DE2027303B2 - Filter mit frequenzabhängigen Übertragungseigenschaften für elektrische Analogsignale - Google Patents

Description

Die Erfindung bezieht sich auf ein Filter mit frequenzabhängigen übertragungseigenschaftem für elektrische Analogsignale, die in quantisierter oder codierter Form, z. B. in PAM'Signalform, in PCM-Sjgnalform oder als Pulsdeltamodulationssignal vorliegen.

PAM-Signalform bedeutet in diesem Zusammenhang, tergrundschaltung, die die gewünschten frequenzdaß das Signal in Form von Abtastimpulsen des abhängigen Übertragungseigenschaften aufweist, vor-Analogsignals vorliegt, in deren Amplitude der zu zugsweise einer Abzweigschaltung, die reaktiven Zweiverarbeitende Informationsgehalt gegeben ist, während polschaltelemente dieser Grundscbaltung (Induktivität, PCM-Signalform bedeutet, daß der Informations- 5 Kapazität) als laufzeitbehaftete Eintorschaltungen und gehalt der einzelnen Abtastprobe des Analogsignals Leitungselemente als laufzeitbehaftete Zweitorschaldurch ein Codewort zum Ausdruck gebracht ist, tungen, vorzugsweise in Abtasttechnik, ausgebildet welches nach den Grundsätzen der Pulscodemodu- sind, die nichtreaktiven Zweipolschaltelemente dteser lation gestaltet ist. Pulsdeltamodulationsform bedeutet Grundschaltung (Widerstand, Leerlaufwiderstand, in diesem Zusammenhang, daß das Signal aus einer io Kurzscblußwiderstand, widerstandsfreie und widerbinären Impulsfolge besteht, die die Änderungen der standsbehaftete Quelle) als laufzeitfreie Emtorschal-Analogsignalabtastwerte überträgt. Auch Mischfor- tungen und die nichtreaktiven Mehrtorelemente (Transmen dieser Modulationen, wie Delta-PCM sind mög- formator, Gyrator, Zirkulator) als laufzdtfreie Mehrlich und für die Erfindung in Betracht gezogen. torschaltungen, vorzugsweise ebenfalls in Abtast-

Bekanntlich sind die Übertragungseigenschaften von 15 technik, ausgebildet sind, und daß zur Zusammen-Filtern sehr empfindlich gegen Variationen der schaltung der Tore der Torschaltungen Adapter vorKoeffizienten ihrer Übertragungsfunktion. Während gesehen sind, über die die Torwiderstände der zudieser Umstand für LC-Filter nur ein Berechnungs- sammengescbalteten Tore aneinander angepaßt sind, problem darstellt (die Empfindlichkeit gegenüber Bei der Erfindung wird von einer völlig neuen BeElement-Variationen ist bei gewöhnlichen Abzweig- 20 trachtimgsweise der Rechnerfilter ausgegangen, die es filtern ziemlich klein), stellt er beim Entwurf digitaler ermöglicht, Schaltungen anzuv.cnden, deren Toleranz-Filter ein Schwierigkeiten bereitendes R^lisierungs- empfindlichkeit wesentlich geringe« ist als die der bisproblem dar. her verwendeten Schaltung. Vor allem ^nd dies die

Digitale Filter sind bisher derart gebaut worden, resistiv abgeschlossenen, sogenannten Abzweigschaldaß man Strukturen verwendete, deren Elemente- 25 tungen, die für Filter mit konzentrierten Induktivitäten (Multiplikator-) Werte unmittelbar von der gegebenen und Kapazitäten weit verbreitet sind. Man kann damit Übertragungsfunktion bestimmt sind (Lit. 1 bis 5). für Digitalfilter bzw. Rechnerfilter, die gute Sperr-Ein offensichtlicher Vorteil einer solchen Prozedur ist bereichunempfindlichkeit von Abzweigschaltungen erdie Tatsache, daß sie keine komplizierten Realisierbar- reichen, zusammen mit der guten Durchlaß-Unempkeitstheorien oder längliche numerische Berechnungen 30 findlichkeit, welche LC-Filter, die mit Widerständen erfordert, wie dies bei der Betriebsparameter-Synthese abgeschlossen sind, bekanntlich infolge der Tatsache konventioneller LC-Filter der Fall ist. Der Vorteil muß haben, daß ihre Betriebsdämpfung niemals negativ jedoch durch den Nachteil erkauft werden, daß diese werden kann. Durch die Erfindung wird es ermöglicht, digitalen Filterstrukturen eine sehr hohe Empfindlich- digitale Filter entsprechend den Strukturen zu entkeit ihrer Übertragungseigenschaften gegenüber EIe- 35 werfen, welche sehr nahe denjenigen verwandt sind, mentevariationen aufweisen. Im Falle einer digitalen die für die Realisierung sogenannter Einheitselement-Realisierung bedeutet dies nicht nur eine Abweichung Filter verwendet werden. Da Filter dieses letztgenannder tatsächlichen Frequenzcharakteristik von der ge- ten Typs in solcher Weise gebaut werden Können, daß wünschten infolge von Koeffizientenabrundung, son- sie alle die obengenannten Erfordernisse erfüllen, gilt dem auch ein gewisses Geräusch infolge der bei den 40 dasselbe auch für die entsprechenden digitalen Filter, einzelnen Rechenschritten entstehenden Rundungs- Die Theorie der Einheits-Element-Filter ist wohlbefehler (Lit. 6 bis 9). kannt und ähnlich der Theorie der klassischen LC-

Der übliche Weg, diese Schwierigkeit zu überwinden, Filter.

besteht darin, die gegebene Übertragungsfunktion zu- Ein besonderer Vorteil der erfindungsgemäßen FiI-

erst zu faktorisieren und das Filter dementsprechend 45 terschaltungstechnik besteht weiterhin darin, daß auch

als eine einfache Kaskadenschaltung von Gliedern Gyratoren und Zirkulatoren in derselben Art und

ersten und zweiten Grades zu realisieren. Weise und mit derselben Leichtigkeit realisiert werden

Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, die bei können, wie reziproke Elemente und daß keine Beden bekannten Schaltungen der einleitend geschilder- schränkung etwa dahingehend gegeben ist, daß, wie ten Art vorhandenen Toleranzschwierigkeiten wenig- 5° bisher üblich, nur Strukturen mit geerdeten Einheitsstensauf ei η erträgliches Maß zu reduzieren. Dies läuft elementen verwendet werden können. Weiterhin ist letztlich darauf hinaus, die Anzahl der in dem Filter, der wesentliche Vorteil gegeben, daß ein erfindungsdas auch häufig als Rechnerfilter bezeichnet wird, be- gemäßes Reciinerfilter eine wesentlich reduzierte Bitnötigten Multiplikationsstufen so gering wie möglich zahl, welche für die Berechnungskoefiizienten benutzt zu halten. Jede Multiplikation bringt nämlich eine 55 werden müssen, aufweist, im Vergleich zu bekannter Erhöhung der Stellenzahl, bezogen auf das jeweilige Rechnerfiltern.

Ergebnis mit sich, und will man nicht Multiplikatoren Nachstehend wird die Erfindung an Hand einer Ab-

mit wirtschaftlich untragbaren Stellenzahlen verwen- leitung der allgemeinen Theorie und an Hand von

den, so ist man gezwungen, die Ergebnisse entspre- Ausführungsbeispielen näher erläutert. Die schaltungs-

chend zu !kürzen bzw. abzurunden, was letztlich einer 60 technische Ausführung, vor allem der zur Anwendunf

Reduzierung der Genauigkeit des erzielten Ergebnisses kommenden Laufzeitglieder, Speicher, Addierer und

bedeutet. Multiplizierer wird nicht näher behandelt, da diese ar

Ausgehend von einem Filter mit frequenzabhängigen sich bekannt ist, z. B. durch die angegebenen Literatur

ÜbertragiingseigenscMten für elektrische Analog- stellen. Die Ausfuhrungsbeispiele sind dabei auf dii

signale, die in quantisierter oder codierter Form vor- 65 Zeichnung bezogen, deren Figureninhalt wie folgt ist

liegen, bei dem die Bauelemente durch Torschaltungen F i g. 1 Strom-Spannungs-Flußdiagramm für eint

realisiert sind, wird disse Aufgabe gemäß der Erfin- Induktivität im ^-Bereich,

dung dadurch gelöst, daß, ausgehend von einer LC-FiI- Fig. 2 a Induktivität der Impedanz φ R;

5 6

Fig. 2b ihr stationäres Wellenflußdiagramm, be- Fig. 22c das zugehörige Wellenflußdiagramm.

