JP5468726B2 - 二次元格子校正装置、二次元格子校正プログラム、記録媒体 - Google Patents

Description

本発明は、二次元格子校正装置に関する。例えば、標準計器となるアーティファクト（例えば、正方格子）のマークの位置を校正する二次元格子校正装置に関する。また、本発明は、二次元格子校正用プログラム及び当該プログラムを記録した記録媒体に関する。

例えばボールプレートやグリッドプレート等、正方格子状にマーク（測定点、ボールの中心位置等も含む）が並んだアーティファクトは、主に三次元測定機や画像測定機の校正のための標準として用いられている。従って、これらのアーティファクトは、マークの位置を十分に高精度としなければならない。

しかしながら、アーティファクトを高精度に製作することは、非常に困難である。そこで、アーティファクトを製作した後に、そのマーク位置の設計上の位置（ノミナル値）とのずれ量を測定及び計算し、校正することが行われている。ボールプレートの校正としては、例えば、反転法がある。
この手法では、ボールプレートをｘ，ｙ及びｚの各軸周りに１８０度ずつ回転させ、合計で４回測定を行うことで、連立方程式（連立式）のランクに応じた測定値を得て、校正を行う（図２３）。

しかしながら、反転法では、アーティファクトを裏面から測定可能であることが測定条件となる。したがって、裏面からの測定が困難となる場合、反転法を用いて校正を行うことが困難である。例えば、画像測定機用のアーティファクトであるグリッドプレートは、表面からの測定と裏面からの測定とで条件が変化するため、反転法では、高精度な校正を行うことができない。

和合健、米倉勇雄：ＣＭＭによるボールプレートの値付け校正、岩手県工業技術センター研究報告 第１２号（２００５）、 http://www.pref.iwate.jp/~kiri/infor/theme/2004/pdf/H16-27-cmm.pdf

本発明の目的は、アーティファクトを裏面に裏返すことなく精度良く二次元の座標値の校正を行う二次元格子校正装置、二次元格子校正用プログラム、記録媒体を提供することにある。

本発明の二次元格子校正装置は、複数のマークを平面内に有する標準校正器としてのアーティファクトの前記マークが少なくとも一部で重なる複数の測定用配置毎に当該各マークの位置を測定する測定部と、前記測定部の測定座標系と前記アーティファクトのマーク位置を特定するアーティファクト座標系との関係を前記測定用配置毎に表す座標関係式が予め設定された座標設定部と、
前記各マークの測定値に基づいてアーティファクトの座標軸を設定する条件式と前記座標関係式とを使用して前記各マークのずれ量を求める連立式を生成する連立式生成部と、前記連立式生成部にて生成された前記連立式を解く連立式演算部と、を備え、
前記アーティファクトの座標軸を設定する条件式は、前記各マークの測定値と設計値とのずれ量を最小にする条件のもとで求められる最小二乗直線式であり、この最小二乗直線を前記アーティファクトの座標軸とし、
前記座標関係式が、前記各測定用配置ｎの測定毎に異なる設置誤差として、原点のずれ量である原点誤差Ａnおよび設置回転誤差θnを含むとともに前記測定毎に異ならない誤差としてアーティファクト座標系の直角度誤差αおよび前記設計値からのずれ量δξ，δζを含み、前記最小二乗条件式が、前記設計値とずれ量とを加算した値の各平均値を最小にする条件式および前記ずれ量δξ，δζの各平均値を最小とする条件式を有し、前記連立式演算部が、当該演算部により計算されたアーティファクト座標系の直角度誤差αと、ずれ量δξ，δζとにより前記設計値を補正して、前記最小二乗直線を繰り返し算出する、
ことを特徴とする。

前記アーティファクトは、正方格子（グリットプレート）や、ボールプレートが例として挙げられる。これらの測定点を、ここではマークという。設計値（ノミナル値）は、各マークの位置の設計上の値である。各マークに補正値が定義されている際には、その補正値により補正された値を設計値としても良い。実際の位置は、設計値にずれ量を加算した値である。
最小二乗条件式には、最小二乗法を適用するための前提となる式や、最小二乗法により得られる直線を近似的に得るための算式を含む。ここでは、全部又は一部のマークのずれ量Ｄを最小とする直線を得るための条件式が、最小二乗直線となる。連立式の生成は、例えば、座標関係式を読み出し、測定値や設計値を与えることで連立式を生成する。この連立式の解法としては、正規方程式を行列の計算で解く手法や、ヤコビアン行列を得て、ＱＲ分解等をして一括して数値計算をする手法などがある。

このような構成によれば、座標設定部には、測定部の測定座標系と前記アーティファクトのマーク位置を特定するアーティファクト座標系との関係を前記測定用配置毎に表す座標関係式が予め設定されており、連立式生成部が、最小二乗条件式と、前記座標関係式とを使用して、前記各マークの実際の位置の設計値からの前記ずれ量を求める連立式を生成し、連立式演算部が、最小二乗直線を各軸とすることでずれ量Ｄの値を均質にした状態で、また、各座標間の関係と当該ずれ量とを分離した状態で、当該連立式を解くことができる。

なお、アーティファクト座標軸の座標系を設定するにあたっては、上記のように、測定値と設計値（ノミナル値）とのずれが最小になるようにしてもよいが、これに限られるものではない。
例えば、複数の測定用配置で同じアーティファクト上のマークを複数回測定しているところ、同じマークにつき複数個の測定値が得られるが、例えば、測定部が内部に備えるスケールが熱膨張等している場合には、同じマークを測定していても測定時の配置によって得られる測定値が異なってくることとなる。
そこで、このように同じマークにつき得られる複数の測定値に関し、ずれが最も少なくなるように座標軸を設定してもよい。

また、このような構成によれば、座標関係式として、設置誤差をずれ量と分離して定義することができ、さらに、連立式演算部は、アーティファクト座標の座標軸となる最小二乗直線を繰り返し算出することで、設置誤差及び測定誤差と分離されたずれ量を精度良く算出することができる。

さらに、本発明では、前記座標関係式が、前記測定毎に異ならない誤差として測定誤差ｅ、前記測定座標系の直角度誤差βおよび前記測定座標系のスケール誤差γｂを含み、前記最小二乗条件式が、前記ずれ量δξ，δζの各平均値を最小にする条件式および前記測定座標系のスケール誤差γｂで補正した測定誤差ｅの平均値を最小とする条件式を含み、前記連立式演算部が、前記測定部のスケール誤差γｂと前記測定座標系の直角度誤差βとを校正すると共に前記ずれ量δξ，δζを算出する、という構成を採用することもできる。
このような構成によれば、座標関係式として、測定部の誤差（測定誤差、直角度誤差及びスケール誤差）をずれ量と分離して定義することができ、そして、連立式演算部は、測定部の誤差と分離したずれ量を算出することができる。

本発明の二次元格子校正装置は、次の構成を採用することもできる。
すなわち、二次元格子校正装置は、複数のマークを平面内に有する標準校正器としてのアーティファクトの前記マークが少なくとも一部で重なる複数の測定用配置毎に当該各マークの位置を測定する測定部と、前記測定部の測定座標系と前記アーティファクトのマーク位置を特定するアーティファクト座標系との関係を前記測定用配置毎に表す座標関係式が予め設定された座標設定部と、
前記各マークの測定値に基づいてアーティファクトの座標軸を設定する条件式と前記座標関係式とを使用して前記各マークのずれ量を求める連立式を生成する連立式生成部と、前記連立式生成部にて生成された前記連立式を解く連立式演算部と、を備え、
前記測定部が、第１の測定用配置として、前記各座標軸と前記各マークの点列方向を揃えて前記アーティファクトを配置し、第１の測定をし、第２の測定用配置として、前記第１の測定用配置に対して重心位置を略同一として前記アーティファクトを面内にて９０度回転させて配置し、第２の測定をし、第３の測定用配置として、前記第１の測定用配置に対して重心位置を略同一として前記アーティファクトを面内にて１８０度回転させて配置し、第３の測定をし、第４の測定用配置として、前記第１の測定用配置に対して前記アーティファクトを前記マークの間隔分並進させて配置し、第４の測定をする、という構成を採用することもできる。
ここで、前記面内にて回転させた配置は、例えば、アーティファクトのマークを含む平面の法線方向に対する移動がない状態で、当該平面内でアーティファクトの中心位置を原点として所定角度回転させる配置とすると良い。マークの点列方向は、例えば正方格子であれば、マークの行の方向と、列の方向とである。
このような構成によれば、同一のマークについて、４つの測定値を得ることができる。これら４つの測定値を用いた連立方程式を解くことにより各マークについてノミナル値からのずれ量を求めることができる。

本発明の二次元格子校正装置は、次の構成を採用することもできる。
すなわち、二次元格子校正装置は、複数のマークを平面内に有する標準校正器としてのアーティファクトの前記マークが少なくとも一部で重なる複数の測定用配置毎に当該各マークの位置を測定する測定部と、前記各測定配置での測定毎の測定値ｍ、予め定められた算式および前記各マークの設計上の位置であるノミナル値Ｎを記憶した記憶部と、前記記憶部に格納された所定の測定座標での前記測定値ｍおよび前記ノミナル値Ｎを使用して当該ノミナル値Ｎから実際の値Ｌへのずれ量Ｄを所定のアーティファクト座標にて前記予め定められた算式により計算する演算部と、を備える。
そして、前記アーティファクト座標は、前記アーティファクトのノミナル値と実際の位置とのずれ量Ｄをｘ軸およびｙ軸方向にてそれぞれ最小とする最小二乗直線である座標軸と、当該最小二乗直線の成す角と直角との角度差である直角度誤差αとを有する。
また、前記測定座標は、前記測定部の測定誤差ｅをｘ軸およびｙ軸方向にてそれぞれ最小とする最小二乗直線である座標軸と、当該各座標軸の成す角と直角との角度差である直角度誤差βとを有する。
この例では、さらに、前記記憶部は、測定値記憶部と、ノミナル値記憶部と、座標関係式記憶部と、最小二乗条件式記憶部とを備える。
測定値記憶部は、前記測定毎の測定値ｍを記憶する。
ノミナル値記憶部は、前記各マークの重心位置を原点として直交するｘ0軸及びｙ0軸を座標軸とするノミナル座標上において前記各マークの設計上の位置であるノミナル値Ｎを記憶する。
座標関係式記憶部は、前記アーティファクト座標における前記各マークの実際の値Ｌと前記測定座標における前記各マークの実際の値Ｇとが等しいとして当該各座標の原点の前記ノミナル座標原点からのずれ量である原点誤差Ａ、前記各座標の直角度誤差α，β、前記測定用配置の設置回転誤差θによる回転誤差Ｂ、ノミナル値Ｎ、測定誤差ｅおよび測定値ｍの関係式を座標関係式として前記測定用配置毎に記憶する。
最小二乗条件式記憶部は、前記各座標の前記各軸を最小二乗直線とするための最小二乗条件式を記憶する。
この例では、さらに、前記演算部が、前記測定毎の測定値ｍと、前記ノミナル値Ｎとを読み出して、前記座標関係式記憶部に格納された測定用配置毎の前記座標関係式に代入するとともに、前記最小二乗条件式を読み出すことで、前記測定値ｍを使用して前記各マークのノミナル値Ｎから実際の位置Ｌまでのずれ量Ｄを求める連立式を生成する連立式生成部と、この生成された前記連立式を解く連立式演算部と、を備える。

