CN100587633C - 一种设计磁悬浮高速转子***进动交叉参数的方法 - Google Patents

Abstract

一种设计磁悬浮高速转子***进动交叉参数的方法，建立磁悬浮闭环转子***复系数动力学模型，绘制最高速下复系数开环传递函数的负频Nyquist曲线并计算进动交叉的低通截止频率，然后根据进动模态的相角裕度要求确定最高速下的校正目标，搜索设计频率和确定最高速下的进动交叉增益，进而确定整个转速范围内的进动交叉增益，确保转子进动在整个转速范围内的相角稳定裕度，实现了进动交叉反馈的鲁棒稳定设计。本发明基于负频率Nyquist曲线，提出磁悬浮高速转子***由相角裕度设计进动交叉参数的方法，相对通常的多变量***设计方法如状态空间分析方法等，不仅非常直观，而且具有良好的鲁棒性，因而更适合应用于离心机、高精度数控车床、透平机、储能飞轮，以及磁悬浮飞轮和磁悬浮控制力矩陀螺等实际的磁悬浮高速转子***中。

Description

一种设计磁悬浮高速转子***进动交叉参数的方法

技术领域

本发明涉及一种设计磁悬浮高速转子***进动交叉参数的方法，可以用于磁悬浮转子***进动交叉参数的设计。

背景技术

相对于传统的机械滚珠轴承，磁轴承具有无接触、刚度和阻尼主动可控等突出优点，因而没有摩擦和磨损，也无需润滑、允许转子高速旋转、振动小、支承精度高，特别适合于超净环境设备、高转速设备和要求低振动，高精度，长寿命的航天设备。目前，磁悬浮高速转子***已经在离心机、高精度数控车床、透平机、储能飞轮，以及磁悬浮飞轮和磁悬浮控制力矩陀螺等民用和航天设备中得到日益广泛的应用，并有取代机械轴承的趋势。

但是，高速转子尤其是大惯量比的扁平高速转子具有强烈的陀螺效应，使转子在静态悬浮时解耦的两自由度转动在有转速时发生耦合产生进动和章动，且随转速升高磁悬浮转子趋于不稳定。交叉反馈是一种抑制陀螺效应，提高磁悬浮高速转子进动和章动稳定性的有效方法，对于提升磁悬浮转子的最高稳定转速具有显著效果，其中的关键是要设计合适的交叉参数(主要包括滤波器截止频率和交叉增益)。由于多变量控制理论固有的机理不明晰的缺点，采用多变量理论进行交叉参数设计不能保证稳定裕度，不利于实际应用，使得交叉参数的设计成为一个难点，实际应用时主要通过实验方法确定交叉参数，缺乏理论依据。

目前，双频Bode图开始用于磁悬浮高速转子的稳定性分析，引申的双频Nyquist图已经用于章动交叉参数的设计，并取得良好的设计效果。但是，进动交叉参数设计与章动交叉设计的存在显著区别：(1)章动交叉参数的设计s＝jω的正频率域进行，而进动设计是在s＝-jω的负频率域进行；(2)章动频率随转速变化而大范围变化，而进动频率在整个转速范围内变化较小；(3)章动交叉参数设计时可以直接选择单位增益临界频率作为设计频率，但由于LPF在负频率域中为超前环节，直接选择单位增益临界频率作为设计频率通常没有设计解。因此，磁悬浮高速转子章动交叉参数的设计步骤不能直接应用于进动交叉参数设计。

发明内容

本发明的技术解决问题：针对进动的特殊性，提供一种基于负频Nyquist曲线的进动交叉参数设计方法，解决了磁悬浮高速转子进动交叉参数设计问题，确保磁悬浮高速转子***的进动稳定裕度。

本发明的技术解决方案是：建立磁悬浮闭环转子***复系数动力学模型，绘制最高速下复系数开环传递函数的负频Nyquist曲线并计算进动交叉的低通截止频率，然后根据进动模态的相角裕度要求确定最高速下的校正目标、搜索设计频率和确定最高速下的进动交叉增益，进而确定整个转速范围内的进动交叉增益，确保转子进动在整个转速范围内的相角稳定裕度。

本发明与现有技术相比的优点在于：(1)通过将原有的两变量***等效为一个复系数单变量***，从而可以沿用经典的单变量控制理论进行稳定性分析和设计，因而具有直观性和鲁棒性，更适用于实际***；(2)通过在ω＞ω_p1范围内搜索使

的相角恰为进动交叉校正角的设计频率ω_p11，解决了Nyquist图不能直接用于进动交叉参数设计的问题，确保了磁悬浮高速转子***的进动稳定裕度；(3)根据进动频率在整个转速范围内变化较小的特点，选择固定截止频率的进动交叉用LPF，简化了进动交叉控制器；

