JP5419721B2 - 測定装置 - Google Patents

Description

本発明は、測定すべき測定情報を測定する測定装置に関し、より詳細には、電波信号を用いて、電波信号の発信源の方位、発信源までの距離および発信源の位置のうち、少なくとも１つを測定する測定装置に関する。

電波信号を用いて、電波信号の発信源の方位、発信源までの距離および発信源の位置のうち、少なくとも１つを測定する測定装置としては、非特許文献１に記載の測角装置、測距装置および測位装置が知られている。

測角装置は、近接して配置された複数のアンテナを用いて電波信号を受信し、その受信信号から電波信号の到来方位を推定する。測距装置は、送信機から送信された電波信号または電波反射器で反射された反射波信号を受信し、その受信信号から送信機または電波反射器までの距離を測定する。測位装置としては、複数の測位手段を用いて電波発信機の位置を測定するもの、複数のアンテナを用いて、アンテナ間における電波信号の到来時刻の差を利用して電波発信機の位置を測定するもの、測距装置と測角装置とを組合せて電波発信機の位置を測定するもの、ならびに複数の測角装置を組合せて電波発信機の位置を測定するものが知られている。

このような電波信号を用いて方位、距離および位置などを測定する測定装置では、観測量である受信信号に熱雑音が重畳し、測定結果に誤差をもたらす。そこで、電波信号を用いた測定装置では、熱雑音がガウス分布に従うことを利用し、複数回の観測を行い、それらの観測結果を総合することで、熱雑音による誤差を低減して、方位などの測定対象を推定する推定手段を設けている。

たとえば特許文献１には、電波信号を用いた測角装置が開示されているが、この測角装置も、ガウス分布に従う雑音が観測信号に重畳していることを前提とし、そのような観測信号から電波信号の到来方位を推定する推定手段を有している。

特開２００４−３６１３７７号公報

齋藤忠夫、立川敬二著、「新版 移動通信ハンドブック」、第１版、株式会社オーム社、２０００年１１月２５日、ｐ．５０７−５０９

前述の特許文献１などに開示される推定手段を構成するためには、まず、観測量の統計的性質が、ある関数によって表現されることを仮定する。この関数は、推定したい量、つまり電波信号の発信源の方位、発信源までの距離、および発信源の位置などのうちの少なくともいずれか１つと、熱雑音との統計的性質を表現する確率変数から、観測量の統計的性質を表現する確率変数への関数である。この関数は、観測環境および観測装置をモデル化する関数であるので、以下の説明では「モデル関数」という。

実際に観測された観測量の標本が、厳密にモデル関数で表されるような統計的性質を有しているならば、適切な観測手段を用いて十分に多数の標本を観測し、それらを総合して推定することによって、熱雑音による推定誤差を無視できるほどに小さくすることができることが知られている。電波信号を用いた測定装置は、この事実に基づいて、方位、距離および位置などの推定を行う。

前記事実が成り立つためには、実際の観測環境および観測装置が厳密に、そのモデル関数に従うモデルである推定モデルと一致していなければならない。しかし空間を伝播する電波信号は、物体によって反射または回折を起こすので、アンテナは、発信源からの直接波のみを計測できるわけではない。また、高周波を扱う発信装置および受信装置を、厳密に、誤差を生じさせることなく製作することも困難である。つまり、実際の観測環境および観測装置は、推定モデルからの誤差を有し、その観測量には、モデル関数からの誤差であるモデル誤差が含まれる。

従来の電波信号を用いた測定装置では、モデル誤差が無視し得るほど小さいことを暗黙の前提としている。この従来の電波信号を用いた測定装置では、モデル誤差がどの程度小さければ問題が無く、どの程度大きければ問題となるのかという情報は提供されない。また、予想されるモデル誤差がどの程度の推定誤差を生むのかに関する情報も提供されない。

測定装置の使用者にとって、実際の観測環境および観測装置がどの程度のモデル誤差を有するのかは未知である。前述のように従来の電波信号を用いた測定装置では、モデル誤差およびそれによって生じる推定誤差に関する情報は提供されないので、測定装置の使用者が、推定された量がどの程度の誤差を有するのかについて知り得ないという問題がある。

本発明の目的は、測定すべき測定情報を推定するときに、測定情報に生じる誤差に関する情報を使用者に提供可能な測定装置を提供することである。

本発明の測定装置は、測定すべき測定情報に関係する関係情報を取得する取得手段と、前記取得手段によって取得された前記関係情報に基づいて、前記測定情報を推定する推定手段と、前記推定手段によって推定された前記測定情報に含まれる誤差を表す誤差情報を求める誤差評価手段と、前記推定手段によって推定された前記測定情報、および前記誤差評価手段によって求められた前記誤差情報を表示する表示手段とを備え、前記推定手段は、前記関係情報をモデル化して表すモデル関数を用いて、前記測定情報を推定し、前記誤差評価手段は、前記取得手段によって取得された前記関係情報に含まれる前記モデル関数からの誤差であるモデル誤差を媒介変数表示して、前記モデル誤差のパラメータで前記モデル誤差の集合を表し、前記モデル誤差が前記モデル誤差の集合に含まれている場合に、前記モデル誤差によって前記測定情報に生じ得る推定誤差の最大値を近似的に評価する複数の評価値の１つまたは複数を計算し、前記誤差情報として求めることを特徴とする。

本発明の測定装置によれば、測定すべき測定情報に関係する関係情報が取得手段によって取得され、取得された関係情報に基づいて、測定情報が推定手段によって推定される。また推定された測定情報に含まれる誤差を表す誤差情報が誤差評価手段によって求められる。推定手段によって推定された測定情報、および誤差評価手段によって求められた誤差情報が、表示手段によって表示される。推定手段は、モデル関数を用いて測定情報を推定する。誤差評価手段は、モデル誤差を媒介変数表示して、モデル誤差のパラメータでモデル誤差の集合を表し、モデル誤差がモデル誤差の集合に含まれている場合に、モデル誤差によって測定情報に生じ得る推定誤差の最大値を近似的に評価する複数の評価値の１つまたは複数を計算し、誤差情報として求める。この誤差評価手段によって、モデル誤差の集合に含まれるモデル誤差に対する推定誤差の最大値を定量することができる。これによって、測定情報を推定手段で推定するときに、測定情報に生じる誤差に関する誤差情報を使用者に提供することができる。

本発明の第１の実施の形態である測定装置１の構成を示すブロック図である。 本発明の第４の実施の形態である測距装置２１を含む測距システム２０の構成を模式的に示す図である。 観測手段１２の構成を示すブロック図である。 本発明の第６の実施の形態である測位装置４１を含む測位システム４０の構成を模式的に示す図である。 本発明の第９の実施の形態である測位装置５１を含む測位システム５０の構成を模式的に示す図である。 本発明の第１２の実施の形態である測角装置６１の構成を模式的に示す図である。 本発明の第１４の実施の形態である測位装置７１を含む測位システム７０の構成を模式的に示す図である。 本発明の第１６の実施の形態であるに測位装置８１を含む測位システム８０の構成を模式的に示す図である。

＜第１の実施の形態＞
図１は、本発明の第１の実施の形態である測定装置１の構成を示すブロック図である。測定装置１は、測定すべき測定情報を測定する。測定情報は、たとえば距離などの物理量である。本実施の形態において測定装置１は、電波信号を用いて、その電波信号の発信源に関する物理量を測定情報として測定する。本実施の形態では、測定装置１は、電波信号の発信源の方位、発信源までの距離および発信源の位置のうちの少なくともいずれか１つを測定する。以下では、電波信号の発信源の方位を、電波信号の到来方位という場合がある。

測定装置１は、最大誤差評価手段１１、観測手段１２、推定手段１３、表示手段１４およびセンサ１９を備えて構成される。最大誤差評価手段１１は、誤差評価手段に相当する。観測手段１２は、取得手段に相当する。測定装置１は、たとえば測角装置、測距装置または測位装置として使用される。本実施の形態の測定装置１を適用した測角装置、測距装置および測位装置については、それぞれ後述の実施の形態で説明する。

観測手段１２は、測定情報に関係する関係情報を取得する。本実施の形態では、観測手段１２は、電波信号を受信する受信手段によって実現され、電波信号を観測する。観測手段１２は、受信した電波信号から関係情報を取得する。本実施の形態では、測定情報として、電波信号の発信源の方位、発信源までの距離および発信源の位置のうち、少なくともいずれか１つが測定されるので、関係情報としては、たとえば電波信号の発信源からの到達時間、複数の発信源から到来した電波信号間の位相差などが取得される。観測手段１２によって観測された電波信号は、推定手段１３で処理される。

推定手段１３は、観測手段１２によって取得された関係情報に基づいて、測定情報を推定する。より詳細には、推定手段１３は、関係情報をモデル化して表すモデル関数を用いて、測定情報を推定する。モデル関数に従うモデルを「推定モデル」という。本実施の形態では、推定手段１３は、観測手段１２によって観測された電波信号を処理することによって、電波信号の発信源に関する物理量を測定情報として推定する。具体的には、推定手段１３は、電波信号の発信源の方位、発信源までの距離および発信源の位置のうち、少なくともいずれか１つを測定情報として推定する。以下、推定手段１３によって推定された測定情報を「推定量」という場合がある。

推定手段１３によって推定された測定情報、すなわち方位、距離および位置などの推定量は、表示手段１４によって表示される。表示手段１４は、推定手段１３によって推定された推定量を表示することによって、測定装置１の使用者に提供する。

最大誤差評価手段１１は、推定手段１３によって推定された測定情報である推定量に含まれる誤差を表す誤差情報を求め、表示手段１４に出力する。本実施の形態では、最大誤差評価手段１１は、モデル誤差によって推定量に生じ得る推定誤差の最大値（以下「最大推定誤差」という場合がある）を求める。ここで、モデル誤差とは、観測手段１２によって取得された関係情報である観測量に含まれるモデル関数からの誤差である。また推定誤差とは、モデル誤差によって推定量に生じた誤差である。

具体的には、最大誤差評価手段１１は、推定手段１３によって推定された方位、距離および位置などの推定量を用い、また必要に応じてセンサ１９から与えられる情報を用いて、前記誤差情報として、前記推定量に生じる最大の推定誤差である最大推定誤差を定量し、表示手段１４に出力する。センサ１９からの情報が必要な場合および必要でない場合の具体例については、後述する。表示手段１４は、推定手段１３によって推定された推定量に加え、最大誤差評価手段１１によって定量された誤差情報、本実施の形態では最大推定誤差を総合して表示することによって、測定装置１の使用者に提供する。

最大誤差評価手段１１は、比例係数計算手段１５、推定モデル記憶手段１６、最大誤差計算手段１７およびモデル誤差量推定手段１８を備える。推定モデル記憶手段１６は、観測手段１２によって観測される電波信号などの観測量をモデル化する関数であるモデル関数を、推定モデルとして記憶する。比例係数計算手段１５は、推定モデル記憶手段１６に記憶された推定モデルと、推定手段１３によって推定された推定量とから、モデル誤差と、モデル誤差によって推定量に生じる誤差である推定誤差との比例係数、すなわちモデル誤差から推定誤差への比例係数を計算する。

モデル誤差量推定手段１８は、モデル誤差の量（以下「モデル誤差量」という）を推定する。モデル誤差量推定手段１８は、必要に応じてセンサ１９から与えられる情報を用いて、モデル誤差量を推定する。最大誤差計算手段１７は、モデル誤差量推定手段１８が推定したモデル誤差量と、比例係数計算手段１５で計算した比例係数とから、最大の推定誤差、すなわち推定量の最大誤差を定量する。以下では、定量された最大誤差の量を「最大誤差量」という場合がある。

以下では、最大誤差評価手段１１に含まれる各構成要素について、詳細に解説する。

まず、最大誤差評価手段１１を構成するに先立ち、モデル誤差をベクトルηでパラメトライズ、すなわち媒介変数表示し、考慮するモデル誤差の集合Ｅγを以下の式（１）で表す。以下では、モデル誤差を「モデル誤差η」という場合がある。

