DE2027303A1 - Filter mit frequenzabhangigen Ubertragungseigenschaften fur elektri sehe Analogsignale - Google Patents
Filter mit frequenzabhangigen Ubertragungseigenschaften fur elektri sehe AnalogsignaleInfo
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Description
Filter mit frequenzabhängigen Übertragungseigenschaften für elektrische Analogsignale
Die Erfindung bezieht sich auf ein Filter mit frequenzabhängigen
Übertragungseigenschaften für elektrische Analogsignale, die in Digitalform z.B. in PAM-Signalform, in
PCM-Signalform oder als Pulsdeltamodulationssignal vorliegen.
PAM-Signalform bedeutet in diesem Zusammenhang, da3 das Signal in Form von Abtastimpulsen des Analogsignals vorliegt, in
deren Amplitude der zu verarbeitende Informationsgehalt gegeben ist, während PCM-Signalform bedeutet, daß der Informationsgehalt
der einzelnen Abtastprobe des Analogsignals durch ein Codewort zum Ausdruck gebracht ist, welches nach
den Grundsätzen derPulscodemodulation gestaltet ist. PuIsdeltamodulationsform
bedeutet in diesem Zusammenhang, daß das Signal aus einer binären Impulsfolge besteht, die die
Änderungen der Analogsignalabtastwerte überträgt. Auch Mischformen dieser Modulationen, wie Delta-PCM sind möglich und
für die Erfindung in Betracht gezogen.
Bekanntlich sind die Übertragungseigenschaften von Filtern
sehr empfindlich gegen Variationen der Koeffizienten ihrer Übertragungsfunktion. Während dieser Umstand für LC-Filter
nur ein Berechnungsproblem darstellt (die Empfindlichkeit
gegenüber Elemente-Variationen ist bei gewöhnlichen Abzweigfiltern ziemlich klein), stellt er beim Entwurf digitaler
Filter ein Schwierigkeiten bereitendes Realisierungsproblem dar.
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Digitale Filter sind bisher derart gebaut worden, daß man
Strukturen verwendete, deren Elemente--(Murfciplikator-) Werte
unmittelbar von der gegebenen Übertragungsfunktion bestimmt sind (Lit. 1 bis 5). Bin offensichtlicher Vorteil einer
solchen Prozedur ist die Tatsache, daß sie keine komplizierten*
Realisierbarkeitetheorien oder längliche numerische Berechnungen
erfordert, wie dies bei der Betriebsparameter-Synthese konventioneller LC-Filter der Fall ist. Der Vorteil muß jedoch
durch den Nachteil erkauft werden, daß diese digitalen Filteratrukturen
eine sehr hohe Empfindlichkeit ihrer Übertragungseigensohaften
gegenüber Elementevariationen aufweisen. Im Falle einer digitalen Realisierung bedeutet dies nicht nur
eine Abweichung der tatsächlichen Frequenzcharakteristik von der gewünschten infolge von Koeffizientenabrundung,
sondern auch ein gewisses Geräusch infolge der bei den einzelnen Rechenschritten entstehenden Rundungsfehler (lit.
bis 9).
Der Übliche Weg, diese Schwierigkeit zu. überwinden, besteht
darin, die gegebene übertragungsfunktion zuerst zu faktorisleren
und das Filter dementsprechend als eine einfache Kaskadenschaltung von Gliedern ersten und zweiten Grades zu
realisieren.
Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, die bei den bekannten Schaltungen der einleitend geschilderten Art vorhandenen Toleranzschwierigkeiten wenigstens auf ein erträgliches
Ma.3 zu reduzieren. Dies läuft letztlich darauf hinaus, die Anzahl der in dem Filter, das auch häufig als Rechnerfilter
bezeichnet wird, benötigten Multiplikationsstufen so gering wie möglich zu halten. Jede Multiplikation bringt
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nämlich eine Erhöhung der Stellenzahl, bezogen auf das
jeweilige Ergebnis mit sich und will man nicht Multiplikatoren
mit wirtschaftlich untragbaren Stellenzahlen verwenden, so ist man gezwungen, die Ergebnisoe entsprechend
zu kürzen bzw. abzurunden, was letztlich einer Reduzierung der Genauigkeit des erzielten Ergebnisses bedeutet.
Gemäß der Erfindung wird bei einen» Filter mit frequenzabhangigen
ÜbertregungBeigenschaften für elektrische Analogsignale, die in Digitalform vorliegen, diese Aufgabe dadurch
gelöst, daß die Filtergrundschaltung einer üblichen LC-Schaltung
für Analogsignale entspricht, vorzugsweise einer Abzweigschaltung, daß die reaktiven Zweipolschaltelemente
dieser Filtergrundschaltung (Induktivität, Kapazität) als laufzeitbehaftete Eintorschaltungen und Leitungseletnente
als laufzeitbehaftete Zweitorschaltungen, vorzugsweise in
Abtastt-echnik, ausgebildet sind, daß die nichtreaktiven
Zweipolschaltemente dieser Filtergrundschaltung (Leerlauf, Kurzschluß, Widerstand, widerstandsfreie und widerstandsbehaftete quelle) als laufzeitfreie Eintorschaltungen und
die nicht-reaktiven Mehrtorelemente (Transformator, Gyrator,
Zirkulator) als laufzeitfreie Mehrtorschaltungen, vorzugsweise ebenfalls in Abtastttechnik, ausgebildet sind, und
daß diese Eintor- und Kehrtorschaltungen über eine,Torwiderstandsanpassung
zwischen den einzelnen Ein- und Hehrtoren ergebende Adapter als Filtergrundschaltung entsprechend
zusammengeschaltet Bind.
Bei der Erfindung wird von einer völlig neuen Betrachtungsweise
der Recnnerfliter ausgegangen, die es ermöglicht,
Schaltungen anzuwenden, deren Toleranzempfindlichkeit wesentlich geringer ist als die der bisher verwendeten
Schaltung. Vor allen sind dies die resistiv abgeschlossenen,
sogenannten Abzweigschaltungen, die für Filter mit konzen-
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trierten Induktivitäten und Kapazitäten weit verbreitet sind·
Man kann damit für Digitalfilter bzw, Reohnerfilter, die
gute Sperrbereichunempfindlichkeit von Abzweigscha.ltungen
erreichen, zusammen mit der guten Durehlaü-Uriempfindlichkeit,
welche IC-Filter, die mit Widerständen abgesohlossen sind,
bekanntlich infolge der Tatsache haben, daü ihre Betriebs·?'
dämpfung niemals negativ werden kann. Durch die Erfindung wird es ermöglicht, digitale Filter entsprechend den Struk^
türen zu entwerfen, welche ffehr na—he denjenigen verwandt
sind, die für die Realisierung sogen, Einheitselement-Filter verwendet werden. Da Filter dieses letztgenannten Typs in
solcher Weise gebaut werden können, daß sie alle die oben-r
genannten Erfordernisse erfüllen, gilt dasselbe auch für die entsprechenden digitalen Filter, Die Theorie der Eine
heits-Element-Filter ist wohlbekannt und ähnlich der Theorie
der klassischen LO-FiIter.
liin besonderer Vorteil der erfindungsgemäßen Flltersehal^·
tungstechnik besteht weiterhin darin, daß auch Gyrator^n
und Zirkulatoren in derselben Art und Weise und mit derselben
Leichtigkeit realisiert werden können» wie reziproke Elemente! und da3 keine Beschränkung etwa dahingehend gegeben ist, daß,
wie bisher üblich, nur Strukturen mit geerdeten Einheiteelementen
verwendet werden können. Weiterhin ist der wesent« liehe vForteil gegeben, daß ein erfindungsgemäßes Rechner·^
filter eine wesentlich reduzierte Bitzahl, welche für die
Berechnungskoeffizienten benutzt werden müssen, aufweist, im Vergleich zu bekannten RechneTfiltern.
Nachstehend wird die Erfindung anhand einer Ableitung der
allgemeinen Theorie und anhand von Ausführungsbeispielen ·
näher erläutert. Die echaltungstechnieche Ausführung, vor
allem der zur Anwendung kommenen Laufzeitglieder, Speicher, Addierer und Multiplizierer wird nicht niher behandelt % da
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BAD ünriälNAL
diese an sich bekannt ist, z.B. durch die angegebenen Literaturstellen.
Die Ausführungsbeispiele sind dabei auf die Zeichnung bezogen, deren Figureninhalt wie folgt ist.
fig. 1 Strom-Spannungs-Flußdiagramm für eine
Induktivität im ψ -Bereich.
Fig. 2a Induktivität der Impedanz ψ R;
Fig. 2b ihr stationäres Wellenflußdiagramm,
bestehend aus einerTransmittanz -1/z; ,
Fig. 2c ihr momentanes Wellenflußdiagramm, bestehend
aus einer Verzögerung T und einen V^3 Vorzeichen-Inverter.
