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Schraubtrieb Die Erfindung bezieht sich auf einen rechtwinkligen Schraubtrieb,
der aus einem stimseitig verzahnten Tellerrad, dessen Zähne ebene Flanken besitzen,
deren jede in Richt&ng des Geschwindigkeitsvektors im Eingriffspunkt liegt,
in dem sich die Zähne des Tellerrades und des Ritzels jeweils berühren, und aus
einem konjugiert dazu ausgebildeten Ritzel besteht.
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Aus der französischen Patentschrift 614 813 und aus der USA.-Patentschrift
1647 167 ist ein Hypoidgetriebe bekanntgeworden, in dem eines der
Räder gerade verzahnt ist und deren Kegelwinkel, deren Verhältnis in der Zähnezahl
und deren Versetzung so gewählt sind, daß ein Eingriff über die gesamte Länge der
Zahnflanken an einem der Räder gewährleistet ist.
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Ausgehend von diesem Stand der Technik ist es Aufgabe der Erfindung,
einen Schraubtrieb zu schaffen, der so ausgebildet ist, daß seine Herstellung, Inspektion
und Qualitätskontrolle gegenüber bekannten Schräubtrieben dieser Art vereinfacht
wird und daß er durch eine unsymmetrische Anordnung der Zahneingriffswinkel eine
höhere Festigkeit erhält und damit zur Übertragung einer größeren Leistung geeignet
ist.
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Die Lösung der gestellten Aufgabe wird erfindungsgemäß dadurch erreicht,
daß die drei Koordinaten x, y, z eines Eingriffspunktes durch
die Gleichung: (KY - x),
+ [C. X + Z. (Ky
- X)] [Z. (1 + K2) - Cl # 0
bei
vorgegebenem Achsabstand C und vorgegebenem Übersetzungsverhältnis K festgelegt
sind, wobei der radiale Abstand des Eingriffspunktes von der Tellerradachse gleich
dem Hauptradius der Tellerradstirnfläche ist, daß der Eingfflpunkt ferner in axialer
Richtung gegenüber der besagten Stirnfläche um etwa ein Drittel bis ein Fünftel
der Zahntiefe verschoben ist und zwischen den Wurzeln und den Spitzen der Zähne
liegt, daß ferner die Zahnflankenflächen das Gesetz der konjugierten Wirkung im
Eingriffspunkt erfüllen und daß schließlich die Zahnflankennormalen, auf beiden
Seiten jedes Zahnes des Tellerrades gegenüber der Grenznormalen im Eingriffspunkt
um mindestens 15', höchstens jedoch 30', symmetrisch geneigt sind.
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Ferner ist erfindungsgemäß ein Schraubtrieb vorgesehen, bei dem die
Eingriffswinkel der Zähne des Tellerrades von dem Grenzeingriffswinkel um mindestens
10 Winkelgrade abweichen, wobei der Grenzeingriffswinkel durch folgende Gleichung
definiert ist:
Außerdem ist erfindungsgemäß ein Schraubtrieb vorgesehen, bei dem die Zähne des
Tellerrades angenähert längs der Kurve des Vektors der Relativgeschwindigkeit verlaufen
und die Zahndruckwinkel der Flanken jedes Tellerradzahnes vom Grenzeingriffswinkel
um angenähert gleiche Winkelbeträge abweichen.
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Schließlich ist erfindungsgemäß ein Schraubtrieb vorgesehen, bei dem
sich die Eing'riffswinkel vom Grenzwinkel um mindestens 10 und höchstens
20 Winkelgrade unterscheiden.
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Der Schraubtrieb nach der Erfindung gestattet eine Herstellung auf
relativ einfachen Werkzeugmaschinen, wobei die Herstellungskosten erheblich niedriger
gehalten werden können als vergleichbare andere Zahnradkonstruktionen. Außerdem
werden maximale Festigkeiten und Wirkungsgrade für Verzahnungen dieser Art mit einem
Untersetzungsverhältnis von weniger als 10 : 1 erzielt.