式（１）において、符号γは、モデル誤差ηの大きさを定める閾値を示す。式（１）に示すベクトルηのｐノルムは、以下の式（２）で定義される。

式（１）および式（２）において、符号ｐは、１もしくは２の整数、または無限大（∞）を示す。式（２）において、η_iは、ベクトルηの第ｉ要素を表し、｜η_i｜は、η_iの絶対値を意味する。また、ηが０のとき、モデル誤差が無いとする。

推定手段１３によって推定される推定量は、測定装置１が何に適用されるかによって異なる。推定量は、たとえば測定装置１が測角装置として用いられる場合には方位であり、測距装置として用いられる場合には距離であり、測位装置として用いられる場合には位置である。測定装置１の適用先によっては、これらの推定量を推定するときに、雑音の分散および電波信号の強度などを同時に推定する場合がある。また複数の発信源の方位、距離および位置などを推定するときに、そのうちの一部の推定量に関する推定誤差のみを定量したい場合もある。

そこで方位、距離および位置、またはその一部など、推定誤差を定量したい推定量をベクトルξでパラメトライズし、推定誤差を定量しない推定量をベクトルζでパラメトライズする。様々な推定量をどのようにパラメトライズするかは、測定量および測定方法に依存するので、本実施の形態では説明せず、後述の実施の形態で具体的なパラメトライズを例示する。

また観測手段１２によって観測される観測量の統計的性質を、確率変数Ｙによって表す。観測手段１２による実際の観測値、すなわち確率変数Ｙの標本からベクトルξおよびベクトルζが推定できることから、確率変数Ｙが従う分布は、ベクトルξおよびベクトルζに依存して変化するはずである。またモデル誤差ηによって推定値に誤差が生じることから、確率変数Ｙが従う分布は、モデル誤差ηにも依存しているはずである。そこで、モデル誤差ηが無いときに確率変数Ｙが従う分布の確率密度関数をｆ（ｙ，ξ，ζ）と表現し、モデル誤差ηがあるときに確率変数Ｙが従う分布の確率密度関数をｆ〜（ｙ，ξ，ζ，η）と表現する。ただし、ｆ〜（ｙ，ξ，ζ，０）＝ｆ（ｙ，ξ，ζ）とする。「ｆ〜」は、記号「ｆ」の上に記号「〜」を付した記号を表す。

推定モデル記憶手段１６は、推定モデルであるモデル関数として、確率密度関数ｆ〜を記憶する。推定モデル記憶手段１６は、半導体メモリなどを用いて、確率密度関数ｆ〜の関数形を所定の値として記憶している。記憶する具体的な方法は任意であり、最低限、ｙ，ξ，ζ，ηを与えたときに、その確率密度関数ｆ〜が計算できればよい。たとえば、推定モデル記憶手段１６は、ｙ，ξ，ζ，ηから確率密度関数ｆ〜を計算する計算機プログラムの形で、確率密度関数ｆ〜を記憶する。

比例係数計算手段１５は、推定モデル記憶手段１６に記憶した確率密度関数ｆ〜と、推定手段１３によって推定したベクトルξ，ζの推定値ξ_est，ζ_estとから、以下の式（３）で定義される行列要素Ξ_i（ｙ）を、ベクトルξの全ての要素ξ_iに関して横に並べた行列Ξ（ｙ）を構成する。

同様に、比例係数計算手段１５は、ベクトルζの全ての要素ζ_iに関して、以下の式（４）で定義される行列要素φ_i（ｙ）を横に並べた行列Φ（ｙ）を構成する。また比例係数計算手段１５は、ベクトルηの全ての要素η_iに関して、以下の式（５）で定義される行列要素ψ_i（ｙ）を横に並べた行列Ψ（ｙ）を構成する。

その上で、比例係数計算手段１５は、以下の式（６）および式（７）で定義される行列を計算する。式（６）および式（７）において、Ｅは期待値作用素である。比例係数計算手段１５は、期待値を、確率変数Ｙがモデル誤差の無い理想的な分布に従うものとして計算する。

最後に、比例係数計算手段１５は、以下の式（８）で定義される行列Λを計算する。この行列Λが、比例係数計算手段１５の出力となる。

前述のように推定モデル記憶手段１６において確率密度関数ｆ〜が計算機プログラムの形で記憶されている場合、比例係数計算手段１５において、期待値の計算は、マルコフ連鎖モンテカルロ法を用いて行われ、マルコフ連鎖モンテカルロ法の各ステップにおける微分の計算は、数値微分を用いて行われる。数値微分については、S.Diop,J.W.Grizzle,F.Chaplais“On Numerical Differentiation Algorithms for Nonlinear Estimation”Proc. Of IEEE Conf. Decision and Control,2000.（以下「参考文献１」という）に記載の公知の方法を用いることができる。またマルコフ連鎖モンテカルロ法については、伊庭幸人、外５名、「統計科学のフロンティア（第１２巻）計算統計ＩＩ〜マルコフ連鎖モンテカルロ法とその周辺」、第１版、株式会社岩波書店、２００５年１０月２８日、ｐ．８−１３（以下「参考文献２」という）に記載の公知の方法を用いることができる。

ここで、ベクトルξのモデル誤差ηが生む推定誤差をｄξとおくと、推定誤差ｄξは以下の式（９）の関係を満たす。

式（９）においてＯは、ランダウの漸近表記であり、推定誤差ｄξの各要素とΛηの各要素との相違が、モデル誤差ηの２ノルムの２乗の定数倍以下であることを示す。したがって、モデル誤差ηが十分に小さければ、推定誤差ｄξはΛηで近似することができる。つまり行例Λは、モデル誤差ηから推定誤差ｄξへの比例係数である。

以上のように比例係数計算手段１７は、推定モデル記憶手段１６に記憶された確率密度関数ｆ〜と、推定手段１３によって推定された推定値ξ_est，ζ_estとを用いて、モデル誤差ηから推定誤差ｄξへの比例係数である行列Λ（以下「比例係数Λ」という場合がある）を計算する。

前述のように推定誤差ｄξは式（９）の関係を満たすので、モデル誤差ηがモデル誤差集合Ｅ_γに含まれている場合に、モデル誤差ηによって生じる推定誤差ｄξの最大値（以下「最大推定誤差」という場合がある）は、以下の式（１０）および式（１１）で近似的に評価することができる。具体的には、モデル誤差集合Ｅ_γを表す式（１）における符号ｐが１または２（ｐ＝１またはｐ＝２）のときには、最大推定誤差は、以下の式（１０）で近似的に評価することができる。式（１）における符号ｐが∞（ｐ＝∞）のときには、最大推定誤差は、以下の式（１１）で近似的に評価することができる。式（１０）および式（１１）において、符号ｑは、１もしくは２の整数、または∞を示す。式（１１）において、符号ｎは、行列Λの列数を示す。

式（１０）および式（１１）の右辺は、ｐとｑとに応じて、表１に示すように計算することができる。表１では、式（１０）または式（１１）の右辺で表される最大推定誤差の近似的な評価を、ｐとｑとの組合せ毎に示す。

表１において、符号ｍは、行列Λの行数を示す。また、表１に示される行列Λの１ノルム、２ノルムおよび無限大ノルムは、それぞれ以下の式（１２）、式（１３）および式（１４）で表される。

式（１３）において、σ_max（Λ）は、行列Λの最大特異値を意味する。最大特異値は、たとえばW.H.Press,S.A.Teukolsky,W.T.Vetterling,B.P.Flannery著、丹慶勝市、奥村晴彦、佐藤俊郎、小林誠訳、「Numerical Recipes in C［日本語版］Ｃ言語による数値計算のレシピ」、初版、株式会社技術評論社、２００１年１１月１日、ｐ．７３−８５,ｐ．３８６−ｐ．３９１（以下「参考文献３」という）に記載の公知の手段で計算することができる。

表１に示される評価のうち、ｐ＝ｑ＝１およびｐ＝ｑ＝２の２つの項目以外の評価は、保守的な評価である。

モデル誤差量推定手段１８は、前述の式（１）に示すモデル誤差ηの大きさを定める閾値γを推定することによって、前述のモデル誤差量を推定する。最も簡単な閾値γの推定は、所定の定数を出力することである。換言すれば、モデル誤差量推定手段１８は、最も簡単には、閾値γとして所定の定数を出力することによって、閾値γを推定する。この場合、測定装置１はセンサ１９を必要としない。

モデル誤差量推定手段１８は、観測手段１２によって観測される電波信号（以下「観測信号」という場合がある）から閾値γを推定してもよいし、センサ１９を用いて閾値γを推定してもよい。観測信号から閾値γを推定する場合は、観測手段１２が、センサ１９と同等の機能、すなわち電波環境を計測してモデル誤差量推定手段１８に与える機能を果たすので、センサ１９を設ける必要はない。したがって測定装置１は、センサ１９を備えなくてもよい。

最大誤差計算手段１７は、比例係数計算手段１５で求めた比例係数である行列Λと、モデル誤差量推定手段１８で推定した閾値γとを用いて、表１に記載の評価値の１つまたは複数を計算し、最大推定誤差として出力する。

以上のようにして、最大誤差評価手段１１によって、モデル誤差集合Ｅ_γに含まれるモデル誤差ηに対する最大推定誤差を定量することができる。これによって、測定装置１は、測定情報を推定手段１３によって推定するときに、測定情報である推定量に生じた誤差に関する誤差情報を測定装置１の使用者に提供することができる。具体的には、測定装置１は、モデル誤差ηによって、推定値にどのくらいの推定誤差が生じているかという情報を、測定装置１の使用者に提供することができる。したがって、本実施の形態の測定装置１によれば、実際の観測環境および観測装置がもつモデル誤差ηが未知の場合、たとえば多数の微弱な干渉波信号が存在する環境下で測定する場合、および観測手段１２に製造誤差がある場合でも、モデル誤差ηが生む最大の推定誤差を定量し、その情報を測定装置１の使用者に提供することができる。

また本実施の形態の測定装置１は、観測手段１２によって電波信号を受信し、受信した電波信号に基づいて、推定手段１３によって測定情報を推定する。本実施の形態の測定装置１によれば、このように電波信号を用いて測定情報を推定する場合に、測定情報に生じる誤差に関する情報を測定装置１の使用者に提供することができる。

＜第２の実施の形態＞
次に本発明の第２の実施の形態の測定装置について説明する。本実施の形態の測定装置は、最大誤差評価手段１１における処理が異なること以外は、前述の第１の実施の形態の測定装置１と同様であるので、異なる部分について説明し、図示および同様の説明を省略する。

本実施の形態では、最大誤差評価手段１１において、比例係数Λを推定値ξ_est，ζ_estを含んだ形で解析的に解いておく。本実施の形態において、推定モデル記憶手段１６は、半導体メモリなどで構成され、推定値ξ_est，ζ_estから比例係数Λを計算するプログラムを記憶している。推定モデルである確率密度関数ｆ〜は、比例係数Λを計算するプログラムに組込まれることになる。したがって推定モデル記憶手段１６が、比例係数Λを計算するプログラムを記憶することは、確率密度関数ｆ〜を記憶することに相当する。

比例係数計算手段１５は、計算機などのプログラム実行装置によって実現され、推定モデル記憶手段１６に記憶されたプログラムを用いて比例係数Λを計算する。モデル誤差量推定手段１８および最大誤差計算手段１７は、第１の実施の形態と同様に構成される。

以上のように本実施の形態では、最大誤差評価手段１１は、推定モデル記憶手段１６に、推定値ξ_est，ζ_estから比例係数Λを計算するプログラムを記憶している。そして、最大誤差評価手段１１は、比例係数計算手段１５によって、推定モデル記憶手段１６に記憶されたプログラムを用いて比例係数Λを計算する。これによって、第１の実施の形態の最大誤差評価手段１１の比例係数計算手段１５におけるマルコフ連鎖モンテカルロ法および数値微分を用いた計算を省略することができる。したがって、第１の実施の形態に比べて、測定装置全体が必要とする計算量を削減することができる。

＜第３の実施の形態＞
次に本発明の第３の実施の形態の測定装置について説明する。本実施の形態の測定装置は、最大誤差評価手段１１における処理が異なること以外は、前述の第１および第２の実施の形態の測定装置１と同様であるので、異なる部分について説明し、図示および同様の説明を省略する。

