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Verfahren zum Herstellen einer Landkarte, insbesondere eines Stadtplanes
Die 7?rtindung betrittt ein Verfahren zum Herstellen einer l.attdkarte. insbesondere
eines Stadtplanes. mit sich veränderndem Maßstabe.
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In den meisten Fällen bestehen Ortschaften, insbesondere Städte, aus
eitlem eng bebauten Stadtkern, der allmählich in weitläufiger bebaute Außenbezirke
übergeht. Uni die Bezeichnung der Straßenzüge, Rauten und so weiter noch gut .lesbar
auf einem Stadtplan. wie im allgemeinen eine Landkarte zur kartographischen Darstellung
einer Ortschaft genannt wird. wiedergeben zu können, ist man deshalb gezwungen.
Ortschaften in einem verhältnismäßig großen Maßstab, im allgemeinen t : ioooo bis
i : 20000, darzustellen, obwohl die weitläufigere Bauweise der Bezirke außerhalb
des Stadtkerne: einen kleineren Maßstab ohne Beeinträchtigung der guten Lesbarkeit
der Bezeichnung der Straßenzüge und so weiter zuließe. Die kartographischen Darstellungen
von Ortschaften sind daher meist unhandlich und schwierig imGebrauch; beim häufigen
Auseinan.derfalten und Zusammenlegen des großen Planes leidet seine Haltbarkeit
beträchtlich. Die Aufteilung der Karte in einzelne Blätter, die in Form eines Buches
zusammengebunden werden., macht andererseits die Karte erheblich unübersichtlicher.
-Erfindungsgemäß wird zur Behebung dieser Mängel eine Landkarte mit sich veränderndem
Maßstabe durch photographische Projizierung eines mit unveränderlichem Maßstabel
hergestellten Kartenbildes hergestellt. das auf einer an einem Projektionskörper
vorgesehenen Raumfläche abge-
\vickelt worden ist, deren Entfernungen
vorn Projektiolispunkte sich wie die gewünschten Maßstäbe verhalten. :\tif diese
Weise ist es möglich, durch photographische Projizierung auf Grund tmiries Kartenbildes
von unveränderlichem Maßstabe ein Kartenbild zu schaffen, dessen Maßstab sich je
nach Eier Art der dargestellten Wirklichkeit verändert. Das Verfahren ist insbesondere
für Stadtpläne anwendbar, da dort in aller Regel ein eng gebauter Stadtteil oder
eng gebaute Stadtteils Verliältnisrnäßig \\-eiträuniig gebauten Ortsrändern gegenüberstehen.
Demgemäß wird für die eng gebrluten Stadtteile ein größerer Maßstab> vorgesehen,
während für die deutliche und lesbare kartographische 1)arstellungder Stadtränder
": iri kleinerer Maßstab völlig ausreichend ist.
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Zweckmäßigerweise werden die pliotographischeit Projizierungen in
mehreren Schritten vorgenommen, indem 'e\"-eils 1)e1 ein,#ni Schritte die Karteriabb»
ldung des Gebietes auf eitir Raumfläche abgewickelt \vird und die hierbei ge\vonnerie
photograpliisclie Projektion auf einer \veiteren, winklig zti ilir stehenden Raumfläche
abgewickelt wird und dieses abgewickelte Kartenbild als Grundlage für den nächsten
Schritt dient, wobei fier jede Raumfläche die Querschnitte durch ihren Projektionskörpf#r
längs einer Geraden untereinander gleich bleiben.
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Auf diese Weise bereitet es keinerlei Schwierigkeiten, die gesamte
kartographische Darstellung, s-ei es nun die primäre Darstellung mit unveränderlicliein
Maßstabe, oder sei es schon eine erfindungsgeinä ß hergestellte Projektion. auf
der Raumfläche al)zu\vickeln. Auch die Herstellung der Raumfläche selbst ist hierbei
besonders einfach und iibersiclitlich. Fs empfiehlt sich hierbei, die Gerade, längs
der die Querschnitte durch den l'rojel:tionskörp-er der haumfläche untereinander
gleich bleiben, in einer 1?1>ene senkrecht zur Projektionsachse anzuordnm n. Auf
diese Weise bleibt der Maßstab liings der einzelnen Geraden der Raumfläche praktisch
unverändert. Tatsächlich nimmt der Malistab der fertigen Projektion längs dieser
Geraden in (Uni Maße etwas ab, v-ie feie Abstände der einzelnen Punkte dieser Geraden
\-on dein ProJektions-;)unkte größer werden.
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G\veckmäßiger\\-eise besitzt die Raumfläche eine Scheitelgerade, längs
der die Entfernung \-oin Projektionspunkte an: geringsten ist. l'lit@er U'lnstä
nden reicht zur Ausführung des \'erfalirens nur ein einziger Schritt unter Benutzung
einer derartigen Raumfläche aus. Dies ergibt sich insbei Ortschaften, deren Stadtkern
verli:ilttii;niäßig langgestreckt ist.