stehend aus einer Transmittanz —l/z; F i g. 23a Ein unilaterales Altpaßglied erster Ord·

F i g. 2c ihr momentanes Wellenflußdiagramm, be- nung;

stehend aus einer Verzögerung Γ und einem Vor- F i g. 23b das zugehörige Wellenzweitor.

zeiehen-Inverter. 5 F i g. 24a Ein unilaterales Allpaßglied zweiter Ord·

Fig. 3a Kapazität der ImpedanzRjtp; nung;

Fig. 3 b ihr stationäres Wellenflußdiagramm, be- Fig. 24b das zugehörige Wellenzweitor.

stehend aus einer Transmittanz l/z; F i g. 25a Ein abgeschlossener unilateraler Allpaß;

Fig. 3c ihr momentanes Wellenflußdiagramm, be- Fig. 25b das entsprechende Wellenflußdiagramm

stehend aus einer Verzögerung T. io F i g. 26a Filter, bestehend aus einer Kette von drei

Fig. 4a Widerstand R; Einheitselementen;

Fig. 4b sein Wellenflußdiagramm, bestehend aus Fi g. 26b das entsprechende Wellenflußdiagramm

einer Wellensenke. F i g. 27a Bandpaßfilter, bestehend aus einem Reak-

Fig. 5a Leerlauf; tanzzweitor in Kette mit drei Einheitselementen; Fig. 5b sein Wellenflußdiagramm. 15 Fig. 27b die zugehörige Einheitselement-Abzweig- Fig. 6a Kurzschluß; struktur; Fig. 6b sein Wellenflußdiagramm. F i g. 27c Wellenflußdiagrnmrn, abgeleitet au: Fig. 7a Idealer Transformator vom Verhältnis Fig. 27b.

—1/1; Wenn erforderlich, wird in den Zeichnungen dei

Fig. 7b sein Wellenflußdiagramm. ao Torwiderstand entweder unter der unteren Tor- Fig. 8 a Gyrator mit Gyrationswiderstand K; klemme oder wenigstens in ihrer Machbarschaft ange- Fig. 8b sein Wellenflußdiagramm. schrieben.

F i g. 9 a Dreitor-Zirkulator mit Zirkulationswider- Allgemeine Grundlagen stand R;

Fig. 9 b sein Wellenflußdiagramm. »5 Betrachten wir zuerst ein gewöhnliches LC-Abzweig- F i g. 10a Einheitselement mit Verzögerung Γ/2 und Filter. Seine Übertragungsfunktion H(p), welche eine

Wellenwiderstand R; rationale Funktion der komplexen Frequenz-Varia-

F i g. 10b sein Wellenflußdiagramm. blen/> ist, entspricht einer einzigen Differentialglei·

Fig. 11a Quelle mit Spannung e in Reihe mit dem chung zwischen der Eingangsvariablen χ und der Aus-Widerstand R; 30 gangsvariablen;'. Anstatt eine LC-Struktur zu ver-

F i g. 11b und c zwei äquivalente Darstellungen des wenden, würde es theoretisch möglich sein, diese

zugehörigen Wellenflußdiagramms. Differentialgleichung direkt auf einem Analogrechnei

Fig. 12a Eine Spannungsquelle der Spannung e; zu realisieren, in welchem Fall die Koeffizienten vor

F i g. 12b ihr Wellenflußdiagramm. H(p) alle einer Multiplikation mit einer Konstanter F i g. 13a Eine Stromquelle vom Strom«?//?; 35 entsprechen würden. In Wirklichkeit würde eine solche Fig. 13 b ihr Wellenflußdiagramm. Prozedur völlig unpraktisch sein, da für gute Filter die F i g. 14a Zusammenschaltung von zwei Toren mit Koeffizienten von //(/>) mit extremer Genauigkeit be- Torwiderständen R₁ bzw. /?,; kannt sein müssen, damit die Nullstellen und Pole vor F i g. 14b schematische Darstellung des zugehörigen H(p) und damit das tatsächliche Übertragungsver Wellenzweitors (Zweitoradapter). ♦<> halten mit einer nui milden Genauigkeit bestimmt sind. Fig. 15 Eine mögliche Realisierung des Zweitor- Trotz dieser Schwierigkeit existieren aber bekanntlict

adapters von F i g. 14b, die nur einen Multiplizierer α geeignete LC-Filter, und zwar recht komplizierte. Die;

erfordert. ist dadurch begründet, daß bei den gewöhnlicher

Fig. 16a Tiansformator mit Übersetzungsverhält- LC-Filtern in Abzweigstruktur die Empfindlichkeiter

nis n/l > 0; 45 gegenüber Element-Variationen sehr viel kleiner sind

F i g. 16b seine Realisierung unter Verwendung der Mathematisch ist dies mit der Tatsache verknust, daC Beziehung η - Ä,/Ä_s- ^eine Abzweigstruktur nicht vollständig von einer ein- F i g. 17a Parallelschaltung von η Toren mit Tor- zigen Differentialgleichung beschrieben werden kann

widerständen K₁, Ä„ ..., bzw. R_n; sondern am durch ein System von IHfferentiaJgleichun

F i g. 17b schematische Darstellung des entspre- 50 gen, deren detaillierte Struktur nicht nur dem Ei»

cfaenden Wellen «-Tores (n-Tor-Paralleladapter). gangs/Ausgangsverhalten entspricht, sondern aucl

Fig. 18 Wellenflußdiagramm, das einem Dreitor- die genaue Topologie des tatsächlichen Netzwerke: ParaKciadapter entspricht, bsi dem Tor 3 das ab- wiedergibt. Die geringe Toteranzempfindlichkeit je

hängige Tor ist. sisiiv abgeschlossener Abzweigschaltungen bringt es

Fig. 19a Reihenschaltung von η Toren mit Tor- 55 auf diese Weise mit sich, daß die Empfindlichkei

widerständen Ä„ R* ..., bzw. Kn; gegenüber Variationen der Koeffizienten in dem obet

F ig. 19 b schematische Darstellung des entsprechen- erwähnten System von Differentialgleichungen sehi

den WeÜen-n-Tores (n-Tor-Reihenadapter). viel geringer ist als die Empfindlichkeit gegenübei

Fig. 20 Ein Wellenflußdiagramm entsprechend Variationen der Koeffizienten in d« Gesamt-Differen

einem Dreitorreihenadapter, mit Tor 3 als abhängigem 60 tialgleichung, die man erhält, nachdem man alle in

Tor. ternen Variablen eliminiert hat. Diese Besonderheit« Fig. 21 a Ein Reihenresonanzkreis; sind natürlich auch eng mit der Tatsache verknüpft F i g. 21b eine äquivalente Schaltung mit zwei Ein- daß Filterberechnungen sehr häufig mit einer groß«

beätselementen; Zahl von Stellen ausgeführt werden müssen, um zi

Fig. 21c das entsprechende Weflenflußdiagramm. 65 einer Stellenzahl für die Elemente-Werte zu gelangen F i g. 22a Ein Parallel resonanzkreis; welche gerade innerhalb der Möglichkeiten der techno Fig. 22b eine äquivalente Schaltung davon mit logischen Realisierbarkeit liegen,

zwei Emheitselementen; Für digitale Filter ist die Situation sehr ähnlich mi

Ausnahme der Tatsache, daß das numerische Problem, V — Ψ RI, wo R eine positive Konstante ist. Wegef das wir soeben beschrieben haben, auch ein Realisie- (2.1) würde dies eine entsprechende Differenzgleichunf rungsproblem darstellt und zwar infolge des früher erwähnten Koeffizientenabbruchs und der Rundungs- v(nT) + ν [(« - 1) T] = {i(nT) - i [(« - 1) T)} R, fehler-Fortpflanzung. Die Übertragungsfunktion M 5 (2.3) kann nun als eine rationale Funktion der Variablen

2 = ei>^T ^schrieben werden wo F= 1/7" die Betriebs- erfordern, die zeigt, daß die Berechnung von ν zurr frequenz des Filters darstellt. Diese Übertragungs- Zeitpunkt / = nT nicht nur die Kenntnis von ν und ι funktion entspricht einer einzigen Differenzenglei- im vorangegangenen Abtastzeitpunkt erfordert, sonchung zwischen der Eingangs- und der Ausgangs- io dem auch im gegenwärtigen Zeitpunkt. Also würde Variablen. Auch hier kann jedoch im hohen Grade jedec Flußdiagramm, das Gleichung (2.3) darstellt eine Verbesserung erreicht werden, indem man die ein- z. B. das in F i g. 1 gezeigte, einen verzögerungsfreier zige Differenzgleichung in ein geeignetes System von Pfad enthalten, der vom Eingang zum Ausgang führt, Differenzengleichungen umformt. Eine Möglichkeit, Dasselbe gilt für das Stromspannungs- oder Spansolches zu tun, entspricht der gewöhnlichen Faktori- 15 nungsstromflußdiagramm aller anderen Elemente sierung von H und der nachfolgenden Realisierung mit Also würde die Verbindung von Elementen unweiger-Hilfe einer einfachen Kaskade von Gliedern niederer lieh zu verzögerungsfreien Rückkopplungsschleifer Ordnung. Das Verfahren, das beschrieben wird, ent- führen und auf diese Weise jede physikalische Ausspricht dem Versuch, ein System von Differenzglei- führung unmöglich machen.

