JP4644824B2

JP4644824B2 - ３次元左手系メタマテリアル

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Publication number: JP4644824B2
Application number: JP2007080445A
Authority: JP
Inventors: 篤志真田
Original assignee: NATIONAL UNIVERSITY CORPORATION YAMAGUCHI UNIVERSITY
Current assignee: NATIONAL UNIVERSITY CORPORATION YAMAGUCHI UNIVERSITY
Priority date: 2007-03-27
Filing date: 2007-03-27
Publication date: 2011-03-09
Anticipated expiration: 2027-03-27
Also published as: JP2008244683A

Description

本発明は電磁波を伝播させるための人工的な媒質（メタマテリアル）に関し、詳しくは、３次元の電磁波伝播媒質として機能し、媒質の等価的な誘電率と透磁率の両者が負となる３次元左手系メタマテリアルに関するものである。

金属、誘電体、磁性体、超伝導体などの小片（単位構造体）を、波長に対して十分短い間隔（波長の１０分の１程度以下）で並べることで自然にはない性質を持った媒質を人工的に構成することができる。この媒質を自然にある媒質のカテゴリに比べてより大きいカテゴリに属する媒質と言う意味でメタマテリアル（metamaterials）と呼んでいる。メタマテリアルの性質は、単位構造体の形状、材質およびそれらの配置により様々に変化する。

中でも、等価的な誘電率εと透磁率μとが同時に負となるメタマテリアルは、その電界と磁界と波数ベクトルが左手系をなすことから「左手系媒質（ＬＨＭ：Left-Handed Materials）」と名付けられた。この左手系媒質を本明細書においては左手系メタマテリアルと呼ぶ。これに対して、等価的な誘電率εと透磁率μとが同時に正となる通常の媒質は「右手系媒質（ＲＨＭ：Right-Handed Materials）」と呼ばれる。これら誘電率ε、透磁率μと媒質との関係領域は、図１に示すように、誘電率εの正負および透磁率μの正負に応じた第１象限〜第４象限の媒質に分類できる。右手系媒質は第１象限の媒質であり、左手系媒質は第３象限の媒質である。

特に、左手系メタマテリアルは、波の群速度（エネルギーの伝播する速度）と位相速度（位相の進む速度）の符号が逆転している波（バックワード波と呼ばれる）の存在や、また、非伝播領域で指数関数的に減衰する波であるエバネセント波の増幅、等の特異な性質を持つものである。そして、左手系メタマテリアルによるバックワード波を伝送する線路を人工的に構成することができる。このことは、下記の非特許文献１、非特許文献２にも記載されているように公知である。

この左手系媒質構成の概念に基づき、金属パターンからなる単位セルを周期的に並べてバックワード波を伝播させる線路が提案されている。これまで、その伝送特性が理論的に取り扱われ、この線路が左手系伝送帯域を持つこと、左手系伝送帯域と右手系伝送帯域との間にバンドギャップが生じること、そのバンドギャップ幅は単位セル中のリアクタンスによりコントロールすることができること等が理論的に明らかになっている。これらに関しては、下記の非特許文献３に記載されている。
D. R. Smith, W. J. Padilla, D. C.Vier, S. C. Nemat-Nasser, and S. Schultz, "Composite medium with simultaneouslynegative permeability and permittivity," Phys. Rev. Lett., vol. 84, no. 18,pp.4184-4187, May 2000 C. Caloz, and T. Itoh,"Application of the transmission line theory of left-handed (LH) materials tothe realization of a microstrip LH line", IEEE-APS Int'l Symp. Digest, vol. 2,pp. 412-415, June 2002 Atsushi Sanada, Chritophe Calozand Tatsuo Itoh,"Characteristics of the Composite Right/Left-HandedTransmission Lines," IEEE Microwave and Wireless Component Letters, Vol.14,No.2, pp. 68-70, February 2004

左手系メタマテリアルは、その構成上から共振型と非共振型に大別できる。最初に作成された左手系メタマテリアルは共振型である。共振型の左手系メタマテリアルは、人工誘電体の誘電率および人工磁性体の透磁率が、共振周波数の近傍でともに負になる領域を使用するものである。このため、左手系媒質として機能する周波数帯域幅が狭いという欠点がある。さらに、共振周波数の近傍周波数を使用するため損失が大きくなるという欠点がある。