Fig. ;5a r. Kapazität der Impedanz R/Jp ;
Fig. 3b ihr stationäres Wellenflußdiagramnj,
bestehend aus einer Iransinittanz 1/z;
Fig. 3o ihr momentanes Wellenflußdiagramm,
bestehend aus einer Verzögerung T. Fig. 4a Widerstand R;
Fig. 4b sein Wellenflußdiagramm, bestehend aus
einer Wellensenke. Fig. 5a leerlauf;
Fig. 5b sein WellenfIuSdiagramm. Fig. 6a Kurzschluß; Fig. 6b sein Wellenflußdiagramm. Fig. 7a Idealer Transformator vom Verhältnis -1/1; Fig.. 7b sein Wellenf lußdiagramm. Fig. 8a Gyrator mit Gyrationswiderstand R; FIg4 8b sein Wellenflußdiagramm. Fig# 9a Dreitqr-Zirkulator mit Zirkulations-
Fig. 5b sein WellenfIuSdiagramm. Fig. 6a Kurzschluß; Fig. 6b sein Wellenflußdiagramm. Fig. 7a Idealer Transformator vom Verhältnis -1/1; Fig.. 7b sein Wellenf lußdiagramm. Fig. 8a Gyrator mit Gyrationswiderstand R; FIg4 8b sein Wellenflußdiagramm. Fig# 9a Dreitqr-Zirkulator mit Zirkulations-
■ : widerstand R; Fig. 9b sein Wellenflußdiagramm.
Fig« 10a Einheitselement mit Verzögerung T/2
und Wellenwiderstand R; Fig, 10b sein Wellenflußdiagramm.
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BADOBlGiNAL
dem Widerstand R; ··-,·■'"-■
des zugehörigen Wellenflußdiagranims.
Fig. 14a Zusammenschaltung von zwei Toren mit
Torwiderständen R-j bzw* R«?
Fig. 15 Eine mögliche Realisierung des Zweitoradapter β von Flg. 14b, die nur einen Multi-*
plizierer o& erfordert.
Fig. 16b seine Realisierung unter Verwendung dee Be-*
Ziehung π = RjZRg.
Fig. 17a Parallelschaltung von η for en «it lor- =. j,
widerstände« R1, R2, ..., bzw. R^; "'" ■
Fig. 17b schematiache Sarstellung des entepreohendtn ■
Wellen η-Tores (n-Tor-Paralleladapter).
Fig. 18 WellenfluSiiegraam, das einem JPreitor-Paralleladapter entspricht, bei dem Tor 3 das Abhängige 1&Έ ist. ; * ., .,
Fig. 19a Reihenschaltung von η Toiton mit Torwider- I·'
ständen R1, R2, ..., bzw. RQ;
Fig. 19b schematLeone Darstellung des entsprechend««
Wellen-n-f©reg (n-T ^r-Reihenadapter)·
Fig. 20 Ein WellenflußdiagraiDa) entsprechend
Dreitorrelhenadapter, mit Tor 3 ale
Tor. - - . ■ V*;;"' :.;_'
Fig. 21b eine äquiTalente Schaltung alt zwei Ein··
heitseleiBenten; : . ■ \\- -.';. '_-
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st t » ¥ 5:
Pig. | 22a |
Pig. | 22b |
Pig- | 22c |
Pig. | 23a |
Ein Parall-elresonanzkreis;
eine äquivalente Schaltung davon mit zwei ·
Einheit selementen;
das zugehörige Wellenflußdiagramm. Ein unilaterales Allpaßglied erster Ordnung;
Pig. 23b das zugehörige Wellenzweitor.
das zugehörige Wellenflußdiagramm. Ein unilaterales Allpaßglied erster Ordnung;
Pig. 23b das zugehörige Wellenzweitor.
Ein unilaterales Allpaßglied zweiter Ordnung;
das zugehörige Wellenzweitor. Ein abgeschlossener unilateraler Allpaß;
das entsprechende Vellenflußdiagramm. Filter, bestehend aus einer Kette von
drei Einheitselementen;
das entsprechende Wellenflußdiagramm. Bandpaßfilter, bestehend aus eineta Reaktanzzweitor in Kette mit drei Einheitselementen; die zugehörige Einheitselement-Abzweigstruktur;
Wellenflußdiagramn, abgeleitet aus Fig. 27b,
das entsprechende Wellenflußdiagramm. Bandpaßfilter, bestehend aus eineta Reaktanzzweitor in Kette mit drei Einheitselementen; die zugehörige Einheitselement-Abzweigstruktur;
Wellenflußdiagramn, abgeleitet aus Fig. 27b,
Wenn erforderlich, ,wird in den Zeichnungen der Torwiderstand
entweder unter der unteren Torklemme oder wenigstens in ihrer
Nachbarschaft angeschrieben·
Betrachten wir zuerst ein gewöhnliches LC-Abzweig-Filter. Seine Übertragungsfunktion H(p), welche eine rationale
Funktion der komplexen Frequenz-Variablen ρ ist, entspricht
einer einzigen Differentialgleichung zwischen der Eingangs-, variablen χ und der Ausgangsvariablen y. Anstatt eine LC-Struktur
zu verwenden, würde es theoretisch möglich sein,
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Fig. | 24a |
Fig. | 24b |
Fig. | 25a |
Fig. | 25b |
Fig. | 26a |
Fig. | 26b |
Fig. | 27a |
Fig. | 27b |
Fig> | 27c |
diese Differentialgleichung direkt auf einem Analogrechner
zu realisieren, in welchem Fall die Koeffizienten von H(p)
alle einer Multiplikation mit einer Konstanten entsprechen
würden. In Wirklichkeit würde eine solche Prozedur völlig unpraktisch sein, da für gute filter die- Koeffizienten
von H(p) mit extremer Genauigkeit "bekannt sein müssen, damit die Nullstellen und Pole von H(p) und damit das
tatsächliche Übertragungsverhalten mit einer nur milden
Genauigkeit bestimmt sind. Trotz dieser Schwierigkeit existieren aber bekanntlich geeignete IC-Filter, und zwar
recht komplizierte. Dies ist dadurch begründet, daß bei
den gewöhnlichen LC-FiItern in Abzweigstrüktur die Empfindlichkeiten gegenüber Element-Varlationen sehr viel kleiner
sind. Mathematisch ist dies mit der Tatsache verknüpft, daß eine Abzweigstruktur nicht vollständig von einer einzigen
Differentialgleichung beschrieben werden kann, sondern nur durch ein System von Differentialgleichungen,
deren detaillierte Struktur nicht nur dem Eingangs/Aus-gangsverhalten
entspricht, sondern auch die genaue Ippologie · des tatsächlichen Netzwerkes wiedergibt. Die geringe Tole·-
ranzempfindlichkeit resistiv abgeschlossener Abzweigschaltungen
bringt es auf diese Weise mit sich, daß die Empfind-r
lichkeit gegenüber Variationen der Koeffizienten in dem
oben erwähnten System von Differentialgleichungen sehr viel geringer ist als die Empfindlichkeit gegenüber Variationen
der Koeffizienten in der Gesamt-Differentlalgleiehung, die
man erhält, nachdem man alle internen Variablen eliminiert hat. Diese Besonderheiten sind natürlich auch eng mit der
Tatsache verknüpft, daß Filterberechnungen sehr häufig mit
einer großen Zahl von Stellen ausgeführt werden müssen, um zu einer Stellenzahl für die Elemente-Werte zu gelangen, ■
welche gerade innerhalb der Möglichkeiten der technplogischea
Realisierbarkeit liegen.
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BAD
Für digitale Filter ist die Situation sehr ähnlich mit Ausnahme
der Tatsache, daß das numerische Problem, das wir soeben beschrieben haben, auch ein Realisierungsproblem darstellt
und zwar infolge des früher erwähnten Koeffizientenabbruchs
und der Rundungsfehler-Fortpflanzung. Die Übertragungsfunktion
H kann nun als eine rationale Funktion der Variablen
z=ep geschrieben werden wo F=1/T die Bstriebsfrequenz des
Filters darstellt. Diese Übertragungsfunktion entspricht eine:· einzigen Differenzengleichung zwischen dec Eingangsund
der Ausgangs-Variablen, Auch hier kann jedoch im hohen
Grade eine Verbesserung erreicht werden, indem man die einzige Differenzgleichung in ein geeignetes System von Differenzengleichungen
\ip.formt. Eine Möglichkeit, solches zu tun, entspricht
der gewöhnlichen Faktorisierung von H un der nachfolgenden
Realisierung mit Hilfe einer einfachen Kaskade von Gliedern niederer Ordnung. Das Verfahren, das beschrieben
wird, entspricht dem Versuch, ein oystem von Differenzgleichungen zu finden, das in einer gewissen Weise ein klassisches
abgeschlossenes Abzweigfilter strukturell imitiert. Die Analogie mit der obigen Diskussion des klassischen Filterentwurfsproblems
zeigt, daß eine Lösung, die man auf diese Art erreicht,
gewiß eine beträchtliche Verbesserung darstellen muß.
In jedem Falle wird man jedoch die Zahl
der Multiplizierer so klein wie möglich halten wegen ihrer
relativ hohen Kosten, während Addierer großzügiger verwendet
werden können.