前述の第２の実施の形態では、前述の表１に示すｐおよびｑが２（ｐ＝ｑ＝２）の場合でも、最大誤差評価手段１１において、比例係数Λを推定値ξ_est,ζ_estを含んだ形で解析的に解いておく。これに対し、本実施の形態では、ｐおよびｑが２（ｐ＝ｑ＝２）の場合には、最大誤差評価手段１１において、以下の式（１５）で表される行列を、推定値ξ_est,ζ_estを含んだ形で解析的に解いておく。

推定モデル記憶手段１６は、半導体メモリなどで構成され、推定値ξ_est,ζ_estから式（１５）で表される行列を計算するプログラムを記憶している。推定モデルである確率密度関数ｆ〜は、式（１５）で表される行列を計算するプログラムに組込まれることになる。したがって推定モデル記憶手段１６が、式（１５）で表される行列を計算するプログラムを記憶することは、確率密度関数ｆ〜を記憶することに相当する。

比例係数計算手段１５は、計算機などのプログラム実行装置によって実現され、推定モデル記憶手段１６に記憶されたプログラムを用いて、式（１５）で表される行列を計算する。モデル誤差量推定手段１８は、第１の実施の形態と同様に構成される。最大誤差計算手段１７は、本実施の形態では、比例係数Λの最大特異値σ_max（Λ）が式（１５）の最大固有値の自乗根と等しいことを利用して、式（１５）から最大特異値σ_max（Λ）を計算する。

比例係数Λは、推定誤差を評価したい推定量の個数分の行数と、モデル誤差のパラメータηの次元分の列数を持つ行列である。モデル誤差のパラメータηの次元は大きいので、比例係数Λは列方向に大きな行列となる。これに対し、式（１５）で表される行列は、推定誤差を評価したい推定量の個数に等しい列数および行数を持つ正方行列であるので、比例係数Λに比べて有意に小さな行列である。

本実施の形態において、最大誤差評価手段１１は、式（１５）で表される行列を計算するので、大きな行列Λを直接計算せずに最大推定誤差を求めることができる。これによって、前述の第２の実施の形態の測定装置に比較して、測定装置全体が必要とする計算量をさらに削減することができる。

＜第４の実施の形態＞
次に本発明の第４の実施の形態について説明する。図２は、本発明の第４の実施の形態である測距装置２１を含む測距システム２０の構成を模式的に示す図である。測距システム２０は、測距装置２１およびトランスポンダ２３を備えて構成される。本実施の形態の測距装置２１は、前述の第１の実施の形態の測定装置１を適用した測距装置である。したがって測距装置２１は、前述の図１に示す最大誤差評価手段１１、観測手段１２、推定手段１３、表示手段１４およびセンサ１９を備えて構成される。測距装置２１は、電波信号を用いて２つの地点間の距離を測定する。本実施の形態では、測距装置２１は、モデル誤差として、微弱な干渉波信号２７の影響、すなわち干渉波信号２７によって生じる誤差を考慮する。

測距システム２０では、１つの測距装置２１に対して、複数のトランスポンダ２３がそれぞれ異なる位置に設けられてもよい。本実施の形態では、理解を容易にするために、２つのトランスポンダ２３を備える測距システム２０について説明するが、トランスポンダ２３は、３つ以上備えられてもよい。

測距装置２１は、測距装置用アンテナ２２を備える。測距装置用アンテナ２２は、前述の図１に示す観測手段１２に備えられる。各トランスポンダ２３は、トランスポンダ用アンテナ２４を備える。測距装置２１およびトランスポンダ２３は、距離を測定したい２つの地点にそれぞれ設置される。さらに具体的には、測距装置２１およびトランスポンダ２３は、測距装置用アンテナ２２とトランスポンダ用アンテナ２４とが、距離を測定したい２つの地点と正確に一致するように設置される。

測距システム２０は、以下の手順で動作する。まず測距装置２１が、各トランスポンダ２３に向けて、測距装置用アンテナ２２を介してトリガ信号２５を送信する。各トランスポンダ２３は、測距装置２１から送信されたトリガ信号２５をトランスポンダ用アンテナ２４で受信する。トランスポンダ２３は、測距装置２１から送信されたトリガ信号２５を受信すると、直ちに、または所定の時間βが経過した後に、測距装置２１に向けて、トランスポンダ用アンテナ２４を介して応答信号２６を送信する。測距装置２１は、各トランスポンダ２３から送信された応答信号２６を、測距装置用アンテナ２２を介して受信する。本実施の形態では、測距装置２１が応答信号２６を受信するときに、微弱な干渉波信号２７も同時に受信してしまうものとする。

トランスポンダ２３は、電波信号の送受信器と増幅器とを備えた無線装置によって実現されてもよいし、単純な電波反射器によって実現されてもよい。トランスポンダ２３が無線装置によって実現される場合、トリガ信号２５と応答信号２６とは、異なっていてもよいし、同じであってもよい。トランスポンダ２３が電波反射器によって実現される場合、トリガ信号２５が電波反射器であるトランスポンダ２３で反射された信号が応答信号２６であり、前記所定の時間βは０である。

本実施の形態では、トランスポンダ２３の個数をＮとおき、各トランスポンダ２３を添字ｎで区別する。たとえば複数のトランスポンダ２３のうち、ｎ個目のトランスポンダ２３を第ｎトランスポンダ２３という。電波信号は光速ｃで伝播するので、測距装置２１がトリガ信号２５を送信してから応答信号２６を受信するまでの経過時間は、測距装置２１と第ｎトランスポンダ２３との間の距離をｌ_nとして、以下の式（１６）で表される。

したがって、干渉波信号が無い理想的な条件下で測距装置２１が受信した受信信号、具体的には応答信号２６をＩＱ（In Phase-Quadrant Phase）検波した標本ｚ（ｋ）は、トランスポンダ２３が送信する応答信号２６をｗ（ｔ）として、以下の式（１７）で表現することができる。式（１７）において、符号ｈはサンプリング周期を示し、ｘ（ｋ）は雑音を示す。

第ｎトランスポンダ２３が無線装置で実現される場合、式（１７）におけるα_nは、第ｎトランスポンダ２３から測距装置２１への応答信号２６である電波信号の複素伝播係数を意味する。第ｎトランスポンダ２３が電波反射器で実現される場合、式（１７）におけるα_nは、第ｎトランスポンダ２３から測距装置２１への応答信号２６である電波信号の複素伝播係数の自乗に、第ｎトランスポンダ２３の反射係数を掛け合わせたものを意味する。

ここでｘ（ｋ）は複素ガウス分布に従うものとみなせるので、干渉波信号が無い理想的な状況下では、受信信号ｚ（ｋ）の従う分布の確率密度関数ｆは、以下の式（１８）で表現することができる。式（１８）におけるｕ（ｋ）は、以下の式（１９）で定義される。式（１８）および式（１９）において、符号ｌは、測距装置２１とトランスポンダ２３との間の距離（以下、単に「距離」という場合がある）を示し、測距装置２１と第ｎトランスポンダ２３との間の距離ｌ_nを縦に並べたベクトルで表される。またαは、トランスポンダ２３から測距装置２１への電波信号の伝播係数（以下、単に「伝播係数」という場合がある）を示し、第ｎトランスポンダ２３から測距装置２１への電波信号の複素伝播係数α_nを縦に並べたベクトルで表される。またσは、雑音の標準偏差を示す。

本実施の形態において、観測手段１２は、トランスポンダ２３からの電波信号である応答信号２６を受信し、受信した応答信号２６をＩＱ検波し、複素デジタル標本ｚとして出力する。推定手段１３は、推定値として、標本ｚを実際の受信信号としたときの確率密度関数ｆを最大にするような距離ｌ、伝播係数αおよび標準偏差σのうち、少なくとも距離ｌを求める。距離ｌを求める方法としては、たとえば前述の参考文献１に記載の公知の方法を用いることができる。伝播係数αおよび標準偏差σの推定値は、距離ｌの推定値から求めることができる。

次に、干渉波信号ｖ（ｋ）が存在する場合を考える。干渉波信号ｖ（ｋ）が存在する場合、受信信号ｚ（ｋ）は以下の式（２０）で表される。

本実施の形態の測距装置２１では、干渉波信号の最大電力がγ²程度であるという想定のもと、前述の第１の実施の形態で説明した最大誤差評価手段１１を用いて、干渉波信号による最大の推定誤差を定量することができる。

受信信号に干渉波信号が重畳する場合の受信信号ｚが従う分布の確率密度関数ｆ〜は、以下の式（２１）で表される。式（２１）におけるｕ（ｋ）は、以下の式（２２）で定義される。

ここでｙ，ξ，ζ，ηを、以下の式（２３）、式（２４）、式（２５）および式（２６）に示すようにおく。

式（２３）〜式（２６）に示すようにｙ，ξ，ζ，ηをおくと、ξ，ζ，ηに依存するｙの確率密度関数ｆ〜は、以下の式（２７）で表される。式（２７）におけるｕ（ξ，ζ）は、以下の式（２８）で定義される。

式（２３）〜式（２６）におけるｚ^r，α^r，ｖ^rは、それぞれｚ，α，ｖの実部を表し、ｚⁱ，αⁱ，ｖⁱはそれぞれｚ，α，ｖの虚部を表す。

式（２４）では、式（２２）におけるｌ_nの全てをξとしているが、式（２２）におけるｌ_nのうちの一部だけをξとし、残りをζに含めてもよい。また干渉波信号の総電力がγ²であることから、モデル誤差のノルムはｐ＝２である。あとは第１の実施の形態と同様に最大誤差評価手段１１を構成する。

＜第４の実施の形態の第１変形例＞
次に、測距装置２１の最大誤差評価手段１１として、第１の実施の形態における最大誤差評価手段１１に代えて、第２の実施の形態における最大誤差評価手段１１を適用した測距装置について説明する。第２の実施の形態における最大誤差評価手段１１を用いることによる前述の計算量の低減効果をより明確に示すために、標本数Ｋが十分大きく、応答信号ｗ（ｔ）が近似的に定常な信号の場合を考える。この場合、比例係数Λは以下の手順で計算することができる。

まず応答信号２６を表す関数ｗ（ｔ）の微分をｄ（ｔ）として、関数ｗ（ｔ）の全ての要素を並べた行列Ｗおよび微分ｄ（ｔ）の全ての要素を並べた行列Ｄを、それぞれ以下の式（２９）および式（３０）に示すようにおく。

さらに関数ｗ（ｔ）の自己相関関数をＲ_w,w（ｔ）として、自己相関関数Ｒ_w,w（ｔ）の全ての要素を並べた行列Ｓ_w,wを、以下の式（３１）に示すようにおく。

また関数ｗ（ｔ）の微分ｄ（ｔ）と関数ｗ（ｔ）との相互相関関数をＲ_d,w（ｔ）とし、微分ｄ（ｔ）の自己相関関数をＲ_d,d（ｔ）として、相互相関関数Ｒ_d,w（ｔ）の全ての要素を並べた行列Ｓ_d,wおよび微分ｄ（ｔ）の自己相関関数Ｒ_d,d（ｔ）の全ての要素を並べた行列Ｓ_d,dを式（３１）と同様におく。このとき、α_nを対角に並べた行列をＡとし、以下の式（３２）で表される行列の実部および虚部をそれぞれＧ^r，Ｇⁱとおく。

さらに式（３３）で表される行列をＦとする。

このとき干渉波信号ｖがもたらす推定誤差は、以下の式（３４）で表される。

ただし、ｖ^rは干渉波信号ｖ（ｋ）の実部をｋ＝０からｋ＝Ｋ−１まで縦に並べた行列であり、ｖⁱは干渉波信号ｖ（ｋ）の虚部をｋ＝０からｋ＝Ｋ−１まで縦に並べた行列である。したがって、比例係数Λは以下の式（３５）で表される。

式（３５）で表される比例係数Λの計算は、第１の実施の形態の比例係数計算手段１５におけるマルコフ連鎖モンテカルロ法と数値微分法とを用いた計算よりも、大幅に計算量が少ない。したがって、測距装置２１の最大誤差評価手段１１として、第１の実施の形態における最大誤差評価手段１１に代えて、第２の実施の形態における最大誤差評価手段１１を適用することによって、第１の実施の形態に比べて、測定装置全体が必要とする計算量を削減することができる。