これに対して、非共振型の左手系メタマテリアルは、通常の媒質における伝送線路の分布定数インダクタンス（Ｌ）、分布定数キャパシタンス（Ｃ）を逆に配置した伝送線路の特性に基づいている。このような分布定数ＬＣを逆転させた伝送線路においては、前述のバックワード波が伝送され、左手系メタマテリアルとしての性質を持つのである。非共振型の左手系メタマテリアルは、共振型と比較すると、左手系媒質として機能する周波数帯域幅が広く、損失が小さくなるという特徴がある。

非共振型の左手系メタマテリアルとしては、集中定数ＬＣ素子（チップインダクタ、チップコンデンサ等）を使用した伝送回路や、伝送路に周期的な構造を配置した分布定数型の媒質があった。しかし、集中定数ＬＣ素子を使用したものは動作周波数に上限（素子の自己共振周波数以下でのみ動作可能）があるという問題点があり、数ＧＨｚ以上で動作する左手系メタマテリアルは実現困難であった。また、集中定数ＬＣ素子を多数使用するため製作が困難であり、製造コストも高くなる。

いずれにしても、非共振型の左手系メタマテリアルは、１次元または２次元の電磁波伝播媒質として機能するものに限られていた。３次元の電磁波伝播媒質として機能する非共振型の左手系メタマテリアルはこれまで実現されていない。

そこで、本発明は、３次元の電磁波伝播媒質として機能し、媒質の等価的な誘電率と透磁率の両者が同時に負の値となる非共振型の３次元左手系メタマテリアルを提供することを目的とする。

上記目的を達成するために、本発明の３次元左手系メタマテリアルは、立方体の単位格子を３次元空間の互いに直交する３方向に繰り返し配置した構造の３次元左手系メタマテリアルであって、前記単位格子の各頂点を前記３方向に連結する第１腕部の集合からなる第１格子体と、前記単位格子の各中心点を前記３方向に連結する第２腕部の集合からなる第２格子体とを有する。そして、前記第１格子体および前記第２格子体は、それぞれ導体からなるものであり、かつ、互いに他と接触しないように間隙を持って配置されているものである。

また、上記の３次元左手系メタマテリアルにおいて、前記第１腕部および前記第２腕部は、両端部の近傍が細く形成され、中央部が太く形成されたものであることが好ましい。

また、上記の３次元左手系メタマテリアルにおいて、前記第１腕部の中央部の太い部分の断面形状は正方形であり、その１辺の寸法が前記単位格子の１辺の寸法の０．３０〜０．４９倍であることが好ましい。

また、上記の３次元左手系メタマテリアルにおいて、前記第１腕部および前記第２腕部は、中央部の太い部分の太さが両端部の細い部分の太さの３倍以上のものであることが好ましい。

本発明は、以上のように構成されているので、以下のような効果を奏する。

本発明によれば、３次元の電磁波伝播媒質として機能し、媒質の等価的な誘電率と透磁率の両者が同時に負の値となる非共振型の３次元左手系メタマテリアルを実現することができる。非共振型であるため、左手系媒質として機能する周波数帯域幅が広く低損失である。また、その３次元左手系メタマテリアルを利用してスーパーレンズやスーパーレンズを使用したレンズアンテナや、分散特性を利用したカプラや共振器などの種々の応用機器を実現することができる。

第１腕部および第２腕部の中央部の太い部分の太さ寸法を単位格子の１辺の寸法の０．３０〜０．４９倍とすることにより、動作周波数を低下させることができる。換言すれば、電磁波の波長と比較した単位構造体の寸法を小さくでき、左手系メタマテリアルをより均一媒質に近付けることができる。

第１腕部および第２腕部の中央部の太い部分の太さを両端部の細い部分の太さの３倍以上とすることにより、動作周波数を低下させることができる。換言すれば、電磁波の波長と比較した単位構造体の寸法を小さくでき、左手系メタマテリアルをより均一媒質に近付けることができる。

本発明の実施の形態について図面を参照して説明する。図２は、本発明のメタマテリアル３の構成を示す斜視図である。図２では、メタマテリアル３の全体構成を示すために、細部の形状は正確に表示されていない。メタマテリアル３は、立方体の単位格子４（図３、図４参照）を３次元空間の互いに直交する３方向（ｘｙｚ軸方向）に繰り返し配置した構造となっている。なお、図２は、メタマテリアル３を単位格子４の境界面で切断した状態を表している。図２では、３×３×３＝２７個の単位格子４のみが表示されているが、実際のメタマテリアルではさらに多数の単位格子４が配列される。

