JP6685182B2 - 信号処理装置 - Google Patents

Description

この開示は、電力系統の電気量（電圧または電流）を表す信号の処理を行う信号処理装置に関し、たとえば、電力系統の同期フェーザの測定に好適に用いられる。また、この開示は回転周波数測定装置に関する。

電力系統の電圧・電流フェーザを測定する装置は、一般に同期フェーザ測定装置（ＰＭＵ：Phasor Measurement Unit）と呼ばれる（非特許文献１参照）。従来の同期フェーザ測定装置では、再帰的ＤＦＴ（Discrete Fourier Transform）を用いて電力系統の電圧・電流の実効値および位相などを解析する手法が一般的であった（非特許文献２参照）。しかしながら、電力系統の実周波数がＤＦＴの設計周波数（すなわち、電力系統の定格周波数）からずれると、検出された実効値および位相が誤差を有するために検出精度が劣化するという問題がある。

本願発明者は、電力系統の電気量（交流電圧および交流電流の各々）の対称性を利用して電気量を測定する手法として、３つの回転ベクトルから構成されるゲージ電圧群（ゲージ電流群）およびゲージ差分電圧群（ゲージ差分電流群）を用いる手法を提案してきた（たとえば、特許文献１，２を参照）。

さらに、本願発明者は、複素平面上で回転しているこれらの電圧群（電流群）と複素平面上で静止している電圧群（電流群）とから、ゲージ同期フェーザ群およびゲージ差分同期フェーザ群を構成することを提案した（たとえば、特許文献３参照）。電流・電圧フェーザの振幅および位相は、ゲージ同期フェーザ群およびゲージ差分同期フェーザ群を用いて計算することができる。

特許第５２１４０７４号公報 特開２０１５−４５５７０号公報 特開２０１４−１３９５４１号公報 特開２０１６−２４１６８号公報 特許第５３５３５７９号公報 特許第５２１７０７５号公報

"IEEE Standard for Synchrophasor Measurements for Power Systems", IEEE Power & Energy Society, 28 December 2011, IEEE Std C37.118.1-2011 中野他４名、「同期フェーザ計測に基づく実時間電力系統周波数検出」、電気学会論文誌Ｃ、２００２年、Vol.122-C、No.12、p.2076-2082 横山明彦、太田宏次監修「電力系統安定化システム工学」電気学会、2014年2月5日 内山他２名、「自家用発電設備向け瞬時電圧低下検出手法の開発」、電気学会論文誌Ｂ、２００４年、Vol.124、No.4、p.531-536

上記の特許文献３に記載されている同期フェーザの計算方法は、ゲージ同期フェーザ群またはゲージ差分同期フェーザ群を用いるものであるので、同期フェーザを計算するための演算ステップが比較的多いという問題がある。

本願発明は、電力系統の電気量の対称性を利用する点においては上記の特許文献３の方法と同じであるが、特許文献３の方法に比べてより少ない変数と演算ステップとで同期フェーザを計算することが可能な信号処理装置を提供することをその主な目的とする。その他の課題および特徴は、本明細書の記載および添付図面によって明らかにされる。

この発明は一局面において信号処理装置であって、入力部と、振幅計算部と、位相角計算部とを備える。入力部は、電力系統の電気量を表す入力信号を第１の周波数でサンプリングした瞬時値データが入力される。振幅計算部は、瞬時値データの中から第１の周波数よりも小さい第２の周波数で抽出した時系列に連続する３点の抽出データに基づいて電気量の振幅を計算する。位相角計算部は、電気量を複素平面上の回転ベクトルとして表示したときの現時点の位相角を計算する。位相角計算部は、３点の抽出データに基づいて、３点の抽出データに対応する３個の回転ベクトルについて鏡映対称軸の位相角を中心角として算出し、算出した中心角に第２の周波数に対応する位相角を加算することによって電気量の現時点の位相角を計算する。

この発明は他の局面において信号処理装置であって、入力部と、振幅計算部と、位相角計算部とを備える。入力部は、電力系統の電気量を表す入力信号を第１の周波数でサンプリングした瞬時値データが入力される。振幅計算部は、瞬時値データの中から第１の周波数よりも小さい第２の周波数で抽出した時系列に連続する４点の抽出データに基づいて、４点の抽出データの隣接する２点間の差分を算出することによって時系列に連続する３点の差分データを決定し、３点の差分データに基づいて電気量の振幅を計算する。位相角計算部は、電気量を複素平面上の回転ベクトルとして表示したときの現時点の位相角を計算する。位相角計算部は、３点の差分データに基づいて、４点の抽出データに対応する４個の回転ベクトルについて鏡映対称軸の位相角を中心角として算出し、算出した中心角に第２の周波数に対応する位相角の１．５倍を加算することによって電気量の現時点の位相角を計算する。

この発明によれば、従来よりも少ない変数と演算ステップとで同期フェーザを計算することが可能な信号処理装置を提供することができる。

複素平面上の同期フェーザを説明するための図である。 周波数とゲージ回転位相角との双対関係（duality）を説明するための図である。 複素平面におけるゲージ電圧群について説明するための図である。 ゲージ電圧群の鏡映対称性について説明するための図である。 ゲージ電圧群のベクトル乗積空間図である。 複素平面上の仮想同期フェーザの計算方法について説明するための図である。 ゲージ電圧群のベクトル加算空間図である。 ゲージ電圧群のベクトル減算空間図である。 最小二乗法による同期フェーザ実数部および虚数部の推定計算について説明するための図である（ゲージ電圧群を用いた場合）。 複素平面上のゲージ差分電圧群について説明するための図である。 ゲージ差分電圧群の鏡映対称性について説明するための図である。 ゲージ差分電圧群のベクトル乗積空間図である。 ゲージ差分電圧群のベクトル加算空間図である。 ゲージ差分電圧群のベクトル減算空間図である。 最小二乗法による同期フェーザ実数部および虚数部の推定計算について説明するための図である（ゲージ差分電圧群を用いた場合）。 複素平面上の空間同期フェーザについて説明するための図である。 複素平面上の時間同期フェーザについて説明するための図である。 時間同期フェーザに対応するサイクル数ＮTPとゲージサンプリング点数Ｎgとの関係を示す図である。 同期フェーザ位相角と経過時間との関係を示す図である。 入力波形の直流成分の計算方法について説明するための図である。 同期フェーザ測定装置の構成を示すブロック図である。 同期フェーザの測定手順を示すフローチャートである。 定格周波数の仮想基準フェーザに対する相差角の計算方法を示す概念図である。 ＩＥＥＥ規格の同期フェーザの計算方法の概念図である。 本開示の定義によるタイムスタンプ付き同期フェーザの概念を説明するための図である。 ケース１における電圧瞬時値と同期フェーザ振幅の測定結果とを示す図である。 ケース１における同期フェーザ位相角の測定結果を示す図である。 ケース１における同期フェーザの測定結果を複素平面上で示した図である。 ケース１において定格周波数で回転する仮想基準フェーザに対する同期フェーザの相差角を測定した測定結果を示す図である。 ケース２の実測例における電圧瞬時値データと同期フェーザ振幅の測定結果を示す図である。 ケース２の実測例における同期フェーザ位相角の測定結果を示す図である。 ケース２の実測例における同期フェーザの測定結果を複素平面上で表示した図である。 ケース２の実測例において定格周波数で回転する仮想基準フェーザに対する同期フェーザの相差角を測定した測定結果を示す図である。 図３３の１秒から１．６秒の区間の拡大図である。 図３４の１．３９秒から１．４２秒の区間の拡大図である。 ケース２の実測例におけるＩＥＥＥ規格による同期フェーザの計算例を示す図である。 ケース２の実測例において式（Ｌ３）で説明したアクティブフィルタの出力電圧を示す図である。 ケース２の実測例における総合同期フェーザ誤差（ＴＳＥ）の測定結果を示す図である。 保護リレー装置の構成を示すブロック図である。 図３９の保護リレー装置の動作を示すフローチャートである。 電力系統信号処理装置３００の構成を示す機能ブロック図である。 複素平面上のゲージ差分回転群について説明するための図である。 交流発電機／電動機の回転数測定装置の構成を示すブロック図である。

以下、各実施形態について図面を参照して詳しく説明する。以下では、まず、各実施形態の基礎となる本開示の基本概念について説明する。次に、第１の実施形態では、同期フェーザ測定装置の構成について説明する。第２の実施形態では、同期フェーザ振幅の変化分を計算することによって電力系統の電圧低下を高速かつ高精度に検出する方法について説明する。第３および第４の実施形態では、具体的な数値を用いて同期フェーザを計算した例について説明する。第５の実施形態では、上記の同期フェーザ測定装置を電力系統保護リレー装置に適用した例について説明する。第６の実施形態では、同期フェーザ測定を応用して、入力信号の第２調波、第３調波を検出する手法について説明する。第７の実施形態では、同期フェーザ測定の解析手法を応用して、交流発電機／電動機の回転子の回転数を検出する装置について説明する。

以下の説明において、同一または相当する部分には同一の参照符号を付して、その説明を繰り返さない場合がある。なお、以下の説明では主として電圧について説明するが、同様のことが他の電気量（電流または電力）についても成立する。

＜本開示の基本概念＞
［用語の定義］
最初に、本開示で使用する用語について説明する。

・標本化定理：標本化定理（sampling theorem：サンプリング定理とも称する）は、アナログ信号をデジタル信号へと変換する際に、どの程度の間隔で標本化（サンプリング）すればよいかを定量的に示す定理をいう。工学的には、標本化定理は、原信号に含まれる最大周波数成分をｆとすると、２ｆよりも高い周波数ｆｓで標本化した信号は、原信号を完全に復元することができるということを示している。本開示が提案した対称性原理に基づく電気量の測定は、電気量の基本波に対して測定を行うものであるので、計算に利用されるゲージサンプリング周波数はこの標本化定理に束縛されない。従って、例えば電力系統の基本波成分をｆとすると、任意のゲージサンプリング周波数ｆｇを用いて基本波ｆを有する成分を復元することができる。

・複素数：実数ａ，ｂと虚数単位ｊを用いてａ＋ｊｂの形で表される数である。電気工学ではｉが電流符号であるため、虚数単位はｊ＝√（−１）で表す。なお、√（）は（）の中の平方根を表す。本開示では複素数を用いて、回転ベクトルを表現する。

・複素平面：複素数を２次元平面上の点とし、実部（Ｒｅ）を横軸に、虚部（Ｉｍ）を縦軸にとった直角座標で複素数を表す平面である。

・同期フェーザ（回転ベクトル）：電力系統の電気量（電圧あるいは電流）に対応するベクトルであって、複素平面上で反時計回りに回転するベクトルである。同期フェーザの実数部は電気量の瞬時値である。

・差分回転ベクトル：サンプリング周波数で１サイクル隔てた２つの回転ベクトル同士の差分ベクトルである。差分回転ベクトルの実数部は、サンプリング周波数で１サイクル隔てた２つの瞬時値の差分である。

・対称群：複素平面上で回転している対称性を有する複数のベクトルによって構成した群（グループ：group）をいう。

・群表：群の積の規則を一覧表にしたものである。本願では、ゲージ電圧群とゲージ差分電圧群の群表を提示している。

・不変量（invariant）：不変量は、対称群が有している、ある変換の下では変化しない系の性質である。本願における不変量には、ゲージ回転位相角、周波数係数、ゲージ電圧、ゲージ電圧群中心ベクトル、ゲージ差分電圧、ゲージ差分電圧群中心ベクトルなどがある。なお、不変量が分かれば、対称群の特性も分かる。

・ベクトル乗積表：対称群における所定のメンバー（ベクトル変数）同士の積（掛け算）で表される表（テーブル）である。対称群の不変量を調べるためのロードマップになる。

・ベクトル加算表：対称群における所定のメンバー（ベクトル変数）同士の加算（足し算）で表される表（テーブル）である。対称群の不変量を調べるためのロードマップになる。

・ベクトル減算表：対称群における所定のメンバー（ベクトル変数）同士の減算（引き算）で表される表（テーブル）である。対称群の不変量を調べるためのロードマップになる。

・実数乗積表：対称群における所定のメンバー（実数変数）同士の積（掛け算）で表される表（テーブル）である。

・実数加算表：対称群における所定のメンバー（実数変数）同士の加算（足し算）で表される表（テーブル）である。

・実数減算表：対称群における所定のメンバー（実数変数）同士の減算（引き算）で表される表（テーブル）である。

・リアルタイム周波数（実周波数とも称する）：電力系統における現実の周波数である。この実周波数は、電力系統が安定であっても、定格周波数の近傍で微妙に変動している。本開示において、リアルタイム周波数はｆで表現する。リアルタイム周波数ｆの単位はヘルツ（Ｈｚ）である。また、電気回路等における角周波数ωは、ω＝２πｆで表され、その単位は（ｒａｄ／ｓ）である。

・データ収集サンプリング周波数：データ収集時のサンプリング周波数（第１のサンプリング周波数）であり、記号ｆ₁で表す。このデータ収集サンプリング周波数ｆ₁は、高いほうが精度がよい。なお、ゲージサンプリング周期Ｔと同様にデータ収集サンプリング周期Ｔ₁は、データ収集サンプリング周波数ｆ₁の逆数として、Ｔ₁＝１／ｆ₁で表される。

・ゲージサンプリング周波数：ゲージ対称群の計算に使用されるサンプリング周波数（第２のサンプリング周波数）であり、記号ｆ_Sで表す。よって、ゲージサンプリング周期Ｔは、ゲージサンプリング周波数ｆ_Sの逆数として、Ｔ＝１／ｆ_Sで表される。なお、Ｔ，Ｔ₁の間には、Ｔ＞Ｔ₁の関係がある。

・系統周波数：基本的には、電力系統における定格周波数を意味し、一般的には５０Ｈｚ、６０Ｈｚの２種類がある。

・サンプリング位相角：電圧回転ベクトル（単に「電圧ベクトル」と称する場合もある）あるいは電流回転ベクトル（単に「電流ベクトル」と称する場合もある）がデータ収集サンプリング周波数で１サイクルの間に複素平面上で回転した位相角であり、α₁で表す。

・ゲージ回転位相角：電圧回転ベクトル（単に「電圧ベクトル」と称する場合もある）あるいは電流回転ベクトル（単に「電流ベクトル」と称する場合もある）がゲージサンプリン周波数で１サイクルの間に複素平面上で回転した位相角であり、αで表す。

・周波数係数：ゲージ回転位相角αの余弦関数値であり、ｆ_Cで表す。本開示における全てのゲージ対称群に対してそれぞれ周波数係数の計算式が提示される。なお、周波数係数ｆ_Cを対称性指標として利用すれば、交流であるかどうかの判別が可能となる。

・移動平均処理：所定数の直近データを用いて行う単純な平均処理である。なお、移動平均処理を行うことにより、測定誤差および相加性ガウス雑音の影響を小さくすることができる。

・ゲージ電圧群：時系列的に連続した３つの電圧ベクトルにより構成される対称群である。なお、電圧以外の電流、電力（有効電力、無効電力）についても同様な対称群の概念が定義可能である。

・ゲージ電圧：ゲージ電圧群により計算される電圧不変量である。計算式は式（Ｂ１５）として後で示す。

・ゲージ電圧群中心ベクトル：ゲージ電圧群を構成する３つの電圧ベクトルの鏡映対称軸上の回転ベクトルをいう。その瞬時位相角は、ゲージ電圧中心角と称され、時間とともに変化している。

・ゲージ差分電圧群：時系列的に連続した３つの差分電圧ベクトルにより構成される対称群である。

・ゲージ差分電圧：ゲージ差分電圧群により計算される差分電圧不変量である。計算式は式（Ｆ１２）として後で示す。

・ゲージ差分電圧群中心ベクトル：ゲージ差分電圧群を構成する３つの差分電圧ベクトルの基となる時系列的に連続した４つの電圧回転ベクトルについて、それらの鏡映対称軸上の回転ベクトルをいう。その瞬時位相角はゲージ差分電圧群中心角と称され、時間とともに変化している。

・相差角：複素平面上の同期フェーザの位相角と仮想基準フェーザの位相角との差分である。相差角の取り得る値は、−１８０度から＋１８０度の間である。

・対称性の破れ：入力波形が純粋な正弦波から崩れること。振幅急変、位相急変、あるいは周波数急変により、入力波形の対称性が破れる。この対称性の破れを判定（検出）するための指標が対称性指標である。

・アクティブフィルタ（Active Filter）：本発明者が提案している能動型のフィルタであり、入力の電気信号から基本波以外のすべての高調波成分と直流成分との合計値を取り出すフィルタである。現在一般的なアクティブフィルタは特定の高調波成分を抽出するものである。

・総合同期フェーザ誤差（ＴＳＥ：Total Synchrophasor Error）：現時点の入力瞬時値データに基づいて計算された同期フェーザ振幅をＶ₁とし、現時点までの同期フェーザ振幅の平均値をＶ₀としたとき、振幅瞬時値Ｖ₁と振幅平均値Ｖ₀との差分の絶対値を振幅平均値Ｖ₀で除した値を百分率で表示したものである。入力波形が正弦波の場合、総合同期フェーザ誤差は零である。総合同期フェーザ誤差が大きいほど、入力データに高調波成分が多く存在している。

・多重スケール法：周波数計算参照表法とも呼ぶべきものであり、本願発明者が先に提案している１つのゲージサンプリング周波数を用いた手法（単重スケール法と称する）から発展して、複数のゲージサンプリング周波数を用いて、同時に電気量を測定する手法に向けられる。本願発明者は、特開２０１６−２４１６８号（特許文献４）において多重スケール法について詳細に説明した。本開示による同期フェーザの計算方法は、多重スケール法を用いたものに拡張可能である。

・離散フーリエ変換（ＤＦＴ：discrete Fourier Transform）：離散化されたフーリエ変換であり、離散化されたデジタル信号の周波数解析などに使われる。

［同期フェーザと周波数の定義］
ＩＥＥＥ規格の同期フェーザおよび周波数の定義と比較しながら、本開示におけるスパイラルベクトル理論に基づいた同期フェーザの定義について説明する。

（１．ＩＥＥＥ規格の同期フェーザの定義）
ＩＥＥＥ規格（非特許文献１の式（３））によれば、同期フェーザ（synchrophasor）は以下の式（Ａ１）のように定義されている。下式（Ａ１）においてω₀は定格角周波数、ｆ₀は定格周波数（５０Ｈｚ或いは６０Ｈｚ）、Ｘ_mは同期フェーザの振幅、φは同期フェーザの位相角である。

上式（Ａ１）に示す同期フェーザの位相角φは、周波数領域において基準（ＵＴＣ（協定世界時）： Coordinated Universal Time）となる定格周波数交流波形の位相角からの差分として定義されている（非特許文献１の第５頁から６頁の4.2 Synchrophasor definitionを参照）。さらに、ＩＥＥＥ規格（非特許文献１の式（７）および式（８）を参照）によれば、入力波形の正弦波を式（Ａ２）で表したとき、周波数は次式（Ａ３）で定義されている。

