也同样适用于电流振幅。将省略公式的展开。

(同步相量对称性指标)

接下来，对使用差分同步相量以作为用于评价输入波形对称性的指标的方法进行说明。差分同步相量对称性指标由下式定义。

[数学式250]

φ_symD＝|φ_cos D-φ_tan D|   (250)

这里，φ_cosD和φ_tanD分别是通过差分同步相量余弦函数法和差分同步相量正切函数法计算得到的同步相量。

当输入波形为单纯的正弦波时，公式(250)所示的差分同步相量对称性指标为零。

另一方面，当差分同步相量对称性指标大于规定的阈值时，即，相对于阈值φ_BRK满足下式的关系时，判定为输入波形的对称性破缺，不是单纯的正弦波。此时，同步相量用上述公式(206)来推算。

[数学式251]

φ_symD＝|φ_cos D-φ_tan D|＞φ_BRK   (251)

(计量有功无功同步相量对称性指标)

接下来，对使用计量有功无功同步相量以作为用于评价输入波形对称性的指标的方法进行说明。

首先，如同在公式(239)中所示，根据上述公式(170)、(172)、(214)、(216)，有下式成立。

[数学式252]

$\frac{{\mathrm{SD}}_P}{{\mathrm{SA}}_P}=\frac{{\mathrm{SD}}_Q}{S{A}_Q}=4{\sin }^2\frac{\mathrm{\α}}{2}---\left(252\right)$

这里，SA_P和SD_P分别是计量有功同步相量和计量差分有功同步相量，SA_Q和SD_Q分别是计量无功同步相量和计量差分无功同步相量。

这里，当将公式(252)的第一项与第二项之差的绝对值定义为计量有功无功同步相量对称性指标时，若该差分同步相量对称性指标SAD_sym如下式所示那样小于规定的阈值φ_BRK，则判定为输入波形为正弦波。

[数学式253]

${\mathrm{SAD}}_{\mathrm{sym}}=|\frac{{\mathrm{SD}}_P}{S{A}_P}-\frac{{\mathrm{SD}}_Q}{S{A}_Q}|<{\mathrm{SAD}}_{\mathrm{BRK}}---\left(253\right)$

另一方面，当差分同步相量对称性指标SAD_sym大于规定的阈值φ_BRK时，判定为输入波形的对称性破缺，不是单纯的正弦波。

(电压基波瞬时值的推算)

电压基波瞬时值是电压矢量的实部，如上述公式(189)所示，可用下式来表示。

[数学式254]

$v_{\mathrm{re}}=V\cos {\mathrm{\&phi;}}_V=\frac{{\mathrm{SA}}_P-{\mathrm{SA}}_Q{f}_C}{1-{f_C}^2}---\left(254\right)$

这里，V是电压振幅，φ_V是电压的同步相量，SA_P是计量有功同步相量，SA_Q是计量无功同步相量，f_C是频率系数。

若将上述计算方法进行适当的组合，则所算出的电压振幅及同步相量本身就排除了直流偏移、非正弦波波形、相关高斯噪声等的影响，因此能够得到高精度的电压基波瞬时值。

同样，电流基波瞬时值是电压矢量的实部，可用与上述公式(189)相同的下式来表示。

[数学式255]

$i_{\mathrm{re}}=I\cos {\mathrm{\&phi;}}_I=\frac{{\mathrm{SA}}_P-{\mathrm{SA}}_Q{f}_C}{1-{f_C}^2}---\left(255\right)$

这里，I是电压振幅，φ_I是电流的同步相量，SA_P是计量有功同步相量，SA_Q是计量无功同步相量，f_C是频率系数。

此外，公式(254)中的SA_P、SA_Q与公式(255)中的SA_P、SA_Q的标记相同，但标记的内容(值)不一样。公式(254)的SA_P、SA_Q具有由电压数据计算得到的值，f_C也是用电压数据计算得到的。而公式(255)的SA_P、SA_Q具有由电流数据计算得到的值，f_C也是用电流数据计算得到的。在后述的实施方式14中，将说明应用到有源滤波器的例子。

(THD指标)

为了监视电力品质(power quality)，提出以下所示的2个THD指标。此外，THD指标的值越小，意味着电力品质越高。相反，当THD指标的值较大时，意味着电力品质降低，具体而言，表示在电压波形/电流波形中存在高次谐波噪声、电压闪变等。

(电压THD指标)

作为用于评价电力品质的指标之一的电压THD指标按照下式来定义。

[数学式256]

${\mathrm{THD}}_V=\sqrt{\frac{1}{N}\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(v_{\mathrm{Lk}}-v_{\mathrm{rek}}-d_V)}^2}---\left(256\right)$

这里，v_LK是实际电压瞬时值，V_rek是上述计算出来的电压基波瞬时值，d_V是电压直流偏移。另外，N是电力***中在额定频率一个周期期间的采样数，用下式计算得到。

[数学式257]

$N=\mathrm{int}\left(\frac{f_S}{f_0}\right)---\left(257\right)$

这里，f_S是采样频率，f₀是额定频率。“int”是取整的函数。

同样，将作为用于评价电力品质的另一指标的电流THD指标按照下式来定义。

[数学式258]

${\mathrm{THD}}_I=\sqrt{\frac{1}{N}\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(i_{\mathrm{Lk}}-i_{\mathrm{rek}}-d_I)}^2}---\left(258\right)$

这里，i_LK是实际电流瞬时值，i_rek是由上述公式(255)计算得到的电流基波瞬时值，d_I是电流直流偏移。N、f_s、f₀则如以上所说明的那样。

以上所示的各种计算公式可以适用于各种交流电气量测定装置。以下，将示出14个实施方式来作为交流电气量测定装置的应用例。此外，不言而喻，本发明并不局限于这些实施方式。

(实施方式1)

图10是表示实施方式1所涉及的功率测定装置的功能结构的图，图11是表示该功率测定装置中的处理流程的流程图。

如图10所示，实施方式1所涉及的功率测定装置101包括：交流电压电流瞬时值数据输入部102、频率系数计算部103、计量有功功率计算部104、计量无功功率计算部105、有功功率及无功功率计算部106、视在功率计算部107、功率因数计算部108、对称性破缺判别部109、接口110、以及存储部111。这里，接口110进行将运算结果等输出到显示装置、外部装置的处理，存储部111则进行存储测量数据、运算结果等的处理。

上述结构中，交流电压电流瞬时值数据输入部102进行如下处理：即，读取来自设置在电力***中的仪表用变压器(PT)及变流器(CT)的电压瞬时值及电流瞬时值(步骤S101)。此外，读取出的电压瞬时值及电流瞬时值的各数据被储存到存储部111中。

频率系数计算部103基于上述的计算处理，计算出频率系数(步骤S102)。对于该频率系数的计算处理，若将上述计算处理的概念也包括在内一并进行说明，则可以按照如下述那样来进行说明。即，为了满足采样定理，频率系数计算部103进行以下处理：以测定对象即交流电压的频率的2倍以上的采样频率对该交流电压进行采样，对于采样得到的连续的至少4个电压瞬时值数据，在表示相邻2个电压瞬时值数据之间的前端间距离的3个差分电压瞬时值数据中，利用中间时刻的差分电压瞬时值对中间时刻以外的差分电压瞬时值之和的平均值进行归一化，将归一化计算得到的值作为频率系数来进行计算。

计量有功功率计算部104基于上述的计算处理，计算出计量有功功率(步骤S103)。关于该计量有功功率计算部104的处理，也可以如下文所述进行概括说明。即，计量有功功率计算部104进行以下处理：对于以上述采样频率进行采样而得到的连续的规定3个电压瞬时值数据中测定时刻较早的2个电压瞬时值数据、和以该采样频率进行采样并在与该规定3个电压瞬时值同一时刻采样得到的3个电流瞬时值数据中测定时刻较晚的2个差分电流瞬时值数据，进行规定的积差运算，将由此求出的值作为计量有功功率来进行计算。

计量无功功率计算部105基于上述的计算处理，计算出计量无功功率(步骤S104)。若作进一步详细且概括的说明，则计量无功功率计算部105进行以下处理：对于以上述采样频率进行采样而得到的连续的规定3个电压瞬时值数据中测定时刻较晚的2个电压瞬时值数据、和以该采样频率进行采样并在与该规定3个电压瞬时值同一时刻采样得到的3个电流瞬时值数据中测定时刻较晚的2个差分电流瞬时值数据，进行规定的积差运算，将由此求出的值作为计量无功功率来进行计算。

有功功率及无功功率计算部106利用频率系数计算部103计算出的频率系数、计量有功功率计算部104计算出的计量有功功率、及计量无功功率计算部105计算出的计量无功功率，计算出有功功率(步骤S105)。另外，有功功率及无功功率计算部106还利用频率系数计算部103计算出的频率系数、及计量无功功率计算部105计算出的计量无功功率，计算出无功功率(步骤S105)。

视在功率计算部107利用频率系数计算部103计算出的频率系数、计量有功功率计算部104计算出的计量有功功率、及计量无功功率计算部105计算出的计量无功功率，计算出视在功率(步骤S106)。

功率因数计算部108利用频率系数计算部103计算出的频率系数、计量有功功率计算部104计算出的计量有功功率、及计量无功功率计算部105计算出的计量无功功率，计算出功率因数(步骤S107)。

对称性破缺判别部109用例如计量功率对称性指标，判定对称性破缺(步骤S108)。当未被判定为对称性破缺时(步骤S108，否)，移至步骤S110。另一方面，当判定为对称性破缺时(步骤S108，是)，锁存测定值(计算值)(步骤S109)，然后移至步骤S110。此外，作为判定对称性破缺的判定指标，也可以使用计量功率对称性指标以外的指标。

在最终的步骤S110中进行上述整体流程是否结束的判定处理，若判定为没有结束(步骤S110，否)，则重复进行步骤S101～S109的处理。

此外，上述说明中，是基于差分电压瞬时值数据及差分电流瞬时值数据来计算频率系数、有功功率、无功功率、视在功率、及功率因数，但如同上述计算处理中示出的那样，也可以基于电压瞬时值数据及电流瞬时值数据来进行计算。

此外，在基于电压瞬时值数据及电流瞬时值数据进行计算的情况下，频率系数计算部103、计量有功功率计算部104、及计量无功功率计算部105所涉及的概括处理的内容如下所示。

计量有功功率计算部104进行以下处理：对于以上述采样频率进行采样而得到的连续的规定3个电压瞬时值数据中测定时刻较早的2个电压瞬时值数据、和以该采样频率进行采样并在与该规定3个电压瞬时值同一时刻采样得到的3个电流瞬时值数据中测定时刻较晚的2个差分电流瞬时值数据，进行规定的积差运算，将由此求出的值作为计量有功功率来进行计算。

计量无功功率计算部105进行以下处理：对于以上述采样频率进行采样而得到的连续的规定3个电压瞬时值数据中测定时刻较晚的2个电压瞬时值数据、和以该采样频率进行采样并在与该规定3个电压瞬时值同一时刻采样得到的3个电流瞬时值数据中测定时刻较晚的2个差分电流瞬时值数据，进行规定的积差运算，将由此求出的值作为计量差分无功功率来进行计算。

此外，利用同步相量的测量结果计算功率的流程如下所示。首先，利用下式求出电压电流间相位角。

[数学式259]

${\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{vi}}=\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&phi;}}_v-{\mathrm{\&phi;}}_i-2\mathrm{\&pi;},{\mathrm{\&phi;}}_v-{\mathrm{\&phi;}}_i>\mathrm{\&pi;}\\ {\mathrm{\&phi;}}_v-{\mathrm{\&phi;}}_i+2\mathrm{\&pi;},{\mathrm{\&phi;}}_v-{\mathrm{\&phi;}}_i<-\mathrm{\&pi;}\\ {\mathrm{\&phi;}}_v-{\mathrm{\&phi;}}_i,\mathrm{others}\end{array}\right.---\left(259\right)$

这里，φ_V和φ_i分别是电压同步相量和电流同步相量。另外，复功率W可用有功功率P及无功功率Q按照下式来表示：

[数学式260]

W＝P+jQ           (260)

有功功率P和无功功率Q可分别用电压振幅V、电流振幅I、及同步相量φ_Vi按照下式来表示：

[数学式261]

$\left\{\begin{array}{c}P=\mathrm{VI}\cos {\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{vi}}\\ Q=\mathrm{VI}\sin {\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{vi}}\end{array}\right.---\left(261\right)$

因此，由上述(261)的第一式可以算出有功功率P，由第二式可以算出无功功率Q。另外，功率因数则可以用下式来算出。

[数学式262]

