DE2644506A1 - Rechner zur berechnung der diskreten fourier-transformierten - Google Patents

Description

Patentanwälte

Dipl.-Ing. . Dipl.-Chem. Dipl.-Ing. ^ ö H 4 O U Q

E. Prinz - Dr. G. Hauser - G. Leiser

Ernsbergerstrasse 19

8 München 60

THOMSON - CSP 30. September 1976

173, Bd. Haussmann

75008 PARIS / Prankreich

Unser Zeichen: T 2090

Rechner zur Berechnung der diskreten Pourier-a?raasforBiierten

Die Erfindung bezieht sich auf Rechner zur Berechnung der diskreten Fourier-Transformierten₉ die es ermöglichen, durch digitale Verfahren ein Signal zu erhalten, das die Fourier-Transformierte eines anderen Signals darstellt, das seinerseits eine physikalische Größe darstellt, an deren Werten die Fourier-Transformation durchgeführt werden soll.

Es ist oft erforderlich, insbesondere "bei Korrelationsoder Konvolutionsaufgaben, eine Pourier-Transformation an elektrischen Signalen durchzuführen. Zu diesem Zweck müssen diese Signale abgetastet und digitalisiert werden, wodurch man eine Pourier-Transformierte erhält, die nicht stetig, sondern diskret ist. Fm diese Transformierte zu erhalten, muß man dann das Produkt einer quadratischen Matrix [w] der Ordnung 2T · U", welche die Transformation

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Lei/G!

darstellt, mit einem Spalten-Vektor mit N" Komponenten

• ρ
"bilden, was bedeutet, daß N komplexe Produkte gebildet werden müssen.

In den Aufsatz "An algorithm for the machine computation of complex !Fourier series" in der Zeitschrift Math. Comput. Wr. 19, 90 vom April 1965 haben die Verfasser Cooley und Tukey gezeigt, daß die Anzahl und die länge der durchzuführenden Rechnungen beträchtlich verringert werden können, vieiaiL man die Matrix in adäquater Porm zerlegt. Dieses Verfahren ist unter der Bezeichnung "schnelle Pourier-Iransformierte" bekannt geworden. Die auf diese Weise erhaltene Porm erlaubt aber nicht den Entwurf einer brauchbaren verdrahteten Maschine, die in der Lage wäre, die auf dieser Zerlegung beruhende Rechnung durchzuführen; die bisher bekannten Lösungen bestanden im wesentlichen darin, die Rechnungen durch einen gewöhnlichen Digitalrechner unter Verwendung eines Programms durchführen zu lassen, das aufgrund des Algorithmus von Cooley und Tukey aufgestellt war.

In dem Aufaatz "An adaptation of the Past Pourier Transform for parallel processing" in der Zeitschrift "Journal of the Association for Computing Machinery", Band 15, Nr. 2 vom April 1968 hat der Verfasser Pease gezeigt, daß die Zerlegung von Cooley und Tukey derart weitergebildet werden kann, daß die Matrix [wj in die Porm eines Produktes gebracht wird.

Mit der Erfindung wird ein Rechner geschaffen, der aus einer verdrahteten Maschine besteht, welche die Berechnung einer Pourier-Transformierten ermöglicht und aus so vielen in Serie geschalteten Schaltungsmodulen besteht„ wie die Pease-Zerlegung Paktoren enthalte Diese Module haben alle die gleiche Struktur und unterscheiden sich nur hinsichtlich.

y ι? © y

der Werte der Koeffizienten der Rechnung, die beim Zusammenbau durch "bleibende Einstellung eines Festwertspeichers eingegeben werden.

Weitere Merkmale und Vorteile der Erfindung ergeben sich aus der folgenden Beschreibung eines Ausführungsbeispiels anhand der Zeichnung. In der Zeichnung zeigen:

Fig. 1 eine graphische Darstellung eines Matrixproduktes gemäß der Pease-Zerlegung,

Fig. 2 das Schaltbild eines Moduls eines Rechners nach der Erfindung,

Fig. 3 das Schaltbild der Recheneinheit des Moduls von . 2,

Fig. .4 das Schaltbild eines komplexen Multiplizierers, der in der Recheneinheit von Fig. 3 verwendet wird,

Fig. 5 das Schaltbild einer Anordnung, mit der die im

Rechner erhaltenen Zahlen zueinander parallel . gemacht werden, und

Fig. 6 das Schaltbild eines vollständigen Rechners.

Wenn M^- in gleichen Abständen liegende Abtastwerte f (0<s<N-1) einer Funktion f(t) gegeben sind, sind die Έ Koeffizienten g_r der Fourier-Transformierten dieser Funktion durch die folgende Beziehung gegeben:

ΪΓ-1
g_r = I _s^_o (exp. 2it j rs/F) f_B; j = V^!

\iewi man älese Έ IS©effigierit@E uai Sie If Abtastwerte in Si© lorE· ¹XFoFi s?;j@t Spaltenvefetoren telngtg

BAD 0R161MAL

-JT-

r= coi (f₀, f.,, ..., f_N-1) If = col (g_Q, g₁, ..., gjf_-j)

kann man eine Matrix [vr] definieren, welche die folgenden Koeffizienten hat:

00

_rs

= exp 2 π j rs/li

und die obige Gleichung kann dann in folgender Matrixform geschrieben werden:

T-£ M

Zur "Vereinfachung der Bezeichnungsweise wird die Matrix [w] in herkömmlicher Weise in einer Porm geschrieben, bei der nur das veränderliche Glied r · s der Exponentialfunktion beibehalten wird. Diese Matrix erscheint dann in der folgenden Porm:

0. 0 0 0

• I

2 3

2 4 6

(IM) 2(IM) 3(BM)

(IM) 2(IM) ...