Un; zu garantieren, daß eine Struktur als digitales Filter
realisiert werden kann, muß immer die folgende Bedingung er-• füllt sein: Jede Rückkopplungaschleife, die in dem Signal-.
flußdiagramin enthalten ist, das die Struktur beschreibt, muß
wenigstens ein Verzögerungselement enthalten, d.h. sie darf
, nicht verzögerungsfrei sein. Man überzeugt sich leicht, daß
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- ίο -
diese Regel immer erfüllt ist bei allen digitalen Filter-Strukturen,
die bislang bekannt sind. Eine Verletzung dieser
Regel würde bedeuten, daß es unmöglich wird, eine Folge zu
finden, in der die verschiedenen Rechenschritte ausgeführt werden können.
Als Frequenzvariable, die geeignet ist, die Analogie mit
der Theorie der Einheitselementfliter herzustellen, werden
wir die "komplexe Frequenz" ψ einführen, die definiert ist
durch
V = tanh (pT/2) = , (2.1)
1. + e px
und die auch z.B. in der Theorie der Netzwerke mit Resonanz-Übertrag
verwendet wird. Für ρ = j Ar können wir
also schreiben
φ= tan (ATT/2). (2.2)
Die Wahl von 1^aIs Freq uenzvärlable scheint die einzig
angemessene für unser Problem zu sein. Diese Wahl hat eine unmittelbare Konsequenz, die wir gleich diskutieren werden.
Wenn wir als Signalgrößen im Flußdiagramm die üblichen
Spannungen und Ströme verwenden, wird es unmöglich, die soeben angegebene Regel einzuhalten, die die Rückkopplungsschleifen betrifft. Um dies zu zeigen, betrachten wir ein
willkürliches Element, z.B. eine Induktivität; die zu realisierende Gleichung ist V = ^RI, wo R eine positive Konstante
ist. Wegen (2.1) würde dies eine entsprechende Differenzgleichung
v(nT) + ν [(η-1)ϊ] = /i(nl)-i [(n-1)r]VR, (2.3)
erfordern, die zeigt, daß die Berechnung von ν zum ZeIt-
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. - 11 - ■
punkt t=nl nicht nur die Kenntnis von ν und i im vorangegangenen
Abtastzeitpunkt erfordert, sondern auch im gegenwärtigen Zeitpunkt. Also würde jedes Plußdiagramm,
das Gl. (2.3) darstellt, z.B. das in Fig. 1 gezeigte, einen verzögerungsfreien Pfad enthalten, der vom Eingang zum
Ausgang führt. Dasselbe gilt für das Strotfspannunge- oder
Spannungsstromflußdiagramm aller anderen Elemente. Also
würde die Verbindung von Elementen unweigerlich zu verzögerungsfreien
Rückkopplungsschleifen führen und auf
diese Weise jede physikalische Ausführung unmöglich machen.
Es stellt sich heraus, daß dieses Dilemma vermieden werden kann, indem man alle Signalflußdiagramme nicht auf Spannungen
und Ströme gründet, sondern auf Wellengrößen. Dabei kann man gleichgültigerweise Spannungs- oder Stromwellen
verwenden. Wir verwenden hier eine Beschreibung durch Spannungswellen.
Wie wir kurz in dem Unterabschnitt "Zusammenschaltung von Toren/Einfache Änderung des Referenzwiderstandes"
diskutieren werden, würde die Verwendung von Leistungswellen
weniger angemessen sein, da dies eine größere Anzahl erforderlicher Multiplizierer zur Folge hätte. Wenn
Wellen verwendet werden, werden wir gewöhnlich von Wellenflußdiagrammen
sprechen, anstelle von Signalflußdiagrammen. Ebeneo bezeichnen wir die Filter, die wir hier beschreiben,
in angemessener Weise als Wellendigitalfilter. Ein Wellenflußdiagramm,
welches die obenerwähnte Regel erfüllt, werden wir realisierbar nennen; andernfalls soll es unrealisierbar
genannt werden.
Wie wir später sehen werden, erfordern Wellendigitalfilter gewöhnlich zwei verschiedene Folgen von Zeitpunkten, zu
denen das Filter operativ ist. Diese beiden Folgen gehen durch Zeitverecbiebung um ein Intervall Ϊ/2 ineinander über.
In Jedem Fall wird es oft notwendig sein, Differenzgleichungen
zu schreiben, ohne anzunehmen, daß einer der Pulse -
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der Zeitfolge zur Zeit t=0 auftritt. In der Diskussion der
Elemente und Quellen, die im nächsten Abschnitt durchgeführt
ist, wird deshalb eine allgemeine Zeitvariable t verwendet,
d.h. es wird kein Bezug genommen auf irgend pinen besonderen Zeitpunkt, zu dem ein Puls auftritt.
In diesem Abschnitt werden wir Wellenflußdiagramme für verschiedene Elemente und Quellen,- die verwendet werden, ableiten.
Wenn immer es möglich ist, werden die erforderlichen
Wellengroßen mit Hilfe eines J?orwiderstandes definiert
werden, der gleich ist der Widerstandskonstanten R,
die in der Definition des Elementes oder der Quelle, die
wir betrachten, auftritt. Auf diese Art und Weise werden
die Wellengleichungen die Konstante R nicht mehr enthalten. Wir werden in den Abschnitten "Zusammenschaltung von Toren"
und "Realisierung von Schaltungen" sehen, welche Konsequenzen dies hat, wenn Elemente und Quellen verbunden werden,
um die gegebenen Pilterdiagramme zu erhalten.
Die stationäre Spannungsstrombeziehung, die wir realisieren
wollen, ist (Fig. 2a)
V -^RI l (3.1)
wo R eine positive Konstante ist. Wenn wir Gl. (2.1) benutzen,
kann 61. (3.1) geschrieben werden
B = - -I A, (3.2)
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- 13 wo ζ wie gewöhnlich definiert ist durch
z= ePT (5.3)
.und wo
A= MI und B = V-RI (3.4a,b)
die einfallende bzw. die reflektierte Welle sind. Die momentanen
Werte a = a(t) und b = b(t) dieser Wellen sind mit den
Müuientanwerten der Spannung ν = v(t) und des Stroms i(t)«i
verbunden durch .
a = v+Ri, b ~ v-Ri (3.5a,b)
Also ist die Differenzgleichung für a und b gegeben durch
b(t) = -a(t-T); (3.6)
a = A β*1, b = B e*T . (3.7)
Wo A und B angenommenerweise Konstanten sind, ist die stationäre lösung (3.6) in der Tat durch (3.2) gegeben. Die Wellenflußdiagramme,
die (3.2) und (3.6) entsprechen, sind Welleneintore, die in Fig. 2b bzw. 2c dargestellt sind. Das erste
besteht aus einer Transmittanz (Übertragungsfunktion), die gleich -1/z ist. und das zweite besteht aus einer Verzögerungszeit T zusammen mit einem Vorzeioheninverter.
Kapazität
Die stationäre Spannungsstrombeziehung, die realisiert werden
soll, ist (Fig. 3a)
V = |l, (3.8)
. VPA 9/647/0003 - 14 -
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BAD
wo R eine positive Konstante ist. Kit (2.1), (3.3) trad
der Definition (3.4) kann (3.8) geschrieben werden
B=Ia. (3.9)
Also ist die Differenzgleichung für die momentanen Wellengrößen, welche in 6-1. (3.5) definiert sind9 gegeben durch
b(t) = a(t-T); (3.10)
Diese Gleichung reduziert sich auf Gl. (3»9K wenn wir tob
(3.7) Gebrauch machen= Die Wellenflußdiagramme sind die in
Fig. 3b und 3c gezeigten Welleneintore; sie bestehen aus
den Transmittanzen 1/z bzw-, einer Verzögerung T. .
Elemente mit frequenzunabhängigem Verhalten
Aus Gründen der Einfachheit werden wir alle Gleichungen,, die
sich auf aleniente mit frequ.enzu.nabhängigera "/erhalten beziehen,
nur für momentane Größen schreiben. Es ist augenscheinlich, daß die entsprechenden Gleichungen für stationäre
Grüßen gleiche Struktur haben.
Die Gleichung, die zu realisieren ist, ist (Fig. 4a)
ν = Ri ·
d.h. indem wir Gl. (3.5) benützen,
b = Ο (3,11)
7PA 9/647/0003 ■ - 15 -■
109851/0534 - ' "■■ '."■"" ' ;
BAD ORiGiNAL
- 1 «3 -
Das zugehörige Wellenflußdiagratmn besteht also aus einer
V/eilensenke; wir stellen es dar wie in Pig. 4b gezeigt»
Leerlauf
Wir haben i = 0 (Fig. 5a). Nach Wahl einer willkürlichen
positiven Konstante R und indem wir Gl. (3-5) benutzen,
erhalten wir '
■ b =■ a. ' (3.12)
Das Wellenflußdiagranm ist also eine einfache Verbindung
(Fig. 5b).
Wir haben ν = 0 (Fig. 6a). Aiso erhalten wir, nachdem wir
eine willkürliche positive Konstante R gewählt haben und Gl. (3.5) verwenden
b = -a. (3.13)
Das Wellenflußdiagramm besteht also aus eine« Vorzeicheninverter
(Fig. 6b).