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Ilei eitler bevorzugten Ausführungsform der Ert@lulun;@ werden die
plioto"rapliischen I'rojiziertiiigE'It in zwei aufeinanderfolgenden Schritten inittcls
z\\-eier vorzugsweise gleicher, senkrecht zueinander stehender Raumflächen vorgenommen,
1\-ol>ei (las Lot von (lern Projektionspunkte auf diejenige la)ene, in der die Scheitelgeraden.
der beiden Raumtläclien liegen, diese Ebene im Schnittpunkte der beiden Geraden
trifft. Es ergibt sich auf diese
| Weise cilie Karte. deren grüliter Malistab in der |
| Mitte, und zwar im Sclmittpulilct;# der Projektions- |
| achse mit der Kartendarstellung, liegt. Von diesem |
| Punkte aus. der als,> beisl)iels\veise bei einem Stadt- |
| platt im Stadtkern liegt. verringert sich der 'Maß- |
| stab kontinuierlich in allen Himmelsrichtungen |
| nach den Außenrändern zu. Iliel-I)ei ergeben sich |
| besonders einfache und ül>;rsicbtliche \-erh<iltni;se |
| darin, \verin die ()u#@rsclinitt;# Eier I'roiekti(mskörl>.r |
| der Rauinfläcliei; \-c111 Keg#i lscllllitteii -ebildet |
| \verden. Falls der Malistab sich 1)e1 \er\vendung |
| derartiger Kurven zti starb verringert, kann es siele |
| unter Umständen empfehlen, von einem gewissen |
| Punkte all an (11e hegeläclitilttel`allgcilYE'll zu le@Tf#Il. |
| Bei einer anderen \usführungsf(»-m der `1:-1-- |
| fi ndung sind die (Querschnitte der Projektionskörp;i- |
| der 1ZatlinHäcliciiwoll \-iclc'ckell. insbesondere PI-ei- |
| ecken, gebildet, voll (leiten iv l#:cke derart an- |
| geordnet ist. dali ilir .\1);tand von (1e111 ProjektiorI;- |
| punkte geringer ist als (1('r (1c1- ander(#ti I.ckeli. l.s |
| e rg 11)t sich z\var auf (fiese \\',#ise ein gewisser |
| Knick in der \lalistal)svcr@in<iermig all den l@@ckelt |
| der Vielecke. 1#:s liat sich al)E°1- gezeigt. (laß dieser |
| Mangel praktisc11 überliallpt iliclit ill I?rsch.inun<@ |
| tritt. da ja außerhalb dieser Kante (hei einer Proji- |
| zierung) oder der Spitze (bei inelir Projizierungen) |
| der Maßstab koiitlntiiei-licli abnimmt. |
| Die Abbildungen zeigen einige Ausführungs- |
| beispiele der l:rtin@iung, mid z\var stellt eiar |
| leg. 1 eine Allsicht auf glas Gitternetz eines |
| Stadtplanes. |
| Fig. - eine sclieniatiscliv .\1)1)ilclinig einer er- |
| flllEltiltgsgeinäl3 (lurchgefübrteu I'rojizierung. |
| leg. 3 ein (;i(tel-uetz, Glas siiinlicl) der all |
| Hand der Fig. regcl)f'licn 1':rl:iuterung \-erzerrt |
| worden ist, |
| Fig. 4 eine schematische Abbildung einer anderen |
| erfindungsgemäß clurcligefiilil-teli I'rojizierung. |
| Fig. 5 ein Gitternetz, (las iilinlicli der an |
| Hand der Fig. -1 #ge.Iehenen lirlätiterung verzerrt |
| u-orden ist. |
| 1'1;-T. f-1 einl ;Chcltlatl;cllf' .\1)i)IldUI1@T ciiler \\-C1- |
| teren ertindungsgem:il.1 (Ittrcilcführten I'roji- |
| zierung. |
| Fig. ; eibi (@itternc'tz. (las :iliiilicli (ler all |
| Hand (ler Fig. (> Te<@el)('ilE#tl I':rl:iutcrtnig verzerrt |
| worden ist, |
| Fig. h eine sclieni@itisclic Darstellung -zur \'er- |
| deutlicliung eines \-erfallrclis, tim eine ortllogo liak# |
| Kugelprojektion auf 1)lic)to,"ral)Iiisclieni \\'ege |
| durchführen zit können, |
| Fig. 9 die Darstellung c'ilu#s ill eitl @rci;sektor;it- |
| lletZ eillgel>ettetell ( )Uadl iltil@t@c@, |
| l' i g. lo die I)<trstllult Eier @Tec»ir:tlisrlicn |
| ;nng eint nach be;timmteii (lc;(#tzcil \(»@f#ttc)nt- |
| inenen Transformierung des Ouadratnetzes der |
| (9. ._ |
| Fig. t 1 die I)arstcllun eillos \-ertahrens.