In dem vollständigen numerischen Ausdruck einer solchen Matrix kann man die Schreibweise noch vereinfachen, wenn man beachtet, daß die Koeffizienten 00_rs ^für alle Werte von r»s modulo IT gleich sind und daß man somit alle Glieder r«s auf ihren Wert modulo ST bringen kann, der zwischen 0 und N-1 liegt.

Pease hat. folgendes gezeigt? Wenn Ii gleich einer ganzzahligen Potenz von 2 ist, also Ή = 2ⁿ, kann diese Matrix, in · die folgende Form gebracht werden:

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[w] =Q [w]' «= Q

(O

P)]

Die Matrix Q ist eine Permutationsmatrix, welche nach Beendigung der Berechnungen des zwischen eckigen Klammer stehenden Ausdrucks die verschiedenen Zeilen der Matrix [wj¹ in der natürlichen Reihenfolge der Indizes r ersetzt, Man kann sie in folgender Weise definieren: Man numeriert die Zeilen der Matrix fV]¹ binär in .Einnehmender Reihenfolge von oben nach unten, kehrt dann die Schreibriohtung der Binärzahlen um und ordnet die Zeilen der Matrix derart neu, daß wieder eine von oben nach unten zunehmende Reihenfolge der die Zeilennuramern darstellenden Binärzahlen erhalten wird. Beispielsweise gilt für F = 4s

1 2

2 O

5 2

1 O

0 1

1 1

ο ο O 2

O	O
Ό	2
2	5
2	1

Die Matrix P ist eine Terwürfelungsmatris, die durch die folgende Übereinstimmung zwischen zwei Spalten-Vektoren mit den Koeffizienten x_ definiert ist:

P · COl (X_n,

COl (X₀, X₁^, X₁, Xj^ ₉ ..., Xjf , ^ 2" · 2 "

Für 1 = 8 hat diese Matrix beispielsweise die folgende Form, in der die Glieder die wirklichen Koeffizienten und nicht die veränderlichen Glieder der Exponentialfunktion sind:

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	O	O	— Se	-	O	O	cT	2644506
1	O	O	O	O	O	O	O
O	1	O	O	1	O	O	O
O	O	O	O	O	1	O	O
O	O	1	O	O	O	O	O
O	ο .	O	O	σ	O	1	O
O	O	b	O	0	O	O	O
O	O	O	1	O	O	O	1
O		O	O

Die Matrizen E sind diagonale Matrizen, die als das Produkt der diagonalen Matrizen F₂i nach der folgenden Regel definiert sind:

E₁ = F₂n-2 · F₂n-3 ... F₂1 · I₂O .

P₂n-2 · F₂n-3 ...

n-1 ~ -=2
E_n = I

Die Matrizen F₂i werden nach der folgenden Regel gebildet: Man numeriert die Positionen entlang der Diagonale von O bis U-1 und drückt dann diese Zahlen im natürlichen Binärcode aus. Für die Matrix F_Qi haben die Koeffizienten

i
die Diagonale die Werte 2 für die Positionen, in denen das (i + 1)te und das letzte Bit der Zahl, von links aus gezählt, gleich 1 sind. Alle anderen Koeffizienten sind Hull. Beispielsweise gilt im Fall von Ή = 16 für F. = F_g2:

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1
2
3
4
5
6
7
8
9

10 11 - 12 13 14 15

O O O O 1 1 1 1 0 O 0 0 1 1 1 1

0 O 1 1 O O 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

r*s =

r«s =

r»s = 4 "

+ 1 = 3. Bit

J u

r«s =

letztes Bit

P₄ = diag (0 004 0004 000 4 000 4)

Die Matrix C ist definiert als das Kronecker-Produkt der Einheitsraatrix der Ordnung Ή/2 mit der folgenden Matrix

in der die Glieder die wirklichen Koeffizienten und nicht die veränderlichen Glieder der Exponentialfunktion sind:

^C = ^T2 ' h/2 Pur H^- = 16 gilt "beispielsweise:

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c =

•	1	O	O	- Sf-	M	O	0I	2644506
1	-1	O	O	O	O	O	O
1	O	1	1	O	O	O	O
O	O	1	-1	O	O	O	O
O	O	O	O	O	O	O	O
O	O	O	O	1	1	O	O
O	O	O	O	1 -	1	1	1
O	O	O	O	O	O	1	-1
O			O	O

Es ist interessant, die durch eines der Glieder des Produktes P ausgedrückte Folge von Operationen graphisch darzustellen. Fig. 1 zeigt ein solches Diagramm für das Glied C · S. · P für den Fall N = 16; dies entspricht dann einer Matrix:

E₁ = diag (O 004 Ό 20601 05030 7).

Die 16 Zahlen D_Q bis D₁r

an denen flas Produkt G ^a

angewendet werden soll, stehen in der Figur links„ Sie erfahren nacheinander die Anwendung der Matrizen P₉ E^ und C₉ wobei diese Reihenfolge mit der Matrix-Schreibweise übereinstimmt. Diese drei Anwendungen sind durch die drei Abschnitte P, E₁ und C des Diagramms dargestellt,, die zwischen den gestrichelten senkrechten Linien liegen. Diese Abschnitte sind gemäß der geläufigen Reihenfolge der Schreibweise von links nach rechts angeordnet. Die Pfeile zeigen die Verschiebung der Zahlen in dem durchquerten Abschnitt an, und die an den Pfeilen angebrachten Symbol© drücken die Operationen aus, die mit den auf diese Weise verschobenen Zahlen vorgenommen werden, wobei W¹ eine Multiplikation mit dem Faktor W , das Zeichen + eine Addition und das Zeichen eine Subtraktion darstellen. Das Ergebnis dieser drei aufeinanderfolgenden Operationen besteht aus den 16 Zahlen Sq bis S₁C. Der Abschnitt P entspricht der Anwendung der Verwürfelungsmatrix P. Wie zu erkennen ist, handelt es sich

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um eine einfache Unordnung der Zahlen in der angegebenen Reihenfolge.