$\mathrm{PF}=\frac{P}{\sqrt{P^2+Q^2}}=\cos {\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{vi}}---\left(262\right)$

(实施方式2)

图12是表示实施方式2所涉及的距离保护装置的功能结构的图，图13是表示该距离保护装置中的处理流程的流程图。

如图12所示，实施方式2的距离保护装置201包括：交流电压电流瞬时值数据输入部202、频率系数计算部203、频率计算部204、计量电流计算部205、计量有功功率计算部206、计量无功功率计算部207、电阻及电感计算部208、计量差分电流计算部209、计量差分有功功率计算部210、计量差分无功功率计算部211、电阻及电感计算部212、对称性破缺判别部213、距离计算部214、断路器跳闸部215、接口216、及存储部217。电阻及电感计算部208是基于计量功率群进行计算的计算部，电阻及电感计算部212则是基于计量差分功率群进行计算的计算部。接口216进行将运算结果等输出到显示装置、外部装置的处理，存储部217进行存储测量数据、运算结果等的处理。另外，也可以采用设置计量电压计算部来代替计量电流计算部205的结构。另外，也可以采用设置计量差分电压计算部来代替计量差分电流计算部209的结构。

上述结构中，交流电压电流瞬时值数据输入部202进行如下处理：即，读取来自设置在电力***中的仪表用变压器(PT)及变流器(CT)的电压瞬时值及电流瞬时值(步骤S201)。此外，读取出的电压瞬时值及电流瞬时值的各数据被储存到存储部217中。

频率系数计算部203基于上述的计算处理，计算出频率系数(步骤S202)。该频率系数计算处理与实施方式1相同或等同。频率计算部204基于频率系数及采样频率，计算频率(实际频率)(步骤S203)。

计量电流计算部205基于上述的计算处理，计算出计量电流(步骤S204)。对于该计量电流的运算处理，若将上述计算处理的概念也包括在内一并进行说明，则可以按照如下述那样来进行说明。即，为了满足采样定理，计量电流计算部205进行如下处理：即，以测定对象即交流电流的频率的2倍以上的采样频率对该交流电流进行采样，对采样得到的连续的至少3个电流瞬时值数据进行例如平方积分运算来求出电流振幅，利用交流电流的振幅值对求得的电流振幅进行归一化，从而计算出计量电流。此外，在上述计算公式中，作为平方积分运算，举例示出了对3个电压瞬时值数据中中间时刻的电压瞬时值的平方值、与中间时刻以外的电压瞬时值积之差求平均的公式。

计量有功功率计算部206基于上述的计算处理，计算出计量有功功率(步骤S205)。另外，计量无功功率计算部207基于上述的计算处理，计算出计量无功功率(步骤S206)。此外，这些计量有功功率及计量无功功率的计算处理与实施方式1相同或等同。

电阻及电感计算部208利用由频率系数计算部203计算出的频率系数、由计量电流计算部205计算出的计量电流、由计量有功功率计算部206计算出的计量有功功率、及由计量无功功率计算部207计算出的计量无功功率，计算出电阻(步骤S207)。另外，电阻及电感计算部208还利用由频率系数计算部203计算出的频率系数、由计量电流计算部205计算出的计量电流、及由计量无功功率计算部207计算出的计量无功功率，计算出电感(步骤S207)。

另外，计量差分电流计算部209基于上述的计算处理，计算出计量差分电流(步骤S208)。关于该计量差分电流计算部209，也可以如下文所述进行概括说明。即，计量差分电流计算部209进行如下处理：对以上述采样频率进行采样得到的包含计算上述计量电流时使用的3个电流瞬时值数据在内的连续的至少4个瞬时值数据，对表示相邻2个电流瞬时值数据之间的前端间距离的3个差分电流瞬时值数据进行例如平方积分运算，利用交流电流的振幅值对求得的值进行归一化，由此计算出计量差分电流。此外，在上述计算公式中，作为平方积分运算，举例示出了对3个差分电流瞬时值数据中中间时刻的差分电流瞬时值的平方值、与中间时刻以外的差分电流瞬时值积之差求平均的公式。

计量差分有功功率计算部210基于上述的计算处理，计算出计量差分有功功率(步骤S209)。关于该计量差分有功功率计算部210的处理，也可以如下文所述进行概括说明。即，计量差分有功功率计算部210进行以下处理：对于以上述采样频率进行采样得到的连续的规定4个电压瞬时值数据，选取表示相邻2个电压瞬时值数据之间的前端间距离的3个差分电压瞬时值数据中测定时刻较早的2个差分电压瞬时值数据，对于以该采样频率进行采样且与该规定4个电压瞬时值同一时刻采样得到的4个电流瞬时值数据，选取表示相邻2个电流瞬时值数据之间的前端间距离的3个差分电流瞬时值数据中测定时刻较晚的2个差分电流瞬时值数据，对所述2个差分电压瞬时值数据和所述2个差分电流瞬时值数据进行规定的积差运算，将由此得到的值作为计量差分有功功率来进行计算。

另外，计量差分无功功率计算部211基于上述的计算处理，计算出计量差分无功功率(步骤S210)。关于该计量差分无功功率计算部211的处理，也可以如下文所述进行概括说明。即，计量差分无功功率计算部211进行以下处理：对于以上述采样频率进行采样得到的连续的规定4个电压瞬时值数据，选取表示相邻2个电压瞬时值数据之间的前端间距离的3个差分电压瞬时值数据中测定时刻较晚的2个差分电压瞬时值数据，对于以该采样频率进行采样且与该规定4个电压瞬时值同一时刻采样得到的4个电流瞬时值数据，选取表示相邻2个电流瞬时值数据之间的前端间距离的3个差分电流瞬时值数据中测定时刻较晚的2个差分电流瞬时值数据，对所述2个差分电压瞬时值数据和所述2个差分电流瞬时值数据进行规定的积差运算，将由此得到的值作为计量差分无功功率来进行计算。

电阻及电感计算部212利用频率系数计算部203计算出的频率系数、计量差分电流计算部209计算出的计量差分电流、计量差分有功功率计算部210计算出的计量差分有功功率、及计量差分无功功率计算部211计算出的计量差分无功功率，计算出电阻(步骤S211)。另外，电阻及电感计算部212还利用频率系数计算部203计算出的频率系数、计量差分电流计算部209计算出的计量差分电流、及计量差分无功功率计算部211计算出的计量差分无功功率，计算出电感(步骤S211)。

对称性破缺判别部213用例如计量功率对称性指标，判定对称性破缺(步骤S212)。在未判定为对称性破缺的情况下(步骤S212，否)，计算出到故障点为止的距离(距离系数)(步骤S214)，并进一步判定是否要起动保护装置(步骤S215)。这里，若判定为起动保护装置(例如距离落在调整范围内)(步骤S215，是)，则使断路器跳闸(步骤S216)，移至步骤S217，若判定为不起动保护装置(步骤S215，否)，则不使断路器跳闸地移至步骤S217。另一方面，当判定为对称性破缺时(步骤S212，是)，锁存测定值(计算值)(步骤S213)，然后移至步骤S217。此外，作为判定对称性破缺的判定指标，也可以使用计量功率对称性指标以外的指标。

在最终的步骤S217中进行上述整体流程是否结束的判定处理，若判定为没有结束(步骤S217，否)，则重复进行步骤S201～S216的处理。

此外，上述步骤S203中求出的频率为实际频率。因此，实施方式2的距离保护装置不同于以往的距离保护装置，能够对***实际频率进行自动修正。因此，即使***频率因事故而发生了变动，也能够实现高精度的距离测定。另外，本实施方式的距离保护装置提供了具体的距离测定值，因此也能适用于事故点标定装置。

此外，利用同步相量的测量结果进行距离保护运算的流程如下所示。

首先，在电压电流间相位角为φ_vi、电压振幅和电流振幅分别为V、I时，阻抗Z如下式所示。

[数学式263]

$Z=R+\mathrm{jX}=\frac{V}{I}{e}^{j{\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{vi}}}---\left(263\right)$

上述阻抗中，构成实部的电阻和构成虚部的电感可用下式来表述：

[数学式264]

$\left\{\begin{array}{c}R=\frac{V}{I}\cos {\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{vi}}\\ L=\frac{V}{2\mathrm{\&pi;fI}}\sin {\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{vi}}\end{array}\right.---\left(264\right)$

因此，在将本装置应用到输电线的距离保护装置的情况下，配置了距离保护装置的场所到接地点或短路点为止的输电线的电阻可从上述(264)的第一式计算出，到接地点或短路点为止的输电线的电感则可从上述(264)的第二式计算出。

(实施方式3)

图14是表示实施方式3所涉及的失步保护装置的功能结构的图，图15是表示该失步保护装置中的处理流程的流程图。

如图14所示，实施方式3所涉及的失步保护装置301包括：交流电压电流瞬时值数据输入部302、频率系数计算部303、计量电流计算部304、计量有功功率计算部305、计量无功功率计算部306、失步中心电压计算部307、计量差分电流计算部308、计量差分有功功率计算部309、计量差分无功功率计算部310、失步中心电压计算部311、对称性破缺判别部312、断路器跳闸部313、接口314、及存储部315。失步中心电压计算部307是基于计量功率群进行计算的计算部，失步中心电压计算部311则是基于计量差分功率群进行计算的计算部。接口314进行将运算结果等输出到显示装置、外部装置的处理，存储部315进行存储测量数据、运算结果等的处理。

上述结构中，交流电压电流瞬时值数据输入部302进行如下处理：即，读取来自设置在电力***中的仪表用变压器(PT)及变流器(CT)的电压瞬时值及电流瞬时值(步骤S301)。此外，读取出的电压瞬时值及电流瞬时值的各数据被储存到存储部315中。

频率系数计算部303基于上述的计算处理，计算出频率系数(步骤S302)。该频率系数计算处理与实施方式1、2相同或等同。计量电流计算部304基于上述的计算处理，计算出计量电流(步骤S303)。计量有功功率计算部305基于上述的计算处理，计算出计量有功功率(步骤S304)。计量无功功率计算部306基于上述的计算处理，计算出计量无功功率(步骤S305)。此外，这些计量电流、计量有功功率及计量无功功率的计算处理与实施方式2相同或等同。

失步中心电压计算部307利用频率系数计算部303计算出的频率系数、计量电流计算部304计算出的计量电流、计量有功功率计算部305计算出的计量有功功率、及计量无功功率计算部306计算出的计量无功功率，计算出失步中心电压(步骤S306)。

计量差分电流计算部308基于上述的计算处理，计算出计量差分电流(步骤S307)。计量差分有功功率计算部309基于上述的计算处理，计算出计量差分有功功率(步骤S308)。计量差分无功功率计算部310基于上述的计算处理，计算出计量差分无功功率(步骤S309)。此外，这些计量差分电流、计量差分有功功率及计量差分无功功率的计算处理与实施方式2相同或等同。

失步中心电压计算部311利用频率系数计算部303计算出的频率系数、计量电流计算部304计算出的计量电流、计量有功功率计算部305计算出的计量有功功率、及计量无功功率计算部306计算出的计量无功功率，计算出失步中心电压(步骤S310)。

对称性破缺判别部312用例如计量功率对称性指标或计量差分功率对称性指标，判定对称性破缺(步骤S311)。这里，当未判定为对称性破缺时(步骤S311，否)，进一步判定是否要起动失步保护装置(步骤S313)。这里，若判定为起动失步保护装置(例如失步中心电压小于调整值(例如0.3PU)时)(步骤S313，是)，使断路器跳闸(步骤S314)，移至步骤S315，若判定为不起动失步保护装置(步骤S313，否)，则不使断路器跳闸地移至步骤S315。另外，当判定为对称性破缺时(步骤S311，是)，锁存测定值(计算值)(步骤S312)，然后移至步骤S315。此外，作为判定对称性破缺的判定指标，也可以使用计量功率对称性指标以外的指标、或计量差分功率对称性指标以外的指标。

在最终的步骤S315中进行上述整体流程是否结束的判定处理，若判定为没有结束(步骤S315，否)，则重复进行步骤S301～S314的处理。

此外，在实施方式2中，说明了将相量的测量结果应用到距离保护装置的实施方式，而在实施方式3中，也可以将相量的测量结果应用到失步保护装置。

(实施方式4)