chungen zu finden, das in einer gewissen Weise ein ao Es stellt sich heraus, daß dieses Dilemma vermieder klassisches abgeschlossenes Abzweigfilter strukturell werden kann, indem man alle Signalflußdiagramme imitiert. Die Analogie mit der obigen Diskussion des nicht auf Spannungen und Ströme gründet, sondern klassischen Filterentwurfsproblems zeigt, daß eine auf Wellengrößen. Dabei kann man gleichgültigerweise Lösung, die man auf diese Art erreicht, gewiß eine be- Spannungs- oder Stromwellen verwenden. Wir verträchtliche Verbesserung darstellen muß. as wenden hier eine Beschreibung durch Spannungs-In jedem Falle wird man jedoch die Zahl der Multi- wellen. Wie wir kurz in dem Unterabschnitt »Zusamplizierer so klein wie möglich halten wegen ihrer menschaltung von Toren/Einfache Änderung des relativ f-ohen Kosten, während Addierer großzügiger Referenzwiderstandes« diskutieren werden, würde die verwendet werden können. Verwendung von Leistungswellen weniger angemessen Um zu garantieren, daß eine Struktur als digitales 30 sein, da dies eine größere Anzahl erforderlicher MultiFilter realisiert werden kann, muß immer die folgende plmerer zur Folge hätte. Wenn Wellen verwendet wer· Bedingung erfüllt sein: Jede Rückkopplungsschleife, den. werden wir gewöhnlich von Wellenflußdiagramdie in dem Signalflußdiagramm enthalten ist, das die men sprechen, an Stelle von Signalflußdiagrammen. Struktur beschreibt, muß wenigstens ein Verzöge- Ebenso bezeichnen wir die Filter, die wir hier berungselement enthalten, d. h. sie darf nicht verzöge- 35 schreiben, in angemessener Weise als Wellendigitalrungsfrei sein. Man überzeugt sich leicht, daß diese filter. Ein Wellenflußdiagramm, welches die obener-Regel immer erfüllt ist bei allen digitalen Filter- wähnte Regel erfüllt, werden wir realisierbar nennen; strukturen, die bislang bekannt sind. Eine Verletzung andernfalls soll es unrealisierbar genannt werden,
dieser Regel würde bedeuten, daß es unmöglich wird, Wie wir später sehen werden, erfordern Welleneine Folge zu finden, in der die verschiedenen Rechen- 40 digitalfilter gewöhnlich zwei verschiedene Folgen von schritte ausgeführt werden können. Zeitpunkten, zu denen das Filter in Arbeitsfunktion Als Frequenzvariable, die geeignet ist, die Analogie ist. Diese beiden Folgen gehen durch Zeitverschiebung mit der Theorie der Einheitselementfilter herzustellen, um ein Intervall 7"/2 ineinander über. In jedem Fall werden wir die »komplexe Frequenz« φ einführen, die wird es oft notwendig sein, Differenzgleichungen zu definiert ist durch 45 schreiben, ohne anzunehmen, daß einer der Pulse dei

Zeitfolge zur Zeit t - 0 auftritt. In der Diskussion der

Elemente und Quellen, die im nächsten Abschnitt

— tanhio772} _ ^ ~~ ^{e pT} η η durchgeführt ist. wird deshalb eine allgemeine Zeit-

™ "" 1 -j. e vT ' ' variabler verwendet, d.h. es wird kein Bezug ge-

50 nommen auf irgend einen besonderen Zeitpunkt, zu

dem ein Puls auftritt.

und die auch z. B. in der Theorie der Netzwerke mit

Resonanzübertrag verwendet wird. Für ρ =;ω kön- Elemente und Quellen nen wir also schreiben

55 In diesem Abschnitt werden wir Wellenflußdia

<ρ = /φ φ = tan (ω Γ/2) (22) gramme für verschiedene Elemente und Quellen, d«

" " verwendet werden, ableiten. Wenn immer es möglich

ist, werden die erforderlichen Wellengrößen mit Hilfe

Die Wahl von Ψ als Frequenzvariable scheint die eines Torwiderstandes definiert werden, der gleich isi einzig angemessene für unser Problem zu sein. Diese 60 der Widerstandskonstanten R, die in der Definition Wahl hat eine unmittelbare Konsequenz, die wir gleich des Elementes oder der Quelle, die wir betrachten, aof diskutieren werden. tritt. Auf diese Art and Weise werden die Wellen-Wenn wir als Signalgrößen im Flußdiagramm die gleichungen die Konstante R ntcfct mehr enthalten üblichen Spannungen und Ströme verwenden, wird es Wir werden in den Abschnitten »Zusammenscnalttmf unmöglich, die soeben angegebene Regel einzuhalten, 65 von Toren« und »Realisierung von Schaltungen« sehen, die die Rückkopplungsschleifen betrifft. Um dies zu weiche Konsequenzen dies hat, wenn Elemente und zeigen, betrachten wir ein willkürliches Element, z. B. Quellen verbunden werden, um die gegebenen Filtereine Induktivität; die zu realisierende Gleichung ist diagramme zu erhalten.

Induktivitäten ^tane Größen schreiben. Es ist augenscheinlich, daß

die entsprechenden Gleichungen für stationäre Größen

Die stationäre Spannungsstrombeziehung, die wir gleiche Struktur haben.
realisieren wollen, ist (F i g. 2 a)

γ _ yy nj (3,1) ⁵ Widerstand

wo R eine positive Konstante ist Wenn wir Gleichung Die Gleichung, die zu realisieren ist, ist (F i g. 4a)

(2,1) benutzen, kann Gleichung (3.1) geschrieben _v _. _Rj

werden

1 ίο d. h. indem wir Gleichung (3.5) benützen,

wo , * „MM* «*, « durch ^S^LSS^TST. t? wie""

2 = eP^T (3.3) 15 Fig. 4b gezeigt.

wo Leerlauf

A = V + Rl und B = K - Ri (3.4a,b)

_haben . _{= Q (p} . _{g 5a)} ^

die einfallende bzw. die reflektierte Welle sind. Die kürlichen positiven Konstante A und indem wir

momentanen Werte α = a{t) und b = (t) dieser WeI- ao Gleichung (3.5) benutzen, erhalten wir

len sind mit den Momentanwerten der Spannung b = a (3 12)
ν = ν(ί) und des Stroms /(O = i verbunden durch

. _D. , „. ,, _ςο .» Das Wellenflußdiagramm ist also eine einfache Ver-

a = ν + Ri, b = ν - Ri (3.5 a, b) _{bindung (F} ; _{g 5 b)}

Also ist die Differenzgleichung für α und b gegeben as Kurzschluß
durch

b(t) = — a(t — T); (3.6) Wir haben ν = 0 (Fig. 6 a). Also erhalten wir,

mit nachdem wir eine willkürliche positive Konstante R

a = A &>^T, b = B eP^T (3.7) gewählt haben und Gleichung (3.5) verwenden

³⁰ b = - a . (3.13)
Wo A und B angenommenerweise Konstanten sind,

ist die stationäre Lösung (3.6) in der Tat durch (3.2) Das Wellennußdiagramm besteht also aus einem

gegeben. Die Wellenfiußdiagramme, die (3.2) und (3.6) Vorzeicheninverter (F i g. 6b).
entsprechen, sind Weileneintore, die in F i g. 2b bzw.

2c dargestellt sind. Das erste besteht aus einer Trans- 35 Idealer Transformator

mittanz (Übertragungsfunktion), die gleich — l/z ist, _mit dem Übersetzungsverhältnis—1/1
und das zweite besteht aus einer Verzögerungszeit T

zusammen mit einem Vorzeicheninverter. Die Gleichungen, die zu realisieren sind (F i g. 7a),

40 /,_Ä/, V₁= -v₂.