＜第４の実施の形態の第２変形例＞
次に、測距装置２１の最大誤差評価手段１１として、第１の実施の形態における最大誤差評価手段１１に代えて、第３の実施の形態における最大誤差評価手段１１を適用した測距装置について説明する。ｐ＝ｑ＝２として第３の実施の形態で説明した最大誤差評価手段１１を第４の実施の形態に適用する場合、最大誤差評価手段１１は、式（１５）で表される行列として、以下の式（３６）で表される行列Ｆ^-1を計算すればよい。

式（３６）の形から明らかなように、式（３６）を計算する方が、前述の第１変形例で用いられる式（３５）を計算するよりも、計算量が少なくなっている。したがって、測距装置２１の最大誤差評価手段１１として、第３の実施の形態における最大誤差評価手段１１を用いることによって、第２の実施の形態における最大誤差評価手段１１を用いた第１変形例の測定装置に比較して、測定装置全体が必要とする計算量をさらに削減することができる。

第４の実施の形態において、観測手段１２は、トランスポンダ２３からの応答信号２６を受信する。推定手段１３は、観測手段１２によって受信された応答信号２６から、受信機である測距装置２１とトランスポンダ２３との距離ｌ、伝播係数αおよび雑音の標準偏差σを推定する。伝播係数αおよび雑音の標準偏差σの推定値は、距離ｌの推定値から計算できるので、推定手段１３は、少なくとも距離ｌを推定できればよい。

また距離ｌの推定値は、確率密度関数ｆを最大にする距離ｌとして特徴づけられるが、必ずしも確率密度関数ｆを最大化することによって距離ｌを求める必要はない。推定手段１３は、確率密度関数ｆを最大にするような距離ｌ、または十分精度の良いその近似値を求める公知の手段を用いて、距離ｌの推定値を求めればよい。距離ｌの推定値を求める公知の手段としては、たとえば前述の参考文献１に記載される手段を用いることができる。

最大誤差評価手段１１は、少なくとも推定手段１３が推定した距離ｌの推定値から、総電力γ²以下の干渉波信号が推定値に与える最大の誤差である最大推定誤差を定量し、表示手段１４に与える。表示手段１４は、推定手段１３で推定された推定値と、最大誤差評価手段１１で定量された最大推定誤差とを、総合して表示することによって、測距装置２１の使用者に提供する。

最大誤差評価手段１１において、推定モデル記憶手段１６は、確率密度関数ｆ〜を計算するプログラムを記憶する。比例係数計算手段１５は、推定モデル記憶手段１６に記憶された確率密度関数ｆ〜を形成するプログラムを用いて、第１の実施の形態における最大誤差評価手段１１と同様にして、比例係数Λを求める。このとき、推定誤差を定量すべき推定量は、測距装置２１と全てのトランスポンダ２３との間の距離としてもよいし、測距装置２１と一部のトランスポンダ２３との間の距離としてもよい。

モデル誤差量推定手段１８は、たとえば所定の値を閾値γとして出力するか、推定手段１３によって推定した雑音の標準偏差σを閾値γとして出力するか、またはセンサ１９を用いて電波環境を計測して干渉波信号の総電力γ²を推定して閾値γを出力することによって、モデル誤差量を推定する。所定の値を閾値γとして出力する場合は、センサ１９は必要ではない。標準偏差σを閾値γとして出力する場合は、観測手段１２および推定手段１３がセンサ１９と同様の機能を果たすので、センサ１９は必要ではない。

最大誤差計算手段１７は、モデル誤差量推定手段１８によって推定した閾値γと、比例係数計算手段１５によって計算した比例係数Λとから、最大推定誤差の定量値として、表１のｐ＝２、ｑ＝１、２または∞の各量のうち少なくともいずれか１つを計算して出力する。

第１変形例のように、測距装置２１の最大誤差評価手段１１として第２の実施の形態で説明した最大誤差評価手段１１を用いる場合、推定モデル記憶手段１６は、式（３５）に従って比例係数Λを計算するプログラムを記憶するように構成される。比例係数計算手段１５は、推定モデル記憶手段１６に記憶されたプログラムを実行する計算機などのプログラム実行装置として構成される。

第２変形例のように、ｐ＝ｑ＝２として、測距装置２１の最大誤差評価装置１１として第３の実施の形態で説明した最大誤差評価手段１１を用いる場合、推定モデル記憶手段１６は、式（３６）に従ってΛΛ^Tを計算するプログラムを記憶するように構成される。比例係数計算手段１５は、推定モデル記憶手段１６に記憶された前記プログラムを実行して式（３６）で表される行列ΛΛ^Tを求める。最大誤差計算手段１７は、比例係数計算手段１５で求めた前記ΛΛ^Tから最大推定誤差を計算する。

本実施の形態の測距装置２１によれば、様々な干渉波信号が存在する環境下において、離れた２つの地点間の距離を、電波信号を用いて計測するだけでなく、干渉波信号が距離の推定値に与える最大推定誤差を定量し、その情報を測距装置２１の使用者に提供することができる。また第１および第２変形例のように、第２または第３の実施の形態で説明した最大誤差評価手段１１を用いることによって、最大推定誤差をより少ない計算量で提供することができる。したがって、前述のように最大推定誤差を定量して使用者に提供することのできる測距装置２１を、より簡単な構成で実現することができる。

＜第５の実施の形態＞
次に本発明の第５の実施の形態の測距装置について説明する。本実施の形態の測距装置は、前述の図２に示す第４の実施の形態の測距装置２１において、モデル誤差として、干渉波信号２７によって生じる誤差ではなく、観測手段１２の製造誤差を考慮した構成になっている。本実施の形態の測距装置は、考慮するモデル誤差が観測手段１２の製造誤差であること以外は、前述の第４の実施の形態の測距装置２１と同様であるので、異なる部分について説明し、同様の説明を省略する。

本実施の形態の測距装置は、第４の実施の形態の測距装置２１と同様、図２に示すトランスポンダ２３とともに測距システム２０を構成する。本実施の形態の測距装置は、第４の実施の形態と同様、前述の第１の実施の形態の測定装置１を適用した測距装置である。したがって本実施の形態の測距装置は、前述の図１に示す最大誤差評価手段１１、観測手段１２、推定手段１３、表示手段１４およびセンサ１９を備えて構成される。

図３は、観測手段１２の構成を示すブロック図である。観測手段１２は、具体的には、測距装置用アンテナ２２、第１増幅器３１、Ｉ検波器３２、第２増幅器３２およびＱ検波器３４を備えて構成される。観測手段１２は、測距装置用アンテナ２２を介して、トランスポンダ２３から送信された応答信号２６を受信する。受信された応答信号２６は、第１増幅器３１および第２増幅器３３に与えられ、各増幅器３１，３２で増幅される。第１増幅器３１で増幅された信号は、Ｉ検波器３２に与えられ、Ｉ検波器３２でＩ検波が行われる。第２増幅器３３で増幅された信号は、Ｑ検波器３４に与えられ、Ｑ検波器３４でＱ検波が行われる。Ｉ検波器３２によってＩ検波された信号およびＱ検波器３４によってＱ検波された信号は、推定手段１３に与えられる。

本実施の形態では、観測手段１２の製造誤差によって、推定手段１３に与えられる信号の実部および虚部にそれぞれ、乗法的にゲイン誤差が重畳する場合を考える。Ｉ検波器３２には、第１増幅器３１に起因するゲインが与えられ、Ｑ検波器３４には、第２増幅器３３に起因するゲインが与えられる。この結果、受信信号ｚ（ｋ）は、ゲイン誤差の実部のパラメータをｂ^rとし、虚部のパラメータをｂⁱとして、以下の式（３７）で表される。

式（３７）において、符号ｊは、虚数単位を表す。α_n ^rは、式（１７）に示す複素伝播係数α_nの実部を表し、α_n ⁱは、式（１７）に示す複素伝播係数α_nの虚部を表す。ω、ｋ、ｈ、ｌ_n、ｃ、βおよびｘ（ｋ）は、式（１７）と同様である。製造時の規格として、式（３７）におけるゲイン誤差のパラメータｂ^r，ｂⁱは、以下の式（３８）を満たすものとする。

このとき、モデル誤差である観測手段１２の製造誤差ηを、以下の式（３９）に示すようにおき、他は前述の第４の実施の形態と同様に最大誤差評価手段１１を構成する。これによって、観測手段１２の製造誤差がもたらす最大の推定誤差を定量することができる。

本実施の形態においても、第２または第３の実施の形態で説明したように、比例係数Λ、またはΛΛ^Tを解析的に求めて最大誤差評価手段１１を構成することによって、計算量を削減することができる。

以上のように本実施の形態の測距装置によれば、観測手段１２が製造誤差を持っている場合でも、離れた２つの地点間の距離を、電波信号を用いて推定するとともに、観測手段１２の製造誤差が推定値に及ぼす最大の誤差である最大推定誤差を定量し、その情報を測距装置の使用者に提供することができる。また最大誤差評価手段１１として、第２または第３の実施の形態の最大誤差評価手段１１を用いることによって、前述の推定値および最大推定誤差をより少ない計算量で提供することができる。

本実施の形態では、第４の実施の形態で示した干渉波信号に対する最大誤差評価手段１１に続き、観測手段１２の製造誤差に対する最大誤差評価手段１１を示したが、その他のモデル誤差に対しても同様に最大誤差評価手段１１を構成することができる。

＜第６の実施の形態＞
次に本発明の第６の実施の形態について説明する。図４は、本発明の第６の実施の形態である測位装置４１を含む測位システム４０の構成を模式的に示す図である。測位システム４０は、測位装置４１およびトランスポンダ４３を備えて構成される。本実施の形態の測位装置４１は、前述の第１の実施の形態の測定装置１を適用した測位装置である。したがって測位装置４１は、前述の図１に示す最大誤差評価手段１１、観測手段１２、推定手段１３、表示手段１４およびセンサ１９を備えて構成される。測位装置４１は、電波信号を用いて、トランスポンダ４３の位置を測定する。本実施の形態では、測位装置４１は、モデル誤差として、微弱な干渉波信号４６の影響、すなわち干渉波信号４６によって生じる誤差を考慮する。

トランスポンダ４３は、位置を測定したい地点に設置される。測位システム４０では、１つの測位装置４１に対して、複数のトランスポンダ４３がそれぞれ異なる位置に設置されていてもよい。図４では、理解を容易にするために、１つのトランスポンダ４３を備える測位システム４０を図示しているが、トランスポンダ４３は、２つ以上備えられてもよい。

測位装置４１は、複数の測位装置用アンテナ４２を備える。本実施の形態では、測位装置４１は、３つの測位装置用アンテナ４２を備える。複数の測位装置用アンテナ４２は、異なる位置に設けられる。換言すると、測位装置４１は、２つ以上の異なる位置に、測位装置用アンテナ４２を備える。測位装置用アンテナ４２は、前述の図１に示す観測手段１２に備えられる。複数の測位装置用アンテナ４２は、たとえば時分割でトリガ信号を送信することによって、それぞれ独立にトランスポンダ４３と電波信号の送受信ができるように構成される。

トランスポンダ４３は、トランスポンダ用アンテナ４４を備える。トランスポンダ４３は、前述の第４の実施の形態におけるトランスポンダ２３と同様、電波信号の送受信器と増幅器とを備えた無線装置によって実現されてもよいし、単純な電波反射器によって実現されてもよい。

測位システム４０は、前述の図２に示す測距システム２０と同様の手順で動作する。具体的には、まず測位装置４１がトランスポンダ４３に向けて、各測位装置用アンテナ４２を介してトリガ信号を送信する。トランスポンダ４３は、測位装置４１から送信されたトリガ信号をトランスポンダ用アンテナ４４で受信する。トランスポンダ４３は、測位装置４１から送信されたトリガ信号を受信すると、直ちに、または所定の時間βが経過した後に、測位装置４１に向けて、トランスポンダ用アンテナ４４を介して応答信号として電波信号４５を送信する。測位装置４１は、トランスポンダ４３から送信された電波信号４５を、各測位装置用アンテナ４２を介して受信する。

