DE2027303B2 - Filter mit frequenzabhängigen Übertragungseigenschaften für elektrische Analogsignale - Google Patents
Filter mit frequenzabhängigen Übertragungseigenschaften für elektrische AnalogsignaleInfo
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Description
Die Erfindung bezieht sich auf ein Filter mit frequenzabhängigen
übertragungseigenschaftem für elektrische Analogsignale, die in quantisierter oder codierter
Form, z. B. in PAM'Signalform, in PCM-Sjgnalform
oder als Pulsdeltamodulationssignal vorliegen.
PAM-Signalform bedeutet in diesem Zusammenhang, tergrundschaltung, die die gewünschten frequenzdaß
das Signal in Form von Abtastimpulsen des abhängigen Übertragungseigenschaften aufweist, vor-Analogsignals
vorliegt, in deren Amplitude der zu zugsweise einer Abzweigschaltung, die reaktiven Zweiverarbeitende
Informationsgehalt gegeben ist, während polschaltelemente dieser Grundscbaltung (Induktivität,
PCM-Signalform bedeutet, daß der Informations- 5 Kapazität) als laufzeitbehaftete Eintorschaltungen und
gehalt der einzelnen Abtastprobe des Analogsignals Leitungselemente als laufzeitbehaftete Zweitorschaldurch
ein Codewort zum Ausdruck gebracht ist, tungen, vorzugsweise in Abtasttechnik, ausgebildet
welches nach den Grundsätzen der Pulscodemodu- sind, die nichtreaktiven Zweipolschaltelemente dteser
lation gestaltet ist. Pulsdeltamodulationsform bedeutet Grundschaltung (Widerstand, Leerlaufwiderstand,
in diesem Zusammenhang, daß das Signal aus einer io Kurzscblußwiderstand, widerstandsfreie und widerbinären
Impulsfolge besteht, die die Änderungen der standsbehaftete Quelle) als laufzeitfreie Emtorschal-Analogsignalabtastwerte
überträgt. Auch Mischfor- tungen und die nichtreaktiven Mehrtorelemente (Transmen
dieser Modulationen, wie Delta-PCM sind mög- formator, Gyrator, Zirkulator) als laufzdtfreie Mehrlich
und für die Erfindung in Betracht gezogen. torschaltungen, vorzugsweise ebenfalls in Abtast-
Bekanntlich sind die Übertragungseigenschaften von 15 technik, ausgebildet sind, und daß zur Zusammen-Filtern
sehr empfindlich gegen Variationen der schaltung der Tore der Torschaltungen Adapter vorKoeffizienten
ihrer Übertragungsfunktion. Während gesehen sind, über die die Torwiderstände der zudieser
Umstand für LC-Filter nur ein Berechnungs- sammengescbalteten Tore aneinander angepaßt sind,
problem darstellt (die Empfindlichkeit gegenüber Bei der Erfindung wird von einer völlig neuen BeElement-Variationen
ist bei gewöhnlichen Abzweig- 20 trachtimgsweise der Rechnerfilter ausgegangen, die es
filtern ziemlich klein), stellt er beim Entwurf digitaler ermöglicht, Schaltungen anzuv.cnden, deren Toleranz-Filter
ein Schwierigkeiten bereitendes R^lisierungs- empfindlichkeit wesentlich geringe« ist als die der bisproblem
dar. her verwendeten Schaltung. Vor allem ^nd dies die
Digitale Filter sind bisher derart gebaut worden, resistiv abgeschlossenen, sogenannten Abzweigschaldaß
man Strukturen verwendete, deren Elemente- 25 tungen, die für Filter mit konzentrierten Induktivitäten
(Multiplikator-) Werte unmittelbar von der gegebenen und Kapazitäten weit verbreitet sind. Man kann damit
Übertragungsfunktion bestimmt sind (Lit. 1 bis 5). für Digitalfilter bzw. Rechnerfilter, die gute Sperr-Ein
offensichtlicher Vorteil einer solchen Prozedur ist bereichunempfindlichkeit von Abzweigschaltungen erdie
Tatsache, daß sie keine komplizierten Realisierbar- reichen, zusammen mit der guten Durchlaß-Unempkeitstheorien
oder längliche numerische Berechnungen 30 findlichkeit, welche LC-Filter, die mit Widerständen
erfordert, wie dies bei der Betriebsparameter-Synthese abgeschlossen sind, bekanntlich infolge der Tatsache
konventioneller LC-Filter der Fall ist. Der Vorteil muß haben, daß ihre Betriebsdämpfung niemals negativ
jedoch durch den Nachteil erkauft werden, daß diese werden kann. Durch die Erfindung wird es ermöglicht,
digitalen Filterstrukturen eine sehr hohe Empfindlich- digitale Filter entsprechend den Strukturen zu entkeit
ihrer Übertragungseigenschaften gegenüber EIe- 35 werfen, welche sehr nahe denjenigen verwandt sind,
mentevariationen aufweisen. Im Falle einer digitalen die für die Realisierung sogenannter Einheitselement-Realisierung
bedeutet dies nicht nur eine Abweichung Filter verwendet werden. Da Filter dieses letztgenannder
tatsächlichen Frequenzcharakteristik von der ge- ten Typs in solcher Weise gebaut werden Können, daß
wünschten infolge von Koeffizientenabrundung, son- sie alle die obengenannten Erfordernisse erfüllen, gilt
dem auch ein gewisses Geräusch infolge der bei den 40 dasselbe auch für die entsprechenden digitalen Filter,
einzelnen Rechenschritten entstehenden Rundungs- Die Theorie der Einheits-Element-Filter ist wohlbefehler
(Lit. 6 bis 9). kannt und ähnlich der Theorie der klassischen LC-
Der übliche Weg, diese Schwierigkeit zu überwinden, Filter.
besteht darin, die gegebene Übertragungsfunktion zu- Ein besonderer Vorteil der erfindungsgemäßen FiI-
erst zu faktorisieren und das Filter dementsprechend 45 terschaltungstechnik besteht weiterhin darin, daß auch
als eine einfache Kaskadenschaltung von Gliedern Gyratoren und Zirkulatoren in derselben Art und
ersten und zweiten Grades zu realisieren. Weise und mit derselben Leichtigkeit realisiert werden
Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, die bei können, wie reziproke Elemente und daß keine Beden
bekannten Schaltungen der einleitend geschilder- schränkung etwa dahingehend gegeben ist, daß, wie
ten Art vorhandenen Toleranzschwierigkeiten wenig- 5° bisher üblich, nur Strukturen mit geerdeten Einheitsstensauf
ei η erträgliches Maß zu reduzieren. Dies läuft elementen verwendet werden können. Weiterhin ist
letztlich darauf hinaus, die Anzahl der in dem Filter, der wesentliche Vorteil gegeben, daß ein erfindungsdas
auch häufig als Rechnerfilter bezeichnet wird, be- gemäßes Reciinerfilter eine wesentlich reduzierte Bitnötigten
Multiplikationsstufen so gering wie möglich zahl, welche für die Berechnungskoefiizienten benutzt
zu halten. Jede Multiplikation bringt nämlich eine 55 werden müssen, aufweist, im Vergleich zu bekannter
Erhöhung der Stellenzahl, bezogen auf das jeweilige Rechnerfiltern.
