KR100861084B1

KR100861084B1 - 물리탐사 자료의 4차원 역산 방법 및 이를 이용한지하구조의 4차원 영상화 방법.

Info

Publication number: KR100861084B1
Application number: KR1020060124890A
Authority: KR
Inventors: 김정호; 이명종
Original assignee: 한국지질자원연구원
Priority date: 2006-12-08
Filing date: 2006-12-08
Publication date: 2008-09-30
Also published as: JP4465404B2; US20090198476A1; KR20080053005A; JP2009512880A; WO2008069364A1; US7881911B2

Abstract

본 발명은 시간에 따라 연속적으로 변화하는 지하구조를 영상화하기 위한 물리탐사 자료의 4차원 역산 방법에 관한 것으로, 물리탐사 자료로부터 지하물성분포를 계산하는 역산 방법에 있어서, (a) 시간에 따라 연속적으로 변화하는 지하구조를 시공간 모델로 정의하고 측정자료를 공간과 시간 좌표로 정의하며, 하기 수학식 1로 나타낼 수 있는 시공간 모델 벡터(Ρ)를 모사하기 위하여 자료획득 시작 시각과 종료 시각 사이에서의 복수의 기준 시각에 대한 복수의 기준 공간 모델 벡터로 구성되는 하기 수학식 2로 나타낼 수 있는 기준 시공간 모델 벡터(U)를 정의하는 단계; (b) 복수의 기준공간모델에 대한 수치 모델링의 테일러 급수(Taylor series) 전개를 이용하여 임의의 시각의 지하구조 공간 모델에 대한 수치 모델링을 근사하고, 공간영역 및 시간영역에서 각각 역산에 제한을 가하는 역산 목적함수를 정의하여, 상기 역산 목적함수를 이용해 시공간 좌표로 정의된 측정자료로부터 기준 시공간모델 벡터(U)를 구하는 단계; 및 (c) 상기 기준 시공간모델 벡터(U)로부터 시공간 모델 벡터(Ρ)를 구하여 시간에 따라 변화하는 지하물성분포를 산출하는 단계;를 포함하는 것을 특징으로 한다.

[수학식 1]

(상기 수학식에서,

는 시간 i에 대한 공간 모델 벡터임.)

[수학식 2]

(상기 수학식에서,

는 m(m<<n)개의 기준 시각

에 대한 기준 공간 모델 벡터임.)

이러한 본 발명에 의하여, 다수의 모니터링 자료를 동시에 역산하여 신뢰성이 높은 4차원 지하구조의 계산이 가능하며, 지하구조가 빠르게 변화하여 측정 과정 동안 지하구조가 변화하는 경우에도 다수의 반복측정이 아닌 단 1회의 측정자료를 이용하여 신뢰할 만한 영상을 제공할 수 있는 새로운 4차원 역산 방법 및 이를 이용한 영상화 방법을 제공할 수 있다.

4차원, 역산, 모니터링, 물리탐사, 영상화

Description

물리탐사 자료의 4차원 역산 방법 및 이를 이용한 지하구조의 4차원 영상화 방법.{4-D Inversion of geophysical data and 4-D imaging method of geologic structure using it}

도 1은 시간에 따라 변화하는 지하구조를 영상화하기 위한 종래의 역산 개념도이다.

도 2 는 본 발명의 일실시예에 따른 4차원 역산 방법 및 이를 이용한 영상화 방법에 관한 흐름도이다.

도 3은 본 발명의 일실시예에 따른 4차원 역산의 개념도이다.

도 4는 본 발명의 일실시예에 따른 4차원 역산 실험을 위해 설정한 지하공간의 변화 양상을 각 시각에서의 스냅 영상으로 나타낸 것이다.

도 5 및 도 6은 본 발명의 일실시예에 따른 4차원 역산을 이용한 실험 결과에 따라 지하공간의 변화 양상을 각 시각에서의 스냅 영상으로 나타낸 것이다.

본 발명은 물리탐사 자료의 4차원 역산 방법 및 이를 이용한 지하구조의 4차원 영상화 방법에 관한 것이며, 상세하게는 시간에 따라 변화하는 지하구조에 관한 정보를 획득하기 위해 취득한 각기 다른 시간대의 모니터링 자료에 대해 단 1회의 역산으로 시공간상(4차원)의 지하물성분포를 구하고 이를 영상화하는 새로운 4차원 역산 방법 및 이를 이용한 영상화 방법에 관한 것이다.

지구물리탐사는 일점에 대한 정보가 아닌 조사지역의 2차원 또는 3차원의 공간적인 영상을 얻을 수 있는 장점을 갖고 있으며, 이 때문에 동일한 지역에서 측정시간을 달리하여 다수의 탐사를 수행하는 물리탐사 모니터링은 시간의 흐름에 따른 지하 구조의 변화를 이해하기 위하여 응용 빈도가 급격히 증가하고 있다. 적용 가능한 분야는 주요 구조물 지반 변형 감시, 오염의 확산 감시 지질재해의 감시, 지반 개량의 판정, 지하수의 유통경로, 수리 전도도, 투수율, 공극율 등의 수리지질학적 물성 도출 등, 대단히 광범위한 영역에 걸친다.

통상적인 모니터링 자료의 해석 방법은 서로 다른 시간대에 획득한 탐사자료를 독립적으로 역산하여 각 시간대의 영상을 얻은 후, 그들을 비교함으로써 시간에 대한 지반의 변화를 해석하고 관찰하는 접근 방법을 취하고 있다. 그러나, 이러한 접근은 대부분의 경우 지반 물성의 변화 정도가 그다지 크지 않기 때문에 역산 잡음(inversion artifacts)에 의해 잘못된 해석을 유발할 가능성이 상당히 높다.