トランスポンダ４３が無線装置によって実現される場合、トリガ信号と応答信号である電波信号４５とは、異なっていてもよいし、同じであってもよい。トランスポンダ４３が電波反射器によって実現される場合、トリガ信号が電波反射器であるトランスポンダ４３で反射された信号が、応答信号である電波信号４５であり、前記所定の時間βは０である。

本実施の形態では、モデル誤差ηとして干渉波信号４６が、各測位装置用アンテナ４２を介して受信されてしまう場合を考える。また干渉波信号４６の総電力は、前述の式（１）に示すモデル誤差ηの大きさを定める閾値γの自乗γ²であるとする。

ある測位装置用アンテナ４２から等距離にある点の集合は、２次元平面上で測位装置用アンテナ４２を中心とする円を描く。測位装置４１が２つの測位装置用アンテナ４２を備える場合、２つの測位装置用アンテナ４２からトランスポンダ４３までの距離をそれぞれ測定すれば、トランスポンダ４３の位置は平面上の２点に限定される。この場合、事前知識として、トランスポンダ４３の存在範囲が限定されていれば、２つの測位装置用アンテナ４２によってトランスポンダ４３の位置を決定することができる。測位装置４１が３つの測位装置用アンテナ４２を備える場合には、３つの測位装置用アンテナ４２が同一直線上でない位置関係にあれば、３つの測位装置用アンテナ４２からトランスポンダ４３までの距離をそれぞれ測定することによって、平面内でトランスポンダ４３の位置を一意に決定することができる。

ここで、トランスポンダ４３の個数をＮとおき、各トランスポンダ４３を添字ｎで区別する。たとえば複数のトランスポンダ４３のうち、ｎ個目のトランスポンダ４３を第ｎトランスポンダ４３という。測位システム４０がトランスポンダ４３を１つ備える場合には、このトランスポンダ４３を第１トランスポンダ４３という。また測位装置用アンテナ４２の個数をＭとおき、各測位装置用アンテナ４２を添字ｍで区別する。たとえば複数の測位装置用アンテナ４２のうち、ｍ個目の測位装置用アンテナ４２を第ｍ測位装置用アンテナ４２という。また第ｎトランスポンダ４３の位置を２次元ベクトルで表現してｒ_nとおき、第ｍ測位装置用アンテナ４２の位置を２次元ベクトルで表現してｓ_mをおく。

第ｍ測位装置用アンテナ４２での干渉波信号ｖの受信信号をｖ_m（ｋ）とおくと、第ｍ測位装置用アンテナ４２での受信信号ｚ_m（ｋ）は、トランスポンダ４３からの電波信号４５をｗ（ｔ）とし、第ｎトランスポンダ４３からの電波信号ｗ（ｔ）をｗ_n（ｔ）とし、第ｍ測位装置用アンテナ４２で受信される雑音ｘ（ｋ）をｘ_m（ｋ）として、以下の式（４０）で表される。

式（４０）におけるα_m,nは、トランスポンダ４３が無線装置で実現される場合には、第ｎトランスポンダ４３から第ｍ測位装置用アンテナ４２への電波信号４５の伝播係数であり、トランスポンダ４３が電波反射器で実現される場合には、第ｎトランスポンダ４３から第ｍ測位装置用アンテナ４２への電波信号４５の伝播係数の自乗に、第ｎトランスポンダ４３の反射係数を掛け合わせたものである。式（４０）におけるｋ、ｈ、ｃおよびβは、式（１７）と同様である。

ｚ₁（ｋ）からｚ_M（ｋ）までを縦に並べた行列をｚ（ｋ）として、受信信号ｚの従う確率密度関数は、ｚ_mがそれぞれ従う確率密度関数の積で表されるので、ｒ₁からｒ_Nまでを並べた行列をｒとし、σ₁からσ_Mまでを並べた行列をσとして、受信信号ｚが従う分布の確率密度関数ｆ〜は、以下の式（４１）で表される。ただし、式（４１）におけるｕ_m（ｋ）は、以下の式（４２）で定義される。

ただし、式（４１）および式（４２）におけるｕ_m（ｋ）は、ｕ（ｋ）の第ｍ要素を意味する。モデル誤差が無いときの理想的な確率密度関数ｆは、式（４２）においてｖ＝０としたときの式（４１）の確率密度関数ｆ〜に等しい。

本実施の形態において、測位装置４１の観測手段１２は、トランスポンダ４３からの電波信号４５を受信する。推定手段１３は、たとえば非特許文献１に記載の公知の手段によって、観測手段１２で受信した電波信号４５である受信信号からトランスポンダ４３の位置を推定する。最大誤差評価手段１１は、第１の実施の形態で説明した方法によって、少なくとも推定手段１３が推定したトランスポンダ４３の位置の推定値から、干渉波信号４６がもたらす推定値の最大誤差である最大推定誤差を定量する。表示手段１４は、推定手段１３で推定された推定値と、最大誤差評価手段１１で定量された最大推定誤差とを総合して表示することによって、測位装置４１の使用者に提供する。

本実施の形態においても、第２または第３の実施の形態で説明したように、比例係数Λ、またはΛΛ^Tを解析的に求めて最大誤差評価手段１１を構成することによって、計算量を削減することができる。

以上のように本実施の形態の測位装置４１によれば、多数の干渉波信号４６が存在する実際の観測環境下で、電波信号４５を用いてトランスポンダ４３の位置を測定するとともに、干渉波信号４６がもたらす最大の測位誤差である最大推定誤差を定量し、その情報を測位装置４１の使用者に提供することができる。また最大誤差評価手段１１として、第２または第３の実施の形態の最大誤差評価手段１１を用いることによって、前述の推定値および最大推定誤差をより少ない計算量で提供することができる。

本実施の形態では干渉波信号をモデル誤差として最大誤差評価手段１１を構成したが、製造誤差などの他のモデル誤差に対しても同様の方法で、最大誤差評価手段１１を構成してもよい。

＜第７の実施の形態＞
次に本発明の第７の実施の形態の測位装置について説明する。本実施の形態の測位装置は、前述の図４に示す第６の実施の形態の測位装置４１を、３次元空間内の位置を測定する測位装置に拡張したものである。本実施の形態の測位装置は、測定する位置が、３次元空間内の位置であること以外は、第６の実施の形態の測位装置４１と同様であるので、異なる部分について説明し、図示および同様の説明を省略する。

前述の第６の実施の形態の測位装置４１は、式（４２）において、第ｎトランスポンダ４３の位置を表すベクトルとして、２次元ベクトルｒ_nを用い、第ｍ測位装置用アンテナ４２の位置を表すベクトルとして、２次元ベクトルｓ_mを用いている。この式（４２）において、第ｎトランスポンダ４３の位置を表す２次元ベクトルｒ_nおよび第ｍ測位装置用アンテナ４２の位置を表す２次元ベクトルｓ_mを、それぞれ３次元ベクトルに変更することによって、第６の実施の形態における測位装置４１を、容易に３次元空間内の位置を測定する測位装置に拡張することができる。このようにして第６の実施の形態の測位装置４１を、３次元空間内の位置を測定する測位装置に拡張したものが、本実施の形態の測位装置である。

本実施の形態の測位装置においても、同一直線上でない３つの位置に設置された測位装置用アンテナ４２によって、トランスポンダ４３の位置を一意に決定することができる。

本実施の形態の測位装置によれば、第６の実施の形態の測位装置４１と同様の効果が達成される。具体的には、多数の微弱な干渉波信号４６、および電波受信機である観測手段１２の製造誤差などのモデル誤差が存在する状況下でも、電波信号４５を用いてトランスポンダ４３の位置を測定するとともに、モデル誤差がもたらす最大の測位誤差である最大推定誤差を定量し、その情報を測位装置の使用者に提供することができる。

＜第８の実施の形態＞
次に本発明の第８の実施の形態の測位装置について説明する。本実施の形態の測位装置は、トランスポンダ４３の位置に代えて、測位装置の位置を測定すること以外は、前述の図４に示す第６の実施の形態の測位装置４１、または前述の第７の実施の形態の測位装置と同様であるので、異なる部分について説明し、図示および同様の説明を省略する。以下では、本実施の形態の測位装置についても、「測位装置４１」という場合がある。

前述の第６および第７の実施の形態では、位置を測定したい地点にトランスポンダ４３を設置し、トランスポンダ４３の位置を測位装置４１によって測定する。本実施の形態では、位置座標が判明している複数の地点にトランスポンダ４３を設置し、測位装置４１の位置を、その測位装置４１によって測定する。この場合、測位システム４０は、測位装置４１と複数のトランスポンダ４３とを備えて構成される。

トランスポンダ４３は、無線装置として構成しても電波反射器として構成してもよいが、観測した電波信号４５から複数のトランスポンダ４３を識別できるように構成する。たとえば、トランスポンダ４３を無線装置として構成する場合は、複数の種類のトリガ信号を用意し、特定のトリガ信号に対して特定のトランスポンダ４３のみが応答信号として電波信号４５を返すようにするか、または１種類のトリガ信号に対して、トランスポンダ４３毎に固有の応答信号を電波信号４５として返すようにする。トランスポンダ４３を電波反射器として構成する場合は、たとえば、測位装置４１の測位装置用アンテナ４２に指向性をもたせ、１回の計測で、測位装置４１から見て特定の方向にあるトランスポンダ４３の応答信号のみを電波信号４５として受信できるようにする。

本実施の形態では、各トランスポンダ４３と測位装置４１の測位装置用アンテナ４２との間の電波信号の伝播時間によって、各トランスポンダ４３と測位装置４１との間の距離が計測される。測位装置４１は、位置座標が判明している少なくとも２つ以上のトランスポンダ４３との間の距離を計測することによって、自装置の位置、すなわち測位装置４１の位置を特定することができる。

以上のように本実施の形態の測位装置４１によれば、多数の微弱な干渉波信号、および電波受信機である観測手段１２の製造誤差などのモデル誤差が存在する状況下でも、電波信号４５を用いて測位装置４１の位置を測定するとともに、モデル誤差がもたらす最大の測位誤差である最大推定誤差を定量し、その情報を測位装置４１の使用者に提供することができる。

＜第９の実施の形態＞
次に本発明の第９の実施の形態の測位装置について説明する。本実施の形態では、電波信号の到来時刻差を利用した測位装置について説明する。図５は、本発明の第９の実施の形態である測位装置５１を含む測位システム５０の構成を模式的に示す図である。測位システム５０は、測位装置５１および送信機５３を備えて構成される。本実施の形態の測位装置５１は、前述の第１の実施の形態の測定装置１を適用した測位装置である。したがって測位装置５１は、前述の図１に示す最大誤差評価手段１１、観測手段１２、推定手段１３、表示手段１４およびセンサ１９を備えて構成される。本実施の形態では、測位装置５１は、モデル誤差として、微弱な干渉波信号５６の影響を考慮する。

測位装置５１は、３つ以上の異なる位置に、測位装置用アンテナ５２を備える。換言すれば、測位装置５１は、測位装置用アンテナ５２を３つ以上備え、これらの測位装置用アンテナ５２は、異なる位置に設けられる。測位装置用アンテナ５２は、前述の図１に示す観測手段１２に備えられる。

送信機５３は、送信機用アンテナ５４を備える。送信機５３は、位置を測定したい地点に設置される。測位システム５０では、１つの測位装置５１に対して、複数の送信機５３がそれぞれ異なる位置に設置されていてもよい。図５では、理解を容易にするために、１つの送信機５３を備える測位システム５０を図示しているが、送信機５３は、２つ以上備えられてもよい。

測位装置用アンテナ５２は、送信機５３から送信される電波信号５５を受信する。本実施の形態では、送信機５３から送信される電波信号５５を受信するとき、各測位装置用アンテナ５２で受信された電波信号５５である受信信号に、微弱な干渉波信号５６が重畳するとする。電波信号５５は光速ｃで伝播するので、各測位装置用アンテナ５２で受信された電波信号５５である受信信号は、送信機５３と各測位装置用アンテナ５２との距離に応じて、遅れをもつ。