Der Abschnitt E-j entspricht der Anwendung der Matrix E^. Da es sich dabei um eine diagonale Matrix handelt, gibt es keine Kombination der Glieder untereinander, sondern nur eine Multiplikation jedes Gliedes mit einer Potenz von W. Bei einer Untersuchung der Regeln der Bildung der Matrizen F1 und somit der Matrizen E stellt man fest, daß wenigstens jeder zweite Exponent von ¥ den Wert Full hat, da im natürlichen Binärcode das am weitesten rechts stehende letzte Bit der Zahl des Exponenten Jedes zweite Mal gleich Full ist (nämlich für die geraden Zahlen). Da gilt: W⁰ = 1, brauchen wenigstens jedes zweite Mal keine Multiplikationen durchgeführt zu, werden. ■

Der Abschnitt C entspricht der Anwendung der Matrix C. Es erfolgt keine Multiplikation, sondern eine Kombination von Additionen und Subtraktionen der paarweise genommenen Glieder,

In dem Ausdruck der Matrix

W¹ = TT. (O · E_m · P)

stellt man fe?t, daß die Glieder dieses Produktes sich voneinander nur hinsichtlich der Werte der Koeffizienten der Matrix E unterscheiden, die nicht stets Hull sind. Es ist daher günstig, ein Gerät in Modulbauweise zu schaffen, das die Gesamtheit der durch [yrj* dargestellten Operationen durchführt und aus einer Reihe von gleichartigen Schaltungsmodulen zusammengesetzt ist, von denen jeder die durch eines der Glieder C · E · P dargestellten Operationen durchführt. Diese Module sind dann identisch, mit Ausnahme von Schaltungen, die am Ende der Herstellung durch einen einfachen Vorgang aus einer für alle gemeinsamen Struktur erhalten werden können.

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Pig. 2 zeigt einen solchen Modul sowie einen Teil des vorhergehenden Moduls und einen Teil des folgenden Moduls für " N = 16. Der vollständig dargestellte Modul ist zwischen den Linien X-J-X₂ ^{unä Y}1""^Y2 ^en*^nal*⁰¹¹· ¹^⁶ dargestellte Anordnung enthält zwei Recheneinheiten 211 und 212, vier Speicher 215, 214, 215, 216, zwei einfache Umschalter und 218 sowie vier Doppelumschalter 219, 220, 221, 222. Der Pfeil an dem "beweglichen Kontakt dieser Umschalter zeigt in herkömmlicher Weise die Umschaltseite des beweglichen Kontakts an und hat keine Beziehung zu der Richtung der Signale in den Umschaltern. Ferner ist in der Zeichnung die Übereinkunft getroffen, die auch für die folgenden Figuren gilt, daß die mit Pfeilen versehenen Verbindungen unterschiedslos den Weg von einfachen Signalen oder von Wörtern aus mehreren Serienbits oder Parallelbits anzeigen; dieser Unterschied wird in der Beschreibung erläutert; insbesondere werden für die Operationen, die mit komplexen Zahlen vorgenommen werden, die Realteile und die Imaginärteile getrennt behandelt. Die Module empfangen Taktsignale H, H/2 und H/16. Das Signal H/2 hat die halbe Frequenz des Signals H, und die Frequenz des Signal H/16 beträgt 1/16 der Frequenz des Signals H. Diese Signale sind in Phase, und die Verzögerungen, die für den Ablauf der Operationen in der beschriebenen Reihenfolge, insbesondere für die aufeinanderfolgenden mathematischen Operationen notwendig sind, sind in die Rechen- und Speieherorgane eingebaut, welche die Signale empfangen. Diese Übereinkunft gilt auch für die folgenden Figuren.

Es sollen nun die Operationen beschrieben werden, die der Anwendung des Gliedes C · E, · P in dem dargestellten vollständigen Modul entsprechen, der die entsprechenden Werte der Koeffizienten von E^ enthält. Diese Anwendung ist in Fig. 1 dargestellt, bis auf den Wert der Koeffizienten.

709S1S/O8SQ

Die Durchführung der Operation dauert eine Zeit T, die 16 Taktzeiten Tq bis T₁^ entspricht, die durch die Taktsignale H markiert sind. Ferner sind für diese Operation die Umschalter 21? bis 222 in die in Fig. 2 dargestellte Richtung eingestellt.

Die Zahlen D_n bis D._ sind· in einer später noch erläuterten Weise in die 16 Wortspeicherstellen mit der entsprechenden Hummer des Speichers 214 eingebracht worden. In Pig. 2 sind die drei Speicherzellen O₅ 8_S 15 dargestellt, die drei von diesen Wörtern entsprechen. Der Speicher 214 empfängt über den Umschalter 219 das Taktsignal H/2. Die in den Speicher eingeschriebenen Zahlen werden im Rhythmus dieses Taktsignals H/2 in aufsteigender Richtung in der Zeichnung von einer Speicherzelle in die näehste"übertragen. Somit enthalten am Beginn der Taktzeit Tq die Zellen O, 8, 15 die Zahlen Dq, Dq, 3)-j5» und am Beginn der Taktzeit Tp enthalten die Speicherzellen 0 und 8 die Zahlen D-j bzw. Dq, während die Speicherzelle 15 leer ist. Am Beginn der Taktzeit T^ enthalten die Zellen 0 und 8 die Zahlen D^ bzw. D^,-.