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Die Erfindung wird nachstehend an Hand der Zeichnungen in einigen
Ausführungsbeispielen näher erläutert. Dabei zeigt F i g. 1 eine Draufsicht
auf einen Schraubtrieb mit stirnseitig verzahntem Tellerrad (Hyperboloidtrieb),
wobei die Zähne des Tellerrades nicht radial verlaufen,
F i
g. 2 eine Seitenansicht des Schraubtriebs nach F i g. 1 mit geschnittenem
Tellerrad, - -
F i g. 3 eine perspektivische Darstellung des in den
F i g. 1 und 2 dargestellten Schraubtriebes, wobei ein Teil des Tellerrades
herausgebrochen ist, F i g. 4 eine Darstellung entsprechend F i
g. 3 mit einer Ausbildung des Tellerrades als Kegelrad, F i g. 5 ele
Darstellung ähnlich der F i g. 1, wobei jedoch die Zähne des Tellerrades
radial verlaufen, F i g. 6 eine schematische Darstellung zur Veranschaulichung
der 'Bedingungen des Krümmungswechsels, Fig. 7 ein Koordinatensystem für
linkshändige, rechtwinklige Schraubtriebe, F i g. 8 eine graphische Darstellung
des Vektors der Relativgeschwindigkeit, der Relativachse und der relativen Schraubenhuie
durch einen Aufpunkt, F i g. 9 eine schematische Seitenansicht des Tellerrades,
in der die Beziehungen zwischen den Grundkegeln und den durch die relative Schraubenlinie
erzeugten Flächen in jedem gegebenen Eingriffspunkt dargestellt sind, F i
g. 10 eine der F i g. - 9 entsprechende schematische Seitenansicht,
in der die entsprechenden Beziehungen für das Ritzel dargestellt sind, F i
g. 11 eine schematische Darstellung zur Definition der Spiralwinkel in der
Eingriffsebene, F i g. 12 eine schematische Teildarstellung eines Tellerrades,
wobei der Eingriffspunkt an einer ungünstigen Stelle liegt, -
F i
g. 13 eine der F i g. 12 entsprechende Darstellung, in der der Eingriffspunkt
jedoch an einer günstigen Stelle liegt, F i g. 14 eine vergrößerte Teildarstellung
der Flanke eines Zahnes des Tellerrades, wobei mehrere Eingriffslinien beim Grenzzahneingriffswinkel
eingetragen sind, und F i g. 15 eine Darstellung ähnlich F i g. 14
mit einigen günstigen Eingriffslinien.
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Der in den F i g. 1 bis 3 dargestellte Schraubtrieb
20 umfaßt ein Ritzel 22 und ein mit diesem kämmendes, verhältnismäßig großes, stirnseitig
verzahntes Tellerrad 24. Die Achsen des Tellerrades und des Ritzels liegen in diesem
besonderen Ausführungsbeispiel rechtwinklig. zueinander. Die Zähne 26 des
Tellerrades verlaufen nicht radial und sind im übrigen gerade. Die Oberkanten bzw.
Kopfflächen der Zähne 26 liegen in einer Ebene, die Fußkanten bzw. -flächen
28 liegen auf einem Kegel. Die Gänge bzw. Zähne 30
des Ritzels verlaufen
längs bestimmter Kurven, um mit den geraden Zähnen 26 des Tellerrades erfindungs-,gemäß
zusammenzuarbeiten.
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Eine ähnliche, jedoch allgemeinere Form eines Schraubtriebes 20a ist
in F i g. 4 dargestellt. Die einzelnen Teile entsprechen dabei denen der
Ausführung nach F i g. 1 bis 3 und sind auch mit den gleichen Bezugszeichen,
jedoch unter Hinzufügen eines Buchstabens »a« versehen. Die Ausführung nach F i
g.. 4 unterscheidet sich dadurch von der vorstehend beschriebenen, daß die
Oberkanten bzw. Kopfflächen der Zähne 26a auf einer Kegelfläche liegen, die bei
32. durch eine gestrichelte Linie angedeutet ist. Das Tellerrad gemäß den
F i g. 1 bis 3
ist also ein Spezialfall dieser allgemeineren Ausführung
nach F i g. 4. Die Fußfläche der die Zähne berührenden Kegelfläche ist jedoch
bei der Ausführung gemäß F i g.. 4 etwas steiler.. -Die Zähne
26 a
sind ebenfalls gerade und verlaufen nicht radial, genau wie bei
dem vorstehend beschriebenen Ausführungsbeispiel gemäß F i g. 1 bis
3.
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Ein Sonderfall eines Schraubtriebes ist in F i g. 5
dargestellt,
dessen Teile ebenfalls mit den gleichen Bezugszeichen, jedoch unter Hinzufügung
eines Buchstabens »b« versehen sind. Bei diesem Ausführungsbeispiel verlaufen die
Zähne 26b des Telierrades 20b
in radialer Richtung. Die Zähne sind
ebenfalls gerade, während die mit ihnen kämmenden Zähne bzw. Gänge des Ritzels
22b gekrümmt verlaufen, ebenso wie in den Ausführungsbeispielen nach F i
g. 1 bis 3
und nach F i g. 4. Das Tellerrad 20 b kann
entweder mit seinen oberen Zahnflächen in einer Ebene liegen, wie das in F i
g. 1 bis 3 dargestellt ist, oder aber als Kegelrad ausgebildet sein,
wie das in F i g. 4 gezeigt ist. Zur Profilform der Zähne sei noch ergänzend
bemerkt, daß die Zähne gerade Flanken besitzen, d. h., daß die Rechts- und
Linksflanken der Zähne des Tellerrades eben sind.