Ergebnis mit sich, und will man nicht Multiplikatoren Nachstehend wird die Erfindung an Hand einer Ab-
mit wirtschaftlich untragbaren Stellenzahlen verwen- leitung der allgemeinen Theorie und an Hand von
den, so ist man gezwungen, die Ergebnisse entspre- Ausführungsbeispielen näher erläutert. Die schaltungs-
chend zu !kürzen bzw. abzurunden, was letztlich einer 60 technische Ausführung, vor allem der zur Anwendunf
Reduzierung der Genauigkeit des erzielten Ergebnisses kommenden Laufzeitglieder, Speicher, Addierer und
bedeutet. Multiplizierer wird nicht näher behandelt, da diese ar
Ausgehend von einem Filter mit frequenzabhängigen sich bekannt ist, z. B. durch die angegebenen Literatur
ÜbertragiingseigenscMten für elektrische Analog- stellen. Die Ausfuhrungsbeispiele sind dabei auf dii
signale, die in quantisierter oder codierter Form vor- 65 Zeichnung bezogen, deren Figureninhalt wie folgt ist
liegen, bei dem die Bauelemente durch Torschaltungen F i g. 1 Strom-Spannungs-Flußdiagramm für eint
realisiert sind, wird disse Aufgabe gemäß der Erfin- Induktivität im ^-Bereich,
dung dadurch gelöst, daß, ausgehend von einer LC-FiI- Fig. 2 a Induktivität der Impedanz φ R;
5 6
stehend aus einer Transmittanz —l/z; F i g. 23a Ein unilaterales Altpaßglied erster Ord·
stehend aus einer Verzögerung Γ und einem Vor- F i g. 23b das zugehörige Wellenzweitor.
zeiehen-Inverter. 5 F i g. 24a Ein unilaterales Allpaßglied zweiter Ord·
Fig. 3a Kapazität der ImpedanzRjtp;
nung;
stehend aus einer Transmittanz l/z; F i g. 25a Ein abgeschlossener unilateraler Allpaß;
stehend aus einer Verzögerung T.
io F i g. 26a Filter, bestehend aus einer Kette von drei
Fig. 4a Widerstand R;
Einheitselementen;
einer Wellensenke. F i g. 27a Bandpaßfilter, bestehend aus einem Reak-
—1/1; Wenn erforderlich, wird in den Zeichnungen dei
F i g. 9 a Dreitor-Zirkulator mit Zirkulationswider- Allgemeine Grundlagen
stand R;
Wellenwiderstand R;
rationale Funktion der komplexen Frequenz-Varia-
Fig. 11a Quelle mit Spannung e in Reihe mit dem chung zwischen der Eingangsvariablen χ und der Aus-Widerstand R;
30 gangsvariablen;'. Anstatt eine LC-Struktur zu ver-
zugehörigen Wellenflußdiagramms. Differentialgleichung direkt auf einem Analogrechnei
Fig. 12a Eine Spannungsquelle der Spannung e;
zu realisieren, in welchem Fall die Koeffizienten vor
adapters von F i g. 14b, die nur einen Multiplizierer α geeignete LC-Filter, und zwar recht komplizierte. Die;
erfordert. ist dadurch begründet, daß bei den gewöhnlicher
nis n/l > 0; 45 gegenüber Element-Variationen sehr viel kleiner sind
widerständen K1, Ä„ ..., bzw. Rn;
sondern am durch ein System von IHfferentiaJgleichun
cfaenden Wellen «-Tores (n-Tor-Paralleladapter). gangs/Ausgangsverhalten entspricht, sondern aucl
hängige Tor ist. sisiiv abgeschlossener Abzweigschaltungen bringt es
widerständen Ä„ R* ..., bzw. Kn; gegenüber Variationen der Koeffizienten in dem obet
den WeÜen-n-Tores (n-Tor-Reihenadapter). viel geringer ist als die Empfindlichkeit gegenübei
einem Dreitorreihenadapter, mit Tor 3 als abhängigem 60 tialgleichung, die man erhält, nachdem man alle in
beätselementen; Zahl von Stellen ausgeführt werden müssen, um zi
zwei Emheitselementen; Für digitale Filter ist die Situation sehr ähnlich mi
Ausnahme der Tatsache, daß das numerische Problem, V — Ψ RI, wo R eine positive Konstante ist. Wegef
das wir soeben beschrieben haben, auch ein Realisie- (2.1) würde dies eine entsprechende Differenzgleichunf
rungsproblem darstellt und zwar infolge des früher erwähnten Koeffizientenabbruchs und der Rundungs- v(nT) + ν [(« - 1) T] = {i(nT) - i [(« - 1) T)} R,
fehler-Fortpflanzung. Die Übertragungsfunktion M 5 (2.3)
kann nun als eine rationale Funktion der Variablen
2 = ei>T ^schrieben werden wo F= 1/7" die Betriebs- erfordern, die zeigt, daß die Berechnung von ν zurr
frequenz des Filters darstellt. Diese Übertragungs- Zeitpunkt / = nT nicht nur die Kenntnis von ν und ι
funktion entspricht einer einzigen Differenzenglei- im vorangegangenen Abtastzeitpunkt erfordert, sonchung
zwischen der Eingangs- und der Ausgangs- io dem auch im gegenwärtigen Zeitpunkt. Also würde
Variablen. Auch hier kann jedoch im hohen Grade jedec Flußdiagramm, das Gleichung (2.3) darstellt
eine Verbesserung erreicht werden, indem man die ein- z. B. das in F i g. 1 gezeigte, einen verzögerungsfreier
zige Differenzgleichung in ein geeignetes System von Pfad enthalten, der vom Eingang zum Ausgang führt,
Differenzengleichungen umformt. Eine Möglichkeit, Dasselbe gilt für das Stromspannungs- oder Spansolches
zu tun, entspricht der gewöhnlichen Faktori- 15 nungsstromflußdiagramm aller anderen Elemente
sierung von H und der nachfolgenden Realisierung mit Also würde die Verbindung von Elementen unweiger-Hilfe
einer einfachen Kaskade von Gliedern niederer lieh zu verzögerungsfreien Rückkopplungsschleifer
Ordnung. Das Verfahren, das beschrieben wird, ent- führen und auf diese Weise jede physikalische Ausspricht
dem Versuch, ein System von Differenzglei- führung unmöglich machen.
chungen zu finden, das in einer gewissen Weise ein ao Es stellt sich heraus, daß dieses Dilemma vermieder
klassisches abgeschlossenes Abzweigfilter strukturell werden kann, indem man alle Signalflußdiagramme
imitiert. Die Analogie mit der obigen Diskussion des nicht auf Spannungen und Ströme gründet, sondern
klassischen Filterentwurfsproblems zeigt, daß eine auf Wellengrößen. Dabei kann man gleichgültigerweise
Lösung, die man auf diese Art erreicht, gewiß eine be- Spannungs- oder Stromwellen verwenden. Wir verträchtliche
Verbesserung darstellen muß. as wenden hier eine Beschreibung durch Spannungs-In
jedem Falle wird man jedoch die Zahl der Multi- wellen. Wie wir kurz in dem Unterabschnitt »Zusamplizierer
so klein wie möglich halten wegen ihrer menschaltung von Toren/Einfache Änderung des
relativ f-ohen Kosten, während Addierer großzügiger Referenzwiderstandes« diskutieren werden, würde die
verwendet werden können. Verwendung von Leistungswellen weniger angemessen Um zu garantieren, daß eine Struktur als digitales 30 sein, da dies eine größere Anzahl erforderlicher MultiFilter realisiert werden kann, muß immer die folgende plmerer zur Folge hätte. Wenn Wellen verwendet wer·
Bedingung erfüllt sein: Jede Rückkopplungsschleife, den. werden wir gewöhnlich von Wellenflußdiagramdie
in dem Signalflußdiagramm enthalten ist, das die men sprechen, an Stelle von Signalflußdiagrammen.
Struktur beschreibt, muß wenigstens ein Verzöge- Ebenso bezeichnen wir die Filter, die wir hier berungselement
enthalten, d. h. sie darf nicht verzöge- 35 schreiben, in angemessener Weise als Wellendigitalrungsfrei
sein. Man überzeugt sich leicht, daß diese filter. Ein Wellenflußdiagramm, welches die obener-Regel
immer erfüllt ist bei allen digitalen Filter- wähnte Regel erfüllt, werden wir realisierbar nennen;
strukturen, die bislang bekannt sind. Eine Verletzung andernfalls soll es unrealisierbar genannt werden,
dieser Regel würde bedeuten, daß es unmöglich wird, Wie wir später sehen werden, erfordern Welleneine Folge zu finden, in der die verschiedenen Rechen- 40 digitalfilter gewöhnlich zwei verschiedene Folgen von schritte ausgeführt werden können. Zeitpunkten, zu denen das Filter in Arbeitsfunktion Als Frequenzvariable, die geeignet ist, die Analogie ist. Diese beiden Folgen gehen durch Zeitverschiebung mit der Theorie der Einheitselementfilter herzustellen, um ein Intervall 7"/2 ineinander über. In jedem Fall werden wir die »komplexe Frequenz« φ einführen, die wird es oft notwendig sein, Differenzgleichungen zu definiert ist durch 45 schreiben, ohne anzunehmen, daß einer der Pulse dei
dieser Regel würde bedeuten, daß es unmöglich wird, Wie wir später sehen werden, erfordern Welleneine Folge zu finden, in der die verschiedenen Rechen- 40 digitalfilter gewöhnlich zwei verschiedene Folgen von schritte ausgeführt werden können. Zeitpunkten, zu denen das Filter in Arbeitsfunktion Als Frequenzvariable, die geeignet ist, die Analogie ist. Diese beiden Folgen gehen durch Zeitverschiebung mit der Theorie der Einheitselementfilter herzustellen, um ein Intervall 7"/2 ineinander über. In jedem Fall werden wir die »komplexe Frequenz« φ einführen, die wird es oft notwendig sein, Differenzgleichungen zu definiert ist durch 45 schreiben, ohne anzunehmen, daß einer der Pulse dei
Zeitfolge zur Zeit t - 0 auftritt. In der Diskussion der
Elemente und Quellen, die im nächsten Abschnitt
— tanhio772} _ ^ ~~ e pT η η durchgeführt ist. wird deshalb eine allgemeine Zeit-
™ "" 1 -j. e vT ' ' variabler verwendet, d.h. es wird kein Bezug ge-
50 nommen auf irgend einen besonderen Zeitpunkt, zu
dem ein Puls auftritt.