Die stationäre Spannungsstrombeziehung, die realisiert werden soll, ist (F i g. 3a) Also erhalten wir, nachdem wir eine willkürliche

positive Konstante R gewählt haben und die Defini-

Ψ « _{ak = Vk + Rik}, b* = v_k- Ri_k (3.14a, b)

wo R eine positive Konstante ist. Mit (2.1), (3.3) und k = 1,2, (3.14c)

der Definition (3.4) kann (3.8) geschrieben werden verwenden,

h, = - O₁, i>₂ = - o, (3.15a, b)

1 ⁵°

B = — A, (3.9) Das Weflenfhißdiagramm ist also ein Wellenrweitoi

^Z (Fig. 7b).

Gyrator

Also ist die Differenzgleichung für die momentanen

Wellengrößen, welche in Gleichung (3.5) definiert sind, 55 Die Gleichungen, die realisiert werden müssen, sim gegeben durch (Fig. 8a)

b{t) = a(t-T); (3.1Oi P₁=-Kr₈, F₁=ZJi₁, (3.16a, b)

Diese Gleichung reduziert sich auf Gleichung (3.9), wo der Gyrationswiderstand R eine positive Kon

wenn wir von (3.7) Gebrauch machen. Die Wellenfluß- 60 stante ist. Mit der Definition (3.14) erhalten wir

diagramme sind die in Fig. 3b und 3c gezeigten _b _ __a 6. = U₁ (3.17a,b)

Wefleneitttore; sie bestehen aas den Transmhtanzenl/z *

bzw. einer Verzögerung T. Das entsprechende Wellenzweitor ist in F i g. 8 b gt

Elemente mit frequetizunabhängigem Verhalten _Kc

5 Zirkulator

Aus Gründen der Einfachheit werden wir alle

Gleichungen, die sich auf Elemente mit frequenz- Wir betrachten zunächst den Dreitorzirkulator vo

unabhängigem Verhalten beziehen, nur für momen- F i g. 9si, dessen Zirkulationswiderstand R eine pos

tive Konstant«! ist. Mit den Definitionen (3.14a, b) und mit k = I₁ 2 und 3 haben wir

A₁ = <t,, *, - O₁, b₃ - a_x. (3.18 a, b, c)

Das Wetlenflußdiagramm ist jetzt das Wellendreitor, das in Fig. 9b gezeigt ist. Es ist offenkundig, daß dieses Ergebnis einfach auf /i-Torzirkulatoren erweitert werden kann, in welchem Falle (3.18) verallgemeinert werden muß auf die Gleichungen

₁ = C_n, ft, =

Die stationären Spannungsstrombeziehungen, die realisiert werden sollen, sind (F i g. 10a)

U₁ -A_tu , o» - A₁

Vu u BK Ru — k = 1, 2 .

β, ο,
(3.20c)

Also sind die Differenzgleichungen für die Momentanwerte dei Wellen, die in Gleichung (3.14) definiert sind, gegeben durch

_W0 = a_At - Γ/2) (3.21a,b)

, „ι fj _ β „,.

³°

wo Ak und Bk Konstanten sind, ist die stationäre Lösung von (3.21) in der Tat durch (3.19) gegeben. Das (momentane) Wellenflußdiagramm ist jetzt das Wellenzweitcr, das in Fig. 10b gezeigt ist. Das stationäre Wellenflußdiagramm ist ähnlich, mit dem Unterschied, daß die Verzögerungen Tß durch die TransmittaniÄnz"¹'* ersetzt sind.

Im Symbol gemäß F i g. 10a ist die Verzögerung T/2 des Einheitsclements explizit angedeutet. Wir werden im folgenden dies unterlassen, da eine Verwechslungsmöglichkeit nicht besteht.

Quellen

Wir werden wieder unsere Betrachtungen auf momentane Größen beschränken, wie wir es in dem Unter- abschnitt »Widerstand« getan haben.

. . Resistive Quelle

Es genügt, eine Spannungsquelle der Spannung e = e(f) mit einem Serieninnenwiderstand Ä zu betrachten (P i g. lla). Die Gleichung, die Zu realisieren ist, lautet

e — ν + Ri,

d. h. indem wir Gleichung (3.5) benutzen

a = e

Das entsprechende Wellenflußdiagramm besteht aus einer Wellenquelle Ie, einem Addierer und einem

Vorzeicheninverter (F i g. 12b). _F„_r ^ _{innenlejtweftlose Stromquelle (F} j _g. ₁₃₎

erhall man in ähnlicher Weise a = 2e + b

wo die Intensität der Stromquelle gleich e\R gäwählt worden ist. Das entsprechende Wellenflußdiagrarmn ίο ist in Fig. 13b gezeigt.

Zusammenschaltungen von Toren

Schaltungen entstehen im Prinzip durch Verbindungen der Tore von Elementen und Quellen. Dabei entsteht eine Schwierigkeit in den Wellenflußdiagrammen, ^a 'ⁿ den meisten diskutierten Fällen nach Abschnitt Elemente und Quellen« der Torwiderstand R nicht willkürlich ist, sondern durch das Element oder durch die Quelle, zu der das Tor gehört, bestimmt ist Aus _{M diesem Grunde müssen wir eine} Möglichkeit haben, den Torwiderstand zu ändern, wenn wir Tore zusammenschalten. Dies wird erreicht mit Hilfe der verschiedenen Adapter, die wir sogleich diskutieren werden.

»5

Einfache Änderung des Referenzwiderstandes

ständen R₁ und R_t. Die Wellen sind mit den Strömen und Spannungen durch die Gleichungen

°^k ~ ⁿ ~ ^Rkik ' ^{bk = Vt} ~ ^Rkt* ^(41a' ^b) * = L² (^41c)

verbunden.

Wenn diese Tore einfach verbunden werden (F i g. 14a), haben wir

v, = V₁

i, = — i_t

(4.2 a, b)

Nach Elimination von v* und it aus den Gleichungen (4.1) und (4.2) erhalten wir auf diese Weise

A₁ = α, + « (a_t - O₁), b_% = C₁ + * (a_t - O₁) (4.3a,b)

_wo

« = (Λ, — RJI(R₁ +

(⁴·4)

55

Alsoist das Wellenflußdiagramm eine Wellenquelle; wir stellen sie dar, wie in F i g. 11 b uder c gezeigt &>

Die Lage ist etwas weniger einfach im Falle einer reinen Spannungsquefle, die innen widerstandslos ist Die Gleichung, die zu realisieren ist, ist in diesem Fall v — e — e{t); alfo haben wir, nachdem wir eine willkürliche positive Konstante R gewählt haben und d^:e Definition (3.5) benützen,

Diese Gleichungen definieren ein Wellenzweitoi, das wir einen Zweitor-Adapter nennen. Wir stellen e^c schematisch dar, wie in F i g. 14b gezeigt. Das Symboi innerhalb des Kastens bezieht sich auf den Umstand, daß sich in F i g. 14a in gewisser Weise sowohl auf eine Parallel- ate auch auf eine Setteäverbi&dueg bezieht (vgl. F i g. 17 und 19). Entsprechend Gietcbong (4.3) kann ein detailliertes Wellenflußdiagramm, das diesem Zweitor-Adapter entspricht, gezeichnet werden, wie in F i g. IS. Dieses Wellenfraßdiagranun erfordert nur einen Multiplizierer mit dem Faktor «. Es enthält einen Pfad, der von a_t nach b_t führt und auch einen Pfad, der von α, zu b_t führt, aber keine Rückkopplungsschleife. Indem wir Gleichung (4.3) in eine äquivalente Form umsetzen, können wir andere äquivalente Weilenflußdiagrainme erhalten. Jedoch enthalten nicht alle von diesen nor einen Multiplizierer. Gleichung (4.4) zeigt, daß für K₁ > 0 und R_x > 0 der Betrag / β / < 1 ist Andererseits gflt R₁IR₁ > 0, wenn die letzte Ungleichung erfüllt ist, wie man aus der Gleichung

2e - b .

R₁IR, = (1 + «)/(l - «).

ersehen 'Kann, Daraus folgt, daß wir dann stets A₈ > 0 haben, sobald Λ, > 0 ist und umgekehrt.

Die gerade zur Diskussion stehende Verbindung er^ laubt es und auch .den Vorteil deutlich zu machen, der aus der Verwendung von Spannungs- oder Stromwellen an Stelle von Leistungswellen resultiert. In der Tat würde eine allgemeine Darstellung der Streugleichungen gemäß Gleichung (4.3) folgendermaßen zu schreiben sein

b_t = «_ησ, +

(4.5 a, b)

wo die Streukoeffizienten untereinander durch die linearen Beziehungen

— Oc₁₁ = «₂₂ = 1 — «₁₂ = Ot₂₁ — 1 = ot

miteinander verbunden sind.