um a11 1; |
| ge()tnetrischent \\ f#gc# dun ( )tIc'I-Scllilitt Eies Prc)- |
| iektionszvlinders m1(1 (las Gradhetz für Elen erstell |
| Verfahrensschritt zur pli()t()graphischcii il i°r- |
| .Stellung eitles gelll<lli der 1'1g. I() ti';lli;tot"lillerteil |
| ()tia(IrittnetzC; festzulegen. |
| 12 die l )arstelltttlg @#ines Verfahrens, um auf |
| geometrischem @','°ge den Querschnitt des Pro- |
| lektionszylinders und claGradnetz für den ztveiten |
| Verfahrensschritt zur liliotogral)hischeu Her- |
| stcllunur eines gen;:iß der hig. to tralisfortnierten |
| Quadratnetzes festzulegen, |
| f"ig. 13 die I)arstellutig eines in ein Ellipsen- |
| s;ktDrennetz gebetteten rechteckigen Ottadratnetzes. |
| rd die 1)arstelltin- der geometrischen 1.h- |
| einer nach Ixstininiten Gesetzen vorgenoni- |
| inenL,n "Iransformicrttng des Ottadratnetzes der |
| I` ig. 13, |
| 1,-i9. 15 die Parstellun<g' eines rechteckigen Qua- |
| dratlietzes, (las zum "heil in ein Kreissektorennetz |
| und zutn "heil fit: ein 1?lli1)sensektoretinetz ein- |
| grllettet ist, wobei drei verschieden große 1?llipseli |
| verwendet worden sind. |
| Ui-. ili die f )arstcllung der geonietrisclieti Lö- |
| sung (,inct- nach bestimmten Gesetzen vorgenotn- |
| nic#nen |
| des Quadratnetzes der |
| l# ig. 1 #. ._ |
| I» der Uig. t ist ein für eitle kartographische |
| I )arstellung bestimmte.,; ortltogonales Gitternetz ge- |
| zeigt. «essclt QuaAratc in allen Bereichen gleich |
| groll sind und vdalier (,in Kartenbild mit überall |
| gleichem @lalistalx ergeben. I)as gezeigte Gitter- |
| tietz hat die llcilie TZT und die Breite S7..5', wobei |
| der funkt 7 die @@trcckclt .f.S = 2 I utld TT = 2 kn |
| halbiert. |
| Das Gitternetz soll heisl»elsweise ertindungs- |
| gctnäl.t .()verzerrt wer(fen, daß der Maßstab) von |
| der Jlitte G sich nach (teil Rändern hin auf einen |
| alinä Bernd gleich hro11en Wert verjüngt. |
| litt Ausführtttigsheispiel sind die beiden Strecken |
| voll 7.S' -I in sechs gleiche "feile geteilt, die fort- |
| laufend mit clcti Zahlest i Ibis 1c bezeichnet sind. |
| Ali Hand der I" ig. 2 sei angenommen, daß sich |
| SZ = 1 auf ,S'7 = I' = 3/a I ve rjütigen soll; denient- |
| sl(rechend soll sich auch 77 = r)1 auf 7"Z = rri
= |
| "i4 in verkleinern. 1n (lieseni Ausführungsbeispiel |
| wird (las Kartenbild tnit (lein Gitternetz der Fig. i |
| zuerst auf ein I'ristlia finit (breieckigem Querschnitt |
| gespanlit, voll dem die eine Hälfte in dein oberen |
| "Feil 1 der lig. 2 l;:it der 1)reieckfläclie ZS@I'1 ge- |
| zeigt ist. 1)as Kartenbild wird hierbei derart auf- |
| gespannt. (laß (lio Strecke 1`7T senkrecht auf der |
| z(,icllellc-1)elle stellt. |
| Nachdem (las Kartetrl)il(1 der Fig. t nunmehr vott |
| einem I'rojekti(»lspunkt () aus 1)liotograpliisch |
| p jizivrt worden i,#t, wird das auf diese Weise e- |
| ro 1 1 el |
| wonnene Bild, dessen Achse TT nicht verkürzt ist, |
| auf ein 1'risnia niit ebenfalls dreieckigem Quer- |
| schnitt gespannt, voti (lein die eine Hälfte in dein |
| unteren "feil ll (1(#r Uig. 2 mit der Dreieckfläche |
| gezeigt ist. 1liei-Iwi inuß das Kartenbild der- |
| art angeordnet sein, daß die durch die vorher- |
| gehende 1)liotogt-apliisclic Projektion verkürzte |
| Strecke SZS senkrecht auf der Zeichenebene steht. |
| I)ie photographische Aufnahme, die nuntnehr von |
| dem Gitternetz gemacht wird, liefert ein Gitternetz |
| tnit der gewünschten erfindungsgemäßen Maßstabs- |
| verkleinerung. bei der »t auf 3/.t u1 = 11t' und 1 auf |
| '/4 1= l' kontinuierlich verkürzt worden ist. |
Die Wahl des Projektionspunktes O ist abhängig von der Brennweite F des Objektivs
der zur Aufnahme verwendeten Kamera. Sein Abstand vom Rattenmittelpunkt Z, der auf
den dem Projektionspunkte U zugekehrten Spitzen der beiden Prismen mit den oben
beschriebenen dreieckigen Querschnitten liegt, deren Hälften gleich den Dreiecken
ZSf'1 und lTP2 sind, beträgt 2
F, wenn die Aufnahme in natürlicher Größe erfolgen
soll. Je näher der Projektionspunkt an den Projektionskörper heranrückt, unter Umständen
durch Verwendung eines Weitwinkelobjektivs, desto größer ist die perspektivische
Verzerrung des Gitternetzes, d. h. desto näher rücken in der Projektion die Kartenaußenkanten
zur Kartenmitte.