und die auch z. B. in der Theorie der Netzwerke mit
Resonanzübertrag verwendet wird. Für ρ =;ω kön- Elemente und Quellen
nen wir also schreiben
55 In diesem Abschnitt werden wir Wellenflußdia
<ρ = /φ φ = tan (ω Γ/2) (22) gramme für verschiedene Elemente und Quellen, d«
" " verwendet werden, ableiten. Wenn immer es möglich
ist, werden die erforderlichen Wellengrößen mit Hilfe
Die Wahl von Ψ als Frequenzvariable scheint die eines Torwiderstandes definiert werden, der gleich isi
einzig angemessene für unser Problem zu sein. Diese 60 der Widerstandskonstanten R, die in der Definition
Wahl hat eine unmittelbare Konsequenz, die wir gleich des Elementes oder der Quelle, die wir betrachten, aof
diskutieren werden. tritt. Auf diese Art and Weise werden die Wellen-Wenn wir als Signalgrößen im Flußdiagramm die gleichungen die Konstante R ntcfct mehr enthalten
üblichen Spannungen und Ströme verwenden, wird es Wir werden in den Abschnitten »Zusammenscnalttmf
unmöglich, die soeben angegebene Regel einzuhalten, 65 von Toren« und »Realisierung von Schaltungen« sehen,
die die Rückkopplungsschleifen betrifft. Um dies zu weiche Konsequenzen dies hat, wenn Elemente und
zeigen, betrachten wir ein willkürliches Element, z. B. Quellen verbunden werden, um die gegebenen Filtereine Induktivität; die zu realisierende Gleichung ist diagramme zu erhalten.
Induktivitäten tane Größen schreiben. Es ist augenscheinlich, daß
die entsprechenden Gleichungen für stationäre Größen
Die stationäre Spannungsstrombeziehung, die wir gleiche Struktur haben.
realisieren wollen, ist (F i g. 2 a)
realisieren wollen, ist (F i g. 2 a)
γ _ yy nj (3,1) 5 Widerstand
wo R eine positive Konstante ist Wenn wir Gleichung Die Gleichung, die zu realisieren ist, ist (F i g. 4a)
(2,1) benutzen, kann Gleichung (3.1) geschrieben v _. Rj
werden
1 ίο d. h. indem wir Gleichung (3.5) benützen,
wo , * „MM* «*, « durch ^S^LSS^TST. t? wie""
2 = ePT (3.3) 15 Fig. 4b gezeigt.
wo Leerlauf
A = V + Rl und B = K - Ri (3.4a,b)
haben . = Q (p . g 5a) ^
die einfallende bzw. die reflektierte Welle sind. Die kürlichen positiven Konstante A und indem wir
momentanen Werte α = a{t) und b = (t) dieser WeI- ao Gleichung (3.5) benutzen, erhalten wir
len sind mit den Momentanwerten der Spannung b = a (3 12)
ν = ν(ί) und des Stroms /(O = i verbunden durch
ν = ν(ί) und des Stroms /(O = i verbunden durch
. D. , „. ,, ςο .» Das Wellenflußdiagramm ist also eine einfache Ver-
a = ν + Ri, b = ν - Ri (3.5 a, b) bindung (F ; g 5 b)
Also ist die Differenzgleichung für α und b gegeben as Kurzschluß
durch
durch
b(t) = — a(t — T); (3.6) Wir haben ν = 0 (Fig. 6 a). Also erhalten wir,
mit nachdem wir eine willkürliche positive Konstante R
a = A &>T, b = B ePT (3.7) gewählt haben und Gleichung (3.5) verwenden
30 b = - a . (3.13)
Wo A und B angenommenerweise Konstanten sind,
Wo A und B angenommenerweise Konstanten sind,
ist die stationäre Lösung (3.6) in der Tat durch (3.2) Das Wellennußdiagramm besteht also aus einem
gegeben. Die Wellenfiußdiagramme, die (3.2) und (3.6) Vorzeicheninverter (F i g. 6b).
entsprechen, sind Weileneintore, die in F i g. 2b bzw.
entsprechen, sind Weileneintore, die in F i g. 2b bzw.
2c dargestellt sind. Das erste besteht aus einer Trans- 35 Idealer Transformator
mittanz (Übertragungsfunktion), die gleich — l/z ist, mit dem Übersetzungsverhältnis—1/1
und das zweite besteht aus einer Verzögerungszeit T
und das zweite besteht aus einer Verzögerungszeit T
zusammen mit einem Vorzeicheninverter. Die Gleichungen, die zu realisieren sind (F i g. 7a),
40 /,Ä/, V1= -v2.
Die stationäre Spannungsstrombeziehung, die realisiert
werden soll, ist (F i g. 3a) Also erhalten wir, nachdem wir eine willkürliche
positive Konstante R gewählt haben und die Defini-
Ψ « ak = Vk + Rik, b* = vk- Rik (3.14a, b)
wo R eine positive Konstante ist. Mit (2.1), (3.3) und k = 1,2, (3.14c)
der Definition (3.4) kann (3.8) geschrieben werden verwenden,
h, = - O1, i>2 = - o, (3.15a, b)
1 5°
B = — A, (3.9) Das Weflenfhißdiagramm ist also ein Wellenrweitoi
Z (Fig. 7b).
Gyrator
Also ist die Differenzgleichung für die momentanen
Wellengrößen, welche in Gleichung (3.5) definiert sind, 55 Die Gleichungen, die realisiert werden müssen, sim
gegeben durch (Fig. 8a)
b{t) = a(t-T); (3.1Oi P1=-Kr8, F1=ZJi1, (3.16a, b)
Diese Gleichung reduziert sich auf Gleichung (3.9), wo der Gyrationswiderstand R eine positive Kon
wenn wir von (3.7) Gebrauch machen. Die Wellenfluß- 60 stante ist. Mit der Definition (3.14) erhalten wir
diagramme sind die in Fig. 3b und 3c gezeigten b _ _a 6. = U1 (3.17a,b)
Wefleneitttore; sie bestehen aas den Transmhtanzenl/z *
bzw. einer Verzögerung T. Das entsprechende Wellenzweitor ist in F i g. 8 b gt
Elemente mit frequetizunabhängigem Verhalten Kc
5 Zirkulator
Aus Gründen der Einfachheit werden wir alle
Gleichungen, die sich auf Elemente mit frequenz- Wir betrachten zunächst den Dreitorzirkulator vo
unabhängigem Verhalten beziehen, nur für momen- F i g. 9si, dessen Zirkulationswiderstand R eine pos
tive Konstant«! ist. Mit den Definitionen (3.14a, b) und
mit k = I1 2 und 3 haben wir
A1 = <t,, *, - O1, b3 - ax. (3.18 a, b, c)
Das Wetlenflußdiagramm ist jetzt das Wellendreitor,
das in Fig. 9b gezeigt ist. Es ist offenkundig, daß dieses Ergebnis einfach auf /i-Torzirkulatoren erweitert
werden kann, in welchem Falle (3.18) verallgemeinert werden muß auf die Gleichungen
1 = Cn, ft, =
Die stationären Spannungsstrombeziehungen, die realisiert werden sollen, sind (F i g. 10a)
U1 -Atu , o» - A1
Vu u BK Ru —
k = 1, 2 .
β, ο,
(3.20c)
(3.20c)
Also sind die Differenzgleichungen für die Momentanwerte dei Wellen, die in Gleichung (3.14) definiert
sind, gegeben durch
W0 = aAt - Γ/2) (3.21a,b)
, „ι fj _ β „,.