このような構成によれば、測定値ｍは、測定座標で与えられ、測定座標の座標軸は測定誤差ｅを最小とする最小二乗直線であり、その直角度誤差βで特定される。ノミナル値及びずれ量は、アーティファクト座標で与えられ、アーティファクト座標の座標軸はずれ量Ｄを最小とする最小二乗直線であり、その直角度誤差αで特定される。
座標関係式記憶部は、アーティファクト座標での前記各マークの実際の値Ｌと、前記測定座標での前記各マークの実際の値Ｇとが等しいとして、当該各座標の原点の前記ノミナル座標原点からのずれ量である原点誤差Ａと、前記各座標の直角度誤差α，β及び前記測定用配置の設置回転誤差θによる回転誤差Ｂと、ノミナル値Ｎと、測定誤差ｅと、測定値ｍとの関係式を座標関係式として前記測定用配置毎に記憶する。この座標関係式は、各測定用配置に依存しないα、β、ｅ、Ｎ及びｍと、各測定用配置に依存するＡ及びＢとを分離しつつ関連付ける算式である。
連立式生成部は、測定値とノミナル値とを座標関係式に代入することで、連立式を生成し、さらに、最小二乗条件式を読み出すことで、連立式を生成する。
連立式演算部は、この連立式を解く。この連立式を解く手法としては、最小二乗直線を先に求める手法や、正規方程式を行列の計算により求める手法や、ヤコビアン行列を求めＱＲ分解等により一括した数値計算を行う手法などがある。

この測定誤差を取り扱う二次元格子校正装置は、上述した二次元格子校正装置と同様の作用効果を奏する他、ずれ量Ｄと、測定誤差ｅと、設置誤差Ａと、直角度誤差α及びβとを分離しつつ同時に求めることができる。従って、測定毎に変化する設置誤差Ａの影響と、測定部による測定誤差ｅの影響とを分離して、アーティファクトのマーク位置のずれ量Ｄ及び直角度誤差αとを算出することができる。

本発明では、前記座標関係式記憶部が、前記回転誤差Ｂを一次で近似した座標関係式を記憶し、前記連立式生成部が、前記各座標の直角度誤差α，βと、前記設置回転誤差θとを測定用配置毎に加減算し、マーク毎のノミナル値との乗算により当該回転誤差Ｂを得る式を前記座標関係式記憶部から読み出して、各測定値ｍの式毎に当該測定値に対応するノミナル値Ｎを代入し、前記連立式演算部が、前記連立式を一次式として解くことが好ましい。
この例では、座標関係式中、二次の成分を不要として、座標関係式の全てを線形とすることができる。これにより、連立式を線形とすることができ、連立式が線形となると、不確かさの計算をすることができ、Ａ、α、β及びθの誤差がずれ量Ｄやｅにどのように伝搬しているかの誤算の伝搬を測定後に評価することもできる。

本発明では、前記連立式演算部が、前記座標関係式による連立式と、前記最小二乗条件式とを、一括して数値計算することが好ましい。
これにより、正規方程式を解くことなく、全ての連立式を一体的に数値計算することで、各変数を等しい精度で計算し、全体として連立式を解く計算の精度を向上させることができる。

また、二次元格子校正プログラムは、望ましくは、複数のマークを平面内に有する標準校正器としてのアーティファクトの前記マークが少なくとも一部で重なる複数の測定用配置毎に当該各マークの位置を測定する測定部と、この測定部と接続され、当該測定用配置毎の測定値を用いて当該マークのずれ量を計算するコンピュータとを備え、このコンピュータを、上記測定誤差を取り扱う二次元格子校正装置として機能させる。

このような構成によるプログラムをコンピュータで実行することにより、上述した二次元格子校正装置を実現し、その作用効果を奏することができる。

また、本発明による二次元格子校正プログラムを記録した記録媒体は、このプログラムを記録し、ＣＰＵに接続されるハードディスク等の補助記憶装置（記憶部）に当該プログラムのファイルをインストールするための記録媒体である。記録媒体の例としては、ＣＤやＤＶＤ等の光ディスクを挙げることができる。この例では、ＣＰＵに光ディスクドライブ（記録媒体の読取装置）を併設し、この読取装置から補助記憶装置にプログラムをインストールする。なお、プログラム又はそのファイルは、インターネット、ＬＡＮ等のネットワークを介して、有線又は無線の通信によって伝送し、ＣＰＵを含むコンピュータに供給してインストールするようにしても良い。この場合、本発明による装置を変化させることなく、処理の内容を事後的に更新することができる。
さらに、コンピュータに各機能を実現させるようにプログラムを構成したため、各手順におけるパラメーターを入力手段からの入力や、予め定めた測定の態様に応じて容易に変更することができる。

以下、本発明の実施の形態を図示するとともに図中の各要素に付した符号を参照して説明する。

（実施形態）
図１に、本実施形態による二次元格子校正装置の構成例を示す。
二次元格子校正装置１は、アーティファクト９（図２参照）のマーク１ａの少なくとも一部が重なる複数の測定用配置ｎに対応して、前記各マーク位置１ａを当該測定用配置ｎ毎に測定する測定部２と、解析部（コンピュータ）３とを備えている。
解析部３は、測定部２の測定座標系と前記アーティファクト９のマーク位置１ａを特定するアーティファクト座標系との関係を前記測定用配置ｎ毎に表す座標関係式が予め設定された座標設定部４を備えている。
座標関係式は、本実施形態では、例えば、後述する式１．５ｂから１．５ｅである。
すなわち、座標関係式は、前記各測定用配置ｎの測定毎に異なる設置誤差として、原点のずれ量である原点誤差Ａnと、設置回転誤差θnとを有し、前記測定毎に異ならない誤差として、アーティファクト座標系の直角度誤差αと、設計値（ノミナル値）Ｎ_iからのずれ量δξ，δζとを有する。

また、コンピュータである解析部３は、前記マーク１ａの測定値ｍ_{n i}に応じた実際の位置Ｌ_iが予め定められたノミナル値Ｎ_iからずれたずれ量Ｄ_i[δξ_i δζ_i]を最小とする最小二乗直線を前記アーティファクト座標の前記所定の各軸ξ，ζとする最小二乗条件式と、前記座標関係式とを使用して、前記各マーク１ａの実際の位置Ｌ_iのノミナル値Ｎ_iからの前記ずれ量Ｄ_iを求める連立式を生成する連立式生成部５と、この生成された前記連立式を解く連立式演算部６と、を備えている。
前記最小二乗条件式は、本実施形態では、例えば、式１．２ａから式１．３ｂであり、ノミナル値Ｎ_iとずれ量D_iとを加算（乗算としても良い）した値の各平均値を最小とする条件式と、前記ずれ量δξ_i，δζ_iの各平均値を最小とする条件式である。
また、連立式演算部６は、当該演算部により計算されたアーティファクト座標系の直角度誤差αと、ずれ量δξ_i，δζ_iとにより前記設計値を補正して、前記最小二乗直線を繰り返し算出するようにしても良い。

ここでは、Ｌ、Ｇ、Ｄ、Ｎ、Ｂ及びｍは、ベクトルである。
なお、文章中は、太字や矢印の付加を省略している。
また、行列[ｘ ｙ]との表記は、与えられる算式との関係では、[ｘ ｙ]^Tとなることもあるが、行列の乗算を説明するなど注意すべきもののみについて明記し、パラメーター名を説明する際には、このような表記を省略する。最小二乗条件式は、本実施形態では、式１．２ａから１．２ｃや、式１．３ａ及び１．３ｂである。

図２に、測定部２の構成例を示す。
測定部２は、アーティファクト９の各マーク１ａを撮像し画像データを出力する撮像手段２Ａを備えている。
二次元格子校正では、撮像手段２Ａの対物レンズの収差等の影響も考慮するため、撮像手段２Ａはレンズや焦点距離毎に識別すると良い。
アーティファクト９は、撮像手段２Ａの撮像面（測定面）と各マーク１ａを含む面とが平行となるように設置される。
ステージ２Ｂは、外部からの指令に応じて、アーティファクト９の重心位置で回転させたり、並進させたりする機構を有しても良い。

図３に、アーティファクトの例を示す。図３（Ａ）は、一般的に用いられているグリッドプレートやボールプレートであり、各マーク１ａは、正方格子９を校正している。図３（Ａ）等に示す例では、各マーク１ａは正方に配置されており、５×５の数であるが、これに限定されるものではない。本実施形態及び実施例での校正手法では、マークの数によらず、校正を行うことができる。

図３（Ｂ）に、特殊な目的のために同心円上にマークを配置したアーティファクト９を示す。
図４に、マークの番号の一例を示す。
ここでは、図中左上を第１番のマークとし、右下のマークを第２５番と設定している。
座標関係式では、マークの番号をｉで表す。

測定用配置ｎは、アーティファクト９を回転させつつ、撮像面にて略同一位置に別のマーク１ａが位置付けられる配置である。
図３（Ａ）に示す例では、９０度毎の回転や、図中上下左右方向への並進により、マーク１ａの一部又は全部を重ねることができる。図３（Ｂ）に示す例では、４５度の回転により重ね合わせをすることができる。この測定用配置は、連立式のランクとの関係にもよるが、マーク１ａの一部又は全部の重ね合わせができる配置とする。

例えば、正方格子の場合、第１３番のマーク１ａの近傍を重心位置として、アーティファクト９を図中反時計回りに９０度回転させると、第１番のマーク１ａがあった位置に、第２１番のマーク１ａが位置する。これにより、同一のマーク１ａについて、相互に独立した２つの測定値を得ることができる。図中、下方向に１格子分並進させると、第２番のマーク１ａがあった位置に、第１番のマーク１ａが位置する。

図５に、アーティファクト座標の一例を示す。説明のために、直交するｘ₀軸とｙ₀軸とを有するノミナル座標に重ねてアーティファクト座標を描いている。
アーティファクト座標は、前記マーク１ａの測定値ｍによる実際の位置Ｌ_iの前記ノミナル値Ｎ_iからのずれ量Ｄ_iを最小とする最小二乗直線であり、ｘ₀軸方向をξ軸、ｙ₀軸方向をζ軸とする。ξ軸とζ軸とが成す角と、直角との差がアーティファクト座標の直角度誤差αである。
図５中、黒丸は実際の位置Ｌ_iを示し、＋はノミナル値Ｎ_iを示す。
図５に示す例では、ｘ₀軸とξ軸とが重なっており、ノミナル座標軸ｘ₀，ｙ₀は直交するため、ｙ₀軸とζ軸との成す角が直角度誤差αとなっている。

式１．１ａに示すように、各マーク１ａのノミナル値をＮ_i、ずれ量をＤ_iとすると、各マークの実際の位置Ｌ_iは、式１．１ｂで示される。
この関係の一例を図６に示す。