上式（Ａ３）においてΔｆ（ｔ）は、リアルタイム周波数ｆ（ｔ）と定格周波数ｆ₀との差分である。このように、ＩＥＥＥ規格では、同期フェーザにおける周波数の定義は位相角の定義とは別々に定義されている。そして一般に、この周波数の演算は、周波数領域でＤＦＴ信号処理により基本波を抽出することに基づいている。したがって、ＩＥＥＥの定義に従って、高速高精度に周波数の測定を行うことは困難である。

（２．本開示の同期フェーザの定義）
本開示は、時間領域で同期フェーザを定義するとともに、同期フェーザの測定方法を提案する。なお、本開示による同期フェーザの定義によれば、ＩＥＥＥ規格による同期フェーザの位相角は、定格周波数の仮想基準フェーザに対する相差角として計算することができる。以下、本開示の方法による複素平面上の同期フェーザの定義について説明する。

図１は、複素平面上の同期フェーザを説明するための図である。図１を参照して、スパイラルベクトル理論の状態変数回転ベクトル（複素数）を用いて、同期フェーザの定義は次式（Ａ４）の回転ベクトルとして与えられる。次式（Ａ４）において、Ｖは同期フェーザ振幅であり、ωは同期フェーザ角周波数であり、ｆは同期フェーザ周波数であり、φ_１同期フェーザ位相角である。

上式（Ａ４）の同期フェーザは実数部ｖ_reおよび虚数部ｖ_imを用いた以下の式（Ａ５）および（Ａ６）の複素数で表現することができる。

このように、本開示による新しい同期フェーザの定義では、振幅、周波数、および位相角の三要素を有し、定格周波数を有する基準となる正弦波との差分を必要としない。なお、上記の定義により、次式（Ａ７）の同期フェーザ波動方程式を導くことができる。

上記の同期フェーザ波動方程式を満たす同期フェーザ角周波数と同期フェーザ位相角とを同時に確定することはできないので、高速高精度の測定のためには同期フェーザ位相角の測定と同期フェーザ角周波数の測定とはそれぞれ同時に行われなければならないことが示唆される。本開示では、ゲージ電圧群またはゲージ差分電圧群という群論的な手法を用いて、周波数測定（周波数領域）と位相角測定（時間領域）とを同時に処理することにより、高速高精度の同期フェーザ測定を実現している。

［対称性原理に基づく同期フェーザの構築］
図２は、周波数とゲージ回転位相角との双対関係（duality）を説明するための図である。図２を参照して周波数とゲージ回転位相角との間の関係を示す基本式として次式（Ａ８）を導入する。下式（Ａ８）において、ｆは実周波数、ｆ_gはゲージサンプリング周波数、αはゲージ回転位相角である。

上記の対称性原理に基づく同期フェーザを用いることによって、入力波形の位相と周波数を同時に測定する。そして、このように時間領域と周波数領域を同時に処理することにより、測定可能な最大の時間測定精度と同等な精度を有している同期フェーザを求めることができる。

本願発明者は既にこれまで、群論的な手法を利用して、ゲージ電圧群もしくはゲージ差分電圧群の不変量を計算し、さらに算出した不変量に基づいて同期フェーザの周波数、位相、および振幅を計算する手法を示してきた（たとえば、特許文献３および発明者による未公開の出願（特願2015-191480）を参照）。この従来の発明者による方法では、ゲージ同期フェーザ群およびゲージ差分同期フェーザ群を用いて同期フェーザの周波数、位相、および振幅を計算している。

本開示では、更に、ゲージ電圧群およびゲージ差分電圧群中心ベクトルという新しい不変量を定義し、時間とともに変化している同期フェーザ位相角を求める方法を示す。ここで、本開示による同期フェーザは複素平面上で反時計まわりに回転しているので、その位相角はステップごとに変化している。このステップごとに生じるノイズなどの影響を最小限に低減しつつ、動的な同期フェーザが構築されている。

［本開示による同期フェーザの定義およびその測定方法と従来手法との比較］
以下の表１に、対称性の原理に基づく本開示による同期フェーザの定義およびその測定手法と、従来手法との比較を示す。

本願発明者が提案している同期フェーザの定義によれば、同期フェーザ位相角が複素平面上の時間領域瞬時位相角として定義され計算される。さらに、２つのノード間の同期フェーザ位相角の差分が空間同期フェーザと定義され計算される。空間同期フェーザは、電力系統の制御保護および監視に利用することができる。

これに対して、ＩＥＥＥ規格による従来の同期フェーザ（synchrophasor）位相角は、は系統定格周波数を有する正弦波との差分として定義される。したがって、ＩＥＥＥ規格による同期フェーザには、電圧回転ベクトルまたは電流回転ベクトルの瞬時位相角の定義がない。したがって、ＩＥＥＥ規格では、各同期フェーザ測定装置は、ローカルで計測された電力系統基本周波数に基づく振幅および位相を静止フェーザの形式で伝送している（非特許文献１の第１２頁のTable 2-Table of synchrophasor values at a 10fps reporting rateを参照）。

一方、本開示による同期フェーザ測定装置は、同期フェーザ振幅と同期フェーザ周波数とをＩＥＥＥ規格のフォーマットに整列して送信することができる。さらに、電力系統の各ノードの瞬時同期フェーザ位相角（ＩＥＥＥ規格では定義されていない）を、ＧＰＳ（Global Positioning System）などを利用した時間スタンプ付きで遠方の電力系統監視制御システムに送信することができる。電力系統監視制御システムでは、２つのノード間の空間同期フェーザを計算し、計算した空間同期フェーザを用いて電力系統の安定度を監視し制御することができる。

なお、従来理論を用いることによって複素平面上の瞬時同期フェーザ位相角を定義したり計算したりすることができない例として、２ノード間の電圧の位相差角の計算式を挙げることができる（たとえば、非特許文献３の１７０頁の表５．５を参照）。この計算式では現時点のサンプリングデータと現時点よりも９０°前のサンプリングデータとが用いられるので、系統周波数が定格周波数であることを前提に位相差角が計算されている。電力系統が脱調しているとき、系統周波数は定格周波数からずれているので、従来理論による計算式の誤差は大きい。

また、特許第５２１７０７５号公報（特許文献６）は、単相交流信号の位相検出方法と同方法を用いた電力変換装置を開示している。同文献の方法では、ＤＦＴ法をベースに位相検出を実現している。具体的には、単相交流信号の位相検出対象周波数成分に対して、対象周波数成分と同位相の同相信号と、対象周波数成分に対してπ／２（ｒａｄ）位相進みあるいは遅れの矩相信号とが、安定なフィードバック形フィルタを１個以上用いて単相交流信号から抽出される。抽出した同相信号と矩相信号とを用いて、対象周波数成分の位相が検出される。

上記の特許文献６に開示された方法と比較した場合の本開示の手法のメリットは次のとおりである。第１に、ＤＦＴを利用せずに対称性原理を利用することによって、高速かつ高精度に単相交流信号の位相を検出することができる。第２に、本開示の手法によれば、ゲージ差分電圧群を利用して、直流成分（交流振幅よりも大きくても問題ない）を含む単相交流信号の位相を検出することができる。

［複素平面上のゲージ電圧群について］
以下、具体的な対称群の操作により不変量を見出すための式展開について説明する。まず、ゲージ電圧群に基づく計算手法について説明する。

図３は、複素平面におけるゲージ電圧群について説明するための図である。複素平面上の３個の電圧回転ベクトルを次式（Ｂ１）で表すことを仮定する。ここで、Ｖは交流電圧振幅、Ｔはゲージサンプリング周期である。

さらに、新しい不変量としてゲージ電圧群中心ベクトルを次式（Ｂ２）で定義する。次式（Ｂ２）において、φ₀はゲージ電圧群中心ベクトルの瞬時位相角（ゲージ電圧群中心角とも称する）であり、その取り得る値は−１８０度から＋１８０度である。なお、本願発明者が特許文献１〜３において用いていたωｔ（ただし、ωは角周波数、ｔは時間）に代えて式（Ｂ１）および（Ｂ２）では瞬時位相角φ₀が用いられている。

［ゲージ電圧群の鏡映対称性について］
図４は、ゲージ電圧群の鏡映対称性について説明するための図である。図４（Ａ）において鏡映対称性（reflection symmetry）について説明し、図４（Ｂ）において群表を示す。

図４（Ａ）を参照して、電圧回転ベクトルＯＡ、電圧回転ベクトルＯＢ、および電圧回転ベクトルＯＣの全体を構造体ＯＡＢＣと呼ぶことにする。構造体ＯＡＢＣは対称軸ＯＢに関する鏡映操作σによって構造体ＯＣＢＡに移動する。すなわち、鏡映操作σによって電圧回転ベクトルＯＡと電圧回転ベクトルＯＣとが相互に交換され、電圧回転ベクトルＯＢは不変である。

上記の鏡映操作σと恒等操作ｅ（何の移動もしない）とは図４（Ｂ）および次表２に示すように群をなす。

すなわち、次式（Ｂ３）に示すように、ゲージ電圧群に関して恒等操作ｅと鏡映操作σとによって群Ｇが構成される。

［ゲージ電圧群のベクトル乗積表の構築］
以下、ゲージ電圧群の乗積表、加算表および減算表を用いて、ゲージ電圧群の具体的な不変量を導き、さらにこの不変量を用いて同期フェーザの諸量を求める方法を説明する。まず、次の表３にゲージ電圧群のベクトル乗積表を示す。

ゲージ電圧群のベクトル乗積表は、ゲージ電圧群の不変量を調べるために、ゲージ電圧群を構成する各ベクトル同士の乗積を計算したものである。上記のベクトル乗積表に示されている電圧回転ベクトルｖ₁は複素数の状態変数である。表３において“×”は掛け算を行うことを示している。上記のゲージ電圧群のベクトル乗積表の各乗積の計算結果は次式（Ｂ４）で表される。

図５は、ゲージ電圧群のベクトル乗積空間図である。２つの回転ベクトルの乗積によって生成された空間をベクトル乗積空間と呼ぶ。図５では表３の各乗積ベクトルが複素平面上に図示されている。図５のベクトル乗積空間図を利用することによって、交流正弦波に内在する対称性が明瞭になる。図３に示すゲージ電圧群を構成する電圧回転ベクトルｖ₁の角周波数をωとすると、図５の各乗積ベクトルは角周波数２ωで反時計回りに回転する回転ベクトルである。

［ゲージ電圧群の実数乗積表の構築］
次に、ゲージ電圧群を構成する電圧回転ベクトルｖ₁（ｔ）、ｖ₁（ｔ−Ｔ）、ｖ₁（ｔ−２Ｔ）の電圧瞬時値をそれぞれｖ₁₁、ｖ₁₂、ｖ₁₃とする。これらの電圧瞬時値を用いて作成した、表３のベクトル乗積表に対応する実数乗積表を以下の表４に示す。

一般に電圧回転ベクトルの電圧瞬時値は電圧回転ベクトルの実数部または虚数部であるが、この明細書では電圧瞬時値を実数部で表すものとする。すると、各電圧回転ベクトルの電圧瞬時値は、次式（Ｂ５）で表される。次式（Ｂ５）においてＲｅは複素数の実数部を表す。

さらに、上記の表４のゲージ電圧群の実数乗積表の各乗積の値は、上式（Ｂ５）を用いると次式（Ｂ６）のように表される。

以下、上記の式（Ｂ６）に示すゲージ電圧群の実数乗積表の各乗積の計算結果を利用して、ゲージ電圧群の不変量の計算式を示す。さらに、ゲージ電圧群中心角φ₀の具体的な表式を示す。

［ゲージ電圧群の周波数係数の計算］
ゲージ電圧群の周波数係数（cosα）は、次式（Ｂ７）によって与えられる。用語の定義で説明したように、周波数係数とはゲージ回転位相角αの余弦関数値である。実数乗積表の関連する乗積値を用いることによって次式（Ｂ７）を導出することができる。

［ゲージ電圧群の対称性指標］
上記の周波数係数を利用して、ゲージ電圧群の対称性指標として以下の式（Ｂ８）が定義される。次式（Ｂ８）は、入力電圧（電力系統から検出された時系列の電圧瞬時値）が交流であるか否かの指標となる。

上式（Ｂ８）が満たされているとき、電圧回転ベクトルｖ₁（ｔ）、ｖ₁（ｔ−Ｔ）、ｖ₁（ｔ−２Ｔ）によって交流対称群を構築することができない。本開示では、上式（Ｂ８）が満たされている場合をゲージ電圧群の対称性が破れていると称する。ゲージ電圧群の対称性が破れている場合には、その時点の電圧瞬時値を用いて同期フェーザを計算することができないので、次に示すように仮想同期フェーザを計算する。一方、上式（Ｂ８）が満たされていない場合には、入力電圧は交流であると判断されるので、現時点の電圧瞬時値を用いて同期フェーザの計算を行う。

［対称性が破れている場合の仮想同期フェーザの計算方法］
図６は、複素平面上の仮想同期フェーザの計算方法について説明するための図である。図６を参照して、ゲージ電圧群の対称性が破れている場合には、仮想同期フェーザの振幅Ｖ（ｔ）と系統周波数ｆ（ｔ）とは、それぞれ次式（Ｂ９）および（Ｂ１０）に示すように、前ステップの測定値をラッチする（そのまま保持して使用する）ことによって得られる。次式（Ｂ９）および（Ｂ１０）において、Ｔ₁はデータ収集サンプリング周期である。

また、サンプリング位相角α₁および仮想同期フェーザの位相角φ₁（ｔ）は、それぞれ次式（Ｂ１１）および（Ｂ１２）のように計算される。次式（Ｂ１１）および（Ｂ１２）において、φ₁（ｔ−Ｔ₁）は、前ステップにおける同期フェーザ位相角の測定値である。

上式（Ｂ１２）に示すように、データ収集サンプリング周波数に対応する位相角α₁と全体の同期フェーザ位相角φ₁（ｔ−Ｔ₁）との合計値によって、仮想同期フェーザの位相角φ₁（ｔ）が与えられる。

［ゲージ回転位相角の計算］
引き続き、ゲージ電圧群の乗積表に基づく諸量の計算方法について説明する。ゲージ回転位相角αは、次式（Ｂ１３）に示すように、前述の式（Ｂ７）の周波数係数の計算結果を用いて計算することができる。

上式（Ｂ１３）の逆余弦関数の計算をテイラー展開に基づいて行う場合、計算時間を節約することができる。なお、高調波成分の影響を低減するため、一般に、複数の時刻でのゲージ電圧群からそれぞれ算出された周波数係数およびゲージ回転位相角の移動平均処理が行われる。

［系統周波数の計算］
系統周波数ｆは、ゲージ回転位相角αと系統周波数ｆとの双対関係を表す基本式（Ａ８）から計算することができ、具体的には以下の式（Ｂ１４）に従って求められる。なお、高調波成分の影響を低減するため、一般に、複数の時刻でのゲージ電圧群からそれぞれ算出された系統周波数の移動平均処理が行われる。

［ゲージ電圧群の同期フェーザ振幅の計算］
ゲージ電圧Ｖ_gは次式（Ｂ１５）の１行目で定義される。さらに、式（Ｂ１５）では実数乗積表に基づく式（Ｂ６）を代入して式変形を行うことによって、最終的なゲージ電圧Ｖ_gの表式が得られる。

上式（Ｂ１５）のゲージ電圧Ｖ_gの定義式と周波数係数ｆ_Cを表す式（Ｂ７）とを用いることによって、ゲージ電圧群に基づく同期フェーザ振幅Ｖの計算式は次の式（Ｂ１６）によって与えられる。なお、高調波成分の影響を低減するため、一般的に、複数の時刻でのゲージ電圧群からそれぞれ算出された同期フェーザ振幅Ｖの移動平均処理が行われる。

［ゲージ電圧群中心角の計算式（ゲージ電圧群乗積表に基づく）］
前述の式（Ｂ６）の第４番目の等式から、ゲージ電圧中心角φ₀は次式（Ｂ１７）によって計算することができる。次式（Ｂ１７）中の同期フェーザ振幅Ｖの値は上式（Ｂ１６）によって与えられる。

上式（Ｂ１７）では逆余弦関数が用いられているため、ゲージ電圧群中心角φ₀の計算結果は常にプラスになる。実際のゲージ電圧群中心角φ₀は複素平面上で−１８０度から＋１８０度まで変化し、ゲージ電圧群中心ベクトルは常に反時計まわりで回転している。これに対して、上記の計算結果によるゲージ電圧群中心ベクトルは、実際のゲージ電圧群中心角φ₀が０度から１８０度の間で変化しているときには反時計まわり変化するが、実際のゲージ電圧群中心角φ₀が−１８０度から０度の間で変化しているときには、１８０度から０度の方向に順時計まわりで変化する。このような問題が存在しているため、ゲージ電圧群中心角φ₀の計算には、後述するような逆正接関数を用いた計算式（Ｃ４）または（Ｄ４）または（Ｄ５）を利用するのが望ましい。

［ゲージ電圧群のベクトル加算表の構築］
対称性を利用して上記とは別の方法でゲージ電圧群中心角φ₀を計算するため、以下の表５に示すゲージ電圧群のベクトル加算表を構築する。

ゲージ電圧群のベクトル加算表は、ゲージ電圧群を構成する各電圧ベクトル同士を加算したものである。上記のベクトル加算表に示されている電圧回転ベクトルｖ₁は複素数の状態変数である。上表において“＋”は加算を行うことを示している。上記のベクトル加算表の各加算結果は次式（Ｃ１）で表される。

図７は、ゲージ電圧群のベクトル加算空間図である。２つの回転ベクトルの加算によって生成された空間をベクトル加算空間と呼ぶ。図７では表５の各加算ベクトルが複素平面上に図示されている。図７のベクトル加算空間図を利用することによって、交流正弦波に内在する対称性が明瞭になる。ベクトル加算空間では各加算ベクトルはωの角速度で反時計回りに回転する。

［ゲージ電圧群の実数加算表の構築］
次に、表６に示すように、ゲージ電圧群を構成する電圧回転ベクトルｖ₁（ｔ）、ｖ₁（ｔ−Ｔ）、ｖ₁（ｔ−２Ｔ）の各電圧瞬時値ｖ₁₁、ｖ₁₂、ｖ₁₃を用いてゲージ電圧群の実数加算表を作成する。

一般に電圧回転ベクトルの電圧瞬時値は電圧回転ベクトルの実数部または虚数部であるが、この明細書では電圧瞬時値を実数部で表すものとする。すると、上記の実数加算表の各加算値は次式（Ｃ２）のように表される。

［ゲージ電圧群中心角の計算式（ゲージ電圧群加算表による）］
次に、上記のゲージ電圧群の実数加算表の各加算結果を利用して、ゲージ電圧群中心角φ₀を計算する方法について説明する。具体的には、上式（Ｃ２）によって次式（Ｃ３）が成立するので、ゲージ電圧群中心角φ₀は次式（Ｃ３）を変形することによって次式（Ｃ４）のように表される。