3°
wo Ak und Bk Konstanten sind, ist die stationäre
Lösung von (3.21) in der Tat durch (3.19) gegeben. Das (momentane) Wellenflußdiagramm ist jetzt das
Wellenzweitcr, das in Fig. 10b gezeigt ist. Das stationäre Wellenflußdiagramm ist ähnlich, mit dem
Unterschied, daß die Verzögerungen Tß durch die TransmittaniÄnz"1'* ersetzt sind.
Im Symbol gemäß F i g. 10a ist die Verzögerung T/2 des Einheitsclements explizit angedeutet. Wir werden
im folgenden dies unterlassen, da eine Verwechslungsmöglichkeit nicht besteht.
Quellen
Wir werden wieder unsere Betrachtungen auf momentane Größen beschränken, wie wir es in dem Unter-
abschnitt »Widerstand« getan haben.
. .
Resistive Quelle
Es genügt, eine Spannungsquelle der Spannung e = e(f) mit einem Serieninnenwiderstand Ä zu betrachten (P i g. lla). Die Gleichung, die Zu realisieren
ist, lautet
e — ν + Ri,
d. h. indem wir Gleichung (3.5) benutzen
a = e
Das entsprechende Wellenflußdiagramm besteht
aus einer Wellenquelle Ie, einem Addierer und einem
Vorzeicheninverter (F i g. 12b).
F„r ^ innenlejtweftlose Stromquelle (F j g. 13)
erhall man in ähnlicher Weise
a = 2e + b
wo die Intensität der Stromquelle gleich e\R gäwählt
worden ist. Das entsprechende Wellenflußdiagrarmn
ίο ist in Fig. 13b gezeigt.
Schaltungen entstehen im Prinzip durch Verbindungen der Tore von Elementen und Quellen. Dabei entsteht eine Schwierigkeit in den Wellenflußdiagrammen,
^a 'n den meisten diskutierten Fällen nach Abschnitt
Elemente und Quellen« der Torwiderstand R nicht
willkürlich ist, sondern durch das Element oder durch die Quelle, zu der das Tor gehört, bestimmt ist Aus
M diesem Grunde müssen wir eine Möglichkeit haben,
den Torwiderstand zu ändern, wenn wir Tore zusammenschalten. Dies wird erreicht mit Hilfe der verschiedenen Adapter, die wir sogleich diskutieren werden.
»5
ständen R1 und Rt. Die Wellen sind mit den Strömen
und Spannungen durch die Gleichungen
°k ~ n ~ Rkik ' bk = Vt ~ Rkt* (41a' b)
* = L2 (41c)
verbunden.
Wenn diese Tore einfach verbunden werden (F i g. 14a), haben wir
v, = V1
i, = — it
(4.2 a, b)
Nach Elimination von v* und it aus den Gleichungen (4.1) und (4.2) erhalten wir auf diese Weise
wo
« = (Λ, — RJI(R1 +
(4·4)
55
Alsoist das Wellenflußdiagramm eine Wellenquelle;
wir stellen sie dar, wie in F i g. 11 b uder c gezeigt &>
Die Lage ist etwas weniger einfach im Falle einer
reinen Spannungsquefle, die innen widerstandslos ist Die Gleichung, die zu realisieren ist, ist in diesem Fall
v — e — e{t); alfo haben wir, nachdem wir eine willkürliche positive Konstante R gewählt haben und d:e
Definition (3.5) benützen,
Diese Gleichungen definieren ein Wellenzweitoi, das wir einen Zweitor-Adapter nennen. Wir stellen ec
schematisch dar, wie in F i g. 14b gezeigt. Das Symboi
innerhalb des Kastens bezieht sich auf den Umstand, daß sich in F i g. 14a in gewisser Weise sowohl auf
eine Parallel- ate auch auf eine Setteäverbi&dueg bezieht (vgl. F i g. 17 und 19). Entsprechend Gietcbong
(4.3) kann ein detailliertes Wellenflußdiagramm, das diesem Zweitor-Adapter entspricht, gezeichnet werden,
wie in F i g. IS. Dieses Wellenfraßdiagranun erfordert
nur einen Multiplizierer mit dem Faktor «. Es enthält
einen Pfad, der von at nach bt führt und auch einen
Pfad, der von α, zu bt führt, aber keine Rückkopplungsschleife. Indem wir Gleichung (4.3) in eine
äquivalente Form umsetzen, können wir andere äquivalente Weilenflußdiagrainme erhalten. Jedoch enthalten nicht alle von diesen nor einen Multiplizierer.
Gleichung (4.4) zeigt, daß für K1
> 0 und Rx > 0 der Betrag / β /
< 1 ist Andererseits gflt R1IR1
> 0, wenn die letzte Ungleichung erfüllt ist, wie man aus der
Gleichung
2e - b .
R1IR, = (1 + «)/(l - «).
ersehen 'Kann, Daraus folgt, daß wir dann stets A8
> 0 haben, sobald Λ, > 0 ist und umgekehrt.
Die gerade zur Diskussion stehende Verbindung er^
laubt es und auch .den Vorteil deutlich zu machen, der
aus der Verwendung von Spannungs- oder Stromwellen an Stelle von Leistungswellen resultiert. In der
Tat würde eine allgemeine Darstellung der Streugleichungen gemäß Gleichung (4.3) folgendermaßen
zu schreiben sein
bt = «ησ, +
(4.5 a, b)
wo die Streukoeffizienten untereinander durch die linearen Beziehungen
— Oc11 = «22 = 1 — «12 = Ot21 — 1 = ot
miteinander verbunden sind.
Wenn wir Leistungswellen verwendet hätten, könnten wir auch noch Gleichungen wie (4.5) schreiben. aber
die Streuiioeffizienten würden dann miteinander durch die Beziehungen verknüpft sein:
«211 +
= 1, «12 = «21, «π = ~~ α2
Da der erste dieser Ausdrücke nicht linear ist, würde es also nicht möglich sein, ein Wellenflußdiagramm
von Gleichung (4.5) anzugeben, das nur einen einzigen Multiplizierer erfordern würde.
Als einfaches Anwendungsbeispiel betrachten wir die Realisierung eines Transformators mit dem Windungsverhältnis
n/l (F i g. 16a). Wenn wir versuchen wurden, dies auf unmittelbarem Wege zu tun, wie wir
es für die anderen Elemente im Abschnitt »Elemente und Quellen« getan haben, würden wir zwei Multiplizierer
brauchen. Tatsächlich aber kann ein solcher Transformator als eine Kaskade zweier Gyratoren
realisiert werden, die die Gyrationswiderstände R1 bzw.
R2 haben, dergestalt, daß η = R1IR1. Auf diese Weise
erhalten wir das Wellenflußdiagramm der Fig. 16b,
wobei wir von dem Ergebnis von F i g. 8 Gebrauch gemacht haben und wo einer der Widerstände R1 und
P2 willkürlich gewählt werden kann. Um in Übereinstimmung
zu sein mit unserer Annahme R > 0, die wir im Zusammenhang mit F i g. 8 gemacht haben,
müssen wir jetzt annehmen, daß η > 0 ist; jedoch kann das entsprechende Resultat für η
< 0 auf einfache Weise mit Hilfe von F i g. 7 erhalten werden.
Parallelschaltung
Wir betrachten η Tore 1, 2, .... n, mit den Torwiderständen
R1, R2, ... bzw. Rn. Die Wellen stehen
mit den Spannungen und Strömen gemäß Gleichung (4.1a, b) in Beziehung, nur bedeutet jetzt £ = 1,2,.. .,n.
Wenn diese Tore parallel geschaltet werden (F i g. 17a), gilt
v, = v2 = ... = Vn, Z1 + /j f ... 4-1» = 0 (4.6a,b)
Wenn wir die v* und it aus den Gleichungen
(4.1 a, b) und (4,6) eliminieren, erhalten wir
parallelen Linien innerhalb des Kastens auf die Parallelschaltung
be7jeh;n.
Wenn wir Gleichung (4.7) als solche verwenden würden, würden wir zusammen η Multiplizierer gebrauchen.