今、送信機５３が電波信号５５を送信した正確な時刻は未知であるから、１つの測位装置用アンテナ５２によって受信信号の遅れを測定することはできない。しかし、複数の測位装置用アンテナ５２間での受信信号の遅れの差は測定することができる。すなわち、測位装置用アンテナ５２と送信機５３との距離は測定できないが、送信機５３と予め定める１つの測位装置用アンテナ５２との距離、および送信機５３と予め定める他の測位装置用アンテナ５２との距離の差は測定することができる。

本実施の形態では、２つの測位装置用アンテナ５２で受信信号の遅れの差を測定することによって、送信機５３の位置を１本の双曲線上に限定することができる。したがって、相異なる２つの測位装置用アンテナ５２のペアで受信信号の遅れの差を計測することによって、送信機５３の位置を一意に推定することができる。

ここで、送信機５３の個数をＮとおき、各送信機５３を添字ｎで区別する。たとえば複数の送信機５３のうち、ｎ個目の送信機５３を第ｎ送信機５３という。測位システム５０が送信機５３を１つ備える場合には、この送信機５３を第１送信機５３という。また測位装置用アンテナ５２の個数をＭとおき、各測位装置用アンテナ５２を添字ｍで区別する。たとえば３つ以上の測位装置用アンテナ５２のうち、ｍ個目の測位装置用アンテナ５２を第ｍ測位装置用アンテナ５２という。また第ｎ送信機５３の位置座標を、２次元ベクトルで表してｒ_nとおく。また、各測位装置用アンテナ５２の位置座標を同じく２次元ベクトルで表してｓ_mとおく。

このとき、第ｍ測位装置用アンテナ５２での受信信号ｚ_m（ｋ）は、第ｎ送信機５３の送信信号５５をｗ_n（ｔ）として、以下の式（４３）で表される。ただし、式（４３）において、ｈはサンプリング周期であり、ｖ_m（ｋ）は第ｍ測位装置用アンテナ５２に重畳する干渉波信号であり、α_m,nは第ｎ送信機５３から第ｍ測位装置用アンテナ５２への伝播係数であり、ｘ_m（ｋ）は複素ガウス雑音である。

ｚ₁（ｋ）からｚ_M（ｋ）を縦に並べた行列をｚ（ｋ）として、受信信号ｚの従う確率密度関数ｆ〜は、ｒ₁からｒ_Nを並べた行列をｒとし、第ｍ測位装置用アンテナ５２での雑音の標準偏差をσ_mとし、σ₁からσ_Mを縦に並べた行列をσとすると、以下の式（４４）で表される。ただし、式（４４）におけるｕ_m（ｋ）は、以下の式（４５）で定義される。

式（４４）および式（４５）におけるｕ_m（ｋ）とは、ｕ（ｋ）の第ｍ要素を意味する。モデル誤差が無いときの理想的な確率密度関数ｆは、式（４５）においてｖ＝０としたときの式（４４）の確率密度関数ｆ〜に等しい。

ここで、式（４４）に示す確率密度関数ｆ〜を用いて、前述の第１の実施の形態と同様にして、最大誤差評価手段１１を構成しようとすると問題が生じる。式（４３）から判るとおり、ｗ_nとα_m,nとには任意性があり、全く同じｚ（ｋ）を与える複数のα_m,nとｗ_nとの組合せがあり得る。また送信機５３の送信信号ｗ_nは連続信号であるので、離散的にサンプリングされた受信信号ｚ（ｋ）から、送信信号ｗ_nを一意に推定することはできない。このことは、まずｗ_n（ｋ）のパラメトライズを無限次元にし、さらに第１の実施の形態の式（６）におけるΩ₂₂が特異行列となり、逆行列が計算できなくなるという問題を生じさせる。

電波信号の到来時刻差を利用した測位装置において、送信機５３の位置ｒ_nを推定する公知の手段においては、本実施の形態のように受信信号ｚを実際の観測信号としたときの確率密度関数ｆを最大化するｒ，α，σ，ｗを求めるのではなく、別の手段によってｒだけを推定する。したがって、前述の逆行列は、そもそも計算する必要が無い。しかし、本実施の形態において、前述の第１の実施の形態に従い最大誤差評価手段１１を構成するときには、前述の逆行列を計算する必要があるので、障害となる。

そこで、まず式（４３）の両辺を離散フーリエ変換する。離散フーリエ変換をすると、以下の式（４６）に示すように表される。ただし、ｚ_m＾はｚ_mの離散フーリエ変換を表し、ｗ_n＾はｗ_nの離散フーリエ変換を表し、ｖ_m＾はｖ_mの離散フーリエ変換を表し、ｘ_m＾はｘ_mの離散フーリエ変換を表す。「ｚ_m＾」、「ｗ_n＾」、「ｖ_m＾」および「ｘ_m＾」は、記号ｚ_m、ｗ_n、ｖ_mおよびｘ_mの上に記号「∧」をそれぞれ付した記号を表す。

式（４６）によって、ｗ＾（ｋ）は離散信号となるので、前述の第１の実施の形態におけるζの一部としてパラメトライズすることが可能となる。

次に、式（４４）および式（４５）に示す確率密度関数ｆ〜を、以下の式（４７）および式（４８）に示すように表す。

本実施の形態において、測位装置５１の観測手段１２は、送信機５３から送信された電波信号５５を受信する。推定手段１３は、たとえば前述の参考文献１に記載の公知の手段によって、観測手段１２で受信された電波信号５５である受信信号から、少なくとも送信機５３の位置を推定する。最大誤差評価手段１１は、観測信号ｚ（ｋ）から高速フーリエ変換などを用いてｚ＾（ｌ）を計算し、第１の実施の形態で説明した方法によって、モデル誤差が推定値に与える最大の誤差である最大推定誤差を定量する。高速フーリエ変換は、前述の参考文献３に記載の公知の手法によって行うことができる。最大推定誤差の定量には、第１の実施の形態で説明した方法に代えて、第２または第３の実施の形態で説明した方法を適用してもよい。

第１〜第３の実施の形態の方法を適用する場合、確率密度関数ｆ〜としては、式（４７）および式（４８）で表される確率密度関数ｆ〜を用いる。また第１の実施の形態の式（６）におけるΩ₂₂が特異行列になる問題に対し、比例係数Λの計算をするにあたって、式（８）を以下の式（４９）に示すように変形する。ただし、Ω⁺ ₂₂とは、Ω₂₂のMoore-Penrose型の擬似逆行列を意味する。Moore-Penrose型の擬似逆行列は、たとえば前述の参考文献３に記載の公知の手法である特異値分解法で求めることができる。

第２または第３の実施の形態の最大誤差評価手段１１を本実施の形態に適用する場合、比例係数Λの定義として式（４９）を採用すること以外は、第２および第３の実施の形態と同様である。

本実施の形態の測位装置５１によれば、多数の微弱な干渉波信号５６が到来する環境下において、電波信号５５の到来時刻差に基づいて送信機５３の位置を測定するとともに、干渉波信号５６がもたらす最大の測位誤差である最大推定誤差を定量し、その情報を測位装置５１の使用者に提供することができる。

本実施の形態では、干渉波信号をモデル誤差として最大誤差評価手段１１を構成したが、製造誤差などの他のモデル誤差に対しても同様の方法で、最大誤差評価手段を構成することができる。

＜第１０の実施の形態＞
次に本発明の第１０の実施の形態の測位装置について説明する。本実施の形態の測位装置は、前述の図５に示す第９の実施の形態の測位装置５１を、３次元空間内の位置を測定する測位装置に拡張したものである。本実施の形態の測位装置は、測定する位置が、３次元空間内の位置であること以外は、第９の実施の形態の測位装置５１と同様であるので、異なる部分について説明し、図示および同様の説明を省略する。

前述の第９の実施の形態の測位装置５１は、第ｎ送信機５３の位置座標を表す２次元ベクトルｒ_nおよび各測位装置用アンテナ５２の位置座標を表す２次元ベクトルｓ_mをそれぞれ３次元ベクトルとすることによって、容易に３次元空間内の位置を測定する測位装置へ拡張することができる。このようにして第９の実施の形態の測位装置５１を、３次元空間内の位置を測定する測位装置に拡張したものが、本実施の形態の測位装置である。本実施の形態では、４つの相異なる位置に測位装置用アンテナ５２を設置することによって、送信機５３の位置を決定することができる。

本実施の形態の測位装置によれば、第９の実施の形態の測位装置４１と同様の効果が達成される。具体的には、多数の微弱な干渉波信号５６、および電波受信機である観測手段１２の製造誤差などのモデル誤差が存在する状況下でも、電波信号５５を用いて送信機５３の位置を測定するとともに、モデル誤差がもたらす最大の測位誤差である最大推定誤差を定量し、その情報を測位装置の使用者に提供することができる。

＜第１１の実施の形態＞
次に本発明の第１１の実施の形態の測位装置について説明する。本実施の形態の測位装置は、送信機５３の位置に代えて、測位装置の位置を測定すること以外は、前述の図５に示す第９の実施の形態の測位装置５１、または前述の第１０の実施の形態の測位装置と同様であるので、異なる部分について説明し、図示および同様の説明を省略する。以下では、本実施の形態の測位装置についても、「測位装置５１」という場合がある。

前述の第９および第１０の実施の形態では、位置を測定したい地点に送信機５３を設置し、送信機５３の位置を測位装置５１によって測定する。本実施の形態では、位置座標の判明している３つ以上の地点に送信機５３を設置し、位置を測定したい位置に測位装置５１を設置して、測位装置５１の位置を測定する。この場合、測位システム５０は、位置座標の判明している３つ以上の地点に設置された送信機５３と、位置を測定したい地点に設置された測位装置５１とを備えて構成される。

本実施の形態では、送信機５３は、測位装置５１において、各送信機５３から送信される電波信号５５が、どの送信機５３から送信されたものかを区別できるように構成される。この構成を実現するために、送信機５３は、たとえば、各送信機５３がそれぞれ異なるタイミングで電波信号５５を送信するか、異なる周波数で電波信号５５を送信するか、または相関の小さい異なる信号を電波信号５５として送信するように構成される。

本実施の形態において、測位装置５１の位置は、測位装置５１と１つの送信機５３との距離と、測位装置５１と他の送信機５３との距離との差によって、１本の双曲線上に限定される。したがって、少なくとも３つ以上の送信機５３を用いることによって、測位装置５１の位置を一意に決定することができる。

本実施の形態の測位装置５１によれば、多数の微弱な干渉波信号５６、および電波受信機である観測手段１２の製造誤差などのモデル誤差が存在する状況下でも、電波信号５５を用いて測位装置５１の位置を測定するとともに、モデル誤差がもたらす最大の測位誤差である最大推定誤差を定量し、その情報を測位装置５１の使用者に提供することができる。

＜第１２の実施の形態＞
次に本発明の第１２の実施の形態について説明する。図６は、本発明の第１２の実施の形態である測角装置６１の構成を模式的に示す図である。本実施の形態の測角装置６１は、前述の第１の実施の形態の測定装置１を適用した測角装置である。したがって測角装置６１は、前述の図１に示す最大誤差評価手段１１、観測手段１２、推定手段１３、表示手段１４およびセンサ１９を備えて構成される。測角装置６１は、不図示の電波源から到来する電波信号６３の到来方位を推定する。本実施の形態では、測角装置６１は、モデル誤差として、微弱な多数の干渉波信号６４の影響、すなわち干渉波信号６４によって生じる誤差を考慮する。

測角装置６１は、複数、すなわち２つ以上の測角装置用アンテナ６２を備える。複数の測角装置用アンテナ６２は、近接して設置される。複数の測角装置用アンテナ６２は、前述の図１に示す観測手段１２に備えられる。

測角装置６１は、到来した電波信号６３の到来方位を推定する。到来する電波信号６３の個数をＮとおき、各電波信号を添字ｎで区別する、たとえば、到来する複数の電波信号６３のうち、ｎ個目の電波信号６３を第ｎ電波信号６３という。図６では、理解を容易にするために、電波信号６３を１つ示している。この場合、この１つの電波信号６３が、第１電波信号６３となる。