図７に、アーティファクト座標の座標軸の一例を示す。
式１．２ａ及び１．２ｂに示すように、ずれ量δξ_i及びδζ_iには偏りがなく、それぞれの平均値は０であるとする。
そして、図７に示す例では、式１．２ｃ及び１．２ｄに示すように、ノミナル値ξ_0iと、δξ_iを加算した値ξ_iを全ての_iについて平均したものが最小値（ここでは、０）となることを最小二乗条件とする。
ζについても同様とする。算式中、＜＞は平均を示す。

図７（Ａ）に示す例では、例えば、マーク番号１のξ₁と、マーク番号５のξ₅とを加算すると、正負が相殺してｙ₀軸に近い値となる。図７に示す例では、マークの位置及び数はｙ₀軸に対して対称であるから、図７（Ａ）に示すように、ｙ₀軸に近い位置にマーク１ａが集まる。
そして、このマーク群をデータとしてζ_iの値をそのままとして、最小二乗法により最小二乗直線を求めると、図７（Ａ）に示すζ軸となる。δζ_iについても、平均により、図７（Ｂ）に示すように、ｘ₀軸に対応した最小二乗直線であるξ軸が得られる。

このように、ξ軸及びζ軸は、ずれ量δξ_i及びδζoをノミナル座標の軸ｙ₀，ｘ₀それぞれの方向の成分に分離した際の各方向一次平均線である。すなわち、「最小二乗直線」は、一次平均線である。ｙ₀軸とζ軸の角度差がα₁、ｘ₀軸とξ軸の角度差がα₂であり、ξ軸とζ軸の直角度誤差がαである。α₁とα₂を加算するとαとなる。αは、角度が小さくなる方向を正にとる。

図７（Ａ）及び（Ｂ）に示す例では、説明のために、ξ軸とζ軸との交点は、ノミナル座標の原点と同一としている。
実際には、図７（Ｃ）に誇張して示すように、ノミナル座標の原点と、アーティファクト座標の原点とには若干のずれがある場合もある。
この原点誤差をＡ_aとするとき、アーティファクト座標の座標値にＡ_aを加算すると、ノミナル座標原点からの値となる。

最小二乗条件式としては、式１．３ａ及び式１．３ｂに示すように、最小二乗条件式をベクトル表記した際の偏微分方程式としても良い。すなわち、ζ軸のｙ₀軸に対する傾き（ｔａｎα₁）及びｘ₀軸との交点（ζ_x0）の変化に対して、ずれ量δζの二乗が０となるように、当該傾き（ｔａｎα₁）と交点（ζ_x0）とを求めれば良い。この偏微分方程式は、正規方程式により行列の演算として解くことができる。なお、式１．３ｂでは、ξについて、ｘ₀軸を水平として表している。

また、図７（Ａ）及び（Ｂ）に示す例では、５×５の全てのマークのずれ量を用いてアーティファクト座標の座標軸である最小二乗直線（ξ軸及びζ軸）を求めているが、ζ軸について、第３番、第８番、第１３番、第１８番及び第２３番のδζの値を用い、ξ軸について、第１１番から第１５番の値を用いるようにしてもよい。

このアーティファクトと座標の各軸を最小二乗直線とするのは、ξ軸及びζ軸については、各δξ_i及びδζ_iをできるだけ小さくし、このずれ量Ｄを測定毎の誤差（原点誤差Ａや設置誤差θ）やアーティファクト全体の回転誤差Ｂと分離し、かつ、各ｉの測定値ｍ_ni等の桁数の差が生じないようにすることが主たる意義であるため、最小二乗直線そのものでなくとも、近似的な算式により求めても良い。
例えば、δξ_iについて多数のデータを得ていても、値の大きい方から３データを得て、この３データを直線近似することで、最小二乗直線を近似的に求めても良い。
すなわち、「最小二乗条件式」というときには、式１．２ｃ及び１．２ｄのような算式や、より簡略化した近似式を含む。
また、最小二乗法を適用するための前提となる式１．２ａ及び１．２ｂについても、ここでは、「最小二乗条件式」の一部として、最小二乗条件式に含めて解釈される。

アーティファクト座標のξ軸と、ζ軸とを、ずれ量Ｄを最小とする最小二乗直線とすることで、全てのマークについてのずれ量Ｄの値を最大限近い値とすることができる。
これにより、数値計算での桁落ち等の精度低下要因を最小とすることができる。

最小二乗直線は、ζ軸については、図７（Ａ）に示すα₁（傾き）と、図７（Ｃ）に示すζ_x0（ｘ₀軸との交点）とをパラメーターとしてノミナル座標上唯一に特定することができる。
ξ軸についても、α₂と、ξ_y0とにより特定することができる。
実際の数値計算に際しては、正規方程式を解くアプローチでは、この最小二乗直線を先に求め、その一次方程式を用いて測定値を補正等した後に、連立方程式を解くようにしてもよい。
一方、ヤコビアン行列から解くと、正規方程式を使用せずに数値計算することができ、この場合、このα等を推定対象のパラメーターとしつつ、ずれ量Ｄとαとを同時に一括して求めることができる。
この後者の数値計算では、最小二乗条件での最適化を最大限ずれ量Ｄ_iの値に影響させることができ、数値計算の精度を極めて高くすることができる。
正規方程式を解く手法でも、一括計算する手法でも、算出されたαとずれ量Ｄとによりノミナル値を補正して新たなノミナル値とした上で、再度最小二乗直線等を算出することで、より算出精度を向上させることができる。

図８及び図９に、測定用配置ｎの例を示す。
この例では、４回の測定を行う。
図中、ｘ軸とｙ軸を有する測定座標と、当該測定座標の直角度誤差βについては、後述する実施例にて説明する。
図８及び図９に示す本実施形態では、ノミナル座標のｘ₀軸と、ξ軸との成す角のうち、アーティファクト９の設置により生じる設置回転誤差をθ_nとする。

ノミナル座標の座標軸ｙ₀軸及びｘ₀軸については、通常の矢印で示し、アーティファクト座標の座標軸ξ軸及びζ軸については、１つの三角形を有する矢印で示す。なお、測定座標については２つの三角形を塗りつぶした２つの矢印で示す。
軸の名称を括弧で示すのは、参照のための平行な直線である。
点線は、ξ軸に直交する直線である。
また、図示の都合上、ノミナル座標及び測定座標の座標軸は、重心位置を通らないが、実際には、すべての座標軸はアーティファクトの重心位置近傍を通る。

図８（Ａ）に示すように、測定部２は、第１の測定用配置として、前記各座標軸と前記各マークの点列方向を揃えて配置し、第１の測定をする。点列方向は、ノミナル座標の座標軸ｘ₀，ｙ₀の方向であり、この第１の測定用配置にて、ｘ₀軸とξ軸を揃え、ｙ₀軸とζ軸とを揃える。
この配置に際しての設置回転誤差はθ₁である。
なお、αは、図８（Ａ）に示すように、図７に示す最小二乗直線ξ軸とζ軸との成す角の直角度誤差であり、θ_nとは独立している。

Ｘ₁及びＹ₁は、本実施形態では、ノミナル座標の原点と、アーティファクト座標の原点とのずれを示す。
この原点の誤差には、測定用配置ｎ＝１での設置上の誤差Ａ_sと、最小二乗直線の交点（アーティファクト座標の原点）のノミナル座標原点からのずれＡ_aとを含む。
Ｘ_n及びＹ_nと、θ_nとは、測定用配置ｎに依存して定まる。
一方、αは、測定用配置に依存せず、同一の値となる。

測定部２は、図８（Ｂ）に示すように、第２の測定用配置として、前記第１の測定用配置に対して重心位置を略同一として面内にて９０度回転させて配置し、第２の測定をする。
「面内にて回転」は、アーティファクト９の表面で各マークを含む平面と測定部２の撮像面との平行を維持しつつ、アーティファクト９を回転させるものである。
図８（Ｂ）に示す例では、アーティファクト９は、反時計回りに９０度回転されている。
このため、第１番のマーク１ａは、図８（Ａ）に示す第５番のマークの位置に移動している。
ｘ₀軸と、ξ軸とのなす角は、π／２＋θ₂となる。

測定部２は、図９（Ａ）に示すように、第３の測定用配置として、前記第１の測定用配置に対して重心位置を略同一として面内にて１８０度回転させて配置し、第３の測定をする。
この１８０度回転させた測定により、ずれ量Ｄ_iの偶数成分を分離取得することができる。
ｘ₀軸と、ξ軸とのなす角は、π＋θ₃となる。

続いて、測定部２は、図９（Ｂ）に示すように、第４の測定用配置として、前記第１の測定用配置に対して前記マークの間隔Δ分並進させて配置し、第４の測定をする。
この並進の前後で、設置に際して回転誤差が生じることがある。
このため、θ₁とθ₄は別途の変数となる。図９（Ｂ）に示す例では、図中下方向に、マーク１つ分並進させている。このため、第１番のマーク１ａは、図９（Ａ）に示す第２番のマーク位置１ａに移動する。この並進による測定では、第５番のマーク１ａの行は測定用配置１から３までの測定範囲の外側となる。連立式の立て方にもよるが、一般的には、並進により測定範囲外となる行又は列については、測定をしない。従って、１マーク間分の並進では、１行又は１列分測定値が減少する。もちろん、測定範囲を広くし全てのマークを測定するようにしても良い。

本実施形態では、このような回転及び並進により４回の測定をすることで、同一のマークについて少なくとも３つの測定値を得る。各回転に際しては、アーティファクト座標がその回転に追従して回転する。

図１０に、測定用配置１での座標関係式の各パラメーターの関係を示す。
Ａ_nは原点誤差、Ｂ_nは回転誤差、Ｎ_iはノミナル値、Ｄ_iはノミナル値から実際の位置Ｌ_iまでのずれ量、Ｇ_iは、式１．４ａに示すように、測定値ｍ_{n i}から測定誤差ｅを減算した実際の値である。

本実施形態では、測定誤差ｅは既知とする。例えば、測定値から測定誤差を除去するための補正式や補正値が既知であるとする（測定誤差ｅを同時に校正する手法は実施例として後述する）。

そして、ノミナル座標のＬ_iと、アーティファクト座標のＧ_iとが等しくなるように、その他の誤差Ａ_n及びＢ_nを加減算する。
アーティファクト座標のＧ_iは、図１０に示すように、アーティファクト座標の原点にＡ_nを加算することで、アーティファクト座標とノミナル座標との原点を等しくし、設置原点誤差Ａ_sの影響を除去し、この補正された原点からノミナル値Ｎ_iを加算し、これにθ_n及びαによる回転誤差Ｂを加算し、そして、ノミナル値Ｎ_iからのずれ量Ｄ_iを加算することで、Ｌ_i= Ｇ_iを得る。
この関係は式１．４ｂにより与えられる。