上式（Ｃ４）のゲージ電圧群中心角φ₀の計算結果は、実際のゲージ電圧群と同様に複素平面上で−１８０度から＋１８０度まで変化し、常に反時計まわりで回転している。図３を参照すると、現時点の同期フェーザ位相角φ₁は、上式（Ｃ４）のゲージ電圧群中心角φ₀と式（Ｂ１３）で計算されるゲージ回転位相角αとを用いて、次式（Ｃ５）に従って計算することができる。

［ゲージ電圧群による同期フェーザの計算式］
同期フェーザｖ₁（ｔ）の定義は次式（Ｃ６）で与えられ、同期フェーザの実数部ｖ_reおよび虚数部ｖ_imは次式（Ｃ７）で与えられる。次式（Ｃ６）および（Ｃ７）において、Ｖは同期フェーザ振幅であり、φ₁は現時点の同期フェーザ位相角である。

［ゲージ電圧群のベクトル減算表の構築］
上述したベクトル乗算表およびベクトル加算表とは別の方法で対称性を利用してゲージ電圧群中心角φ₀を計算するため、以下の表７に示すゲージ電圧群のベクトル減算表を構築する。

ゲージ電圧群のベクトル減算表は、ゲージ電圧群を構成する各電圧ベクトル同士を減算したものである。上記のベクトル減算表に示されている電圧回転ベクトルｖ₁は複素数の状態変数である。上表において“−”は減算を行うことを示している。上記のベクトル減算表の各減算結果は次式（Ｄ１）で表される。

図８は、ゲージ電圧群のベクトル減算空間図である。２つの回転ベクトルの減算によって生成された空間をベクトル減算空間と呼ぶ。図８では表７の各減算ベクトルが複素平面上に図示されている。図８のベクトル減算空間図を利用することによって、交流正弦波に内在する対称性が明瞭になる。ベクトル減算空間では各減算ベクトルはωの角速度で反時計回りに回転する。

［ゲージ電圧群の実数減算表の構築］
次に、表８に示すように、ゲージ電圧群を構成する電圧回転ベクトルｖ₁（ｔ）、ｖ₁（ｔ−Ｔ）、ｖ₁（ｔ−２Ｔ）の各電圧瞬時値ｖ₁₁、ｖ₁₂、ｖ₁₃を用いてゲージ電圧群の実数減算表を作成する。

この明細書では電圧瞬時値を実数部で表すものとしているので、上記の実数減算表の各減算値は次式（Ｄ２）のように表される。

［ゲージ電圧群中心角の計算式（ゲージ電圧群減算表による）］
次に、上記のゲージ電圧群の実数減算表の各減算結果を利用して、ゲージ電圧群中心角φ₀を計算する方法について説明する。具体的には、上式（Ｄ２）によって次式（Ｄ３）が成立するので、ゲージ電圧群中心角φ₀は次式（Ｄ３）を変形することによって次式（Ｄ４）のように表される。

上式（Ｄ４）のゲージ電圧群中心角φ₀の計算結果は、実際のゲージ電圧群と同様に複素平面上で−１８０度から＋１８０度まで変化し、常に反時計まわりで回転している。

図３を参照すると、現時点の同期フェーザ位相角φ₁は、上式（Ｄ４）のゲージ電圧群中心角φ₀と式（Ｂ１３）で計算されるゲージ回転位相角αとを用いて、前述の式（Ｃ５）に従って計算することができる。さらに、式（Ｂ１６）で表される同期フェーザ振幅の計算結果と同期フェーザ位相角φ₁の計算結果とを前述の式（Ｃ７）に代入することによって、同期フェーザ実数部および虚数部を計算することができる。

［ゲージ電圧群中心角の計算式（平均化計算法による）］
上記したゲージ電圧群中心角φ₀の計算式（Ｃ４）および（Ｄ４）の両方を用いて両者の平均を計算することによって、次式（Ｄ５）で表されるゲージ電圧群中心角φ₀の計算式が得られる。

上式（Ｄ５）では、ｔａｎ関数とｃｏｔ関数に対称性がある。このため、ゲージ回転位相角αとしてリアルタイム周波数に対応するものでなく、定格周波数に対応するものを用いることができる。定格周波数に対応するゲージ回転位相角αを用いると誤差が生じるが、この誤差の多くはｔａｎ関数とｃｏｔ関数の対称性によって打ち消されるからである。たとえば、定格周波数に対応するゲージ回転位相角αとしてα＝９０°を採用すれば、ｔａｎ（α／２）およびｃｏｔ（α／２）はそれぞれ１になるので計算過程を大幅に簡略化することができる。

さらに、現時点の同期フェーザ位相角φ₁は、上式（Ｄ５）のゲージ電圧群中心角φ₀と式（Ｂ１３）で計算されるゲージ回転位相角αとを用いて、前述の式（Ｃ５）に従って計算することができる。さらに、式（Ｂ１６）で表される同期フェーザ振幅の計算結果と同期フェーザ位相角φ₁の計算結果とを前述の式（Ｃ７）に代入することによって、同期フェーザ実数部および虚数部を計算することができる。

［最小二乗法による同期フェーザ実数部および虚数部の推定計算］
以下、最小二乗法を用いてゲージ電圧群による同期フェーザの推定値を計算する手法について説明する。まず、背景となる問題点について説明する。

入力電圧信号が純粋な正弦波の場合には、異なるスケール（ゲージ回転位相角α）を用いてもゲージ電圧群による同期フェーザの計算結果として同じ解析解が得られる。しかしながら現実の波形には、電圧フリッカの影響によって対称性の破れが生じたり（交流でなくなる）、ホワイトノイズ（高調波成分）が存在したりする。このため、ゲージ電圧群による同期フェーザの計算結果に誤差が生じる。

そこで、高調波成分の影響を低減するため、ゲージ電圧群による同期フェーザを最小二乗法用いて推定する演算手法を提案する。この手法の特徴は、推定演算に必要な入力値として、時系列の電圧瞬時値データと電力系統周波数とが必要であり、その他の入力値を必要としない点である。これらの入力値に基づいて、同期フェーザの実数部、虚数部、振幅、および位相角を求めることができる。一般に、電力系統周波数は定格周波数（５０Ｈｚ或いは６０Ｈｚ）近辺で変動しているため、近似的には定格周波数を利用して同期フェーザを推定することができる。

ただし、この手法は、前述したようなゲージ電圧群中心角φ₀を用いて同期フェーザを導出する方法に比べてやや計算量が多くなる。いずれの方法によって同期フェーザを計算すべきかについては、信号処理装置の性能に応じて選択するのが望ましい。以下、具体的な計算式について説明する。

図９は、最小二乗法による同期フェーザ実数部および虚数部の推定計算について説明するための図である（ゲージ電圧群を用いた場合）。図９に示すように、現時刻ｔにおける同期フェーザｖ₁（ｔ）の位相角をφとし、振幅をＶとすると、現時刻の同期フェーザｖ₁（ｔ）の実数部ｖ_re（ｖ_re11とも記載する）および虚数部ｖ_imは以下の式（Ｅ１）で表される。

さらに、現時刻ｔからデータ収集サンプリング周期Ｔ₁だけ前の同期フェーザｖ₁（ｔ−Ｔ₁）の実数部をｖ_re12とする。以下同様に、現時点よりも周期Ｔ₁×（ｎ−１）（ｎは２以上の整数）だけ前の同期フェーザｖ₁（ｔ−（ｎ−１）Ｔ₁）の実数部をｖ_re1nとする。そうすると、実数部ｖ_re11，ｖ_re12，…，ｖ_re1nの値は次式（Ｅ２）で表される。

上式（Ｅ２）において、α₁はデータ取集サンプリング周期Ｔ₁に対応する位相角であり、次式（Ｅ３）で表される。さらに、データ取集サンプリング周期Ｔ₁は、次式（Ｅ４）に示すようにデータ取集サンプリング周波数ｆ₁の逆数で与えられる。

また、上式（Ｅ３）のｆは実測された電力系統基本波周波数である。近似的には基本波周波数ｆは定格周波数として与えることができる。より正確には、電圧瞬時値データを用いて前述の式（Ｂ７）、（Ｂ１３）、および（Ｂ１４）に従って計算した実周波数を移動平均処理によって平均化した値が、基本波周波数ｆとして用いられる。
次に、上式（Ｅ２）の各等式の左辺を展開すると次式（Ｅ５）が得られる。

上式（Ｅ５）を行列表示に書き直して、［ｃｏｓφ，ｓｉｎφ］^Tについて解き（“Ｔ”は転置行列を表す）、上式（Ｅ１）の右辺に代入すると、下式（Ｅ６）が得られる（“−１”は逆行列を表す）。下式（Ｅ６）の係数行列Ａは下式（Ｅ７）で与えられる。

時系列の電圧瞬時値データｖ_re11，ｖ_re12，…，ｖ_re1nとデータ取集サンプリング周期Ｔ₁に対応する位相角α₁（実周波数ｆに基づく）とを上式（Ｅ６）および（Ｅ７）に代入することによって、現時点ｔの電圧フェーザｖ₁（ｔ）の実数部ｖ_reおよび虚数部ｖ_imの推定値を求めることができる。さらに、算出された実数部ｖ_reおよび虚数部ｖ_imの推定値から同期フェーザ振幅Ｖと同期フェーザ位相角φとが、次式（Ｅ８）および（Ｅ９）に従ってそれぞれ求められる。

［複素平面上のゲージ差分電圧群について］
次に、ゲージ差分電圧群を用いた計算手法について説明する。

図１０は、複素平面上のゲージ差分電圧群について説明するための図である。図１０を参照して、ゲージ差分電圧群は、時系列的に連続する３つの差分電圧回転ベクトルｖ₂（ｔ），ｖ₂（ｔ−Ｔ），ｖ₂（ｔ−２Ｔ）によって構成される。この３つの差分電圧回転ベクトルｖ₂（ｔ），ｖ₂（ｔ−Ｔ），ｖ₂（ｔ−２Ｔ）は、ゲージサンプリング周波数ｆ_Sで抽出された、時系列的に連続した４つの電圧回転ベクトルｖ₁（ｔ），ｖ₁（ｔ−Ｔ），ｖ₁（ｔ−２Ｔ），ｖ₁（ｔ−３Ｔ）の隣接する２点間の差分を算出することによって得られる。具体的に、複素平面上の３つの差分電圧回転ベクトルは次式（Ｆ１）で表すことができる。次式（Ｆ１）において、Ｖは交流電圧振幅、Ｔはゲージサンプリング周期である。上記の位相角φ₀をゲージ差分電圧群中心角と称する。位相角φ₀の意味については後述する。

次に、新しい不変量としてゲージ差分電圧群中心ベクトルｖ₂₀（ｔ）を導入する。ゲージ差分電圧群中心ベクトルｖ₂₀（ｔ）は次式（Ｆ２）で定義される。

上式（Ｆ２）において、ゲージ差分電圧群中心角φ₀はゲージ差分電圧群中心ベクトルｖ₂₀（ｔ）の瞬時位相角である。位相角φ₀の取り得る値は−１８０度から＋１８０度までである。図１０において、ゲージ差分電圧群中心ベクトルｖ₂₀（ｔ）は、ゲージ差分電圧群の基となる４つの電圧回転ベクトルｖ₁（ｔ），ｖ₁（ｔ−Ｔ），ｖ₁（ｔ−２Ｔ），ｖ₁（ｔ−３Ｔ）の鏡映対称軸上に位置する。

［ゲージ差分電圧群の鏡映対称性について］
図１１は、ゲージ差分電圧群の鏡映対称性について説明するための図である。図１１（Ａ）において鏡映対称性（reflection symmetry）について説明し、図１１（Ｂ）において群表を示す。

図１１（Ａ）を参照して、電圧回転ベクトルＯＡ、電圧回転ベクトルＯＢ、電圧回転ベクトルＯＣ、および電圧回転ベクトルＯＤの全体を構造体ＯＡＢＣＤと呼ぶことにする。構造体ＯＡＢＣＤは対称軸ＲＳＡに関する鏡映操作σによって構造体ＯＤＣＢＡに移動する。すなわち、鏡映操作σによって電圧回転ベクトルＯＡと電圧回転ベクトルＯＤとが入れ替わり、電圧回転ベクトルＯＢと電圧回転ベクトルＯＣとが入れ替わる。

上記の鏡映操作σと恒等操作ｅ（何の移動もしない）とは図１１（Ｂ）および次表９に示すように群をなす。表９の群表は、ゲージ電圧群に関する表２と同じである。

すなわち、次式（Ｆ３）に示すように、ゲージ差分電圧群に関して恒等操作ｅと鏡映操作σとによって群Ｇが構成される。

［ゲージ差分電圧群のベクトル乗積表の構築］
以下、ゲージ差分電圧群の乗積表、加算表および減算表を用いて、ゲージ差分電圧群の具体的な不変量を導き、さらにこの不変量を用いて同期フェーザの諸量を求める方法を説明する。まず、次の表１０にゲージ差分電圧群のベクトル乗積表を示す。

ゲージ差分電圧群のベクトル乗積表は、ゲージ差分電圧群の不変量を調べるために、ゲージ差分電圧群を構成する各差分電圧ベクトル同士の乗積を計算したものである。上記のベクトル乗積表に示されている差分電圧回転ベクトルｖ₂は複素数の状態変数である。表１０において“×”は掛け算を行うことを示している。上記のゲージ差分電圧群のベクトル乗積表の各乗積の計算結果は次式（Ｆ４）で表される。

上式（Ｆ４）の各等式の右辺の計算を行うと、以下の式（Ｆ５）の結果が得られる。

図１２は、ゲージ差分電圧群のベクトル乗積空間図である。図５では表１０の各乗積ベクトルが複素平面上に図示されている。図１２のベクトル乗積空間図を利用することによって、交流正弦波に内在する対称性が明瞭になる。図１０に示すゲージ差分電圧群を構成する差分電圧回転ベクトルｖ₂の角周波数をωとすると、図１２の各乗積ベクトルは角周波数２ωで反時計回りに回転する回転ベクトルである。

［ゲージ差分電圧群の実数乗積表の構築］
次に、ゲージ差分電圧群を構成する差分電圧回転ベクトルｖ₂（ｔ）、ｖ₂（ｔ−Ｔ）、ｖ₂（ｔ−２Ｔ）の電圧瞬時値をそれぞれｖ₂₁、ｖ₂₂、ｖ₂₃とする。これらの電圧瞬時値を用いて作成した、表１０のベクトル乗積表に対応する実数乗積表を以下の表１１に示す。

差分電圧回転ベクトルの電圧瞬時値を実数部で表すものとすれば、ゲージ差分電圧群を構成する差分電圧回転ベクトルｖ₂（ｔ）、ｖ₂（ｔ−Ｔ）、ｖ₂（ｔ−２Ｔ）の電圧瞬時値ｖ₂₁、ｖ₂₂、ｖ₂₃は次式（Ｆ６）で表される。次式（Ｆ６）においてＲｅは複素数の実数部を表す。

さらに、上記の表１０のゲージ差分電圧群の実数乗積表の各乗積の値は、上式（Ｆ６）を用いると次式（Ｆ７）のように表される。

以下、上記の式（Ｆ７）に示すゲージ差分電圧群の実数乗積表の各乗積の計算結果を利用して、ゲージ差分電圧群の不変量の計算式を示す。さらに、ゲージ差分電圧群中心ベクトルｖ₂₀（ｔ）の位相角φ₀の具体的な表式を示す。

［ゲージ差分電圧群の周波数係数の計算］
ゲージ差分電圧群の周波数係数（cosα）は、次式（Ｆ８）によって与えられる。実数乗積表の関連する乗積値を用いることによって次式（Ｆ８）を導出することができる。

［ゲージ差分電圧群の対称性指標］
上記の周波数係数を利用して、ゲージ差分電圧群の対称性指標として以下の式（Ｆ９）が定義される。次式（Ｆ９）は、入力電圧（電力系統から検出された時系列の電圧瞬時値）が交流であるか否かの指標となる。

上式（Ｆ９）が満たされているとき、差分電圧回転ベクトルｖ₂（ｔ）、ｖ₂（ｔ−Ｔ）、ｖ₂（ｔ−２Ｔ）によって交流対称群を構築することができない。このようにゲージ差分電圧群の対称性が破れている場合には、その時点の電圧瞬時値を用いて同期フェーザを計算することができないので代わりに仮想同期フェーザを計算する。仮想同期フェーザの計算方法は、ゲージ電圧群について説明した図６および式（Ｂ９）〜（Ｂ１２）の場合と同様であるので説明を繰り返さない。一方、上式（Ｆ９）が満たされていない場合には、入力電圧は交流であると判断されるので、現時点の電圧瞬時値を用いて同期フェーザの計算を行う。

［ゲージ回転位相角の計算］
ゲージ回転位相角αは、次式（Ｆ１０）に示すように、前述の式（Ｆ８）の周波数係数の計算結果を用いて計算することができる。なお、高調波成分の影響を低減するため、一般に、複数の時刻でのゲージ電圧群からそれぞれ算出された周波数係数およびゲージ回転位相角の移動平均処理が行われる。

［系統周波数の計算］
系統周波数ｆは、ゲージ回転位相角αと系統周波数ｆとの双対関係を表す基本式（Ａ８）から計算することができ、具体的には以下の式（Ｆ１１）に従って求められる。なお、高調波成分の影響を低減するため、一般に、複数の時刻でのゲージ電圧群からそれぞれ算出された系統周波数の移動平均処理が行われる。

［ゲージ差分電圧群の同期フェーザ振幅の計算］
ゲージ差分電圧Ｖ_gdは次式（Ｆ１２）の１行目で定義される。さらに、式（Ｆ１２）では実数乗積表に基づく式（Ｆ７）を代入することによって得られる最終的なゲージ差分電圧Ｖ_gdの表式が示されている。

上式（Ｆ１２）のゲージ差分電圧Ｖ_gdの定義式と周波数係数ｆ_Cを表す式（Ｆ８）とを用いることによって、ゲージ差分電圧群に基づく同期フェーザ振幅Ｖの計算式は次の式（Ｆ１３）によって与えられる。なお、高調波成分の影響を低減するため、一般的に、複数の時刻でのゲージ差分電圧群からそれぞれ算出された同期フェーザ振幅Ｖの移動平均処理が行われる。

［ゲージ差分電圧群中心角の計算式（ゲージ差分電圧群乗積表に基づく）］
前述の式（Ｆ７）の第４番目の等式から、ゲージ差分電圧中心角φ₀は次式（Ｆ１４）によって計算することができる。次式（Ｆ１４）中の同期フェーザ振幅Ｖの値は上式（Ｆ１３）によって与えられる。

実際のゲージ差分電圧群中心角φ₀は複素平面上で−１８０度から＋１８０度まで変化し、ゲージ差分電圧群中心ベクトルは常に反時計まわりで回転している。これに対して、上式（Ｆ１４）では逆正弦関数が用いられているため、ゲージ差分電圧群中心角φ₀は、−９０度から＋９０度へ反時計まわり変化し、その後＋９０度から−９０度へ順時計まわり変化する。すなわち、交代的に反時計まわり、順時計まわりに変化する。このような問題が存在しているため、ゲージ差分電圧群中心角φ₀の計算には、後述するような逆正接関数を用いた計算式（Ｇ５）または（Ｈ５）または（Ｈ６）を利用するのが望ましい。