また測角装置用アンテナ６２の個数をＭとおき、各測角装置用アンテナ６２を添字ｍで区別する。たとえば、複数の測角装置用アンテナ６２のうち、ｍ個目の測角装置用アンテナ６２を第ｍ測角装置用アンテナ６２という。本実施の形態では、複数の測角装置用アンテナ６２は、１つの電波信号６３の受信強度が各測角装置用アンテナ６２で変化せず、ベースバンド信号の波形も同じとみなせるほど近接して設置されているものとする。また本実施の形態では、モデル誤差として、各測角装置用アンテナ６２で受信される電波信号６３に干渉波信号６４が重畳するものとする。

ここで、測角装置６１の基準位置を１つとり、その座標を２次元ベクトルｓ₀とおく。さらに第ｍ測角装置用アンテナ６２（ｍ＝１，・・・，Ｍ）の位置座標を２次元ベクトルｓ_mとおく。ここで、第ｎ電波信号６３を位置ｓ₀で受信したと仮定した場合の受信信号をｗ_n（ｋ）とおく。第ｎ電波信号６３が、ｘｙ座標平面上でｘ軸の正方向を０°として反時計回りに角度θの方向から到来したとすると、第ｍ測角装置用アンテナ６２での第ｎ電波信号６３の受信信号は、ｗ_n（ｋ）に対し、以下の式（５０）および式（５１）で表される位相差をもつ。ただし、式（５０）および式（５１）において、λは電波信号６３の中心周波数の波長である。

式（５０）および式（５１）から、第ｍ測角装置用アンテナ６２での受信信号をｚ_m（ｋ）とし、ｚ₁からｚ_Mを縦に並べた行列をｚとおくと、測角装置６１の受信信号ｚ（ｋ）は、以下の式（５２）および式（５３）で表される。ただし、式（５２）および式（５３）において、ｗ（ｋ）はｗ_n（ｋ）を縦に並べた行列であり、ｖはｖ_m（ｋ）を縦に並べた行列であり、ｖ_m（ｋ）は第ｍ測角装置用アンテナ６２で受信した干渉波信号６４であり、ｘ（ｋ）は雑音であり、ｍ次元複素ガウス分布に従うとみなせる。

式（５０）および式（５１）から、受信信号ｚが従う分布の確率密度関数ｆ〜は、以下の式（５４）で表される。ただし、式（５４）において、θはθ_nを縦に並べた行列である。

モデル誤差が無い場合に受信信号ｚが従う理想的な確率密度関数ｆは、式（５４）においてｖ＝０としたときの確率密度関数ｆ〜に等しい。

本実施の形態において、観測手段１２は、不図示の電波源から到来する電波信号６３を受信する。推定手段１３は、実際の受信信号をｚとして、たとえば前述の参考文献１に記載の公知の手段によって、確率密度関数ｆを最大にするθ，σ，ｗのうち、少なくともθを求める。σ，ｗの推定値は、θから求めることができる。最大誤差評価手段１１は、確率密度関数ｆ〜に基づいて、第１の実施の形態と同様に構成される。

本実施の形態においても、第２または第３の実施の形態のように、比例係数Λ、またはΛΛ^Tを解析的に求めて最大誤差評価手段１１を構成してよい。これによって、計算量を削減することができる。

本実施の形態の測角装置６１によれば、多数の微弱な干渉波信号６４が到来する環境下においても、電波信号６３の到来方位を測定するとともに、干渉波信号６４がもたらす最大の測角誤差である最大推定誤差を定量し、その情報を測角装置６１の使用者に提供することができる。また最大誤差評価手段１１として、第２または第３の実施の形態の最大誤差評価手段１１を用いることによって、推定値である前述の電波信号６３の到来方位および最大推定誤差をより少ない計算量で提供することができる。

本実施の形態では、干渉波信号をモデル誤差として最大誤差評価手段１１を構成したが、製造誤差などの他のモデル誤差に対しても同様にして最大誤差評価手段１１を構成することができる。

＜第１３の実施の形態＞
次に本発明の第１３の実施の形態の測角装置について説明する。本実施の形態の測角装置は、前述の図６に示す第１２の実施の形態の測角装置６１を、３次元空間内で電波信号６３の到来方位を測定する測角装置に拡張したものである。本実施の形態の測角装置は、電波信号６３の到来方位を測定する範囲が３次元空間内であること以外は、第１２の実施の形態の測角装置６１と同様であるので、異なる部分について説明し、図示および同様の説明を省略する。

本実施の形態の測角装置は、前述の第１２の実施の形態の測角装置６１において、測角装置用アンテナ６２の位置座標ｓ_mを３次元ベクトルとし、Π_nを以下の式（５５）で表すことによって、実現することができる。

本実施の形態の測角装置は、具体的には、ｘ軸方向の正方向を基準にｘｙ平面上で半時計周りに方位角をとり、ｚ軸方向に仰角をとったとき、３次元空間内で電波信号６３の到来方位、具体的には方位角θおよび仰角ρを推定する。

本実施の形態の測角装置によれば、多数の微弱な干渉波信号６４、および電波受信機である観測手段１２の製造誤差などのモデル誤差が存在する状況下でも、電波信号６３を用いて電波信号６３の到来方位を測定するとともに、モデル誤差がもたらす最大の測角誤差である最大推定誤差を定量し、その情報を測角装置の使用者に提供することができる。

＜第１４の実施の形態＞
次に本発明の第１４の実施の形態の測位装置について説明する。図７は、本発明の第１４の実施の形態である測位装置７１を含む測位システム７０の構成を模式的に示す図である。測位システム７０は、測位装置７１およびトランスポンダ７３を備えて構成される。本実施の形態の測位装置７１は、前述の第１の実施の形態の測定装置１を適用した測位装置である。したがって測位装置７１は、前述の図１に示す最大誤差評価手段１１、観測手段１２、推定手段１３、表示手段１４およびセンサ１９を備えて構成される。測位装置７１は、電波信号７６の到来角度の推定と、到来時刻の推定とを行うことによって、トランスポンダ７３の位置を測定する。

トランスポンダ７３は、位置を測定したい地点に設置される。測位システム７０では、１つの測位装置７１に対して、複数のトランスポンダ７３がそれぞれ異なる位置に設置されていてもよい。図７では、理解を容易にするために、１つのトランスポンダ７３を備える測位システム７０を図示しているが、トランスポンダ７３は、２つ以上備えられてもよい。

測位装置７１は、複数の測位装置用アンテナ７２を備える。本実施の形態では、測位装置７１は、３つの測位装置用アンテナ７２を備える。複数の測位装置用アンテナ７２は、近接して設置される。測位装置用アンテナ７２は、前述の図１に示す観測手段１２に備えられる。測位装置７１は、複数の測位装置用アンテナ７２のうちの少なくとも１つ、または複数の測位装置用アンテナ７２以外の別のアンテナから、トリガ信号７５をトランスポンダ７３に向けて送信する。

トランスポンダ７３は、トランスポンダ用アンテナ７４を備える。測位システム７０は、前述の第４の実施の形態におけるトランスポンダ２３と同様、電波信号の送受信器と増幅器とを備えた無線装置によって実現されてもよいし、単純な電波反射器によって実現されてもよい。

本実施の形態では、モデル誤差として、個別の測位装置用アンテナ７２で干渉波信号７７が受信されてしまう場合を考える。トランスポンダ７３は、測位装置７１から送信されたトリガ信号７５を受信すると、直ちに、または所定の時間βが経過した後に、測位装置７１に向けて、トランスポンダ用アンテナ７４を介して応答信号として電波信号７６を送信する。測位装置７１は、トランスポンダ７３から送信された応答信号７６を、複数の測位装置用アンテナ７２を介して受信する。

ここで、測位装置用アンテナ７２の個数をＭとおき、各測位装置用アンテナ７２を添字ｍで区別する。たとえば複数の測位装置用アンテナ７２のうち、ｍ個目の測位装置用アンテナ７２を第ｍ測位装置用アンテナ７２という。またトランスポンダ７３の個数をＮとおき、各トランスポンダ７３を添字ｎで区別する。たとえば複数のトランスポンダ７３のうち、ｎ個目のトランスポンダ７３を第ｎトランスポンダ７３という。測位システム７０がトランスポンダ７３を１つ備える場合には、このトランスポンダ７３を第１トランスポンダ７３という。

第ｎトランスポンダ７３からの応答信号７６をｗ_n（ｔ）とおくと、第ｍ測位装置用アンテナ７２での受信信号ｚ_m（ｋ）は、以下の式（５６）で表される。

ただし、式（５６）におけるｓ₀は、測位装置７１の基準位置の座標であり、ｓ_mは第ｍ測位装置用アンテナ７２の座標であり、ｒ_nは第ｎトランスポンダ７３の座標である。また式（５６）におけるα_nは、トランスポンダ７３が無線装置で実現される場合には、第ｎトランスポンダ７３から測位装置７１の基準位置への応答信号７６の伝播係数であり、トランスポンダ７３が電波反射器で構成される場合には、第ｎトランスポンダ７３から測位装置７１の基準位置への応答信号７６の伝播係数の自乗に、第ｎトランスポンダ７３の反射係数を掛け合わせたものである。また式（５６）におけるθ_nは、第ｎトランスポンダ７３の、測位装置７１の基準位置から見た方位であり、φ_m（θ_n）は、電波信号である応答信号７６の到来方位によってもたらされる各測位装置用アンテナ７２での位相差である。

各測位装置用アンテナ７２での位相差φ_m（θ_n）は、具体的には以下の式（５７）で表される。式（５７）におけるθ_nは、以下の式（５８）で表される。式（５８）におけるＥ₁は以下の式（５９）で表され、Ｅ₂は以下の式（６０）で表される。ただし、Π_nは、式（５１）と同じである。

また式（５６）において、ｖ_m（ｋ）は、第ｍ測位装置用アンテナ７２で受信された受信信号に重畳した干渉波信号７７であり、ｘ_m（ｋ）はガウス分布に従うものとみなせる雑音である。

以上のことから、受信信号ｚが従う分布の確率密度関数ｆ〜は、以下の式（６１）および式（６２）で表される。ただし、式（６１）および式（６２）において、ｒはｒ_nを並べた行列であり、σは雑音の標準偏差である。またｚ（ｋ）は、ｚ₁（ｋ）からｚ_M（ｋ）を縦に並べた行列であり、ｖ（ｋ）は、ｖ₁（ｋ）からｖ_M（ｋ）を縦に並べた行列である。

モデル誤差が無い場合に受信信号ｚが従う理想的な確率密度関数ｆは、式（６１）においてｖ＝０としたときの確率密度関数ｆ〜に等しい。

本実施の形態において、測位装置７１の観測手段１２は、トランスポンダ７３から送信される応答信号７６を受信する。推定手段１３は、実際の受信信号をｚとして、たとえば前述の参考文献１に記載の公知の手段によって、確率密度関数ｆを最大にするｒ，σのうち、少なくともｒを求める。σの推定値はｒから求めることができる。最大誤差評価手段１１は、確率密度関数ｆ〜に基づいて、第１の実施の形態と同様に構成される。

本実施の形態においても、第１の実施の形態の最大誤差評価手段１１に代えて、第２または第３の実施の形態の最大誤差評価手段１１を用いてもよい。

本実施の形態の測位装置７１によれば、多数の微弱な干渉波信号７７が到来する環境下においても、トランスポンダ７３の位置を測定するとともに、干渉波信号７７がもたらす最大の測位誤差である最大推定誤差を定量し、その情報を測位装置７１の使用者に提供することができる。

本実施の形態では、干渉波信号７７をモデル誤差として最大誤差評価手段１１を構成したが、製造誤差などの他のモデル誤差に対しても同様にして、最大誤差評価手段１１を構成することができる。

＜第１５の実施の形態＞
次に本発明の第１５の実施の形態の測位装置について説明する。本実施の形態の測位装置は、前述の図７に示す第１４の実施の形態の測位装置７１を、３次元空間内でトランスポンダ７３の位置を測定する測位装置に拡張したものである。本実施の形態の測位装置は、３次元空間内で位置を測定すること以外は、第１４の実施の形態の測位装置７１と同様であるので、異なる部分について説明し、図示および同様の説明を省略する。