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111 Fig. 2 sind ZS und ZT Schnitte durch die Kartetichenen
und ZS' und ZT' Schnitte durch die Projektionsebene. An Hand der in der Fig. 2 eingetragenen
Bezeichnungen ergeben sich folgende Beziehungen `a=-@3+ -Y
und nach dein Sinussatz
Das Gitternetz der Fig. 1 ist auf diese Weise in zwei aufeinanderfolgenden Schritten
über zwei senkrecht zueinanderstehende Prismen gespannt worden. Dies hat die gleiche
Wirkung, als ob in einem Schritt das Gitternetz der Fig. t auf eine vierseitige
Pyramide gespannt worden wäre, deren halber Längsschnitt in der einen Richtung gleich
der Dreieckfläche SZP1 und deren halber Längsschnitt in der Richtung senkrecht zu
ihr gleich der Dreieckfläche ZTPz ist. Die auf diese Weise gewonnene Ausführungsform
der Erfindung wird im nachfolgenden auch als Pyramidenprojektion bezeichnet.
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In Fi-g. 3 ist eine gemäß dieser Ausführungsform der Erfindung gewonnene
GitternetztransformieruiiZ gezeigt. _Man ersieht daraus, daß hier die Verjüngung
des @,iaßstabes im Kartenmittelpunkt Z beginnt und gleichmäßig zu den Kartenrändern
verläuft. Das so entstehende Kurvenbild der Gitterlinien hat in den beiden Kartenachsen
einen sichtbaren Knick. In Fig. 3 nimmt der Maßstab von 1 : i 1 300 in der
Mitte der Karte auf 1 : 13 ooo an ihren Rändern ab.
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Die I'vramidetlprojektion eignet sich vor allem für die kartographische
Darstellung von Städten. deren eng bebaute Altstadt nur geringe Ausdehnung hat.
Falls die eng bebauten Stadtteile etwa längs einer Geraden verlaufen, braucht das
Gitternetz der Fig. t nur über ein einziges Prisma mit dreieckigem Querschnitt gespannt
und nur einmal projiziert zu werden.
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Bei einer anderen Ausführungsform der Erfitidung wird das Gitternetz
der Fig. 1 für die erste photographische Projektion auf einen Zylinder I (s. Fig.
4) mit dem Radius r1 gespannt, der so berechnet ist, daß beispielsweise wieder 1'="'/41
ist. Zur zweiten photographischen Aufnahme wird
die Karte auf den
Zylinder 1I <-:spannt, dessen Radius r= so berechnet ist, daß beispielsweise
wieder In' = 3/a m wird. Aus diesem Grunde wird im nachfolgenden diese
Ausführungsform der Erfindung auch als Bizylinderprojektion bezeichnet. Der Projektion
wird der gleiche Abstand des Projektionspunktes vom Kartenmittelpunkt
OZ - 2 P wie hei der Pyramidenprojektion zugrunde gelegt.
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@Venn angenommen v-ird, daß (s. Fig. q) die länge der Sehne Z S gleich
dem Bogen Z.Y _ !ist, ergibt sich für die angenäherte Berechnung der IZadien (irr
beiden Zylinder
In Cbereinstimmung mit der Fig. 2 und mit (1e11 all Hand dieser I# igur gegellen@n
Erläuterungen ist dann auch
Zur Berechnung der Maße der projizierten Karte <.elten
Fig. 5 zeigt ein mittels einer Bizylinderprojektion transformiertes Gitternetz,
dessen ':Maßstab in der Mitte bei Z gleich i : ioooo und an den Rändern i : 16ooo
ist. Da die Karte quadratisch und nicht rechteckig ist, haben die 1)e1 der Bizvlinderprojektion
verwendeten beiden Zylinder gleich große Radien.
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Die Verringerung des Maßstabes ist bei dieser Projektion in der Nähe
des Kartenmittelpunktes nur gering, dafür an den Kartenrändern uni so stärker. Sie
ist daher besonders gut geeignet für die kartographische Darstellung von Städten
m.it einem ausgedehnten, eng bebauten Stadtkern und finit sehr weitläufig bebauten
Stadträndern (Landgerneinden). Bei einer weiteren Ausführungsform <Icr Erfindung
wird gemäß der Fi. (i die Karte der 1@ ig. i zur Photographie zuerst' auf einen
Proiektionskörper 1 gespannt, der sich aus einem Zylindersegment mit verhältnismäßig
kleinem lZadius r,, und einer das Zylindersegment tangential berührenden Ebene zusammensetzt.
Danach erfolgt die Photographie über einen ähnlich geformten Projektionskörper mit
dem lZadius r,. Das Maß der Verzerrung ist abhängig von der Größe des Radius des
Zylindersegmentes tind der Lage der l@erührungsgeradeii der Taugenteiielveiie auf
diesem Zylindersegment (das ist im Querschnitt der Fig. (@ die Lage von Pi und Pj.