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Bevor im einzelnen auf die mathematischen Formeln eingegangen wird,
durch die der Schraubtrieb festgelegt ist, sollen vorerst noch einige allgemeine
Bemerkungen über Schraubtriebe vorangestellt werden. Um die Darstellung einfach
und zusammenhängend zu machen, werden die Betrachtungen und die Gleichungen und
Formeln auf einen hnksbändigen Schraubtrieb beschränkt, bei dem die Achsen der miteinander
kämmenden Räder senkrecht zueinander stehen. Ein Koordinatensystem zur Veranschaulichung
dieser Verhältnisse ist in F i g. 7 dargestellt. Die Achse des Ritzels 22
verläuft dabei längs der mit 34 bezeichneten x-Achse. Die Achse des Tellerrades
24 fällt mit einer Parallelen zur y-Achse zusammen, die die z-Achse in einem Abstand
C oberhalb der xy-Ebene schneidet. Diese Drehachse des Tellerrades ist durch
die Linie 36 dargestellt, während die y- und die z-Achse mit den Bezugszeichen
38 und 40 versehen sind. Die Drehrichtung des Ritzels ist durch den Pfeil
60, die des Tellerrades durch den Pfeil 61 in F i g. 7 dargestellt,
und zwar für ein linkshändiges Schraubtriebsystem. Es sei bemerkt, daß man beide
Drehrichtungen gleichzeitig wechseln kann, ohne dadurch die Linkshändigkeit des
Systems aufzuheben, da die Feldlinien der Relativgeschwindigkeit in diesem Falle
nicht geändert werden. Wenn jedoch nur eine der beiden Drehrichtungen geändert wird,
wird das System rechtshändig. Man kann selbstverständlich die für das linkshändige
System entwickelten Gleichungen auch so umformen, daß sie für ein rechtshändiges
System gelten, indem man neue Koordinaten einführt, die sich von den Koordinaten
gemäß F i g. 7 lediglich durch eine entgegengesetzte Richtung in der y-Achse
unterscheiden.
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Die Lage eines Aufpunktes P kann vollständig durch Angabe seiner xyz-Koordinaten
angegeben werden bzw. durch drei seiner ZylinderkoordinatenRp, Rg, 0,
a. Zwischen diesen beiden Koordinatensystemen bestehen bekannte Beziehungen,
die eine Umformung der Gleichungen aus dem einen in das andere Koordinatensystem
ohne weiteres gestatten und dem Fachmann bekannt sind.
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Dem rechtwinkligen Koordinatensystem x, y, z sind in
bekannter Weise die Einheitsvektoren i, i, t zu-. geordnet. Der Schraubtrieb
besitzt ein konstantes Untersetzungsverhältnis, d. h. ein Verhältnis seiner
Winkelgeschwindigkeiten, das dem Verhältnis der Zähnezahlen des Tellerrades und
des Ritzels entspricht und mit K bezeichnet wird. Die Winkelgeschwindigkeiten
können
als Vektoren dargestellt werden, und es können hierfür geeignete Größen gewählt
werden, vorausgesetzt, daß das Geschwindigkeitsverhältnis K konstant gehalten wird.
Wenn man also die Winkelgeschwindigkeit des Ritzels mit -K - i und
die des Tellerrades mit i bezeichnet, sieht man, daß dabei sowohl das Verhältnis
K der Winkelgeschwindigkeiten als auch die richtigen Drehrichtungen festgelegt sind.
Die Relativgeschwindigkeit läßt sich dann durch folgende Vektorfunktion dar-stellen:
b
= YX - i + vy - i + % - f. (1)
Dabei ist: vx=C-z;
vy=K-z; vz=x-K.y. Vx, vy und VZ Sind Skalarfunktionen, die den Richtungszahlen des
Vektors der Relativgeschwindigkeit in jedem Punkt des Koordinatenraumes entsprechen.
Die vorgenannten Größen behalten ihre Proportionalität unabhängig von den absoluten
Geschwindigkeiten der Räder und hängen lediglich von den Koordinaten des Aufpunktes
und dem Verhältnis K ab. Für eine gegebene Achsenstellung und ein gegebenes Winkelgeschwindigkeitsverhältnis
ist also die Richtung der Relativgeschwindigkeit eindeutig für jeden Punkt des Koordinatenraumes
festgelegt.
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Die Feldlinien des Vektors der Relativgeschwindigkeit sind Schraubenlinien
konstanter Steigung um eine feste Achse, die sogenannte Relativachse. Diese Relativachse
ist in F i g. 8 durch die Linie 42 dargestellt, die parallel zur xy-Ebene
liegt, die z-Achse in einer Höhe (h) oberhalb der xy-Ebene schneidet und mit der
durch die gestrichelte Linie 44 dargestellten verschobenen x-Achse einen Winkel
ß bildet. Die relative Schraubenlinie ist in F i g. 8 mit 46 bezeichnet.
Die vorstehend geschilderten Zusammenhänge und die Form der Lage der relativen Schraubenlinie
können ohne weiteres in mathematischer Form niedergelegt werden. Dabei sind die
relativen Schraubenlinien in einem linkshändigen System linksgängig, in einem rechtshändigen
System dagegen rechtsgängig.
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Das allgemeine Grundgesetz der konjugierten Wirkung kämmender Zähne
kann man wie folgt ausdrücken: In jedem Übertragungspunkt muß die Zahnflankennormale
senkrecht auf den Vektor der Relativgeschwindigkeit stehen. Dieses Gesetz kann zur
Berechnung der Zähne eines Schraubtriebes und zur Untersuchung der Abwälzverhältnisse
herangezogen werden. Aus diesem Gesetz kann abgeleitet werden, daß die Eingriffslinien
von Tellerrädern gerade Linien sind. Bei der Berechnung der Zähne des Tellerrades
stellt die günstige Verteilung der Eingriffslinien stets ein wichtiges Ziel dar.