기존의 방법은 각 모니터링 자료를 따로 따로 역산하여 지하 영상을 구현하 기 때문에 다른 시간대의 변화한 지하구조를 참조함이 불가능하여, 지하 영상의 왜곡이 증폭될 가능성이 매우 높으며 특히 지하 변화의 영상에서 나타나는 왜곡이 더욱 심해진다. 또한 각 모니터링 자료와 지하공간을 공간적인 개념으로만 파악하기 때문에 모니터링 자료 측정 동안에 발생할 수 있는 지하구조의 변화에 대한 고려는 불가능하다.

이러한 문제점을 피하기 위해 초기자료의 역산 결과를 선험적 지하 모델(a priori model) 또는 기준 모델로 채택하여 모니터링 자료를 역산하는 방법이 발표된 바가 있다.(Locke, 1999; Labrecque and Yang, 2002) 그러나, 모니터링 자료를 독립적으로 역산한다는 점에서는 기존의 방법과 다를 바가 없을 뿐만 아니라 모니터링 시간 동안의 영상 전체는 초기 모델에 대단히 높게 의존할 것이 자명하다.

한편, 지하구조를 영상화하기 위한 역산에 있어서 통상적으로 사용되는 가장 기본적인 가정은 자료를 측정하는 동안에는 지하구조가 변화하지 않는다는 것이다. 그러나 투수성이 매우 높은 토양층에서 염수 주입 실험 등을 실시하는 경우에는 전기전도도가 매우 높은 유체가 빠른 속도로 이동하기 때문에 이와 같이 시간에 대해 정적인 지하 모형에 대한 가정은 성립되기 어렵다. 이러한 경우 자료취득 동안에 지하구조가 변화한다는 점을 역산에 포함하지 않는다면, 역산 결과 얻어지는 지하 영상이 심하게 왜곡됨은 자명하다. 그럼에도 불구하고 지금까지의 거의 대부분의 연구 또는 개발된 기술은 자료취득 동안에 지하구조가 변화하지 않는다는 가정에 입각한 것이었다.

한편 Day-Lewis 등(2002)은 자료획득 동안에 시간에 대해 변화하는 지하구조 에서 획득한 시추공 레이다 토모그래피 모니터링 탐사자료의 효율적인 역산법을 개발한 바가 있다. 그러나 그들의 접근 방법은 파동의 도달 주시를 이용하는 주시 토모그래피의 경우에만 응용이 가능하며 일반적인 물리탐사 자료의 역산으로의 확장은 사실상 불가능하다.

이상에서와 같은 종래기술의 문제점을 해결하기 위하여, 본 발명은 1) 다수의 모니터링 자료를 동시에 역산하여 과거의 기술보다 훨씬 신뢰도가 높은 지하 영상의 획득이 가능하며, 2) 지하구조가 매우 빠르게 변화하는 경우에도 다수의 반복측정 자료뿐만 아니라 단 1회의 측정자료를 이용하여도 시간에 따라 연속적으로 변화하는 지하 영상을 계산할 수 있는 새로운 4차원 역산 방법을 제공하는 데 그 목적이 있다.

상기의 목적을 달성하기 위하여, 본 발명의 4차원 역산 방법은, 물리탐사 자료로부터 지하물성분포를 계산하는 역산 방법에 있어서, (a) 시간에 따라 연속적으로 변화하는 지하구조를 시공간 모델로 정의하고 측정자료를 공간과 시간 좌표로 정의하며, 하기 수학식 1로 나타낼 수 있는 시공간 모델 벡터(Ρ)를 모사하기 위하여 자료획득 시작 시각과 종료 시각 사이에서의 복수의 기준 시각에 대한 복수의 기준 공간 모델 벡터로 구성되는 하기 수학식 2로 나타낼 수 있는 기준 시공간 모델 벡터(U)를 정의하는 단계; (b) 복수의 기준공간모델에 대한 수치 모델링의 테일러 급수(Taylor series) 전개를 이용하여 임의의 시각의 지하구조 공간 모델에 대한 수치 모델링을 근사하고, 공간영역 및 시간영역에서 각각 역산에 제한을 가하는 역산 목적함수를 정의하여, 상기 역산 목적함수를 이용해 시공간 좌표로 정의된 측정자료로부터 기준 시공간모델 벡터(U)를 구하는 단계; 및 (c) 상기 기준 시공간모델 벡터(U)로부터 시공간 모델 벡터(Ρ)를 구하여 시간에 따라 변화하는 지하물성분포를 산출하는 단계;를 포함하는 것을 특징으로 한다.
[수학식 1]

여기서,

는 시간 i에 대한 공간 모델 벡터이다.
[수학식 2]

여기서,

는 m(m<<n)개의 기준 시각

에 대한 기준 공간 모델 벡터이다.

이러한 본 발명의 4차원 역산 방법에 의해, 지하구조가 빠르게 변화하여 측정기간 동안에 발생하는 지하구조의 변화를 무시할 수 없는 경우에도 신뢰할 수 있는 지하구조 영상을 구성할 수 있게 된다.

본 발명의 4차원 역산 방법은, 상기 (a) 단계에서, 동일한 공간좌표의 물성이 복수의 각 기준시각 사이에서 선형적으로 변화한다고 가정하고, 임의의 시간 t에서의 공간 모델 벡터

는, 하기의 수학식으로 정의되는 것을 특징으로 한다.
[수학식]

여기서,

이며,

는 선정된 수 개의 기준 시각에서의 임의의 하나를 나타내고,

는 각각 미리 선정된 기준 시각이며,

_k는

에서의 지하 물성 분포로 정의되는 기준 공간모델 벡터이다.