图16是表示实施方式4所涉及的时间同步相量测定装置的功能结构的图，图17是表示该时间同步相量测定装置中的处理流程的流程图。

如图16所示，实施方式4所涉及的时间同步相量测定装置401包括：交流电压瞬时值数据输入部402、频率系数计算部403、计量差分电压计算部404、电压振幅计算部405、旋转相位角计算部406、频率计算部407、直流偏移计算部408、计量有功同步相量计算部409、计量无功同步相量计算部410、同步相量计算部(余弦函数法)411、同步相量计算部(正切函数法)412、对称性破缺判别部413、同步相量推算部414、旋转相位角锁存部415、频率锁存部416、电压振幅锁存部417、时间同步相量计算部418、接口419、及存储部420。接口419进行将运算结果等输出到显示装置、外部装置的处理，存储部420进行存储测量数据、运算结果等的处理。此外，也可以采用设置计量差分有功同步相量计算部来代替计量有功同步相量计算部409的结构。另外，还可以采用设置计量差分无功同步相量计算部来代替计量无功同步相量计算部410的结构。

上述结构中，交流电压瞬时值数据输入部402进行如下处理：即，读取来自设置在电力***中的仪表用变压器(PT)的电压瞬时值(步骤S401)。此外，读取出的电压瞬时值数据被储存到存储部420中。

频率系数计算部403基于上述的计算处理，计算出频率系数(步骤S402)。该频率系数计算处理与实施方式1-3相同或等同。

计量差分电压计算部404基于上述的计算处理，计算出计量差分电压(步骤S403)。若进一步详细且概括地进行说明，则计量差分电压计算部404进行以下处理：以上述采样频率进行采样，以测定对象即交流电压的频率的2倍以上的采样频率对该交流电压进行采样，对于采样得到的连续的至少4个电压瞬时值数据，对表示相邻2个电压瞬时值数据之间的前端间距离的3个差分电压瞬时值数据进行例如平方积分运算，用交流电压的振幅值对所求出的值进行归一化，由此计算出计量差分电压。此外，在上述计算公式中，作为平方积分运算，举例示出了对3个差分电压瞬时值数据中中间时刻的差分电压瞬时值的平方值、与中间时刻以外的差分电压瞬时值积之差求平均的公式。

电压振幅计算部405利用由频率系数计算部403计算出的频率系数、及由计量差分电压计算部404计算出的计量差分电压，计算出电压振幅(步骤S404)。旋转相位角计算部406利用由频率系数计算部403计算出的频率系数，计算出旋转相位角(步骤S405)。频率计算部407利用由频率系数计算部403计算出的频率系数，计算出频率(步骤S406)。

直流偏移计算部408利用在计算上述计量差分电压时所使用的3个差分电压瞬时值数据或作为3个差分电压瞬时值数据的基础的4个电压瞬时值数据中的3个电压瞬时值数据、以及由频率系数计算部403计算出的频率系数，来计算出直流偏移(步骤S407)。

计量有功同步相量计算部409基于上述的计算处理，计算出计量有功同步相量(步骤S408)。若进一步详细并概括地进行说明，则计量有功同步相量计算部409进行以下处理：对以上述采样频率进行采样得到的连续的3个电压瞬时值数据中测定时刻较晚的2个电压瞬时值数据、与测定对象即交流电压(交流电流)位于同一复平面上的第一固定单位矢量、以及相对于该第一固定单位矢量延迟了由旋转相位角计算部406计算出的旋转相位角的第二固定单位矢量，进行规定的积差运算，将由此求出的值作为计量有功同步相量来进行计算。

计量无功同步相量计算部410基于上述的计算处理，计算出计量无功同步相量(步骤S409)。若进一步详细并概括地进行说明，则计量无功同步相量计算部410进行以下处理：对计算上述计量有功同步相量时所用的3个电压瞬时值数据中测定时刻较早的2个电压瞬时值数据、和计算上述计量有功同步相量时使用的第一、第二固定单位矢量，进行规定的积差运算，由此将所求出的值作为计量无功同步相量来进行计算。

同步相量计算部(余弦函数法)411采用上述余弦函数法的计算处理，利用由计量有功同步相量计算部409计算出的计量有功同步相量、由计量无功同步相量计算部410计算出的计量无功同步相量、由旋转相位角计算部406计算出的旋转相位角、以及由电压振幅计算部405计算出的电压振幅，来计算出同步相量(步骤S410)。

另外，同步相量计算部(正切函数法)412则采用上述正切函数法的计算处理，利用由计量有功同步相量计算部409计算出的计量有功同步相量、由计量无功同步相量计算部410计算出的计量无功同步相量、以及由旋转相位角计算部406计算出的旋转相位角，来计算出同步相量(步骤S411)。

对称性破缺判别部413用例如同步相量对称性指标，判定对称性破缺(步骤S412)。这里，当判定为对称性破缺时(步骤S412，是)，由同步相量推算部414推算同步相量(步骤S413)，由旋转相位角锁存部415锁存旋转相位角(步骤S414)，由频率锁存部416锁存频率(步骤S415)，由电压振幅锁存部417锁存电压振幅(步骤S416)，之后移至步骤S418。另一方面，当未判定为对称性破缺时(步骤S412，否)，时间同步相量计算部418计算时间同步相量(步骤S417)，然后移至步骤S418。此外，时间同步相量是当前时刻的同步相量与一个或数个周期前的同步相量之差，通过下式计算得到。

[数学式265]

${\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{TP}}=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\&phi;}}_t-{\mathrm{\&phi;}}_{t-T_0}-2\mathrm{\&pi;},& {\mathrm{\&phi;}}_t-{\mathrm{\&phi;}}_{t-T_0}>\mathrm{\&pi;}\\ {\mathrm{\&phi;}}_t-{\mathrm{\&phi;}}_{t-T_0}+2\mathrm{\&pi;},& {\mathrm{\&phi;}}_t-{\mathrm{\&phi;}}_{t-T_0}<-\mathrm{\&pi;}\\ {\mathrm{\&phi;}}_t-{\mathrm{\&phi;}}_{t-T_0},& \mathrm{others}\end{array}\right.---\left(265\right)$

这里，φ_t是当前时刻的同步相量，φ_t-T0是指定时刻(当前时刻之前的时刻T0)的同步相量。

在最终的步骤S418中进行上述整体流程是否结束的判定处理，若判定为没有结束(步骤S418，否)，则重复进行步骤S401～S417的处理。

(实施方式5)

图18是表示实施方式5所涉及的空间同步相量测定装置的功能结构的图，图19是表示该空间同步相量测定装置中的处理流程的流程图。

如图18所示，实施方式5所涉及的空间同步相量测定装置502包括：同步相量/时间戳接收部503、空间同步相量计算部504、控制信号发送部505、接口506、及存储部507。该空间同步相量测定装置502配置于电力控制所等。另外，图18中采用如下结构：设有配置于变电所等的同步相量测定装置(Phasor Measurement Unit:PMU)501(PMU1、PMU2)，来自这些同步相量测定装置501的信息通过通信线路508输入。接口506进行将运算结果等输出到显示装置、外部装置的处理，存储部507进行存储测量数据、运算结果等的处理。

上述结构中，同步相量/时间戳接收部503接收由配置在其他地方的同步相量测定装置501所测定的同步相量、和附带于同步相量上的时间戳(步骤S501)。空间同步相量计算部504计算出本端的同步相量与另一端的同步相量之差、即空间同步相量(步骤S502)。该空间同步相量φ_SP由下式计算得出。

[数学式266]

${\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{SP}}=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\&phi;}}_1-{\mathrm{\&phi;}}_2-2\mathrm{\&pi;},& {\mathrm{\&phi;}}_1-{\mathrm{\&phi;}}_2>\mathrm{\&pi;}\\ {\mathrm{\&phi;}}_1-{\mathrm{\&phi;}}_2+2\mathrm{\&pi;},& {\mathrm{\&phi;}}_1-{\mathrm{\&phi;}}_2<-\mathrm{\&pi;}\\ {\mathrm{\&phi;}}_1-{\mathrm{\&phi;}}_2,& \mathrm{others}\end{array}\right.---\left(266\right)$

这里，φ₁是端子1在指定时刻的同步相量。另外，φ₂是端子2在同一时刻的同步相量，可由下式计算出。

[数学式267]

${\mathrm{\&phi;}}_2=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\&phi;}}_{2t2}+2\mathrm{\&pi;}{f}_2(t_1-t_2),& {\mathrm{\&phi;}}_{2t2}+2\mathrm{\&pi;}{f}_2(t_1-t_2)\&le;\mathrm{\&pi;}\\ {\mathrm{\&phi;}}_{2t2}+2\mathrm{\&pi;}{f}_2(t_1-t_2)-2\mathrm{\&pi;},& {\mathrm{\&phi;}}_{2t2}+2\mathrm{\&pi;}{f}_2(t_1-t_2)>\mathrm{\&pi;}\end{array}\right.---\left(267\right)$

这里，t1是端子1的同步相量的时间标签(tag)，t2是端子2的同步相量的时间标签(tag)。这些时间标签的值优选采用使用GPS等而被称为UTC(universal time coordinated)的世界协调时间。

控制信号发送部505利用空间同步相量计算部504计算出的空间同步相量，判定***的稳定/不稳定，在***因失步等而变得不稳定时，发送控制信号(步骤S503)。

在最终的步骤S504中进行上述整体流程是否结束的判定处理，若判定为没有结束(步骤S504，否)，则重复进行步骤S501～S503的处理。

(实施方式6)

图20是表示实施方式6所涉及的输电线参数测定***的功能结构的图，图21是表示该输电线参数测定***中的处理流程的流程图。

如图20所示，实施方式6所涉及的输电线参数测定***包括2台同步相量测定装置，分别为同步相量测定装置601(PMU1)和同步相量测定装置602(PMU2)。向同步相量测定装置601、602输入来自设置在输电线上的仪表用变压器(PT)的电压瞬时值、来自变流器(CT)的电流瞬时值、来自GPS装置的GPS时刻信号等。位于端子2一侧的同步相量测定装置602测量本端的电压振幅及同步相量，并通过通信线路603通知位于端子1一侧的同步相量测定装置601。同步相量测定装置601计算出本端的电压振幅及同步相量(步骤S601)，并且接收同步相量测定装置602的测量结果(步骤S602)，利用二者的测量结果来计算输电线参数(步骤S603)。根据本申请发明中记载的技术方案，能够测定两端的电压/电流振幅及同步相量。

在最终的步骤S604中进行上述整体流程是否结束的判定处理，若判定为没有结束(步骤S604，否)，则重复进行步骤S601～S603的处理。

此外，在如图20的下半部分所示那样将输电线视作为π型等效电路时，输电线参数的计算步骤按照如下的流程进行。

首先，仪表用变压器(PT)及变流器(CT)的测定结果如下式所示。

[数学式268]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_1\left(t\right)=V_1{e}^{j{\mathrm{\&phi;}}_{V1}}\\ i_1\left(t\right)=I_1{e}^{j{\mathrm{\&phi;}}_{I1}}\\ v_2\left(t\right)=V_2{e}^{j{\mathrm{\&phi;}}_{V2}}\\ i_2\left(t\right)=I_2{e}^{j{\mathrm{\&phi;}}_{I2}}\end{array}\right.---\left(268\right)$

这里，V₁、V₂、φ_V1、φ_V2分别是各端的电压振幅、电压同步相量，I₁、I₂、φ_I1、φ_I2分别是各端的电流振幅、电流同步相量。另外，输电线的线路参数即导纳如下式所示。

[数学式269]

这里，R₁、R₂是电阻，L是电感，C是电容。另外，根据基尔霍夫定律，电路方程式变成下式。

[数学式270]

$\left\{\begin{array}{c}{i}_1\left(t\right)=i_L\left(t\right)+i_{C1}\left(t\right)\\ i_2\left(t\right)=i_L\left(t\right)-i_{C2}\left(t\right)\\ i_L\left(t\right)=[v_1\left(t\right)-v_2\left(t\right)]Y_1\\ i_{C1}\left(t\right)=v_1\left(t\right)Y_2\\ i_{C2}\left(t\right)=v_2\left(t\right)Y_2\end{array}\right.---\left(270\right)$

根据该公式(270)，可以求出下面的解。

[数学式271]

$\left\{\begin{array}{c}{Y}_1=\frac{v_1\left(t\right)i_2\left(t\right)+v_2\left(t\right)i_1\left(t\right)}{v_1{\left(t\right)}^2-v_2{\left(t\right)}^2}\\ Y_2=\frac{i_1\left(t\right)-i_2\left(t\right)}{v_1\left(t\right)+v_2\left(t\right)}\end{array}\right.---\left(271\right)$

从而，根据公式(269)、(271)，可得到如下的输电线参数。

[数学式272]