Wenn eine Zahnradflanke so angeordnet wird, daß in irgendeinem ihrer Punkte die
Flächennormale senkrecht zur Relativgeschwindigkeit in diesem Punkt liegt, kann
in diesem Punkt eine gleichmäßige Übertragung stattfinden. Von einem solchen Punkt
kann man dann ausgehen, um einen Schraubtrieb gemäß der Erfindung zu berechnen.
Dieser Punkt wird im folgenden als Eingriffspunkt bezeichnet.
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Für die nachstehenden Betrachtungen sei als willkürlicher Eingriffspunkt
der Punkt P mit den Koordinaten x, y und z gewählt. Der Vektor
b der Relativgeschwindigkeit in diesem Punkt ist dann durch die obengenannte
Gleichung (1) festgelegt. Dieser Vektor besitzt für jedes Geschwindigkeitsverhältnis
K und jede Achsenlage C eine bestimmte Richtung im Raum. Wenn lediglich K
verändert wird, ändert sich die Richtung des Vektors der Relativgeschwindigkeit.
In jedem gegebenen Punkt bewirkt eine Änderung von K jedoch lediglich eine Schwenkung
des Vektors der Relativgeschwindigkeit in einer festgelegten Ebene. Durch jeden
Punkt des Koordinatensystems gibt es nur eine einzige derartige Ebene, deren Lage
selbst nicht von K abhängt. Diese Ebene wird im folgenden als Eingriffsebene bezeichnet.
Diese Ebene ist zugleich die gemeinsame Tangentialebene an die beiden einzigen Kegelflächen,
die koaxial zu den Achsen des Tellerrades und des Ritzels liegen und sich in dem
betrachteten Eingriffspunkt berühren. Die Normale zur Eingriffsebene wird Eingriffsnormale
genannt. Die beiden von der Eingriffsebene um die Achse des Tellerrades und die
des Ritzels herum erzeugten Kegelflächen werden Eingriffskegel genannt. Die relative
Schraubenlinie durch den Eingriffspunkt erzeugt berührende Rotationsflächen, die
die entsprechenden Eingriffskegel berühren.'Die vorstehend beschriebenen Verhältnisse
sind in den F i g. 9 und 10 dargestellt, wobei der Teilkreisdurchmesser
des Ritzels mit Rp, der des Tellerrades mit Rg bezeichnet ist. Der Winkel des Eingriffskegels
des Tellerrades ist mit G bezeichnet, während der Eingriffskegel selbst die
Bezeichnung 46 führt. Der Eingriffskegel des Ritzels trägt die Nummer 48 und sein
Winkel die Bezeichnung T. Die von der relativen Schraubenhnie erzeugte Fläche des
Tellerradzahnes ist mit 50, die entsprechende Fläche des Ritzelzahnes mit
52 bezeichnet.
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Einige weitere Tatsachen sind in diesem Zusammenhang noch von Interesse:
Die Eingriffsnormale ist unabhängig von. dem Geschwindigkeitsverhältnis
K,
wie man mathematisch beweisen kann. Diese Eingriffsnormale schneidet stets
die Achsen beider Zahnräder oder ist zu einer dieser beiden Achsen parallel. Die
Winkel der Eingriffskegel sind die Komplementärwinkel zu den Winkeln zwischen der
Eingriffsnormale und den Radachsen. Die Winkel der Eingriffskegel sind im gesamten
Koordinatenraum eindeutige skalare Funktionen.
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Der Vektor der Relativgeschwindigkeit in jedem Punkt liegt stets in
der Eingriffsebene durch diesen Punkt. Die Richtungen der Relativgeschwindigkeit
können deshalb auch durch die Spiralwinkel ocp und ,xg ausgedrückt werden, die aus
den Abwicklungen der Eingriffskegel in F i g. 11 ersichtlich sind. Dabei
stellt die Linie 62 ein Element des Eingriffskegels des Tellerrades und die
Linie 63 ein Element des Eingriffskegels des Ritzels durch den Eingriffspunkt
P dar. Die zwischen den vorgenannten Spiralwinkeln bestehenden Beziehungen können
durch bekannte mathematische Verfahren in rechtwinkligen Koordinaten ausgedrückt
werden. Eine vorteilhafte allgemeine Beziehung zwischen dem Spiralwinkel ag des
Tellerrades und dem Spiralwinkel ocp des Ritzels ist durch folgende Gleichung gegeben:
Um einen Schraubtrieb mit stirnseitig -verzahntem Tellerrad möglichst optimal auszubilden,
müßte man
eigentlich dafür Sorge tragen, daß die Eingriffshnien
die gesamten Flankenflächen der Zähne des Ritzels und der Zähne des Tellerrades
überstreichen. Diese Bedingung wird, wie im nachstehenden auseinandergesetzt werden
soll, erfüllt. Die zwei Grundelemente zur Beschreibung einer Zahnfläche im Eingriffspunkt
sind der Spiralwinkel der Spur dieses Eingriffspunktes auf dem Eingriffskegel und
der Zahneingriffswinkel, d. h. der Winkel zwischen der Zahnflankennormalen
und der Eingriffsebene. Die Wahl eines geeigneten Spiralwinkels ermöglicht einen
gleichmäßig übertragenden Eingriff im Eingriffspunkt und begrenzt die Lage der_
Tangentialebene an die Zahnflanke auf einen einzigen--Freiheitsgrad, der durch den
zunächst noch willkürlichen Zahneingriffswinkel gegeben ist. Der Zahneingriffswinkel
andererseits beeinflußt die Geschwindigkeit, mit der die Eingriffslinie die Zahnflanke
überstreicht, und ebenfalls die Neigung der Eingriffslinien gegenüber der Eingriffsebene.