삭제

또한, 상기 (b) 단계에서, 임의의 시각(

)에서의 지하구조의 공간 모델에 대한 수치 모델링 결과인 수치 탐사자료 벡터

는, 두 기준 시각(

,

)에서의 기준 공간모델(

,

)에 대해 수치적으로 계산한 탐사자료 벡터(

,

)를 이용한 하기의 수학식과 같은 테일러 1차 급수 전개를 이용하여 근사하는 방법을 사용하는 것을 특징으로 한다.
[수학식]

여기서,

는 임의의 시각(

)에서의 지하구조의 공간 모델

에 대한 수치 탐사자료 벡터이며,

는 기준시각

에서의 기준 공간 모델

에 대한 모델 반응이고,

는

의 편미분이다.

삭제

상기 (a), (b) 단계에 의해, 시간에 따라 연속적으로 변화하는 시공간 영역 지하 모델을 복수의 기준 공간 모델로 근사하고, 많은 계산량을 필요로 하는 수많은 공간 모델에 대한 수치 모델링의 문제 또한 기준 공간 모델에 의거한 모델링을 통해 근사하는 방법으로 해결하였다.

역산은 반복적 역산과정을 통하여 최소화하고자 하는 목적함수를 이용하여 정의되며 본 발명의 4차원 역산법 또한 상기 (b) 단계의 목적함수를 이용하여 정의된다. 본 발명의 4차원 역산의 목적함수는 측정자료와 시공간 모델에 대해 시뮬레이션한 자료 사이의 오차 항, 공간영역에 대한 제한 항, 시간영역에 대한 제한 항의 세개의 항으로 구성된다. 공간 영역에 대한 제한으로는 지하구조가 공간적으로 부드럽게 변화한다는 평활화 제한을 사용한다. 본 발명의 4차원 역산법의 주요 특징 중의 하나가 역산에 시간 영역 제한을 도입한 것이며, 새로이 도입한 시간영역을 위해 시간적으로 인접하는 두 기준 공간 모델 사이에는 큰 변화가 일어나지 않는다는 제한을 도입함이 바람직하다. 이와 같은 4차원 역산의 목적함수(

)는 하기의 함수로 정의된다.
[수학식]

여기서,

,

,

는 측정자료 벡터,

는 지하 시공간 모델에서 수치적으로 계산한 탐사자료 벡터(이론자료 벡터),

은 예측오차 벡터,

는 기준 공간 모델 벡터,

는 기준 시공간 모델 증분 벡터,

는 공간영역에서의 역산 제한 함수,

는 시간영역에서의 역산 제한 함수,

및

는 제한의 정도를 조절하는 라그랑지 곱수(Lagrangian multiplier),

는 주어진 지하구조에 대한 수치 모델링 즉 수치 시뮬레이션 결과,

은 대각열과 한 개의 부대각열(sub-diagonal elements)이 각각 1과 -1로 구성된 정방행렬, 윗첨자 T는 전치행렬이다.

삭제

또한, 상기의 목적을 달성하기 위한 본 발명의 4차원 영상화 방법은, 전술한 4차원 역산 방법으로 얻어진 지하물성분포를 기초로, 시간에 따라 변화하는 지하구조를 영상화하는 단계를 더 포함하여 이루어진다.

이하에서 첨부된 도면을 참고하여, 본 발명의 일실시예에 의한 물리탐사 자료의 4차원 역산 방법 및 이를 이용한 지하구조의 4차원 영상화 방법을 상세히 설명한다.

본 발명은 여기서 설명되는 실시예에 한정되지 않고 다른 형태로 구체화될 수도 있다. 오히려, 여기서 소개되는 실시예는 개시된 내용이 철저하고 완전해질 수 있도록 그리고 당업자에게 본 발명의 사상이 충분히 전달될 수 있도록 하기 위해 제공되는 것이다.

도 2는 본 발명의 일실시예에 따른 4차원 역산 방법 및 이를 이용한 영상화 방법에 관한 흐름도이다.

본 발명은 물리탐사 자료로부터 지하물성분포를 계산하는 역산 방법 및 이를 이용한 영상화 방법에 있어서,

(a) 시간에 따라 연속적으로 변화하는 지하구조를 시공간 모델로 정의하고 측정자료를 공간과 시간 좌표로 정의하며, 상기 시공간 모델에 대한 시공간 모델 벡터(Ρ)를 모사하기 위하여 자료획득 시작 시각과 종료 시각 사이에서의 복수의 기준 시각에 대한 기준 공간 모델 벡터(u)로 구성되는 기준 시공간 모델 벡터(U)를 정의하는 단계(S1);

(b) 복수의 기준 공간 모델에 대한 수치 모델링의 테일러 급수(Taylor series) 전개를 이용하여 임의의 시각의 지하구조 공간 모델에 대한 수치 모델링을 근사하고, 공간영역 및 시간영역에서 모두 제한을 가하는 역산 목적함수를 정의하여, 상기 역산 목적함수를 이용해 시공간 좌표로 정의된 측정 자료로부터 기준 시공간 모델 벡터(U)를 구하는 단계(S2); 및

(c) 상기 기준 시공간 모델 벡터(U)로부터 시공간 모델 벡터(Ρ)를 구하여 시공간 영역 지하물성분포를 산출하는 단계(S3); 및

(d) 지하물성분포를 기초로, 시간에 따라 변화하는 지하구조를 영상화하는 단계(S4)를 포함한다.
전술한 종래기술과 본 발명의 과제에서 설명한 바와 같이, 종래 지하구조를 영상화하기 위한 역산에서는 자료를 측정하는 동안에 지하구조가 변화하지 않는다는 통상적인 가정을 사용하여 왔다. 그러나 지하구조가 빠르게 변화하는 경우(예를 들어 오염물질이 토양 속에서 빠르게 이동할 경우) 종래 정적인 지하 모형에 대한 가정을 적용하게 되면 역산 결과 얻어지는 지하 영상이 심하게 왜곡되게 된다.
이러한 문제를 해결하기 위하여 본 발명은 지하구조를 시간에 따라 연속적으로 변화하는 모형으로 가정하여 지하구조가 빠르게 변화하는 경우에도 다수의 반복측정 자료 뿐만 아니라 단 1회의 측정자료를 이용하여도 신뢰할 만한 영상을 제공할 수 있는 새로운 4차원 역산 방법을 제공하는 것을 특징으로 한다.