Das Maß der Verzerrung sei beispielshalber so trewählt, claß mit Bezug auf den Projektionskörper
l I' = 3/4 I wird und daß mit Bezug auf den Projektionskörper
I fin' = 3r'4 l72 ist. Mit Bezug auf die Fig. 6 gilt folgendes: M,Pi
= r, = Radius des Projektionszylinders I, P,S = Schnitt durch die Tangentialebene
an dem ProjektionszvIirider 1. .1l.=1'., = r_ = Radius des Projektionszylinders
11. /'=7 = Schnitt durch die Tangentialebene an dem Projektionszylinder 1I.
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In Fig.7 ist ein Gitternetz dargestellt, das auf eine Weise transformiert
worden ist, die an Hand der Fig. 6 erläutert wurde. Mit Rücksicht auf den Querschnitt
der hei dieser Transformierung benutzten Prismen diese Atisfiilirtingsform der Erfindung
im nachfolgenden auch Zylindertangentenprojektion genannt. \lan ersieht aus der
Fig.7, daß die Zvlindertangeriteiiprojektioti ein Mittelding zwisclieti der l'vi-anii(ienproiektion
der Fig. 3 und der Hizvlinderlirojektion der hig. _3 darstellt. Während 1>e1 der
Hizvlin(lerl)rojektion der Fig. 5 der \laßst<ill in ciiieni verhältnismäfiig
großen Umkreis um den Karteiiniittelpunkt nur wenig abnimmt, ist dieser Bereich
einer nur sehr geringen Maßstahsverjüngung hei der Zylindertangentenprojektion der
Fig. 7 wesentlich kleiner. Im Bereich der Tangentialebene nimmt die Maßstabsverjüngung
gleichmäßig bis zu den Kartenrändern zu. Demgemäß eignet sich die Zylindertangentenprojektion
insbesondere für die Darstellung von Ortschaften mit kleiner Innenstadt und N-erhältnisin;il.iig
wenig aufgelockerten .@tt@enbezirken.
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Alle F'i-ojektioneii l;ontien nicht nur angewandt werden, wenn das
eng behaute Stadtzentrum in der Kartenmitte liegt, sondern lassen sich auch für
alle unsymmetrischen 1@ älle durchführen, bei denen also der erig bebaute Stadtkern,
für dessen Darstellung ein größerer Maßstall ist. außerhalb der Kartenmitte liegt.
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Weiterhin sind als Projektionskörper auch Lllil)soide, Paraboloide
und H_yperboloide anNvendbar. 1)1e Wahl des Projektionskörpers, :einer .\l>-messungen
und der Grölae des .\hstandes des Projektionspunktes vom Projektionskörper
richtet sich in allen Fällen nach (lein Charakter der abzubildenden Stadt und nach
dein gewünschten Kartenformat.
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Der Vollständigkeit Halber sei darauf liin -gewiesen, daß den t;itterii:#tz-en
der Fig. 3, 5 und 7 andere Maße zugrunde liegen als den Konstruktionszeichnungen
der Fig. i, 2, d und 6.
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-Es wird sich häufi<- als vorteilhaft herausstellen. daß zur Ausführung
der
[email protected]" die zu transformierende Karte von einer Kugel projiziert wird.
da diese Projektion für alle Kartenformate leicht und einfach zu berechnen ist.
lin nachfolgenden wird an Hand der Fig. 8 ein Verfahren gezeigt, um eine ortliogonale
Kugelprojektion auf 1)liotographischem .Wege durchführen zu können. In dieser
1#
igur ist der Teil einer l@tigel mit dem Radius r1, der dort im Schnitt dargestellt
ist, orthogonal auf eine diese Kugel berührende Ebene E projiziert. Bei dieser Projektion
wird der Bogen der Kugel SiZ = L in S'Z = 1' verzerrt. Die Verzerrung nimmt mit
wachsendem Winkel o> zu, weshalb dieser Winkel auch als Verzerrungswinkel bezeichnet
werden kann. I)ie Projektion eines Bogens l ist immer
l' = ri sin n). Der
Quotient
q = 1/l' wird als \"erzerrtuigs(ltiotivitt l)ezeiclitiet und ist
konstant für eitun llestimt,iten \\'inkel @@@. Er kann in einer Tabelle für r,>
= o` bis t)o ' festgelegt werden. An I Land der 1, ig. 8 ergeben sich folgende Beziehungen:
L = rI
. Z r a) (SZ = S1Z =
l) (i) . 180,
l' = rt sin
ro (S'
Z = l') (2)
= q (Verzerrungsquotient) (3) l' I50" # sin L .
180 rt
=
(4) L'tn die orthogonale Projektion der Fig.8 photographisch
durchführen zu können, müssen zwei Veränderungen vorgenommen werden: t . 1)a die
zu verzerrende Karte nicht auf eine Kugel gespannt werden kann, wird sie auf einen
Zvlinder mit dein Kriitnmungsradius ri dieser Kugel gespannt und durch photographische
Dopp°1-projektion vürl<iirzt. itideni die Karte das eine Mal mit senkrechter
Nord-Süd-Richtung und das andere Mal mit waagerechter Nord-Süd-Richtung projiziert
wird, wodurch sich die Wirkung einer Kugelprojektion ergibt.