Die Wörter O und 8 dieses Speichers werden am Beginn jeder durch das Signal H/2 definierten geradzahligen Taktzeit abgelesen und über den Umschalter 220 zur Recheneinheit 212 übertragen. Unter Bezugnahme auf Fig. 1 ist zu erkennen, daß diese leseoperation tatsächlich der Anwendung der Yerwürfelungsraatrix P entspricht. Man erhält nämlich nacheinander die Zahlen D_Q und D₈, dann die Zahlen D^ und Dq usw., und schließlich die Zahlen D^ und D^J äie Zahlen werden also paarweise in der Reihenfolge erhalten, wie sie rechts vom Abschnitt P in Pig. 1 eingeordnet sind.

Mit der Recheneinheit 212 können aus den Zahlenpaaren (D_Q, D₈),- (D₁J Dq) j ... (Br, j D₁^) öle Sahlenpaare (S_Q, S^),

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(S₂/ S,), ..., (S₁*, S-jc) erhalten werden. Diese Recheneinheit arbeitet im Takt des Signals H/2, da die Zahlenpaare D^ in diesem Takt ankommen. Es sei beispielsweise der EaIl des Zahlenpaares (D₁, Dq) betrachtet. Die Zahl D₁ wird unverändert übernommen, da sie mit W= 1 multipliziert wird, was für die erste Zahl jedes Paares stets der Pail ist. Die Zahl Dq wird mit W^ multipliziert. Die Recheneinheit 212 bildet dann die Summe"D₁ + D₀ · W^₉ was die Zahl S₂ ergibt, sowie die Differenz D₁ - Dq · W , was die Zahl S^ ergibt.

Diese Zahlen S₂ inid S~ sind nacheinander in den Taktzeiten D₂ bzw. Dv am Ausgang der Recheneinheit 212 verfügbar und werden über den Umschalter 218 zum Speicher 215 gerichtete

Dieser Speicher 215 ist dem Speicher 214 gleich, wie auch alle übrigen Speicher des Geräts und insbesondere die Speicher 213 und 216,

Die vom Umschalter 218 kommenden Zahlen S. werden im Rhythmus der Taktzeiten T. in die Zelle 15 des Speichers 215 eingeschrieben. Dieser Speicher empfängt das Taktsignal H über den Umschalter 222. Die in diesen Speicher eingeschriebenen Zahlen werden im Rhythmus des Signals H in aufsteigender Richtung in der Zeichnung von einer Zelle in die nächste übertragen. Somit steht am Ende der Taktzeit Tq die Zahl S_Q in der Zelle 15, und am Ende der Taktzeit T₁ wird die Zahl S_Q von der Zelle 15 in die Zelle-14 übertragen und die Zahl S₁ in die Zelle 15 eingeschrieben. Diese Operationen wiederholen sich in der gleichen Weise, und der Zyklus endet mit der folgenden Sequenz:

T₁^—»x Lesen der Zahl D~ in der Zelle O und der Zahl D₁₅ in der Zelle 8 des Speichers 214;

χ Berechnen von S₁, und von S₁^ in der Recheneinheit 212; 7O981'S/O8GO

χ Einschreiben der Zahl S^, in die Zelle 15 des Speichers 215J

T₁C—»x Übertragung der Zahl S^ in die Zelle 14 des Speichers 215;

χ Einschreiben der Zahl S^c in öie Zelle 15 des Speichers 215.

Es ist also folgendes festzustellen? Am Ende des Zeitintervalls !, das der Anwendung des Glieds G · S- . 3? auf die Zahlen Bq bis B₁K ssur Bildung der Zahlen Sg bis S_{1 c} zugeteilt ist, enthält der Speicher 214 noch, neun Zahlen D» bis B₁,-in den Zellen 0 bis S₉ und der Speicher 215 enthält Sie sie Ergebnis dieser Anwendung erhaltenen 16 Zahlen S_n bis S_{1 c} ist äen Zellen 0 bis 15«'Dieser Speicher 215 bildet einen Bestandteil des nächsten Moduls₉ in ä&® üie Anwendung des ilieds ö · S₂ · P auf die Zahlen S_Q als S₁₅ durchgeführt werden soll,, die für diese Operation äie Solle" der Zahlen B₀ Ms D.jc übernehmen. Der Speicher 215 m\xB also während #.er folgenden Zeit T für älesen nächsten Modul äie gleiche Rolle spielen wie der Speicher 214 in dem beschriebenen Zyklus für den soeben erläuterten Modul*.,Zu diesem Zweck bewirkt das Signal H/16 am Beginn der Saktzeit !D₁ des näohsten Zyklus das Umlegen aller Umschalter und insbesondere der Umschalter 218, 221, 222. Die in der Zeichnung symbolisch dargestellten Umschalter sind natürlich in Wirklichkeit mit statischen Schaltungselementen realisiert, beispielsweise mit !Transistoren. Der Speicher 215 empfängt dann nicht mehr die von der Recheneinheit 212 stammenden Zahlen, und er empfängt das Taktsignal Ή/2 anstelle des !Taktsignals H# Andererseits werden die Zellen O und 8 dieses Speichers gleichzeitig abgelesen, und die auf diese Weise erhaltenen Zahlen werden der Recheneinheit des Moduls über ' den Umschalter 221 zugeführt.

Wenn nur eine einzige fransformierte zu. "berechnen wäre, wäre ein solcher Moäulaufbau nicht günstig, denn es würde beispielsweise genügen, den Ausgang des Umschalters 221 über eine Schleife mit den Eingängen der Recheneinheit 212 zu verbinden, wobei gleichzeitig in geeigneter Weise in jedem Zyklus die in dieser Recheneinheit enthaltenen Koeffizienten W geändert würden.