삭제

이를 위하여, 본 발명은 지하구조를 시간에 따라 연속적으로 변화하는 모형으로 가정하였으며 따라서 지하공간은 공간 모델이 아닌 시공간 모델로 정의된다. 측정 자료 또한 공간좌표가 아닌 시공간 좌표로 정의된다.

만약 일정한 시간간격으로 지하 시공간 모델을 다수의 공간모델로 샘플링한다면 지하구조는 수많은 공간 모델로 구성될 것이므로 그 전체를 모두 역산함은 사실상 불가능하다. 이러한 문제에 대한 현실적인 접근으로 자료획득 시작 시각과 종료 시각 사이에서 선정된 수개의 기준 시각에 대한 지하 공간 모델 (이하 기준 공간 모델)을 설정하고, 동일한 공간좌표의 물성은 복수의 각 기준시각 사이에서 선형적으로 변화한다는 가정을 채택하였다.
지하구조의 변화는 빨리 변화할 수는 있어도 불규칙적으로 발생되지 않는다. 이는 통상적인 물리탐사를 수행하는 또는 이해하는 사람에게는 자명한 사실이다. 예를 들어 실시 예와 같이 전기비저항 탐사, 또는 모니터링을 수행한다고 가정하자. 전기비저항 탐사는 대상 물성이 지하의 전기비저항이므로 지하 구조 모델은 전기비저항의 분포가 된다. 지하의 (x, y, z) 3차원으로 표시되는 한 공간 좌표 상에서의 전기비저항은 불규칙적으로 변화하지 않는다. 예컨데 한 지점의 전기비저항이 10 ohm-m이었다가 10 분 후에는 10,000 ohm-m로, 다시 50 ohm-m, 다시 2,000 ohm-m로 변화하지 않는다.
지하구조가 선형적으로 변화한다는 뜻은 지하 물성 전체가 동일하게 감소하거나 증가한다는 말이 아니다. 한 지점(동일한 공간좌표)에서의 물성이 선형적으로 변화한다는 뜻이며 따라서 한 점의 물성이 증가한다고 하더라도 바로 인접한 지점의 물성은 감소할 수 있다는 점을 의미한다. 따라서 물성이 선형적으로 변화한다고 가정하더라도 대단히 복잡한 변화 양상을 재현할 수 있다. 또한, 본 발명에서 지하 물성의 시간에 따른 변화가 선형적으로 변화한다는 가정은 측정 전 시간에 걸쳐 선형적으로 변화한다는 의미가 아니며, 복수의 기준시각과 기준시각 사이에서 선형적으로 변화한다는 의미이다.
또한, 기준시각 수 및 기준시각 개개의 설정은 탐사 목적, 대상, 모니터링 탐사의 회수, 시간에 따른 지하 물성 변화의 예상되는 특성 등에 의하여 결정하여야 한다. 예를 들어 자료획득에 소요되는 시간이 1 시간 정도인 탐사를 2 시간 간격으로 10회 반복 측정하는 모니터링 탐사를 수행하였다고 가정하자. 또한 탐사 목적이 지하수의 유동을 연구함에 있다고 가정하자. 이 경우에는 1 시간 측정기, 2 시간 휴지기가 반복되므로 당연히 기준시각은 반복되는 탐사의 측정 시작시각, 종료시각으로 설정되어야 할 것이며, 10회의 반복 탐사가 이루어졌으므로 기준시각의 수는 20 개가 된다. 또 다른 예를 들면 조수 변화에 따른 지하 염분도 변화를 조사하기 위해 물리탐사 모니터링을 수행하는 경우를 생각하여 보자. 조수간만의 차이가 심한 연안역의 지하 염분도는 해수면의 상승과 하강에 따라 달라진다. 즉 밀물 때에는 염분도가 증가하고 이에 의해 전기비저항이 감소하며, 썰물 때에는 염분도가 감소하여 전기비저항이 증가한다. 물론 이와 같은 변화는 연속적으로 부드럽게 발생한다. 이 때의 기준시각의 설정은 밀물, 썰물 시각과 연동하여 결정되어야 하며 또한 탐사자료 획득 시점, 소요 시간 등 또한 고려하여야 한다.
이상에서 예를 들어 설명한 기준 시각의 수, 기준시각의 설정은 물리탐사를 이해하고 있는 사람이 이 발명을 접했다면 자명하게 받아드리는 내용이며, 따라서 특별하게 적시하지 않더라도 모두 위의 예처럼 또는 오히려 위보다 나은 방법으로 기준시각 등을 설정할 것이다.

또한, 수많은 공간모델에 대한 수치 모델링 또한 대단히 많은 계산량을 필요로 하므로, 임의의 시각의 지하구조에 대한 수치 모델링을 기준 공간 모델에 의거한 수치 모델링의 Taylor 1차 급수(first order Taylor series) 전개를 이용하여 근사하는 방법을 채택하였다.

이와 같은 가정과 근사를 통해 시간에 따라 연속적으로 변화하는 지하의 시공간 모델을 구하는 문제는 수 개의 기준 공간 모델을 구하는 문제로 귀착된다.

이하에서는, 본 발명의 4차원 역산 방법에 관한 지하구조의 변수화 및 수치 모델링에 대해 상세히 설명한다.

시간에 따라 연속적으로 변화하는 지하구조를 일정한 시간간격으로 샘플링하면 지하구조는 다음과 같이 시공간 벡터(P)로 정의될 것이다.