Für einen ganz bestimmten Wert des Zahneingriffswinkels ist die Geschwindigkeit
der Wanderung der Eingriffslinie Null. Merdurch Bind der Grenzzahneingriffswinkel
und die Grenznormale festgelegt. Die Grenznormale ist diejenige Zahnflankennormale,
die eine Übertragungsgleichung identisch vor und nach einem infinitesimalen Drehsehritt
erfüllt. Mit anderen Worten, der Eingriffspunkt ist bei einer Zahnflanke des Tellerrades
mit dem Grenzzahneingriffswinkel in diesem Augenblick ortsfest. Die Grenznormale
kann durch den Grenznormalenvektor DIL beschrieben werden, dessen Richtung mit ihr
zusammenfällt. Der Grenznormalenvektor ist durch folgende Gleichung gegeben:
Demnach gibt es in jedem Punkt des Koordinatenraumes eine und nur eine Richtung
der Grenznormalen. Es kann gezeigt werden, daß die Eingriffslinie stets parallel
zur Projektion der Relativachse auf die Zahnflankenfläche liegt. Da ferner die Zahnflankenfläche
die Einhüllende einer einparametrischen Schar von Ebenen ist, ist sie eine abwickelbare
Fläche.
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Im vorstehenden wurde auf die ideale Zahnkurve Bezug genommen. Um
diese Kurve zu beschreiben, muß zunächst eine primäre Eingriffsfläche gewählt werden.
Diese Fläche ist eine willkürliche Drehfläche, deren Achse entweder mit der Achse
des Tellerrades oder der des Ritzels zusammenfällt. Nachdem diese primäre Eingriffsfläche
einmal gewählt ist, ist die konjugierte Eingriffsfläche (Gegenfläche) eindeutig
bestimmt, und zwar ist sie die Drehfläche, die durch die primäre Fläche erzeugt
ist und koaxial zu dem Gegenrad liegt. Die beiden miteinander kämmenden
Eingriffsflächen
berühren sich längs einer bestimmten Linie, die gerade oder gekrümmt sein kann und
die der geometrische Ort des Eingriffs genannt wird. Eine in eine der bei denEingriffiflächen
eingebettete Kurve schneidet beim Umlauf der Fläche den geometrischen Ort des Eingriffes
in einem ortsveränderlichen Punkt. Die ideale Zahnkurve ist diejenige einzige Kurve,
die in ihrer Richtung in jedem Punkt des geometrischen Ortes des Eingriffes mit
der Relativgeschwindigkeit übereinstimmt. Infolgedessen ist sowohl der primären
als auch der konjugierten Eingriffsfläche je eine ideale Zahnkurve zugeordnet.
Diese Kurven tangieren sich ständig im geometrischen Ort des Eingriffes, wenn die
Eingriffsflächen mit dem gegebenen Winkelgeschwindigkeitsverhältnis umlaufen. Zähne,
deren Sparen auf den Eingriffsflächen mit den idealen Zahnkurven übereinstimmen,
haben in jedem Punkt des geometrischen Ortes des Eingriffes konjugierte Berührung
miteinander.
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Bei den eingangs erwähnten Druckschriften wird die ideale Zahnkurve,
gegebenenfalls angenähert, auf das Ritzel übertragen. Bei der vorliegenden Anordnung
wird die ideale Zahnkurve angenähert auf das Tellerrad übertragen. Insbesondere
werden beim Tellerrad einfache ebene Zahnflanken vorgesehen. Infolgedessen müssen
geeignete primäre Eingriffsflächen gewählt werden, die koaxial zur Achse des Tellerrades
liegen. Wenn eine zum Vektor der Relativgeschwindigkeit parallele gerade Linie in
jedem Eingriffspunkt festgehalten wird und ein Schneidmesser um die Achse des Tellerrades
gedreht wird, wird durch die gerade Kante dieses Schneidmessers eine Drehfläche
erzeugt. Im allgemeinen Eingriffspunkt ist die so erzeugte primäre Eingriffsfläche
ein Rotationshyperboloid. Die Spuren der Zähne des Tellerrades auf diesem Hyperboloid
sind gerade Linien, da die ebenen Zähne des Tellerrades den Vektor der Relativgeschwindigkeit
im Eingriffspunkt enthalten müssen und dieser Vektor selbst die Erzeugende des Hyperboloids
ist. Diese primäre Eingriffsfläche ist also durch die Wahl des Eingriffspunktes
festgelegt; ebenfalls sind dadurch die ideale Zahnkurve und die konjugierte Eingriffsfläche
des Ritzels festgelegt. Die konjugierte Eingriffsfläche des Ritzels ist nur in speziellen
Fällen, die hier keine Bedeutung haben, ein Hyperboloid. Im allgemeinen stimmt die
ideale Zahnkurve des primären Tellerrades in seiner Richtung mit der Erzeugenden
des Hyperboloids im Eingriffspunkt unabhängig vow der Lage dieses Punktes, überein,
da die Erzeugende einfach der Vektor der Relativgeschwindigkeit ist, der nach Definition
in seiner Richtung mit der idealen Zahnkurve übereinstimmt. Es kann sich jedoch
ergeben, daß die ideale Zahnkurve einen endlichen Krümmungsradius besitzt, der nicht
mit dem unendlich großen- Krümmungsradius der Zahnform des TeHerrades übereinstimmt.