Wenn wir Leistungswellen verwendet hätten, könnten wir auch noch Gleichungen wie (4.5) schreiben. aber die Streuiioeffizienten würden dann miteinander durch die Beziehungen verknüpft sein:

«²11 +

= 1, «12 = «21, «π = ~~ ^α2

Da der erste dieser Ausdrücke nicht linear ist, würde es also nicht möglich sein, ein Wellenflußdiagramm von Gleichung (4.5) anzugeben, das nur einen einzigen Multiplizierer erfordern würde.

Als einfaches Anwendungsbeispiel betrachten wir die Realisierung eines Transformators mit dem Windungsverhältnis n/l (F i g. 16a). Wenn wir versuchen wurden, dies auf unmittelbarem Wege zu tun, wie wir es für die anderen Elemente im Abschnitt »Elemente und Quellen« getan haben, würden wir zwei Multiplizierer brauchen. Tatsächlich aber kann ein solcher Transformator als eine Kaskade zweier Gyratoren realisiert werden, die die Gyrationswiderstände R₁ bzw. R₂ haben, dergestalt, daß η = R₁IR₁. Auf diese Weise erhalten wir das Wellenflußdiagramm der Fig. 16b, wobei wir von dem Ergebnis von F i g. 8 Gebrauch gemacht haben und wo einer der Widerstände R₁ und P₂ willkürlich gewählt werden kann. Um in Übereinstimmung zu sein mit unserer Annahme R > 0, die wir im Zusammenhang mit F i g. 8 gemacht haben, müssen wir jetzt annehmen, daß η > 0 ist; jedoch kann das entsprechende Resultat für η < 0 auf einfache Weise mit Hilfe von F i g. 7 erhalten werden.

Parallelschaltung

Wir betrachten η Tore 1, 2, .... n, mit den Torwiderständen R₁, R₂, ... bzw. R_n. Die Wellen stehen mit den Spannungen und Strömen gemäß Gleichung (4.1a, b) in Beziehung, nur bedeutet jetzt £ = 1,2,.. .,n.

Wenn diese Tore parallel geschaltet werden (F i g. 17a), gilt

v, = v₂ = ... = V_n, Z₁ + /j f ... 4-1» = 0 (4.6a,b)

Wenn wir die v* und it aus den Gleichungen (4.1 a, b) und (4,6) eliminieren, erhalten wir

parallelen Linien innerhalb des Kastens auf die Parallelschaltung be7jeh;n.

Wenn wir Gleichung (4.7) als solche verwenden würden, würden wir zusammen η Multiplizierer gebrauchen. Tatsächlich haben wir

so daß eines der «*, sagen wir «n, eliminiert werden kann. Auf diese Weise kann Gleichung (4.7 b) geschrieben werden

A-I.

so daß wir nur noch η — 1 Multiplizierer brauchen; Tor η wird dann ein abhängiges Tor genannt. Die Zahl der Multiplizierer kann weiter reduziert werden, wenn einige der λ,_ε gleich sind, d. h., wenn einige von den Abgleich sind. Der Faktor 2, der in Gleichung (4.10) erscheint, erfordert keinen besonderen Multiplizierer, da eine Multiplikation mit zwei ein sehr elementarer Prozeß ist. Als Beispiel ist das ausführliche Wellenflußdiagramm für η = 3 gegeben, das entsprechend den Gleichungen (4.7a) und (4.10) in Fig. 18 dargestellt ist. Für jedes k = 1,2,3 enthält es einen Pfad, der von at ausgeht und nach 6* führt, aber es enthält keine Rückkopplungsschleife: diese Schlußfolgerungen bleiben offensichtlich gültig für willkürliche Werte von n. Wenn die Werte Gt gegebene positive Konstanten sind, stellt es sich heraus, daß alle α* ebenfalls positiv sind und Gleichung (4.9) gehorchen. Umgekehrt, wenn alle ix_k und eines der Gt, sagen wir G*', gegeben sind, kann das übrigbleibende Gk berechnet werden mit Hilfe der Beziehung

(4.7a, b)

die auf einfache Weise aus Gleichung (4.8) hergeleitet werden kann.

Wenn also Gk ebenso wie die Werte K₁, λ₂ ... Λ_η-ι positive gegebene Konstanten sind, und wenn «_n, das sich aus Gleichung (4.9) herleiten läßt, ebenfalls positiv ist, dann stellt sich heraus, daß alle Gj- positiv sind.

Wenn das Tor η ein abhängiges Tor ist, wie wir angenommen haben, so ist der Koeffizient λ« inplizit bestimmt durch die übrigen λ* durch die Gleichung (4.9).

Das heißt, wenn die Summe dieser verbleibenden Größen txk nahe bei 2 liegt, d. h. wenn «„ klein ist, kann er auf diese Weise nur mit einem großen Fehler bestimmt werden. Um die höchstmögliche Genauigkeit zu gewährleisten, sollte man deshalb als abhängiges Tor dasjenige wählen, dessen entsprechender Faktor <χ* am größten ist.

Reihenschaltung

Wir betrachten η Tore, wie in dem Unterabschnitt 4.2, aber wir schalten sie jetzt in Reihe (s. F i g. 19a). Wir haben dann

,·, = ,·„=...=,·„, v,-f V₂+... 4-v„ = 0. (4.11a, b)

Wenn wir die v* und 1* aus den Gleichungen(4.1a,b) und (4.11) eliminieren, erhalten wir

«* = 2GkKG₁ + G₈ +..., + G_n) <7* = I//?*. (4.8a,b) wo

bk — Qk — ßka₀, a„ — V au (4.12a, b)
ß_k = 2 RkI(R₁ 4- R_t + ... 4- R_n). (4.13)

Diese Gleichungen definieren ein Wcllen-n-Tor, das 65
wir einen Parallel-Adapter oder genauer einen M-Tor-Parallel-Adapter nennen. Wir stellen ihn schematisch, Diese Gleichungen definieren ein Wellen-«-Tor, das

wie in Fig. 17b gezeigt, dar, wobei sich die beiden wir einen Rüihen-Adapter oder präziser, einen «-Tor-

Reihen-Adapter nennen. Wir stellen es schematisch dar, wie in F ί g. 19b gezeigt. Das Symbol innerhalb des Kastens bezieht sich auf die Reihenschaltung.

Wenn wir Gleichung (4.12) als solche verwenden würden, würden wir wieder zusammen η Multiplizierer brauchen. In der Tat haben wir die Beziehung

ßi + ß, + ... + ßn = 2 , (4.14)

so daß eine der Größen ß_k, sagen wir ß„, eliminiert werden kann. Dies kann z. B. dadurch geschehen, daß wir G eichung (4.12) für die Indexwerte k = 1,2 .... n—l benützen und dann den Wert6_n mit Hilfe des Ausdruckes, den wir von (4.12) und (4.14) ableiten können,

n-l

berechnen; das Tor η wird dann wieder das abhängige Tor genannt. Die Zahl der Multiplizierer kann weiter reduziert werden, wenn einige der ß_k gleich sind, d. h. wenn einige der R_k gleich sind. Für die ß_k können ähnliche Bemerkungen gemacht werden, wie für die a* am Ende des Unterabschnittes »Parallelschaltung«.

Als Beispiel ist das ausführliche Wellenilußdiagramm für η = 3, das den Gleichungen (4.12a) und (4.15) entspricht, in Fig. 20 dargestellt. Für jedes k — 1,2,3 enthält es einen Pfad, der von a_k nach h_k führt, aber es enthält keine Rückkopplungsschleife; diese Schlußfolgerungen bleiben offensichtlich auch gültig für beliebige Werte von /1.

Man überzeugt sich leicht, daß für η = 2 der Parallel- ¹JDd der Reihen-Adapter äquivalent dem Adapter sind, der im Unterabschnitt »Einfache Änderung des Referenzwiderstandes« diskutiert worden ist.

35 Realisierung von Schaltungen

Allgemeine Grundlagen

In den Abschnitten »Elemente und Quellen« und »Zusammenschaltung von Toren« haben wir gesehen, wie verschiedene Typen von Elementen, Quellen und Adaptern gebaut werden können, die als Bausteine für die zu realisierenden Wellenflußdiagramme dienen. Beim Zusammenhalten dieser Bausteine müssen die folgenden Grundsätze beachtet werden:

1. Die Bausteine müssen Tor für Tor zusammengeschaltet werden, d. h., die zwei Wellenklemmen eines Wellentores müssen verbunden werden mit den zwei Wcllenklemmen von genau einem anderen Wellentor.

2. Für jedes Paar von Wellenklemmen, die verbunden sind, müssen die entsprechenden Wellen kompatibel sein, d. h., sie müssen in die gleiche Richtung fließen.