여기서

는 시간 i에 대한 공간 모델 벡터이다. 시공간 벡터 P를 구성하는 공간 모델 벡터

의 수가 대단히 많으므로 이를 줄이기 위하여 다음과 같이 m(m<<n)개의 미리 선정된 시각

에 대한 기준 공간 모델 벡터

로 구성되는 새로운 기준 시공간 모델을 정의한다.(여기서,

는 선정된 수 개의 기준 시각에서의 임의의 하나를 나타낸다. 이하 동일함.) 기준 시각의 수, 따라서 기준 공간 모델의 수는 자료 획득 시작과 종료 시각 사이에 발생할 것으로 예상되는 지하구조의 변화 정도에 따라 설정한다. 따라서 기준 시각의 수를 m이라고 하면 상기 식에서 k = 1, 2,...,m이 된다.

동일한 공간좌표에 대한 지하 물성이 시간에 대해 선형적으로 변화한다고 가정하면 두 개의 시각

와

사이에 발생하는 물성변화 속도 벡터를 수학식 1과 같이 정의할 수 있다.

수학식 1을 이용하여 임의의 시간 t 에서의 지하 물성 분포인 공간 모델 벡터

를 수학식 2와 같이 정의할 수 있다.

기준 공간모델 벡터

는 기준 시각

에서의 지하 물성 분포이므로

일 때의 지하구조의 공간 모델 벡터

와 동일하다.

이와 같은 가정을 통하여 공간영역 지하공간 모델의 수를 줄였다고 하더라도 시간의 흐름에 따른 지하구조의 반응을 계산하기 위한 수치 모델링은 원래의 다수의 지하공간 모델에 기초하여 계산하여야 한다. 그러나 이는 대단히 긴 계산시간을 필요로 한다.

이 문제를 해결하기 위해 임의의 시각(

)에서의 지하구조의 공간 모델

에 대한 수치 탐사자료 벡터

를 두 기준 시각

,

에서의 기준 공간 모델

,

에 대해 수치적으로 계산한(또는 수치 모델링 결과인) 탐사자료 벡터

,

의 테일러 1차 급수 전개로 근사하여 이를 역산에 이용한다. 이러한 수치 모델링 결과는 수학식 3으로 나타낼 수 있다.

여기서,

는 임의의 시각(

)에서의 지하구조의 공간 모델

에 대한 수치 탐사자료 벡터이며,

는 기준시각

에서의 기준 공간 모델

에 대한 모델 반응

의 편미분이다.
여기서, 수치 모델링, 모델 반응 등의 용어는 기초적인 물리탐사 지식이 있는 통상의 기술자라면 누구나 알 수 있는 용어일 것이다. 참고로 설명하면, 물리탐사자료의 해석은 일반적으로 측정된 자료(즉 지하구조의 반응)과 유사한 자료(즉 반응)를 보여주는 지하구조를 찾는 것이라고 볼 수 있다. 물리탐사 자료의 역산은 이와 같은 과정을 수학적 토대 하에서 수행하는 것이다. 따라서 임의의 지하구조에 대한 반응을 계산(이를 수치 모델링이라고 일반적으로 통칭한다)할 수 있으며 역산의 중요한 기본 중의 하나이다. 임의의 지하구조는 탐사 대상이 되는 물성(예를 들어 전기비저항 탐사의 경우는 지하 전기비저항, 중력탐사의 경우는 밀도)의 분포로 정의되는데 이 또한 통상적으로 대상 물성으로 구성되는 지하 구조 모델 벡터로 표기한다(여기서는 벡터 p로 표기). 본 발명의 내용 중 기준 공간 모델 벡터라 함은 선정된 기준 시각에서의 지하 물성 분포를 수학적으로 표기한 것이다. 임의의 지하구조에 대한 반응의 계산은 극히 간단한 구조를 제외하고는 해석적인 해가 존재하지 않으므로 거의 대부분 유한차분법, 유한요소법, 적분방정식법을 이용한다.
여기서

는 지하구조에 대한 반응을 의미하며 물론 계산 방법은 어떠한 종류를 취해도 상관없다. 가상의 지하구조(모델 벡터)에 대해 현장에서 수행한 동일한 방법으로 탐사하였을 경우에 측정되는 자료를 그 지하구조에 대한 반응 또는 지하 모델에 대한 반응이라고 일반적으로 부른다. 수치 모델링은 일종의 시뮬레이션, 수치 모델링 결과 계산된 지하구조 반응은 시뮬레이션 결과라고 볼 수 있으나 물리탐사의 경우에는 시뮬레이션이라는 용어는 거의 사용하지 않는다. 이러한 측면에서 현장 탐사자료는 실제의 지하구조에 대한 반응으로 볼 수 있는 것이다. 물리탐사에서 수치 모델링은 지하 물성분포로 정의하는 지하구조(여기서는 벡터 p로 표기)로부터 가상의 탐사자료를 이론적으로 계산함을 의미하며, 물리탐사자료의 역산은 측정자료 벡터 d로부터 지하 물성 분포 벡터 p를 구하는 것을 의미한다.

전술한 바와 같은 가정과 근사를 채택하면 시공간 전체에 걸친 4차원 지하구조를 찾는 역산은 수 개의 기준 공간 모델 벡터(u)를 구하는 문제로 단순화된다.

이하에서는, 본 발명의 4차원 역산 방법에 관한 최소 자승 역산에 대해 상세히 설명한다.

측정자료 벡터(

)와 기준 시공간 모델에 의한 시뮬레이션 자료, 즉 이론자료 벡터와의 차이인 오차 벡터(

)는 수학식 4로 정의된다.