附图说明

图1为本发明的磁悬浮闭环转子***及坐标系定义；

图2为本发明的控制器框图；

图3为本发明进动交叉校正前后复系数开环传递函数的负频Nyquist曲线(最高速下)。

图4为本发明的流程图；

具体实施方式

以一种磁悬浮转子***为例说明本发明方法的具体实施方式，设计目标为F_rmax＝400Hz下进动模态相角裕度达到γ_p＝20°。

磁悬浮闭环转子***及坐标系定义如图1所示，该***由位移传感器、控制器、功放、电磁铁和转子构成，oxyz为转子坐标系，o点位于转子质心，x和y轴沿转子径向且只跟随转子的径向转动而不跟随自转，z轴沿转子轴向。a、β为转子径向绕x，y轴转动的角位移，Ω为转子的自转转速。图中只画出转子A、B两端y方向的电磁铁，x方向与之类似。磁悬浮转子***每个自由度都由位移传感器测量该自由度上的转子位移，如果转子不在给定的零位上，则误差信号通过控制器运算后，由功放输出相应的控制电流，驱动磁轴承电磁铁产生适当的磁力吸引转子回到给定位置上。根据陀螺技术方程建立磁悬浮转子***的径向转动运动动力学微分方程模型：

$\left\{\begin{array}{c}{J}_y\stackrel{\·\·}{\mathrm{\β}}-H\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}-{2k}_h{l}_m^2\mathrm{\β}=-{2l}_m{l}_s{k}_i{k}_s{g}_w(g_c\mathrm{\β}-g_{\mathrm{cr}}\mathrm{\α})+p_{\mathrm{dy}}\\ J_x\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}+H\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}-{2k}_h{l}_m^2\mathrm{\α}=-{2l}_m{l}_s{k}_i{k}_s{g}_w(g_c\mathrm{\α}+g_{\mathrm{cr}}\mathrm{\β})+p_{\mathrm{dx}}\end{array}\right.$

上式中α、β表示转子径向相对定子绕x，y轴转动的角位移，J_x＝J_y和J_z分别为转子径向和轴向的转动惯量，H＝J_zΩ为转子角动量，Ω＝2πF_r为转子转速，p_dx和p_dy为转子径向的扰动力矩，k_i和k_h为磁轴承的位移刚度和电流刚度，k_s为磁轴承位移传感器灵敏度，I_m和l_s分别为磁轴承和位移传感器到转子中心的距离，g_c、g_cr和g_w分别为PID控制器、交叉控制器和功放的输入-输出变换算子，即有 $L\left[g_c\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}\right)\right]=g_c\left(s\right),$ $L\left[g_{\mathrm{cr}}\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}\right)\right]=g_{\mathrm{cr}}\left(s\right),$ $L\left[g_w\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}\right)\right]=g_w\left(s\right),$ L表示拉氏变换，s为算子，g_c(s)、g_cr(s)和g_w(s)分别为PID控制器、进动交叉控制器和功放的传递函数。

本发明方法具体实现时采用的控制器的框图如图2所示，包括PID控制器和进动交叉控制器两部分，其中进动交叉控制器又由LPF环节和增益环节k_r11串连构成。转子位移信号输入控制器后，一方面经过PID控制器计算得到一部分控制量，另一方面，x自由度和y自由度的转子位移信号各自求差后输入到进动交叉控制器，计算后分别与y自由度和x自由度PID控制器输出求和或求差，作为总的控制器输出信号馈送到功放。

图3为本发明采用进动交叉校正前后复系数开环传递函数的负频Nyquist曲线(最高速下)。该图坐标系横轴和纵轴分别为实轴和虚轴，曲线上每个点的横坐标和纵坐标分别对应g_OL(-jω)值的实部和虚部，ω在(0，+∞)之间取值。图中带点实线代表校正前曲线，带点虚线代表校正后的曲线，频率范围2～700Hz，每Hz一个点，箭头表示频率升高方向。0点为复平面原点，虚线圆表示单位圆。穿越点p₁和p₂分别为校正前后Nyquist曲线与单位圆的交点，p₁₁为进动交叉校正设计频率点。校正前p₁点的频率、相位和相角裕度分别为f_p1＝12Hz、φ_p1＝176°、γ_p1＝-4°，进动交叉校正设计频率即p₁₁点频率为f_p11＝20Hz，校正后的p₂点频率、相位和相角裕度分别为f_p2＝20Hz、φ_p1＝160°、γ_p1＝20°。