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2. 1)a auf pho>tographischent Wege keine 1'arallelprojektion durchgeführt
werden kann, muß der 1'rojektiotisl>unkt 0 aus drin L-nendlichen ins Endliche verlegt
wcrd;n. Ztt diesem Zweck wird ein Projcktionskörper votn Querschnitt SZI't konstruiert,
auf den die zu verzerrende Karte,von der halben I.iitige SZ = l gespannt wird, und,
der photographiert, dasselbe Verzerrungsergebnis SZ = l', wie die ortlitigonale
I'rtijekticiti des Zvlinderausscluiittes .Si Z.llt liefert.
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L.'tit (las Ktirvetrl)il(1.S'Z des gewünschten Projektionskörpers
zu erhalten. wird einerseits der I'rajektiotislttttikt 0 finit den Teilpunkten (den
Schnittpunkten der Gitterlinien) der projizierten Karte S'Z verbunden; diese Projektionsstrahlen
werden über die Projektionsebene E hinaus verläti.gert. Im Ausführungsbeispiel ist
die Karte in sechs gleiche Teile t bis 6 eingeteilt, so daß, wenn man die ani kaade
verlaufenden. Projektionsstrahlen OZ und OS' hinzuzählt, sieben Projektionsstrahlen
vorhanden sind.
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Nunmehr wird die Karte derart abgewickelt, daß die Verlängerung der
einzelnen Projektionsstrahlen mit den dazugehörigen Gitterlinien der Karte zum Schnittpunkt
kommt. Zu diesem Zwecke wird zuerst um Z mit 1/o 1, das ist die Seitenlänge eines
Gitterquadrates, ein Kreisbogen geschlagen, der deit dazugehörigen Projektionsstrahl
in einem Punkt schneidet, der ein Punkt der Querschnittslinie SZ des gewünschten
Projektionskörpers ist. Um diesen Punkt wird mit der gleichen Strecke 1/e l wiederum
eire Kreisbogen geschlagen, dessen Schnittpunkt mit der Verlängerung des nächsten
Projektionsstrahles einen zweiten Kurvenpunkt liefert. Die Fortsetzung dieses Verfahrens
liefert schließlich die gesamte Strecke SZ. die eine Querschnittslitiie durch den
gewünschtem Projektionskörper SZI't darstellt. je größer die Anzahl der Gitterquadrate,
je geringer also ihre Größe ist, um so größer wird die Genauigkeit des Verfahrens.
Die zu verzerrende Karte wird auf diesen Projektionskörper gespannt urud nunmehr,
wie oben beschrieben, durch photographische Doppelprojektion verkürzt.
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Wenn ein Kartenbild mit orthogonalem Gitternetz (s. 1, ig. t) so verzerrt
werden soll, daß das l#orniat der Karte um 25% kleiner wird, muß aus der oben beschriebenen
Tabelle der Verzerrungsquotienten für q = 1/l' der passende Winkel herausgesucht
werden. Für die Verkleinerung q = 4/s - 1,3
ergibt sich ein Winkel von (u
= 70°. Nach der auf dieser Seite angegebenen Gleichung (4) wird nun, indem für l
die halbe Länge der Karte und für (u = 70° eingesetzt wird, der Radius r1 des Zylinders
berechnet, auf den die Karte gespannt werden müßte, um in Parallelprojektion die
gewünschte Verkleinerung des Formats durch Maßstabsverzerrung zu erreichen. Wenn
der Abstand des oberen Kartenrandes vom Kartenmittelpunkt 6 km in der Natur beträgt,
das ist sechs Gitterquadrate mit der Seite 1/e 1, werden die Schnittpunkte der Gitterlinien
auf der Projektionsebene E gefunden, indem die :inzelnen Werte für l' nach der auf
dieser Seite angegebenen Gleichung (2) für die Werte (o = 70" / 6, o)
= 2 - 70° / 6 usw. berechnet werden. Wenn die Anzahl der Gitterquadrate
gleich n ist, so kann aus !'"-l'"-1, der Seite des letzten Gitterquadrates, der
Maßstab des Randes berechnet werden. Durch Vergleich mit dem Maßstab der Kartenmitte,
der angenähert gleich dem 1laßstabe des Originals ist, kann man, dann feststellen,
ob das Maß der Verzerrung für die gewünschten Zwecke noch tragbar ist.
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Auf diese Weise kann auch für alle unsymmetrischen Fälle, bei denen
der eng bebaute Stadtkern nicht im Kartenmittelpunkt liegt, der Radius des Zylinders
berechnet werden, indem unter Beibehaltung des Verzerrungswinkels und damit des
gleichen Maßstalles des Randes in die auf dieser Seite angegebene Gleichung (4)
für Z der jeweilige Abstand des Stadtkerns von den Kartenrändern eingesetzt wird
und so für jeden Kartenquadranten der Radius des Zylinderausschnittes errechnet
wird, danach gemäß der Gleichung (2) die Schnittpunkte der Gitterlinien in der Projektionsebene
berechnet werden und dann der Projektionskörper konstruiert wird.