는 전술한 바와 같이 임의의 시각에서의 지하물성 분포

에 대한 수치적으로 계산한 탐사자료 벡터이며, 시간과 공간에 걸친 지하 물성 분포 및 변화를 기준 시공간 벡터 U로 모사하고 있으므로

는 지하 시공간 모델에서 현장 자료 획득과 동일한 방법으로 자료를 획득할 경우의 반응, 즉 수치적으로 계산한 탐사자료 벡터이다. 바로 이 때문에 이론자료와 현장자료 사이의 오차 벡터는 수학식 4와 같이 표시되며 4차원 역산은 하기의 수학식 5의 예측 오차를 최소화하는 기준 시공간 모델의 증분 벡터를 문제로 귀착되는 것이다.
또한 앞으로 최적화하여 계산하고자하는 기준 시공간 모델에 의한 이론자료 벡터와 측정 자료 벡터의 차이인 예측 오차 벡터 (

)는 수학식 5와 같이 정의된다. 역산 문제는 예측 오차 벡터를 최소화하는 기준 시공간 모델의 증분 벡터

를 구하는 문제로 귀착된다.

상기 수학식 5 및 6에서,

는 측정자료 벡터이며,

는 지하 시공간 모델에서 수치적으로 계산한 탐사자료 벡터(이론자료 벡터)이고,

는 측정자료 벡터와 이론자료 벡터 사이의 오차이며,

은 예측오차 벡터이다.

지구물리학의 역산문제는 해의 non-uniqueness와 ill-posedness로 특징지워질 수 있으며 이 때문에 계산과정이 발산하는 등 매우 불안정하다. 이의 문제를 해결하기 위해서 역산에 제한을 가함이 통상적이다. 본 발명에서는 시공간 영역의 지하구조를 역산하는 알고리즘을 개발하기 위해 통상적으로 채택하는 역산 제한, 즉 공간 영역의 제한뿐만 아니라 시간 영역의 제한을 추가로 도입한다. 시간 영역의 제한이 가능한 것은 본 발명에서 지하구조모델을 시공간 영역으로 확장하여, 정의하였기 때문이다. 본 발명의 4차원 역산은 오차의 자승을 최소화하는 최소자승 역산에 기본을 두고 있으며, 시공간 영역에서 제한을 가하므로, 수학식 6으로 표현되는 역산 목적 함수

를 최소화하는 문제로 정의된다.

여기서,

는 역산 목적 함수,

는 공간영역에서의 역산 제한 함수,

는 시간영역에서의 역산 제한 함수,

및

는 제한의 정도를 조절하는 라그랑지 곱수(Lagrangian multiplier)이다.

공간영역 제한으로는 평활화 제한을 도입하며, 시간 영역의 제한으로 시간적으로 인접하는 두 기준 공간 모델,

와

사이에는 큰 변화는 발생하지 않는다는 가정을 도입한다. 이와 같은 제한은 다음과 같은 수학식 7 및 수학식 8의 함수로 표현된다.

여기서

은 대각열과 한 개의 부대각열(sub-diagonal elements)이 각각 1과 -1로 구성된 정방행렬이며, 윗첨자 T는 전치행렬을 의미한다.

수학식 6의 역산 목적 함수를 기준 시공간 증분 벡터(

)에 대해 미분하면 수학식 9와 같은 기준 시공간 증분 벡터(

)에 대한 해를 얻을 수 있다.

여기서

는 자료 가중행렬이며

는 기준 공간모델 벡터로 구성된 기준 시공간 모델

에 대한 반응의 편미분 행렬이고,

는 공간 영역에서의 평활화 제한 연산자이며,

는 제한의 정도를 조절하는 라그랑지 곱수이고, 윗첨자 T는 전치행렬을 의미한다. 공간영역 제한의 경우, Yi 등 (2003)이 제안한 ACB (Active Constraint Balancing) 법을 도입하였으므로 공간영역 제한을 제어하기 위한 라그랑지 곱수는 대각행렬

로 정의되어 있다.

수학식 9를 이론자료와 측정자료간의 오차가 주어진 한계오차에 이를 때까지 반복하여 계산함으로써 원하는 지하구조 시공간 모델을 구할 수 있다.

도 1에 기존의 방법을 도시하고 도 3에 본 발명의 4차원 역산 개념을 도시화 하여 나타내었다.

기존의 방법은 각 모니터링 자료를 따로 따로 역산하여 지하 영상을 구현하기 때문에 다른 시간대의 변화한 지하구조를 참조함이 불가능하다. 이 때문에 지하 영상의 왜곡이 증폭될 가능성이 매우 높으며 특히 지하 변화의 영상에서 나타나는 왜곡이 더욱 심해진다. 또한 각 모니터링 자료와 지하공간을 공간적인 개념으로만 파악하기 때문에 모니터링 자료 측정 동안에 발생할 수 있는 지하구조의 변화에 대한 고려는 불가능하다.

이에 반해 본 발명의 4차원 역산은 측정자료와 지하구조를 모두 시공간 개념 으로 파악하기 때문에 1 종류의 시공간 영역 자료, 1 개의 시공간 모델로 정의되어 1회의 역산에 의해 시공간 지하 모델을 구할 수 있다. 바로 이 때문에 서로 다른 시간대의 변화하는 지하구조를 역산 과정에서 참조할 수 있다. 뿐만 아니라 단 한 세트의 자료를 이용하여도 시간에 대해 변화하는 지하구조의 계산이 가능해진다.

이하에서는, 본 발명의 4차원 역산 방법 및 이를 이용한 영상화 방법의 효용성을 검증하기 위한 역산 실험에 대해 설명한다.

역산 실험은 시추공간 전기비저항 토모그래피 수치 모델링 자료를 이용하여 수행하였다. 전극배열로는 단극-쌍극자 배열을 채택하였으며 시공간 모델은 연속적으로 변화하는 30 개의 공간 모델(n=30)로 설정하였다. 30 개의 모델에 대하여 모두 수치 모델링을 수행하고, 이들 30 세트의 자료로부터 1 세트의 자료를 구성하였다. 이와 같이 심하게 지하구조가 변화할 때는 다수의 반복 측정 모니터링 자료가 있는 경우보다 단 1 세트의 자료만이 존재하는 경우가 훨씬 어려움은 자명하다. 이 실험 예에서는 단 1 세트 자료만이 얻어진 경우를 가정하여 실시한 것이다.