本发明进动交叉参数设计的流程图如图4所示，具体步骤如下：

(1)建立磁悬浮闭环转子***复系数动力学模型：由图1和图2根据陀螺技术方程建立磁悬浮转子***的径向转动运动的动力学微分方程：

$\left\{\begin{array}{c}{J}_y\stackrel{\·\·}{\mathrm{\β}}-H\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}-{2k}_h{l}_m^2\mathrm{\β}=-{2l}_m{l}_s{k}_i{k}_s{g}_w(g_c\mathrm{\β}-g_{\mathrm{cr}}\mathrm{\α})+p_{\mathrm{dy}}\\ J_x\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}+H\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}-{2k}_h{l}_m^2\mathrm{\α}=-{2l}_m{l}_s{k}_i{k}_s{g}_w(g_c\mathrm{\α}+g_{\mathrm{cr}}\mathrm{\β})+p_{\mathrm{dx}}\end{array}\right.$

用J_rr统一表示J_x＝J_y，且令φ＝α+jβ，p_d＝p_dx+jp_dy，其中j为虚数单位，将微分方程组的第一式乘以j再加到第二式，再做拉氏变换得到：

$J_{\mathrm{rr}}{s}^2-\mathrm{jHs}-{2k}_h{l}_m^2=-{2l}_m{l}_s{k}_i{k}_s{g}_w\left(s\right)[g_c\left(s\right)+g_{\mathrm{cr}}\left(s\right)]+p_d$

令 $g_{\mathrm{oeff}}\left(s\right)=\frac{1}{J_{\mathrm{rr}}{s}^2-\mathrm{jHs}-{2k}_h{l}_m^2},$ g_ceff(s)＝2l_ml_sk_ik_sg_w(s)[g_c(s)+g_cr(s)]，则***的复系数动力学模型(这里采用开环传递函数)为：

g_OL(s)＝g_oeff(s)g_ceff(s)

(2)绘制最高速时复系数开环传递函数的负频Nyquist曲线：详见图3的带点虚线。

(3)低通截止频率选取：静态悬浮时的主极点频率为2π×80rad/s，选择进动交叉LPF截止频率等于静态悬浮时主极点频率，即ω_r1＝2π×80rad/s。

(4)确定最高速下的校正目标：按照设计指标要求γ_p＝20°，则校正目标的相角为180°-γ_p＝160°，即图3中的p₂点。

(5)在最高速下搜索设计频率ω_p11(＝2πf_p11)：可由下式解出ω_p11

其中g_crLPF为交叉低通LPF算子，p₂点为p₁₁点期望的校正目标，也就是校正后Nyquist曲线与单位圆的交点。在校正前的负频Nyquist曲线(图3)中查出f_p1＝12Hz，在ω＞ω_p1＝2π×12rad/s范围内搜索p₁₁点，得到f_p11＝20Hz，即ω_p11＝2π×20rad/s，对应校正量

(6)确定最高速下的进动交叉增益：根据

$k_{\mathrm{rl}1d}=\left|\stackrel{\→}{p_{11}{p}_2}\right|/\left[{2l}_m{l}_s{k}_i{k}_s\right|g_w\left({-\mathrm{j\ω}}_{p11}\right)g_{\mathrm{crLPF}}\left({-\mathrm{j\ω}}_{p11}\right)g_{\mathrm{oeff}}\left({-\mathrm{j\ω}}_{p11}\right)\left|\right]$

确定最高速下的进动交叉增益为k_rl1d＝0.3048。

(7)确定整个转速范围内的交叉增益：在0＜F_r＜F_rmax范围内，进动交叉增益与转速成正比，即k_rh1＝k_rh1dF_r/F_rmax＝0.3048×F_r/400，其中F_r和F_rmax分别为转子转速和转子最高转速。

本发明中，磁轴承控制器可以是模拟或数字的；磁轴承功放可以是模拟功放或数字功放，可以是线性功放或开关功放，开关功放又可以是滞环(Hysteresis)型、采样保持(Sample/Hold)型、脉宽调制(PWM)型、最小脉宽(MPW)型和三电平型，功放输出功率管的配置形式可以是半桥或全桥；磁轴承电磁铁可以是采用电磁偏置或永磁偏置方式；位移传感器可以是电涡流型传感器或电感型传感器。

Claims (8)

1、一种设计磁悬浮高速转子***进动交叉参数的方法，其特征在于：建立磁悬浮闭环转子***复系数动力学模型，绘制最高速下复系数开环传递函数的负频Nyquist曲线并计算进动交叉的低通截止频率，然后根据进动模态的相角裕度要求确定最高速下的校正目标、搜索设计频率和确定最高速下的进动交叉增益，进而确定整个转速范围内的进动交叉增益，确保转子进动在整个转速范围内的相角稳定裕度。