Tatsächlich haben wir
so daß eines der «*, sagen wir «n, eliminiert werden
kann. Auf diese Weise kann Gleichung (4.7 b) geschrieben werden
A-I.
so daß wir nur noch η — 1 Multiplizierer brauchen;
Tor η wird dann ein abhängiges Tor genannt. Die Zahl der Multiplizierer kann weiter reduziert werden, wenn
einige der λ,ε gleich sind, d. h., wenn einige von den Abgleich
sind. Der Faktor 2, der in Gleichung (4.10) erscheint, erfordert keinen besonderen Multiplizierer, da
eine Multiplikation mit zwei ein sehr elementarer Prozeß ist. Als Beispiel ist das ausführliche Wellenflußdiagramm
für η = 3 gegeben, das entsprechend den Gleichungen (4.7a) und (4.10) in Fig. 18 dargestellt
ist. Für jedes k = 1,2,3 enthält es einen Pfad, der von at ausgeht und nach 6* führt, aber es enthält keine
Rückkopplungsschleife: diese Schlußfolgerungen bleiben
offensichtlich gültig für willkürliche Werte von n. Wenn die Werte Gt gegebene positive Konstanten
sind, stellt es sich heraus, daß alle α* ebenfalls positiv
sind und Gleichung (4.9) gehorchen. Umgekehrt, wenn alle ixk und eines der Gt, sagen wir G*', gegeben sind,
kann das übrigbleibende Gk berechnet werden mit
Hilfe der Beziehung
(4.7a, b)
die auf einfache Weise aus Gleichung (4.8) hergeleitet werden kann.
Wenn also Gk ebenso wie die Werte K1, λ2 ... Λη-ι
positive gegebene Konstanten sind, und wenn «n, das
sich aus Gleichung (4.9) herleiten läßt, ebenfalls positiv ist, dann stellt sich heraus, daß alle Gj- positiv sind.
Wenn das Tor η ein abhängiges Tor ist, wie wir angenommen
haben, so ist der Koeffizient λ« inplizit bestimmt
durch die übrigen λ* durch die Gleichung (4.9).
Das heißt, wenn die Summe dieser verbleibenden Größen txk nahe bei 2 liegt, d. h. wenn «„ klein ist,
kann er auf diese Weise nur mit einem großen Fehler bestimmt werden. Um die höchstmögliche Genauigkeit
zu gewährleisten, sollte man deshalb als abhängiges Tor dasjenige wählen, dessen entsprechender Faktor <χ*
am größten ist.
Reihenschaltung
Wir betrachten η Tore, wie in dem Unterabschnitt 4.2,
aber wir schalten sie jetzt in Reihe (s. F i g. 19a). Wir haben dann
,·, = ,·„=...=,·„, v,-f V2+... 4-v„ = 0. (4.11a, b)
Wenn wir die v* und 1* aus den Gleichungen(4.1a,b)
und (4.11) eliminieren, erhalten wir
«* = 2GkKG1 + G8 +..., + Gn) <7* = I//?*. (4.8a,b)
wo
bk — Qk — ßka0, a„ — V au (4.12a, b)
ßk = 2 RkI(R1 4- Rt + ... 4- Rn). (4.13)
ßk = 2 RkI(R1 4- Rt + ... 4- Rn). (4.13)
Diese Gleichungen definieren ein Wcllen-n-Tor, das 65
wir einen Parallel-Adapter oder genauer einen M-Tor-Parallel-Adapter nennen. Wir stellen ihn schematisch, Diese Gleichungen definieren ein Wellen-«-Tor, das
wir einen Parallel-Adapter oder genauer einen M-Tor-Parallel-Adapter nennen. Wir stellen ihn schematisch, Diese Gleichungen definieren ein Wellen-«-Tor, das
wie in Fig. 17b gezeigt, dar, wobei sich die beiden wir einen Rüihen-Adapter oder präziser, einen «-Tor-
Reihen-Adapter nennen. Wir stellen es schematisch dar, wie in F ί g. 19b gezeigt. Das Symbol innerhalb
des Kastens bezieht sich auf die Reihenschaltung.
Wenn wir Gleichung (4.12) als solche verwenden würden, würden wir wieder zusammen η Multiplizierer
brauchen. In der Tat haben wir die Beziehung
ßi + ß, + ... + ßn = 2 , (4.14)
so daß eine der Größen ßk, sagen wir ß„, eliminiert
werden kann. Dies kann z. B. dadurch geschehen, daß wir G eichung (4.12) für die Indexwerte k = 1,2 ....
n—l benützen und dann den Wert6n mit Hilfe des
Ausdruckes, den wir von (4.12) und (4.14) ableiten können,
n-l
berechnen; das Tor η wird dann wieder das abhängige
Tor genannt. Die Zahl der Multiplizierer kann weiter reduziert werden, wenn einige der ßk gleich sind, d. h.
wenn einige der Rk gleich sind. Für die ßk können
ähnliche Bemerkungen gemacht werden, wie für die a* am Ende des Unterabschnittes »Parallelschaltung«.
Als Beispiel ist das ausführliche Wellenilußdiagramm
für η = 3, das den Gleichungen (4.12a) und (4.15) entspricht,
in Fig. 20 dargestellt. Für jedes k — 1,2,3 enthält es einen Pfad, der von ak nach hk führt, aber es
enthält keine Rückkopplungsschleife; diese Schlußfolgerungen bleiben offensichtlich auch gültig für beliebige
Werte von /1.
Man überzeugt sich leicht, daß für η = 2 der Parallel-
1JDd der Reihen-Adapter äquivalent dem Adapter sind, der im Unterabschnitt »Einfache Änderung des
Referenzwiderstandes« diskutiert worden ist.
35 Realisierung von Schaltungen
Allgemeine Grundlagen
In den Abschnitten »Elemente und Quellen« und »Zusammenschaltung von Toren« haben wir gesehen,
wie verschiedene Typen von Elementen, Quellen und Adaptern gebaut werden können, die als Bausteine für
die zu realisierenden Wellenflußdiagramme dienen. Beim Zusammenhalten dieser Bausteine müssen die
folgenden Grundsätze beachtet werden:
1. Die Bausteine müssen Tor für Tor zusammengeschaltet werden, d. h., die zwei Wellenklemmen
eines Wellentores müssen verbunden werden mit den zwei Wcllenklemmen von genau einem anderen
Wellentor.
2. Für jedes Paar von Wellenklemmen, die verbunden sind, müssen die entsprechenden Wellen kompatibel
sein, d. h., sie müssen in die gleiche Richtung fließen.
3. Die Regel, die in Abschnitt »Allgemeine Grundlagen« erwähnt ist, muß beachtet werden, d. h.,
das resultierende Wellenfiußdiagramm muli realisierbar sein.
Die ersten beiden dieser Grundsätze können offensichtlich relativ einfach befolgt werden. Der dritte hat
jedoch weitreichende Konsequenzen. In der Tat haben wir gesehen, daß für jedes Tor eines Adapters stets ein
innerer Pfad existiert, der von der einfallenden Welle zu der reflektierten Welle führt. Daraus folgt, daß wir
ein Wellentor eines Adapters sicherlich immer mit irgendeinem der Welleneintore verbinden können, die
in F i ε. 2c, 3c, 4b oder lic dargestellt sind, aber
niemals mit den Zweitoren, die in den Fig. 5b, 6b,
12b oder 13b dargestellt sind. In ähnlicher Weise können wir immer mit einem solchen Tor eines der
Wellentweitore, die in F i g, 10b dargestellt sind, verbinden,
aber niemals einen anderen Adapter. Schließlich sind Wel'en weitore und Vieltore, wie die in den
F i g. 7 b, 8b und 9b nur bedingt akzeptabel, d. h., sie verursachen nicht von vornherein das Auftreten verzögerung
freier Rückkopplungsschleifen, sondern tun es nur in dem Falle, daß sie nicht geeignet an den verbleibenden
Toren abgeschlossen sind. Aus dieser Diskussion können wir den Schluß ziehen, daß innerhalb
der Theorie, die wir hier gegeben haben, zwei aufeinanderfolgende Adapter stets in der einen oder
anderen Weise durch ein Wellenzweitor, das einem Einheitselement entspricht, getrennt werden müssen.
Um die Konsequenzen dieser Schlußfolgerung zu prüfen, werden wir im Unterabschnitt »Realisierung
von Reaktanzen« die Realisierung von Reaktanz-Eintoren studieren und in den Unterabschnitten »Realisierung
von Allpaüschaltungen« und »Realisierung von Filterschaltungen« die Realisierung von Reaktanz-Zweitoren.
Wo immer es möglich ist, und insbesondere in allen Wellenfiußdiagrammen, werden wir ausschließlich
momentane Wellengrößen wie ak und bt benützen.