Idealer Transforaator mit dem Übersetzungsverhältnis —1/1"
Die Gleichungen, die zu realisieren sind (Fig. 7a), sind
Also erhalten wir, nachdem wir eine willkürliche positive
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- 16 Konstante R grwlhlt haben und die Definitionen
ak - vk + IUk, bk = vk - Rik. (3.Ha,Td)
k = 1,2, (3.14c)
verwenden,
b| = -E1, bg = -a2 (3.15a.,b)
Das Wellenflußdia.gratnin ist also ein Wellenzweitor (Pig. 7b).
Gyrator
Die Gleichungen, die realisiert werden müssen, sind (Fig. 8a)
V1 = -Ri2, V2 = Ri1, (3.16-a,b).
wo der Gyrationswiderstand R eine positive Konstante ist. Mit der Definition (3.14) erhalten wir
b1 = -a2, b2 = a^ (3.17a,b)
Das entsprechende Wellenzweitor ist in Fig. 8b gezeigt.
)
Wir betrachten zunächst den Dreitorzirkulator von Fig. 9a,
dessen Zirkulationswiderstand R eine positive Konstante ist. Mit den Definitionen (3-14a,b) und mit k = 1, 2 und 3 haben
wir
b., - a"5, b2 = H1, b5 = a2. (3.18a,
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Das Wellenflußdiagrarora ist jetzt das Wellendreitor, das in
Fig. 9b gezeigt ist. Es ist offenkundig, daß dieses Ergebnis
einfach auf n-forsirkulatoren erweitert werden kann, in
welchem Falle (3.1b) verallgemeinert werden muß auf die Gleichungen
b1 = an' h2 = a1' '">
bn = an-1 *
Einheitselement .
Die stationären Spannungsstrombeziehungen, die realisiert
werden sollen, sind (Fig. 10a)
-B1 = A2 e-P'f/2, B2 = A1 e "pT/2 (3.19a,b)
Ak = \+ RIk' Bk = \ - RIk (3.20a,b)
k = 1, 2. (3.20o)
Also sind die Differenzgleichungen für die Momentanwerte
der Wellen, die in Gl. (3.14) definiert sind, gegeben durch
b1 (t) = a2(t-T/2), b2(t) = a^t-T/2) (3.21a,b)
mit
wo A und B, Konstanten sind, ist die stationäre Lösung von
(3.2T) in der Tat durch (3-19) gegeben. Das (momentane) Wellenflußdiagramm ist jetzt das Wellenzweitor, das in
■ Fig. 10b gezeigt ist. Das stationäre Wellenflußdiagramm ist ähnlich, mit dem Unterschied, daß die Verzögerungen T/2
-1/2
durch die Transmittanzen ζ ' ersetzt sind.
durch die Transmittanzen ζ ' ersetzt sind.
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10985 1/05 U
Im Symbol gem. Pig. 10a ist die Verzögerung T/2 des Einheitselements explizit angedeutet. Wir werden im folgenden dies
unterlassen, da eine Verwechslungsmöglichkeit nicht besteht*
Quellen ,
Wir werden wieder unsere Betrachtungen auf momentane Größen beschränken, wie wir es in dem Unterabschnitt "Widerstand"
getan haben.
Es genügt, eine Spannungsquelle der Spannung e.= e(t) mit
einem Serieninnenwiderstand R zu betrachten (Fig. 11a).
Die Gleichung, die zu realisieren ist, lautet
e = ν + Ri,
d.h. indem wir Gl. (3.5) benützen
d.h. indem wir Gl. (3.5) benützen
a = e.
Also ist das We11enflußdiagramm eine Wellenquelle; wir
stellen sie dar, wie in Fig. 11b oder c gezeigt.
Die Lage ist etwas weniger einfach im Falle einer reinen Spannungsquelle, die innenwiderstandslos ist. Die Gleichung,
die zu realisieren ist,ist in diesem Fall ν = e = e(t);
also haben wir, nachdem wir eine willkürliche positive Konstante
R gewählt haben und die Definiijon (3.5) benützen,
a =. 2e - b.
7ΡΛ 9/6Λ7/ΟΟΟ5 - 19 -
7ΡΛ 9/6Λ7/ΟΟΟ5 - 19 -
09851/0534
Das ent^PiWQli^öde Wellenflußcliagraimn besteht aus einer
We 11 etiqu^lle 2e, ein em Addierer und einem Vorzeicheninverter
(Fig. 12b).
Für eine innenleitwertlose Stromquelle (Fig. 13) erhält
man in ähnlicher Weise
a = 2e » D, ·
wo die Intensität der Stromquelle gleich e/R gewählt worden
ist. Das entsprechende Wellenflußdiagranitn ist in Fig. 13b
gezeigt.
-Schaltungen- entstehen im Prinzip durch Verbindungen der
Tore von !.'lementen und Quellen. Dabei entsteht eine Schwierigkeit
in den Wellenflußdiagrammen, da in den meisten
diskutierten Fallen nach Abschnitt "Elemente und Quellen" der Torwiderstand R nicht willkürlich ist, sondern durch
das Hement oder durch die Quelle, zu der das Tor gehört,
bestimmt ist. Aus diesem Grunde müssen wir eine Möglichkeit haben, den Torwiderstand zu ändern, wenn wir Tore
zusammenschalten. Dies wird erreicht mit Hilfe der verschiedenen
Adapter, die wir sogleich diskutieren werden.
■fcint'ache ..nderung des Referenzwiderstandes
Wir betrachten zwei Tore 1 und 2 mit Torwiderständen R..
und Rt Die 'wellen sind mit den Strömen und Spannungen
durch die Gleichungen
ak = vk 4 Vk' \ = vk - Vk (4.1a,b)
k - 1f2 verbunden. (4.1c)
VPA 9/647/0003 - 20 -
109851/053/,
• BAD ORIGINAL
• BAD ORIGINAL
Wenn diese Tcre einfach verbunden werden (Fig. 14a), haben
wir
ν-, = v2, I1 =~i2 (4.2a,b)
Nach Elimination von v·^ und i, aus den Gleichungen (4.1) und
(4.2) erhalten wir auf diese Weise
I)1 = a2 +#(a2 - a>,), .b2 = a-j +*(a2 - a1) (4.3a,b)
A= (K1-H2)Z(R1 fR2). (4.4)
Diese Gleichungen definieren ein Wellenzweitor, das wir einen
Zwei tor-Adapter nennen. Wir stellen es schetnatisch dar, wie
in Fig. 14b gezeigt. Das Symbol innerhalb des Kastens bezieht
sich auf den Umstand, daß sich in Fig. 14a in gewisser
Weise sowohl auf eine Parallel- als auch auf eine Serienverbindung bezieht (vgl. Fig. 17 und 19). Entsprechend
Gl. (4.3) kann ein detailliertes Wellenflußdiagramm, das diesem Zweitor-Adapter entspricht, gezeichnet werden, wie
in Fig. 15. Dieses Wellenflußdiagramm erfordert nur einen
Multiplizierer mit dem Faktor & . Es enthält einen Pfad, der von a* nach b.. führt und auch einen Pfad, der von a2
zu b2 führt, aber keine Rückkopplungsschleife. Indem wir
Gl. (4.3) in eine äquivalente Form umsetzen, können wir andere äquivalente Wellenflußdiagramme erhalten. Jedoch
enthalten nicht alle von diesen nur einen Multiplizierer. Gleichung (4.4) zeigt, daß für R1>
0 und R2> 0 der Betrag |oLJ<1 ist. Andererseits gilt R1ZE2>0, wenn die letzte
Ungleichung erfüllt ist, wie man aus der Gleichung
R1ZR2 = (1 +αΟ/Ο-βΟ.
ersehen kann. Daraus folgt, daß wir dann stets R2>0 haben,
sobald R1 > 0 ist und umgekehrt.
VPA 9Z647ZOOO3 - 2.1 -
109851/0534
BAD ORIGINAL
Die gerade zur Diskussion stehende Verbindung erlaubt es
uns auch, den Vorteil deutlich zu machen, de' aus der
verwendung von Spnnnungs- oder Streikwellen anstelle' von
LeiatungswelJen resultiert, in der Tat würde eine allgemeine Darstellung der Streugleichungen gem. Gl. (4.3)
l'o-i ;endermaßen zu schreiben sein
b., = ^11S1 -.- i3t/-]2 a2' b2 = ^218I + °^22a2 (4.5a,b)
wo die btreukoeffizjenten untereinander durch die linearen
■Beziehungen
miteinander verbunden -sind.
Wenn wir Leistungswellen verwendet hätten, könnten wir auch
noch Gleichungen wie (4.5) schreiben, aber die Streukoeffizienten würden dann miteinander durch die Beziehungen verknüpft
sein:
Da der erste dieser Ausdrücke nicht linear ist, würde es also nicht möglich sein, ein Wellenflußdiagramm von Gl. (4.5)
anzugeben, das nur einen einzigen Multiplizierer erfordern würde. .