2、根据权利要求1所述的设计磁悬浮高速转子***进动交叉参数的方法，其特征在于：所述的建立磁悬浮闭环转子***复系数动力学模型的步骤包括：

(1)根据陀螺技术方程建立磁悬浮转子***的径向转动运动动力学微分方程模型：

上式中α、β表示转子径向相对定子绕x，y轴转动的角位移，J_x＝J_y和J_z分别为转子径向和轴向的转动惯量，H＝J_zΩ为转子角动量，Ω为转子的自转转速，Ω＝2πF_r，F_r为转子转速，p_dx和p_dy为转子径向的扰动力矩，k_i和k_h为磁轴承的位移刚度和电流刚度，k_s为磁轴承位移传感器灵敏度，l_m和l_s分别为磁轴承和位移传感器到转子中心的距离，g_c、g_cr和g_w分别为PID控制器、进动交叉控制器和功放的输入-输出变换算子，即有 $L\left[g_c\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}\right)\right]=g_c\left(s\right),$ $L\left[g_{\mathrm{cr}}\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}\right)\right]=g_{\mathrm{cr}}\left(s\right),$ $L\left[g_w\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}\right)\right]=g_w\left(s\right),$ L表示拉氏变换，s为算子，g_c(s)、g_cr(s)和g_w(s)分别为PID控制器、进动交叉控制器和功放的传递函数；

(2)采用复数变换将步骤(1)中的实系数两变量方程转化为复系数单变量形式，得到复系数单变量等效***，用J_rr统一表示J_x＝J_y，且令φ＝α+jβ，p_d＝p_dx+jp_dy，其中j为虚数单位，将微分方程模型的第一式乘以j再加到第二式，再做拉氏变换得到：

$J_{\mathrm{rr}}{s}^2-\mathrm{jHs}-2k_h{l}_m^2=-2l_m{l}_s{k}_i{k}_s{g}_w\left(s\right)[g_c\left(s\right)+g_{\mathrm{cr}}\left(s\right)]+p_d$

令 $g_{\mathrm{oeff}}\left(s\right)=\frac{1}{J_{\mathrm{rr}}{s}^2-\mathrm{jHs}-2k_h{l}_m^2},$ g_ceff(s)＝2l_ml_sk_ik_sg_w(s)[g_c(s)+g_cr(s)]，则***的复系数开环传递函数g_OL(s)为：

g_OL(s)＝g_oeff(s)g_ceff(s)。

3、根据权利要求2所述的设计磁悬浮高速转子***进动交叉参数的方法，其特征在于：所述的最高速时复系数开环传递函数的负频Nyquist曲线，其坐标系横轴和纵轴分别为实轴和虚轴，曲线上每个点的横坐标和纵坐标分别对应g_OL(-jω)值的实部和虚部，ω在(0，+∞)之间取值。

4、根据权利要求1所述的设计磁悬浮高速转子***进动交叉参数的方法，其特征在于：所述的低通截止频率选择为静态悬浮时主极点频率的0.9～1倍。

5、根据权利要求2所述的设计磁悬浮高速转子***进动交叉参数的方法，其特征在于：所述的最高速下的校正目标为复平面单位圆上的p₂点，使

的相角为180°-γ_p，其中o点为复平面原点，γ_p为校正后最高转速下进动模态的稳定裕度要求。

6、根据权利要求5所述的设计磁悬浮高速转子***进动交叉参数的方法，其特征在于：所述最高速下搜索设计频率为ω_p11，是由下式解出ω_p11

其中g_crLPF为交叉低通LPF算子，p₁₁点为负频Nyquist曲线上对应校正前g_OL(-jω_p11)复数值的点。

7、根据权利要求6所述的设计磁悬浮高速转子***进动交叉参数的方法，其特征在于：所述最高速下的进动交叉增益的公式为

$k_{\mathrm{rl}1d}=\left|\stackrel{\→}{p_{11}{p}_2}\right|/\left[2l_m{l}_s{k}_i{k}_s\right|g_w(-j{\mathrm{\ω}}_{p11})g_{\mathrm{crLPF}}(-j{\mathrm{\ω}}_{p11})g_{\mathrm{oeff}}(-j{\mathrm{\ω}}_{p11})\left|\right],$ k_rl1d为最高速下的进动交叉增益；

为p₁₁点到p₂的距离；k_i为磁轴承的位移刚度，k_s为磁轴承位移传感器灵敏度，l_m和l_s分别为磁轴承和位移传感器到转子中心的距离。

8、根据权利要求7所述的设计磁悬浮高速转子***进动交叉参数的方法，其特征在于：所述整个转速范围内的交叉增益k_rh1在0＜F_r＜F_rmax范围内按下述公式确定：

k_rh1＝k_rh1dF_r/F_rmax

其中F_r和F_rmax分别为转子转速和转子最高转速，k_pl1d为最高速下的进动交叉增益。

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