原点誤差Ａ_nには、座標間の原点の誤差Ａ_a（実施例では、さらに、Ａ_m）と、各測定用配置ｎでの設置による中心位置の差である設置原点誤差Ａ_snとを含む。
回転誤差Ｂ_nは、各測定用配置ｎでの設置による設置角度誤差θ_nと、最小二乗直線の傾きに応じたαとによる誤差であり、各測定用配置ｎ毎に求められる。
式１．４ｄに示すように、θとα（実施例では、さらに、β）を加減算した角度誤差φ_n，ψ_nに、ノミナル値Ｎ_iを掛けることで、回転誤差Ｂを得る（実際には、ノミナル値ではなく、実際の値Ｌ_i= [ξ_i ζ_i]を掛けるが、実施例で後述するように、Ｄ_iは十分に小さいため、座標関係式の展開上、ノミナル値Ｎ_iを掛けている ）。
この式１．４ｄの角度誤差φ_n，ψ_nは、測定用配置の座標関係によって予め定義することができる。
α、β（後述）は直角度誤差と定義されるが、十分小さい際には回転誤差として取り扱うことができる。

式１．５ｂに示すように、測定用配置１でのφ₁は、マイナスθ₁＋αであり、ψ₁は、θ₁である。
測定用配置２から４について、それぞれ式１．５ｃから１．５ｅに示す。
このφ及びψの詳細な導出については、実施例にて説明する。

再度図１を参照すると、座標設定部４には、座標関係式が予め設定されている。
座標関係式は、本実施形態では、式１．５ｂから１．５ｅである。設置誤差が影響する誤差は、原点誤差Ａ_nと、回転誤差Ｂ_nである。回転誤差Ｂ_nは、直角度誤差αと、設置回転誤差θ_nとを各測定用配置での座標の関係に応じて加減算した回転誤差成分φ，ψによる誤差である。

連立式生成部５は、前記マーク１ａの測定値ｍ_{n i}による実際の位置Ｇ_iの前記ノミナル値Ｎ_iからのずれ量Ｄ_iを最小とする最小二乗直線を前記アーティファクト座標の前記所定の各軸ξ，ζとする最小二乗条件式（式１．２又は１．３）と、前記座標関係式（式１．５）とを使用して、前記各マーク１ａの実際の位置Ｇ_i= Ｌ_iのノミナル値からの前記ずれ量Ｄ_iを求める連立式を生成する。

連立式生成部５は、式１．５を使用して、測定用配置１での測定値ｍ_{n i}から各測定誤差ｅとノミナル値Ｎ_iとを減算し、式１．５ｂの左辺に代入する。また、右辺第２項のＢ_nに、ノミナル値Ｎ_iを代入する。これにより、マーク１ａの数と同数の一次式を得る。同様に、測定用配置２から４についての連立式を立てる。続いて、連立式生成部５は、最小二乗条件式１．２を読み出す。
また、連立式生成部５は、ランクの調整や精度向上などの必要に応じて、各マーク間の距離Δが等しいとするような条件式などを追加的に読み出すようにしても良い。

連立式演算部５は、この連立式生成部５によって生成された連立式を解く。
本実施形態では、連立式は全て一次式であるため、一般的な行列の解法を用いて計算をすることができる。
アーティファクト座標の軸である最小二乗直線ξ及びζを特定するためのパラメーターを先に算出するようにしても良いし、この最小二乗直線の特定を含めて、正規方程式を解くことなく、ＱＲ分解等により、全てを一括して数値計算により求めるようにしても良い。

図１１及び図１２に、重心位置近傍のずれ量Ｄ_iと測定誤差ｅ_jとの関係を示す。
図中、ｊは、測定部側での位置を示す（実施例では、測定領域の番号となる）。
図１１（Ａ）は測定用配置１であり、ｊの番号と、ｉの番号とは一致する。
図１１（Ｂ）は、測定用配置２であり、測定用配置でｊ＝１７の位置にて測定したずれ量Ｄ₁₇は、ｊ＝７の位置で測定されている。
これにより、Ｄ₁₇の値（ベクトルであるずれ量）がほぼ等しいとすると、測定方向を９０度回転させて測定することができる。
一方、測定誤差ｅは、測定部側の位置ｊに依存するため、図１１（Ａ）に示すｊ＝７の位置のｅ₇と、図１１（Ｂ）に示すｊ＝７の位置のｅ₇とが等しい。
このように、回転及び並進した測定により、ｉとｊとの関係を固定化することなく、別々の組み合わせにて測定用配置毎の測定値ｍに含めることができる。
これにより、Ｄ_iとｅ_jとを完全に分離することができる。

また、同一のずれ量Ｄ_iについて、測定用配置１から４にて４回測定することができる（ｉ＝５の行は３回）。
一方、設置誤差については、原点誤差Ａ_{s n}と、設置回転誤差θ_nによる誤差とについては、それぞれの測定用配置ｎで同一となる。すなわち、特定の測定用配置ｎで測定する全てのマークの測定値に影響する。３回又は４回の冗長した測定にて、ずれ量Ｄの値を求めつつ、そのずれ量Ｄの値から、各測定用配置ｎ毎の誤差を求めることができる。逆に、各測定用配置でのｎ毎の誤差から、ずれ量Ｄを求めることができる。

そして、設置誤差のうち、実際に測定用配置毎に相違するのは、原点誤差Ａについては、Ａ_{s n}であり、回転誤差Ｂについてはθ_nのみである。すなわち、直角度誤差αや、各座標間の原点誤差Ａ_aについては、各測定用配置の設置誤差によらず一定として座標関係式を定義することができ、これにより、設置誤差Ａ_sn及びθ_nを他の誤差から良好に分離することができる。

図１２（Ａ）に示すように、好ましくは、アーティファクト９を１８０度回転させた状態で測定値ｍを得る。
これにより、ノミナル座標にて偶数成分となる誤差を良好に測定値に含めることができる。
この１８０度回転させた測定を含めることで、奇数成分のみならず、偶数成分の誤差の影響を含めた補正値（ずれ量）Ｄをマーク毎に得ることができる。

上述したように、本実施形態によると、座標関係式と、設置誤差とを分離して連立式を定義し、測定値ｍ_{n i}と測定誤差ｅ_iとノミナル値Ｎ_iとを用いて連立式を導出し、これを計算するため、設置誤差の成分を良好に除去することができる。そして、最小二乗直線を用いて実際の位置Ｇ_iの座標値を定めるため、各マークでのずれ量の大きさの差を小さくすることができ、これにより、桁落ちによる精度悪化をもたらすことなく、安定した数値計算を可能とする。
さらに、１８０度の回転を含めた４回の測定による例では、誤差の偶数成分の影響を良好に除去し、原点誤差、回転誤差、測定誤差及びずれ量を良好に分離することができる。

このように、本実施形態によると、測定時の設置誤差の影響を最小とする状態で、各マーク近傍で数値計算をすることができる。そして、アーティファクトのマークの系統誤差Ｄ_iを、アーティファクトの設置誤差を含む原点誤差Ａ_nや回転誤差Ｂ_nと分離して取得することができる。
これらにより、アーティファクトの同一平面を測定しながら、精度良い補正値を得ることができる。

（実施例）
次に、本発明による二次元格子校正装置等の実施例を説明する。
本実施例では、上述した実施形態の特徴を含む他、測定部の誤差ｅ_jと、測定座標の直角度誤差βとを同時に解くものである。

まず、本実施例で使用する用語を定義する。
（１）番号
測定番号ｎ：測定用配置（各測定）の番号。
マーク番号ｉ：アーティファクトの各マーク（例えば、正方格子）の番号。
測定領域番号ｊ：測定部の各測定領域（例えば、測定格子）の番号。

（２）座標、座標軸及び座標値
（２．１）ノミナル座標。
ノミナル座標：アーティファクト座標と測定座標を説明するための座標で、原点を通り直交するｘ₀軸及びｙ₀軸の２軸を有する。原点誤差と直角度誤差αが補正されたアーティファクト座標はノミナル座標と一致する。同様に、原点誤差と直角度誤差βが補正された測定座標はノミナル座標と一致する。
ノミナル座標軸：原点を通り直交するｘ₀軸及びｙ₀軸の２軸。
ノミナル座標原点：ｘ₀軸及びｙ₀軸の交点。
ノミナル値Ｎ_i：ノミナル座標での各マークの座標値[ξ_{0 i} ζ_{0 i}]。
ノミナル補正後座標値：アーティファクトに補正値Ｃがある際、その補正値により補正した後の各マーク位置の座標値。補正値は、例えば前回の校正によるズレ量Ｄ。

（２．２）アーティファクト座標。
アーティファクト座標：ｘ₀方向及びｙ₀方向にて各マークのノミナル値Ｎ_iと実際の位置Ｌ_iとの差（ズレ量）を最小とする最小二乗直線を軸とする座標。
アーティファクト座標軸：ｘ₀軸に対応するξ軸と、ｙ₀軸に対応するζ軸との２軸。
ξ軸及びζ軸：ノミナル座標で表した各マークの位置誤差（測定誤差を除く）を最小とする最小二乗直線（一次平均線）。
アーティファクト座標原点：各マークの点列の重心位置で、ξ軸とζ軸の交点。
直角度誤差α：ξ軸とζ軸の成す角と直角との差。角度が小さくなる方向を正とする。
実際の位置Ｌ_i：アーティファクト座標での各マークの実際の座標値[ξ_i ζ_i]。
ずれ量Ｄ：各マークの実際の座標値Ｌ_i＝[ξ_i ζ_i]とノミナル値Ｎ_i＝[ξ_0i ζ_{0 i}]との差Ｄ＝[δξ_i δζ_i]。本実施例では、アーティファクトのスケール誤差γａを含む場合もある。

（２．３）測定座標
測定座標：各マークの測定値ｍ_{n i}とその測定誤差ｅ_j（本実施例では、スケール誤差γｂを含む場合もある）とを含む各測定領域ｊの座標で、ｘ方向及びｙ方向にて各測定誤差を最小とする最小二乗直線を軸とする座標。
測定座標軸：ｘ₀軸に対応するｘ軸と、ｙ₀軸に対応するｙ軸との２軸。
ｘ軸及びｙ軸：ノミナル座標で表した測定値ｍ_{n i}の測定誤差ｅ（スケール誤差γｂを除く）を最小とする最小二乗直線（各方向の一次平均線）。
測定座標原点：測定領域の点列の重心位置で、ｘ軸とｙ軸との交点。
測定領域：各マークの測定値ｍと、測定値の測定機誤差ｅと、（ノミナル値Ｎと）を含む測定座標上のｊ個の領域。
直角度誤差β：ｘ軸とｙ軸の成す角と、直角との差。角度が小さくなる方向を正とする。
設置回転誤差θ_n ：測定座標のｘ軸とアーティファクト座標のξ軸との成す角。