Wenn es dagegen erwünscht ist, eine ganze Folge von Fourier-Transformierten zu berechnen, beispielsweise zur Echtzeit-Analyse der in einem physikalischen Meßgerät erhaltenen Signale, wird der Modulaufbau sehr vorteilhaft, weil dann jeder-Modul, der sein© Operation durchgeführt hat, zur Durchführung der gleichen Operation an der nächsten Kollektion der der folgenden fransformierten zugeordneten Zahlen verfügbar wird.

Somit werden nach Beendigung des zuvor beschriebenen Zyklus die Zahlen S_Q bis S-j* einer ersten Fourier-Iransforraierten von 16 Abtastwerten eines Signals, die sich in der Rechnung befinden und sich aus der Anwendung des Glieds O · E* . P ergeben, deir Anwendung des Glieds C · Eg · P im nächsten Modul unterworfen, und der Modul, der diese Zahlen Sq bis S-j. in der angegebenen Weise geliefert hat, ist frei, um die Anwendung des Glieds C * E^ ■·. P erneut bei einer neuen Folge von Zahlen D_Q bis D.jc einer zweiten Fo urier-Tr ans formierten der 16 folgenden Abtastwerte des untersuchten Signals durchzuführen·

Diese Zahlen sind während des soeben beschriebenen Zyklus in den Speicher 213 eingeschrieben worden, dem sie von der Recheneinheit 211 des vorhergehenden Zyklus über den Umschalter 217 zugeführt worden sind· Da alle Umschalter am Ende dieses Zyklus umgelegt worden sind, empfängt dann die Recheneinheit 212 in der Tat über den Umschalten 220 die

it

vom Speicher 213 stammenden Zahlen D₁, und sie schreibt die sich aus der neuen Durchführung der Operation ergebenden Zahlen S^ in den Speicher 216 des folgenden Moduls über den Umschalter 218 ein. In entsprechender Weise wird der Speicher 214» der für die vorhergehende Operation verwendet wurde, nun mit den Zahlen D₁ einer dritten Pourier-Transformierten gefüllt, die von der Recheneinheit 211 über den Umschalter 217 kommen. Dieser Speicher war nicht vollkommen leer, doch ist dies bedeutungslos, da der Einschreibvorgang zugleioh eine Löschung des vorhergehenden Inhalts umfaßt.

Wie gezeigt wurde, werden die Speicher eines Moduls nacheinander mit den vom vorhergehenden Modul kommenden Zahlen gefüllt, und sie werden-dann-entleert, um die Recheneinheit des Moduls zu versorgen, zu dem sie gehören, wobei der Wechsel im Rhythmus der Aufeinanderfolge der transformierten erfolgt. Die verschiedenen Umschalter haben die Aufgabe, diesen Wechsel zwischen der Rolle der Speicher sowohl hinsichtlich der Datenübertragung als auch hinsichtlich der Taktsignale zu ermöglichen.

Pig. 3 zeigt eine Ausführungsform einer Recheneinheit, beispielsweise der Recheneinheit 212. Diese Recheneinheit enthält einen Multiplizierer 311, einen Addierer 312, einen Subtrahierer 313, einen Speicher 314, zwei Umschalter 315 und 316, eine Verzögerungsschaltung 317, vier Und-Schaltungen 318, 319, 320, 321, einen Inverter 322 und zwei Oder-Schaltungen 323 und 324.

Die beispielsweise vom Speicher 214 kommenden komplexen Zahlen \ = ^_n + 3 \ und D_ffi = a_m + j b_ffl haben jeweils die Form von zwei Binärzahlen_s die den Realteil bzw. den Imaginärteil der komplexen Sahl cüasstsllen.

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Die Zahl D- wird unverändert übernommen, da sie, wie zu

O
ersehen war, stets mit ¥ = 1 multipliziert wird.

Die Zahl D wird im Multiplizierer 311 mit der ihrer Qrdnngszahl entsprechenden Zahl ^k+i multipliziert. Dieser Multiplizierer arbeitet, wie auch alle übrigen Organe der Recheneinheit, im Rhythmus der Taktsignale H/2_S und er enthält die inneren Yerzögerungsachaltungen, die für den Ablauf der Rechnungen in der richtigen Reihenfolge erforderlich sind. Der Koeffizient W₂^₊₁ = CT₂^₊₁ + 3 ^ä2k+1 ^wirfl aus dem Speicher 5H entnommen. Dieser Speicher ist ein Festwertspeicher, der in IT/2 (bei dem'"beschriebenen Beispiel S) Paaren von Binärwörtern organisiert ist, wobei die beiden Wörter eines Paares den Realteil "bzw₀ äen Imaginärteil eines der Koeffizienten ^2t+i ^^a"^£B^^-^Qn· Drei von diesen Wörtern sind in J?ig» 3 durch, die Speichersellen dargestellt₉ die in Übereinstimmung mit äen Ordnungszahlen der Koeffizienten ^k-S-I ^^m ^^eeta²-itt S* von Pig· 1 mit R-| - !.ρ Hq- Xq bsw_a R^ - I^ numexlert sind. Der Inhalt dieses gp®3.eh©3?e -stellt ~ä®n ©insigon Unterschied zwischen den verschiedenen Modulen S©e gleichen Rechners für die Berechnung der Pourier-Tranefosmiertea üb,t_b Man beherrscht vollkommen die Herstellung von leeren Festwertspeichern, deren Inhalt anschließend durch einen einfachen Vorgang festgelegt wird, beispielsweise durch, die Unterbrechung einer bestimmten Anzahl von Sebjielaverbindungen. Somit können die beschriebenen Module la völlig identischer Weise hergestellt werden und anschließend beim Zusammenbau an die bestimmungsgemäße Verwendung in den fertigen Rechnern angepaßt werden.