本実施の形態の測位装置は、前述の第１４の実施の形態の測位装置７１において、第ｍ測位装置用アンテナ７２の位置座標を表す２次元ベクトルｓ_mおよび第ｎトランスポンダ７３の位置座標を表す２次元ベクトルｒ_nをそれぞれ３次元ベクトルとし、Π_nを前述の第１３の実施の形態において式（５５）で示されるΠ_nとし、さらに第ｎトランスポンダ７３の方位角をθ_nとし、仰角をρ_nとすることによって、容易に実現することができる。

本実施の形態の測位装置によれば、第１４の実施の形態の測位装置７１と同様の効果が達成される。具体的には、多数の微弱な干渉波信号７７が到来する環境下、および観測手段１２の製造誤差などが存在する状況下でも、電波信号である応答信号７６を用いてトランスポンダ７３の位置を測定するとともに、モデル誤差がもたらす最大の測位誤差を最大推定誤差として定量し、その情報を測位装置の使用者に提供することができる。

＜第１６の実施の形態＞
次に本発明の第１６の実施の形態の測位装置について説明する。図８は、本発明の第１６の実施の形態であるに測位装置８１を含む測位システム８０の構成を模式的に示す図である。測位システム８０は、測位装置８１および送信機８３を備えて構成される。本実施の形態の測位装置８１は、前述の第１の実施の形態の測定装置１を適用した測位装置である。したがって測位装置８１は、前述の図１に示す最大誤差評価手段１１、観測手段１２、推定手段１３、表示手段１４およびセンサ１９を備えて構成される。測位装置８１は、送信機８３の位置を測定する。本実施の形態では、測位装置８１は、モデル誤差として、微弱な多数の干渉波信号８６の影響を考慮する。

測位システム８０では、複数の測位装置８１が、十分に離隔した位置に設置される。図８では、理解を容易にするために、２つの測位装置８１を備える測位システム８０を図示しているが、測位装置８１は、３つ以上備えられてもよい。各測位装置８１は、複数の測位装置用アンテナ８２を備える。各測位装置８１において、複数の測位装置用アンテナ８２は、近接して設置される。各測位装置８１は、少なくとも２つ以上の測位装置用アンテナ８２を備える。図８では、各測位装置８１が、３つの測位装置用アンテナ８２を備える場合を図示している。測位装置用アンテナ８２は、前述の図１に示す観測手段１２に備えられる。測位装置８１は、各測位装置用アンテナ８２を介して、送信機８３から送信される電波信号８５を受信する。

送信機８３は、送信機用アンテナ８４を備える。送信機８３は、位置を測定したい地点に設置される。図８では、理解を容易にするために、１つの送信機８３を備える測位システム８０を図示しているが、測位システム８０は、複数の送信機８３を備えて構成され、各送信機８３が異なる位置に設置されていてもよい。

本実施の形態では、測位装置８１が、各測位装置用アンテナ８２を介して、送信機８３から送信される電波信号８５を受信するときに、モデル誤差として、多数の微弱な干渉波信号８６も受信してしまう場合を考える。

ここで、測位装置８１の個数をＬとおき、各測位装置８１を添字エル（ｌ）で区別する。たとえば複数の測位装置８１のうち、ｌ個目の測位装置８１を第ｌ測位装置８１という。また第ｌ測位装置８１に備えられる測位装置用アンテナ８２の個数をＭ_lとおき、各測位装置用アンテナ８２を添字ｍで区別する。たとえば複数の測位装置用アンテナ８２のうち、ｍ個目の測位装置用アンテナ８２を第ｍ測位装置用アンテナ８２という。また送信機８３の個数をＮとおき、各送信機８３を添字ｎで区別する。たとえば複数の送信機８３のうち、ｎ個目の送信機８３を第ｎ送信機８３という。測位システム８０が送信機８３を１つ備える場合には、この送信機８３を第１送信機８３という。

第ｌ測位装置８１の基準となる座標を１つ決め、それをｂ_lとおく。さらに第ｌ測位装置８１の第ｍ測位装置用アンテナ８２の位置をｒ_l,mとおくと、第ｌ測位装置８１の第ｍ測位装置用アンテナ８２での受信信号ｚ_l,m（ｋ）は、以下の式（６３）で表される。ただし、式（６３）において、ｗ_l,nは、第ｌ測位装置８１の基準位置での受信信号であり、ｖ_l,mは干渉波信号であり、ｘ_l,mはガウス分布に従うものとみなせる雑音である。

また、式（６３）におけるφ_l,m（θ_l,n）、θ_l,nおよびΠ_l,nは、それぞれ以下の式（６４）、式（６５）および式（６６）で表される。

式（６３）〜式（６６）から、受信信号ｚが従う分布の確率密度関数ｆ〜は、以下の式（６７）で表される。

ただし、式（６７）において、ｒはｒ_nを並べた行列であり、σはσ_lを並べた行列であり、σ_lは第ｌ測位装置８１での雑音の標準偏差である。また、ｚはｚ_lを並べた行列であり、ｚ_lはｚ_l,mを並べた行列である。ｗはｗ_lを並べた行列であり、ｗ_lはｗ_l,mを並べた行列である。ｖはｖ_lを並べた行列であり、ｖ_lはｖ_l,mを並べた行列である。

さらに、式（６７）におけるＡ_lは、以下の式（６８）で表される。

モデル誤差が無い場合に受信信号ｚが従う理想的な分布の確率密度関数ｆは、式（６７）においてｖ＝０としたときの確率密度関数ｆ〜に等しい。

本実施の形態において、測位装置８１の観測手段１２は、送信機８３から送信された電波信号８５を受信する。推定手段１３は、実際の受信信号をｚとして、たとえば前述の参考文献１に記載の公知の手段によって、確率密度関数ｆを最大にするθ，σ，ｗのうち、少なくともθを求める。σ，ｗの推定値は、θの推定値から求めることができる。最大誤差評価手段１１は、確率密度関数ｆ〜に基づいて、第１の実施の形態と同様に構成される。

本実施の形態においても、第２または第３の実施の形態のように、比例係数Λ、またはΛΛ^Tを解析的に求めて最大誤差評価手段１１を構成してもよい。これによって、計算量を削減することができる。

本実施の形態の測位装置８１によれば、多数の微弱な干渉波信号８６が到来する環境下においても、送信機８３の位置を測定するとともに、干渉波信号８６がもたらす最大の測位誤差である最大推定誤差を定量し、その情報を測位装置８１の使用者に提供することができる。

本実施の形態では、干渉波信号８６をモデル誤差として最大誤差評価手段１１を構成したが、製造誤差などの他のモデル誤差に対しても同様にして最大誤差評価手段１１を構成することができる。

＜第１７の実施の形態＞
次に本発明の第１７の実施の形態の測位装置について説明する。本実施の形態の測位装置は、前述の図８に示す第１６の実施の形態の測位装置８１を、３次元空間内で送信機８３の位置を測定する測位装置に拡張したものである。本実施の形態の測位装置は、３次元空間内で位置を測定すること以外は、第１６の実施の形態の測位装置８１と同様であるので、異なる部分について説明し、図示および同様の説明を省略する。

本実施の形態の測位装置は、第１６の実施の形態の測位装置８１において、座標を３次元ベクトルで取扱い、角度を方位角と仰角とで取扱うように構成することによって、容易に実現することができる。

本実施の形態の測位装置によれば、第１６の実施の形態の測位装置８１と同様の効果が達成される。具体的には、多数の微弱な干渉波信号８６および観測手段１２の製造誤差などのモデル誤差が存在する状況下においても、送信機８３の位置を測定するとともに、モデル誤差がもたらす最大の測位誤差を最大推定誤差として定量し、その情報を測位装置の使用者に提供することができる。

以上の各実施の形態では、誤差情報として、モデル誤差によって推定量に生じる推定誤差の最大値である最大推定誤差が提供される。これに限定されず、測定装置は、モデル誤差量を誤差情報として提供するように構成されてもよく、最大推定誤差とモデル誤差量との両方を誤差情報として提供するように構成されてもよい。最大推定誤差とモデル誤差量との両方を提供するように構成される場合、測定装置は、たとえば図１に示すモデル誤差量推定手段１８から表示手段１４にモデル誤差量を出力し、表示手段１４によって表示すように構成される。モデル誤差量を提供するように構成される場合には、測定装置は、たとえば図１に示す最大誤差評価手段１１に代えて、モデル誤差量推定手段１８を備えるように構成される。

１ 測定装置、１１ 最大誤差評価手段、１２ 観測手段、１３ 推定手段、１４ 表示手段、１５ 比例係数計算手段、１６ 推定モデル記憶手段、１７ 最大誤差計算手段、１８ モデル誤差量推定手段、１９ センサ、２０ 測距システム、２１ 測距装置、２２ 測距装置用アンテナ、２３，４３，７３ トランスポンダ、２４，４４，７４ トランスポンダ用アンテナ、２５，７５ トリガ信号、２６，４５，５５，７６，８５ 応答信号（電波信号）、２７，４６，５６，６４，７７，８６ 干渉波信号、３２ Ｉ検波器、３４ Ｑ検波器、４０，５０，７０，８０ 測位システム、４１，５１，７１，８１ 測位装置、４２，５２，７２，８２ 測位装置用アンテナ、５１ 測位装置、５３，８３ 送信機、５４，８４ 送信機用アンテナ、６１ 測角装置、６２ 測角装置用アンテナ、６３ 電波信号。

Claims (9)

1. 測定すべき測定情報に関係する関係情報を取得する取得手段と、
   前記取得手段によって取得された前記関係情報に基づいて、前記測定情報を推定する推定手段と、
   前記推定手段によって推定された前記測定情報に含まれる誤差を表す誤差情報を求める誤差評価手段と、
   前記推定手段によって推定された前記測定情報、および前記誤差評価手段によって求められた前記誤差情報を表示する表示手段とを備え、
   前記推定手段は、前記関係情報をモデル化して表すモデル関数を用いて、前記測定情報を推定し、
   前記誤差評価手段は、
   前記取得手段によって取得された前記関係情報に含まれる前記モデル関数からの誤差であるモデル誤差を媒介変数表示して、前記モデル誤差のパラメータで前記モデル誤差の集合を表し、
   前記モデル誤差が前記モデル誤差の集合に含まれている場合に、前記モデル誤差によって前記測定情報に生じ得る推定誤差の最大値を近似的に評価する複数の評価値の１つまたは複数を計算し、前記誤差情報として求めることを特徴とする測定装置。
2. 前記誤差評価手段は、前記モデル誤差から前記推定誤差への比例係数を求め、求めた前記比例係数を用いて、前記複数の評価値の１つまたは複数を計算し、前記誤差情報として求めることを特徴とする請求項１に記載の測定装置。
3. 前記誤差評価手段は、前記モデル誤差から前記推定誤差への比例係数を解析的に求めた結果を保持して構成され、前記解析的に求めた結果に、前記推定手段によって推定された前記測定情報を代入することによって、前記比例係数を求めることを特徴とする請求項２に記載の測定装置。
4. 前記取得手段は、電波信号を受信する受信手段であり、受信した電波信号から前記関係情報を取得することを特徴とする請求項１〜３のいずれか１つに記載の測定装置。
5. 前記取得手段は、電波信号を受信する受信手段であり、受信した電波信号から前記関係情報を取得し、
   前記モデル誤差は、前記取得手段によって受信された電波信号に含まれる干渉波信号によって生じる誤差を含むことを特徴とする請求項２または３に記載の測定装置。
6. 前記取得手段は、電波信号を受信する受信手段であり、受信した電波信号から前記関係情報を取得し、
   前記モデル誤差は、前記取得手段を製造するときに生じる製造誤差を含むことを特徴とする請求項２または３に記載の測定装置。
7. 前記測定情報は、前記電波信号の発信源までの距離を含むことを特徴とする請求項４〜６のいずれか１つに記載の測定装置。
8. 前記測定情報は、前記電波信号の到来方位を含むことを特徴とする請求項４〜６のいずれか１つに記載の測定装置。
9. 前記測定情報は、前記電波信号の発信源の位置を含むことを特徴とする請求項４〜６のいずれか１つに記載の測定装置。

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