$\left\{\begin{array}{c}{R}_1=\mathrm{Re}\left(\frac{1}{Y_1}\right)\\ R_2=\mathrm{Re}\left(\frac{1}{Y_2}\right)\\ L=\frac{1}{2\mathrm{\&pi;f}}\mathrm{Im}\left(\frac{1}{Y_1}\right)\\ C=-\frac{1}{2\mathrm{\&pi;fIm}\left(\frac{1}{Y_2}\right)}\end{array}\right.---\left(272\right)$

上式中，“Re”、“Im”分别表示复数的实部和虚部。f为实际频率。

(实施方式7)

图22是表示实施方式7所涉及的同步接通装置的功能结构的图，图23是表示该同步接通装置中的处理流程的流程图。

如图22所示，实施方式7所涉及的同步接通装置701包括：电压测量部702、频率计算部703、电压振幅计算部704、电压同步相量计算部705、频率比较部706、电压振幅比较部707、空间同步相量计算部708、同步接通操作延迟时间计算部709、同步接通操作实施部710、接口711、及存储部712。接口711进行将运算结果等输出到显示装置、外部装置的处理，存储部712进行存储测量数据、运算结果等的处理。

接下来，参照图22和图23，对同步接通装置701的处理流程进行说明。此外，关于各部的各种功能，是基于上述计算公式进行的，并且与对实施方式1～6的装置所做的说明重复，因此，仅对处理流程上新的事项进行说明，省略详细说明。

电压测量部702从设置于电力***的一端及另一端的仪表用变压器(PT)接收电压瞬时值的输入，并分别测量各电压(两端电压)(步骤S701)。频率计算部703计算端子1、2的各频率(两端频率)(步骤S702)。电压振幅计算部704计算端子1、2的各电压振幅(两端电压振幅)(步骤S703)。此外，在电力***是分离的***的情况下，表示在各端测量到的电压的公式如下式所示。

[数学式273]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_1\left(t\right)=V_1{e}^{j{\mathrm{\&phi;}}_1}\\ v_2\left(t\right)=V_2{e}^{j{\mathrm{\&phi;}}_2}\end{array}\right.---\left(273\right)$

这里，V₁、φ₁分别是端子1在当前时刻的电压振幅及电压同步相量，V₂、φ₂分别是端子2在当前时刻的电压振幅及电压同步相量。

电压同步相量计算部705计算出端子1、2的各电压同步相量(两端电压同步相量)(步骤S704)，频率比较部706比较两端的频率(步骤S705)。对于该比较处理，进行下式的判定处理。

[数学式274]

|f₁-f₂|＜Δf_SET    (274)

这里，f1是计算出来的端子1的频率(实际频率)，f2是计算出来的端子2的频率(实际频率)。另外，Δf_SET是判定用的指定值。

电压振幅比较部707比较两端的电压振幅(步骤S706)。对于该比较处理，进行下式的判定处理。

[数学式275]

|V₁-V₂|＜ΔV_SET    (275)

这里，V₁是所算出的端子1的电压振幅，V₂是所算出的端子2的电压振幅。另外，ΔV_SET是判定用的指定值。

当满足上述公式(274)和公式(275)的条件时，空间同步相量计算部708利用电压同步相量计算部705计算出的端子1、2的电压同步相量，计算出空间同步相量(步骤S707)。

同步接通操作延迟时间计算部709计算出同步接通操作延迟时间(同步接通装置操作延迟时间：T_ASY)(步骤S708)。此外，该步骤S708的处理按照以下的步骤(子步骤)来执行。

首先，同步接通操作延迟时间计算部709利用下式计算出同步接通预测时间T_est。

[数学式276]

$T_{\mathrm{est}}=\frac{{\mathrm{\&phi;}}_1-{\mathrm{\&phi;}}_2}{2\mathrm{\&pi;}(f_1-f_2)}---\left(276\right)$

这里，f₁、φ₁分别是端子1在当前时刻的实际频率及电压同步相量，f₂、φ₂分别是端子2在当前时刻的实际频率及电压同步相量。从而，该公式(276)所示的同步接通预测时间T_est是指端子1、2间的空间同步相量所对应的时间差。

另外，在向同步接通装置发送指令的情况下，必须考虑装置的计算时间(逻辑计算时间)、控制信号的传输时间。此时，若将逻辑计算时间设为T_CAL，将控制信号传输时间设为T_COM，则同步接通装置操作延迟时间T_ASY及同步接通预测时间T_est与这些逻辑计算时间T_CAL及控制信号传输时间T_COM之间存在下式所示的关系。

[数学式277]

T_est＝T_cal+T_com+T_ASY   (277)

从而，同步接通装置操作延迟时间T_ASY可基于下式计算出。

[数学式278]

T_ASY＝T_est-T_cal-T_com   (278)

回到本流程，同步接通操作实施部710基于上述公式(279)所示的同步接通装置操作延迟时间T_ASY，实施同步接通操作(步骤S709)。

在最终的步骤S710中进行上述整体流程是否结束的判定处理，若判定为没有结束(步骤S710，否)，则重复进行步骤S701～S709的处理。

(实施方式8)

实施方式8中，对频率测定装置及频率变化率测定装置进行说明。此外，在以下的说明中，将上述频率测定方法应用到监视控制装置之一的单独运转检测装置起动时的起动逻辑，以此为例来进行说明。

首先，示出单独运转检测装置的有代表性的频率变化率判别式。该判别式如下所示。

[数学式279]

$\frac{f_t-f_{t-T_0}}{T_0}>{\mathrm{df}}_{\mathrm{SET}}---\left(279\right)$

这里，f_t、f_t-T0、df_SET分别是当前时刻、指定时间T0(例如额定频率的3个周期的时间)、用于检测单独运转的起动调整值。

根据上述本申请发明的频率系数测定法，利用以旋转相位角对称性指标等为首的各种对称性指标，能够判定电压波形的对称性破缺。另外，通过锁存已测定的数据，从而能够避免因电压闪变等对测定结果产生影响。因此，能够提供高精度的频率测定装置及频率变化率测定装置。

本申请发明的频率系数测定法与以往的方法相比，在检测相位跳跃的功能方面十分优秀，因此能够避免因相位跳跃导致误起动。另外，以往的装置为了避免因相位跳跃的误起动，实施了诸多对策，因此检测时间变得较长。因而，通过使用本申请的技术手段，能够提供一种高速且能抑制误起动的、可靠性较高的单独运转检测装置。此外，关于相位跳跃的检测，后述的案例4中示出了详细的仿真结果。

(实施方式9)

实施方式9中，对过电压保护装置及低电压保护装置进行说明。此外，在日本，保护控制装置多采用30°采样(α＝30°)，因此，在以下的说明中，以30°采样的情况为例进行说明。首先，根据上述公式(12)，可得到如下的30°采样时的频率系数。

[数学式280]

f_C＝cos30°＝0.866   (280)

将频率系数f_C代入公式(22)，提出下式所示的过电压保护的计算公式。

[数学式281]

V＝3.8637V_gd＞V_high   (281)

这里，V是实际电压振幅，V_gd是计量差分电压，V_high是调整值。

同样，在30°采样的情况下，提出了下式所示的低电压保护的计算公式。

[数学式282]

V＝3.8637V_gd＜V_low   (282)

这里，V是实际电压振幅，V_gd是计量差分电压，V_low是调整值。

上述2个计算公式都只利用了差分电压。因此，具备这些计算公式的过电压保护装置及低电压保护装置受直流偏移的影响非常之小。因而，能够减轻CT饱和的影响，对于过电压或低电压保护的高速动作有很大的贡献。

(实施方式10)

实施方式9中对30°采样的过电压保护装置进行了说明，在实施方式10中，对30°采样的过电流保护装置进行说明。

首先，将由上述公式(280)求出的频率系数代入公式(28)，提出下式所示的过电流保护的计算公式。

[数学式283]

I＝3.8637I_gd＞I_SET   (283)

这里，I是实际电流振幅，I_gd是计量差分电流，I_SET是调整值。

上述计算公式只利用了差分电流。因此，具备这些计算公式的过电流保护装置受直流偏移的影响非常之小。因而，能够减轻CT饱和的影响，对于过电流保护的高速动作有很大的贡献。

(实施方式11)

实施方式11中，对电流差动保护装置进行说明。这里，以电流相位差测定法及同步相量测定法这2个方法为例进行说明。

(电流相位差测定法)

首先，在输电线的各端(端子1、2)测量到的电流、或夹着输电线而设置的各端的电气设备(变压器、发电机等)所测量到的电流可用下式来表示。

[数学式284]

$\left\{\begin{array}{c}{i}_1\left(t\right)=I_1\\ i_2\left(t\right)=I_2{e}^{{\mathrm{j\&phi;}}_{12}}\end{array}---\left(284\right)\right.$

这里，I₁、I₂分别是端子1、2的电流振幅。另外，φ₁₂则是端子1、2间的电流矢量的相位差。此外，作为电流矢量，优选使用受CT饱和影响较小的差分电流。

另外，电流差动保护装置的瞬时值比较计算公式如下式所示。

[数学式285]

|I₁-I₂cosφ₁₂|＞ΔI_SET   (285)

当满足上式时，可判定为发生了区内故障。此外，若考虑通信时间，则按照下式那样修正电流矢量的相位差φ₁₂。

[数学式286]

φ_12real＝φ₁₂-2πfT_transfer   (286)

这里，f是实测频率，T_transfer是通信时间。将该公式(286)的结果代入公式(285)进行计算即可。

(同步相量测定法)

该方法用来测定输电线各端(端子1、2)、或者夹着输电线而设置的各端的电气设备(变压器、发电机等)的电流振幅及电流同步相量。使用这些电流振幅及电流同步相量时的电流可用下式来表示。

[数学式287]

$\left\{\begin{array}{c}{i}_1\left(t\right)=I_1{e}^{{\mathrm{j\&phi;}}_{I1}}\\ i_2\left(t\right)=I_2{e}^{{\mathrm{j\&phi;}}_{I2}}\end{array}---\left(287\right)\right.$

这里，I₁、φ_I1分别是端子1在当前时刻的电流振幅及电流同步相量。同样，I₂、φ_I2分别是端子2在当前时刻的电流振幅及电流同步相量。此外，作为所使用的电流矢量，优选使用受CT饱和影响较小的差分电流。

另外，电流差动保护装置的瞬时值比较计算公式如下式所示。

[数学式288]

|I₁cosφ_I1-I₂cosφ_I2|＞ΔI_SET   (288)

当满足上式时，可判定为发生了区内故障。

另外，电流差动保护装置也可以使用下式所示的瞬时值比较计算公式。

[数学式289]

|φ_I1-φ_I2|＞Δφ_ISET   (289)

当满足上式时，可判定为发生了区内故障。

不言而喻，在这些电流差动保护装置中，端子1、2间需要时间同步，且必须用相同时刻的瞬时值或相位角来进行比较。另外，在取得同步时，必须考虑端子1、2间的信息传输时间。

(实施方式12)

实施方式12中，对几个对称分量电压测定装置、对称分量电流测定装置、对称分量功率测定装置、以及对称分量阻抗测定装置进行说明。

(对称分量电压测定装置1)

电力***的三相电压如下所示地进行测定。

[数学式290]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_A=V_A{e}^{{\mathrm{j\&phi;}}_{\mathrm{VA}}}=V_A\\ v_B\left(T\right)=V_B{e}^{{\mathrm{j\&phi;}}_{\mathrm{VB}}}=V_B\cos {\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{VBA}}+{\mathrm{jV}}_B\cos {\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{VBA}}\\ v_C\left(t\right)=V_C{e}^{{\mathrm{j\&phi;}}_{\mathrm{VA}}}=V_C\cos {\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{VCA}}+{\mathrm{jV}}_C\cos {\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{VCA}}\end{array}\right.---\left(290\right)$

这里，V_A、V_B、V_C分别是A相、B相、C相的电压振幅。另外，φ_VBA、φ_VCA分别是B相电压与A相电压的相位差、以及C相电压与A相电压的相位差。此外，这些电压振幅及相位差按照本申请所提出的方法(两端频率相同的两母线间相位角差计算法)进行测定。

(对称分量电压测定装置2)

电力***的三相电压如下所示地进行测定。

[数学式291]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_A\left(t\right)=V_A{e}^{{\mathrm{j\&phi;}}_{\mathrm{VA}}}=V_A\cos {\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{VA}}+j{V}_A\cos {\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{VA}}\\ v_B\left(t\right)=V_B{e}^{{\mathrm{j\&phi;}}_{\mathrm{VB}}}=V_B\cos {\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{VB}}+{\mathrm{jV}}_B\cos {\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{VB}}\\ v_C\left(t\right)=V_C{e}^{{\mathrm{j\&phi;}}_{\mathrm{VA}}}=V_C\cos {\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{VC}}+{\mathrm{jV}}_C\cos {\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{VC}}\end{array}\right.---\left(291\right)$