Als einfaches Anwendungsbeispiel betrachten wir die Realisierung
eines Transformators mit dem Windungsverhältnis n/1
(fig. 16a). Wenn wir versuchen würden, dies auf unmittelbarem Wpge zu tun, wie wir es für die anderen Elemente im Abschnitt
"Elemente und Quellen" getan haben, würden wir zwei Multiplizierer brauchen. Tatsächlich aber kann ein solcher
Transformator als eine Kaskade zweier Gyratoren realisiert
werden, die die Gyrafcionswlderstände R1 bzw. R2 haben, dergestalt,
daf3 η = R./Rp. Auf diese Weise erhalten wir das
cJ/647/OOO'5 ~ 2Ί -
10'5
1 ί ! !
, 3
Wellenflußdiagranm, der Fig. 16b, wobei wir von dein Ergebnis
von Fig. β Gebrauch gen,acht haben und wo einer der Widerstände
R1 und Hp willkürlich gewählt werden kann. Um in
Übereinstimmung zu sein mit unserer Annahme R>0, die wir im Zusammenhang mit Fig. 8 gemacht haben, müssen wir jetzt
annehmen, daß η>O ist; jedoch kann das entsprechende Resultat
für n<0 auf einfache Weise mit Hilfe von Fig. 7 erhalten werden.
Wir betrachten η fore 1, 2, ... ., η, mit den Torwiderständen R
R2 ... bzw. R . Die Wellen stehen mit den Spannungen und
Strömen gemäß Gl. (4.1a,b) in Beziehung, nur bedeutet jetzt
Wenn diese Tore parallelgeschaltet werden (Fig. 17a), gilt
V1 = v2 = ... - vn, I1 + i2 t- ... f- in = O (4.6a,b)
Wenn wir die v. und i. aus den Gl. (4.1a,b) und (4*6) eli- ,
minieren, erhalten wir
JL
bk = ao - ak' ao =>
<*kak» (4.7a,b)
k=1
Diese 3-leichungen definieren ein Wellen-n-Torr. das wir einen
Parallel-Adapter oder genauer einen n-'for-Parallel-Adapter
nennen. Wir stellen ihn schematisch, wie in Fig. 17b gezeigt, dar, wobei sich die beiden parallelen Linien innerhalb des
Kastena auf die taralleleohaltung beziehen.
VPA 9Λ47/0003 -23--
BAD ORIGINAL
Wenn wir Gleichung (4.7) als solche verwenden würden, würden
wir zusammen η Multiplizierer gebrauchen. Tatsächlich "hab-en.
wir
OT1 + vx2 4 ... >
*n -- 2, (4.9)
so da.? eines der äv, sagen wir & , eliminiert werden kann.
JC Tl
Auf diese Weise kann Gl. (4.7b) geschrieben werden
n-1 .
«v(a,-a.„), (4.10)
k-1
so da'3 wir nur noch n-1 Multiplizierer brauchen; Tor η wird
dann ein abhängiges Tor genannt. Die Zahl der Multiplizierer kann weiter reduziert werden, wenn einige der d(, gleich sind,
d.h. wenn einige von den Ii, gleich sind. Der Faktor 2, der
in Gi. (4.10) erscheint, erfordert keinen besonderen Multiplizierer,
da eine Multiplikation mit zwei ein sehr elementarer
Prozeß ist. Als Beispiel ist das ausführliche Wellenflußdiagratmn
für η = 3 gegeben, das entsprechend den Gleichungen (4.7a) und (4.10) in Fig. 18 dargestellt ist. Für
jedes k = 1,2,3 enthält es einen Pfad, der von a^ ausgeht
und noch b, führt, aber es enthält keine Rückkopplungsschleife; diese Schluifolgerungen bleiben offensichtlich
gültig für willkürliche Werte von n.
Wenn die Werte G^ gegebene positive Konstanten sind, stellt
es sich heraus, daß alle flL ebenfalls positiv sind und
Gl. (4.9) gehorchen. Umgekehrt, wenn alle &, und eines
der G., sagen wir G-. ', gegeben sind, kann das übrigbleibende G, berechnet werden mit Hilfe der Beziehung
die auf einfache Weise aus Gl. (4.8) hergeleitet werden kann.
VPA 9/647/0003 - 24 -
109851/053A
BAD ORIGINAL
Wenn also G ' ebenso wie die Werte οίΛ , #' ...χ Λ positive
gegebene Konstanten sind, und wenn. oi , das sich aus
01. (4.9) herleiten l.'ißt, ebenfalls positiv ist, dann stellt
sich heraus, daß alle G1, positiv sind.
Wenn das Tor η ein abhängiges Tor ist, wie.wir angenommen
haben, so ist der Koeffizient OC inplizit bestimmt durch
die übrigen OU5. durch die Gl. (4-3). D.h. wenn die Summe
dieser verbleibenden Größen <X, nahe bei 2 liegt, d.h. wenn
oi klein ist, kann er auf diese Weise nur mit einem großen
Fehler bestimmt werden. Um die höchstmögliche Genauigkeit zu gewährleisten, sollte man deshalb als abhängiges Tor
dasjenige wählen, dessen entsprechender Faktor CC. am größten
ist.
Wir betrachten η Tore, wie in dem Unterabschnitt 4.2, aber
wir schalten sie jetzt in Reihe (siehe Fig. 19a). Wir haben dann
i.. = ip = · · · = inf ν. + Vp -ι- ... 4"V=0. (4.11a,b)
Wenn wir die v, und i. aus den Gl. (4.1a,b) und (4.11) eliminieren,
erhalten wir
n_
bk = ak * ßkao' eo = Z_ ak (4.)
k=1
= 2 R^(R1+R2 ... + Rn). (4.135
VPA 9/647/0003 - 25 -
109151/0534
BAD ORiGiNAL
Diese Gleichungen definieren ein Wellen-n-Tor, das wir
einen Ueihen-Adapfcer oder präziser, ein1 n-Tor-Reihen-Adapter
nennen. Wir stellen es schematisch dar ,,wie in
Fig. 19h gezeigt. Das Symbol innerhalb des Kastens
bezieht sich auf die Reihenschaltung.
Wenn wir Gl. (4.12) als solche verwenden würden, wurden
wir wieder zusammen η Multiplizierer brauchen. In der Tat
haben wir die Beziehung
B1 + Q2 + ... t■ ßn = 2, (4-14)
so daß eine der Größen ß, , sagen wir ßQ, eliminiert werden
kann. Dies kann z.B. dadurch geschehen, daß wir Gl. (4.12)
für die Indexwerte k = 1,2 ..., n-1 benützen und dann den
Wert b mit Hilfe des Ausdruckes, den wir von (4.12) und (4.14) ableiten können,
n-1 .
bn = "ao * Y. 1V
k=1
k=1
berechnen; das Tor η wird dann wieder das abhängige Tor genannt.
Die Zahl der Multiplizierer kann weiter reduziert werden, wenn einige der ß^. gleich sind, d.h. wenn einige
der R, gleich sind, für die ß, können ähnliche Bemerkungen
gemacht werden, wie für die 0tk am Ende' des Unterabschnittes
"Parallelschaltung".
Als Beispiel ist das ausführliche Wellenflußdiagratnm
für n=3, das den Gl. (4.12a) und (4.15) entspricht, in Fig. 20 dargestellt. Für jedes te = 1,2,3 enthält es eiraes
Pfad, der von a^ nach b, führt, alber es enthält feelae
VPA 97647/0003 . - -26 -
1ÖS8S1/0534 ■■ . .^.original
Ruckkopplungssclileife; diese Schlußfolgerungen bleiben
offensichtlich auch gültig für "beliebige Werte von n.
Man überzeugt sich leicht, daß für η = 2 der Parallel- und
der Reihen-Adapter äquivalent dem Adapter sind, der im
Unterabschnitt "Einfache inderung des Referenzwiderstandes" diskutiert worden ist.
Realisierung von Schaltungen
Allgemeine Grundlagen
In den Abschnitten "Elemente und Quellen" und "Zusammenschaltung
von Toren" haben wir gesehen, wie verschiedene Typen von Elementen, quellen und Adaptern gebaut werden
können, die als Bausteine für die zu realisierendenWellen™
flußdiagramme dienen. Beim Zusammenschalten dieser Bausteine müssen die folgenden Grundsätze "beachtet werden ι
1. Die Bausteine müssen Tor für Tor ztisaramengeschaltet werden,
d.h. die zwei Wellenklemmen eines Wellentores müssen verbunden werden mit den zwei WellenkleBimen von genau einem
anderen Wellentor.