（３）各座標値及びベクトル
以下、座標関係式は、式１．７である。
（３．１）原点誤差：各測定番号ｎの座標関係式の右辺第１項。
Ａ_a：アーティファクト座標からノミナル座標原点までのずれ量で、アーティファクトのマークの重心位置（正方格子座標の原点）のずれ。
Ａ_m：測定座標原点からノミナル座標原点までのズレ量で、測定領域の重心位置（測定機座標の原点）のずれ。
Ａ_{s n}：各測定用配置ｎでの設置原点誤差。
Ａ_n = [Ｘ_n，Ｙ_n]：Ａ_m＋Ａ_a＋Ａ_sで、Ｇ_i= Ｌ_i としたときの測定値ｍ_{n i}が含む原点誤差。測定値にＡ_nを加算すると、回転誤差を除いて測定値をノミナル座標での値として扱うことができる。

（３．２）回転誤差：各測定番号の座標関係式の右辺第２項。
Ｂ_n ：（α＋β＋θ_n）にノミナル値Ｎ_iを掛けた値であり、角度誤差の総和による各マークの回転誤差。

（３．３）アーティファクト座標関係：各測定番号ｉ毎の算式の右辺第３項。
Ｃ_i = [ξｃ_i，ζｃ_i]：アーティファクトの各マークの補正値（既知）。
Ｎ_i = [ξ_0i，ζ_0i]：各マークのノミナル値（既知）。
Ｄ_i = [δξ_i，δζ_i]：実際の位置と、各ノミナル値とのずれ。
Ｌ_i = [ξ_i，ζ_i]：各マークの実際の各格子位置。

（３．４）測定座標関係：各測定番号ｊ毎の算式の右辺第４項。
Ｇ_i = [ｘ_i，ｙ_i]：測定座標系での各マークの実際の位置で、測定誤差ｅの影響を除去した位置。
ｍ_ni = [ｍ_nｘ_i，ｍ_nｙ_i]：測定座標での各マークの測定値。
ｅ_j = [ｅx_i(ｘ_i，ｙ_i)，ｅy_i(ｘ_i，ｙ_i)]：測定部による測定値の誤差。

次に、図１３を参照して、本実施例の構成例を説明する。
本実施例による二次元格子校正装置１は、アーティファクト９のマーク１ａの少なくとも一部が重なる複数の測定用配置に対応して前記各マーク位置１ａを当該測定用配置毎に測定する測定部２０と、前記測定配置毎の測定値ｍ_{n i}、予め定められた算式および前記各マーク１ａのノミナル値Ｎ_iを記憶した記憶部３０と、前記記憶部３０に格納された測定値ｍ_niおよびノミナル値Ｎ_iを使用して当該ノミナル値Ｎ_iから実際の値へのずれ量Ｄを前記予め定められた算式により計算する演算部４０と、を備えている。

前記記憶部３０は、前記測定部２０の測定誤差ｅ_jを最小とする最小二乗直線が成す角と直角との差を直角度誤差βとする測定座標での前記測定配置毎の測定値ｍを記憶する測定値記憶部３０と、ノミナル座標での前記各マークのノミナル値Ｎ_iを記憶するノミナル値記憶部３２とを備えている。
ノミナル値Ｎ_i（補正値Ｃがある際には、補正値Ｃを加減算した値）は既知である。測定値ｍ_{n i}は、各測定用配置での測定完了後に既知となる。記憶する測定値ｍ_niは、直角度誤差βで補正後の値としても良いし、測定部２のそのままの測定値としても良い。

記憶部３０は、さらに、座標関係式を測定用配置ｎ毎に記憶した座標関係式記憶部３３を備えている。
座標関係式は、アーティファクト座標での各マークの実際の値Ｌと、測定座標での各マークの実際の値Ｇとが等しいとして予め導出されたものである。
アーティファクト座標は、前記アーティファクト９ａでのノミナル値Ｎ_iと実際の位置Ｌ_iとのずれ量Ｄを最小とする最小二乗直線（ξ軸及びζ軸）が成す角と直角との差を直角度誤差αとする座標である。

座標関係式は、当該各座標（アーティファクト座標と測定座標）の原点の前記ノミナル座標原点からのずれ量である原点誤差Ａ_nと、前記各座標の直角度誤差α，β及び前記測定用配置の設置回転誤差θ_nによる回転誤差Ｂ_nと、ノミナル値Ｎ_iと、測定誤差ｅ_jと、測定値ｍ_niとの関係式である。すなわち、座標関係式は、測定用配置毎に、Ａ_nと、Ｂ_nと、Ｎ_iと、ｍ_niと、ｅ_jとの関係を与える式である。

記憶部３０は、さらに、前記各座標の前記各軸を最小二乗直線とするための最小二乗条件式を記憶した最小二乗条件式記憶部３４と、未知数の数に応じて追加するランク調整式を記憶したランク調整式記憶部３５とを備えている。すなわち、記憶部３０が予め記憶した算式は、座標関係式と、最小二乗条件式と、必要なランク調整式である。

そして、前記演算部４０は、連立式生成部４１と、この連立式生成部４１によって生成される連立式を解く連立式演算部６とを備えている。連立式生成部４１は、前記測定用配置ｎ毎の各マークの測定値ｍ_niと、前記ノミナル値Ｎ_iとを読み出して、前記座標関係式記憶部３３に格納された測定用配置毎の前記座標関係式に代入するとともに、前記最小二乗条件式を読み出すことで、前記測定値ｍ_niを使用して前記各マークのノミナル値Ｎ_iから実際の位置Ｌ_iまでのずれ量Ｄ_iを求める連立式を生成する。

本実施例による二次元格子校正装置は、上述した実施形態での作用効果を奏する他、測定誤差ｅ_jを分離取得でき、そして、測定機の予備校正を不要とし、測定値のずれ量と測定誤差とを一体的に分離して測定することができる。

図１４は、測定座標の一例を示す図である。
図１４に示すように、測定部２についても、座標系を定義する。
ただし、アーティファクトを置いた時に各マークが位置する領域１ｂのみに着目する。
この測定座標の各測定領域１ｂにおいてのみ測定誤差ｅ_jを考え、アーティファクト座標の場合と同様に、原点と、ｘ軸及びｙ軸を定義し、両軸の直角度誤差をβとする。すなわち、ｘ軸及びｙ軸は、それぞれ、測定誤差ｅ_jの値を最小とする最小二乗直線（一次平均直線）とする。そして、ここでは、測定誤差ｅ_jには、スケール誤差γｂは含まれない。このβは、αと同様に、角度が小さくなる方向を正にとる。また、測定機上の格子にも、ｊ＝１から２５を与える。
スケール誤差γについては、ｅ_jの測定後に別途算出するか、スケール誤差について予め校正をし測定値の補正をするか、または、式１．７にてｅ_jにスケール誤差γｂを乗算しておき、ｅ_jの校正と同時に校正すると良い。

図１５は、測定領域１ｂの一例を示す。測定部２での測定値ｍ_{n i}（または、スケール誤差を補正した後の測定値）は、測定部２側の誤差ｅ_jを含む。測定値ｍ_niにこのｅ_jを加算すると、原点誤差Ａ_n及び回転誤差Ｂ_nの影響を除去した上で、ノミナル値Ｎ_iにずれ量Ｄ_iを加算した実際の値Ｌとなる。測定用配置１から４の測定にて、各格子の位置は、設置誤差やマークの誤差により厳密には重ならないが、測定部の誤差がほとんど変化しないと見なせる範囲内にマーク位置が位置していれば良い。

図１６に、ノミナル座標と、測定座標と、アーティファクト座標との関係を示す。図１６に示す例では、説明を容易とするために、測定座標とノミナル座標との原点を等しくしている。また、ノミナル座標のｘ₀軸と、アーティファクト座標のｘ軸とには角度誤差がないとしている。

次に、座標計算式を説明する。図１７（Ａ）に示すように、Ｇ_i＝Ｌ_iとする座標関係式を導出するためには、異なる座標間での原点誤差Ａ_n及び回転誤差Ｂ_nの影響を除去しなければならない。

測定座標のＧ_iと、アーティファクト座標のＬ_iとを等しいとする。そして、このＧ_i＝Ｌ_iは、原点のずれ（ベクトルＡ，原点誤差）、両座標の直角度誤差α、β及と、設置角度誤差θ_nとによるずれ（ベクトルＢ，回転誤差）、ノミナル値（ベクトルＮ，既知）、ノミナル値と実際の位置とのずれ（ベクトルＤ，ずれ量）との総和により表される。
従って、その関係は、図１７（Ａ）にも示す式１．６ａにて与えられる。

測定値ｍ_{n i}は、Ｇ_i＋ｅ_jであるため、式１．６ｂのようにＧ_iはｍ_niからｅ_jを減算したものとなる。そして、既知を左辺に移項すると、図１７（Ｂ）にも示す式１．７ａとなる。
ｍ_{n i}-Ｎ_i = Ａ_n（右辺第１項）＋Ｂ_n（右辺第２項）＋Ｄ_i（右辺第３項）＋ｅ_j（右辺第４項）
測定用配置１から４の座標関係式（式１．７ｂから１．７ｅ）は、全てこの形となる。
座標関係式記憶部３３は、この式１．７ｂから１．７ｅを記憶する。
測定部２は、各測定値を測定番号ｎと、マーク番号ｉとを用いて識別する。
連立式生成部４１は、測定番号毎の測定値をマーク番号に従って順次左辺に代入し、マーク番号に従ってノミナル値を左辺及び右辺第２項に代入して、各測定番号分で、各マーク分の連立式を生成する。

本実施例では、上述した実施形態と同様に、回転誤差Ｂについては一次で近似している。
すなわち、前記座標関係式記憶部３３は、前記回転誤差Ｂを一次で近似した座標関係式を記憶している。
前記連立式生成部４１は、前記各座標の直角度誤差α，βと、前記設置角度誤差θ_nとを測定用配置毎に加減算し、各マーク１ａ毎のノミナル値Ｎ_iとの乗算により当該回転誤差Ｂ_nを得る式を前記座標関係式記憶部３３から読み出して、各測定値ｍ_niの式毎に当該測定値に対応するノミナル値Ｎ_iを代入する。
前記連立式演算部６が、前記連立式を一次式として解く。
このように、回転誤差Ｂ_nを一次で近似することにより、二次の成分を不要とし、座標関係式全体を線形とすることができる。これにより、各誤差を評価し、不確かさの計算をすることができる。

また、前記連立式演算部６が、前記座標関係式による連立式と、最小二乗条件式と、必要なランク調整式とを、正規方程式を解くことなく一括して数値計算するようにしても良い。
この一括した数値計算によると、正規方程式の解法による場合と比較して、連立式演算部６の限られた有効桁数内で、精度のよい計算を行うことができる。

次に、測定用配置から座標関係式を導出する。
＜測定１＞
測定用配置１では、測定部のｘ，ｙ軸に方向を合わせアーティファクトを設置方向に対して原点中心でｚ軸周りに９０度回転させて、各マークの位置を測定する。
測定機の座標系に対する、マーク１ａの実際の位置をＬ_i = [ξ_i ζ_i]、ノミナル値をＮ_i= [ξ_0i ζ_0i]、格子位置のノミナル値からのずれをＤ_i = [δξ_i δζ_i]とすると、マーク１ａの実際の位置は、式（２．１）で表される。