図３は、メタマテリアル３を上方（ｚ軸＋側）から見た平面図である。単位格子４を二点鎖線で表示しており、単位格子４の頂点４１と中心点４０も表示している。単位格子４は立方体であり、その各頂点４１をｘｙｚ軸それぞれの方向に連結する第１腕部１によって第１格子体１０（図５参照）が形成されている。すなわち、第１格子体１０は、メタマテリアル３内部の各頂点４１において６本の第１腕部１が連結されたものである。第１腕部１および第１格子体１０は、導体（典型的には金属）からなるものである。

また、隣接する単位格子４の中心点４０をｘｙｚ軸それぞれの方向に連結する第２腕部２によって第２格子体２０（図６参照）が形成されている。第２格子体２０も、メタマテリアル３内部の各中心点４０において６本の第２腕部２が連結されている。第２腕部２および第２格子体２０も、導体（典型的には金属）からなるものである。第１格子体１０は全体が導体からなり電気的に接続されている。また、第２格子体２０も全体が導体からなり電気的に接続されている。

しかし、第１格子体１０と第２格子体２０とは、互いに間隙を有し接触しないように配置されている。すなわち、第１格子体１０と第２格子体２０とは、直流的には絶縁されている。第１格子体１０と第２格子体２０とは、全体が絶縁体内に埋め込まれてもよいし、その一部が絶縁体によって固定され位置決めされていてもよい。

図４は、１つの単位格子４によって切断された第１腕部１および第２腕部２の構成を示す斜視図である。なお、図２および図４において、第２腕部２の切断面はハッチングを付して表示している。図４では、第１腕部１の集合した第１格子体１０と、第２腕部２の集合した第２格子体２０とが、互いに接触しないように間隙を有して配置されていることが示されている。

図５は、第１腕部１の集合した第１格子体１０を上方（ｚ軸＋側）から見た平面図である。第１腕部１は、互いに隣接配置された単位格子４の各頂点４１をｘｙｚ軸それぞれの方向に連結するものである。これらの第１腕部１が集合して第１格子体１０を形成している。

図６は、第２腕部２の集合した第２格子体２０を上方（ｚ軸＋側）から見た平面図である。第２腕部２は、互いに隣接配置された単位格子４の各中心点４０をｘｙｚ軸それぞれの方向に連結するものである。これらの第２腕部２が集合して第２格子体２０を形成している。

この第１腕部１と第２腕部２とは、全く同じ形状に形成されている。また、第１格子体１０と第２格子体２０に関しても、両者は実は同等の構成である。第１格子体１０と第２格子体２０とは、互いに構成は同等であり、一方は他方を所定量だけ平行移動した位置に配置されているのである。平行移動のベクトルは単位格子４の中心点４０と頂点４１とを結ぶベクトルとなる。

図７は、第１腕部１の構成を示す斜視図である。第１腕部１は連結点（頂点４１）側が細く形成されており、中央部が太く形成されている。中央部は立方体を形成しており、その立方体の１辺の長さは単位格子４の１辺の長さの１／２より小さい。なお、この図は第１腕部１の形状を示しているが、第２腕部２も全く同じ形状である。

図８は、第１腕部１の各部の寸法を示す平面図である。図示のように、単位格子４の頂点４１間の距離（単位格子４の配列ピッチ）を寸法Ｐとし、第１腕部１の中央部の立方体の各辺の長さを寸法Ａとする。そして、第１腕部１の連結点側部分の長さを寸法Ｂとし、連結点側部分の太さを寸法Ｃとする。連結点側部分は、断面形状が正方形（１辺の長さが寸法Ｃ）の四角柱である。寸法Ｂは、寸法Ｐと寸法Ａによって次の式１のように表される。

Ｂ＝（Ｐ−Ａ）／２・・・式１
また、第１腕部１の中央部の立方体と、第２腕部２の中央部の立方体との間の間隙の大きさを寸法Ｇとすると、寸法Ｇは、寸法Ｐと寸法Ａによって次の式２のように表される。式２は、図３から導き出される。

Ｇ＝Ｐ／２−Ａ・・・式２
図３に示されるように、第１腕部１の立方体の寸法Ａは、単位格子４の配列ピッチの寸法Ｐの１／２よりもやや小さく設定される。例えば、Ａ＝０．４Ｐとすれば、式１、式２より、Ｂ＝０．３Ｐ，Ｇ＝０．１Ｐとなる。なお、図８は第１腕部１の形状・寸法を示しているが、第２腕部２も全く同じ形状・寸法である。

以上のようなメタマテリアル３は、隣接する第１腕部１の立方体と第２腕部２の立方体との間にキャパシタンスを持ち、かつ、第１腕部１および第２腕部２の両端連結部によるインダクタンスを持つ。このため、メタマテリアル３が非共振型の左手系メタマテリアルの特性を示すものと考えられる。