3. Die Regel, die in Abschnitt »Allgemeine Grundlagen« erwähnt ist, muß beachtet werden, d. h., das resultierende Wellenfiußdiagramm muli realisierbar sein.

Die ersten beiden dieser Grundsätze können offensichtlich relativ einfach befolgt werden. Der dritte hat jedoch weitreichende Konsequenzen. In der Tat haben wir gesehen, daß für jedes Tor eines Adapters stets ein innerer Pfad existiert, der von der einfallenden Welle zu der reflektierten Welle führt. Daraus folgt, daß wir ein Wellentor eines Adapters sicherlich immer mit irgendeinem der Welleneintore verbinden können, die in F i ε. 2c, 3c, 4b oder lic dargestellt sind, aber niemals mit den Zweitoren, die in den Fig. 5b, 6b, 12b oder 13b dargestellt sind. In ähnlicher Weise können wir immer mit einem solchen Tor eines der Wellentweitore, die in F i g, 10b dargestellt sind, verbinden, aber niemals einen anderen Adapter. Schließlich sind Wel'en weitore und Vieltore, wie die in den F i g. 7 b, 8b und 9b nur bedingt akzeptabel, d. h., sie verursachen nicht von vornherein das Auftreten verzögerung freier Rückkopplungsschleifen, sondern tun es nur in dem Falle, daß sie nicht geeignet an den verbleibenden Toren abgeschlossen sind. Aus dieser Diskussion können wir den Schluß ziehen, daß innerhalb der Theorie, die wir hier gegeben haben, zwei aufeinanderfolgende Adapter stets in der einen oder anderen Weise durch ein Wellenzweitor, das einem Einheitselement entspricht, getrennt werden müssen. Um die Konsequenzen dieser Schlußfolgerung zu prüfen, werden wir im Unterabschnitt »Realisierung von Reaktanzen« die Realisierung von Reaktanz-Eintoren studieren und in den Unterabschnitten »Realisierung von Allpaüschaltungen« und »Realisierung von Filterschaltungen« die Realisierung von Reaktanz-Zweitoren.

Wo immer es möglich ist, und insbesondere in allen Wellenfiußdiagrammen, werden wir ausschließlich momentane Wellengrößen wie a_k und bt benützen. Es ist klar, daß wir gleicherweise die komplexen Wellenamplituden A_k und B_k verwenden können, aber dann sollte eine Verzögerung T ersetzt werden durch eine IJoertragungsfunktion z~^l = e'^pT, und eine Verzögerung T/2 sollte ersetzt werden durch eine Übertragungsfunktion r"^{1 2}.

Realisierung von Reaktanzen
Reihenresonanzkreis

Wir nehmen an, daß der in Fig. 21 dargestellte Reihenkreis zu realisieren sei. Wenn er Bestandteil einer Reihenschaltung ist, für die ein Reihenadapter benutzt werden kann, dann gibt es keinerlei Probleme: Wir haben einfache zwei der Wellentore dieses Adapters durch Welleneintore abzuschließen, die einer Induktivität der Impedanz R'^XP und bzw. einer Kapazität der Impedanz R"\W entsprechen. Wenn jedoch der Reihenresonanzkreis in einen Querzweig geschaltet werden soll, was häufig geschieht, ist eine solche Realisierungsmethode nicht anwendbar, da sie eine unmittelbare Verbindung eines Reinenadapters mil eineiii Paralleladapter erfordern würde.

Diese Schwierigkeit kann vermieden werden, indem man von der Äquivalenz eines Reihenresonanzkreise! mit der Kettenschaltung zweier Einheitselemente Ge brauch macht, die an dem Ausgangstor 4 (F i g. 21b leerlaufen. Die charakteristischen Widerstände R₁ unc R₂ dieser Einheitselementc hängen mit den Größen R und R" über die Beziehungen

R₁^ R' + Ä", Ri = (A' ■+- R")R"IR'\ (5.1a, b)

zusammen. Die Wellen a„ b_u a, und b, sind für einei Torwiderstand A₁ definieit, während die Wellen O₃, b und O₄ und 6₄ für einen Torwiderstand R₂ definier sind. Infolgedessen muß im Wellenflußdiagramm enl sprechend Fig. 21 b ein Zweitor-Adapter benutz werden, um von Λ, zu Λ, überzugehen. Indem wir di Ergebnisse der F i g. 5, 10 und 14 verwenden und ar r.ehmen, daß die Wellen o, und ft, für einen Torwidei stand R₁ definiert bleiben, erhalten wir also ein Weiler flußdiagramm, wie in F i g. 21c dargestellt. Es erfoi

dert also nur einen Multiplizierer, der entsprechende Parameter« ist durch Gleichung (4.4) gegeben, d. h. wegen Gleichung (5.1), durch

(5.2)

Das Wellenflußdiagramm von F ί g, 21c kann offenlichtlich nicht nur für die Realisierung von Querzweigen verwendet werden, sondern auch in einer jeden Reihenanordnung. Es ist zwar richtig, daß es eine Rückkopplungsschleife enthält, aber dies macht es nicht unrealisierbar, da diese Schleife eine Verzögerung T umfaßt. Darüber hinaus ist eine jede zusätzliche Rückkopplungsschleife, die durch die Verbin dung der F i g. 21 c mit irgendeinem anderen Wellentor entsteht, ebenfalls zulässig, da sie notwendigerweise die beiden Verzögerungen Γ/2 enthält. man Viertor-Zirkulatoren an Stelle von Dieitor-Zirku latoren verwendet.

Einen Allpaß beliebigen Grades kann man aucl· dadurch erhalten, daß man Glieder erster und zweitei Ordnung in Kette schaltet. Da alle einzelnen Gliedei den gleichen Zirkulationswiderstand haben müssen sind in diesem Falle keine Adapter zwischen den Glie dem erforderlich. Schließlich gilt folgendes: Wenn dei zu realisierende Allpaß unilateral ist, und wenn wii mit ihm eine Quelle verbinden mit einem Widerstand R, und auch einen Lastwiderstand, ebenfalls vorn Widerstand R, dann zeigen die Ergebnisse nach den F i g. 11 und 4, daß kein Signal in den Rückwärtspfad fließt, so daß dieser einfach vernachlässigt werden kann. Ein Beispiel zeigt F i g. 25, wo R₁ und R₂ wieder durch Gleichung (5.1) gegeben sind.

Parallelresonanzkreis

Das Problem, einen Parallelresonanzkreis zu realisieren, ist in einem gewissen Sinne dual zu dem eben diskutierten Problem. Wir können uns deshalb hier sehr kurz ausdrücken und einfach auf Fig. 22 verweisen, die ohne weitere Erklärung verständlich sein dürfte. Die resultierenden Schlußfolgerungen sind dieselben. Man bemerke jedoch, daß die Gleichung (5.1) ersetzt werden müssen durch die Gleichungen

R₁ = R'R"I(R' + R"), A₂ = R"V(R' + R"), obwohl Gleichung (5.2) gültig bleibt.

30

Willkürliche Reaktanzen

Wie an sich bekannt, kuir. jer'e beliebige Reaktanz vom Grade η realisiert werden mit Hilfe einer entweder leerlaufenden oder kurzgeschlossenen Kette von λ Einheitselementen. Indem wir die Ergebnisse der Fig. 21 und 22 verallgemeinern, können wir leicht einsehen, daß ein Wellenflußdiagramm, das einer solchen Kette entspricht, stets mit Hilfe von η — 1 Zweitoradaptern realisiert werden kann, also η — 1 4» Multiplizierer erfordert. Ein solches Wellenflußdiagramm enthält stets η — 1 Rückkopplungsschleifen, von denen alle die Regel von Abschnitt »Allgemeine Grundlagen« erfüllen. Darüber hinaus bleibt es richtig, daß das Eingangswellentor willkürlich verbunden werden kann mit irgendeinem weiteren Wellentor, ohne diese Regel zu verletzen.

Realisierung von Allpaßschaltungen

Ein unilaterales Ailpaßglied vom ersten Grade kann stets mit Hilfe eines Dreitor-Zirkulators zusammen mit einer Kapazität oder einer Induktivität realisiert werden. Es genügt, wenn wir den ersten dieser beiden Fälle betrachten (F i g. 23a). Indem wir die Ergebnisse der F i g. 3 und 9 benützen, erhalten wir unmittelbar das entsprechende Wellenzweitor, das in Fig. 23b dargestellt ist; es enthält einen Zweitoradapter, erfordert also nur einen Multiplizierer.