这里，V_A、V_B、V_C、φ_VA、φ_VB、φ_VC分别是A相、B相、C相的电压振幅及同步相量。此外，这些电压振幅及相位差按照本申请提出的方法进行测定。

接下来，利用对称坐标法，如下式那样计算出零相、正相、负相电压。

[数学式292]

$\left[\begin{array}{c}{v}_0\left(t\right)\\ v_1\left(t\right)\\ v_2\left(t\right)\end{array}\right]=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& \mathrm{\&alpha;}& {\mathrm{\&alpha;}}^2\\ 1& {\mathrm{\&alpha;}}^2& \mathrm{\&alpha;}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v}_A\left(t\right)\\ v_B\left(t\right)\\ v_C\left(t\right)\end{array}\right]---\left(292\right)$

这里，对称变换行列式的系数α、α²由下式表示。

α＝e^j2π/3，α²＝e^-j2π/3

以往，测定零相、正相、负相各电压的装置是利用对称坐标法来测定对称分量的电压，但是以实际频率是额定频率的情况为前提。另一方面，当实际频率不是额定频率时，测定会产生误差。对此，本申请的发明利用实际频率的计算(测量)结果，计算出相间(B相与A相、C相与A相)的相位角差，或者直接计算出同步相量。因此，例如以A相为基准，即使实际频率偏离了额定频率，也能自动地修正频率，从而能够实现高精度的测定。

(对称分量电流测定装置1)

电力***的三相电流如下所示地进行测定。

[数学式293]

$\left\{\begin{array}{c}{i}_A=I_A{e}^{{\mathrm{j\&phi;}}_{\mathrm{VA}}}=I_A\\ i_B\left(T\right)=I_B{e}^{{\mathrm{j\&phi;}}_{\mathrm{VB}}}=I_B\cos {\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{IBA}}+{\mathrm{jI}}_B\cos {\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{IBA}}\\ i_C\left(t\right)=I_C{e}^{{\mathrm{j\&phi;}}_{\mathrm{VA}}}=I_C\cos {\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ICA}}+{\mathrm{jI}}_C\cos {\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ICA}}\end{array}\right.---\left(293\right)$

这里，I_A、I_B、I_C分别是A相、B相、C相的电压振幅。另外，φ_IBA、φ_ICA分别是B相电流与A相电流的相位差、以及C相电流与A相电流的相位差。此外，这些电流振幅及相位差按照本申请提出的方法进行测定。

(对称分量电流测定装置2)

电力***的三相电流如下所示地进行测定。

[数学式294]

$\left\{\begin{array}{c}{i}_A\left(t\right)=I_A{e}^{{\mathrm{j\&phi;}}_{\mathrm{VA}}}=I_A\cos {\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{IA}}+j{I}_A\cos {\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{IA}}\\ i_B\left(t\right)=I_B{e}^{{\mathrm{j\&phi;}}_{\mathrm{VB}}}=I_B\cos {\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{IB}}+{\mathrm{jI}}_B\cos {\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{IB}}\\ i_C\left(t\right)=I_C{e}^{{\mathrm{j\&phi;}}_{\mathrm{VA}}}=I_C\cos {\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{IC}}+{\mathrm{jI}}_C\cos {\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{IC}}\end{array}\right.---\left(294\right)$

这里，I_A、I_B、I_C、φ_IA、φ_IB、φ_IC分别是A相、B相、C相的电流振幅及同步相量。此外，这些电流振幅及相位差按照本申请提出的方法进行测定。

接下来，利用对称坐标法，如下式那样计算出零相、正相、负相电流。

[数学式295]

$\left[\begin{array}{c}{i}_0\left(t\right)\\ i_1\left(t\right)\\ i_2\left(t\right)\end{array}\right]=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& \mathrm{\&alpha;}& {\mathrm{\&alpha;}}^2\\ 1& {\mathrm{\&alpha;}}^2& \mathrm{\&alpha;}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_A\left(t\right)\\ i_B\left(t\right)\\ i_C\left(t\right)\end{array}\right]---\left(295\right)$

此外，对称分量电流测定装置也具有与对称分量电压测定装置相同的高精度特性。

(对称分量功率测定装置)

若使用由上述对称分量电压测定法及对称分量电流测定法测定得到的对称分量的电压电流，则可以求出下式所示的对称分量功率。

[数学式296]

$\left\{\begin{array}{c}{p}_0+{\mathrm{jQ}}_0=v_0\left(t\right)i_0\left(t\right)\\ P_1+{\mathrm{jQ}}_1=v_1\left(t\right)i_1\left(t\right)\\ P_2+{\mathrm{jQ}}_2=v_2\left(t\right)i_2\left(t\right)\end{array}\right.---\left(296\right)$

这里，P₁、P₂、P₃分别是零相、正相、负相的各有功功率，Q₁、Q₂、Q₃分别是零相、正相、负相的各无功功率。

(对称分量阻抗测定装置)

若使用由上述对称分量电压测定法及对称分量电流测定法测定得到的对称分量的电压电流，则可以求出下式所示的对称分量阻抗。

[数学式297]

$\left\{\begin{array}{c}{Z}_0=R_0+{j2\mathrm{\&pi;fL}}_0=\frac{v_0\left(t\right)}{i_0\left(t\right)}\\ Z_1=R_1+{j2\mathrm{\&pi;fL}}_1=\frac{v_1\left(t\right)}{i_1\left(t\right)}\\ Z_2=R_2+{j2\mathrm{\&pi;fL}}_2=\frac{v_2\left(t\right)}{i_2\left(t\right)}\end{array}\right.---\left(297\right)$

这里，Z₀、Z₁、Z₂分别是零相、正相、负相的各阻抗，R₀、R₁、R₂分别是零相、正相、负相的各电阻分量，L₀、L₁、L₂分别是零相、正相、负相的各电感分量。

此外，上述计算公式可以适用于与电力***的保护控制装置有关的对称分量的所有计算。

(实施方式13)

实施方式13中，对适合差动型保护控制装置的高速瞬时值推算方法进行说明。

在实施差动保护时，接收对方端的时间序列数据，并对每一个点附加通信正常的戳。另外，在实施差动保护运算时，利用保存在AI表(AI：模拟输入数据)中的多个时间序列数据(例如12个)。然而，当通信线路中发生瞬时故障等时，就无法接收当前时刻的数据，因此，在已接收的AI表中保存的11个数据也一同全部无效，在下一个AI表的所有数据正常之前，差动保护运算将被锁定。这种差动保护运算的锁定有损保护装置的高速性能。本实施方式的方法在于改善这一点。

首先，根据使用计量电压群的频率系数测定法，可以用下式计算频率系数。

[数学式298]

$f_c=\frac{v_t-v_{t-2T}}{2v_{t-T}}=\cos \mathrm{\&alpha;}---\left(298\right)$

这里，v_t、v_t-T、v_t-2T分别是当前时刻、一步前、二步前的电压瞬时值。此外，考虑到频率系数不会急剧变化，使用由已经接收到的数据计算得到的值。因此，当前时刻的瞬时值推算值如下式所示，可以用一步前、二步前的电压瞬时值来推算。

[数学式299]

v_{t_est}＝2v_t-Tf_C-v_t-2T   (299)

当通信线路中发生了瞬时故障时，利用上述方法推算当前时刻的瞬时值数据，并将其存放到AI表中。利用这一方法，能够保证保护装置的高速性。

(实施方式14)

实施方式14中，对高次谐波电流补偿装置进行说明。此外，在以下的说明中，将高次谐波电流补偿装置作为电力***的有源滤波器来使用，以此为例进行说明。

首先，单相电路中的有源滤波器输出电流可由下式求出。

[数学式300]

i_AF＝i_L-i_re＝i_L-I_cosφ_I   (300)

这里，i_AF是有源滤波器输出电流，i_L是实际交流电流瞬时值，i_re是基波瞬时值，I是基波电流振幅，φ_I是电流同步相量。另外，将公式(255)代入上式，得到下式。

[数学式301]

$i_{\mathrm{AF}}=i_L-i_{\mathrm{re}}=i_L-\frac{{\mathrm{SA}}_P-{\mathrm{SA}}_Q{f}_C}{1-{f_C}^2}---\left(301\right)$

这里，SA_P为计量有功同步相量，SA_Q为计量无功同步相量，f_C为频率系数。利用上式，能够从时间序列输入数据直接计算有源滤波器输出电流。

下面，用案例1～6的数值例，来说明本发明的实用性及效果。首先，案例1的参数如下表2所示。

[表2]

(表2)案例1的参数

首先，在使用案例1的参数时，输入波形用下式的余弦函数来表示。

[数学式302]

v＝cos(2πft)   (302)

图24是表示用案例1的参数计算出的频率系数的图。由图24及下式(再一次示出公式(8))可知，频率系数是余弦函数。

[数学式303]

$f_C=\frac{v_{21}+v_{23}}{{2v}_{22}}=\cos \mathrm{\&alpha;}---\left(303\right)$

如图24所示，频率系数随着频率变高而变小，在1～－1间变动。当频率系数为1时，频率为零，即所谓的直流。此外，当频率系数为－1时，频率为f_S/2，为采样频率的一半。

这里，再一次示出表示旋转相位角的公式(13)，如下所示。

[数学式304]

α＝cos^-1f_C   (304)

根据上述公式(304)，旋转相位角可以有正负值，但实际上如图25所示，旋转相位角始终为正，在0～180度之间变化。此外，当实际频率为采样频率的一半以下时，旋转相位角的大小与实际频率的大小成正比关系。另外，当实际频率为采样频率的1/4时，旋转相位角为90度，频率系数为零。

最适合电力***保护控制装置的采样频率为额定频率的4倍。这里所说的最适合意味着使计算负荷变小。因此，对于50Hz的***，推荐采用200Hz的采样频率，对于60Hz的***，推荐采用240Hz的采样频率。

图26是用案例1的参数进行计算的频率测定的增益图。计算该增益的公式如下式所示。

[数学式305]

$K_{\mathrm{Gain}}=\frac{f_1}{f_0}---\left(305\right)$

这里，f₁是频率测定值，f₀是输入理论频率。从而，当测定对象的频率在采样频率600Hz的一半以下(300Hz以下)时，能够实现理论上无误差的频率测定。此外，可知该结果与采样定理(sampling theorem)是一致的。

接下来，参照图27～图32，对使用案例2的参数的测定结果(计算结果)进行说明。图27～图32分别是用案例2的参数进行计算的测定结果，图27中示出了频率系数，图28中示出了瞬时电压、直流偏移、计量电压及电压振幅，图29中示出了旋转相位角及实测频率，图30中示出了计量有功同步相量及计量无功同步相量，图31中示出了本申请的同步相量及以往的瞬时值同步相量，图32中示出了时间同步相量。另外，案例2的参数如下表3所示。

[表3]

(表3)案例2的参数

根据表3，输入波形的实数瞬时值函数如下式所示。

[数学式306]

v＝0.5+cos(390.437t+0.613)           (306)

另外，将上述公式(306)所示的输入波形设为电压瞬时值时，可以得到如下的频率系数。

[数学式307]

$f_C=\frac{v_{21}+v_{23}}{2v_{22}}=-0.055996---\left(307\right)$

当实际频率大于采样频率的1/4时，频率系数的符号为负。如图27所示，可知测定结果与理论值一致，测定是正确的。

另外，将上述公式(306)所示的输入波形设为电压瞬时值时，可以得到如下的直流偏移。

[数学式308]

$d=\frac{v_{11}+v_{13}-2v_{12}{k}_C}{2(1-k_C)}=0.5\left(V\right)---\left(308\right)$

如图28所示，直流偏移的计算值与输入值一致，测定是正确的。

另外，由于计量电压是交流电压的旋转不变量，因此，在电压瞬时值减去直流偏移后，可以得到如下的计量电压。

[数学式309]

$V_g=\sqrt{{(v_{12}-d)}^2-(v_{11}-d)(v_{13}-d)}=0.998431\left(V\right)---\left(309\right)$

根据上式的结果，可以得到如下的电压振幅。

[数学式310]

$V=\frac{V_g}{\sqrt{1-{f_C}^2}}=1.0\left(V\right)---\left(310\right)$

上式的结果与图28及上述表3中的输入数据一致，可知测定是正确的。此外，为了便于理解，在图28中的电压振幅上加上了直流偏移分量。

另外，根据公式(307)的结果，可以得到如下的旋转相位角。

[数学式311]

α＝cos^-1f_C＝93.21(deg)          (311)