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Die Kugelprojektion ähnelt naturgemäß in ihrem Charakter stark der
an Hand der Fig. 4 und 5 beschriebenen Bizylinderprojektion, von der sie ja auch
nur einen Sonderfall darstellt. Für q = n I2
ergibt
sich beispielsweise bei einem Maßstahe in der Kartenmitte von i : ioooo eine Matistabsverzerrung
am Rande von t : iioooo, was praktisch kaum in Anwendung kommen durfte.
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Das in Fig. 9 dargestellte Quadratnetz sei z. B. so zu transformieren,
daß nach Durchführung der Transformationi der Maßstab an den Kanten des Netzes halb
so groß ist wie im 'Mittelpunkt. Die Maßstabsveränderung soll kontinuierlich voni
.Mittelpunkte ausgeheni und in allen Richtungen gleich sein. Ferner wird gefordert,
claß die Maßstabsiinderung potenzmä Big proportional zur Entfernung vom Mittelpunkt
ist. Dies bedeutet mit den Bezeichnungen der Fig. 9, daß auf der Linie 7 des Quadratnetzes
sich die Strecken gh : hi = hi : ik ik : kl usw. verhalten
und daß ynn = t/2 gh ist. Um diese Aufgabe geometrisch zti lösen, wird geln<iß
Fig. 9 das Quadratnetz in ein Kreissektorennetz eingebettet, wobei die Anzahl der
Kreise deich n ist und die Abstände zweier aufeinanderfolgender Kreise konstant
sind; die Sektoren schließen außerdem stets gleiche Winkel ein.
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Jetzt wird (fas Kreisnetz in der geforderten Weise transformiert.
I n dem Quadratnetz liegen ganze Kreise. 1:s ist eine Zahl -r so zu finden. (Maß
ist: damit ergibt sich x = 1/0,5 .
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Wenn der Abstand der Kreise C ist, ist er nach der Transformation
C # xk, wobei k die Ordnungszahl des betreffenden Kreises ist. '-Mithin
betragen die Radien der Kreise
1)er Winkel der Sektoren bleialt bei der Tratisforination unverändert. Es entsteht
auf diese ..'eise (las Kreissektorennetz der Fig. io, in das nun punktweise das
Quadratnetz eingetragen wird.
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Der Verzerrungsfehler wächst natürlich mit k und ist am größten in
Richtung der Peripherie des zu untersuchenden Kreises.
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-?s liegt nun die Aufgabe vor, diese Transforrnation des Gitternetzes
der Fig.9 auf pliotographi.sch - geoinetr ischem Wege durchzuführen. 1)ie Photographie
ist grundsätzlich als Zentralprojektion aufzufassen, wobei die Blende den projizierenden
Punkt bildet. Dabei spielt es keine Rolle, ob » n der Betrachtung das Bild auf der
Projektionsebene F. und der Gegenstand auf einer Seite des projizierenden Punktes
liegen oder durch ihn getrennt werden. -Die nachfolgende Betrachtung bezieht sich
auf den ersten Fall.
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Die radiale Streckenkürzung ist durch die vorangegangene Betrachtung
gegebeni, also dadurch, daß sich die Strecken gh : hi = hi
: ik = ik : kl usw. verhalten. Es wird im nachfolgenden nur
das schraffierte Quadrat rechts oben des gesamten Gitterquadsatnetzes der Fig. 9
projiziert. I' ig. r r ist zur Verdeutlicliting eines Verfahrens gezeigt, mit dessen
Hilfe der Querschnitt des Projektionszylinders und <las Gradhetz für den ersten
Verfahrensschritt zur llliot(@@i-<illhiscli-geonieti-isclieii Herstellung eins
gemäß der Uig. 1o transforini.erten Quadratlietzes festgelegt wird. In der linken
Hälfte 12a dieser Uigur ist finit ABC der Querschnitt des Hyperholoids bezeichnet,
auf dessen Hvperbelfläche AB der schrafticrt gezeichnete Teil der Fig. 9
derart gespannt wird, daß die Gerade f senkrecht zur Zeichenebene liegt. Man könnte
statt dessen auch damit anfangen, daß die Gerade 7 senkrecht zur Zeiclrelrellcne
ztl liegen käme. Mit der Linie E ist ein Oberschnitt durch die Projektionsfläche
gezeigt.- auf der. von dem Punkte /; ausgehend, die radial eiitspr(#chend dem oben
angegebenen Gesetz verl;iirzteli Strecken aufgetragen werden.