Es ist klar, daß wir gleicherweise die komplexen Wellenamplituden Ak und Bk verwenden können, aber
dann sollte eine Verzögerung T ersetzt werden durch eine IJoertragungsfunktion z~l = e'pT, und eine Verzögerung
T/2 sollte ersetzt werden durch eine Übertragungsfunktion r"1 2.
Realisierung von Reaktanzen
Reihenresonanzkreis
Reihenresonanzkreis
Wir nehmen an, daß der in Fig. 21 dargestellte
Reihenkreis zu realisieren sei. Wenn er Bestandteil einer Reihenschaltung ist, für die ein Reihenadapter
benutzt werden kann, dann gibt es keinerlei Probleme: Wir haben einfache zwei der Wellentore dieses Adapters
durch Welleneintore abzuschließen, die einer Induktivität der Impedanz R'XP und bzw. einer Kapazität
der Impedanz R"\W entsprechen. Wenn jedoch der
Reihenresonanzkreis in einen Querzweig geschaltet werden soll, was häufig geschieht, ist eine solche
Realisierungsmethode nicht anwendbar, da sie eine unmittelbare Verbindung eines Reinenadapters mil
eineiii Paralleladapter erfordern würde.
Diese Schwierigkeit kann vermieden werden, indem man von der Äquivalenz eines Reihenresonanzkreise!
mit der Kettenschaltung zweier Einheitselemente Ge brauch macht, die an dem Ausgangstor 4 (F i g. 21b
leerlaufen. Die charakteristischen Widerstände R1 unc
R2 dieser Einheitselementc hängen mit den Größen R
und R" über die Beziehungen
R1^ R' + Ä", Ri = (A' ■+- R")R"IR'\ (5.1a, b)
zusammen. Die Wellen a„ bu a, und b, sind für einei
Torwiderstand A1 definieit, während die Wellen O3, b
und O4 und 64 für einen Torwiderstand R2 definier
sind. Infolgedessen muß im Wellenflußdiagramm enl
sprechend Fig. 21 b ein Zweitor-Adapter benutz
werden, um von Λ, zu Λ, überzugehen. Indem wir di
Ergebnisse der F i g. 5, 10 und 14 verwenden und ar r.ehmen, daß die Wellen o, und ft, für einen Torwidei
stand R1 definiert bleiben, erhalten wir also ein Weiler
flußdiagramm, wie in F i g. 21c dargestellt. Es erfoi
dert also nur einen Multiplizierer, der entsprechende
Parameter« ist durch Gleichung (4.4) gegeben, d. h. wegen Gleichung (5.1), durch
(5.2)
Das Wellenflußdiagramm von F ί g, 21c kann offenlichtlich
nicht nur für die Realisierung von Querzweigen verwendet werden, sondern auch in einer jeden
Reihenanordnung. Es ist zwar richtig, daß es eine Rückkopplungsschleife enthält, aber dies macht es
nicht unrealisierbar, da diese Schleife eine Verzögerung T umfaßt. Darüber hinaus ist eine jede zusätzliche
Rückkopplungsschleife, die durch die Verbin dung der F i g. 21 c mit irgendeinem anderen Wellentor
entsteht, ebenfalls zulässig, da sie notwendigerweise die
beiden Verzögerungen Γ/2 enthält. man Viertor-Zirkulatoren an Stelle von Dieitor-Zirku
latoren verwendet.
Einen Allpaß beliebigen Grades kann man aucl·
dadurch erhalten, daß man Glieder erster und zweitei Ordnung in Kette schaltet. Da alle einzelnen Gliedei
den gleichen Zirkulationswiderstand haben müssen sind in diesem Falle keine Adapter zwischen den Glie
dem erforderlich. Schließlich gilt folgendes: Wenn dei
zu realisierende Allpaß unilateral ist, und wenn wii mit ihm eine Quelle verbinden mit einem Widerstand
R, und auch einen Lastwiderstand, ebenfalls vorn Widerstand R, dann zeigen die Ergebnisse nach den
F i g. 11 und 4, daß kein Signal in den Rückwärtspfad fließt, so daß dieser einfach vernachlässigt werden
kann. Ein Beispiel zeigt F i g. 25, wo R1 und R2 wieder
durch Gleichung (5.1) gegeben sind.
Parallelresonanzkreis
Das Problem, einen Parallelresonanzkreis zu realisieren,
ist in einem gewissen Sinne dual zu dem eben diskutierten Problem. Wir können uns deshalb hier
sehr kurz ausdrücken und einfach auf Fig. 22 verweisen,
die ohne weitere Erklärung verständlich sein dürfte. Die resultierenden Schlußfolgerungen sind dieselben.
Man bemerke jedoch, daß die Gleichung (5.1) ersetzt werden müssen durch die Gleichungen
R1 = R'R"I(R' + R"), A2 = R"V(R' + R"),
obwohl Gleichung (5.2) gültig bleibt.
30
Willkürliche Reaktanzen
Wie an sich bekannt, kuir. jer'e beliebige Reaktanz
vom Grade η realisiert werden mit Hilfe einer entweder
leerlaufenden oder kurzgeschlossenen Kette von λ Einheitselementen. Indem wir die Ergebnisse der
Fig. 21 und 22 verallgemeinern, können wir leicht
einsehen, daß ein Wellenflußdiagramm, das einer solchen Kette entspricht, stets mit Hilfe von η — 1
Zweitoradaptern realisiert werden kann, also η — 1 4»
Multiplizierer erfordert. Ein solches Wellenflußdiagramm enthält stets η — 1 Rückkopplungsschleifen,
von denen alle die Regel von Abschnitt »Allgemeine Grundlagen« erfüllen. Darüber hinaus bleibt es richtig,
daß das Eingangswellentor willkürlich verbunden werden kann mit irgendeinem weiteren Wellentor, ohne
diese Regel zu verletzen.
Realisierung von Allpaßschaltungen
Ein unilaterales Ailpaßglied vom ersten Grade kann stets mit Hilfe eines Dreitor-Zirkulators zusammen
mit einer Kapazität oder einer Induktivität realisiert werden. Es genügt, wenn wir den ersten dieser beiden
Fälle betrachten (F i g. 23a). Indem wir die Ergebnisse der F i g. 3 und 9 benützen, erhalten wir unmittelbar
das entsprechende Wellenzweitor, das in Fig. 23b dargestellt ist; es enthält einen Zweitoradapter, erfordert
also nur einen Multiplizierer.
Ein unilaterales Ailpaßglied zweiter Ordnung kann in ähnlicher Weise realisiert werden, indem wir z. B.
von dem Resultat nach Fig. 21 Gebrauch machen. Dies führt zu dem Ergebnis gemäß F i g. 24, wo R1
und Rt durch die Gleichung (5.1) gegeben sind. Es ist
klar, daß die gleiche Prozedur verwendet werden kann für die Realisierung unilateraler Allpaßglieder beliebigen
Grades, indem man entsprechende Reaktanzen höheren Grades verwendet. Schließlich können bilaterale
Allpaßglieder stets erhalten werden, indem Realisierung von Filterschaltungen
Von der Theorie der Mikrowellenleitungsfilter ist es
bekannt, daß man stets Filter auf diese Weise realisieren kann, daß man eine gewisse Zahl von. Einheitselementen mit verschiedenem Wellenwiderstand in
Kette schaltet. Solche Filter führen immer zu realisierbaren Wellenflußdiagrammen. Wenn η die Zahl der
Einheitselemente ist, ist die Zahl der erforderlichen Multiplizierer/1 + 1. Ein Beispiel zeigt Fig. 26.
Vcn besonderem Interesse sind in der Mikrowellentheorie allgemeinere Filter, die von einem Reaktanz-Zweitor
in Kette mit einer genügend großen Zahl von Einheitselementen abgeleitet werden können. Indem
man von den Äquivalenz-Transformationen nach K u r ο d a und Levy Gebrauch macht, können
solche Strukturen in neue, andere Kettenstrukturen transformiert werden, die wir in folgendem Einheitselement-Abzweigstrukturen
nennen, in denen Einheitselemente mit entweder Längs- oder Querreaktanzen abwechseln. Tatsächlich interessiert man sich
im Bereich der Mikrowcllensthaltungen aus technologischen
Gründen in erster Linie für solche Unterklassen dieser Strukturen, in denen nur Querreaktanzen
auftreten. In unserem Falle existiert jedoch keine solche Beschränkung, da, wie wir im Abschnitt »Zusammenschaltung
von Toren« gesehen haben, es ebenso einfach ist, Reihenschaltungen nachzubilden, wie
Parallelschaltungen. Mit anderen Worten, jede Einheitselement-Abzweigstruktur führt zu einem realisierbaren
Wellenflußdiagramm. Ein Beispiel entsprechend einem Bandpaßfilter ist in F i g. 27 gezeigt, R7 und R8
sind dabei durch Gleichungen entsprechend Gleichung (5.1) gegeben.