［ゲージ差分電圧群のベクトル加算表の構築］
対称性を利用して上記とは別の方法でゲージ差分電圧群中心角φ₀を計算するため、以下の表１２に示すゲージ差分電圧群のベクトル加算表を構築する。

ゲージ差分電圧群のベクトル加算表は、ゲージ差分電圧群を構成する各差分電圧ベクトル同士を加算したものである。上記のベクトル加算表に示されている差分電圧回転ベクトルｖ₂は複素数の状態変数である。上表において“＋”は加算を行うことを示している。上記のベクトル加算表の各加算結果は次式（Ｇ１）で表される。

上式（Ｇ１）の各等式の右辺の計算を行うと、以下の式（Ｇ２）の結果が得られる。

図１３は、ゲージ差分電圧群のベクトル加算空間図である。図１３では表１２の各加算ベクトルが複素平面上に図示されている。図１３のベクトル加算空間図を利用することによって、交流正弦波に内在する対称性が明瞭になる。ベクトル加算空間では各加算ベクトルはωの角速度で反時計回りに回転する。

［ゲージ差分電圧群の実数加算表の構築］
次に、表１３に示すように、ゲージ差分電圧群を構成する電圧回転ベクトルｖ₂（ｔ）、ｖ₂（ｔ−Ｔ）、ｖ₂（ｔ−２Ｔ）の各電圧瞬時値ｖ₂₁、ｖ₂₂、ｖ₂₃を用いてゲージ差分電圧群の実数加算表を作成する。

差分電圧回転ベクトルの実数部瞬時値ｖ₂₁、ｖ₂₂、ｖ₂₃は、前述の式（Ｆ６）で表されるので、上記の実数加算表１３の各加算値は以下の式（Ｇ３）のように表される。

［ゲージ差分電圧群中心角の計算式（ゲージ差分電圧群加算表による）］
次に、上記のゲージ差分電圧群の実数加算表の各加算結果を利用して、ゲージ差分電圧群中心角φ₀を計算する方法について説明する。具体的には、上式（Ｇ３）によって次式（Ｇ４）が成立するので、ゲージ差分電圧群中心角φ₀は次式（Ｇ４）を変形することによって次式（Ｇ５）のように表される。

上式（Ｇ５）のゲージ差分電圧群中心角φ₀の計算結果は、実際のゲージ差分電圧群と同様に複素平面上で−１８０度から＋１８０度まで変化し、常に反時計まわりで回転している。なお、ゲージ差分電圧群の場合には、逆正接関数の計算結果は実のゲージ差分電圧群中心角より１８０度遅れることに注意する。このため、上式（Ｇ５）ではπが加算されている。

図１０を参照すると、現時点の同期フェーザ位相角φ₁は、上式（Ｇ５）のゲージ差分電圧群中心角φ₀と式（Ｆ１０）で計算されるゲージ回転位相角αとを用いて、次式（Ｇ６）に従って計算することができる。

［ゲージ差分電圧群による同期フェーザの計算式］
同期フェーザｖ₁（ｔ）の定義は次式（Ｇ７）で与えられ、同期フェーザの実数部ｖ_reおよび虚数部ｖ_imは次式（Ｇ８）で与えられる。次式（Ｇ７）および（Ｇ８）において、Ｖは同期フェーザ振幅であり、φ₁は現時点の同期フェーザ位相角である。

［ゲージ差分電圧群のベクトル減算表の構築］
上述したベクトル乗算表およびベクトル加算表とは別の方法で対称性を利用してゲージ差分電圧群中心角φ₀を計算するため、以下の表１４に示すゲージ差分電圧群のベクトル減算表を構築する。

ゲージ差分電圧群のベクトル減算表は、ゲージ差分電圧群を構成する各電圧回転ベクトル同士を減算したものである。上記のベクトル減算表に示されている電圧回転ベクトルｖ₂は複素数の状態変数である。上表において“−”は減算を行うことを示している。上記のベクトル減算表の各減算結果は次式（Ｈ１）で表される。

上式（Ｈ１）の各等式の右辺の計算を行うと、以下の式（Ｈ２）の結果が得られる。

図１４は、ゲージ差分電圧群のベクトル減算空間図である。図１４では表１４の各減算ベクトルが複素平面上に図示されている。図１４のベクトル減算空間図を利用することによって、交流正弦波に内在する対称性が明瞭になる。ベクトル減算空間では各減算ベクトルはωの角速度で反時計回りに回転する。

［ゲージ差分電圧群の実数減算表の構築］
次に、表１５に示すように、ゲージ差分電圧群を構成する電圧回転ベクトルｖ₂（ｔ）、ｖ₂（ｔ−Ｔ）、ｖ₂（ｔ−２Ｔ）の各電圧瞬時値ｖ₂₁、ｖ₂₂、ｖ₂₃を用いてゲージ差分電圧群の実数減算表を作成する。

この明細書では電圧瞬時値を実数部で表すものとしているので、上記の実数減算表の各減算値は次式（Ｈ３）のように表される。

［ゲージ差分電圧群中心角の計算式（ゲージ差分電圧群減算表による）］
次に、上記のゲージ差分電圧群の実数減算表の各減算結果を利用して、ゲージ差分電圧群中心角φ₀を計算する方法について説明する。具体的には、上式（Ｈ３）によって次式（Ｈ４）が成立するので、ゲージ差分電圧群中心角φ₀は次式（Ｈ４）を変形することによって次式（Ｈ５）のように表される。

上式（Ｈ５）のゲージ差分電圧群中心角φ₀の計算結果は、実際のゲージ差分電圧群と同様に複素平面上で−１８０度から＋１８０度まで変化し、常に反時計まわりで回転している。なお、ゲージ差分電圧群の場合には、逆正接関数の計算結果は実のゲージ差分電圧群中心角より１８０度遅れることに注意する。このため、上式（Ｈ５）ではπが加算されている。

図１０を参照すると、現時点の同期フェーザ位相角φ₁は、上式（Ｈ５）のゲージ差分電圧群中心角φ₀と式（Ｆ１０）で計算されるゲージ回転位相角αとを用いて、前述の式（Ｇ６）に従って計算することができる。さらに、式（Ｆ１３）で表される同期フェーザ振幅の計算結果と同期フェーザ位相角φ₁の計算結果とを前述の式（Ｇ８）に代入することによって、同期フェーザ実数部および虚数部を計算することができる。

［ゲージ差分電圧群中心角の計算式（平均化計算法による）］
上記したゲージ差分電圧群中心角φ₀の計算式（Ｇ５）および（Ｈ５）の両方を用いて両者の平均を計算することによって、次式（Ｈ６）で表されるゲージ差分電圧群中心角φ₀の計算式が得られる。

上式（Ｈ６）では、ｔａｎ関数とｃｏｔ関数に対称性がある。このため、ゲージ回転位相角αとしてリアルタイム周波数に対応するものでなく、定格周波数に対応するものを用いることができる。定格周波数に対応するゲージ差分回転位相角αを用いると誤差が生じるが、この誤差の多くはｔａｎ関数とｃｏｔ関数の対称性によって打ち消されるからである。たとえば、定格周波数に対応するゲージ差分回転位相角αとしてα＝９０°を採用すれば、ｔａｎ（α／２）およびｃｏｔ（α／２）はそれぞれ１になるので計算過程を大幅に簡略化することができる。

さらに、現時点の同期フェーザ位相角φ₁は、上式（Ｈ６）のゲージ差分電圧群中心角φ₀と式（Ｆ１０）で計算されるゲージ回転位相角αとを用いて、前述の式（Ｇ６）に従って計算することができる。さらに、式（Ｆ１３）で表される同期フェーザ振幅の計算結果と同期フェーザ位相角φ₁の計算結果とを前述の式（Ｇ８）に代入することによって、同期フェーザ実数部および虚数部を計算することができる。

［最小二乗法による同期フェーザ実数部および虚数部の推定計算］
以下、最小二乗法を用いてゲージ差分電圧群による同期フェーザの推定値を計算する手法について説明する。まず、背景となる問題点および本手法の特徴は、ゲージ電圧群の場合と同様である。高調波成分の影響を低減するため、ゲージ差分電圧群による同期フェーザを最小二乗法用いて推定演算する。以下、具体的な計算式について説明する。

図１５は、最小二乗法による同期フェーザ実数部および虚数部の推定計算について説明するための図である（ゲージ差分電圧群を用いた場合）。図１５に示すように、現時刻ｔにおける同期フェーザｖ₁（ｔ）の位相角をφとし、振幅をＶとすると、現時刻の同期フェーザｖ₁（ｔ）の実数部ｖ_reおよび虚数部ｖ_imは以下の式（Ｉ１）で表される。

さらに、現時刻ｔの差分同期フェーザｖ₂（ｔ）の実数部ｖ_re21とし、現時刻ｔからデータ収集サンプリング周期Ｔ₁だけ前の差分同期フェーザｖ₂（ｔ−Ｔ₁）の実数部をｖ_re22とする。以下同様に、現時点よりも周期Ｔ₁×（ｎ−１）（ｎは２以上の整数）だけ前の差分同期フェーザｖ₂（ｔ−（ｎ−１）Ｔ₁）の実数部をｖ_re2nとする。そうすると、差分同期フェーザの実数部ｖ_re21，ｖ_re22，…，ｖ_re2nの値は次式（I２）で表される。

上式（Ｉ２）において、α₁はデータ取集サンプリング周期Ｔ₁に対応する位相角であり、次式（Ｉ３）で表される。さらに、データ取集サンプリング周期Ｔ₁は、次式（Ｉ４）に示すようにデータ取集サンプリング周波数ｆ₁の逆数で与えられる。

また、上式（Ｉ３）のｆは実測された電力系統基本波周波数である。近似的には、基本波周波数ｆとして定格周波数を与えることができる。より正確には、電圧瞬時値データを用いて前述の式（Ｆ８）、（Ｆ１０）、および（Ｆ１１）に従って計算した実周波数を移動平均処理によって平均化した値が、基本波周波数ｆとして用いられる。
次に、上式（Ｉ２）の各等式の左辺を展開すると次式（Ｉ５）が得られる。

上式（Ｉ５）を行列表示に書き直して、［ｃｏｓφ，ｓｉｎφ］^Tについて解き（“Ｔ”は転置行列を表す）、上式（Ｉ１）の右辺に代入すると、下式（Ｉ６）が得られる（“−１”は逆行列を表す）。下式（Ｉ６）の係数行列Ａは下式（Ｉ７）で与えられる。

時系列の電圧瞬時値データに基づく差分同期フェーザの瞬時値ｖ_re21，ｖ_re22，…，ｖ_re2nとデータ取集サンプリング周期Ｔ₁に対応する位相角α₁（実周波数ｆに基づく）とを上式（Ｉ６）および（Ｉ７）に代入することによって、現時点ｔの電圧フェーザｖ₁（ｔ）の実数部ｖ_reおよび虚数部ｖ_imの推定値を求めることができる。さらに、算出された実数部ｖ_reおよび虚数部ｖ_imの推定値から同期フェーザ振幅Ｖと同期フェーザ位相角φとが、次式（Ｉ８）および（Ｉ９）に従ってそれぞれ求められる。

［電力およびインピーダンスの計算式］
上記のいずれか計算方法で得られた電圧の同期フェーザ実数部ｖ_reおよび同期フェーザ虚数部ｖ_imと、同様の計算によって得られる電流の同期フェーザ実数部ｉ_reおよび同期フェーザ虚数部ｉ_imとを用いて、電力とインピーダンスを計算する方法について説明する。以下の説明において、電圧同期フェーザおよび電流同期フェーザを次式（Ｊ１）のように定義する。

有効電力Ｐおよび無効電力Ｑは、定義により次式（Ｊ２）のように求められる。以下の式において、上付きの「＊」は複素共役を表し、Re{…}は実数部を表し、Im{…}は虚数部を表す。

上式（Ｊ１）の電圧同期フェーザｖ(t)および電流同期フェーザｉ(t)の定義式から、インピーダンスＺは次式（Ｊ３）によって計算することができ、抵抗分Ｒおよびリアクタンス分Ｘは次式（Ｊ４）によって計算することができる。

［空間同期フェーザの定義と計算式］
この明細書において空間同期フェーザとは、同時刻における二つのノード間の同期フェーザ位相角、もしくは、同時刻における第１ノードの同期フェーザと第２ノードの同期フェーザとの位相差として定義される。空間同期フェーザと各ノードのリアルタイム周波数とを利用して、電力系統安定度を監視するシステムを構築することができる。空間同期フェーザの取り得る値は−１８０度から＋１８０度の間にある。以下、図面を参照して空間同期フェーザの計算方法について説明する。

図１６は、複素平面上の空間同期フェーザについて説明するための図である。同時刻における、ノード１の電圧同期フェーザｖ₁(ｔ)およびノード２の電圧同期フェーザｖ₂(ｔ)が次式（Ｋ１）のように与えられるものとする。次式（Ｋ１）において、Ｖ₁、Ｖ₂は同期フェーザ振幅である。一般に、電力系統の負荷と発電量は常に変動しているために、同時刻におけるノード１の角周波数ω₁とノード２の角周波数ω₂とは微妙に異なるものとなっている。

余弦定理によれば、ノード１とノード２との間の位相差である空間同期フェーザφ_SP(ｔ)は次式（Ｋ２）で与えられる。次式（Ｋ２）において、Ｖ₁₂はノード１とノード２との間の差分同期フェーザ振幅であり、ピタゴラスの定理によりその２乗は次式（Ｋ３）で与えられる。すなわち、空間同期フェーザφ_SP(ｔ)は、電力系統の第１ノードおよび第２ノードの各々において同一サンプリング時刻に測定した電気量（電圧または電流）のフェーザ表示の実数部および虚数部の値と、余弦定理とを用いることによって計算される。次式（Ｋ２）および（Ｋ３）の定義によれば、空間同期フェーザφ_SP(ｔ)の取り得る値は、０度から＋１８０度である。

上記の計算方法と異なり、ノード１の同期フェーザ位相角φ₁とノード２の同期フェーザ位相角φ₂との差によって、空間同期フェーザを定義することも可能である（実際、本願発明者による特許文献１ではそのような定義が用いられている）。しかしながら、φ₁とφ₂との位相差として定義するよりも上式（Ｋ２）によって空間同期フェーザを計算した方が、誤差が少なく安定的に空間同期フェーザを求めることができる。

［時間同期フェーザの定義と計算式］
この明細書において、時間同期フェーザは、現時点より指定期間Ｔ_TPだけ前の時点から現時点までの間に同期フェーザが実際に回転した位相角の積算値として定義される。したがって、時間同期フェーザが取り得る値は０より大きい値（正数）である。

図１７は、複素平面上の時間同期フェーザについて説明するための図である。図１７を参照して、時間同期フェーザφ_TP(t)は、次式（Ｋ４）によって定義される。次式（Ｋ４）において、φ(t)は現時点の同期フェーザ位相角、φ(t−Ｔ_TP)は現時点よりも指定期間Ｔ_TPだけ前の時点の同期フェーザ位相角、Ｎ_TPは、指定期間Ｔ_TP内に同期フェーザが回転するサイクル数である。

指定期間Ｔ_TPは、次式（Ｋ５）に示すように、データ収集サンプリング周期Ｔ₁の正の整数倍で表される。この正の整数をゲージサンプリング点数Ｎ_gと称する。

図１８は、時間同期フェーザに対応するサイクル数Ｎ_TPとゲージサンプリング点数Ｎ_gとの関係を示す図である。図１８を参照して、データ収集サンプリング周波数を４０００Ｈｚとし、系統周波数を６０Ｈｚとしている。理論上は、図１８の全てのゲージサンプリング点数Ｎ_gについて、実測された同期フェーザ位相角の差分（すなわち、φ(t)−φ(t−Ｔ_TP)）とサイクル数Ｎ_TPとによって、時間同期フェーザφ_TPを計算することができるはずである。しかしながら、周波数が変動しているとき測定点も変動するために、サイクル数Ｎ_TPにずれが生じる場合がある。そこで、電力系統の定格周波数に対応して、図１８の階段状のステップの中間点（図１８の点Ａ，Ｂ，Ｃ）近傍でサイクル数を決定することが望ましい。表１６は、時間同期フェーザのゲージサンプリング点数Ｎ_gとサイクル数Ｎ_TPとの関係を示す表である。

図１９は、同期フェーザ位相角と経過時間との関係を示す図である。図１９を参照して、同期フェーザ位相角は、−１８０度から＋１８０度の間で変化する。一方、時間同期フェーザは正の実数であり、時間経過とともに増加する。サイクル数Ｎ_TPが異なれば、同じ同期フェーザ位相角φ(t)，φ(t−Ｔ_TP)に対して異なる時間同期フェーザφ_TPが得られる。図１９の場合、サイクル数Ｎ_TPは２であり、時間同期フェーザφ_TPは、φ(t)−φ(t−Ｔ_TP)＋4πで与えられる。

［入力波形の直流成分の計算方法］
図２０は、入力波形の直流成分の計算方法について説明するための図である。図２０には、複素平面上で直流電流成分ｉ_DCがある場合のゲージ電流群ｉ₁(t)、ｉ₁（ｔ−Ｔ）、およびｉ₁（t−２Ｔ）が示されている。図２０において、Ｉは電流振幅、αはゲージ回転位相角である。以下、直流電流成分の計算方法について説明するが、直流電圧成分の計算方法も同様である。

図２０を参照して、電流フェーザｉ₁(t)、ｉ₁（ｔ−Ｔ）、ｉ₁（t−２Ｔ）の瞬時値ｉ₁₁、ｉ₁₂、ｉ₁₃は以下の式（Ｌ１）で表される。

上式（Ｌ１）の瞬時位相角φを消去するように変形することによって、次の直流電流成分ｉ_DCの表式（Ｌ２）が得られる。

上式（Ｌ２）において、周波数係数ｆ_Cおよび電流振幅Ｉは、ゲージ差分同期フェーザ群を用いて、すなわち、前述の（Ｆ８）および（Ｆ１３）に従って（ただし、電圧を電流に置き換えることによって）計算される。差分同期フェーザは、時系列順に隣接する回転ベクトル同士の差を計算したものであるので、直流成分が除去されているからである。

［アクティブフィルタの出力電圧の計算式］
以下、アクティブフィルタの例として、入力の電気信号から基本波以外のすべての高調波成分と直流成分との合計値を取り出すフィルタについて説明する。ｖ_L（ｔ）を入力電圧瞬時値、ｖ_{re_es}（ｔ）を現時点の基本波出力の予測値（同期フェーザ実数部ｖ_re（ｔ）の予測値）とすると、アクティブフィルタの出力電圧ｖ_AF（ｔ）は、次式（Ｌ３）で表される。