当频率系数为负时，旋转相位角大于90度。如图29所示，可知测定结果与理论值一致，测定是正确的。

另外，根据上述公式(311)的结果，可以得到如下的实际频率。

[数学式312]

$f=\frac{f_S}{2\mathrm{\&pi;}}\mathrm{\&alpha;}=62.14\left(\mathrm{Hz}\right)---\left(312\right)$

如图29所示，可知实测频率与上述公式(312)及表2中的输入数据一致。

另外，如图30所示，可知计量有功同步相量与一步前的计量无功同步相量相等。

另外，图31是对用案例2的参数进行计算的本申请的同步相量与以往的瞬时值同步相量进行比较而示出的图。图31中，用黑色三角形表示本申请的同步相量，用黑色圆点表示上述专利文献3中公开的瞬时值同步相量。

图31中，本申请的同步相量是依赖于时间的量，在-π～+π的范围内变动。这里，当本申请的同步相量为正时，与瞬时值同步相量一致。另外，当本申请的同步相量为负时，瞬时值同步相量并不为负，但绝对值相同(符号相反)。

此外，上述专利文献3(以下，在该项中称为“现有发明”)所示的瞬时值同步相量的计算公式如下所示。

[数学式313]

$\mathrm{\&phi;}={\cos }^{-1}\left(\frac{v_{\mathrm{re}}}{V}\right)---\left(313\right)$

从而，依据现有发明的瞬时值同步相量始终为正。因此，现有发明存在本端绝对相位角的反转区域(相位角在0～π之间逆时针或顺时针变化)，而在该反转区域中，无法准确地确定绝对相位角是逆时针旋转还是顺时针旋转。另外，现有发明在计算两个绝对相位角之差、即时间同步相量或空间同步相量时，在相位角的反转区域无法得到正确的值。因此，现有发明锁存前一步的值。

而在本申请的发明中，由于是利用对称群的方法，因此，在群组同步相量测定法下，绝对相位角在-π～π之间始终逆时针地单向变化，从而不需要锁存相位角差。因而，能够准确地确定时间同步相量或空间同步相量，对于高速保护控制来说非常有效。另外，本申请发明与现有发明在噪声处理的方式上也不相同。现有发明利用的是最小二乘法，而本申请发明是通过增加对称群的数量来降低噪声。

另外，在将额定频率设为60Hz时，可以得到如下的当前时刻同步相量与一个周期前的时刻的同步相量之差、即时间同步相量

[数学式314]

${\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{TP}}=\frac{62.14-60}{60}\&times;360=12.84\left(\mathrm{deg}\right)---\left(314\right)$

如图32所示，时间同步相量的测定结果与理论值一致。

接下来，对案例3-5的参数进行说明。案例3-5是上述非专利文献1的第47-51页中记载的Benchmark(基准)测试案例。此外，为了简单起见，将案例3-5的输入波形的直流偏移设为零。

接下来，参照图33～图38，对使用案例3的参数的测定结果进行说明。图33～图38分别是用案例3的参数进行计算的测定结果，图33中示出了频率系数，图34中示出了瞬时电压、计量差分电压及电压振幅，图35中示出了余弦函数法的同步相量、正切函数法的同步相量及对称性破缺判别标记，图36中示出了同步相量，图37中示出了电压振幅，图38中示出了时间同步相量。此外，案例3的参数如下表4所示。该参数被规定为是上述Benchmark测试中包含的“G.2Magnitude step test(10％)(G.2振幅台阶测试(10％))”。

[表4]

(表4)案例3的参数

首先，在案例3中，输入波形的实数瞬时值函数如下式所示。

[数学式315]

$v=\left\{\begin{array}{c}1\&times;\cos (390.44t+0.4381),t<=0.5\\ 0.9\&times;\cos (390.44t+{\mathrm{\&phi;}}_C),t>0.5\end{array}\right.---\left(315\right)$

这里，φ_C是状态急剧变化前的交流电压的相位角，通过在线计算得到。

另外，将上述公式(315)所示的输入波形设为电压瞬时值时，可以得到如下的频率系数。

[数学式316]

$f_C=\frac{v_{21}+v_{23}}{{2v}_{22}}=0.85654---\left(316\right)$

如图33所示，除了状态急剧变化后的几个点，其它都能得到稳定的值。

另外，可得到如下所示的在振幅变化前的稳定状态下的计量差分电压。

[数学式317]

$V_{\mathrm{gd}}=\sqrt{{v_{22}}^2-v_{21}{v}_{23}}=0.27644\left(V\right)---\left(317\right)$

从而，可以得到如下所示的在振幅变化前的稳定状态下的电压振幅。

[数学式318]

$V=\frac{\sqrt{2}{V}_{\mathrm{gd}}}{2(1-f_C)\sqrt{1+f_C}}=1.0\left(V\right)---\left(318\right)$

上式的结果与图34的测定结果及上述表4中的输入数据一致，可知测定是正确的。

另外，可以得到如下所示的在振幅变化后的稳定状态下的计量差分电压。

[数学式319]

$V_{\mathrm{gd}}=\sqrt{{v_{22}}^2-v_{21}{v}_{23}}=0.24880\left(V\right)---\left(319\right)$

从而，可以得到如下所示的在振幅变化后的稳定状态下的电压振幅。

[数学式320]

$V=\frac{\sqrt{2}{V}_{\mathrm{gd}}}{2(1-f_C)\sqrt{1+f_C}}=0.9\left(V\right)---\left(320\right)$

可知上式的结果与图34的测定结果及上述表4中的输入数据一致。

参照图35，在稳定状态下，交流电压具有对称性，余弦函数法的同步相量与正切函数法的同步相量完全一致。当交流电压急剧变化时，余弦函数法的同步相量与正切函数法的同步相量的结果不再一致，示出对称性破缺。

从而，通过利用余弦函数法或正切函数法的同步相量测定结果，能够判定输入波形是否具有对称性。另外，当对称性破缺时，通过用公式(206)来推算同步相量，能够维持正常的变化。

当具有对称性时，利用计量差分电压和频率系数来求出电压振幅。另一方面，当对称性破缺时，锁存已计算出的电压振幅。通过这样，如图37所示，能够避免产生振动的过渡状态。

此外，作为比较对象，参照非专利文献1第51页的FigureG.4-Magnitude step test example(simulation，1cycle FFT basedalgorithm)(G.4-振幅台阶测试例(仿真，一个周期基于FFT的算法))。在该仿真中实施了傅里叶变换，因此，使电压振幅发生急剧变化前的电压振幅发生了改变。而且，在非专利文献1中，电压振幅发生急剧变化前后的实际频率为***额定频率。另一方面，本申请发明中，尽管实际频率为62.14Hz，也能得到稳定的测定结果。

另外，可以得到如下的当前时刻同步相量与额定频率60Hz的一个周期前的时刻的同步相量之差、即时间同步相量。

[数学式321]

${\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{TP}}=\frac{62.14-60}{60}\&times;360=12.84\left(\mathrm{deg}\right)---\left(321\right)$

由图38可知，上式的结果(理论值)与图38的测定结果一致。此外，没有过渡状态意味着同步相量推算是正确的。

接下来，参照图39～图43，对使用案例4的参数的测定结果进行说明。图39～图43分别是用案例4的参数进行计算的测定结果，图39中示出了频率系数，图40中示出了瞬时电压、计量差分电压及电压振幅，图41中示出了余弦函数法的同步相量、正切函数法的同步相量及对称性破缺判别标记，图42中示出了同步相量，图43中示出了时间同步相量。此外，案例4的参数如下表5所示。该参数被规定为是上述Benchmark测试中包含的“G.3Phase step test(90°)(G.3相位台阶测试(90°))”。

[表5]

(表5)案例4的参数

首先，在案例4中，输入波形的实数瞬时值函数如下式所示。

[数学式322]

$v=\left\{\begin{array}{c}\cos (314.16t-\mathrm{\&pi;}),t<=0.5\\ \cos (314.16t+{\mathrm{\&phi;}}_C+\mathrm{\&pi;}/2),t>0.5\end{array}\right.---\left(322\right)$

这里，φ_C是状态急剧变化前的交流电压的相位角，通过在线计算得到。

另外，将上述公式(322)所示的输入波形设为电压瞬时值时，可以得到如下的频率系数。

[数学式323]

$f_C=\frac{v_{21}+v_{23}}{2v_{22}}=0.98481---\left(323\right)$

如图39所示可知，除了状态急剧变化后的几个点，其它都能得到稳定的值。

另外，可以得到如下所示的在振幅变化前的稳定状态下的计量差分电压。

[数学式324]

$V_{\mathrm{gd}}=\sqrt{{v_{22}}^2-v_{21}{v}_{23}}=0.030269\left(V\right)---\left(324\right)$

从而，可以得到如下所示的在振幅变化前的稳定状态下的电压振幅。

[数学式325]

$V=\frac{\sqrt{2}{V}_{\mathrm{gd}}}{2(1-f_C)\sqrt{1+f_C}}=1.0\left(V\right)---\left(325\right)$

可知上式的结果与上述表5中的输入数据一致。

参照图41，在稳定状态下，交流电压具有对称性，余弦函数法的同步相量与正切函数法的同步相量完全一致。当交流电压急剧变化时，余弦函数法的同步相量与正切函数法的同步相量的结果不再一致，示出对称性破缺。

此外，由图42可知，在具有对称性的情况下，可以使用余弦函数法或正切函数法的同步相量测定结果。当对称性破缺时，通过用公式(206)来推算同步相量，能够维持正常的变化。虽然在2个稳定状态之间存在90度的急剧变化，但不存在振动的过渡状态。

另外，可以得到如下的当前时刻同步相量与额定频率60Hz的一个周期前的时刻的同步相量之差、即时间同步相量。

[数学式326]

${\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{TP}}=\frac{50-50}{50}\&times;360=0\left(\mathrm{deg}\right)---\left(326\right)$

但是，当相位急剧变化了90度之后，在一个周期的期间内，时间同步相量将按照以下所述进行变化。

[数学式327]

φ_TP＝90(deg)            (327)

接下来，参照图44～图50，对使用案例5的参数的测定结果进行说明。图44～图50分别是用案例5的参数进行计算的测定结果，图44中示出了频率系数，图45中示出了瞬时电压、计量差分电压及电压振幅，图46中示出了余弦函数法的同步相量、正切函数法的同步相量及对称性破缺判别标记，图47中示出了同步相量，图48中示出了旋转相位角，图49中示出了实际频率，图50中示出了时间同步相量。此外，案例5的参数如下表6所示。该参数被规定为是上述Benchmark测试中所包含的“G.4 Frequencystep test(+5Hz)(G.4频率台阶测试(+5Hz))”。

[表6]

(表6)案例5的参数

首先，在案例5中，输入波形的实数瞬时值函数如下式所示。

[数学式328]

$v=\left\{\begin{array}{c}\cos (2\&times;\mathrm{\&pi;}\&times;48.14\&times;t+0.4363),t<=0.5\\ \cos [2\&times;\mathrm{\&pi;}\&times;(48.14+5)\&times;t+{\mathrm{\&phi;}}_C],t>0.5\end{array}\right.---\left(328\right)$

这里，φ_C是状态急剧变化前的交流电压的相位角，通过在线计算得到。

另外，将上述公式(328)所示的输入波形设为电压瞬时值时，可以得到如下的在频率变化前的稳定状态下的频率系数。

[数学式329]

$f_C=\frac{v_{21}+v_{23}}{{2v}_{22}}=0.87560---\left(329\right)$

另一方面，可以得到如下所示的在频率变化后的稳定状态下的频率系数。

[数学式330]

$f_C=\frac{v_{21}+v_{23}}{2v_{22}}=0.84912---\left(330\right)$

如图44所示可知，除了状态急剧变化后的2个点，其它都能得到稳定的值。

另外，可以得到如下所示的在频率变化前的稳定状态下的计量差分电压。

[数学式331]

$V_{\mathrm{gd}}=\sqrt{V_{22}^2-V_{21}{V}_{23}}=0.24094\left(V\right)---\left(331\right)$

另一方面，可以得到如下所示的在频率变化后的稳定状态下的计量差分电压。

[数学式332]

$V_{\mathrm{gd}}=\sqrt{{v_{22}}^2-v_{21}{v}_{23}}=0.29016\left(V\right)---\left(332\right)$

从而可以得到如下的电压振幅。

[数学式333]

$V=\frac{\sqrt{2}{V}_{\mathrm{gd}}}{2(1-f_C)\sqrt{1+f_C}}=1.0\left(V\right)---\left(333\right)$