また、測定部２のステージにアーティファクトを置いたときの測定座標系における各マーク１ａの位置をＧ_i = [ｘ_i，ｙ_i]，ｉ = １から２５とし、測定部２による測定値ｍをベクトルｍ_1i = [ｍ₁ｘ_i ｍ₁ｙ_i]、ベクトルＧ_iにおける測定機の系統誤差をベクトルｅ_i= [ｅx_i(ｘ_i，ｙ_i)，ｅy_i(ｘ_i，ｙ_i)]とする。
ここで、ｅ_iは、測定機の座標値をパラメーターとするため、測定機の格子番号であるパラメーターｊを用いて、式２．２のように表記することができる。
従って、測定１の測定値は、式２．３で表すことができる。
測定１では、ｉ = ｊとなるが、その他の測定においては、測定用配置により回転又は並進するため、ｉ≠ｊである。

次に、測定座標の原点を（Ｘ₁，Ｙ₁）、測定部のＸ軸と正方格子のξ軸との成す角を設置回転誤差θ₁とすると、測定座標での各マーク位置の座標Ｇは、次式２．４で表すことができる。
回転誤差Ｂは、実際の値Ｌ_i＝[ξ_i ζ_i]とが回転したものである。
この回転誤差Ｂ_nの回転誤差成分φ及びψの内容については、後述する。

そして、式２．４に式２．１を代入すると、式２．５ａとなる。
２．５ａを展開すると、式２．５ｂとなり、δξ_iやδζ_iの乗算については微少であるとして省略すると、式２．５ｃに近似できる。

また、測定値は式２．３により与えられるから、これを式２．６ａとして式２．５ｃを代入すると、式２．６ｂとなる。
式２．６ｂの第２項のノミナル値Ｎを左辺に移項し、ずれ量Ｄを右辺第３項とすると、式２．６ｃが得られる。
この式２．６ｃは、上述した式１．７ｂである。

＜測定２＞
測定用配置２では、アーティファクトを、設置位置を変えずに、測定用配置１の設置方向に対して原点中心でｚ軸周りに９０度回転させて、各マーク位置を測定する。
測定２についても、測定１と同様に、式２．７ａから式２．７ｂを導出することができる。
式２．７ｂは、上述した式１．７ｃである。

＜測定３＞
測定用配置３では、アーティファクトを、設置位置を変えずに、測定用配置１の設置方向に対して原点中心でｚ軸周りに１８０度回転させて、各マーク位置を測定する。
測定３についても、同様に、次式２．８ｂを導出することができる。この式２．８ｂは、上述した式１．７ｄである。

＜測定４＞
測定用配置４では、アーティファクトを、測定方向を変えずに、測定用配置１の設置位置に対して、１格子分（Δ）、ｘ方向にシフトさせて、各マーク位置の測定を行う。測定４についても、同様に、次式２．９ｂを導出することができる。式２．９ｂは、上述した式１．７ｅである。

＜最小二乗条件式＞
次に、各座標の各軸を最小二乗直線とするための条件式を導入する。ここでは、式３．１ａ及び３．１ｂがアーティファクト座標の座標軸を最小二乗直線とする条件式であり、式３．２ａ及び３．２ｂが測定座標の座標軸を最小二乗直線とする条件式である。

＜ランク調整式＞
また、ここでは、連立式の変数の数と連立式の数とを調整するために、測定機のスケール誤差が補正されているものとする条件式４．１及び４．２を使用する。
これらから、連立方程式を解くことにより、ずれ量Ｄと測定誤差ｅを同時に校正することができる。

この例では、測定部２のスケール誤差γｂは、予め校正しておくものとする。
ただし、スケール誤差γｂを未校正の測定機を使用しても、最後に長さの転写を行うことにより、最終段でスケール誤差の補正を行うことも可能である。
スケール誤差γｂを測定誤差ｅと同時に校正するには、いくつかの手法があるが、式１．７ｂから式１．７ｅのｅ_xj, e_yjにγｂを乗算し、ランク調整式を増加させるのが簡易である。まず、スケール誤差を式１．７ｂから式１．７ｅに反映させるには、左辺にスケールの係数となる対角行列を左から掛けることとなる。このスケール対角行列を右辺に移項すると、右辺全体に対角行列の逆行列を左から掛けることとなる。しかし、原点誤差Ａや、回転誤差Ｂは、スケールの影響がほとんどない。そして、ずれ量Ｄは測定部のスケール誤差γｂの影響を排除すべきである。従って、測定誤差ｅにのみスケールに応じた係数であるスケール誤差γｂを影響させれば良い。

スケール誤差γｂを測定誤差ｅ等と同時に校正（計算）する例では、座標関係式が、前記測定毎に異ならない誤差として、測定誤差ｅと、前記測定座標系の直角度誤差βと、前記測定座標系のスケール誤差γｂとを有する。さらに、前記最小二乗条件式が、前記ずれ量δξ，δζの各平均値と、前記測定座標系のスケール誤差γｂで補正した測定誤差ｅの平均値とを最小とする条件式を有する。そして、前記連立式演算部６が、前記測定部のスケール誤差γｂと、前記測定座標系の直角度誤差βとを校正すると共に前記ずれ量δξ，δζを算出すると良い。
また、同様に、ずれ量Ｄにアーティファクトのスケール誤差γａを乗算すると、アーティファクトのスケール誤差γａをずれ量Ｄから分離することができる。

ここで、各式は線形化されているため、最小二乗法等を用いて容易に最適解としてパラメーターを推定することができ、誤差の伝搬を考慮することも容易である。

また、条件式に関しては、連立方程式のランクが落ちなければ、他の式を用いることもできる。例えば、いくつかの点をピックアップして、その点にのみ着目して座標軸固定のための条件や、スケール誤差補正の条件式を加えることもできる。

＜回転誤差＞
図１８を参照して、測定用配置１でのα、β及びθ₁による回転誤差Ｂを説明する。
図１８に示す例では、ノミナル座標の原点ｐ₀と、測定座標の原点とは等しいとする。
ｐ₁は、式５．１ａに示すように、Ｇ[ｘ_i ｙ_i] = Ｌ[ξ_i ζ_i]の点である。
ξ軸上の点ｐ₂は、点ｐ₁を通り、ξ軸に直交する線と、当該ξ軸との交点である。
ξ軸とξ軸とが直交するアーティファクト座標の原点から、点ｐ₂までの長さｒ₁は、式５．１ｂで与えられる。
また、点ｐ₁から点ｐ₂までの長さｒ₂は、式５．１ｃで与えられる。

次に、点ｐ₃を検討する。ｐ₃は、点ｐ₁を通り測定座標のｘ軸と平行な直線と、ノミナル座標のｙ₀軸との交点である。この点ｐ₃のノミナル座標でのｙ₀軸の座標値は、式５．２ａで与えられる。
ｒ₃及びｒ₄は、式５．２ｂで表されるから、式５．１ｂ及び５．１ｃを式５．２ｂに代入すると、式５．２ｃが得られる。これを近似すると、式５．２ｄとなる。

点ｐ₄は、点ｐ₁と点ｐ₃を通る直線と、測定座標のｙ軸との交点である。
このｐ₄が、Ｇ_iの要素であるｙ_iである。
点ｐ₄について、ノミナル座標と測定座標の直角度誤差βを用いて、式５．３ａと表すことができる。
式５．３ｂの第２項及び第３項は、行列の乗算として表すことができる。
すなわち、[θ₁ １]と、[ξ_i ζ_i]^Tとの乗算である。
これは、式５．７のｙ_iについての式となる。

ｐ₅は、点ｐ₁を通り、ζ軸に平行な直線と、測定座標のｘ軸との交点である。
このｐ₅からＸ₁までの長さは、式５．４ａで表すことができる。
ｒ₆及びｒ₇は、式５．４で表すことができるため、式５．１ｂ及び５．１ｃを代入すると、式５．４ｃとなり、これを近似すると式５．４ｄに、さらに整理すると式５．４ｅを得る。

点ｐ₆は、点ｐ₁を通り測定座標のｙ軸と平行な直線と、ｘ軸との交点である。
点ｐ₆のｘ座標での値は、Ｇの要素であるｘ_iであり、式５．５ａで表される。
ｒ_８は、点ｐ₃から点ｐ₄までの長さと等しく、式５．５ｂで表される。
ｒ₅は、式５．４ｅで表されるから、これらを代入すると式５．５ｃが得られる。
これを近似し、整理すると、式５．５ｅとなる。
行列の乗算とするために整理すると、式５．５ｆとなる。

式５．３ｂと、式５．５ｆとを行列の加算及び乗算として整理すると、式５．６となる。
式５．６は、上述した式２．４である。
図１８に示すように、Ｇ_i＝Ｌ_iとして、この点ｐの値を測定座標とアーティファクト座標とで等しいようにα、β及びθにて回転誤差を予め導出することができる。
このとき、近似としては、それぞれの角度が微少であるとして、一般的に使用されている三角関数の近似を使用している。
また、上述した実施形態では、βの影響による誤差は既知であるとし、同様の式を示したが、図１８及び式５．ｘにて展開するように、β＝０の際には、式５．６ｄのβが０となり、式５．６ｆにβが現れないこととなる。
従って、β＝０の際には、式１．５ｂとなる。
この点、他の測定用配置についも同様である。

図１９を参照して、測定用配置２での回転誤差を説明する。
図１９に示す例では、アーティファクト座標は、９０度反時計回りに回転している。
式５．１ａで示す点ｐ_１は、Ｇ＝Ｌの点である。この点ｐ_１の座標値（ξ_i, ζ_i）を（ｘ_i, ｙ_i）とするために、ｙ_iを点ｐ₄とし、ｘ_iを点ｐ₆として、ξ_iの値と、ζ_iの値と、α、β及びθとを使用して導出している。

測定用配置２についても、式５．１ｂ及び５．１ｃにより、ｒ₁及びｒ₂を定義する。
ｙ_iについては、点ｐ₃を表す式５．２ａから５．２ｄを導き、これを式５．２ａ及び５．３ｂにより、点ｐ₄に展開する。
式５．２ｂを行列で表すと式５．６となる。

ｘ_iについても、点ｐ₅を表す式５．４ａから５．４ｅを導き、これを式５．５ａから５．５ｆにより点ｐ₆に展開する。
式５．５ｆを行列で表すと式５．６となる。
式５．６について、式２．４から式２．６ｃと同様の展開をすると、式１．７ｃとなる。

図２０を参照して、並進Δと、測定用配置４での回転誤差を説明する。
回転誤差については、測定用配置１と同様となる。
並進Δの影響は、点ｐ₆について現れ、式６．６の右辺第１項にてＸ₄にΔを加算することとなる。
測定用配置３については、測定用配置１を１８０度回転させる配置となるため、式１．７ｄに示すように、１．７ｂの算式からθ_nの正負が反転することとなる。