한 세트의 자료는 1) 시추공간 탐사, 2) 동일 시추공 탐사, 3) 시추공-지표간 탐사자료로 구성된다.

도 4는 역산실험을 위해 설정한 지하공간의 변화 양상을 각 시각에서의 스냅 영상으로 나타낸 것이다. 시각 t는 총 측정시간에 대해 정규화한 시각을 의미한다.

본 발명에서는 모든 자료가 시공간 좌표로 정의되며 수많은 공간 모델을 단 한 세트의 측정 자료로 구하는 것이므로 자료측정 순서가 매우 중요한 의미를 갖는다.

도 5는 첫 번째 역산 실험 결과에 따라 지하공간의 변화 양상을 각 시각에서의 스냅 영상으로 나타낸 것이다.

도 5에 도시된 역산 실험은, 무작위적으로 자료 측정이 수행된 경우이며, 따라서 각 측정방법에 의한 자료에는 30 개의 공간 모델에 대한 반응을 모두 포함하고 있는 결과가 된다. 역산에 설정한 기준 공간 모델의 수는 2 개이며 각각의 기준 시각은 각각 τ=0.17과 τ=0.83이다.

기준 공간 모델이 단 두 개이며 단 1 세트의 자료만이 존재함에도 불구하고, 역산 결과는 시간의 흐름에 따라 지하구조가 변화한다는 사실과 함께 전기전도도가 높은 영역이 이동하는 형태를 잘 보여주고 있다.

도 6은 두 번째 역산 실험 결과에 따라 지하공간의 변화 양상을 각 시각에서의 스냅 영상으로 나타낸 것이다.

무작위적으로 측정이 이루어진 도 5의 경우와는 달리 1) 시추공간 탐사, 2) 동일 시추공 탐사, 3) 시추공-지표간 탐사의 순서로 탐사를 수행한 경우를 상정하고 자료를 구성하여 역산 실험을 수행하였다.

이 경우에는 시추공간 탐사가 초기에 이루어졌으므로 시추공간의 탐사 자료에는 초기 시간대의 모델(도 4의 (a) 및 (b))에 대한 반응이 주를 이룬다. 이에 반해 시추공-지표간 탐사는 후기 시간대에 이루어졌으므로 후기시간대의 모델(도 4의 (e) 및 (f))에 대한 반응이 주를 이루게 된다.

따라서 각 탐사법에 따라 지하구조가 상이하므로 도 5의 경우에 비해 상당히 어려울 것이 쉽게 예상된다. 도 6은 역산 결과의 예로써 기준 공간 모델의 수와 그 기준 시각은 도 5와 동일하다. 도 6에서는 지하구조가 변화하는 양상이 도 5에 비해서는 그다지 뚜렷하지는 않으나, 자료 획득 기간에 지하구조가 변화하였다는 점과 아울러 전기전도도가 높은 영역이 이동하는 형태를 잘 보여주고 있다.

기준 공간 모델의 수가 달라짐에 따른 영향을 알아보기 위하여 기준 공간 모델의 수를 3으로 설정한 후, 도 6의 계산에 사용된 실험 자료를 다시 역산하였다. 그러나 그 결과는 도 6에서 나타난 것과 거의 동일하였다. 따라서 시간이 흐름에 따라 연속적으로 변화하는 지하구조 변화 양상을 영상화하기 위해서는 2, 3 개 정도의 시각의 기준 공간 모델로도 충분함을 알 수 있다.

이와 같은 경우에 재래의 역산 방법에 의하여 지하 영상을 추출할 경우에는 한 세트의 자료만이 존재하므로 단 1 개의 정지 지하 영상만 획득이 가능하다. 따라서 지하구조의 변화를 추출은 원천적으로 불가능할 뿐만 아니라 영상의 왜곡 또한 극심하다.

이상에서와 같이, 본 발명은 다수의 모니터링 자료를 동시에 역산하는 것과 함께, 측정 기간 동안에 발생하는 지하구조의 변화를 무시할 수 없는 경우에도 신뢰할 수 있는 지하구조 영상을 구성할 수 있는 물리탐사 자료의 새로운 4차원 역산방법 및 이를 이용한 영상화 방법을 제공한다.

시추공간 전기비저항 토모그래피 탐사 수치 실험을 통해, 단 1회의 측정자료만으로도 본 발명의 역산 방법을 이용함으로써 연속적으로 변화하는 지하구조 영상의 획득이 가능함을 입증하였다.

본 발명의 실시예에서는, 전기비저항 탐사의 경우에 대해서 논의하였으나, 본 발명의 4차원 역산은 수치 모델링, 지료 측정 등의 일반화된 개념만으로 구성되어 있으므로 전자탐사, 중력탐사, 레이다, 탄성파 토모그래피 등의 다른 물리탐사 자료의 역산에 있어서도 본 발명에서 제안한 역산 방법의 적용이 가능하다.

이상과 같이 도면과 명세서에서 실시예가 개시되었다. 여기서 특정한 용어들이 사용되었으나, 이는 단지 본 발명을 설명하기 위한 목적에서 사용된 것이지 의미한정이나 특허청구범위에 기재된 본 발명의 범위를 제한하기 위하여 사용된 것은 아니다. 그러므로 본 기술 분야의 통상의 지식을 가진 자라면 이로부터 다양한 변형 및 균등한 타 실시예가 가능하다는 점을 이해할 것이다. 따라서 본 발명의 진정한 기술적 보호 범위는 첨부된 특허청구범위의 기술적 사상에 의해 정해져야 할 것이다.