前ステップ（現時刻ｔよりもデータ収集サンプリング周期Ｔ₁だけ前）における同期フェーザ振幅Ｖ（ｔ−Ｔ₁）および同期フェーザ位相角φ（ｔ−Ｔ₁）を用い、データ収集サンプリング周期Ｔ₁に対応する位相角をα₁とする。この場合、現時点の基本波出力の予測値ｖ_{re_es}（ｔ）は、次式（Ｌ４）で与えられる。

上式（Ｌ４）に示す基本波出力予測値を用いることによって、位相遅れ無しにアクティブフィルタを実現することができる。

＜第１の実施形態＞
第１の実施形態では、電力系統１５０に設けられた信号処理装置としての同期フェーザ測定装置１００の構成および動作について説明する。上記で説明したように、ゲージ同期フェーザ群とゲージ差分同期フェーザ群とのどちらを用いても、同期フェーザの実数部、虚数部、位相角、振幅を算出することができる。しかしながら、後者のほうが、対称群を構成する全ての要素が差分ベクトルであるため、入力信号の直流成分の測定結果に対する影響を大幅に低減することができる。このため、以下の同期フェーザ測定装置１００は、ゲージ差分同期フェーザ群を利用している。

［同期フェーザ測定装置の構成］
図２１は、同期フェーザ測定装置の構成を示すブロック図である。以下では、電圧同期フェーザの測定を主に説明するが、電流同期フェーザの測定についても同様に行うことができる。図２１を参照して、同期フェーザ測定装置１００は、電圧瞬時値データ入力手段１０１と、演算処理手段１２０と、同期フェーザ送信手段１１１，１１２と、インターフェース手段１１３と、記憶手段１１４とを備える。

電圧瞬時値データ入力手段１０１は、電圧変成器ＰＴと接続され、電力系統１５０から電圧情報を連続的に取得する。取得された電圧情報は、内蔵のＡ／Ｄ変換器によってデジタル信号変換され、最終的にデータ収集サンプリング周期Ｔ₁ごとの時系列の電圧データが得られる。

演算処理手段１２０は、主としてＣＰＵ（Central Processing Unit）によって構成され、記憶手段１１４に格納されたプログラムに従って動作することによって、各種の演算処理を行う。機能的にみると、演算処理手段１２０は、対称性破れ判別手段１０２と、周波数計算手段１０３と、同期フェーザ振幅計算手段１０４と、同期フェーザ位相角計算手段１０５と、同期フェーザ位相角推定手段と、同期フェーザ実数部および虚数部計算手段１０７と、総合同期フェーザ誤差計算手段１０８と、相差角計算手段１０９と、周波数および周波数変化率計算手段１１０とを含む。これらの各手段の動作については、次図２２のフローチャートとともに説明する。

同期フェーザ送信手段１１１，１１２は、通信回線（不図示）を介して他の同期フェーザ測定装置（不図示）または電力系統監視制御システム（不図示）に対して同期フェーザの測定結果を送信する。後述するように、本開示の定義による同期フェーザを時間スタンプ付きで送信する場合（時間スタンプ付き同期フェーザ送信手段１１１）と、ＩＥＥＥ規格に従う同期フェーザを送信する場合（ＩＥＥＥ規格同期フェーザ送信手段１１２）とがある。

インターフェース手段１１３は、ユーザインターフェースまたは外部装置との間の接続のために設けられている。記憶手段１１４は、入力された電圧瞬時値データおよび上記の計算結果などを格納する。

［同期フェーザの測定手順］
図２２は、同期フェーザの測定手順を示すフローチャートである。以下、図２１および図２２を参照して、同期フェーザ測定装置１００による同期フェーザの測定手順について図面を参照して説明する。

（１．電圧瞬時値データの読み込み）
まず、電圧瞬時値データ入力手段１０１は、電圧変成器ＰＴによって電力系統１５０から電圧瞬時値を読み込む（ステップＳ１０１）。読み込まれた電圧瞬時値は、Ａ／Ｄ（Analog to Digital）変換器によってデータ収集サンプリング周期Ｔ₁ごとの時系列のデジタルデータに変換される。

（２．対称性の破れの判定）
演算処理手段１２０は、時系列のデジタルデータに基づいて、ゲージサンプリング周期Ｔごとにゲージ差分電圧群を計算する。さらに、対称性破れ判別手段１０２は、次式（Ｍ１）（前述の式（Ｆ８）と同じ）に従ってゲージ差分電圧群の周波数係数ｆ_Cを計算する。

上式（Ｍ１）において、ｖ₂₁、ｖ₂₂、ｖ₂₃は、ゲージ差分電圧群を構成する差分電圧ベクトルの瞬時値の時系列データである。対称性破れ判別手段１０２は、上式（Ｍ１）の周波数係数ｆ_Cの絶対値が１より大きい場合（すなわち、前述の式（Ｆ９）の不等式が満たされている場合）、ゲージ差分電圧群の対称性が破れていると判定し、処理をステップＳ１０６に進める（ステップＳ１０２でＹＥＳ）。そうでない場合、対称性破れ判別手段１０２は処理をステップＳ１０３に進める（ステップＳ１０２でＮＯ）。以下では、まず、周波数係数ｆ_Cの絶対値が１以下の場合（対称性が満たされている場合）について説明する。

（３．周波数、同期フェーザ振幅、同期フェーザ位相角の計算）
周波数計算手段１０３は、以下の式（Ｍ２）に従って電力系統周波数ｆを計算する（ステップＳ１０３）。式（Ｍ２）は、前述の式（Ｆ１１）に式（Ｆ１０）を代入したものである。式（Ｍ２）において、ｆ_gはゲージサンプリング周波数を表す。

さらに、周波数計算手段１０３は、以下の式（Ｍ３）に従って、周波数の移動平均ｆ_avgを計算する。次式（Ｍ３）において、Ｍは、移動平均を行う際のデータ点数（すなわち、移動平均の幅）を表す。ｆ_kは、現時点よりｋ個前のステップ（すなわち、データ収集サンプリング周期Ｔ₁のｋ倍だけ前の時点）において計算された周波数を表す。

次に、同期フェーザ振幅計算手段１０４は、次式（Ｍ４）（前述の式（Ｆ１３）と同じ）に従って同期フェーザ振幅Ｖを計算するとともに、その移動平均Ｖavgを次式（Ｍ５）に従って計算する（ステップＳ１０４）。

上式（Ｍ５）において、Ｍは、移動平均を行う際のデータ点数（すなわち、移動平均の幅）を表す。Ｖ_kは、現時点よりｋ個前のステップ（すなわち、データ収集サンプリング周期Ｔ₁のｋ倍だけ前の時点）において式（Ｍ４）に従って計算された振幅を表す。

次に、同期フェーザ位相角計算手段１０５は、次式（Ｍ６）に従って同期フェーザ位相角を計算する（ステップＳ１０５）。次式（Ｍ６）において、αはゲージ回転位相角を表す。

上式（Ｍ６）は、前述の式（Ｈ６）と式（Ｇ６）を組み合わせたものである。式（Ｈ６）に対応する部分のゲージ回転位相角α（すなわち、正接関数および余接関数の引数に用いられているα）は、計算を簡略化するために定格周波数に対応するものを用いることができる。一方、式（Ｇ６）に対応する部分のゲージ回転位相角α（すなわち、最終項３α／２）については、実測されたデータに対応するもの（実周波数ｆに対応するもの）が用いられる。

以上によって、現時刻の電圧瞬時値ｖ₁₁および差分電圧瞬時値ｖ₂₁（＝ｖ₁₁−ｖ₁₂）を用いて、系統周波数、同期フェーザ振幅、および同期フェーザ位相角が計算される。上記のステップＳ１０３，Ｓ１０４，Ｓ１０５はどの順次で実行しても構わない。

一方、ゲージ差分電圧群の対称性が破れている場合には（ステップＳ１０２でＹＥＳ）、現時刻の電圧瞬時値ｖ₁₁および差分電圧瞬時値ｖ₂₁を用いることができない。そこで、この場合の系統周波数および同期フェーザ振幅については、前ステップ（現時刻ｔよりもデータ収集サンプリング周期Ｔ₁だけ前の時点）の値をラッチして（保持して）、そのラッチされた値を現時刻ｔにおいても使用する（ステップＳ１０６）。式で表すと、以下の式（Ｍ７）および式（Ｍ８）に従って現時刻ｔの系統周波数ｆ（ｔ）および同期フェーザ振幅Ｖ（ｔ）が決定される。

ゲージ差分電圧群の対称性が破れている場合、同期フェーザ位相角φ₁（ｔ）は、前ステップの位相角φ₁（ｔ−Ｔ₁）にデータ収集サンプリング周期Ｔ₁に対応するサンプリング位相角α₁を加算することによって推定することができる（ステップＳ１０７）。式で表すと以下の式（Ｍ９）で与えられる。

上式（Ｍ９）において、サンプリング位相角α₁は、以下の式（Ｍ１０）に従って計算できる。

上式（Ｍ１０）のｆは系統周波数である。系統周波数ｆは、前述の式（Ｍ７）に示すように前ステップの値がラッチされる（系統周波数ｆが未知の場合は、定格周波数が利用される）。ｆ₁はデータ収集サンプリング周波数を表す。なお、本開示では、上記のように対称性が破れた場合に推定した現時点の同期フェーザ振幅Ｖ（ｔ）および同期フェーザ位相角φ₁（ｔ）を、仮想同期フェーザ振幅および仮想同期フェーザ位相角と称する。

（４．同期フェーザ実数部および虚数部の計算）
以上の手順によって、現時点の系統周波数、同期フェーザ振幅、および同期フェーザ位相角（対称性が破れている場合にはこれらの推定値）が得られた後、同期フェーザ実数部および虚数部計算手段１０７は、次式（Ｍ１１）に従って同期フェーザ実数部および虚数部を算出する（ステップＳ１０８）。

上式（Ｍ１１）は、前述の式（Ｇ８）において同期フェーザ振幅Ｖを、その移動平均値Ｖ_avgで置き換えたものである。同期フェーザ振幅の移動平均値Ｖ_avgは前述の式（Ｍ５）で与えられる。

（５．総合同期フェーザ誤差の計算）
次に、総合同期フェーザ誤差計算手段１０８は、次式（Ｍ１２）に従って総合同期フェーザ誤差を計算する（ステップＳ１０９）。

上式（Ｍ１２）において、Ｖ₁（ｔ）は現時点の同期フェーザ振幅であり、前述の式（Ｍ４）に従って計算される。Ｖ₀（ｔ）は同期フェーザ振幅の平均値であり、前述の式（Ｍ５）に従って計算される。総合同期フェーザ誤差ＴＳＥ（ｔ）が比較的大きな値の場合、高周波ノイズまたは電圧フリッカなどの影響が大きいことを示している。電力系統の周波数の測定精度を向上させるため、総合同期フェーザ誤差が所定値よりも大きい場合には、以下に示すようにルベーグ積分を用いて周波数および周波数変化率を計算するのが望ましい。

（６．定格周波数の仮想基準フェーザに対する相差角の計算）
次に、相差角計算手段１０９は、定格周波数で複素平面上を回転する仮想基準フェーザに対する相差角を計算する（ステップＳ１１０）。

図２３は、定格周波数の仮想基準フェーザに対する相差角の計算方法を示す概念図である。図２３（Ａ）を参照して、複素平面上を一定の速度（定格周波数ｆ₀：定格角周波数ω₀）で回転している仮想基準フェーザｖ₀（ｔ）を想定する。仮想基準フェーザｖ₀（ｔ）の振幅は１であり、初期位相角はφ₀であるとする。すなわち、仮想基準フェーザｖ₀（ω₀ｔ＋φ₀）の実数部ｖ_0re（ｔ）および虚数部ｖ_0im（ｔ）は次式（Ｍ１３）のように書き表すことができる。

現時点における同期フェーザｖ₁（ｔ）の振幅をＶ₁とし、位相角をφ₁（ｔ）とし、実数部をｖ_1reとし、虚数部をｖ_1imとする。同期フェーザｖ₁（ｔ）の相差角φ_dとは、現時点における同期フェーザｖ₁（ｔ）の位相角をφ₁（ｔ）と仮想基準フェーザｖ₀（ｔ）の位相角（ω₀ｔ＋φ₀）との位相差のことである。なお、相差角φ_dは、定格周波数で回転する仮想基準フェーザに限らず、複素平面上を任意の一定速度で回転する仮想基準フェーザに対して定義することができる。

実際の相差角φ_dは、図２３（Ａ）に示す同期フェーザｖ₁（ｔ）と仮想基準フェーザｖ₀（ｔ）とによって構成される三角形についての余弦定理を用いて規定される。具体的に、同期フェーザｖ₁（ｔ）と仮想基準フェーザｖ₀（ｔ）との差分ベクトルの長さをＶ₁₀とすると、この差分ベクトルの長さＶ₁₀は次式（Ｍ１４）によって求めることができる。

したがって、相差角φ_dは次式（Ｍ１５）で与えられる。図２１の相差角計算手段１０９は、次式（Ｍ１５）に従って、定格周波数で回転する仮想基準フェーザに対する相差角を計算する（ステップＳ１１０）。

上式（Ｍ１５）において、相差角φ_dは余弦関数の逆関数（すなわち、ａｒｃｃｏｓ）として計算されるため、その値は常に正数である。一方、相差角φ_dは−１８０度から＋１８０度の間で定義されるため、相差角φ_dの符号の判別が必要となる。具体的には、後述する式（Ｍ１８）のように、現時点の同期フェーザの位相角φ₁（ｔ）と仮想基準フェーザの初期位相角φ₁（ｔ−Ｔ_d）とを比較し、φ₁（ｔ）がφ₁（ｔ−Ｔ_d）よりも大きいとき（すなわち、実周波数が定格周波数よりも大きいとき）相差角φ_dの符号は正である。逆に、φ₁（ｔ）がφ₁（ｔ−Ｔ_d）よりも小さいとき（すなわち、実周波数が定格周波数よりも小さいとき）相差角φ_dの符号は負である。ただし、相差角が１８０度を超えて１８０＋α［度］になったときはα−１８０に変更する必要があり、相差角が−１８０度を超えて−１８０−α［度］に１８０−αに変更する必要がある（ＷＲＡＰ処理）。

次に、図２３（Ｂ）を参照して、仮想基準フェーザｖ₀（ｔ）の初期位相角φ₀の決定方法について説明する。初期位相角φ₀は、現時点ｔよりも時間Ｔ_d（指定時間と称する）だけ前において、同期フェーザｖ₁（ｔ−Ｔ_d）の位相角φ₁（ｔ−Ｔ_d）と一致するように定められる。すなわち、仮想基準フェーザｖ₀（ｔ）の初期位相角φ₀は、次式（Ｍ１６）をによって規定される。式（Ｍ１６）においてａｒｇは位相角を表す。

高調波の影響などによって、相差角φ_dの計算結果は振動している場合が多い。そこで、高調波の影響を除去するために移動平均処理が一般に用いられる。制御保護装置での必要性に応じて、複数の指定時間Ｔ_dを指定して相差角φ_dの計算を行うこともできる。たとえば、電力系統の周波数が高速に変化している場合には比較的小さな値の指定時間Ｔ_dを用いて相差角φ_dの計算が行われ、電力系統の周波数がほとんど変化していない場合には比較的大きな値の指定時間Ｔ_dを用いて相差角φ_dの計算が行われる。

図２４は、ＩＥＥＥ規格の同期フェーザの計算方法の概念図である。図２４（Ａ）を参照して、ＩＥＥＥ規格（IEEE Std C37.118.1）による同期フェーザの位相角は、定格周波数で回転する仮想基準フェーザｖ₀（ｔ）に対する同期フェーザｖ₁（ｔ）の相差角φ_d（ｔ）と基本的に同じである。同期フェーザｖ₁（ｔ）の振幅をＶ₁とすると、ＩＥＥＥ規格の同期フェーザの実効値はＶ₁／√２であり、その実数部の位相角はφ_dであり、その虚数部の位相角はφ_d−９０°である。

図２４（Ｂ）を参照して、仮想基準フェーザｖ₀（ｔ）の初期位相角の決定方法について説明する。ＩＥＥＥ規格の同期フェーザの測定報告（非特許文献１の１０〜１２頁、Table 2を参照）によれば、同期フェーザの実効値、位相角（実数部、虚数部）は１秒回にＮ回（Ｎは１以上の整数）の一定のレート（rate）で報告されなければならない。たとえば、図２４（Ｂ）では、１秒回に１０回、すなわち、１０ｆｐｓ（frame per second）の報告レートの例が示されている。１０分の１秒ごとにフレーム番号が更新される。１秒ごとの時間はＵＴＣ（協定世界時）に同期している。したがって、ＩＥＥＥ規格の同期フェーザと対応付けるために、仮想基準フェーザの初期位相角は１秒ごとに零にする［１ＰＰＳ（1 Packet Per Second）基準信号］。

（７．ルベーグ積分による周波数および周波数変化率の計算）
次に、周波数および周波数変化率計算手段１１０は、ルベーグ積分を用いて周波数および周波数変化率を計算する（ステップＳ１１１）。本実施形態では、周波数の計算では、高調波成分の影響を除去するために相差角の時間変化曲線（たとえば、図３３および図３４を参照）の面積Ｓを用いて基本周波数を計算する。以下、測定原理について説明する。

基本周波数が定格周波数ｆ₀からΔｆだけ変化しているとする。この場合、相差角の変化率ｄφ_d／ｄｔは、２π・Δｆで表される（入力信号が定格周波数ｆ₀のままで変化しないときは、相差角φ_dは０のままである）。したがって、基本周波数の変化分Δｆが一定の場合において初期状態からの経過時間をｔとすると、相差角φ_dは２π・Δｆ・ｔで表される。

図３３および図３４に示すように、指定時間Ｔ_d（図３３および図３４の例では０．５秒）ごとに相差角φdが０に初期化されるものとする。この場合、指定時間Ｔdの間の相差角曲線の積分値をＳとすると、基本周波数の変化分Δｆの絶対値｜Δｆ｜は次式（Ｍ１７）によって求めることができる。次式（Ｍ１７）において、周波数変化分Δｆは、相差角φ_dが増加している場合には正となり、相差角φ_dが減少している場合は負となる。

上式（Ｍ１７）の面積Ｓの計算において、相差角曲線は図３３および図３４に示すように、高調波成分の影響によって基本波成分が動揺し歪んでいる場合がある。さらに、系統不平衡地絡故障、系統不平衡短絡故障、送電線断線故障などによって、電圧と位相とが同時に急変する場合がある。それらの影響に起因した面積Ｓの計算誤差を低減するために、相差角曲線の面積Ｓを計算する際には、一般的なリーマン積分でなくルベーグ積分を用いることが望ましい。

ここで、リーマン積分ではｘ軸（時間軸）を複数の区間に分割することによって積分計算を行うのに対して、ルベーグ積分ではｙ軸（相差角軸）を複数の区間に分割し、各区間の長さ（時間間隔）を求めることによって積分計算を行う。ルベーグ積分を採用することによって周波数変化率リレーの誤動作を防止でき、さらには、計算結果の照合回数を減らすことができる。したがって、高速動作が可能な周波数変化率リレーを実現することができる。