Wenn wir mit m die Zahl der reaktiven Elemente und mit η uie Zahl der Einheitselemente in der Einheitselement-Abzweigstruktur
bezeichnen, ist die Zahl der erforderlichen Multiplizierer m + « + 1. Die Tatsache,
daß wir auf diese Weise für jedes Einheitselement einen Multiplizierer aufwenden müssen, bedeutet
jedoch nicht, daß dieser Aufwand zu keinem Filtereffekt führt. Tatsächlich können wir beim Entwurf
des unrsprünglichen Filters stets vollen Gebrauch von den Filtereigenschaften machen, die den Einheitselementen
inhärent sind (vgl. Fig. 26). Die Zahl
m + n + 1 ist gewöhnlich auch gleich der Zahl der
unabhängigen Koeffizienten in der Übertragungsfunktion (Transmittanz) des Netzwerkes. In diesem
Sinne können wir sagen, daß die Zahl der Multiplizierer kanonisch ist.
Zu beachten ist, daß es keineswegs notwendig ist, zuerst explizit die zuerst genannte Struktur zu ent-
rfert, von der die Einheitselement-Abzweigstruktur
»leitet worden ist, In der Tat kann der Syntheseweß
in solcher Weise geführt werden, daß die 7.uit genannte Struktur unmittelbar erhalten wird.
Zusätzliche Bemerkungen
. Da ein Einheitselement zwei Verzögerungen T/2 erfordert, während eine Induktivität oder eine
Kapazität nur eine Verzögerung T erfordert, mag es scheinen, daß ein Einheitselement aufwendiger xo
zu realisieren ist. Tatsächlich muß jedoch eine Verzögerung Γ immer durch eine Kettenschaltung
zweier Verzögerungen von der Größe T/2 realisiert werden, um eine Zwischenspeicherung möglich
zu machen; dies ist notwendig, da der Einschreib- und Leseprozeß nicht gleichzeitig für ein
einzelnes Speicherelement durchgeführt werden kann. Bei einem Einheitselement fällt jedoch der
Schreib- und Leseprozeß niemals zusammen, da diese Prozesse immer einen zeitlichen Abstand T/2
haben; daher ist eine Unterteilung der Verzögerung T/2 nicht erforderlich. Wir schließen aus
dieser Tatsache, daß für ein digitales Filter, das m reaktive Elemente und η Einheitselemente enthält,
die Zahl der Verzögerungen T/2 (d. h. die Zahl der Speicherelemente), die erforderlich sind,
gleich 2 (m + n) ist.
2. Im Abschnitt »Zusammenschaltung von Toren« haben wir gesehen, daß die Widerstände positiv
bleiben, solange die Größen α, «*, ßk gewisse sehr
unkritische Bedingungen erfüllen. Aus diesem Grunde bleiben die Schaltungen stets passiv, mit
Ausnahme bei extremen Abweichungen der Multiplizierer; insbesondere kann die Schaltung normalerweise
nicht instabil werden, und die sehr geringe Empfindlichkeit gegenüber Elementevariationen,
di·; in der Einleitung diskutiert worden ist,
bleibt normalerweise erhalten.
3. Bisher haben wir stets vorausgesetzt, daß die Widerstandsparameter, die den verschiedenen
Elementen entsprechen, stets positiv sind. Tatsächlich aber bleiben die verschiedenen Gleichungen,
die wir abgeleitet haben, gültig, selbst wenn irgendeine Zahl dieser Widerstände negativ ist.
Es ist allerdings richtig, daß in diesem Fall unser Argument, das die geringe Durchlaßbereichsempfindlichkeit
gaicntiert, nicht notwendigerweise gültig ist. Es ist jedoch auch bekannt, daß in
LC-Strukturen, insbesondere in LC-Abzweigstrukturen,
negative Elemente erscheinen dürfen, die, sofern ihre Werte innerhalb gewisser Grenzen
bleiben, die Gesamtstruktur passiv erhalten. Zu bemerken ist, daß Ungleichungen, wie
- l < et < \, 0 < txk
< 2 , Q < ßk < 2 ,
55
die früher stets gültig waren, keineswegs gültig sein müiisen, wenn einige der Rk negativ sind, und
das gleiche gilt offensichtlich auch für die Schlußfolgerungen, die wir aus diesen Ungleichungen
abgeleitet haben.
4. Da ein Einhejiselement einen Multiplizierer und
zwei Verzögerungen T/2 erfordert, ebenso wie
eine Induktivität extet eine Kapazität, sind seine
Kosten im wesentlichen die gleichen. Es ist jedoch bekannt, daß das Filtervermögen eines in Kette
geschalteten Einheitselements geringer ist als das eines quer- oder längsgeschalteten reaktiven
Elementes, Aus diesem Grunde wird man interessiert sein, den Multiplizierer eines Einheitselementes möglichst einsparen zu können, ohne
die Verzögerungen aufzugeben, da diese notwendig sind, um das Signalflußdiagramm realisierbar
zu machen. Dieses Ziel kann erreicht werden, indem man den Wellenwiderstand eines
Einheitselementes mit einem der anderen Widerstände gleichsetzt, die zu den angrenzenden
Adaptern gehören. Wir haben in den Unterabschnitten »Parallelschaltung« und »Serienschaitung«
in der Tat schon gesehen, daß es ein solches Vorgehen immer erlaubt, die Zahl der Multiplizierer,
die erforderlich sind, zu reduzieren. Es ist natürlich richtig, daß dies darauf hinausläuft, auf
die Filtereigenschaften des Einheitselementes vollständig zu verzichten, aber ein solches Vorgehen
kann trotzdem wirtschaftlich sein, Es ist ebenso richtig, daß die klassischen Filterentwurfsmethoden
in diesem Fall nicht mehr ohne weiteres angewendet werden können, da ■ rlche Methoden in
der Praxis niemals von sich aus d';e erforderlichen Nebenbedingungen liefern. Aus diesem Grunde
wird man eine geeignete Optimierung im Entwurfsverfahren vornehmen müssen.
5. Über die Elemente, die wir in dem Abschnitt »Elemente und Quellen studiert haben, hinaus ist
es auch möglich, quasi-reziproke Leitungen (QUARL's) und die zugehörigen gyrierenden und
zirkulierenden Bauelemente zu realisieren, die aus der Pesonanzübertragungstheorie bekannt sind.
Es scheint jedoch, daß uns dies keinen Vorteil bringen würde, da der Gyrator und der Zirkulator,
die im Unterabschnitt »Elemente mit frequenzunabhängigem Verhalten« behandelt worden sind,
uns bereits größere Flexibilität bieten, doch kommt es auf den Einzelfall an.
6. Um ein digitales Filter zu realisieren, das ein LC-Filter nachbildet, mag man an das folgende
Verfahren denken, das augenscheinlich viel einfacher ist als das oben beschriebene. Wir gehen
von einem gegebenen abgeschlossenen verlustlosen Zweitor aus, das m Induktivitäten und
Kapazitäten enthält und dazu eine gewisse Zahl nichtreaktiver Elemente. Wenn wir diese Induktivitäten
und Kapazitäten entfernen, ebenso wie auch die Abschlüsse, dann bleibt ein frequenzabhängiges
(m + 2) Tor übrig. Jedem Tor ordnen wir ais Torwiderstand den Widerstand des entsprechenden
Elementes oder der entsprechenden Quelle zu. Dann drücken wir die m + 2 reflektierten
Wellen durch die m + 2 einfallenden Wellen aus. Dadurch ist ein (m + 2)-Toradapter bestimmt,
der im allgemeinen weder vom Parallelnoch vom Reihentyp ist. Nichtsdestoweniger enthält
dieser keine inneren Rückkopplungsschleifen, so daß wir ein realisierbares Wellenflußdiagramm
erhalten, indem wir seine Wellentore mit den Wcllentoren der einzelnen Elemente und der
Quellen verbinden. Ein offensichtlicher Nachteil besteht jedoch darin, daß der (m + 2)-Toradapter
im allgemeinen die große Zahl von {m + 2)a Multiplizierer erfordert. Trotzdem kann
ein solches Vorgehen nützlich sein, um kleinere Untereinheiten einer größeren Struktur zu synthetisieren.