Der Inhalt dieser Wortspeicherstellen v/ird zyklisch über die Umschalter 315 und 316 abgelesen, die nach jeder Operation unter der Steuerung durch das !Taktsignal H/2 um einen Schritt fortgeschaltet werden. Diese Umschalter,

7098 1 S/O8S0

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empfangen auch das Taktsignal H/16, das die Aufrechterhaltung der Zyklus-Synchronisation ermöglicht,damit das Lesen des Speichers am Beginn jedes Zyklus auch wirklich mit den Wörtern R₁ - I^ "beginnt.

Man erhält also am Ausgang des Multiplizierers 311 die komplexe Zahl:

^W2k+1'^Dm = <V⁰2k+1-V^a2k+1> ⁺ * <V^ä2k+1⁺V^O2k+1 > ■ die natürlich aus zwei Binärwörtern besteht.

Der Addierer 312 und der Subtrahieren 313 ermöglichen die Durchführung der Operation, die durch den Abschnitt O von Fig. 1 symbolisch dargestellt sind« Somit erhält man am Ausgang des Addierers 312 die komplexe Zafols

V^¥2k+1 '\ = ^^a

und am Ausgang dee Addierers 313 die komplexe Zahl:

^iT^k+i *\ ~ ^^an""^am'^C2k+1^+l:>!n*^ä2k+1^⁺^ ^n~^am*^ä2k+1""^tm^#C2k+1 ^*

Diese Zahlen sind gleichzeitig an den Ausgangsregistern der Recheneinheiten 312 und 313 verfügbar und werden in diesen Registern gespeichert. Um sie wieder in die richtige Reihenfolge zur aufeinanderfolgenden Speisung des Speichers zu bringen, in den sie im Rhythmus des Taktsignals H eingeschrieben werden, werden zunächst die Und-Sohaltungen und 319 durch das Signal H/2 geöffnet, das zur Kompensation der durch die Rechnung bedingten Verzögerungen in der Verzögerungsschaltung 317 geeignet verzögert wird. Dieses Signal ist ein Rechtecksignal mit der i*requenz H/2, dessen positiver Abschnitt, der dem Digitalwert 1 entspricht, die Und-Schaltungen 318 und 319 für die Dauer einer Elementarzeit T₁ öffnet. Das gleiche Signal wird in dem Inverter

70 981 syoeeo

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invertiert, so daß sein Signalwert Null, der dem Digitalwert 0 entspricht, die Und-Schaltungen 320 und 321 während der Dauer der folgenden Elementarzeit öffnet.

Die Oder-Schaltungen 323 und 324· vervollständigen diese Multiplexiereinrichtungen und fassen die Folge der in der "beschriebenen Weise zeitlich in Serienform gebrachten zwei komplexen Zahlen zusammen, um eomit die Zahlen S₂-Jj., ^S2k+1 zu liefern.

Fig. 4 zeigt eine Ausführungsform eines komplexen Multiplizierers, "beispielsweise des Multiplizierers 311 von Pig. 3* Dieser komplexe Multiplizierer enthält vier "binäre Multiplizierer 411 "bis 414, einen Subtrahierer 415 und einen Addierer 416·

Die "binären Multiplizierer 411 "bis 414 "bilden aus den Binärwörtern, welche die Realteile bzw. die Imaginärteile der komplexen Zahlen D und W₂^₊-J darstellen, die Binärwörter a_ra . C_2k+1, b_m . d_2k+1, a_m . d_2k+1 und \ - 0_2k+1. Diese Multiplizierer sowie auch der Subtrahierer 415 und der Addierer 416 arbeiten im Rhythmus der Taktsignale H/2 und enthalten die inneren Yerzögerungsschaltungen, die für den einwandfreien Ablauf der Rechnungen notwendig sind; diese Schaltungen bewirken insbesondere, daß die Organe 415 und 416 erst dann arbeiten können, wenn die Multiplizierer 411 bis 414 ihre Rechnungen beendet haben.

Der Subtrahierer 415 bildet das reelle Glied a ·

^d2k+1 ^{deB Pr}°ä&ktes ^W2k+1 * "⁰E ⁰^ ^{der Aä<3ierer} 416

bildet das imaginäre Glied a · ^£k+1 ⁺ *\n * ^2k+1 gleichen Produktes.

Man erhält somit am Ausgang dieser Anordnung in der Tat das komplexe Produkt der beiden komplexen Zahlen, die ihren Eingängen zugeführt werden.

7Q9815/0S6Ö

Durch Zusammenfügen von η Modulen, von denen jeder Ή Zahlen D verarbeiten kann, kann man somit Ή - 2ⁿ Fourier-Koeffizienten der Funktion f(t) "berechnen, die durch Bf Abtastwerte dargestellt ist, die in einem Zeitintervall !D regelmäßig abgenommen worden sind. Das Ergebnis dieser Rechnung ist mit einer Verzögerung verfügbar, die im wesentlichen gleich der Dauer η · T ist- und der Folge der Rechnungen in der Reihe von η Modulen entspricht. Diese Verzögerung ist der in Kauf zu nehmende Ausgleich für den Gewinn an Leistungsfähigkeit gegenüber der Rechengeschwindigkeit im Vergleich zu den herkömmlichen Rechengeräten, die eine Iterationsrechnung durchführen; sie ist im allgemeinen nicht störend.