可知上式的结果与上述表6中的输入数据一致。

参照图46，在稳定状态下，交流电压具有对称性，余弦函数法的同步相量与正切函数法的同步相量完全一致。当交流电压急剧变化时，余弦函数法的同步相量与正切函数法的同步相量的结果不再一致，示出对称性破缺。

此外，由图47可知，在具有对称性的情况下，使用余弦函数法或正切函数法的同步相量测定结果即可。当对称性破缺时，通过用公式(206)来推算同步相量，能够维持正常的变化。

在具有对称性的情况下，利用频率系数法可以得到准确的旋转相位角。而当对称性破缺时，锁存已计算出的旋转相位角。通过这样，如图48所示，能够避免产生振动的过渡状态。

如图49所示，可知频率急剧变化前后的测定结果与表6中的输入数据一致。此外，在具有对称性的情况下，通过频率系数法能够正确地求出频率。而当对称性破缺时，锁存已计算出的频率。通过这样，如图49所示，能够避免产生振动的过渡状态。

另外，在将额定频率设为60Hz时，可以得到如下的在变化前的稳定状态下当前时刻的同步相量与一个周期前的时刻的同步相量之差、即时间同步相量。

[数学式334]

${\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{TP}}=\frac{48.14-50}{50}\&times;360=-13.392\left(\mathrm{deg}\right)---\left(334\right)$

另外，在将额定频率设为60Hz时，可以得到如下的在变化后的稳定状态下当前时刻的同步相量与一个周期前的时刻的同步相量之差、即时间同步相量。

[数学式335]

${\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{TP}}=\frac{53.14-50}{50}\&times;360=22.608\left(\mathrm{deg}\right)---\left(335\right)$

如图50所示，变化前后的时间同步相量的测定结果与理论值一致。

接下来，参照图51，对使用案例6的参数的仿真结果进行说明。此外，图51是用案例6的参数来进行仿真时的同步接通装置动作图。另外，案例6的参数如下述表7所示，示出了同步接通装置的动作解析所需的基本参数。

[表7]

(表7)案例6的参数

根据表7中所示的案例6的参数，两端的电压实数瞬时值函数如下式所示。

[数学式336]

$\left\{\begin{array}{c}{v}_1=\cos (314.79t-0.7871)\\ v_2=\cos \left(298.45t\right)\end{array}\right.---\left(336\right)$

另外，根据表7，两个端子的频率差可如下述那样计算得到。

Δf＝50.1-47.5＝2.6(Hz)

另外，同步接通预测时间T_est可用上述公式(276)通过在线计算得到。

下述表8是表示用案例6的参数进行仿真的一部分结果的表格，图51是表示该结果的图。在本仿真中，公式(278)所示的“T_CAL+T_COM”(逻辑计算时间+控制信号传输通信时间)被设定为15ms。

[表8]

(表8)同步接通装置仿真的一部分结果

上述表8中，同步接通控制延迟时间T_ASY在仿真步数19时为约16.5ms，比“T_CAL+T_COM”的15ms要长，因此，从公式(278)求出的同步接通预测时间T_est为正值，能够实现同步接通。另一方面，同步接通控制延迟时间T_ASY在仿真步数20时为约14.9ms，同步接通预测时间T_est为负值。此外，在这种情况下，将空间同步相量加上2π，由此计算出同步接通预测时间T_est。图51中，用黑色三角形表示的控制延迟时间在稍许超过0.03S(30ms)的时刻突然上升得很高，该位置对应于表8中的仿真步数19与仿真步数20之间。

以往的同步接通装置只有在两端的频率差非常小的情况下(例如在0.5Hz以内)才能进行接通，而本申请发明在频率差有2.6Hz那么大的时候也能进行同步接通。从而，本申请发明所涉及的同步接通装置与以往的同步接通装置相比，能够实现高速接通。

工业上的实用性

如上所述，本发明所涉及的交流电气量测定装置在测定对象偏离***额定频率的状态下进行动作时，也能进行高精度的交流电气量测定，因此是有用的。

标号说明

101    功率测定装置

102、202、302    交流电压电流瞬时值数据输入部

103、203、303、403    频率系数计算部

104、206、305    计量有功功率计算部

105、207、306    计量无功功率计算部

106    有功功率及无功功率计算部

107    视在功率计算部

108    功率因数计算部

109、213、312、413    对称性破缺判别部

110、216、314、419、506、711    接口

111、217、315、420、507、712    存储部

201    距离保护装置

204、407、703    频率计算部

205、304    计量电流计算部

208、212    电阻及电感计算部

209、308    计量差分电流计算部

210、309    计量差分有功功率计算部

211、310    计量差分无功功率计算部

214    距离计算部

215    断路器跳闸部

301    失步保护装置

307、311    失步中心电压计算部

313    断路器跳闸部

401    时间同步相量测定装置

402    交流电压瞬时值数据输入部

404    计量差分电压计算部

405    电压振幅计算部

406    旋转相位角计算部

408    直流偏移计算部

409    计量有功同步相量计算部

410    计量无功同步相量计算部

414    同步相量推算部

415    旋转相位角锁存部

416    频率锁存部

417    电压振幅锁存部

418    时间同步相量计算部

501    同步相量测定装置

502    空间同步相量测定装置

503    同步相量/时间戳接收部

504    空间同步相量计算部

505    控制信号发送部

508、603    通信线路

601、602    同步相量测定装置

701    同步接通装置

702    电压测量部

704    电压振幅计算部

705    电压同步相量计算部

706    频率比较部

707    电压振幅比较部

708    空间同步相量计算部

709    同步接通操作延迟时间计算部

710    同步接通操作实施部

Claims (18)

1.一种交流电气量测定装置，其特征在于，包括：

频率系数计算部，该频率系数计算部以测定对象即交流电压的频率的2倍以上的采样频率对该交流电压进行采样，对于采样得到的连续的至少4个电压瞬时值数据，在表示相邻2个电压瞬时值数据之间的差分的3个差分电压瞬时值数据中，利用中间时刻的差分电压瞬时值对中间时刻以外的差分电压瞬时值之和的平均值进行归一化，将归一化计算得到的值作为频率系数来进行计算，电压瞬时值是电压矢量的实部；以及

频率计算部，该频率计算部使用所述采样频率和所述频率系数来计算所述交流电压的频率。

2.如权利要求1所述的交流电气量测定装置，其特征在于，包括：

计量差分电压计算部，该计量差分电压计算部对于包括计算所述频率系数时所用的3个差分电压瞬时值数据在内的连续的至少4个电压瞬时值数据，在表示相邻2个电压瞬时值数据之间的差分的3个差分电压瞬时值数据中，对中间时刻的差分电压瞬时值的平方值、与中间时刻以外的差分电压瞬时值的积之差求平均，将由此得到的值作为计量差分电压来进行计算；以及

电压振幅计算部，该电压振幅计算部使用所述频率系数和所述计量差分电压来计算所述交流电压的振幅。

3.如权利要求1所述的交流电气量测定装置，其特征在于，包括：

直流偏移计算部，该直流偏移计算部使用所述频率系数、和计算该频率系数时所使用的4个电压瞬时值数据中规定的3个电压瞬时值数据，来计算所述交流电压中所包含的直流偏移。

4.如权利要求1所述的交流电气量测定装置，其特征在于，包括：

计量差分电压计算部，该计量差分电压计算部对于包括计算所述频率系数时所用的3个差分电压瞬时值数据在内的连续的至少4个电压瞬时值数据，在表示相邻2个电压瞬时值数据之间的差分的3个差分电压瞬时值数据中，计算中间时刻的差分电压瞬时值的平方值、与中间时刻以外的差分电压瞬时值的积之差，将由此得到的差值求平均后的值作为计量差分电压来进行计算；以及

直流偏移计算部，该直流偏移计算部使用所述频率系数计算部所计算出的频率系数、所述计量差分电压计算部所计算出的计量差分电压、以及在计算所述频率系数时所用的4个电压瞬时值数据中规定的3个电压瞬时值数据，来计算所述交流电压中包含的直流偏移。

5.如权利要求4所述的交流电气量测定装置，其特征在于，包括：

计量电压计算部，该计量电压计算部对计算所述频率系数时所用的3个电压瞬时值数据中中间时刻的电压瞬时值减去所述直流偏移后的分量的平方值、与中间时刻以外的2个电压瞬时值分别减去所述直流偏移后的分量彼此相乘而得到的积求差，将由此得到的差值求平均后的值作为计量电压来进行计算；以及

电压振幅计算部，该电压振幅计算部使用所述频率系数和所述计量电压来计算所述交流电压的振幅。

6.如权利要求1所述的交流电气量测定装置，其特征在于，包括：

计量电压计算部，该计量电压计算部对计算所述频率系数时所用的3个电压瞬时值数据中中间时刻的电压瞬时值的平方值、与中间时刻以外的电压瞬时值的积求差，将由此得到的差值求平均后的值作为计量电压来进行计算；

计量差分电压计算部，该计量差分电压计算部对于包括计算所述频率系数时所用的3个差分电压瞬时值数据在内的连续的至少4个电压瞬时值数据，在表示相邻2个电压瞬时值数据之间的差分的3个差分电压瞬时值数据中，计算中间时刻的差分电压瞬时值的平方值、与中间时刻以外的差分电压瞬时值的积之差，将由此得到的差值求平均后的值作为计量差分电压来进行计算；以及

对称性破缺判别部，该对称性破缺判别部使用判定指标来判定所述交流电压波形的对称性破缺，所述判定指标基于用所述频率系数计算出的第一旋转相位角、与用所述计量电压及所述计量差分电压计算出的第二旋转相位角之间的偏差。

7.如权利要求1所述的交流电气量测定装置，其特征在于，包括：

计量电压计算部，该计量电压计算部对计算所述频率系数时所用的3个电压瞬时值数据中中间时刻的电压瞬时值的平方值、与中间时刻以外的电压瞬时值数据积求差，将由此得到的差值求平均后的值作为计量电压来进行计算；

计量差分电压计算部，该计量差分电压计算部对于包括计算所述频率系数时所用的3个差分电压瞬时值数据在内的连续的至少4个电压瞬时值数据，在表示相邻2个电压瞬时值数据之间的差分的3个差分电压瞬时值数据中，计算中间时刻的差分电压瞬时值的平方值、与中间时刻以外的差分电压瞬时值的积之差，将由此得到的差值求平均后的值作为计量差分电压来进行计算；以及

对称性破缺判别部，该对称性破缺判别部使用判定指标来判定所述交流电压波形的对称性破缺，所述判定指标基于用所述频率系数能够计算出的旋转相位角的半角正弦函数值、与用所述计量电压及所述计量差分电压能够计算出的旋转相位角的半角正弦函数值之间的偏差。

8.如权利要求1所述的交流电气量测定装置，其特征在于，包括：

计量电压计算部，该计量电压计算部对计算所述频率系数时所用的3个电压瞬时值数据中中间时刻的电压瞬时值的平方值、与中间时刻以外的电压瞬时值的积求差，将由此得到的差值求平均后的值作为计量电压来进行计算；

计量差分电压计算部，该计量差分电压计算部对于包括计算所述频率系数时所用的3个差分电压瞬时值数据在内的连续的至少4个电压瞬时值数据，在表示相邻2个电压瞬时值数据之间的差分的3个差分电压瞬时值数据中，计算中间时刻的差分电压瞬时值的平方值、与中间时刻以外的差分电压瞬时值的积之差，将由此得到的差值求平均后的值作为计量差分电压来进行计算；以及

对称性破缺判别部，该对称性破缺判别部使用判定指标来判定所述交流电压波形的对称性破缺，所述判定指标基于用所述频率系数及所述计量电压计算出的第一电压振幅、与用所述频率系数及所述计量差分电压计算出的第二电压振幅之间的偏差。

9.如权利要求1所述的交流电气量测定装置，其特征在于，包括：

计量电压计算部，该计量电压计算部对计算所述频率系数时所用的3个电压瞬时值数据中中间时刻的电压瞬时值的平方值、与中间时刻以外的电压瞬时值的积求差，将由此得到的差值求平均后的值作为计量电压来进行计算；

计量差分电压计算部，该计量差分电压计算部对于包括计算所述频率系数时所用的3个差分电压瞬时值数据在内的连续的至少4个电压瞬时值数据，在表示相邻2个电压瞬时值数据之间的差分的3个差分电压瞬时值数据中，计算中间时刻的差分电压瞬时值的平方值、与中间时刻以外的差分电压瞬时值的积之差，将由此得到的差值求平均后的值作为计量差分电压来进行计算；