2. Für jedes Paar von Wellenklenraen, die verbunden sind,
müssen die entsprechende!* Wellen kompmtiTbel SeIn9 d.h,
sie müssen in die gleiche Richtung fließen» ~ . ■ ■
3. Die Regel, die in
erwähnt ist, muß !beachtet WtXAeB5 OL0Is0 Has ε ©suit !©rend©
Wellenfliißdiagraii© fflttß realieierlöai'
FM 9/647/ΘΟΟ3
BAD OBiQiMAL
Die ersten beiden dieser Grundsätze können offensichtlich
relativ einfach befolgt werden. Der dritte hat jedoch weitreichende
Konsequenzen. In der Tat haben wir gesehen, daß für jedes Tor eines Adapters stets ein innerer Pfad existiert,
der von der einfallenden Welle zu der reflektierten Welle führt. Daraus folgt, daß wir ein Wellentor eines Adapters
sicherlich immer mit irgendeinem der Welleneintore verbinden
können, die in Fig. 2c, 3c, 4b oder 11c dargestellt sind, aber niemals mit den Zweitoren, die in den i'ig. 5b, 6b, 12b
oder 13b dargestellt sind. In ähnlicher Weise können wir
immer mit einem solchen Tor eines der Wellenzweitore, die
in fig. 10b dargestellt sind, verbinden, aber niemals einen
anderen Adapter. Schließlich sind Wellenzweitore und Yieltore,
wie die in den Fig. 7b, 8b und 9b nur bedingt akzeptabel,
d.h. sie verursachen nicht von vornherein das Auftreten verzögerungsfreier
Rückkopplungsschleifen, sondern tun es nur in dem Falle, daß sie nicht geeignet an den verbleibenden
Toren abgeschlossen sind. Aus dieser Diskussion können
wir den Schluß ziehen, daß innerhalb der Theorie, die wir hier gegeben haben, zwei aufeinanderfolgende Adapter stete in der einen oder anderenWeise durch ein Wellenzweitor, das einem Kinheitseleuient entspricht, getrennt werden müssen. Um die Konsequenzen dieser Schlußfolgerung zu prüfen, werden wir im Unterabschnitt "Realisierung von Reaktanzen" die
Realisierung von Reaktanz-Eintoren studieren und in den
Unterabschnitten "Realisierung von Allpaßschaltungen" und "Realisierung von FiIterschaltungen" die Realisierung von Reaktanz-Zweitoren.
wir den Schluß ziehen, daß innerhalb der Theorie, die wir hier gegeben haben, zwei aufeinanderfolgende Adapter stete in der einen oder anderenWeise durch ein Wellenzweitor, das einem Kinheitseleuient entspricht, getrennt werden müssen. Um die Konsequenzen dieser Schlußfolgerung zu prüfen, werden wir im Unterabschnitt "Realisierung von Reaktanzen" die
Realisierung von Reaktanz-Eintoren studieren und in den
Unterabschnitten "Realisierung von Allpaßschaltungen" und "Realisierung von FiIterschaltungen" die Realisierung von Reaktanz-Zweitoren.
Wa immer ee möglich ist,und insbesondere in allen Wellenflaßdlagrammen,
werden wir ausschließlich momentane Wellengroßen
wie ak und bfc benützen. Es ist klar, daß wir gleicherweise
die komplexen Wellenamplituden A-. und IL verwenden
FPA 9/647/0003 - 28 - '
10S851/0S34 bad
können, aber dann seilte eine Verzögerung T ersetzt werden
-1 -uT
durch eine Übertragungsfunktion ζ = e^ , und eine Verzögerung
T/2 3ollte ersetzt werden durch eine Übertragungs-
-1 /9
funktion ζ .
funktion ζ .
Realisierung von Reaktanzen
Reihenresonanzkreis
Wir nehmen an, daß der in JFig. 21 dargestellte Reihenkreis
) 7\x realisieren sei. Wenn er Bestandteil einerReihenschaltung
ist, für die ein Reihenadapter benutzt werden kann, dann gibt es keinerlei Probleme: Wir haben einfache zwei der
Wellentore dieses Adapters durch Welleneintore abzuschließen, die einer Induktivität der Impedanz R'γ und bzw. einer
Kapazität der Impedanz R"/'^ entsprechen. Wenn jedoch der
Reihenresonanzkreis ,'■einen Querzweig geschaltet werden soll,
was häufig geschieht, ist eine solche Realisierungsmethode nicht anwendbar, da sie eine unmittelbare Verbindung eines
Reihenadapters mit einem Paralleladapter erfordern würde.
Diese Schwierigkeit kann vermieden werden, indem man von
der Äquivalenz eines Reihenresonanzkreises mit der Ketten-
* schaltung zweier Einheitselemente Gebrauch macht, die an dem Ausgangstor 4 (Fig. 21b) leerlaufen. Die charakteristischen
Widerstände R1 und R2 dieser Einheitselemente hängen
mit den Größen R1 und R" über die Beziehungen
R1 = R« + R", R2 = (R'+R'OR'VR1; (5.1a,b)
zusammen. Die Wellen a.^, Ia1, a2 und b2 sind für einen Tor-
wiaerstand R1 definiert, während die Wellen a^, D5 und a^
\TPA 9/647/0003 - 29 -
109851/0534
BAD UHiGlNAt
und b A für einen Torwiderstand R0 definiert sind. Infolgedessen
muß im Wellenflußdiagramm entsprechend Fig. 21b ein
Sweitor-Adapter benützt werden, um von R1 zu R2 überzugehen.
Indem wir die Ergebnisse der Pig. 5, 10 und 14 verwenden
und annehmen, daß die Wellen a. und b,, für einen Torwiderstand
"-i..- definiert bleiben, erhalten wir also ein Wellenflußdiagramm,
wie in Fig. 21c dargestellt. Es erfordert also nur einen Multiplizierer, der entsprechende Parameter &. ist
durch Gl. (4.4.) gegeben, d.h. wegen Gl. (5.1), durch
^= (R'-TO/dl'+R"). (5.2)
Das Wellenflußdiagramm von Fig. 21c kann offensichtlich nicht nur für die Realisierung von Querzweigen verwendet werden,
sondern auch in einer.'jeden Reihenanordnung. Es ist zwar richtig, daß es eine Rückkopplungsschleife enthält, aber
dies macht es nicht unrealisierbar, da diese Schleife eine
Verzögerung T umfaßt. Darüberhinaus Ist eine jede zusätzliche Rückkopplungsschleife, die durch die Verbindung der Fig. 21c
mit irgendeinem anderen Wellentor entsteht, ebenfalls zulässig, da sie notwendigerweise die beiden Verzögerungen T/2
enthält.
Das Problem, einen Parallelresonanzkreis zu. realisieren,
ist in einem gewissen Sinne dual zu dem eben diskutierten
Problem. Wir können uns deshalb hier sehr kurz ausdrücken und einfach auf Fig. 22 verweisen, die ohne weitere Erklärung
verständlich sein dürfte. Die resultierenden Schlußfolgerungen
sind dieselben. Man bemerke jedoch, daß die Gin- (5.1) ersetzt werden müssen durch die Gleichungen
R1 ■= RW/U't-R"), Et2 = R"2/(R'+R")f
VPA 9/647/0003 - 30 -
10985 1/053 4 BAD
obwohl Jl. (c^.2) gültig bleibt.
Wie an sich bekannt, kann jede beliebige Reaktanz vom
Grade η realisiert werden mit Hilfe einer entweder leerlaufenden oder kurzgeschlossenen Kette von η Einheitselementen. Indem wie die krgebnisse der Fig. 21 und 22
verallgemeinern, können wir leicht einsehen, daß ein Wellenflußdiagramm, das einer solchen Kette entspricht,
stets mit Hilfe von n-1 Zweitoradaptern realisiert werden kann, also n-1 Multiplizierer erfordert. Ein solches
W^llenflußdiagramm enthält stets n-1 Rückkopplungsschleifen,
von denen alle die Regel von Anschnitt "Allgemeine Grundlagen" erfüllen. D~rüberhinaus bleibt es richtig, daß
das Eingangswellentor willkürlich verbunden werden kann mit irgendeinem weiteren Wellentor, ohne diese Regel zu
verletzen.
Ein unilaterales Allpaßglied vom ersten Grade kann stets mit Hilfe eines Dreitor-Zirkulätors zusammen mit einer
Kapazität oder einer Induktivität realisiert werden. Es genügt, wenn wir den ersten dieser beiden Fälle betrachten
(Fig. 25a). Indem wir die Ergebnisse der Pig, 3 und 9
benützen, erhalten wir unmittelbar das entsprechende V/ellenzweitor,
das in Fig. 23b dargestellt ist; es enthält einen Zweitoradapfcer, erfordert also nur einen Multiplizierer.
7PA 9/647/0003 -"31 -
109881/0534 ■ BAD ORIGINAL
Kin unilaterales Allpnßglied zweiter Ordnung kann in ähnlicher
Weise realisiert werden, indem wir z.B. von dem Resultat nach Fig. 21 Gebrauch machen. Dies führt zu dem Ergebnis
gemäß Fig. 24, wo R1 und R2 durch die Gl. (5.1) gegeben sind.
Es ist klar, daß die gleiche Prozedur verwendet werden kann für die Realisierung unilateraler Allpaßglieder beliebigen
Grades, indein man entsprechende Reaktanzen höheren Grades
verwendet. Schließlich können bilaterale Allpaßglieder stets erhalten werden, indem man Viertor-Zirkulatoren anstelle von
Dreitor-Zirkulatoren verwendet.