Damit das richtige Ergebnis der Rechnung

T- i M t

erhalten wird, ist es jedoch noch erforderlich, das Glied in Λ/Έ und die Permutationsmatrix Q zu berücksichtigen, da die Vereinigung der η Module nur die Anwendung der Matrix JV]¹ ermöglicht.

Für das Glied in "l/H" kann man annehmen, daß es sich um einen Maßstabsfaktor handelt, der bei der Auswertung der Ergebnisse berücksichtigt wird. Dies ist besonders im Hinblick auf die folgende Tatsache günstig: Wenn man an irgendeiner Stelle des Rechners eine Division durch Ή vornähme, müßte das Auflösungsvermögen der ganzen Anordnung erhöht werden, damit die Verringerung der Genauigkeit berücksichtigt würde, die auf diese Weise wegen der größeren Auswirkung des Rundungsfehlers auf das letzte Bit infolge der Verringerung der Anzahl der gültigen Ziffern eingeführt würde.

70981S/ΟδβΟ

Was die Perrautationsmatrix Q betrifft, kommt sie darauf hinaus, daß die in Seriendarstellung aus dem letzten Modul des Rechners ausgegebenen Zahlen in einer anderen Reihenfolge multiplexiert werden. Man kann also ohne weiteres sagen, daß diese Zahlen, die in einer genau "bekannten, jedoch von der natürlichen Reihenfolge der Indizes der Fourier-Koeffizienten verschiedenen Reihenfolge austreten, in Abhängigkeit von dieser Reihenfolge verwendet werden.

Diese Verwendung macht es jedoch oft erforderlich, die Zahlen zueinander parallel zu machen, damit sie alle gleichzeitig verfügbar sind. Dies ist insbesondere dann der Pail, wenn das Spektrum eines zeitabhängigen Signals erhalten werden soll. Die Abtastwerte des Signals werden dem Eingang des Rechners in Serienform zugeführt ₉ was normal ist, da man das Signal im Lauf seiner zeitlichen Entwicklung abtastet; dagegen will man im allgemeinen die Έ ¥erte der Spektrallinien gleichzeitig auswerten₉ da gewöhnlich ihre jeweiligen Werte am wichtigsten sind. Es ist dann günstig, bei dieser Parallelumsetzung" die Einordnung entsprechend der natürlichen Reihenfolge der Indizes vorzunehmen.

Pig. 5 zeigt eine schematische Teildarstellung einer Anordnung zur gleichzeitigen Durchführung dieser beiden Operationen für den Pall IT = 16. Diese Anordnung enthält einen Zähler 51, einen Decodierer 52, 16Und-Schaltungen 500 bis und 16 Speicher 600 bis 615.

Der Zähler 51 hat eine Zählkapazität 16 und läuft im Rhythmus des Taktsignals H um. Das Taktsignal H/16 ermöglicht die Kontrolle der Phase des Zählers, wodurch er gezwungen wird, synchron mit einem Zyklus T in den Modulen des Rechners mit dem Zählerstand 0 anzulaufen. Die inneren Verzögerungen dieses Zählers ermöglichen die Kompensation der durch die Rechnungen in den Modulen verursacliten Verzögerungen.

7 0 9 8 1 5 / 0 8 6 0

Der Decodierer 52 decodiert die Zählerstände des Zählers in der durch die Matrix Q festgelegten Reihenfolge. Diese Decodierung ist leicht, denn es genügt, einen normalen Binärdecodierer zu nehmen und die Reihenfolge des Anschlusses seiner Eingänge an die Ausgänge des Zählers 51 umzukehren, was den Regeln der Bildung der Matrix Q entspricht. Dieser Decodierer gibt somit Öffnungssignale an den 16 Anschlüssen O bis 15 in der Reihenfolge der gewünschten Permutation ab.

Diese Anschlüsse sind mit den 16 Und-Schaltungen 500 bis verbunden, die parallel das gleiche Signal S^ empfangen, das aus dem letzten Modul eines Rechners für die Berechnung der Pourier-Transformierten austritt. Diese Und-Schaltungen werden somit jeweils der Reihe nach in der gewünschten Reihenfolge geöffnet, und sie .lassen dann die Signale S, durch, die anschließend in den Speichern 600 bis 615. gespeichert werden. Am Ende der Sequenz verfügt man somit an den Ausgänger, dieser Speicher über alle Signale g_Q bis g^ gemeinsam und in der richtigen Reihenfolge.

Fig. 6 zeigt, wieder für den Fall Έ = 16, einen Eourier-Rechner mit vier Modulen M^ bis M^, einem Parallelumsetzer SP, einer Kippschaltung B und einem Zähler 0,

Der Rechner empfängt die digitalisierten Abtastwerte f_ eines analytischen Signals, dessen Fourier-Koeffizienten bis zur Ordnung 16 erhalten v/erden sollen. Er empfängt außerdem die Taktsignale H, die mit dem Rhythmus der Abtastung des Eingangssignals synchron sind.

Die Abtastwerte f werden in den vier Modulen M, bis M. verarbeitet, die in Kaskade geschaltet sind und von denen der letzte Modul M₁ die Werte der 16 gewünschten Fourier-Koeffizienten in Seriendarstellung liefert. Der Parallelumsetzer SP, der in der Art des Geräts von Fig. 5 ausgeführt

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ist, macht diese 16 Koeffizienten parallel, wobei er sie in der natürlichen Reihenfolge der Indizes umordnet, und er liefert diese 16 Koeffizienten g_Q "bis g-j,- an seinen Ausgängen.