このようなメタマテリアル３の各部の寸法の実例を示す。第１腕部１および第２腕部２の寸法Ｐ：１０．０ｍｍ、寸法Ａ：４．０ｍｍ、寸法Ｂ：３．０ｍｍ、寸法Ｃ：１．０ｍｍとする。このとき、第１腕部１の中央部と第２腕部２の中央部との間の間隙は寸法Ｇ：１．０ｍｍとなる。このような寸法・配置のメタマテリアル３は、後述のように５．０〜８．０ＧＨｚ付近で左手系媒質の特性を示す伝播モードを持つ。なお、この寸法例は一例であり、他の任意の寸法とすることができる。メタマテリアルの寸法・配置を変更すれば、左手系媒質の特性を示す周波数も変化する。

図９に、上記の寸法・配置によるメタマテリアル３の分散特性を示す。これは図３、図４の単位格子４においてｘ，ｙ，ｚ軸方向に周期境界条件を与えて計算した有限要素法による電磁界シミュレーション結果である。ｘ軸方向の波数をｋ_x、ｙ軸方向の波数をｋ_y、ｚ軸方向の波数をｋ_zとすると、伝搬定数βは、β＝（ｋ_x ²＋ｋ_y ²＋ｋ_z ²）^1/2である。図５の横軸のΓ、Ｘ、ＭおよびＲはそれぞれ波数（ｋ_x，ｋ_y，ｋ_z）空間上の高対称点すなわち点Γ（０，０，０）、点Ｘ（π／Ｐ，０，０）、点Ｍ（π／Ｐ，π／Ｐ，０）、点Ｒ（π／Ｐ，π／Ｐ，π／Ｐ）である。ただし、πは円周率、Ｐは単位格子４の配列ピッチである。

Γ−Ｘ区間はβをｋ_x＝０→π／Ｐかつｋ_y＝ｋ_z＝０なる関係で変化させた区間を、Ｘ−Ｍ区間はβをｋ_x＝π／Ｐ，ｋ_y＝０→π／Ｐ，ｋ_z＝０なる関係で変化させた区間を示す。また、Ｍ−Ｒ区間はβをｋ_x＝ｋ_y＝π／Ｐ，ｋ_z＝０→π／Ｐなる関係で変化させた区間を、およびＲ−Γ区間はβをｋ_x＝ｋ_y＝ｋ_z，ｋ_x＝π／Ｐ→０なる関係で変化させた区間をそれぞれ示す。

また図９の縦軸は周波数ｆである。この分散曲線のΓ−Ｘ区間およびＲ−Γ区間中の任意の点において、点Γから引いた直線の傾きに２πを乗じたもの２πｆ／β（＝ω／β；ωは角周波数）は位相速度（ｖ_p）を示し、またこの点における接線の傾きに２πを乗じたもの２π∂ｆ／∂β（＝∂ω／∂β）は群速度（ｖ_g）を示す。

本分散曲線のΓ−Ｘ区間およびＲ−Γ区間において、βの絶対値が増加するに従って周波数が低くなる領域を持つ伝播モードがある。例えば、Γ−Ｘ区間の下から２番目のモードがそうである。これらの領域では群速度と位相速度との符号が異なるバックワード波が伝播することが分かる。これは、この領域でメタマテリアル３が左手系媒質の特性となっていることを示すものである。すなわち、この伝播モードにおいてはメタマテリアル３が５．０〜８．０ＧＨｚ付近で左手系媒質の特性を示す。

以上のメタマテリアル３において、第１腕部１および第２腕部２の両端部の連結点側部分の形状は断面が正方形の四角柱としているが、断面形状はどのようなものでもよく円や任意の多角形とすることもできる。また、連結点側部分の太さ（断面寸法）は小さくするほど左手系媒質として動作する周波数が低下し、メタマテリアル３がより均質媒質として機能することが分かっている。具体的には、中央部の太さ（寸法Ａ）が両端部の太さ（寸法Ｃ）の３倍以上であることが好ましい。

また、第１腕部１の中央部と第２腕部２の中央部との間の間隙の寸法Ｇは、小さい方が左手系媒質として動作する周波数が低下し、メタマテリアル３がより均質媒質として機能することが分かっている。具体的には、Ｇ≦０．２Ｐであることが好ましい。すなわち、中央部立方体の寸法Ａは、式２より、Ａ≧０．３Ｐであることが好ましい。メタマテリアル３の製造しやすさを考慮に入れれば、０．０１Ｐ≦Ｇ≦０．２Ｐの範囲、すなわち０．３Ｐ≦Ａ≦０．４９Ｐの範囲が実用範囲と考えられる。