Das würde bedeuten, daß gerade Zähne des Tellerrades über ihre Länge hin mehr von
der idealen Zahnform abweichen, als es der Fall wäre, wenn sowohl die Krümmungen
als auch die Richtung im Eingriffspunkt übereinstimmten. Dieser unerwünschte Fall
ist in F i g. 12 dargestellt. Dabei sind die Spur der Zahnebene auf der Eingriffsfläche
des Tellerrades mit 64, die ideale Zahnkurve mit 65 und die vom Vektor
» der Relativgeschwindigkeit erzeugte primäre Eingriffsfläche des Tellerrades
mit 66 bezeichnet.
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Entsprechend den vorstehenden Definitionen werden die Eingriffsflächen,
die idealen Zahnkurven und ihre Krümmungsradien definierte Funktionen der Koordinaten
des Eingriespunktes. Indem die Koordinaten dieses Eingriffspunktes verändert werden,
ist es möglich, den Krümmungsradius der idealen Zahnkurve zu verändern. Für einige
Koordinatengruppen des Eingriffspunktes wird der Krümmungsradius im Eingriffspunkt
unendlich, so daß eine äußerst enge Anpassung an die geradlinige Zahnform erzielt
wird. Mit anderen Worten, die Zahnfläche tangiert die ideale Zahnkurve im Eingriffspunkt,
und der Eingriffspunkt liegt in einem Wendepunkt der idealen Zahnkurve.
Es
werden die Koordinaten des Eingriffspunktes so gewählt, daß sie die folgende Gleichung,
genannt Eingriffspunktgleichung, erfüllen: (K-y - x)'
+
IC- x +z(K-y -x)] [z.(1 +K2)-CI =O.
(4) Die vorstehende
Gleichung (4) schränkt die Wahl des Eingriffspunktes auf zwei voneinander unabhängige
Variable (nämlich zwei der drei Koordinaten x, y, z)
ein und definiert
sogenannte ideale Eingriffspunkte, d. h. Punkte, die der Verzahnung gewisse
erwünschte Eigenschaften verleihen. Die vorstehende Gleichung definiert eine bestimmte
Fläche im Koordinatenraum für jede Kombination des Achsenabstandes C und
des Geschwindigkeitsverhältnisses K. Die Gleichung bedeutet, daß in den idealen
Eingriffspunkten die durch den Vektor der Relativgeschwindigkeit und die
Grenznormale bestimmte Ebene parallel zur Relativachse liegt.
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Die Zusammenhänge zwischen der praktischen Zahnform und der idealen
Zahnkurve 65 in einem vorteilhaften Eingriffspunkt sind in F i
g. 13 dargestellt. Dabei ist die Spur der ebenen Zahnflanke auf der Eingriffsfläche
des Tellerrades mit 67 bezeichnet.
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Die Hyperboloideingriffsfläche des Tellerrades und die entsprechende
Eingriffsfläche des Ritzels berühren die Eingriffskegel längs Kreisen, die durch
den Eingriffspunkt verlaufen; sie besitzen eine gemeinsame Tangentialebene und eine
gemeinsame Normale im Eingriffspunkt, die mit denen der Eingriffskegel identisch
sind. Es können deshalb dieselben Übereinkünfte bezüglich der Spiralwinkel und der
Zahndruckwinkel getroffen werden.
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Der Grenzzahneingriffswinkel OL in jedem Eingriffspunkt ist nur dannNull,
wenn die Grenznormale in der Eingriffsebene liegt. Im allgemeinen, d. h.
bei den meisten Ausführungen, ist der Grenzeingriffswinkel jedoch nicht Null. Es
ist jedoch erwünscht, den Grenzeingriffswinkel so klein wie möglich zu halten, wie
sich aus folgendem ergibt: Es kann leicht gezeigt werden, daß für eine ebene Zahnfläche
mit dem Grenzeingriffswinkel die Richtung der Eingriffslinie mit der des Vektors
der Relativgeschwindigkeit im Eingriffspunkt übereinstimmt. Darüber hinaus liegt
bei einer solchen Zahnfläche der Eingriffspunkt auf der Hüllkurve an die gesamte
Schar der Eingriffslinien, so daß diese Linien nicht schnell über die Zahnfläche
hinweg streichen und es schwierig ist, eine Berührung über die vollen Flanken der
Zähne hinweg zu erreichen. Diese ungünstigen Verhältnisse sind in F i
g. 14 dargestellt. Dabei sind die Eingriffslinien mit 68 und ihre
Hüllkurven mit 69 bezeichnet.