计量有功同步相量计算部，该计量有功同步相量计算部对计算所述频率系数时所用的3个电压瞬时值数据中测定时刻较晚的2个电压瞬时值数据、与测定对象的交流电压在同一复平面上的第一固定单位矢量、以及相对于该第一固定单位矢量延迟了取决于所述频率系数的旋转相位角的第二固定单位矢量进行规定的积差运算，将由此求出的值作为计量有功同步相量来进行计算；

计量无功同步相量计算部，该计量无功同步相量计算部对计算所述计量有功同步相量时所用的3个电压瞬时值数据中测定时刻较早的2个电压瞬时值数据、以及计算所述计量有功同步相量时所用的所述第一、第二固定单位矢量进行规定的积差运算，将由此求得的值作为计量无功同步相量来进行计算；以及

对称性破缺判别部，该对称性破缺判别部使用判定指标来判定所述交流电压波形的对称性破缺，所述判定指标基于用所述频率系数、所述计量有功同步相量及所述计量无功同步相量计算出的第一电压振幅、与用所述频率系数及所述计量差分电压计算出的第二电压振幅之间的偏差。

10.如权利要求1所述的交流电气量测定装置，其特征在于，包括：

计量电压计算部，该计量电压计算部对计算所述频率系数时所用的3个电压瞬时值数据中中间时刻的电压瞬时值的平方值、与中间时刻以外的电压瞬时值的积求差，将由此得到的差值求平均后的值作为计量电压来进行计算；

计量差分电压计算部，该计量差分电压计算部对于包括计算所述频率系数时所用的3个差分电压瞬时值数据在内的连续的至少4个电压瞬时值数据，在表示相邻2个电压瞬时值数据之间的差分的3个差分电压瞬时值数据中，计算中间时刻的差分电压瞬时值的平方值、与中间时刻以外的差分电压瞬时值的积之差，将由此得到的差值求平均后的值作为计量差分电压来进行计算；

计量差分有功同步相量计算部，该计量差分有功同步相量计算部对计算所述频率系数时所用的3个差分电压瞬时值数据中测定时刻较晚的2个差分电压瞬时值数据、与测定对象的交流电压在同一复平面上的第一固定单位矢量、以及相对于该第一固定单位矢量延迟了取决于所述频率系数的旋转相位角的第二固定单位矢量进行规定的积差运算，将由此求出的值作为计量差分有功同步相量来进行计算；

计量差分无功同步相量计算部，该计量差分无功同步相量计算部对计算所述差分有功同步相量时所用的3个差分电压瞬时值数据中测定时刻较早的2个差分电压瞬时值数据、以及计算所述计量差分有功同步相量时所用的所述第一、第二固定单位矢量进行规定的积差运算，将由此求得的值作为计量差分无功同步相量来进行计算；以及

对称性破缺判别部，该对称性破缺判别部使用判定指标来判定所述交流电压波形的对称性破缺，所述判定指标基于用所述频率系数、所述计量差分有功同步相量及所述计量差分无功同步相量计算出的第一电压振幅、与用所述频率系数及所述计量差分电压计算出的第二电压振幅之间的偏差。

11.如权利要求1所述的交流电气量测定装置，其特征在于，包括：

计量电压计算部，该计量电压计算部对计算所述频率系数时所用的3个电压瞬时值数据中中间时刻的电压瞬时值的平方值、与中间时刻以外的电压瞬时值的积求差，将由此得到的差值求平均后的值作为计量电压来进行计算；

计量差分电压计算部，该计量差分电压计算部对于包括计算所述频率系数时所用的3个差分电压瞬时值数据在内的连续的至少4个电压瞬时值数据，在表示相邻2个电压瞬时值数据之间的差分的3个差分电压瞬时值数据中，计算中间时刻的差分电压瞬时值的平方值、与中间时刻以外的差分电压瞬时值的积之差，将由此得到的差值求平均后的值作为计量差分电压来进行计算；

计量有功同步相量计算部，该计量有功同步相量计算部对计算所述频率系数时所用的3个电压瞬时值数据中测定时刻较晚的2个电压瞬时值数据、与测定对象的交流电压在同一复平面上的第一固定单位矢量、以及相对于该第一固定单位矢量延迟了取决于所述频率系数的旋转相位角的第二固定单位矢量进行规定的积差运算，将由此求出的值作为计量有功同步相量来进行计算；

计量无功同步相量计算部，该计量无功同步相量计算部对计算所述计量有功同步相量时所用的3个电压瞬时值数据中测定时刻较早的2个电压瞬时值数据、以及计算所述计量有功同步相量时所用的所述第一、第二固定单位矢量进行规定的积差运算，将由此求得的值作为计量无功同步相量来进行计算；

计量差分有功同步相量计算部，该计量差分有功同步相量计算部对计算所述计量有功同步相量时所用的3个差分电压瞬时值数据中测定时刻较晚的2个差分电压瞬时值数据、以及计算所述计量有功同步相量时所用的所述第一、第二固定单位矢量进行规定的积差运算，将由此求得的值作为计量差分有功同步相量来进行计算；

计量差分无功同步相量计算部，该计量差分无功同步相量计算部对计算所述差分有功同步相量时所用的3个差分电压瞬时值数据中测定时刻较早的2个差分电压瞬时值数据、以及计算所述计量差分有功同步相量时所用的所述第一、第二固定单位矢量进行规定的积差运算，将由此求得的值作为计量差分无功同步相量来进行计算；以及

对称性破缺判别部，该对称性破缺判别部使用判定指标来判定所述交流电压波形的对称性破缺，所述判定指标基于用所述频率系数、所述计量有功同步相量及所述计量无功同步相量计算出的第一电压振幅、与用所述频率系数、所述计量差分有功同步相量及所述计量差分无功同步相量计算出的第二电压振幅之间的偏差。

12.如权利要求1所述的交流电气量测定装置，其特征在于，包括：

计量电压计算部，该计量电压计算部对计算所述频率系数时所用的3个电压瞬时值数据中中间时刻的电压瞬时值的平方值、与中间时刻以外的电压瞬时值的积求差，将由此得到的差值求平均后的值作为计量电压来进行计算；

计量电流计算部，该计量电流计算部对与计算所述频率系数时所用的3个电压瞬时值数据同一时刻采样得到的3个电流瞬时值数据中中间时刻的电流瞬时值的平方值、与中间时刻以外的电流瞬时值的积求差，将由此得到的差值求平均后的值作为计量电流来进行计算，电流瞬时值是电流矢量的实部；

计量有功功率计算部，该计量有功功率计算部对计算所述频率系数时所用的3个电压瞬时值数据中测定时刻较早的2个电压瞬时值数据、和与所述3个电压瞬时值同一时刻采样得到的3个电流瞬时值数据中测定时刻较晚的2个差分电流瞬时值数据进行规定的积差运算，将由此求得的值作为计量有功功率来进行计算；

计量无功功率计算部，该计量无功功率计算部对计算所述计量有功功率时所用的3个电压瞬时值数据中测定时刻较晚的2个电压瞬时值数据、和与所述3个电压瞬时值同一时刻采样得到的3个电流瞬时值数据中测定时刻较晚的2个差分电流瞬时值数据进行规定的积差运算，将由此求得的值作为计量无功功率；以及

对称性破缺判别部，该对称性破缺判别部使用判定指标来判定所述交流电压波形的对称性破缺，所述判定指标基于用所述频率系数、所述计量电压、所述计量电流、所述计量有功功率及所述计量无功功率计算出的第一计算值、与用所述频率系数、所述计量有功功率及所述计量无功功率计算出的第二计算值之间的偏差。

13.如权利要求1所述的交流电气量测定装置，其特征在于，包括：

计量差分电压计算部，该计量差分电压计算部对于包括计算所述频率系数时所用的3个差分电压瞬时值数据在内的连续的至少4个电压瞬时值数据，在表示相邻2个电压瞬时值数据之间的差分的3个差分电压瞬时值数据中，计算中间时刻的差分电压瞬时值的平方值、与中间时刻以外的差分电压瞬时值的积之差，将由此得到的差值求平均后的值作为计量差分电压来进行计算；

计量差分电流计算部，该计量差分电流计算部对于与计算所述频率系数时所用的4个电压瞬时值数据同一时刻采样得到的4个电流瞬时值数据，在表示相邻2个电流瞬时值数据之间的差分的3个差分电流瞬时值数据中，计算中间时刻的差分电流瞬时值的平方值、与中间时刻以外的差分电流瞬时值的积之差，将由此得到的差值求平均后的值作为计量差分电流来进行计算，电流瞬时值是电流矢量的实部；

计量差分有功功率计算部，该计量差分有功功率计算部对计算所述计量差分电压时所用的3个差分电压瞬时值数据中测定时刻较早的2个差分电压瞬时值数据、和计算所述计量差分电流时所用的3个电流瞬时值数据中测定时刻较晚的2个差分电流瞬时值数据进行规定的积差运算，将由此得到的值作为计量差分有功功率来进行计算；

计量差分无功功率计算部，该计量差分无功功率计算部对计算所述计量差分有功功率时所用的3个差分电压瞬时值数据中测定时刻较晚的2个差分电压瞬时值数据、和计算所述计量差分有功功率时所用的3个差分电流瞬时值数据中测定时刻较晚的2个差分电流瞬时值数据进行规定的积差运算，将由此得到的值作为计量差分无功功率来进行计算；以及

对称性破缺判别部，该对称性破缺判别部使用判定指标来判定所述交流电压波形的对称性破缺，所述判定指标基于用所述频率系数、所述计量差分电压、所述计量差分电流、所述计量差分有功功率及所述计量差分无功功率计算出的第一计算值、与用所述频率系数、所述计量差分有功功率及所述计量差分无功功率计算出的第二计算值之间的偏差。

14.一种交流电气量测定方法，其特征在于，包括以下步骤：

以测定对象即交流电压的频率的2倍以上的采样频率对该交流电压进行采样，对于采样得到的连续的至少4个电压瞬时值数据，在表示相邻2个电压瞬时值数据之间的差分的3个差分电压瞬时值数据中，利用中间时刻的差分电压瞬时值对中间时刻以外的差分电压瞬时值之和的平均值进行归一化，将归一化计算得到的值作为频率系数来进行计算的步骤，电压瞬时值是电压矢量的实部；以及

使用所述采样频率和所述频率系数来计算所述交流电压的频率的步骤。

15.如权利要求14所述的交流电气量测定方法，其特征在于，包括以下步骤：

对于包括计算所述频率系数时所用的3个差分电压瞬时值数据在内的连续的至少4个电压瞬时值数据，在表示相邻2个电压瞬时值数据之间的差分的3个差分电压瞬时值数据中，计算中间时刻的差分电压瞬时值的平方值、与中间时刻以外的差分电压瞬时值的积之差，将由此得到的差值求平均后的值作为计量差分电压来进行计算的步骤；以及

使用所述频率系数和所述计量差分电压来计算所述交流电压的振幅的步骤。

16.一种交流电气量测定方法，其特征在于，包括以下步骤：

以测定对象即交流电流的频率的2倍以上的采样频率对该交流电流进行采样，对于采样得到的连续的至少4个电流瞬时值数据，在表示相邻2个电流瞬时值数据之间的差分的3个差分电流瞬时值数据中，利用中间时刻的差分电流瞬时值对中间时刻以外的差分电流瞬时值之和的平均值进行归一化，将归一化计算得到的值作为频率系数来进行计算的步骤，电流瞬时值是电流矢量的实部；以及

使用所述采样频率和所述频率系数来计算所述交流电流的频率的步骤。

17.如权利要求16所述的交流电气量测定方法，其特征在于，包括以下步骤：

对于包括计算所述频率系数时所用的3个差分电流瞬时值数据在内的连续的至少4个电流瞬时值数据，在表示相邻2个电流瞬时值数据之间的差分的3个差分电流瞬时值数据中，计算中间时刻的差分电流瞬时值的平方值、与中间时刻以外的差分电流瞬时值的积之差，将由此得到的差值求平均后的值作为计量差分电流来进行计算的步骤；以及

使用所述频率系数和所述计量差分电流来计算所述交流电流的振幅的步骤。

18.一种交流电气量测定装置，其特征在于，包括：

频率系数计算部，该频率系数计算部以测定对象即交流电压的频率的2倍以上的采样频率对该交流电压进行采样，对于采样得到的连续的至少4个电压瞬时值数据，在表示相邻2个电压瞬时值数据之间的差分的3个差分电压瞬时值数据中，利用中间时刻的差分电压瞬时值对中间时刻以外的差分电压瞬时值之和的平均值进行归一化，将归一化计算得到的值作为频率系数来进行计算，电压瞬时值是电压矢量的实部。