Ein unilaterales Ailpaßglied zweiter Ordnung kann in ähnlicher Weise realisiert werden, indem wir z. B. von dem Resultat nach Fig. 21 Gebrauch machen. Dies führt zu dem Ergebnis gemäß F i g. 24, wo R₁ und R_t durch die Gleichung (5.1) gegeben sind. Es ist klar, daß die gleiche Prozedur verwendet werden kann für die Realisierung unilateraler Allpaßglieder beliebigen Grades, indem man entsprechende Reaktanzen höheren Grades verwendet. Schließlich können bilaterale Allpaßglieder stets erhalten werden, indem Realisierung von Filterschaltungen

Von der Theorie der Mikrowellenleitungsfilter ist es bekannt, daß man stets Filter auf diese Weise realisieren kann, daß man eine gewisse Zahl von. Einheitselementen mit verschiedenem Wellenwiderstand in Kette schaltet. Solche Filter führen immer zu realisierbaren Wellenflußdiagrammen. Wenn η die Zahl der Einheitselemente ist, ist die Zahl der erforderlichen Multiplizierer/1 + 1. Ein Beispiel zeigt Fig. 26.

Vcn besonderem Interesse sind in der Mikrowellentheorie allgemeinere Filter, die von einem Reaktanz-Zweitor in Kette mit einer genügend großen Zahl von Einheitselementen abgeleitet werden können. Indem man von den Äquivalenz-Transformationen nach K u r ο d a und Levy Gebrauch macht, können solche Strukturen in neue, andere Kettenstrukturen transformiert werden, die wir in folgendem Einheitselement-Abzweigstrukturen nennen, in denen Einheitselemente mit entweder Längs- oder Querreaktanzen abwechseln. Tatsächlich interessiert man sich im Bereich der Mikrowcllensthaltungen aus technologischen Gründen in erster Linie für solche Unterklassen dieser Strukturen, in denen nur Querreaktanzen auftreten. In unserem Falle existiert jedoch keine solche Beschränkung, da, wie wir im Abschnitt »Zusammenschaltung von Toren« gesehen haben, es ebenso einfach ist, Reihenschaltungen nachzubilden, wie Parallelschaltungen. Mit anderen Worten, jede Einheitselement-Abzweigstruktur führt zu einem realisierbaren Wellenflußdiagramm. Ein Beispiel entsprechend einem Bandpaßfilter ist in F i g. 27 gezeigt, R₇ und R₈ sind dabei durch Gleichungen entsprechend Gleichung (5.1) gegeben.

Wenn wir mit m die Zahl der reaktiven Elemente und mit η uie Zahl der Einheitselemente in der Einheitselement-Abzweigstruktur bezeichnen, ist die Zahl der erforderlichen Multiplizierer m + « + 1. Die Tatsache, daß wir auf diese Weise für jedes Einheitselement einen Multiplizierer aufwenden müssen, bedeutet jedoch nicht, daß dieser Aufwand zu keinem Filtereffekt führt. Tatsächlich können wir beim Entwurf des unrsprünglichen Filters stets vollen Gebrauch von den Filtereigenschaften machen, die den Einheitselementen inhärent sind (vgl. Fig. 26). Die Zahl m + n + 1 ist gewöhnlich auch gleich der Zahl der unabhängigen Koeffizienten in der Übertragungsfunktion (Transmittanz) des Netzwerkes. In diesem Sinne können wir sagen, daß die Zahl der Multiplizierer kanonisch ist.

Zu beachten ist, daß es keineswegs notwendig ist, zuerst explizit die zuerst genannte Struktur zu ent-

rfert, von der die Einheitselement-Abzweigstruktur »leitet worden ist, In der Tat kann der Syntheseweß in solcher Weise geführt werden, daß die 7.uit genannte Struktur unmittelbar erhalten wird.

Zusätzliche Bemerkungen

. Da ein Einheitselement zwei Verzögerungen T/2 erfordert, während eine Induktivität oder eine Kapazität nur eine Verzögerung T erfordert, mag es scheinen, daß ein Einheitselement aufwendiger xo zu realisieren ist. Tatsächlich muß jedoch eine Verzögerung Γ immer durch eine Kettenschaltung zweier Verzögerungen von der Größe T/2 realisiert werden, um eine Zwischenspeicherung möglich zu machen; dies ist notwendig, da der Einschreib- und Leseprozeß nicht gleichzeitig für ein einzelnes Speicherelement durchgeführt werden kann. Bei einem Einheitselement fällt jedoch der Schreib- und Leseprozeß niemals zusammen, da diese Prozesse immer einen zeitlichen Abstand T/2 haben; daher ist eine Unterteilung der Verzögerung T/2 nicht erforderlich. Wir schließen aus dieser Tatsache, daß für ein digitales Filter, das m reaktive Elemente und η Einheitselemente enthält, die Zahl der Verzögerungen T/2 (d. h. die Zahl der Speicherelemente), die erforderlich sind, gleich 2 (m + n) ist.

2. Im Abschnitt »Zusammenschaltung von Toren« haben wir gesehen, daß die Widerstände positiv bleiben, solange die Größen α, «*, ß_k gewisse sehr unkritische Bedingungen erfüllen. Aus diesem Grunde bleiben die Schaltungen stets passiv, mit Ausnahme bei extremen Abweichungen der Multiplizierer; insbesondere kann die Schaltung normalerweise nicht instabil werden, und die sehr geringe Empfindlichkeit gegenüber Elementevariationen, di·; in der Einleitung diskutiert worden ist, bleibt normalerweise erhalten.

3. Bisher haben wir stets vorausgesetzt, daß die Widerstandsparameter, die den verschiedenen Elementen entsprechen, stets positiv sind. Tatsächlich aber bleiben die verschiedenen Gleichungen, die wir abgeleitet haben, gültig, selbst wenn irgendeine Zahl dieser Widerstände negativ ist. Es ist allerdings richtig, daß in diesem Fall unser Argument, das die geringe Durchlaßbereichsempfindlichkeit gaicntiert, nicht notwendigerweise gültig ist. Es ist jedoch auch bekannt, daß in LC-Strukturen, insbesondere in LC-Abzweigstrukturen, negative Elemente erscheinen dürfen, die, sofern ihre Werte innerhalb gewisser Grenzen bleiben, die Gesamtstruktur passiv erhalten. Zu bemerken ist, daß Ungleichungen, wie

- l < et < \, 0 < tx_k < 2 , Q < ß_k < 2 ,

55

die früher stets gültig waren, keineswegs gültig sein müiisen, wenn einige der Rk negativ sind, und das gleiche gilt offensichtlich auch für die Schlußfolgerungen, die wir aus diesen Ungleichungen abgeleitet haben.

4. Da ein Einhejiselement einen Multiplizierer und zwei Verzögerungen T/2 erfordert, ebenso wie eine Induktivität extet eine Kapazität, sind seine Kosten im wesentlichen die gleichen. Es ist jedoch bekannt, daß das Filtervermögen eines in Kette geschalteten Einheitselements geringer ist als das eines quer- oder längsgeschalteten reaktiven Elementes, Aus diesem Grunde wird man interessiert sein, den Multiplizierer eines Einheitselementes möglichst einsparen zu können, ohne die Verzögerungen aufzugeben, da diese notwendig sind, um das Signalflußdiagramm realisierbar zu machen. Dieses Ziel kann erreicht werden, indem man den Wellenwiderstand eines Einheitselementes mit einem der anderen Widerstände gleichsetzt, die zu den angrenzenden Adaptern gehören. Wir haben in den Unterabschnitten »Parallelschaltung« und »Serienschaitung« in der Tat schon gesehen, daß es ein solches Vorgehen immer erlaubt, die Zahl der Multiplizierer, die erforderlich sind, zu reduzieren. Es ist natürlich richtig, daß dies darauf hinausläuft, auf die Filtereigenschaften des Einheitselementes vollständig zu verzichten, aber ein solches Vorgehen kann trotzdem wirtschaftlich sein, Es ist ebenso richtig, daß die klassischen Filterentwurfsmethoden in diesem Fall nicht mehr ohne weiteres angewendet werden können, da ■ rlche Methoden in der Praxis niemals von sich aus d';e erforderlichen Nebenbedingungen liefern. Aus diesem Grunde wird man eine geeignete Optimierung im Entwurfsverfahren vornehmen müssen.

5. Über die Elemente, die wir in dem Abschnitt »Elemente und Quellen studiert haben, hinaus ist es auch möglich, quasi-reziproke Leitungen (QUARL's) und die zugehörigen gyrierenden und zirkulierenden Bauelemente zu realisieren, die aus der Pesonanzübertragungstheorie bekannt sind. Es scheint jedoch, daß uns dies keinen Vorteil bringen würde, da der Gyrator und der Zirkulator, die im Unterabschnitt »Elemente mit frequenzunabhängigem Verhalten« behandelt worden sind, uns bereits größere Flexibilität bieten, doch kommt es auf den Einzelfall an.