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Während in den (9 und to die ladialstrecke Umal unterteilt worden
ist. sind bei der Fig. 1 1
die letzten fünf "heile fortgelassen worden. Es
werden nunmehr die einzelnen "Keilpunkte auf den Geraden E mit dem Projektionspunkt
O verbunden und Tiber die Gerade l: hinaus verlängert. Jetzt wird uni B ein Kreis
finit eilfein Radius geschlagen. der gleich der uriverzerrten 1#"inheitsteilstrecke
eines Radialstraliles ist. Dieser Kreisbogen trifft den ersten Projektionsstrahl
in einem funkt der l lyperbe'lfläche AB des Querschnittes des Hyperboloids
ABC. Uni diesen funkt wird wiederuni ein Kreis mit dem gleichen Radius geschlagen,
der den nächsten Projektionsstrahl in einem weiteren Punkte der Kurve
AB trifft. Die Fortsetzung dieses Verfahrens ergibt schließlich den gesamten
Verlauf der Kurve .9B und damit den Querschnitt des Hyperboloids ABC. Der 1-eclite
Teil i 16 der Fig. 11 stellt eine Ansicht des Scbeinas der Fig. r 1 in Pfeilrichtung
gesellen dar. 1)ie Geraden lt, i, k.
1, in und ti sind ebenfalls auf
der Kurve .9l3 vermerkt, wobei n mit deni -'unkte .l zusaininenfällt.
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Aus der Ansicht der Uig. 11 11 ergibt sich die Projektion des Qua(lratnetzes,
die in Fig. 11c dargestellt und finit der der erste \'erfalirelisscliritt beendet
ist. jedem Schnittpunkt des Quadratnetzes der Fig.9 entspricht ein Schnittpunkt
in dem Quadratnetz der Fig. i i b. Die einzelnen Schnittpunkte werden niit (lein
Projektionspunkt O der Fig. 1 i 1) genau so verbunden, wie die Projektionen dieser
Schnittpunkte auf dem Kurvenzug AB mit dem Projektionspunkt verbunden wurden.
Durch (Nie Schnittpunkte dieser Projektionsstrahlen mit der Projektionsebene ergeben
sich die einzelnen Punkte des projizierten Bildes der Fig. i i c. Zur Verdeutlichung
ist ein beliebiger Punkt X in der Fig. i i c angenommen, der in der Fig. 11 b mit
X6 und in der Fig. i i a finit X" bezeichnet ist. Mit der Strecke d der Fig. 11
b und der Strecke e der Eig. i i a ergibt sich der Punkt X
in der Fig.
i i c. in entsprechender \\"eise werden die anderen Punkte des Gitternetzes der
Fig. 11 c gefunden.
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Das Gitternetz der Fig. 11 c wird nunmehr auf den gleichen Zylinder
mit der 19ylierl>elfläclie AB
derart gespannt. (saß (sie
Strecke 7 im Punkt ß senkrecht auf die Zeichenebene zu liegen kommt. Nunmehr wird
von diesem so aufgespannten Gitternetz nochmals eine Projektion von dein Projektionspunkt
O auf die Projektionsebene E ge-»omnten. .1uf (fiese Weise ergibt sich (las endhiiltig
transformierte Gitternetz der Fig. i2c, das finit (lein in to gezeigten transformierten
Gitternetz übereinstimmt. Zeichnerisch ergibt sich (las (iitteritetz (ler U i1.
t 2 c ans den Fig. 12a und 121) auf die gleiche Weise, wie sich (las Gitternetz
der I', i1. 1 1 c aus den Fig. 1 1 a und r 11) ergelten hat. Uür die I,'rinittlung
der 1i1. i2c ist das Verfahren nur etw<ls komplizierter, (ia die Strekketi t
bis 0 sticht mehr parallel zueinander und zii (Iet- Strecke 7 verlaufen. hierdurch
projizieren sich in der l@ i1. t 2 a die Schnittpunkte der einzelnen Strecken 1.
2, 3. .4. 5, f> und 7 finit den Strecken g bis ;t in einzelstet, Punkten,
im @usführungsl>eispiel also in sielen Punkten, während diese Schnittpunkte in (ler
Fig. i t a sich nur in je einem Punkt projizierten.
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Hei l)tircliführting ähnlicher Grundsätze ist es möglich, eine photographische
Projektion für Gitternetze zu erm#iglichen. die stach irgendwelchen i)eliel>igen
Gesetzen tt-:uisfortniert \v-erden sollen, tim auf (fiese Weise die vorliegende
Erfindung ans-Zuführen.
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las Uig. 13 ist ein rechteckiges Quadrathetz, das in ein 1?Ilipsensektorennetz
eingebettet worden ist, gezeigt. Die Fig. id zeigt (las erfindungsgemäß transformierte
Quadratnetz, wobei die Transformierung nachvdem gleichen Gesetz vorgenominen wor<leti
ist wie die (ler Fig. to und der 12c.
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Uig. 15 zeigt ein :ihnliches rechteckiges Quadratnetz. (las in vier
Sektoren von je yo° eingebettet worden ist. Bei (lein Sektor rechts unten handelt
es sich iitn einen Kreissektor, während die übrigen drei Sektoren Ellipsensektoren
sind. deren Ellipsen verschieden große i'aranivter hal-)en.
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Fig. i(> zeigt (las transformierte Ouadratnetz, wobei die Transformierung
ebenfalls nach den gleichen Gesetzen vorgenommen worden ist wie die (ler Fig, to,
i 2c und 14.