次に、図２１等を参照して二次元格子校正方法を説明する。
二次元格子校正方法は、図１に示す各部の動作に対応して、アーティファクト９のマーク１ａの少なくとも一部が重なる複数の測定用配置ｎに対応して前記各マーク位置１ａを当該測定用配置ｎ毎に測定する測定工程Ｓ１と、
前記各マーク１ａのノミナル値Ｎ_iを特定するノミナル座標、前記アーティファクト９のマーク位置１ａを特定し所定の各軸を有するアーティファクト座標および前記各測定用配置ｎでの設置誤差との関係を表す座標関係式を予め設定する座標設定工程と、
前記マーク１ａの測定値ｍ_iによる実際の位置Ｇ_i＝Ｌ_iの前記ノミナル値Ｎ_iからのずれ量Ｄ_iを最小とする最小二乗直線を前記アーティファクト座標の前記所定の各軸ξ，ζとする最小二乗条件式および前記座標関係式を使用して、前記各マークの実際の位置のノミナル値Ｎからの前記ずれ量Ｄを求める連立式を生成する連立式生成工程Ｓ２〜Ｓ８と、
この生成された前記連立式を解く連立式演算工程Ｓ９と、
この数値計算により得られたずれ量Ｄ等を格納する格納工程Ｓ１０とを備えている。

測定工程Ｓ１は、図１及び図１３に示す測定部２による測定である。
座標設定工程は、図１に示す座標設定部４による座標の設定である。
この座標設定工程は、図１３に示す例では、記憶部３０に座標関係式等を設定しておく工程となる。
連立式生成工程Ｓ２からＳ８は、図１に示す連立式生成部５による情報処理である。
例えば、図１３に示す演算部３０の連立式生成部４１による連立式の生成により、当該連立式を生成するようにしてもよい。
そして、連立式演算工程Ｓ９は、図１及び図１３に示す連立式演算部６による連立式を解く情報処理である。

以下、図１３に示す構成例での処理工程を図２１に示すフローチャートに従って説明する。
測定部２は、図８及び図９に示す測定用配置ｎ＝１から４にて、アーティファクト９のマークの位置１ａを測定する（ステップＳ１）。
連立式生成部４１は、ノミナル値記憶部３２から、当該測定部２のレンズやアーティファクトの識別番号等に応じて、当該マーク１ａのノミナル値Ｎ_iを読み出す。連立式生成部４１は、当該ノミナル値Ｎ_iに補正値Ｃ_iがあれば、ノミナル値Ｎ_iに補正値Ｃ_iを加減算する。補正値Ｃ_iは、例えば、前回の二次元格子の校正にて測定したずれ量Ｄ_iである。

このように、ノミナル値Ｎ_iは、当初は設計位置を用いるが、一旦マークのずれ量Ｄ_iを校正により得た際には、このずれ量Ｄ_iを補正値Ｃ_iとして、ノミナル値Ｎ_iに補正値Ｃ_iを加算した値を新たなノミナル値Ｎ_iとして用いて再度推定しても良い。この場合、Ｘ_nとＹ_nの値と、αの値とが小さくなり、数値計算の精度を向上させることができる。

連立式生成部４１は、続いて、測定値ｍから、ノミナル値を減算する（ステップＳ４）。この減算は、ｘ及びｙそれぞれ別途行う。そして、座標関係式記憶部３３から、式１．７ａから１．７ｅ等の座標関係式を読み出す（ステップＳ５）。連立式生成部４１は、さらに、式３．１ａから３．２ｂの最小二乗条件式を読み出し（ステップＳ６）、そして、式４．１ａから４．２ｂのランク調整式を読み出す（ステップＳ７）。

連立式生成部４１は、ノミナル値Ｎ_iと、測定値ｍ_iからノミナル値Ｎ_iを減算した値とを読み出した算式に代入する（ステップＳ８）。このステップＳ８では、座標関係式１．７ａから１．７ｅの左辺に、それぞれ、ノミナル値Ｎ_iから測定値ｍ_iを減算した値を代入する。この値の代入は、測定番号ｎ毎に、かつ、マーク番号ｉ毎に行う。
また、座標関係式の右辺第２項に、ノミナル値Ｎ_iを代入する。そして、最小二乗条件式と、ここでのランク調整式とに、ノミナル値Ｎ_iを代入する。このノミナル値等の代入は、マーク番号ｉを用いて行う。

連立式演算部６は、ステップＳ８で生成された連立式を計算する。例えば、連立式からヤコビアン行列を得て、ＱＲ分解した上で、数値計算を行う。これにより、式１．７の右辺第１項であるＡと、第２項であるＢのα、β及びθnと、第３項であるＤと、第４項であるｅとを一括して全てを同時に求めることができる。これにより、すべてのパラメーターを、最小二乗条件式により最適化された状態で得ることができる。

演算部４０は、続いて、アーティファクトのマークを他のアーティファクトや対物レンズ等から識別する番号とともに、座標関係式のパラメーター（Ａ_n，Ｂ_n，Ｄ_i及びｅ_jの値）を記憶部３０に格納する。

この図２１に示したステップＳ２からＳ１０の情報処理内容は、二次元格子校正プログラムをコンピュータである解析部３が実行することにより実現することもできる。

この二次元格子校正プログラムは、測定部２と、この測定部２と接続され、当該測定用配置ｎ毎の測定値ｍ_iを用いて当該マークのずれ量Ｄ_iを計算するコンピュータ（解析部）３とを備える。
そして、この二次元格子校正プログラムは、このコンピュータ３を、図１３に示す前記測定配置毎の測定値ｍ_i、予め定められた算式および前記各マークのノミナル値Ｎ_iを記憶した記憶部３０と、前記記憶部３０に格納された測定値ｍ_iおよびノミナル値Ｎ_iを使用して当該ノミナル値Ｎ_iから実際の値Ｌ_iへのずれ量Ｄ_iを前記予め定められた算式により計算する演算部４０として機能させる。

当該プログラムはさらに、前記記憶部を、測定値記憶部３１、ノミナル値記憶部３２、座標関係式記憶部３３、最小二乗条件式記憶部３４、ランク調整式記憶部３５として機能させる。当該プログラムは、例えば、測定部２と接続され、測定部２から入力される測定値を測定値記憶部３１に格納するための制御をする。また、プログラムは、コンピュータの利用者に座標関係式や、最小二乗条件式や、ランク調整式の入力を促し、それぞれを格納するための制御をする。

当該プログラムは、さらに、演算部４０を、連立式生成部４１と、連立式演算部６として動作させる。例えば、当該プログラムは、コンピュータ３に、図２１に示すステップＳ２からＳ８の処理を行わせることで、当該コンピュータ３を連立式生成部４１として動作させる。ステップＳ３での読み出しには、アーティファクト９及び測定部２の対物レンズ等を識別する番号を使用して対応するノミナル値Ｎ_iを特定する。ステップＳ４での測定値ｍ_iからノミナル値Ｎ_iを減算する処理では、マーク番号ｉ毎に数値の減算処理をする。ステップＳ５及びＳ６での座標関係式と最小二乗条件式は、測定用配置の種類と数に応じて対象となる式を特定する。ランク調整式についても同様である。

当該プログラムは、コンピュータを動作させることで、連立式を計算する。当該プログラムは、この計算に際しては、一般的に入手可能な行列の計算を行うためのソフトウエアに処理を依頼し、計算結果を得るための制御をしてもよい。すなわち、二次元格子校正プログラムは、当該プログラム自体で計算をする構成としても、また、他のプログラムを動作させるための手順や指令を有する構成としても良い。

この二次元格子校正プログラムは、記録媒体９に格納し、二次元格子校正装置に導入することができる。

以上、このような構成を備える二次元格子校正装置及び方法によれば、次に示すような顕著な効果を奏することができる。
（１）最小二乗条件式をアーティファクト座標等の軸として連立式を導出・生成し、計算することにより、次の効果を得る。
測定時の設置誤差の影響を最小とする状態で、各マーク近傍で数値計算をすることができる。
アーティファクトのマークのずれ量Ｄを、設置誤差を含む原点誤差Ａや、設置回転誤差や最小二乗直線である各軸の直角度誤差による回転誤差Ｂから分離して取得することができる。

（２）測定用配置を４種類とし、１８０度回転した状態での測定を含むことにより、誤差に含まれる設置上の偶数成分を分離して取得することができる。９０度回転させた測定と、シフト位置の測定だけでは、アライメント誤差によるパラボラ的な成分の分離が困難であるが、１８０度の回転位置での測定を加えることにより、誤差の偶数成分を分離して取得することができる。

（３）測定座標を定義し、式１．７等を用いて計算することにより、測定誤差を分離取得でき、測定部の予備校正を不要とすることができる。

（４）座標関係式を線形とすることで、計算結果の誤差について不確かさの評価を行うことができ、また、連立式を一括して計算することで、数値計算の精度を安定して高めることができる。

（５）図２２（Ａ）に、本実施例でのずれ量Ｄの測定結果を示す。μmのオーダーにて、良好にずれ量を計算し、測定することができる。この測定結果は、信頼されている校正機関による校正結果とほぼ同一となった。図２２（Ｂ）に、本実施例による測定結果と、反転法による測定結果との差を示す。本実施例による測定結果は、図２２（Ｂ）に示すように、反転法による場合と比較してより高精度な測定をすることができた。

（６）座標関係式や最小二乗条件式等を一括して解くことにより、最小二乗法により解を求めることができる。すなわち、フーリエ変換を行わなくとも、誤差の影響を最小化するような最適解を求めることができる。これにより、容易に誤差の伝搬、すなわち不確かさを計算することも可能となる。

なお、本発明の二次元格子校正装置は、上記実施形態にのみ限定されず、本発明の要旨を逸脱しない範囲内において種々の変更を加え得ることは勿論である。
例えば、本実施例では、連立式を解くために測定を４回行っているが、測定回数を増やして最小二乗法で最適化意を計算することもできる。この場合、データの冗長性を増して、校正の精度をさらに向上させることができる。

また、ずれ量Ｄや測定誤差ｅについては、座標値を直接用いているが、スプライン関数等を用いて表すこともできる。この場合、誤差の値を直接推定するのではなく、関数のパラメーターを推定することとなる。

以上、説明したように本発明の二次元格子校正装置によれば、アーティファクトを反転させずに、マーク位置を高精度に測定することができる、という優れた効果を奏し得る。

本発明は、正方格子等のアーティファクトのマークやボールの中心位置の校正をする校正装置等に利用できる。

本実施形態での構成例を示す図である。 測定部の構成例を示す図である。 アーティファクトの一例を示す図である。 アーティファクトのマークの番号の一例を示す図である。 ノミナル座標とアーティファクト座標との関係を示す図である。 ノミナル値と実際の位置との関係を示す図である。 アーティファクト座標の各軸とノミナル座標との関係を示す図である。 図８（Ａ）は測定用配置１の一例を示す図で、図８（Ｂ）は測定用配置２の一例を示す図である。 図９（Ａ）は測定用配置３の一例を示す図で、図９（Ｂ）は測定用配置４の一例を示す図である。 アーティファクト座標での実際の位置Ｌと、測定座標での実際の位置Ｄとの関係を示す図である。 図１１（Ａ）は測定用配置１でのずれ量Ｄと測定誤差ｅの一例を示す図で、図１１（Ｂ）は測位用配置２でのずれ量Ｄと測定誤差ｅの一例を示す図である。 図１２（Ａ）は測定用配置３でのずれ量Ｄと測定誤差ｅの一例を示す図で、図１２（Ｂ）は測位用配置４でのずれ量Ｄと測定誤差ｅの一例を示す図である。 本実施例での構成例を示す図である。 測定座標の一例を示す図である。 測定値と測定誤差との関係を示す図である。 ノミナル座標と、アーティファクト座標と、測定座標との関係を示す図である。 各誤差とノミナル値との関係とを示す図である。 測定用配置１での回転誤差等を説明するための図である。 測定用配置２での回転誤差等を説明するための図である。 測定用配置４での回転誤差等を説明するための図である。 本実施例での処理例を示す図である。 本実施例による測定結果の一例を示す図である。 従来の反転法での測定用配置の例を示す図である。