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F i g. 15 zeigt eine günstigere Wahl, wobei die Eingriffslinien
68' über die Zahnflankenflächen hinwegstreichen. Dabei ist die Einhüllende
der Eingriffshnien mit 69' bezeichnet.
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Die Bedeutung des Grenzeingriffswinkels und der Bewegung der Eingriffslinien
kann leichter verstanden werden, wenn man zum Vergleich die Verhältnisse bei Evolventenstirnrädern
betrachtet. Bekanntlich ist dort ebenfalls eine Eingriffslinie vorhanden, die über
die sich berührende Zahnflankenfläche in Richtung radial zu den Rädern hinwegstreicht.
Wenn dort der Zahneingriffswinkel der Zahnflanke einen kritischen Wert, nämlich
den Grenzeingriffswinkel, annimmt, bleibt die Eingriffslinie ortsfest. Es wird lediglich
eine Linienberührung zwischen den Zahnrädern erzielt, so daß nur eine geringe Kraft
übertragen werden kann.
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Entsprechend sollen auch bei den Verzahnungen gemäß der Erfindung
die Eingriffshnien über die Zahnflankenflächen hinwegstreichen. Falls bei diesen
Zahnflanken der Grenzeingriffswinkel erreicht wäre, würden die Eingriffslinien nicht
wandern. Es würde lediglich eine Linienberührung vorhanden sein, und die Zahnflanken
würden -über einen großen Teil ihrer Flächen -unwirksam sein, so daß die Verzahnung
nicht in der Lage wäre, größere Kräfte zu übertragen. Um eine symmetrische, gute
Berührung, wie in F i g. 15 dargestellt, zu erzielen, sollen sich die tatsächlichen
Zahneingriffswinkel von dem Grenzeingriffswinkel um etwa gleiche, ziemlich große
Beträge unterscheiden, vorzugsweise etwa um 20', jedoch nicht weniger als lO', wenn
man eine wirksame Berührung erzielen will. In den meisten praktischen Fällen liegen
die Zahneingriffswinkel der Zahnflanken des Tellerrades unsymmetrisch, wenn sie
auch gegenüber dem Kreuzeingriffswinkel symmetrisch Regen. Dadurch ergibt sich eine
ausgeprägte Sägezahnforin.
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Allzu große Zahneingriffswinkel sind wegen der dann entstehenden großen
Zahnform und trennenden Kräfte zu vermeiden. Negative Zahneingriffswinkel sind ebenfalls
zu vermeiden, da sie einerseits die Herstellung erschweren und andererseits den
Zahnaufbau schwächen. Die Wahl des Eingriffspunktes muß unter Berücksichtigung der
Bedingung erfolgen, daß der Grenzeingriffswinkel unter einem bestimmten Zahlenwert,
beispielsweise 15 bis 20', liegt. Der Grenzeingriffswinkel kann aus den Koordinaten
des Eingriffspunktes mit Hilfe folgender Gleichung berechnet werden:
Eine weitere Einschränkung bei der Wahl des Eingriffspunktes mag sich aus dem jeweils
gewünschten Aufbau des Schraubtriebes ergeben. In einem geeigneten Anwendungsfall
mag ein bestimmter Achsabstand oder ein bestimmter Außendurchmesser des Tellerrades
oder eine bestimmte Breite der Zähne des Tellerrades erforderlich sein. Der Eingriffspunkt
sollte vorzugsweise irgendwo in der Nähe des mittleren Durchmessers des Tellerrades
gelegt werden, so daß der Teilkreisradius Rg des Tellerrades festgehalten wird.
Dadurch ergibt sich eine weitere Beschränkung der Koordinaten des Eingriffspunktes
gemäß folgender Gleichung: R92 = x2 + (C - z)2. (6)
Diese zusätzliche
Bedingung bedeutet, daß die Eingriffspunkte auf der Raumkurve liegen, die gleichzeitig
durch die Gleichungen (4) und (6) festgelegt ist, so daß die Auswahl auf
eine unabhängige Variable beschränkt ist. Längs dieser Kurve muß nun ein Punkt gefunden
werden, in dem der Grenzeingriffswinkel gleich dem gewünschten Maximalwert oder
kleiner als dieser ist.
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Im vorstehenden wurden, insbesondere durch die Gleichung (4), die
Bedingungen für die Herstellung eines erfindungsgemäßen Schraubtriebes ganz allgemein
dargestellt. Es gibt jedoch bestimmte spezielle Anwendungsfälle, die nachstehend
behandelt werden sollen.