単位格子４は直交３軸（ｘｙｚ軸）方向に等間隔で周期的に配置されていることが望ましい。しかし、単位格子４の位置および内部構造各部の寸法が厳密に正確な周期性を持っていなくとも、左手系メタマテリアルとしての特性を示し、ある程度の範囲での位置ずれおよび寸法誤差は許容される。

以上のように、本発明によれば、３次元の電磁波伝播媒質として機能し、媒質の等価的な誘電率と透磁率の両者が同時に負の値となる非共振型の３次元左手系メタマテリアルを実現することができる。非共振型であるため、左手系媒質として機能する周波数帯域幅が広く低損失である。

なお、本発明の実施の形態においては、第１腕部１と第２腕部２の中央部に立方体形状の太い部分を形成しているが、これらの太い部分は必ずしも立方体でなくともよく、例えば直方体などでもよい。さらに、第１腕部１と第２腕部２の中央部に太い部分を形成せずに、全体を同じ太さとしてもよい。ただし、全体を同じ太さにした場合には、左手系媒質として機能する領域が減少することがあり、太さの範囲にも制限が加わる。

以上のような、３次元左手系メタマテリアルの応用例としては、媒質が負の屈折率となることを利用したレンズがある。この負屈折率レンズは結像した像の分解能が波源の大きさ以下となり、いわゆるスーパーレンズとして動作する。スーパーレンズとは、分解能が波の回折限界（波長程度）を超えて高くなるレンズである。通常の右手系媒質によるレンズでは、結像の分解能は波の回折限界によって波源の波長よりも大きくなってしまう。３次元左手系メタマテリアルの応用例としては、さらに、上記のスーパーレンズによる短波長領域での高分解能フォトリソグラフィや、負屈折率を利用したビーム走査アンテナ、分散特性を利用したカプラや共振器など種々のデバイスが考えられる。

本発明によれば、３次元の電磁波伝播媒質として機能し、媒質の等価的な誘電率と透磁率の両者が同時に負の値となる非共振型の３次元左手系メタマテリアルを実現することができる。また、その３次元左手系メタマテリアルを利用してスーパーレンズやスーパーレンズによる高分解能フォトリソグラフィや、分散特性を利用したカプラや共振器などの種々の応用機器・デバイスを実現することができる。

誘電率ε、透磁率μの正負領域と媒質との関係を示す図である。本発明のメタマテリアル３の構成を示す斜視図である。メタマテリアル３を上方から見た平面図である。１つの単位格子４によって切断された第１腕部１および第２腕部２の構成を示す斜視図である。第１腕部１の集合した第１格子体１０を上方から見た平面図である。第２腕部２の集合した第２格子体２０を上方から見た平面図である。第１腕部１の構成を示す斜視図である。第１腕部１の各部の寸法を示す平面図である。メタマテリアル３の分散特性を示すグラフである。

符号の説明

１第１腕部
２第２腕部
３メタマテリアル
４単位格子
１０第１格子体
２０第２格子体
４０中心点
４１頂点

Claims

立方体の単位格子（４）を３次元空間の互いに直交する３方向に繰り返し配置した構造の３次元左手系メタマテリアルであって、
前記単位格子（４）の各頂点を前記３方向に連結する第１腕部（１）の集合からなる第１格子体（１０）と、
前記単位格子（４）の各中心点を前記３方向に連結する第２腕部（２）の集合からなる第２格子体（２０）とを有し、
前記第１格子体（１０）および前記第２格子体（２０）は、それぞれ導体からなるものであり、かつ、互いに他と接触しないように間隙を持って配置されているものである３次元左手系メタマテリアル。
請求項１に記載した３次元左手系メタマテリアルであって、
前記第１腕部（１）および前記第２腕部（２）は、両端部の近傍が細く形成され、中央部が太く形成されたものである３次元左手系メタマテリアル。
請求項２に記載した３次元左手系メタマテリアルであって、
前記第１腕部（１）の中央部の太い部分の断面形状は正方形であり、その１辺の寸法が前記単位格子（４）の１辺の寸法の０．３０〜０．４９倍である３次元左手系メタマテリアル。
請求項１〜３のいずれか１項に記載した３次元左手系メタマテリアルであって、
前記第１腕部（１）および前記第２腕部（２）は、中央部の太い部分の太さが両端部の細い部分の太さの３倍以上のものである３次元左手系メタマテリアル。