上記の周波数変化分Δｆから現時点の基本周波数ｆは以下の式（Ｍ１８）によって求めることができる。次式（Ｍ１８）において、φ₁（ｔ）は現時点の同期フェーザの位相角であり、φ₁（ｔ−Ｔ_d）は、現時点よりもＴ_d時間前の同期フェーザの位相角である。

さらに、周波数変化率（ＲＯＣＯＦ：Rate of Change of Frequency）は、以下の式（Ｍ１９）に従って求めることができる。次式（Ｍ１９）において、ｆ（ｔ）は現時点の基本周波数であり、ｆ（ｔ−Ｔ_d）は現時点からＴ_d時間前の基本周波数である。

（８．時間スタンプ付き同期フェーザの送信）
同期フェーザ送信手段１１１は、本開示の定義による同期フェーザの実数部および虚数部を、協定世界時（ＵＴＣ）に基づくそれらの計測時刻の情報とともに（すなわち、タイムスタンプ付きで）遠隔の他の同期フェーザ測定装置または電力系統監視制御システムに送信する（ステップＳ１１２）。

図２５は、本開示の定義によるタイムスタンプ付き同期フェーザの概念を説明するための図である。既に説明したように、本開示による同期フェーザは、複素平面上での回転ベクトルとして定義される。電気量の時系列データに基づいて協定世界時（ＵＴＣ）を基準にした時刻ｔにおける回転ベクトルの振幅Ｖ（ｔ）と位相角φ₁（ｔ）が求められ、さらに、振幅Ｖ（ｔ）と位相角φ1（ｔ）とから実数部Ｖ_im（ｔ）および虚数部Ｖ_re（ｔ）が計算される。計算された高精度かつ高い時間分解能を有している同期フェーザを遠隔の他の同期フェーザ測定装置または電力系統監視制御システムに送信することによって、電力系統の制御保護を実現することができる。なお、上記の協定世界時はＧＰＳ衛星から取得することもできるし、ネットワーク上のＮＴＰ（Network Time Protocol）サーバ（標準時間サーバ）から取得することもできる。

（９．ＩＥＥＥ規格の同期フェーザの送信）
同期フェーザ送信手段１１２は、ＩＥＥＥ規格の同期フェーザ実数部および虚数部を算出し、算出した同期フェーザの実数部および虚数部を遠隔の他の同期フェーザ測定装置または電力系統監視制御システムに送信する（ステップＳ１１３）。図２３および図２４で説明したように、ＩＥＥＥ規格の同期フェーザの実数部Ｖ_reおよび虚数部Ｖ_imは以下の式（Ｍ２０）によって計算することができる。次式（Ｍ２０）において、Ｖは同期フェーザｖ₁（ｔ）の振幅であり、φ_dは定格周波数で回転する仮想基準フェーザｖ₀（ｔ）に対する同期フェーザｖ₁（ｔ）の相差角である。

以上のステップＳ１０１〜Ｓ１１３は、同期フェーザ測定装置１００が動作を終了するまで（ステップＳ１１４でＹＥＳとなるまで）繰り返される。

＜第２の実施形態＞
第２の実施形態では、第１の実施形態の同期フェーザ測定装置を用いて電力系統の瞬時電圧低下を検出する方法について説明する。

［第２の実施形態の課題］
データセンタなどの需要家にとっては数１０ｍ秒程度の短時間の電力系統の電圧低下であっても重大な支障をきたす。そこでこれらの需要家は、自家用発電設備を導入して正常時には電力系統に連系し、瞬時電圧低下時には自家発電系統を商用電力系統から解列する運用を行っている場合が。この場合、電力系統の電圧低下を高速に検出することが極めて重要である。

たとえば、非特許文献４（内山他２名、「自家用発電設備向け瞬時電圧低下検出手法の開発」、電気学会論文誌Ｂ、２００４年、Vol.124、No.4、p.531-536）では、３種類の電圧低下検出方法が比較検討されている。具体的に、第１の方法は、各相電圧の平均値を基準値と比較するものである。この方法は検出時間が長くかかるという問題がある。第２の方法は、各相電圧の瞬時値を基準値と比較するものである。この方法は、波形歪み、周波数変動により誤検出の恐れがある。第３の方法は、三相電圧をベクトル合成して得られる直流信号を基準値と比較するものである。この方法は、波形歪み、周波数変動の影響を受け難いが、不平衡故障時に検出時間を要するという問題がある。この文献では、第２の方法と第３の方法を組み合わせた方法を提案している。

第２の実施形態の信号処理装置は、第１の実施形態で説明したゲージ差分電圧群の計算手法を用いて、高速かつ高精度に瞬時電圧低下を検出するものである。以下、具体的に説明する。

［電圧低下量の計算法と特徴］
まず、電力系統の１相の電圧波形は次式（Ｎ１）によって表現できる。次式（Ｎ１）において、第１項ｖ_DC（ｔ）は直流成分を表し、第２項（係数Ｖ₁（ｔ））は基本波成分を表し、第３項（係数Ｖ_k（ｔ））はノイズ高調波成分を表す。

第１の実施形態で説明したゲージ差分電圧群の計算手法を用いて、現時点の基本波成分を表す同期フェーザ振幅Ｖ₁（ｔ）は次式（Ｎ２）のように計算することができる。次式（Ｎ２）において、ｖ_re（ｔ）およびｖ_im（ｔ）はそれぞれ同期フェーザ実数部および同期フェーザ虚数部である。

電圧低下量は次式（Ｎ３）のように計算できる。次式（Ｎ３）において、Ｖ₁（ｔ−Ｔ₀）は電力系統の１サイクル前の同期フェーザ振幅である。

上記の計算方法は、周波数変動および波形歪みの影響を受け難いだけでなく、単相回路をベースに計算しているため、不平衡故障も高速に相ごとの電圧低下を検出することができる。

［電圧振幅の表示］
後述する図２８および図３２に示すように、複素平面上で電圧振幅の上限値と下限値を描くことによって、瞬時電圧低下または瞬時電圧上昇が発生したときに直感的に観察することができる。このような表示方法は本開示によって初めて示されたものである。たとえば、非特許文献４の図４および図５では、電圧振幅の時間変化を示すのみである。

＜第３の実施形態＞
第３の実施形態では、本開示の方法による同期フェーザの測定をシミュレーションによって検証した例を示す。具体的にケース１では、電力系統の系統周波数が５０Ｈｚのときに実周波数５５Ｈｚの正弦波信号が入力された場合のシミュレーションを行った。ケース１のパラメータを表１７に示す。

図２６は、ケース１における電圧瞬時値と同期フェーザ振幅の測定結果とを示す図である。同期フェーザ振幅は、電圧瞬時値から前述の式（Ｍ４）および（Ｍ５）に従って計算した。図２６に示すように、電力系統の定格周波数が５０Ｈｚであるのに対して、実周波数は５５Ｈｚの異常周波数であるにもかかわらず、安定して高精度な同期フェーザ振幅（解析解）の測定結果が得られている。

図２７は、ケース１における同期フェーザ位相角の測定結果を示す図である。同期フェーザ位相角φ₁は、前述の式（Ｍ６）に従って計算した。図２７に示すように、同期フェーザ位相角は理論値に一致し、−１８０度から＋１８０度へ変化し、複素平面上において反時計まわりで回転することがわかる。このように、安定した同期フェーザ位相角を測定できることが実証できた。

図２８は、ケース１における同期フェーザの測定結果を複素平面上で示した図である。図２８では、前述の式（Ｍ１１）に従って計算した同期フェーザ実数部ｖ_reと同期フェーザ虚数部ｖ_imとを複素平面上にプロットしている。図２８に示すように同期フェーザ実数部と同期フェーザ虚数部とを同時に測定できていることがわかる。定常状態において電圧波形は円ベクトルの形をしている。併せて電圧上下値と電圧下限値も表示している。

図２９は、ケース１において定格周波数で回転する仮想基準フェーザに対する同期フェーザの相差角を測定した測定結果を示す図である。図２９では、３つの方法で同期フェーザ位相角φ₁を計算し、これに基づいて相差角φ_dを計算した。

第１の方法では、ゲージ差分電圧群の実数加算表に基づいて導出したゲージ差分電圧群中心角φ₀の計算式（Ｇ５）を用いた。そして、式（Ｇ５）で求めたゲージ差分電圧群中心角φ₀に式（Ｇ６）に従って３α／２を加算することにより（αは、ゲージ回転位相角）、同期フェーザ位相角φ₁を計算した。ここで、簡単のために式（Ｇ５）のゲージ回転位相角αには、定格周波数に対応するα＝９０°を用いた。式（Ｇ６）では実周波数に対応するゲージ回転位相角αを用いた。

第２の方法では、ゲージ差分電圧群の実数減算表に基づいて導出したゲージ差分電圧群中心角φ₀の計算式（Ｈ５）を用いた。そして、式（Ｈ５）で求めたゲージ差分電圧群中心角φ₀に式（Ｇ６）に従って３α／２を加算することにより同期フェーザ位相角φ₁を計算した。ここで、簡単のために式（Ｈ５）のゲージ回転位相角αには、定格周波数に対応するα＝９０°を用いた。式（Ｇ６）では実周波数に対応するゲージ回転位相角αを用いた。

第３の方法では、上記の式（Ｇ５）と式（Ｈ５）とを平均した式（Ｈ６）に従ってゲージ差分電圧群中心角φ₀にを計算した。そして、式（Ｈ６）で求めたゲージ差分電圧群中心角φ₀に式（Ｇ６）に従って３α／２を加算することにより同期フェーザ位相角φ₁を計算した。ここで、簡単のために式（Ｈ６）のゲージ回転位相角αには、定格周波数に対応するα＝９０°を用いた。式（Ｇ６）では実周波数に対応するゲージ回転位相角αを用いた。

図２９に示すように、実周波数が５５Ｈｚという異常周波数のため第１の方法および第２の方法で計算した相差角は振動している。しかしながら、両者の平均である第３の方法によって計算し相差角は安定していることがわかる。実際の電力系統の周波数は常に変動しているため、第３の方法によって計算するのが望ましい。図２２のフローチャートのステップＳ１０５での同期フェーザ位相角の計算では、上記の第３の方法（式（Ｍ６））を用いている。

＜第４の実施形態＞
第４の実施形態では、実測された入力データを用いて、本開示の方法による同期フェーザの測定を検証した例（ケース２）について説明する。ケース２の実測例のパラメータを表１８に示す。

図３０は、ケース２の実測例における電圧瞬時値データと同期フェーザ振幅の測定結果を示す図である。図３０には、データ収集サンプリング周波数４０００Ｈｚで３秒間の検出した実測電圧波形が示されている。電圧波形の振幅の高さが揃っていないため、このデータは豊富な高調波成分を含んでいることがわかる。このように非常に多く高調波成分が含まれていることにもかかわらず、安定して高精度な同期フェーザ振幅の計算結果が得られている。なお、同期フェーザ振幅は実測データに基づいて式（Ｍ４）および（Ｍ５）に従って計算される。

図３１は、ケース２の実測例における同期フェーザ位相角の測定結果を示す図である。
図３１では図解を容易にするため０秒から０．１秒の間において、実測データに基づく同期フェーザ位相角の計算結果が示されている。同期フェーザ位相角φ₁は、前述の式（Ｍ６）に従って計算した。図３１に示すように、同期フェーザ位相角は−１８０度から＋１８０度へ変化し、複素平面上において反時計まわりで回転することがわかる。

図３２は、ケース２の実測例における同期フェーザの測定結果を複素平面上で表示した図である。図３２では、前述の式（Ｍ１１）に従って計算した同期フェーザ実数部ｖ_reと同期フェーザ虚数部ｖ_imとを複素平面上にプロットしている。図３２に示すように、多くの高調波成分を含む実測波形を用いた場合でも、一切のフィルタ処理無しで、同期フェーザ実数部と同期フェーザ虚数部とを同時に測定できていることがわかる。定常状態において電圧波形は円ベクトルの形をしている。併せて電圧上下値と電圧下限値も表示している。

図３３は、ケース２の実測例において定格周波数で回転する仮想基準フェーザに対する同期フェーザの相差角を測定した測定結果を示す図である。図３４は、図３３の１秒から１．６秒の区間の拡大図である。図３５は、図３４の１．３９秒から１．４２秒の区間の拡大図である。

図３３および図３４を参照して、定格周波数の仮想基準フェーザに対する同期フェーザの相差角は、前述の式（Ｍ１５）に従って計算される。指定時間Ｔ_dは０．５秒に設定している。相差角の平均値は次第に増加していることから、実系統の基本波周波数は定格周波数よりも大きいことがわかる。さらに、多くの高調波成分が存在するために、相差角の測定結果が振動していることがわかる。

このように、本開示の相差角の計算結果によれば、電力系統の基本周波数（定格周波数でない異常周波数成分の基本周波数）を、高調波の電圧瞬時値波形の影響からを分離することが可能であることがわかる。さらに、図２２のフローチャートのステップＳ１１１で説明したように、指定時間の間において相差角−時間曲線を積分して面積を計算することによって定格周波数に対する基本周波数の変化分Δｆを計算することができる。図２２で説明したように、高調波成分の影響を低減し、基本波成分を確実に抽出するために、上記の面積の計算にはルベーグ積分を用いるのが望ましい。これによって、高精度かつ信頼性の高い方法で実系統の基本周波数および周波数変化率を測定することができる。

なお、電力系統に大きな擾乱があって発電機が脱調していく場合、上記に示したような定格周波数の仮想基準フェーザに対する相差角は急激に増加する。したがって、相差角を計測することによって脱調に対する電力系統の保護を効果的に行うことができる。

図３４および図３５を参照して、１．４秒の時点から、電力系統の高調波の影響によって同期フェーザ位相角の瞬時値が激しく振動していることがわかる。詳しい解析によると、１．４秒の時点からデータ収集サンプリング４０００Ｈｚの半分以上の周波数（２０００Ｈｚ以上）の高調波成分が電力系統に侵入しており、電圧フリッカが発生したことが原因であることがわかっている。この結果は、同じ実測データを本開示とは別の手法で解析した本願発明者による先願特許（特願２０１５−１９１４８０）の内容と一致している。先願特許の図３２および図３３の−０．１秒が本願の図３４および図３５の１．４秒に対応している（先願特許の図３２の横軸が−１．５秒〜１．５秒であるのに対して、本願の図３３の横軸は０秒〜３秒である）。

このように、定格周波数の仮想基準フェーザに対する同期フェーザの相差角は、高い有効角分離能を有している。さらに、このような相差角の計算によれば高調波が発生した具体的な時点を定めることができる。この点は従来の同期フェーザ測定装置では実現できない機能である。なぜなら、従来方法では時系列データをＤＦＴ（離散フーリエ変換）によって周波数領域に変換してから高調波成分の解析を行っていたためであり、したがって、従来方法では高調波成分を計算できても、どの時点で高調波成分が発生したかを定めることができない。これに対して、本開示の方法では、時間領域のままで高調波成分の解析を行うことができるので、高調波成分を含む信号の処理において有力なツールになり得ると考えられる。

図３６は、ケース２の実測例におけるＩＥＥＥ規格による同期フェーザの計算例を示す図である。ＩＥＥＥ規格の同期フェーザは、上記の相差角θ_dに基づいて前述の式（Ｍ２０）に従って計算される。図３６では同期フェーザ実数部の位相角の時間変化が示されている。実測例のデータには多くの高調波成分が存在するにもかかわらず、図３６に示されるように基本波の周波数の変化の傾向がはっきりとわかる。１０ｆｐｓの報告レートでデータを送信する場合には、０．１秒ごとにリアルタイム計測された同期フェーザ実数部および虚数部（実効値と位相角）が送信される。

図３６から基本波の周波数ｆは次式（Ｎ４）にように計算できる。次式（Ｎ４）において、ｆ₀は定格周波数であり、Δｆは定格周波数からの変化量であり、Ｔ_dは指定期間（Ｔ_d＝１秒）であり、Δθは指定期間Ｔ_dの間の位相角の変化量である。

また、１．５秒時点の位相角は１．４秒時点の位相角より小さくなっていることから、１０ｆｐｓの報告レートで送信されたＩＥＥＥ規格の同期フェーザのデータからも、電圧フリッカの存在を確認することができる。

図３７は、ケース２の実測例において式（Ｌ３）で説明したアクティブフィルタの出力電圧を示す図である。式（Ｌ３）に従って、入力電圧瞬時値ｖ_L（ｔ）と同期フェーザ実数部の予測値ｖ_{re_es}との差分がアクティブフィルタの出力ｖ_AF（ｔ）となる。図３７に示されているように、アクテッブフィルタの出力は小さい直流成分と高調波成分との合計値になる。

図３８は、ケース２の実測例における総合同期フェーザ誤差（ＴＳＥ）の測定結果を示す図である。総合同期フェーザ誤差（ＴＳＥ）は、前述の式（Ｍ１２）に従って算出される。図３８を参照して、総合同期フェーザ誤差（ＴＳＥ）の最大値は約３．３％であることがわかる。

以上のとおり、本開示による同期フェーザ測定装置によれば、時系列の電圧瞬時値データまたは電流瞬時値データを用いて、高速高精度に電圧フェーザまたは電流フェーザを計算することができる。得られた電圧フェーザまたは電流フェーザを電力系統の様々な制御保護装置に適用することができる。

＜第５の実施形態＞
第５の実施形態では、具体的な保護リレー装置の例について説明する。以下では一例として回転ベクトル変化分リレーと差動リレーの構成が示される。

［保護リレー装置の構成］
図３９は、保護リレー装置の構成を示すブロック図である。図３９を参照して、電力系統２５０を保護するための保護リレー装置２０１は、三相で電圧電流瞬時値データ入力手段と、演算処理手段２２０と、保護トリップ指令送信手段と２１６と、記憶手段２１７とを備える。

三相電圧電流瞬時値データ入力手段２０２は、三相の母線２５４の各相に設けれらた電流変成器ＰＴと接続されるともに、三相の送電線２５２の各相に設けられた電流変成器ＣＴと接続される。三相電圧電流瞬時値データ入力手段２０２は、電流変成器ＰＴによって検出された電圧信号を内蔵のＡ／Ｄ変換器によってデジタル信号に変換するとともに、電流変成器ＣＴによって検出された電流信号を内蔵のＡ／Ｄ変換器によってデジタル信号に変換する。この結果、データ収集サンプリング周期Ｔ₁ごとの時系列の電圧瞬時値データおよび電流瞬時値データが得られる。