Eine spezielle Form der vorstehend beschriebenen
Verzahnung ist so ausgeführt, daß der Eingriffspunkt in der xy-Ebene liegt,
d. h., daß z = 0 ist. In diesem Falle wird aus dem Eingriffskegel
des Tellerrades eine querverlaufende Ebene (Umlaufebene) und der Eingriffskegel
des Ritzels zu einem Zylinder. Alle betrachteten Vektoren der Relativgeschwindigkeit
stehen senkrecht auf der Achse des Tellerrades und die von ihnen erzeugten Eingriffsflächen
des Tellerrades sind quer verlaufende Ebenen, identisch mit -den Eingriffskegeln
des Tellerrades. Aus der Gleichung (4) des Eingriffspunktes wird dann folgende Gleichung:
(K-y-x)3- C2- x= 0. (7)
Aus der Gleichung (5) für den Grenzeingriffswinkel
wird folgende Gleichung:
Man kann zeigen, daß für den Sonderfall eines Tellerrades mit in einer Ebene liegenden
oberen Zahnkopfflächen folgende Gleichung gültig ist: Ctg OL =
K - COS i%p. (9)
Eine weitere Vereinfachung der abgeleiteten Gleichungen
ergibt sich für Tellerräder mit radial verlaufenden Zähnen, wenn man nur diejenigen
Punkte betrachtet, deren Vektoren der Relativgeschwindigkeit durch die Achse des
Tellerrades verlaufen. Die dann entstehende Ausführung besitzt verschiedene Vorteile
hinsichtlich der Berechnung, Konstruktion, Herstellung und Prüfung des Zahnrades.
In diesem Falle wird aus der Gleichung (4) für den Eingriffspunkt folgende Gleichung:
Die Gleichung kann in dimensionsloser Form geschrieben werden, indem man eine willkürliche
45 unabhängige Variable (u) gemäß folgender Gleichung einführt -
C-u
Z = . (11)
1 +K2 Die dünensionslose Form der Eingriffspunktgleichung
für radial verzahnte Tellerräder ergibt sich dann wie folgt:
Der Sonderfall eines radial verzahnten Tellerrades mit in einer Ebene liegenden
Zahnkopfflächen stellt eine Kombination der vorstehend beschriebenen beiden Sonderfälle
dar. Sämtliche Eingriffspunkte liegen dabei in der xy-Ebene, und die Vektoren der
Relativgeschwindigkeit (und folglich auch die Spuren der Tellerradzähne) verlaufen
radial. Es ergeben sich dann folgende mathematische Zusammenhänge:
Der Grenzeingriffswinkel ergibt sich dann aus folgender Gleichung:
Eine etwas andere Form eines Tellerrades mit nicht radial verlaufenden Zähnen ergibt
sich an Hand der nachstehend beschriebenen F i g. 6 der Zeichnung. In dieser
Figur bist angenommen, daß die Zähne tangential zu einem Kreis mit dem Radius R
liegen; zum Zwecke einer vereinfachten Darstellung ist der betrachtete Zahn in den
unteren, linken Quadranten gelegt. Der Außendurchmesser sowie der Innendurchmesser
der Zähne des Tellerrades sind durch die gestrichelten Kreise OD bzw. ID bezeichnet.
Die Achse des Tellerrades durchstößt die Zeichenebene bei 70; die Achse des
Ritzels ist mit 71, die ideale Zahnkurve mit 72 und die Spur des Zahnes
in der Eingriffsebene mit 73 bezeichnet. Der gestrichelte Kreis74 stellt
den mittleren Durchmesser des Tellerrades dar und liegt genau in der Mitte zwischen
den Kreisen 75
(CD) und 76 (ID). Der Eingriffspunkt P ist in
der inneren Hälfte des Zahnes, aber in der Nähe des mittleren Durchmessers liegend,
gewählt. Die die Ausdehnung des Tellerradzahnes begrenzende Tangente 73 bildet
einen Winkel ocp mit einer Geraden durch den Eingriffspunkt, die parallel zu dem
Lot
von der Tellerradachse auf die Ritzelachse liegt. Die vorgenannte
Tangente 73 bildet ferner einen Winkel X
mit dem Tellerradius, der
durch den Eingriffspunkt P verläuft. Die anderen Größen ergeben sich analog aus
den vorstehenden Betrachtungen oder sind aus F i g. 6 zu ersehen.
-
Für den Wendepunkt der Kurve ergibt sich: tga = cteixp.
(16)
Der Grenzeingriffswinkel ergibt sich aus folgender Bezeichnung:
Man kann zeigen, daß diese Gleichungen den vorher entwickelten Gleichungen äquivalent
sind.
-
Es wird also die ideale Zahnkurve, d. h. diejenige Kurve, die
in jedem Punkte des geometrischen Ortes des Eingriffes mit dem Vektor der Relativgeschwindigkeit
die gleiche Richtung besitzt, angenähert auf das Tellerrad eines rechtwinkligen
Schraubtriebes mit geraden oder ebenen Zähnen übertragen. Diese angenäherte Übertragung
erfolgt so, daß man den Eingriffspunkt derart wählt, daß die ebenen Zähne tangential
zur idealen Zahnkurve in deren Wendepunkten liegen. Das Ritzel wird entsprechend
komplementär zum Tellerrad hergestellt. Kurz gefaßt: Das Tellerrad wird geräumt,
während das Ritzel durch einen Fräser oder Wälzfräser hergestellt wird, der dem
Tellerrad ähnlich ist.