符号の説明

二次元格子校正装置…１，測定部…２，解析部…３，座標設定部…４，連立式生成部…５，連立式演算部…６，ＣＰＵ…７，メモリー…８，アーティファクト…９，アーティファクトのマーク…１ａ。

Claims (8)

1. 複数のマークを平面内に有する標準校正器としてのアーティファクトの前記マークが少なくとも一部で重なる複数の測定用配置毎に当該各マークの位置を測定する測定部と、
   前記測定部の測定座標系と前記アーティファクトのマーク位置を特定するアーティファクト座標系との関係を前記測定用配置毎に表す座標関係式が予め設定された座標設定部と、
   前記各マークの測定値に基づいてアーティファクト座標系の座標軸を設定する条件式と前記座標関係式とを使用して前記各マークのずれ量を求める連立式を生成する連立式生成部と、
   前記連立式生成部にて生成された前記連立式を解く連立式演算部と、を備え、
   前記アーティファクト座標系の座標軸を設定する条件式は、
   前記各マークの測定値と設計値とのずれ量を最小にする条件のもとで求められる最小二乗直線式であり、
   この最小二乗直線を前記アーティファクトの座標軸とし、
   前記座標関係式が、前記各測定用配置ｎの測定毎に異なる設置誤差として原点のずれ量である原点誤差Ａnおよび設置回転誤差θnを含むとともに前記測定毎に異ならない誤差としてアーティファクト座標系の直角度誤差αおよび前記設計値からのずれ量δξ，δζを含み、
   前記最小二乗条件式が、前記設計値とずれ量とを加算した値の各平均値を最小にする条件式および前記ずれ量δξ，δζの各平均値を最小とする条件式を有し、
   前記連立式演算部が、当該演算部により計算されたアーティファクト座標系の直角度誤差αと、ずれ量δξ，δζとにより前記設計値を補正して、前記最小二乗直線を繰り返し算出する、
   ことを特徴とする二次元格子校正装置。
2. 前記座標関係式が、前記測定毎に異ならない誤差として測定誤差ｅ、前記測定座標系の直角度誤差βおよび前記測定座標系のスケール誤差γｂを含み、
   前記最小二乗条件式が、前記ずれ量δξ，δζの各平均値を最小にする条件式および前記測定座標系のスケール誤差γｂで補正した測定誤差ｅの平均値を最小にする条件式を含み、
   前記連立式演算部が、前記測定部のスケール誤差γｂと前記測定座標系の直角度誤差βとを校正すると共に前記ずれ量δξ，δζを算出する、
   ことを特徴とする請求項１記載の二次元格子校正装置。
3. 複数のマークを平面内に有する標準校正器としてのアーティファクトの前記マークが少なくとも一部で重なる複数の測定用配置毎に当該各マークの位置を測定する測定部と、
   前記測定部の測定座標系と前記アーティファクトのマーク位置を特定するアーティファクト座標系との関係を前記測定用配置毎に表す座標関係式が予め設定された座標設定部と、
   前記各マークの測定値に基づいてアーティファクト座標系の座標軸を設定する条件式と前記座標関係式とを使用して前記各マークのずれ量を求める連立式を生成する連立式生成部と、
   前記連立式生成部にて生成された前記連立式を解く連立式演算部と、を備え、
   前記測定部が、
   第１の測定用配置として、前記各座標軸と前記各マークの点列方向を揃えて前記アーティファクトを配置し、第１の測定をし、
   第２の測定用配置として、前記第１の測定用配置に対して重心位置を略同一として前記アーティファクトを面内にて９０度回転させて配置し、第２の測定をし、
   第３の測定用配置として、前記第１の測定用配置に対して重心位置を略同一として前記アーティファクトを面内にて１８０度回転させて配置し、第３の測定をし、
   第４の測定用配置として、前記第１の測定用配置に対して前記アーティファクトを前記マークの間隔分並進させて配置し、第４の測定をする
   ことを特徴とする二次元格子校正装置。
4. 複数のマークを平面内に有する標準校正器としてのアーティファクトの前記マークが少なくとも一部で重なる複数の測定用配置毎に当該各マークの位置を測定する測定部と、
   前記各測定配置での測定毎の測定値ｍ、予め定められた算式および前記各マークの設計上の位置であるノミナル値Ｎを記憶した記憶部と、
   前記記憶部に格納された所定の測定座標での前記測定値ｍおよび前記ノミナル値Ｎを使用して当該ノミナル値Ｎから実際の値Ｌへのずれ量Ｄを所定のアーティファクト座標にて前記予め定められた算式により計算する演算部と、を備え、
   前記アーティファクト座標は、前記アーティファクトのノミナル値と実際の位置とのずれ量Ｄをｘ軸およびｙ軸方向にてそれぞれ最小とする最小二乗直線である座標軸と、当該最小二乗直線の成す角と直角との角度差である直角度誤差αとを有し、
   前記測定座標は、前記測定部の測定誤差ｅをｘ軸およびｙ軸方向にてそれぞれ最小とする最小二乗直線である座標軸と、当該各座標軸の成す角と直角との角度差である直角度誤差βとを有し、
   前記記憶部は、
   前記測定毎の測定値ｍを記憶する測定値記憶部と、
   前記各マークの重心位置を原点として直交するｘ0軸及びｙ0軸を座標軸とするノミナル座標上において前記各マークの設計上の位置であるノミナル値Ｎを記憶するノミナル値記憶部と、
   前記アーティファクト座標における前記各マークの実際の値Ｌと前記測定座標における前記各マークの実際の値Ｇとが等しいとして当該各座標の原点の前記ノミナル座標原点からのずれ量である原点誤差Ａ、前記各座標の直角度誤差α，β、前記測定用配置の設置回転誤差θによる回転誤差Ｂ、ノミナル値Ｎ、測定誤差ｅおよび測定値ｍの関係式を座標関係式として前記測定用配置毎に記憶した座標関係式記憶部と、
   前記各座標の前記各軸を最小二乗直線とするための最小二乗条件式を記憶した最小二乗条件式記憶部と、を備え、
   前記演算部は、
   前記測定毎の測定値ｍと、前記ノミナル値Ｎとを読み出して、前記座標関係式記憶部に格納された測定用配置毎の前記座標関係式に代入するとともに、前記最小二乗条件式を読み出すことで、前記測定値ｍを使用して前記各マークのノミナル値Ｎから実際の位置Ｌまでのずれ量Ｄを求める連立式を生成する連立式生成部と、
   この生成された前記連立式を解く連立式演算部と、を備えている
   ことを特徴とする二次元格子校正装置。
5. 前記座標関係式記憶部が、前記回転誤差Ｂを一次で近似した座標関係式を記憶し、
   前記連立式生成部が、前記各座標の直角度誤差α，βと、前記設置回転誤差θとを測定用配置毎に加減算し、マーク毎のノミナル値との乗算により当該回転誤差Ｂを得る式を前記座標関係式記憶部から読み出して、各測定値ｍの式毎に当該測定値に対応するノミナル値Ｎを代入し、
   前記連立式演算部が、前記連立式を一次式として解く
   ことを特徴とする請求項４記載の二次元格子校正装置。
6. 前記連立式演算部が、前記座標関係式による連立式と、前記最小二乗条件式とを、一括して数値計算することを特徴とする請求項４又は５記載の二次元格子校正装置。
7. 複数のマークを平面内に有する標準校正器としてのアーティファクトの前記マークが少なくとも一部で重なる複数の測定用配置毎に当該各マークの位置を測定する測定部と、この測定部と接続され、当該測定用配置毎の測定値を用いて当該マークのずれ量を計算するコンピュータとを備え、このコンピュータを、
   前記各測定配置での測定毎の測定値ｍ、予め定められた算式および前記各マークの設計上の位置であるノミナル値Ｎを記憶した記憶部と、
   前記記憶部に格納された所定の測定座標での前記測定値ｍおよび前記ノミナル値Ｎを使用して当該ノミナル値Ｎから実際の値Ｌへのずれ量Ｄを所定のアーティファクト座標にて前記予め定められた算式により計算する演算部として機能させ、
   前記アーティファクト座標は、前記アーティファクトのノミナル値と実際の位置とのずれ量Ｄをｘ軸およびｙ軸方向にてそれぞれ最小とする最小二乗直線である座標軸と、当該最小二乗直線の成す角と直角との角度差である直角度誤差αとを有し、
   前記測定座標は、前記測定部の測定誤差ｅをｘ軸およびｙ軸方向にてそれぞれ最小とする最小二乗直線である座標軸と、当該各座標軸の成す角と直角との角度差である直角度誤差βとを有し、
   当該プログラムはさらに、
   前記記憶部を、
   前記測定毎の測定値ｍを記憶する測定値記憶部と、
   前記各マークの重心位置を原点として直交するｘ0軸及びｙ0軸を座標軸とするノミナル座標上において前記各マークの設計上の位置であるノミナル値Ｎを記憶するノミナル値記憶部と、
   前記アーティファクト座標における前記各マークの実際の値Ｌと前記測定座標における前記各マークの実際の値Ｇとが等しいとして当該各座標の原点の前記ノミナル座標原点からのずれ量である原点誤差Ａ、前記各座標の直角度誤差α，β、前記測定用配置の設置回転誤差θによる回転誤差Ｂ、ノミナル値Ｎ、測定誤差ｅおよび測定値ｍの関係式を座標関係式として前記測定用配置毎に記憶した座標関係式記憶部と、
   前記各座標の前記各軸を最小二乗直線とするための最小二乗条件式を記憶した最小二乗条件式記憶部として機能させ、
   当該プログラムはさらに、前記演算部を、
   前記測定毎の測定値ｍと、前記ノミナル値Ｎとを読み出して、前記座標関係式記憶部に格納された測定用配置毎の前記座標関係式に代入するとともに、前記最小二乗条件式を読み出すことで、前記測定値ｍを使用して前記各マークのノミナル値Ｎから実際の位置Ｌまでのずれ量Ｄを求める連立式を生成する連立式生成部と、
   この生成された前記連立式を解く連立式演算部として機能させる
   ことを特徴とする二次元格子校正プログラム。
8. 請求項７に記載の二次元格子校正装置用プログラムを記録した記録媒体。

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