Einen Allpaß beliebigen Grades kann man auch dadurch erhalten, daß man Glieder erster und zweiter Ordnung in Kette
schaltet. Da alle einzelnen Glieder den gleichen Zirkulationswiderstand
haben müssen, sind in diesem Falle keine Adapter zwischen den Gliedern erforderlich. Schließlich gilt folgendes:
Wenn der zu realisierende Allpaß unilateral ist, und wenn wir mit ihm eine Quelle verbinden mit einem Widerstand
R, und auch einen Lastwiderstand, ebenfalls vom
Widerstand R, dann zeigen die Ergebnisse nach den Fig. 11 und 4, daß kein Signal in den Rückwärtspfad fließt, so daß
dieser einfach vernachlässigt werden kann. Ein Beispiel zeigt Fig. 25, wo R^ und R2 wieder durch Gl. (5.1) gegeben
s-ind.
Von der Theorie der Mikrowellenleitungsfilter ist es bekannt,
daß man stets Filter auf die Weise realisieren kann, daß man eine gewisse Zahl von Einheitselementen mit verschiedenem
Wellenwiderstand in Kette schaltet. Solche Filter führen immer zu realisierbaren Wellenflußdiagrammen. Wenn η die Zahl der
VPA 9/647/0003 - 32 -
109851/0534
Kinheitse]emente ist, ist die Zahl der erforderlichen Multiplizierer
n+1. Ein Beispiel zeigt Fig. 26.
Von besonderem Interesse sind in der Mikrowellentheorie allgemeinere Filter, die von einem Reaktanz-Zweitor in
Kette nit einer genügend großen Zahl von Einheitselementen
abgeleitet werden können. Indem man von den Äquivalenzrransforuiationen
nach Kuroda und Levy Gebrauch macht, können soiche Strukturen in neue, andere Kettenstrukturen
transformiert werden, die wir in folgendem Einheitselement-Abzweigstrukturen
nennen, in denen .Einheitselemente, mit entweder Längs- oder Wuerreaktanzen abwechseln. Iatsächlich
interessiert man sich im Bereich der Mikrowellenschaltungen aus technologischen Gründen in erster Linie für solche
Unterklassen dieser Strukturen, in denen nur Querreaktanzen
auftreten. In unserem Falle existiert jedoch keine solche Beschränkung, da, wie wir im Abschnitt "Zusammenschaltung
von T'.ren"' gesehen haben, es ebenso einfach ist, Reihenschaltungen
nachzubilden, wie Parallelschaltungen. Mit anderen Worten, jede Einheitselement-Abzweigstruktur führt
zu einem realisierbaren Wellenflußdiagramm. Ein Beispiel entsprechend einem Bandpaßfilter ist in Fig. 27 gezeigt,
R7 und R. sind dabei durch Gleichungen entsprechend Gl. (5.1)
gegeben.
Wenn wir mit m die Zahl der reaktiven !Elemente und mit η
die Zahl der Finheitselemente in der Einheitselement-Abzweigstruktur bezeichnen, ist die Zahl der erforderlichen
Multiplizierer m+n+1. Die Tatsache, daß wir auf diese
Weise für jedes Einheitselement einen Multiplizierer aufwenden müssen, bedeutet jedoch nicht, daß dieser Aufwand
zu keinen» Filter effekt führt, tatsächlich können wir beim
Entwurf des ursprünglichen Filters stets vollen Gebrauch von den Filtereigenschaften machen, die den Einheitselementen
inhärent sind (vgl. Flg. 26). Die Zahl u+n+1 ist
VPA 9/647/0003 - 33 -
108851/8534
BAD
gewöhnlich auch gleich der Zahl der unabhängigen Koeffizienten
in der Übertragungsfunktion (i'ransraittanz) des Netzwerkes.
In diesem Sinne können wir sagen, daß die Zahl der Multiplizierer kanonisch ist.
Zu beachten ist, daß es keineswegs notwendig ist, zuerst explizit die zuerst genannte Struktur zu entwerfen, von der
die Einheitselement-Abzweigstruktur abgeleitet worden ist.
In der Tat kann der Syntheseprozeß in solcher Weise geführt
werden, daß die zuletzt genannte Struktur unmittelbar erhalten wird.
1.. Da ein Einheitselement zwei Verzögerungen T/2 erfordert,
während eine Induktivität oder eine.Kapazität nur eine Verzögerung T erfordert, mag es scheinen, daß ein Einheitseleroent
aufwendiger zu realisieren ist. Tatsächlich muß jedoch eine Verzögerung T immer durch eine Kettenschaltung
zweier Verzögerungen von der Größe T/2 realisiert werden, um eine Zwischenspeicherung möglich zu
machen; dies ist notwendig, da der Einschreib- und Leseprozeß nicht gleichzeitig für ein einzelnen Speicherelement
durchgeführt werden kann. Bei einem Einheitselement fällt jedoch der Schreib- und Leseprozeß niemals zusammen,
da diese Prozesse immer einen zeitlichen Abstand T/2 haben; daher ist eine Unterteilung der Verzögerung
T/2 nicht erforderlich. Wir schließen aus dieser Tatsache, daß für ein digitales Filter, das m
reaktive Elemente und η Einheitselemente enthält, die Zahl der Verzögerungen T/2 (d.h. die Zahl der Speicherelemente),
die erforderlich sind, gleich 2(m+n) ist.
VPA 9/647/0003 - 34 -
'j :- 3 3 b 1 / Q δ 3 4
2. Im Abschnitt "Zusammenschaltung von Toren" haben wir gesehen, daß die Widerstände positiv bleiben, solange
die Größen Ct, Af, , ß, gewisse sehr unkritische Bedingungen
erfüllen. Aus diesem Grunde bleiben die Schaltungen stets passiv, mit Ausnahme bei extremen Abweichungen der
Multiplizierer; insbesondere kann die Schaltung normalerweise nicht instabil werden, und die sehr geringe Empfindlichkeit
gegenüber Eletnentevariationen, die in der
Einleitung diskutiert worden ist, bleibt normalerweise erhalten.
3. Bisher haben wir stets vorausgesetzt, daß die Widerstandsparameter,
die den verschiedenen Elementen entsprechen, stets- positiv sind, Tatsächlich aber bleiben die verschiedenen
Gleichungen, die wir abgeleitet haben, gültig, selbst wenn irgendeine Zahl dieser Widerstände negativ
ist. Es ist allerdings richtig, daß in diesem Fall unser Argument, das die geringe Durchlaßbereichsempfindlicnkelt
garantiert, nicht notwendigerweise gültig ist. Es ist jedoch auch bekannt, daß in LC-Strukturen, insbesondere
in LC-Abzweigstrukturen, negative Elemente erscheinen
dürfen, die, sofern ihre Werte innerhalb gewisser Grenzen bleiben, die Gesamtstruktur passiv erhalten. Zu bemerken
ist, daß Ungleichungen, wie
die früher stets gültig waren, keineswegs gültig sein
müssen, wenn einige der R, negativ sind, und das gleiche
gilt offensichtlich auch für die Schlußfolgerunges, die
wir aus diesen Ungleichungen abgeleitet haben.
VPA 9/647/0003" -35 -
108iS1/0S3i
■ ·. BAD ORIGINAL
4. Da ein Einheitseletnent einen Multiplizierer und zwei
Verzögerungen 1/2 erfordert, ebenso wie eine Induktivität ode^ eine Kapazität, sind seine Kosten im wesentlichen
die gleichen. Es ist jedoch bekannt, daß das Piltervermögen eines in Kette geschalteten Einheitselements
geringer ist als das eines quer- oder längsgeschalteten
reaktiven Elementes. Aus diesem Grunde wird man interessiert
sein, den Multiplizierer eines Einheitselementes möglichst einsparen zu können, ohne, die Verzögerungen aufzugeben,
da diese notwendig sind, um das Signaldlußdiagramm realisierbar
zu machen. Dieses Ziel kann erreicht werden, indem man den Wellenwiderstand eines Einheitseleroentes mit einem
der anderen Widerstände gleichsetzt, die zu den angrenzenden Adaptern gehören. Wir haben in den Unterabschnitten
"Parallelschaltung" und'Serienschaltung11 in der Tat schon
gesehen, daß es ein solches Vorgehen immer erlaubt, die Zahl der Multiplizierer, die erforderlich sind, zu reduzieren.
Es ist natürlich richtig, daß dies darauf hinausläuft,
auf die Filtereigenschaften des Einheitselementes vollständig zu verzichten, aber ein solches Vorge—hen
kann trotzdem wirtschaftlich sein. Es ist ebenso richtig, daß die klassischen Filterentwurfsmethoden in diesem
Fall nicht mehr ohne weiteres angewendet werden können, da solche Methoden in der Praxis niemals von sich aus
die erforderlichen Nebenbedingungen liefern. Aus diesem
Grunde wird man eine geeignete Optimierung im Entwurfaverfahren
vornehmen müssen.