Die Kippschaltung B bildet aus. dem Signal H das Signal H/2, und der Zähler G mit der Kapazität 16 liefert aufgrund des gleichen Signals H das Signal H/16. Die Analyseperiode des Rechners ist durch den Zeitpunkt festgelegt, in welchem der Zähler C durch den Zustand O geht; sie hat also keinen Zusammenhang mit dem Eingangssignal, was ohne Bedeutung ist, da das Eingangssignal dauernd abgetastet wird und es keinen bevorzugten Zeitpunkt in der Folge der Abtastwerte f_ gibt. Die Signale H, H/2, H/16 ermöglichen die Synchronisation des gesamten Betriebs des Rechners.

Dieser Rechner kann beispielsweise zur Berechnung des Spek-. trums eines zeitabhängigen Signals verwendet werden.

Claims (7)

1. Patentansprüche

   Ay Rechner zur Berechnung der diskreten Fourier-Transformierten, der ein digitales Signal empfängt, das Ή Zahlen darstellt,

   —3>

   die einen Vektor f "bilden, und der ein digitales Signal abgibt, das Ή andere Zahlen darstellt, die einen Vektor g bilden, welcher die folgende Matrixgleichung erfüllt:

   dadurch gekennzeichnet, daß für den EaIl, daß N eine ganzzahlige Potenz von 2 ist (N = 2ⁿ) und die Matrix [V] in die Form einer Pease-Zerlegung gebracht v/erden kann, die durch die Matrixgleichung ■ ■

   m=i

   dargestellt ist, η in Kaskade geschaltete Schaltungsmodule vorgesehen sind, von denen jedes eines der Glieder C · E < anwendet und die sich voneinander nur duroh einfache, die Koeffizienten ¹
   unterscheiden.

   vorgesehen sind, von denen jedes eines der Glieder C · E

   Le Koeffizienten W¹ der Matrizen E darstellende Schaltungen
2. 2. Rechner nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, .daß im Verlauf der Anwendung eines Gliedes C <» E_ffi . P auf einen Vektor f der betreffende Modul IT Signale D^ empfängt und U Signale S. abgibt, wobei die von einem Modul abgegebenen Signale S₁ die Rolle der Signale D₁ für den folgenden Modul spielen, und daß jeder Modul enthält:

   - Speicheranordnungen, die aus zwei gleichen Teilen bestehen, von denen der eine Teil die Signale D. empfängt und der andere Teil die dem vorhergehenden Vektor f entsprechenden und zuvor gespeicherten Signale gleicher Art wiedergibt, ' wobei diese Wiedergabe paarweise in der durch die Matrix P festgelegten Reihenfolge geschieht;

   7G9315/086C

   - Rechenanordnungen, welche die Paare empfangen, die durch die Matrizen E und C festg
   und die Signale S^ abgeben;

   die Matrizen E und C festgelegten Rechnungen durchführen

   - TJmschalteinrichtungen, die es nach jeder einer Anwendung des Gliedes C · E · P entsprechenden Operation ermöglichen, die Rolle der beiden Teile der Speicheranordnungen zu vertauschen und die zuvor gespeicherten Signale D.^ wiederzugeben.
3. 3. Rechner nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, daß die Speicheranordnungen zwei Speicher enthalten, die in Έ Wörtern organisiert sind, die von O bis IT—1 numeriert sind, daß der eine Speicher im Rhythmus des Eintreffens der Zahlen D. mit diesen Zahlen vom Wort F-1 aus beschickt wird, daß der Inhalt des anderen Speichers in der Richtung abnehmender Hummern in einem Rhythmus verschoben wird, der die Hälfte des Ankunftsrhythmus ist, und daß die Wiedergabe der Signale D^ durch Ablesen der WörterO und 11/2 des anderen Speichers erfolgt.
4. 4. Rechner nach Anspruch 2 oder 3» dadurch gekennzeichnet, daß die Rechenanordnungen enthalten:

   - Speicheranordnungen, in denen die Werte der Koeffizienten W¹ aufgezeichnet sind;

   - Wähleinrichtungen zum Ablesen des jedem Paar von Signalen D und D entsprechenden Wertes des Koeffizients W₀₁ , _Λ aus den Speicheranordnungen;

   - Multiplizieranordnungen zur Bildung des Produktes W₂k+1 ^€ D ;

   - Addieranordnungen zur Bildung der Summe D + W₀, ,., · D ;

   - Subtrahieranordnungen zur Bildung der Differenz ³V - ^¥2k₊1 · V

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   - Multiplexieranordnungen, welche die Summe und dann die Differenz zeitlich, in Serie "bringen.
5. 5. Rechner naoh einem der Ansprüche 1 "bis 4» dadurch gekennzeichnet, daß die die Koeffizienten W¹ enthaltenden einfachen Schaltungen durch einen Festwertspeicher gebildet sind, der anfänglich für alle Module gleich ist und später mit den Werten der Koeffizienten W¹ "beschickt wird.
6. 6. Rechner nach, einem der Ansprüche 1 "bis 5, gekennzeichnet durch eine Anordnung, welche die vom letzten Modul gelieferten Ή Signale S^ in die natürliche Reihenfolge der Indizes "bringt und diese Signale gleichzeitig an Ή Ausgangskreisen des Rechners zur Verfügung stellt, und eine Synchronisieranordnung, die ein Signal H im Rhythmus des Eintreffens der den Vektor f "bildenden Zahlen empfängt und zu den anderen Bestandteilen des Rechners ein Signal mit der halben !Taktfrequenz unä ein Signal mit einer Taktfrequenz von 1/ff der Taktfrequenz des Signals H liefert.
7. 7. Rechner nach, einem der vorhergehenden Ansprüche, gekennzeichnet durch seine Verwendung in einem Spektrumsrechner.

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