6. Um ein digitales Filter zu realisieren, das ein LC-Filter nachbildet, mag man an das folgende Verfahren denken, das augenscheinlich viel einfacher ist als das oben beschriebene. Wir gehen von einem gegebenen abgeschlossenen verlustlosen Zweitor aus, das m Induktivitäten und Kapazitäten enthält und dazu eine gewisse Zahl nichtreaktiver Elemente. Wenn wir diese Induktivitäten und Kapazitäten entfernen, ebenso wie auch die Abschlüsse, dann bleibt ein frequenzabhängiges (m + 2) Tor übrig. Jedem Tor ordnen wir ais Torwiderstand den Widerstand des entsprechenden Elementes oder der entsprechenden Quelle zu. Dann drücken wir die m + 2 reflektierten Wellen durch die m + 2 einfallenden Wellen aus. Dadurch ist ein (m + 2)-Toradapter bestimmt, der im allgemeinen weder vom Parallelnoch vom Reihentyp ist. Nichtsdestoweniger enthält dieser keine inneren Rückkopplungsschleifen, so daß wir ein realisierbares Wellenflußdiagramm erhalten, indem wir seine Wellentore mit den Wcllentoren der einzelnen Elemente und der Quellen verbinden. Ein offensichtlicher Nachteil besteht jedoch darin, daß der (m + 2)-Toradapter im allgemeinen die große Zahl von {m + 2)^a Multiplizierer erfordert. Trotzdem kann ein solches Vorgehen nützlich sein, um kleinere Untereinheiten einer größeren Struktur zu synthetisieren. Im Prinzip kann dieses Verfahren auch angewendet werden, wenn das Zweitor auch Widerstände enthält, obwohl dieser Fall von geringerer praktischer Bedeutung ist.

7. Alle Zweitore, die wir bisher behandelt haben, betreffen Filter, die auf beiden Seiten resistiv abgeschlossen sind. Es sollte jedoch klar werden, daß dieselben Grundsätze auch angewendet werden können, um digitale Filter zu entwerfen, die klassische Leerlauf- oder Kurzschlußfilter nachbilden.

8. Digitale Wellenfilter können in gleicher Weise wie konventionelle Filter in entsprechende digitale JV-Pfacl-Filter transformiert werden, indem man zu jeder Verzögerung T/2 eine Verzögerung (N-I)TfI addiert, während zur gleichen Zeit die Taktfrequenz des Filters gleich F bleibt.

Hierzu 10 Blatt Zeichnungen

Claims (17)

1. Patentansprüche:

   J, Filter mit frequenzabhängigen Übertragungseigenschaften für elektrische Analogsignale, die in quantisierter oder codierter Form vorliegen, bei dem die Bauelemente durch Torschaltungen realisiert sind, dadurch gekennzeichnet, daß, ausgehend von einer LC-Fütergrundschaltung, die die gewünschten frequenzabhängigen Übertragungseigenschaften aufweist, vorzugsweise einer Abzweigschaltung, die reaktiven Zweipolschaltelemente dieser Grundschaltung (Induktivität, Kapazität) als laufzeitbehaftete Eintorschaltungen und Leitungselemente als laufzeitbehaftete Zweitorschaltungen ausgebildet sind, die nichtreaktiven Zweipolschaltelemente dieser Grundschaltung (Widerstand, Leerlau^fwiderstand, Kurzschlußwiderstand, widerstandäfreie und widerstandsbehaftete Quelle) als laufzeitfreie Eintorschaltungen und die nichtreaktiven Mehrtorelemente (Transformator, Gyrator, Zirkulator) als laufzeitfreie Mehrtorschaltungen ausgebildet sind, und daß zur Zusammenschaltung der Tore der Torschaltungen Adapter vorgesehen sind, über die die Torwiderstände der zusammengeschalteten Tore aneinander angepaßt sind.
2. 2. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die als Induktivität wirkende laufzeitbehaftete Eintorschaltung aus der Reihenschaltung eines Speichergliedes und eines Vorzeicheninverters besteht (Fig. 2).
3. 3. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die als Kapazität wirkende laufzeitbehaftete Zweipolschaltung aus einem Speicherglied besteht (F i g. 3).
4. 4. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die als Leitungsetement wirkende laufzeitbehaftete Zweitorschaltung aus zwei Übertragungswegen gegensinniger Übertragungsrichtung besteht und in jedem der beiden Übertragungswege ein Speicherglied mit einer Speicherzeit eingeschaltet ist, die der Hälfte der geforderten Gesamtlaufzeit entspricht (F i g. 10).
5. 5. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die als Widerstand wirkende laufzeitfreie Eintorschaltung als Absorber ausgebildet ist (F i g. 4).
6. 6. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die als Leerlaufwiderstand wirkende laufzeitfreie Eintorschaltung als Zweipol ausgebildet ist, der in ihn eingespeiste Wellen phasengleich reflektiert (F i g. 5).
7. 7. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die als Kurzschlußwiderstand wirkende laufzeitfreie Eintorschaltung als Zweipol ausgebildet ist, der einen Vorzeicheninverter für am Zweipol reflektierte Wellen enthält (F i g. 6).
8. 8. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die als Gyrator wirkende laufzeitfreie Mehrtorschaltung als Zweitorschaltung ausgebildet ist, bei der in den Übertragungsweg für reflektierte Wellen ein Vorzeicheninverter eingeschaltet ist (F i g. 8).
9. 9. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die als Zirkulator wirkende Mehrpolschaltung eine wenigstens drei Tore aufweisende Mehrtorschaltung ist, bei der eine derartige

   Reihenschaltung der Anschlußklemmen der einzelnen Tore vorgesehen ist, daß der für die Welleneinspeisung in ein Tor maßgebliche Anschluß in den Anschluß des nächsten Tores übergeht, aus dem in diesem Tor Wellen austreten (F i g. 9).
10. 10. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die als Transformator wirkende laufzeitfreie Mehrtorschaltung für den Fall eines Übersetzungsverhältnisses von —1/1 aus einer Zweitorschaltung besteht, bei der in die beiden Übertragungswege (für hinlaufende und rücklaufende Wellen) jeweils ein Vorzeicheninverter eingeschaltet ist (F i g. 7).
11. 11. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die als Transformator wirkende laufzeitfreie Mehrtorschaltung für den Fall eines Spannungsübersetzungsverhältnisses vr·" w'l aus zwei Zweitorschaltungen besteht, von denen jeder in einer Übertragungsrichtung einen Vorzeicheninverter enthält, und die über einen Zweitoradapter in Kette geschaltet sind, dessen Torwiderstände dem geforderten Spannungsübersetzungsverhältnis entsprechen (F i g. 16).
12. 12. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß der Adapter als Zweitoradapter ausgebildet ist, bei dem die einspeisenden Anschlüsse jedes Tores mit einem gemeinsamen Addierer verbunden sind unter Einfügung eines Vorzeicheninverters in eine dieser Zuleitungen, daß mit jedem der beiden Einspeisungsanschlüsse je ein weiterer Addierer verbunden ist, denen als zusätzliche Einspeisung der Ausgang des gemeinsamen Addierers unter Zwischenschaltung eines Multiplizierers zugeführt ist, und daß die Ausgar.gsanschlüsse der beiden weiteren Addierer die Ausspeisungsklemmen der beiden Tore bilden (F i g. 15).
13. 13. Filter nach Anspruch 1, uadurch gekennzeichnet, daß der Adapter als Drei- oder Mehrtorschaltung ausgebildet ist, mit η — 1 Multiplizierern (n = Anzahl Tore) und in Parallelschaltung (F i g. 18) oder Serienschaltung (F i g. 20) und daß ein Tor als abhängiges Tor vorgesehen ist.
14. 14. Filter nach Anspruch 13, dadurch gekennzeichnet, daß das abhängige Tor dem Multiplizierer mit dem höchsten Multiplikationsfaktor zugeordnet ist.
15. 15. Filter nach Anspruch 13 oder 14, dadurch gekennzeichnet, daß für den Adapter eine Anzahl von Torwiderständen untereinander gleich gewählt sind und die Anzahl der Multiplizierer dementsprechend geringer gewählt ist.
16. 16. Filter nach einem der Ansprüche 1 bis 4, dadurch gekennzeichnet, daß die laufzeitbehafteten Eintor- und Zweitorschaltungen in Abtasttechnik ausgeführt sind.
17. 17. Filter nach einem der Ansprüche 1 bis 11, dadurch gekennzeichnet, daß die laufzeitfreien Mehrtorschaltungen in Abtasttechnik ausgeführt sind.