5. Ober die Elemente, die wir in dem Abschnitt "Elemente
und Quellen studiert haben, hinaus ist es auch möglich,
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109851/0534 BAD ORiGiNAL
- 3ο -
quasi-reziproke Leitungen (QUARL'a) und die zugehörigen
gyrierenden und zirkulierenden Bauelemente zu realisieren,
die aus der Resonanzübertragungstheorie bekannt sind. Es scheint jedoch, daß uns dies keinen Vorteil
bringen würde, da der Gyrator und der Zirkulator, die im Unterabschnitt "Elemente mit frequenzunabhängigem
Verhalten" behandelt worden sind, uns bereits größere Flexibilität bieten, doch kommt es auf den Einzelfall an.
6. Um ein digitales Filter zu realisieren, das ein LC-Filter
nachbildet, mag man an das folgende Verfahren denken, das augenscheinlich viel einfacher ist als das oben beschriebene.
Wir gehen von einem gegebenen abgeschlossenen verlustlosen Zweitor aus, das m Induktivitäten und Kapazitäten
enthält und dazu eine gewisse Zahl nichtreaktiver Elemente. Wenn wir diese Induktivitäten und Kapazitäten
entfernen, ebenso wie auch die Abschlüsse, dann bleibt ein frequenzunabhängiges (m+2) Tor übrig. Jedem Tor
ordnen wir als Dorwiderstand den Widerstand des entsprechenden Elementes oder der entsprechenden Quelle zu.
Dann drücken wir die m+2 reflektierten Wellen durch die m+2 einfallenden Wellen aus1. Dadurch ist ein (m+2)-Toradapter
bestimmt, der im allgemeinen weder vom Parallelnoch vom Reihentyp ist. Nichtsdestoweniger enthält dieser
keine inneren Rückkopplungsschleifen, so daß wir ein
realisierbares WellenflußdiagraiDiD erhalten» indem wir
seine Wellentore mit den Welleneintoren der einzelnen Elemente und der Quellen verbinden. Ein offensichtlicher
Nachteil besteht jedoch darin, daß der (m+2)-Toradapter im allgemeinen die große Zahl von (m+2) Multiplizierer
erfordert. Trotzdem kann ein solches Vorgehen nützlich sein, um kleinere Untereinheiten einer größeren Struktur
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109851/0534
■ zu synthetisieren. Ira Prinzip kann dieses Verfahren auch
angewendet werden, wenn das Zweitor auch Widerstände enthält, obwohl dieser Fall von geringen?r]praktischer
Bedeutung ist.
7, Alle Zweitore, die wir "bisher behandelt haben, betreffen
Filter, die auf beiden Seiten resistiv abgeschlossen
sind. Es sollte jedoch klar werden, daß dieselben Grundsätze auch angewendet werden können, utn digitale Filter
zu entwerfen, die klassische Leerlauf- oder Kurzschlußfilter nachbilden.
8. Digitale Wellenfilter können in gleicher Weise wie
konventionelle Filter in entsprechende digitale N-Pfad-Filter transformiert werden, indem man zu jeder Verzögerung
T/2 eine Verzögerung (N-1)T/2 addiert, während
zur gleichen Zeit die Taktfrequenz des Filters gleich F = 1/T bleibt.
VPA 9/647/0003 - 38 -
109851/053A
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14 Patentansprüche
27 Figuren
27 Figuren
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10 9851/0534 bad original
Claims (1)
- PatentansprücheM J Filter rait frequenzabhängigen Übertragungseigensuhaften für elektrische Analogsignale, die in Digitalforni vorliegen, dadurch gekennzeichnet, daß die Filtergrundschaltung einer üblichen LC-Schaltung für Analogsignale entspricht, vorzugsweise einer Abzweigschaltung, daß· die reaktiven Zweipolschaltelemente dieser Filtergrundschaltung (Induktivität, Kapazität) als laufzeitbehaftete Eintorschaltungen und Leitungseletnente als laufzeitbehaftete Zweitorschaltungen, vorzugsweise in Abtasttechnik, aus-gebildet sind, daß die nichtreaktiven Zweipolschalteleniente dieser Filtergrundschaltung (leerlauf, Kurzschluß, Widerstand, widerstandsfreie und widerstandsbehaftete Quelle) als laufzeitfreie Eintorschaltungen und die nicht-reaktiven Mehrtorelemente (Transformator, Gyrator, Zirkulator) als laufzeitfreie Kehrtorschaltungen, vorzugsweise ebenfalls in . Abtasttechnik, ausgebildet sind, und daß diese Eintor- und Mehrtorschaltungen über,eine Porwiderstandsanpassung zwischen den einzelnen Ein- und Mehrtoren ergebende Adapter der FiItergrundscha.ltung entsprechend zusammengeschaltet sind.2. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet , daß die als Induktivität wirkende laufzeitbehaftete Eintorschaltung aus der Reihenschaltung eines Speichergliedes und eines Vorzeicheninverters besteht (Fig. 2).3. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet , daß die als Kapazität wirkende laufzeitbehaftete Zweipolschaltung aus einem Speicherglied besteht (Fig. 3).VPA 9/647/0003 - 41 -109851/0534BAD ORIGINAL4.' filter nach Anspruch Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet , daß die als Leitungselement wirkende laufzeitbehaftete Zweitorschaltung aus zwei Übertragungswegen gegensinniger übertragungsrichtung besteht und in jedem der beiden Übertragungswege ein Speicherglied mit einer Speicherzeit eingeschaltet ist, die der Hälfte der geforderten Geaamtlaufzeit entspricht (Pig. 10). . ·5. Filter nach Anspruch 1, d a d u r c h gekennzeichnet, daß die als Widerstand wirkende laufzeitfreie Eintorschaltung als Absorber ausgebildet ist (Fig. 4).6. Filter nach Anspruch 1, dadurch g e k e η η ζ e i c h η e t , daß die als Leerlauf wirkende laufseitfreie Eintorschaltung als Zweipol ausgebildet ist, der in ihn eingespeiste Wellen pbasengleich reflektiert (Fig. 5).7. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die als Kurzschluß wirkende laufzeitfreie Eintorschaltung als Zweipol ausgebildet ist, der einen Vorzeicheninverter für am Zweipol reflek tierte Wellen enthält (Fig. 6).6. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet , dafl die als Gyrator wirkende laufzeitfreie Mehrtorschaltung als Zwaitorschaltung ausgebildet ist, "bei der in den Übertragungsweg für reflektierte Wellen ein Vorzeioheninverter eingeschaltet ist (Pig. 8).9. Pilter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die als Zirkulator wirkende '. ι MehrpοIsohaltung eine wenigstens drei Tore aufweisendeVPA 9/647/OOQ3 - 42 -109851/0534Mehrtorschaltung ist, bei der eine derartige Reihenschaltung derAnschlußklemmen der einzelnen Tore vorgesehen ist, daß der für die Welleneinspeisung in ein Tor maßgebliche Anschluß in den Anschluß des nächsten Tores übergeht 9 aus dem in diesem Tor Wellen austreten (Fig« 9).10. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet j daß die als Transformator wirkende laufzeitfreie Mehrtorschaltung für den Fall eines Übersetzungsverhältnisses von -1/1 aus einer Zweitorschaltung besteht, bei der in die beiden Übertragungswege (für hinlaufende und rücklaufende Wellen) jeweils ein Yorzeioheninverter eingeschaltet ist (Figo 7)11. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet , daß die als Transformator wirfeende laufzeitfreie Mehrtorschaltung für den Fall eines Spannungsübersetzungsverhältnisses von n/1 aus zwei Zweitorschaltungen besteht, von denen jeder in einer Übertragungsrichtung einen Yorzeicheninverter enthält und die über einen Zweitoradapter in Kette geschaltet sind, dessen Torwiderstände dem geforderten Spannuingsübersetzungs» verhältnis entsprechen (Fig. 16)»12. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet , daß der Adapter sie Zweitoradapter ausgebildet ist, bei dem die einspeisenden Anschlüsse jedes I'ores mit einem gemeinsamen Addierer verbunden sind unter Einfügung eines Vorzeicheninverters in eine dieser Zuleitungen, daß mit 3@dem der "beides Einspeiaungsaaschlisse Je ein weiterer Addierer veijbunäQB ists deaess ale zusätzliche Einspeisung der Ausgang Se®- geijeiiigaiB@B Addierers unter Zwischenschaltung ©ittes ilultiplisier@ge · zugeführt ist, und daß die Ausgangsaaeohlüs?PA '9/647/0003 - - - 4 5weiteren Addierer die Ausspeisungskletomen der beiden Tore bilden (Fig. 15).H. Filter nach Anspruch 1, d a d u r c h gekennzeichnet i daß der Adapter als Drei- oder Mehrtorschaltung ausgebildet ist,mit n-1 Multiplizierern (n = Anzahl lore) und in Parallelschaltung (Fig, 18).14. Filter nach Anspruch 1,dadurch gekennzeichnet, daß der /dapter als Drei- oder Mehrtorschaltung ausgebildet ist,mit. n-2 Multiplizierern (n = Anzahl Tore) und in Serienschaltung (Fig. 20).VPA 9/647/0003109851/0534
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