演算処理手段２２０は、主としてＣＰＵ（Central Processing Unit）によって実現され、記憶手段２１７に格納されたプログラムに従って動作することによって、各種の演算処理を行う。機能的にみると、演算処理手段２２０は、相電圧及び相間電圧同期フェーザ計算手段２０３と、相電圧及び相間電圧同期フェーザ変化分計算手段２０４と、正相／逆相／零相電圧同期フェーザ計算手段２０５と、正相／逆相／零相電圧同期フェーザ変化分計算手段２０６と、相電流及び相間電流同期フェーザ計算手段２０７と、相電流及び相間電流同期フェーザ変化分計算手段２０８とを含む。さらに、演算処理手段２２０は、正相／逆相／零相電流同期フェーザ計算手段２０９と、正相／逆相／零相電流同期フェーザ変化分計算手段２１０と、Ａ相／Ｂ相／Ｃ相インピーダンス計算手段２１１と、Ａ相／Ｂ相／Ｃ相インピーダンス変化分計算手段２１２と、正相／逆相／零相インピーダンス計算手段２１３と、正相／逆相／零相インピーダンス変化分計算手段２１４と、保護リレー演算手段２１５とを含む。これらの各手段の動作については、次図４０のフローチャートとともに説明する。

保護トリップ指令送信手段２１６は、保護リレー演算手段２１５によって送電線２５２の事故であると判定した場合には、送電線２５２を電力系統２５０から切り離すために遮断器（不図示）にトリップ信号を送信する。

記憶手段２１７は、検出された電圧瞬時値データ、電流瞬時値データ、および上記の演算処理手段２２０による演算処理結果などを記憶する。

［保護リレー装置の動作］
図４０は、図３９の保護リレー装置の動作を示すフローチャートである。以下、図３９および図４０を参照して具体的に説明する。

（１．三相電圧電流の瞬時値データの読み込み）
まず、瞬時値データ入力手段２０２は、相電圧、相電流、相間電圧、および相間電流の瞬時値データを読み込む（ステップＳ２０１）。Ａ相／Ｂ相／Ｃ相の電圧瞬時値ｖ_Are，ｖ_Bre，ｖ_Creは、以下の式（Ｏ１）のように表される。次式（Ｏ１）において、Ｖ_A、Ｖ_B、Ｖ_CはそれぞれＡ相、Ｂ相、Ｃ相電圧の振幅を表し、φ_VA、φ_VB、φ_VCはそれぞれＡ相、Ｂ相、Ｃ相電圧の初期位相角を表す。同じように、相間電圧の瞬時値を表わすことができる。

Ａ相／Ｂ相／Ｃ相の電流瞬時値ｉ_Are，ｉ_Bre，ｉ_Creは、以下の式（Ｏ２）のように表される。次式（Ｏ２）において、Ｉ_A、Ｉ_B、Ｉ_CはそれぞれＡ相、Ｂ相、Ｃ相電流の振幅を表し、φ_IA、φ_IB、φ_ICはそれぞれＡ相、Ｂ相、Ｃ相電流の初期位相角を表す。同じように、相間電流の瞬時値を表わすことができる。

（２．相電圧および相間電圧同期フェーザの計算）
次に、相電圧および相間電圧同期フェーザ計算手段２０３は、時系列の電圧瞬時値データを用いて相電圧および相間電圧の同期フェーザを計算する（ステップＳ２０２）。Ａ相／Ｂ相／Ｃ相電圧の同期フェーザｖ_A，ｖ_B，ｖ_Cは以下の式（Ｏ３）のように表される。

上記の式（Ｏ３）において、Ａ相電圧の同期フェーザ振幅Ｖ_A、位相角φ_VA、実数部ｖ_Areおよび虚数部ｖ_Aimは以下の式（Ｏ４）ように計算される。

上式（Ｏ４）において、ｖ_A21，ｖ_A22，ｖ_A23はＡ相ゲージ差分電圧群の電圧差分瞬時値であり、αはゲージ回転位相角であり、ｆ_Cは周波数係数である。なお、Ｂ相、Ｃ相の電圧同期フェーザの振幅、位相角、実数部および虚数部は上記と同じように計算することができる。

一般に、電力系統周波数は定格周波数（５０Ｈｚ或いは６０Ｈｚ）の近辺で変動しているので、上記保護リレー装置のゲージ回転位相角と周波数係数とは定格周波数に対応するものを利用してもよい。例えば、電力系統周波数は定格周波数を利用し、ゲージ回転位相角を９０度と選定すれば、次の関係式（Ｏ５）が成立する。

上記の関係式（Ｏ５）を用いれば、Ａ相電圧の同期フェーザ振幅、位相角、実数部および虚数部は次の式（Ｏ６）ように求められる。

このように、時系列瞬時値データのみを利用して、高速、高精度に相電圧同期フェーザを計算することができる。相間電圧の同期フェーザについても同様に計算することができる。

電圧フリッカなどに起因した系統擾乱を対処するため、毎ステップにて以下の式（Ｏ７）の周波数係数に基づく判別式を計算し、対称性が破れているかどうかを判別する。

上記の式（Ｏ７）を満足している（対称性が破れた）場合、現時点の同期フェーザとして図６および式（Ｂ９）〜（Ｂ１２）で説明した仮想同期フェーザを用いる。具体的には、前ステップの同期フェーザ振幅がラッチされ、同期フェーザ位相角は前ステップの同期フェーザ位相角にデータ収集サンプリング位相角が加算される。上記の式が満足されない（対称性が破れていない）場合、上記の式（Ｏ４）または（Ｏ６）に従って同期フェーザを計算する。相間電圧の同期フェーザについても同様に計算することができる。

（３．相電圧および相間電圧同期フェーザの変化分の計算）
次に、相電圧および相間電圧同期フェーザ変化分計算手段２０４は、相電圧および相間電圧の同期フェーザの変化分を計算する（ステップＳ２０３）。Ａ相電圧の同期フェーザの変化分Δｖ_Aは以下の式（Ｏ８）のように計算される。

ここに、ｖ_A（ｔ）は現時点のＡ相電圧同期フェーザ、ｖ_A（ｔ−Ｔ₀）はＴ₀（例えば１サイクル）前の時点のＡ相電圧同期フェーザである。Ｂ相／Ｃ相電圧の同期フェーザの変化分も同様に計算することができる。Ａ相／Ｂ相／Ｃ相の相間電圧の同期フェーザの変化分も同様に計算することができる。

（４．正相／逆相／零相電圧の同期フェーザの計算）
次に、正相／逆相／零相電圧同期フェーザ計算手段２０５は、正相／逆相／零相電圧の同期フェーザを計算する（ステップＳ２０４）。零相／正相／逆相電圧の同期フェーザｖ₀，ｖ₁，ｖ₂は、Ａ相／Ｂ相／Ｃ相電圧の同期フェーザｖ_A，ｖ_B，ｖ_Cを用いて次の式（Ｏ９）ように計算される。

上式（Ｏ９）においてαは対称座標変換係数であり、本開示においてこれまでαで表してきたゲージ回転位相角とは異なる。一般的な標記に合わせるため式（Ｏ９）においても対称座標変換係数としてαを用いている。対称座標変換係数αは以下の式（Ｏ１０）のように定義される。

（５．正相／逆相／零相電圧の同期フェーザの変化分の計算）
正相／逆相／零相電圧同期フェーザ変化分計算手段２０６は、正相／逆相／零相電圧同期フェーザ変化分を計算する（ステップＳ２０５）。正相電圧の同期フェーザの変化分Δｖ₁は以下の式（Ｏ１１）のように計算される。

ここに、ｖ₁（ｔ）は現時点の正相電圧同期フェーザ、ｖ₁（ｔ−Ｔ₀）はＴ₀（例えば１サイクル）前の時点の正相電圧同期フェーザである。逆相／零相電圧の同期フェーザの変化分も同様に計算することができる。正相／逆相／零相の相間電圧の同期フェーザの変化分も同様に計算することができる。

（６．相電流および相間電流同期フェーザの計算）
各相の電流瞬時値データを用いて周波数係数を計算し、周波数係数の絶対値が１以下であり対称性が破れていない場合には、相電流および相間電流同期フェーザ計算手段２０７は、時系列の電流瞬時値データを用いて相電流および相間電流の同期フェーザを計算する（ステップＳ２０６）。Ａ相／Ｂ相／Ｃ相電流の同期フェーザｉ_A，ｉ_B，ｉ_Cは以下の式（Ｏ１２）のように表される。

上記の式（Ｏ１２）において、Ａ相電流の同期フェーザ振幅Ｉ_A、位相角φ_IA、実数部ｉ_Areおよび虚数部ｉ_Aimは以下の式（Ｏ１３）ように計算される。

上式（Ｏ１３）において、ｉ_A21，ｉ_A22，ｉ_A23はＡ相ゲージ差分電流群の電流差分瞬時値であり、αはゲージ回転位相角であり、ｆ_Cは周波数係数である。なお、Ｂ相、Ｃ相の電流同期フェーザの振幅、位相角、実数部および虚数部は上記と同じように計算することができる。相間電流の同期フェーザについても同様に計算することができる。

（７．相電流および相間電流同期フェーザの変化分の計算）
次に、相電流および相間電流同期フェーザ変化分計算手段２０８は、相電流および相間電流の同期フェーザの変化分を計算する（ステップＳ２０７）。Ａ相電流の同期フェーザの変化分Δｉ_Aは以下の式（Ｏ１４）のように計算される。

ここに、ｉ_A（ｔ）は現時点のＡ相電流同期フェーザ、ｉ_A（ｔ−Ｔ₀）はＴ₀（例えば１サイクル）前の時点のＡ相電流同期フェーザである。Ｂ相／Ｃ相電流の同期フェーザの変化分も同様に計算することができる。Ａ相／Ｂ相／Ｃ相の相間電流の同期フェーザの変化分も同様に計算することができる。

（８．正相／逆相／零相電流の同期フェーザの計算）
次に、正相／逆相／零相電流同期フェーザ計算手段２０９は、正相／逆相／零相電流の同期フェーザを計算する（ステップＳ２０８）。零相／正相／逆相電流の同期フェーザｉ₀，ｉ₁，ｉ₂は、Ａ相／Ｂ相／Ｃ相電流の同期フェーザｉ_A，ｉ_B，ｉ_Cを用いて次の式（Ｏ１５）ように計算される。次式（Ｏ１５）において、αは対称座標変換係数である。

（９．正相／逆相／零相電流の同期フェーザの変化分の計算）
正相／逆相／零相電流同期フェーザ変化分計算手段２１０は、正相／逆相／零相電流同期フェーザ変化分を計算する（ステップＳ２０９）。正相電流の同期フェーザの変化分Δｉ₁は以下の式（Ｏ１６）のように計算される。

ここに、ｉ₁（ｔ）は現時点の正相電流同期フェーザ、ｉ₁（ｔ−Ｔ₀）はＴ₀（例えば１サイクル）前の時点の正相電流同期フェーザである。逆相／零相電流の同期フェーザの変化分も同様に計算することができる。正相／逆相／零相の相間電流の同期フェーザの変化分も同様に計算することができる。

（１０．Ａ相／Ｂ相／Ｃ相のインピーダンスの計算）
次に、Ａ相／Ｂ相／Ｃ相インピーダンス計算手段２１１は、Ａ相／Ｂ相／Ｃ相の電圧同期フェーザｖ_A，ｖ_B，ｖ_Cおよび電流同期フェーザｉ_A，ｉ_B，ｉ_Cを用いてＡ相／Ｂ相／Ｃ相のインピーダンスを計算する（ステップＳ２１０）。Ａ相／Ｂ相／Ｃ相のインピーダンスＺ_A，Ｚ_B，Ｚ_Cは以下の式（Ｏ１７）のように計算される。

（１１．Ａ相／Ｂ相／Ｃ相のインピーダンスの変化分の計算）
次に、Ａ相／Ｂ相／Ｃ相インピーダンス変化分計算手段２１２は、Ａ相／Ｂ相／Ｃ相のインピーダンスの変化分を計算する（ステップＳ２１１）。Ａ相のインピーダンスの変化分ΔＺ_Aは以下の式（Ｏ１８）のように計算される。

上式（Ｏ１８）において、Δｖ_Aは現時点のＡ相電圧同期フェーザの変化分、Δｉ_Aは現時点のＡ相電流同期フェーザの変化分である。Ｂ相／Ｃ相のインピーダンスの変化分も同様に計算することができる。

（１２．正相／逆相／零相のインピーダンスの計算）
次に、正相／逆相／零相インピーダンス計算手段２１３は、零相／正相／逆相の電圧同期フェーザｖ₀，ｖ₁，ｖ₂および電流同期フェーザｉ₀，ｉ₁，ｉ₂を用いて正相／逆相／零相のインピーダンスを計算する（ステップＳ２１２）。零相／正相／逆相のインピーダンスＺ₀，Ｚ₁，Ｚ₂は以下の式（Ｏ１９）のように計算される。

（１３．正相／逆相／零相のインピーダンスの変化分の計算）
正相／逆相／零相インピーダンス変化分計算手段２１４は、正相／逆相／零相のインピーダンスの変化分を計算する（ステップＳ２１３）。正相インピーダンスの変化分ΔＺ₁は以下の式（Ｏ２０）のように計算される。

上式（Ｏ２０）において、Δｖ₁は現時点の正相電圧同期フェーザの変化分、Δｉ₁は現時点の正相電流同期フェーザの変化分である。逆相／零相のインピーダンスの変化分も同様に計算することができる。

（１４．保護リレー演算）
保護リレー演算手段２１５は、上記の電気量の計算結果を用いて様々な保護リレー演算を行う（ステップＳ２１４）。以下、具体例として距離リレー要素と差動リレー要素とを挙げる。

（１４．１ 距離リレー演算）
距離リレーは自端情報だけを用いて送電線故障の有無を判定することができる。上記した同期フェーザ変化分を用いた距離リレー演算要素は動作の高速性を有している。距離リレー要素は、故障起動時の起動電圧Ｖ_Sが故障起動電圧閾値Ｖ_SETよりも大きくなった場合に、保護区間内が故障であると判定し、保護トリップ信号を送信する。ＸＸ相間（ＸＸはＡＢ，ＢＣ，ＣＡのいずれか）の短絡故障の場合の判別式は以下の式（Ｏ２１）で表される。次式（Ｏ２１）において、Ｖ_SXXはＸＸ相間短絡故障時のの起動電圧を表し、Δｖ_XXはＸＸ相間の電圧同期フェーザの変化分を表し、Δｉ_XXはＸＸ相間の電流同期フェーザの変化分を表し、Ｚ_SETは地絡故障保護整定値（例えば送電線の８０％地点までのインピーダンス）を表し、Ｖ_SETは故障起動電圧閾値を表す。

Ｘ相（ＸはＡ，Ｂ，Ｃのいずれか）地絡故障の判別式は以下の式（Ｏ２２）で表される。次式（Ｏ２２）において、Ｖ_SXはＸ相地絡故障時の起動電電圧を表し、Δｖ_XはＸ相電圧の同期フェーザの変化分を表し、Δｉ_XはＸ相電流の同期フェーザの変化分を表し、Ｋは零相係数を表し、ΔＩ₀は零相電流の同期フェーザの変化分を表す。

（１４．２ 差動リレー要素）
差動リレー要素は、上記の自端側の電気量計算結果と、通信回線（専用ケーブル、マイクロ波搬送、または光ファイバ通信）を介して取得した他端側の保護リレー装置における電気量の計算結果とを用いて、送電線保護のための差動リレー演算を行う。たとえば、Ａ相送電線故障の判別式は、以下の式（Ｏ２３）によって表される。

上式（Ｏ２３）において、ｉ_1A（ｔ）は現時点の自端側Ａ相電流同期フェーザを表し、ｉ_2A（ｔ）は現時点の他端側Ａ相電流同期フェーザを表し、Δｖ_Aは現時点の自端側のＡ相電圧同期フェーザの変化分を表す。さらに、ｋは係数であり、Ｚ_SETは送電線のインピーダンスである。上記の計算がベクトル演算であるため、送電線の充電電流の影響を受けにくく、確実に保護区間内の故障と保護区間外の故障とを区別することができる。上式（Ｏ２３）が満たされている場合に、保護トリップ指令が送信される。Ｂ相／Ｃ相の差動リレーも同様に計算を行うことができる。

（１５．保護トリップ指令の送信）
保護トリップ指令送信手段２１６は、保護リレー演算手段２１５によって送電線２５２の故障と判別された場合には、対応する遮断器のトリップ指令を送信する（ステップＳ２１５）。

以上のステップＳ２０１〜Ｓ２０５は、保護リレー装置２０１が保護動作を終了するまで（ステップＳ２１６でＹＥＳとなるまで）繰り返される。

＜第６の実施形態＞
電力系統制御保護において、基本波成分の同期フェーザおよび直流成分以外に、高調波としてどんな成分があり、いつ発生し、どれぐらい時間存在したなどを解析するニーズがある。一般に、高調波の発生は確率的なものであると考えられる。従来の解析手法は、すでに発生した信号について事後的にフーリエ変換を用いて行うものである。

これに対して、第６の実施形態ではフーリエ変換を利用せずに、これまで説明した対称性原理に基づく信号処理手法（すなわち、ゲージ電圧（電流）群、ゲージ差分電圧（電流）群を用いた解析手法）によってリアルタイムで信号解析を行う。このメリットは、時間領域と周波数領域とを同時に解析することにより、高調波成分の時間分解能を高められる（たとえば、瞬時位相を検出できる）点にある（フーリエ変換は周波数領域の解析である）。以下、図面を参照して具体的に説明する。

図４１は、電力系統信号処理装置３００の構成を示す機能ブロック図である。図４１を参照して、入力信号として次の式（Ｐ１）に示す電力系統の電流信号（たとえば、励磁突入電流）が入力されているとする。次式（Ｐ１）において、Ｉ_DC、Ｉ₁、Ｉ₂、Ｉ₃はそれぞれ直流、基本波、第２調波、第３調波の電流振幅である。ω₁，ω₂，ω₃はそれぞれ基本波、第２調波、第３調波の角周波数である。φ₁，φ₂，φ₃はそれぞれ基本波、第２調波、第３調波の初期位相である。

まず、基本波／直流成分処理手段３０１は、既に説明したゲージ差分電流群とゲージ電流群を用いて、電流基本波同期フェーザと直流成分とを求める。電流基本波同期フェーザは、入力信号ｉ（ｔ）の時系列の瞬時値データに対してゲージ差分電流群を用いて同期フェーザを計算することによって求めることができる。直流成分は、前述の式（Ｌ２）に従って計算できる。

次に、第２調波処理手段３０２は、電流基本波同期フェーザ以外の電流成分を求める。すなわち、次式（Ｐ２）に示すように入力信号ｉ（ｔ）から電流基本波同期フェーザＩ₁・ｅｘｐ（ω₁ｔ＋φ₁）を減算することによって、第１の差分信号ｉ₂（ｔ）を計算する。したがって、第１の差分信号ｉ₂（ｔ）の瞬時値は、入力信号ｉ（ｔ）の基本波成分の実数部Ｉ₁・ｃｏｓ（ω₁ｔ＋φ₁）を、入力信号ｉ（ｔ）の瞬時値から減じたものである。この第１の差分信号ｉ₂（ｔ）に対して、ゲージ差分電流群を用いて同期フェーザ（すなわち、複素平面上で回転ベクトルの振幅と位相角）を計算することによって、第２調波同期フェーザＩ₂・ｅｘｐ（ω₂ｔ＋φ₂）を求めることができる。