이상에서 상세히 설명한 본 발명에 의해, 다수의 모니터링 자료를 동시에 역산하여 시간에 대해 변화하는 지하구조를 정확히 계산할 수 있으며, 자료 측정동안에 지하구조가 빠르게 변화하는 경우에도 다수의 반복 측정자료가 아닌 단 1회의 측정 자료를 이용하여도 신뢰할 만한 영상을 제공할 수 있는 새로운 4차원 역산 방법 및 이를 이용한 영상화 방법을 제공할 수 있다.

Claims

물리탐사 자료로부터 지하물성분포를 계산하는 역산 방법에 있어서,

(a) 시간에 따라 연속적으로 변화하는 지하구조를 시공간 모델로 정의하고 측정자료를 공간과 시간 좌표로 정의하며, 하기 수학식 1로 나타낼 수 있는 시공간 모델 벡터(Ρ)를 모사하기 위하여 자료획득 시작 시각과 종료 시각 사이에서의 복수의 기준 시각에 대한 복수의 기준 공간 모델 벡터로 구성되는 하기 수학식 2로 나타낼 수 있는 기준 시공간 모델 벡터(U)를 정의하는 단계;

(b) 복수의 기준공간모델에 대한 수치 모델링의 테일러 급수(Taylor series) 전개를 이용하여 임의의 시각의 지하구조 공간 모델에 대한 수치 모델링을 근사하고, 공간영역 및 시간영역에서 각각 역산에 제한을 가하는 역산 목적함수를 정의하여, 상기 역산 목적함수를 이용해 시공간 좌표로 정의된 측정자료로부터 기준 시공간모델 벡터(U)를 구하는 단계; 및

(c) 상기 기준 시공간모델 벡터(U)로부터 시공간 모델 벡터(Ρ)를 구하여 시간에 따라 변화하는 지하물성분포를 산출하는 단계;

를 포함하는 물리탐사 자료의 4차원 역산 방법.

[수학식 1]

(상기 수학식 1에서,
는 시간 i에 대한 공간 모델 벡터임.)

[수학식 2]

(상기 수학식 2에서,
는 m(m<<n)개의 기준 시각
에 대한 기준 공간 모델 벡터임.)
삭제
청구항 1에 있어서,

상기 (a) 단계에서,

동일한 공간좌표의 물성이 복수의 각 기준시각 사이에서 선형적으로 변화한다고 가정하고, 임의의 시간 t에서의 공간 모델 벡터
는,

하기의 수학식으로 정의되는 것을 특징으로 하는 물리탐사 자료의 4차원 역산 방법.

[수학식]

(상기 수학식에서,
이며, 아래 첨자
는 선정된 수 개의 기준 시각에서의 임의의 하나를 나타내고,
는 각각 미리 선정된 기준 시각이며,
_k는
에서의 지하 물성 분포로 정의되는 기준 공간모델 벡터임. )
청구항 1에 있어서,

상기 (b) 단계에서,

임의의 시각(
)에서의 지하구조의 공간 모델에 대한 수치 모델링 결과인 수치 탐사자료 벡터
는,

두 기준 시각(
,
)에서의 기준 공간모델(
,
)에 대해 수치적으로 계산한 탐사자료 벡터(
,
)를 이용한 하기의 수학식과 같은 테일러 1차 급수 전개를 이용하여 근사하는 방법을 사용하는 것을 특징으로 하는 물리탐사 자료의 4차원 역산 방법.

[수학식]

(상기 수학식에서,
는 임의의 시각(
)에서의 지하구조의 공간 모델
에 대한 수치 탐사자료 벡터이며, 아래 첨자
는 선정된 수 개의 기준 시각에서의 임의의 하나를 나타내고,
는 기준시각
에서의 기준 공간 모델
에 대한 모델 반응이며,
는
의 편미분임.)
청구항 1에 있어서,

상기 (b) 단계에서,

상기 역산 목적 함수(
)는 하기의 수학식으로 표현되는 함수를 이용하는 것을 특징으로 하는 물리탐사 자료의 4차원 역산 방법.

[수학식]

(상기 수학식에서,

,

,

,

는 측정자료 벡터,
는 지하 시공간 모델에서 수치적으로 계산한 탐사자료 벡터(이론자료 벡터),
은 예측오차 벡터,
는 기준 공간 모델 벡터,
는 기준 시공간 모델 증분 벡터,
는 공간영역에서의 역산 제한 함수,
는 시간영역에서의 역산 제한 함수, 아래 첨자
는 선정된 수 개의 기준 시각에서의 임의의 하나,
_k는
에서의 기준 공간모델 벡터,
및
는 제한의 정도를 조절하는 라그랑지 곱수(Lagrangian multiplier),
는 주어진 지하구조에 대한 수치 모델링 즉 수치 시뮬레이션 결과,
은 대각열과 한 개의 부대각열(sub-diagonal elements)이 각각 1과 -1로 구성된 정방행렬, 윗첨자 T는 전치행렬임.)
삭제
청구항 5에 있어서,

상기 물리탐사 자료의 4차원 역산 방법은,

상기 역산 목적 함수(
)를 기준 시공간 모델 증분 벡터(
)에 대해 미분하여 얻은 하기 수학식으로 표현되는 기준 시공간 모델 증분 벡터(
)에 대한 해를 이용하여 지하구조의 시공간 모델을 구하는 것을 특징으로 하는 물리탐사 자료의 4차원 역산 방법.

[수학식]

(상기 수학식에서,
는 자료 가중행렬이며
는 기준 공간모델 벡터로 구성된 기준 시공간 모델
에 대한 반응의 편미분 행렬이고,
는 공간 영역에서의 평활화 제한 연산자이며,
는 제한의 정도를 조절하는 라그랑지 곱수이고, 윗첨자 T는 전치행렬이며,
는 공간영역 제한을 제어하기 위한 라그랑지 곱수인 대각행렬임.)