Im Prinzip kann dieses Verfahren auch angewendet werden, wenn das Zweitor auch Widerstände enthält, obwohl dieser Fall von geringerer
praktischer Bedeutung ist.
7. Alle Zweitore, die wir bisher behandelt haben, betreffen Filter, die auf beiden Seiten resistiv abgeschlossen sind. Es sollte jedoch klar werden, daß
dieselben Grundsätze auch angewendet werden können, um digitale Filter zu entwerfen, die
klassische Leerlauf- oder Kurzschlußfilter nachbilden.
8. Digitale Wellenfilter können in gleicher Weise wie konventionelle Filter in entsprechende digitale
JV-Pfacl-Filter transformiert werden, indem man
zu jeder Verzögerung T/2 eine Verzögerung (N-I)TfI addiert, während zur gleichen Zeit
die Taktfrequenz des Filters gleich F
bleibt.
Claims (17)
- Patentansprüche:J, Filter mit frequenzabhängigen Übertragungseigenschaften für elektrische Analogsignale, die in quantisierter oder codierter Form vorliegen, bei dem die Bauelemente durch Torschaltungen realisiert sind, dadurch gekennzeichnet, daß, ausgehend von einer LC-Fütergrundschaltung, die die gewünschten frequenzabhängigen Übertragungseigenschaften aufweist, vorzugsweise einer Abzweigschaltung, die reaktiven Zweipolschaltelemente dieser Grundschaltung (Induktivität, Kapazität) als laufzeitbehaftete Eintorschaltungen und Leitungselemente als laufzeitbehaftete Zweitorschaltungen ausgebildet sind, die nichtreaktiven Zweipolschaltelemente dieser Grundschaltung (Widerstand, Leerlaufwiderstand, Kurzschlußwiderstand, widerstandäfreie und widerstandsbehaftete Quelle) als laufzeitfreie Eintorschaltungen und die nichtreaktiven Mehrtorelemente (Transformator, Gyrator, Zirkulator) als laufzeitfreie Mehrtorschaltungen ausgebildet sind, und daß zur Zusammenschaltung der Tore der Torschaltungen Adapter vorgesehen sind, über die die Torwiderstände der zusammengeschalteten Tore aneinander angepaßt sind.
- 2. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die als Induktivität wirkende laufzeitbehaftete Eintorschaltung aus der Reihenschaltung eines Speichergliedes und eines Vorzeicheninverters besteht (Fig. 2).
- 3. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die als Kapazität wirkende laufzeitbehaftete Zweipolschaltung aus einem Speicherglied besteht (F i g. 3).
- 4. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die als Leitungsetement wirkende laufzeitbehaftete Zweitorschaltung aus zwei Übertragungswegen gegensinniger Übertragungsrichtung besteht und in jedem der beiden Übertragungswege ein Speicherglied mit einer Speicherzeit eingeschaltet ist, die der Hälfte der geforderten Gesamtlaufzeit entspricht (F i g. 10).
- 5. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die als Widerstand wirkende laufzeitfreie Eintorschaltung als Absorber ausgebildet ist (F i g. 4).
- 6. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die als Leerlaufwiderstand wirkende laufzeitfreie Eintorschaltung als Zweipol ausgebildet ist, der in ihn eingespeiste Wellen phasengleich reflektiert (F i g. 5).
- 7. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die als Kurzschlußwiderstand wirkende laufzeitfreie Eintorschaltung als Zweipol ausgebildet ist, der einen Vorzeicheninverter für am Zweipol reflektierte Wellen enthält (F i g. 6).
- 8. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die als Gyrator wirkende laufzeitfreie Mehrtorschaltung als Zweitorschaltung ausgebildet ist, bei der in den Übertragungsweg für reflektierte Wellen ein Vorzeicheninverter eingeschaltet ist (F i g. 8).
- 9. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die als Zirkulator wirkende Mehrpolschaltung eine wenigstens drei Tore aufweisende Mehrtorschaltung ist, bei der eine derartigeReihenschaltung der Anschlußklemmen der einzelnen Tore vorgesehen ist, daß der für die Welleneinspeisung in ein Tor maßgebliche Anschluß in den Anschluß des nächsten Tores übergeht, aus dem in diesem Tor Wellen austreten (F i g. 9).
- 10. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die als Transformator wirkende laufzeitfreie Mehrtorschaltung für den Fall eines Übersetzungsverhältnisses von —1/1 aus einer Zweitorschaltung besteht, bei der in die beiden Übertragungswege (für hinlaufende und rücklaufende Wellen) jeweils ein Vorzeicheninverter eingeschaltet ist (F i g. 7).
- 11. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die als Transformator wirkende laufzeitfreie Mehrtorschaltung für den Fall eines Spannungsübersetzungsverhältnisses vr·" w'l aus zwei Zweitorschaltungen besteht, von denen jeder in einer Übertragungsrichtung einen Vorzeicheninverter enthält, und die über einen Zweitoradapter in Kette geschaltet sind, dessen Torwiderstände dem geforderten Spannungsübersetzungsverhältnis entsprechen (F i g. 16).
- 12. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß der Adapter als Zweitoradapter ausgebildet ist, bei dem die einspeisenden Anschlüsse jedes Tores mit einem gemeinsamen Addierer verbunden sind unter Einfügung eines Vorzeicheninverters in eine dieser Zuleitungen, daß mit jedem der beiden Einspeisungsanschlüsse je ein weiterer Addierer verbunden ist, denen als zusätzliche Einspeisung der Ausgang des gemeinsamen Addierers unter Zwischenschaltung eines Multiplizierers zugeführt ist, und daß die Ausgar.gsanschlüsse der beiden weiteren Addierer die Ausspeisungsklemmen der beiden Tore bilden (F i g. 15).
- 13. Filter nach Anspruch 1, uadurch gekennzeichnet, daß der Adapter als Drei- oder Mehrtorschaltung ausgebildet ist, mit η — 1 Multiplizierern (n = Anzahl Tore) und in Parallelschaltung (F i g. 18) oder Serienschaltung (F i g. 20) und daß ein Tor als abhängiges Tor vorgesehen ist.
- 14. Filter nach Anspruch 13, dadurch gekennzeichnet, daß das abhängige Tor dem Multiplizierer mit dem höchsten Multiplikationsfaktor zugeordnet ist.
- 15. Filter nach Anspruch 13 oder 14, dadurch gekennzeichnet, daß für den Adapter eine Anzahl von Torwiderständen untereinander gleich gewählt sind und die Anzahl der Multiplizierer dementsprechend geringer gewählt ist.
- 16. Filter nach einem der Ansprüche 1 bis 4, dadurch gekennzeichnet, daß die laufzeitbehafteten Eintor- und Zweitorschaltungen in Abtasttechnik ausgeführt sind.
- 17. Filter nach einem der Ansprüche 1 bis 11, dadurch gekennzeichnet, daß die laufzeitfreien Mehrtorschaltungen in Abtasttechnik ausgeführt sind.
Priority Applications (24)
Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
---|---|---|---|
DE2027303A DE2027303C3 (de) | 1970-06-03 | 1970-06-03 | Filter mit frequenzabhängigen Übertragungseigenschaften für elektrische Analogsignale |
GB1525071*[A GB1355525A (en) | 1970-06-03 | 1971-05-17 | Digital filters |
CH759271A CH551719A (de) | 1970-06-03 | 1971-05-24 | Filter mit frequenzabhaengigen uebertragungseigenschaften fuer elektrische signale, die in digitalform vorliegen. |
AT473271A AT318710B (de) | 1970-06-03 | 1971-06-01 | Filter mit frequenzabhängigen Übertragungseigenschaften für elektrische Analogsignale |
FI1512/71A FI59004C (fi) | 1970-06-03 | 1971-06-01 | Filter med frekvensberoende oeverfoeringsegenskaper foer elektriska analogisignaler |
FR7119759A FR2095736A5 (de) | 1970-06-03 | 1971-06-01 | |
YU01411/71A YU141171A (en) | 1970-06-03 | 1971-06-01 | Filter with frequency dependent transmission properties for electric analog signals |
LU63259D LU63259A1 (de) | 1970-06-03 | 1971-06-01 | |
SE7107103A SE372154B (de) | 1970-06-03 | 1971-06-02 | |
NLAANVRAGE7107571,A NL168379C (nl) | 1970-06-03 | 1971-06-02 | Digitaal golffilter. |
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