次に第３調波処理手段３０３は、次式（Ｐ３）に示すように入力信号ｉ（ｔ）から電流基本波同期フェーザＩ₁・ｅｘｐ（ω₁ｔ＋φ₁）と第２調波同期フェーザＩ₂・ｅｘｐ（ω₂ｔ＋φ₂）とを減算することによって、すなわち、第１の差分信号ｉ₂（ｔ）から第２調波同期フェーザＩ₂・ｅｘｐ（ω₂ｔ＋φ₂）を減算することによって、第２の差分信号ｉ₃（ｔ）を計算する。したがって、第２の差分信号ｉ₃（ｔ）の瞬時値は、基本波成分の実数部Ｉ₁・ｃｏｓ（ω₁ｔ＋φ₁）および第２調波成分の実数部Ｉ₂・ｅｘｐ（ω₂ｔ＋φ₂）を、入力信号ｉ（ｔ）の瞬時値から減じたものである。この第２の差分信号ｉ₂（ｔ）に対して、ゲージ差分電流群を用いて同期フェーザ（すなわち、複素平面上で回転ベクトルの振幅と位相角）を計算することによって、第３調波同期フェーザＩ₃・ｅｘｐ（ω₃ｔ＋φ₃）を求めることができる。

以下、同様にして、入力信号の第ｍ−１調波成分（ｍは３以上の整数）までの高調波成分が計算されている場合に、入力信号の第ｍ調波成分を計算する第ｍ調波処理手段（第ｍ調波計算部とも称する）の動作は次のようになる。まず、第ｍ調波処理手段は、基本波成分の実数部と第２から第ｍ−１調波成分までの各高調波成分の実数部とを、入力信号の瞬時値から減算することによって第ｍ−１の差分信号の瞬時値を求める。次に、第ｍ調波処理手段は、この第ｍ−１の差分信号に対して、ゲージ差分電流群を用いて同期フェーザ（すなわち、複素平面上での回転ベクトルの振幅と位相角）を計算することによって、第ｍ調波成分としての第ｍ調波同期フェーザを求める。

＜第７の実施形態＞
第７の実施形態では、交流発電機／電動機の回転数測定装置（回転周波数測定装置とも称する）を提供する。

［第７の実施形態の課題］
交流発電機／電動機の単位時間当たりの回転数（すなわち、回転周波数）を検出することは交流発電機／電動機の動作を制御するため必要である。たとえば、電動機の単位時間当たりの回転数を検出装置は、特許第５３５３５７９号公報（特許文献５）などに開示されている。

ところで、タービン発電機のように高速回転する交流発電機／電動機の回転速度を（たとえば、定格周波数に対応する回転速度は、３０００回転／分である）、リアルタイムに測定するニーズがある。現状では、高速かつ高精度に時間を確定する装置が非常に高価なものであるため、一般にはカウンタ装置を用いたシンプルな構成の回転数測定装置が提供されている。このため十分な精度で回転数を検出することができていない。

本開示の第７の実施形態では、これまで説明した対称性原理に基づく解析手法を用いて高速かつ高精度に回転数を特定することが可能な回転数測定装置を提供する。交流発電機／電動機の回転数は電気量ではなく、回転する機器の機械量であるが、対称性原理に基づく解析手法を同様に適用することができる。

［複素平面上におけるゲージ差分回転群］
図４２は、複素平面上のゲージ差分回転群について説明するための図である。図４２を参照して、交流発電機／電動機の回転子の回転軸に垂直な平面を想定する。この平面を便宜的に複素平面で表すものとする。次に、この複素平面上に、交流発電機／電動機の回転子に同期して回転する４個の回転ベクトルｒ₁（ｔ），ｒ₁（ｔ−Ｔ_g），ｒ₁（ｔ−２Ｔ_g），ｒ₁（ｔ−３Ｔ_g）を想定する。４個の回転ベクトルは互いにゲージサンプリング周期Ｔ_gに対応する位相角αだけ隔てられているとする。そうすると、４個の回転ベクトルは次式（Ｑ１）で表される。

上式（Ｑ１）において、Ａは回転子の半径、ωは回転子の角周波数であり、αはゲージ回転位相角であり、Ｔ_gはゲージサンプリング周期である。上記の４個の回転ベクトルにより、下記の式（Ｑ２）のゲージ差分回転群を生成することができる。

ゲージ差分電圧群について対称性を検証した場合と同様に（たとえば、図１０〜図１２、表９〜表１１、式（Ｆ１）〜（Ｆ１４）を参照）、ゲージ差分回転群は鏡映対称性を有しており、ゲージ差分回転群の群表を生成することができる。さらに、ゲージ差分電圧群のベクトル乗積表を生成するとともに、ゲージ差分回転群のベクトル乗積空間図を作成することができる。具体的には、ゲージ差分電圧群の場合と同様であるので詳しい説明を繰り返さない。

ゲージ差分回転群の実数乗積表は、ゲージ差分電圧群の場合と同様に以下の表１９で表される。以下の表１９において、ゲージ差分回転群を構成する差分回転ベクトルｒ₂（ｔ）、ｒ₂（ｔ−Ｔ_g）、ｒ₂（ｔ−２Ｔ_g）の実数部をそれぞれｒ₂₁、ｒ₂₂、ｒ₂₃としている。

ゲージ差分回転群の実数部瞬時値ｒ₂₁、ｒ₂₂、ｒ₂₃は、以下の式（Ｑ３）で表される。下式（Ｑ３）において、複素数の実数部をＲｅとしている。

上記のゲージ差分電圧群の実数乗積表に基づいて、ゲージ差分回転群の周波数係数は以下の式（Ｑ４）のように計算できる。さらに、ゲージ差分回転群のゲージ回転位相角αは以下の式（Ｑ５）で表すことができる。

また、対称性原理に基づいて、下記の方程式（Ｑ６）が成立することがわかる。下式（Ｑ６）において、ｆおよびＴはそれぞれ交流発電機／電動機の回転速度（単位時間当たりの回転数）および周期であり、ｆ_gおよびＴ_gはそれぞれゲージサンプリング周波数およびゲージサンプリング周期であり、αはゲージ回転位相角である。

これまで説明してきたゲージ差分電圧群の計算では、計測された時間間隔は既知量として利用される一方で、ゲージ回転位相角αは未知数として計測時間間隔を用いて計算され、さらに計算されたゲージ回転位相角αから周波数が求められていた。これに対して、ゲージ差分回転群を利用した回転数測定装置の場合、ゲージ回転位相角αが既知量として与えられ（たとえば、下記の電磁ピックアップを利用した回転パルス検出の例では、６回のカウント数に対応する回転位相角αは９０°である）、ゲージ回転位相角αに対応する時間間隔は未知数として実測される。そして、実測された時間間隔に基づいて周波数が計算される。

対称性に関して、これまで説明したゲージ差分電圧群（ゲージ差分電流群）と同様の対称性を、上記のゲージ差分回転群も有している。ただし、上記したように、ゲージサンプリング周期が既知量であるゲージ差分電圧群の場合とは異なり、本実施形態の回転数測定装置の場合、ゲージサンプリング周期Ｔ_gは既知量ではない。そこで、１つのゲージ差分回転群において以下の式（Ｑ７）に示すようにゲージサンプリング周期Ｔ_gk（現時点の場合にｋ＝１とする）を複数の計測値の平均値として求め、平均後のゲージサンプリング周期Ｔ_gkにゲージ回転位相角αが対応しているものとする。

上式（Ｑ７）のゲージサンプリング周期Ｔ_gkの実測値とゲージ回転位相角αとから回転周波数ｆを計算することができる。具体例として、回転子表面に均等に２４個の切欠部があり、これらの切欠部の位置情報を電磁ピックアップで検出可能であるとする。ゲージ回転位相角αを９０度に設定する。切欠部のカウント数６点ごとの計測時間をＴ_gk1、Ｔ_gk2、Ｔ_gk2とし、これらの平均値をゲージサンプリング周期Ｔ_gkとする。具体的に、計測時間Ｔ_gk1は６カウント前から現時点までの経過時間に対応し、計測時間Ｔ_gk2は現時点よりも１２カウント前から６カウント前までの経過時間に対応し、計測時間Ｔ_gk3は現時点よりも１８カウント前から１２カウント前までの経過時間に対応する。さらに、ノイズの影響を低減するため、複数（Ｎ個）のゲージ差分回転群の計算結果（すなわち、上記のＴ_gk）の移動平均処理を行う。

上記例の場合において、交流発電機／電動機の回転周波数の計算式は以下の式（Ｑ８）のようになる。下式（Ｑ８）の第４項において、ゲージ回転位相角αに上記例の場合である９０°（＝π／２）を代入している。

さらに、上式（Ｑ８）において、ノイズの影響を低減するために平均後のゲージサンプリング周期Ｔ_gkについて移動平均処理を行うと次式（Ｑ９）が得られる。次式（Ｑ９）において、Ｎはゲージ差分回転群の数である。

このように、高速高精度な交流電機回転数測定装置を構築することができる。以下に装置構成図を示す。

［回転数測定装置の構成］
図４３は、交流発電機／電動機の回転数測定装置の構成を示すブロック図である。図４３を参照して、回転数測定装置（回転周波数測定装置とも称する）４０１は、所定カウント数対応時間計測手段４０２と、複数ゲージ差分回転群計算手段４０３と、回転数計算手段４０４と、データ出力手段４０５と、インターフェース４０６と、記憶手段４０７とを備える。

所定カウント数対応時間計測手段４０２は、ケーシング４５１に取り付けられた電磁ピックアップ４１２（または他の近接センサなど）からの出力信号のパルス数をカウントする。これによって、所定のカウント数（たとえば、ｐ個（ｐは２以上の整数））に対応する時間を、パルスをカウントする度に計測する。たとえば、上式（Ｑ４）のＴ_gk1、Ｔ_gk2、Ｔ_gk3は、現時点よりもｐ個前のパルス検出時、現時点よりも２×ｐ個前のパルス検出時にそれぞれ計測されたものである。

なお、電磁ピックアップ４１２などの近接センサによって、回転子４５０にとりつけられた回転板の切欠部（または、径方向の突出部）を検出することができる。切欠部は、回転板の周方向に均等に設けられている。これによって、電磁ピックアップ４１２は、回転子４５０の回転周波数に比例したパルス数のパルス信号を出力する。

複数ゲージ差分回転群計算手段４０３は、各時点ごとに、ゲージ差分回転群に基づく計算を行う。具体的には、上式（Ｑ７）に従って平均量としてのゲージサンプリング周期Ｔ_gkを求める。より一般的には、複数ゲージ差分回転群計算手段４０３は、ｐ×ｑ個前のパルス（ｐ，ｑは２以上の整数）の検出時点から現時点までの間に、所定カウント数対応時間計測手段４０２によってｐ個のパルスごとに計測された全部でｑ個の経過時間の平均値を計算する。上式（Ｑ７）の場合にはｑ＝３である。

回転数計算手段４０４（回転周波数計算手段とも称する）は、上式（Ｑ８）に従って、ゲージサンプリング周期Ｔ_gkから回転周波数ｆを計算する。回転数計算手段４０４は、さらに、上式（Ｑ５）に従って、求めたゲージサンプリング周期Ｔ_gkの移動平均を行い、最終的な回転周波数ｆを計算する。

データ出力手段４０５は、インターフェース４０６を介して、算出された回転周波数ｆを出力する。記憶手段４０７は、検出されたデータを保存する。

上記においてゲージ差分回転群を利用する理由は次のとおりである。上記と同様のアルゴリズムで、三つの回転ベクトルによりゲージ回転群を構築して、回転周波数の計算を行うこともできる。しかしながら、図４３において、電磁ピックアップ４１２によって検出する切欠部を有する円盤の中心軸と交流発電機／電動機の回転子４５０の中心軸とが一致しない場合がある。この場合に誤差が生じる。これに対して、ゲージ差分回転群の要素はすべて差分であるため、電磁ピックアップ４１２によって検出する切欠部を有する円盤の中心軸と交流電機回転子中心がずれても測定結果に影響を与えない。

今回開示された各実施形態はすべての点で例示であって制限的なものでないと考えられるべきである。この発明の範囲は上記した説明ではなくて請求の範囲によって示され、請求の範囲と均等の意味および範囲内でのすべての変更が含まれることが意図される。

１００ 同期フェーザ測定装置、１０１ 電圧瞬時値データ入力手段、１０２ 対称性破れ判別手段、１０３ 周波数計算手段、１０４ 同期フェーザ振幅計算手段、１０５ 同期フェーザ位相角計算手段、１０７ 虚数部計算手段、１０８ 総合同期フェーザ誤差計算手段、１０９ 相差角計算手段、１１０ 周波数変化率計算手段、１１１ 時間スタンプ付き同期フェーザ送信手段、１１２ ＩＥＥＥ規格同期フェーザ送信手段、１１３ インターフェース手段、１１４ 記憶手段、１２０，２２０ 演算処理手段、１５０，２５０ 電力系統、２０１ 保護リレー装置、２０２ 三相電圧電流の瞬時値データ入力手段、２０３ 相電圧および相間電圧同期フェーザ計算手段、２０４ 相電圧および相間電圧同期フェーザ変化分計算手段、２０５ 正相／逆相／零相電圧同期フェーザ計算手段、２０６ 正相／逆相／零相電圧同期フェーザ変化分計算手段、２０７ 相電流および相間電流同期フェーザ計算手段、２０８ 相電流および相間電流同期フェーザ変化分計算手段、２０９ 正相／逆相／零相電流同期フェーザ計算手段、２１０ 正相／逆相／零相電流同期フェーザ変化分計算手段、２１１ Ａ相／Ｂ相／Ｃ相インピーダンス計算手段、２１２ Ａ相／Ｂ相／Ｃ相インピーダンス変化分計算手段、２１３ 正相／逆相／零相インピーダンス計算手段、２１４ 正相／逆相／零相インピーダンス変化分計算手段、２１５ 保護リレー演算手段、２１６ 保護トリップ指令送信手段、２５２ 送電線、２５４ 母線、３００ 電力系統信号処理装置、３０１ 直流成分処理手段、３０２ 第２調波処理手段、３０３ 第３調波処理手段、４０２ 所定カウント数対応時間計測手段、４０３ 複数ゲージ差分回転群計算手段、４０４ 回転数計算手段、４０５ データ出力手段、４０６ インターフェース、４１２ 電磁ピックアップ、４５０ 回転子、４５１ ケーシング。

Claims (10)

1. 電力系統の電気量を表す入力信号を第１の周波数でサンプリングした瞬時値データが入力される入力部と、
   前記瞬時値データの中から前記第１の周波数よりも小さい第２の周波数で抽出した時系列に連続する３点の抽出データに基づいて前記電気量の振幅を計算する振幅計算部と、
   前記電気量を複素平面上の回転ベクトルとして表示したときの現時点の位相角を計算する位相角計算部とを備え、
   前記位相角計算部は、前記３点の抽出データに基づいて、前記３点の抽出データに対応する３個の回転ベクトルに対する鏡映対称軸の位相角を中心角として算出し、算出した中心角に前記第２の周波数に対応する位相角を加算することによって前記電気量の現時点の位相角を計算する、信号処理装置。
2. 電力系統の電気量を表す入力信号を第１の周波数でサンプリングした瞬時値データが入力される入力部と、
   前記瞬時値データの中から前記第１の周波数よりも小さい第２の周波数で抽出した時系列に連続する４点の抽出データに基づいて、前記４点の抽出データの隣接する２点間の差分を算出することによって時系列に連続する３点の差分データを決定し、前記３点の差分データに基づいて前記電気量の振幅を計算する振幅計算部と、
   前記電気量を複素平面上の回転ベクトルとして表示したときの現時点の位相角を計算する位相角計算部とを備え、
   前記位相角計算部は、前記３点の差分データに基づいて、前記４点の抽出データに対応する４個の回転ベクトルに対する鏡映対称軸の位相角を中心角として算出し、算出した中心角に前記第２の周波数に対応する位相角の１．５倍を加算することによって前記電気量の現時点の位相角を計算する、信号処理装置。
3. 前記電気量の現時点の位相角と前記複素平面上を定格周波数で回転する仮想回転ベクトルの位相角との差分を相差角として算出する相差角算出部と、
   算出した相差角の時間変化曲線の面積を算出することによって前記電力系統の現時点の周波数を計算する周波数計算部とさらに備える、請求項１または２に記載の信号処理装置。
4. 前記第１の周波数に対応する周期を第１の周期とし、前記第１の周波数に対応する位相角を第１の位相角としたとき、現時点よりも前記第１の周期だけ前に得られた前記電気量の振幅を現時点の振幅と推定し、現時点よりも前記第１の周期だけ前に得られた前記電気量の位相角に前記第１の位相角を加算した値を現時点の前記電気量の位相角と推定する、振幅および位相角推定部をさらに備える、請求項１〜３のいずれか１項に記載の信号処理装置。
5. 推定された現時点の振幅と推定された現時点の位相差から前記電気量を複素平面上の回転ベクトルとして表示したときの現時点の実数部を推定し、現時点の前記入力信号の瞬時値から前記推定した現時点の実数部を減算するアクティブフィルタ演算部をさらに備える、請求項４に記載の信号処理装置。
6. 現時点までの複数の時点において算出された前記電気量の振幅の平均値と、現時点の前記電気量の振幅との誤差を計算する誤差計算部をさらに備える、請求項１〜３のいずれか１項に記載の信号処理装置。
7. 現時点よりも所定期間だけ前に算出された前記電気量の振幅と、現時点の前記電気量の振幅との比を計算することによって、前記電力系統の電圧低下を検出する電圧低下検出部をさらに備える、請求項１〜３のいずれか１項に記載の信号処理装置。
8. 前記振幅計算部は、前記電力系統の電圧および電流の両方の現時点の振幅を計算し、
   前記位相角計算部は、前記電力系統の電圧および電流の両方の現時点の位相角を計算し、
   前記信号処理装置は、算出された電圧の振幅および位相角と算出された電流の振幅および位相角に基づいて保護リレー演算を行う保護リレー演算部をさらに備える、請求項１〜３のいずれか１項に記載の信号処理装置。
9. 前記入力信号の第２調波成分を計算する第２調波計算部をさらに備え、
   前記第２調波計算部は、前記入力信号の基本波成分の実数部を前記入力信号の瞬時値から減算することによって第１の差分信号の瞬時値を求め、前記第１の差分信号の振幅および位相角を計算することによって前記入力信号の第２調波成分を決定する、請求項１〜３のいずれか１項に記載の信号処理装置。
10. 前記入力信号の第ｍ−１調波成分（ｍは３以上の整数）までの高調波成分が計算されている場合に、前記入力信号の第ｍ調波成分を計算する第ｍ調波計算部をさらに備え、
    前記第ｍ調波計算部は、基本波成分の実数部と第２から第ｍ−１調波成分までの各高調波成分の実数部とを、前記入力信号の瞬時値から減算することによって第ｍ−１の差分信号の瞬時値を求め、前記第ｍ−１の差分信号の振幅および位相角を計算することによって第ｍ調波成分を決定する、請求項９に記載の信号処理装置。