DE102020118706B4 - Verfahren zur Prüfung der Eignung einer Solltrajektorie für eine Trajektorienregelung eines Fahrzeugs - Google Patents

Abstract

Verfahren zur Prüfung der Eignung einer Solltrajektorie für eine Trajektorienregelung eines Fahrzeugs (1), wobei die Solltrajektorie Streckeninformationen über den Verlauf einer abzufahrenden Strecke und Dynamikinformationen über die Dynamik, mit der die Strecke abgefahren werden soll, enthält, wobei eine Steigung (λ), eine Querneigung (η) und ein Reibwert (µmax) einer Fahrbahn entlang der Solltrajektorie sensorisch und/oder aus Kartendaten ermittelt und/oder geschätzt werden, wobei basierend auf Modellgleichungen des Fahrzeugs (1) aus den Strecken- und Dynamikinformationen der Solltrajektorie und aus der ermittelten Steigung (λ) und Querneigung (η) zum Abfahren der Solltrajektorie erforderliche Sollwerte einer Sollzugkraft, einer Sollzugleistung, einer Solllenkleistung und horizontaler Sollreifenkräfte an einzelnen Rädern des Fahrzeugs (1) berechnet werden, wobei die Solltrajektorie als für die Trajektorienregelung geeignet bewertet wird, wenn:- die Sollzugkraft und Sollzugleistung unterhalb einer vorgegebenen Zugkraftkennlinie beziehungsweise Zugleistungskennlinie liegen,- die Solllenkleistung unterhalb eines vorgegebenen Leistungslimits der Lenkung liegt und- die horizontalen Sollreifenkräfte an jedem Rad innerhalb der durch den Reibwert (µmax) bestimmten Reibwertgrenzen liegen, wobei die Solltrajektorie anderenfalls als ungeeignet bewertet wird.

Description

• Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Prüfung der Eignung einer Solltrajektorie für eine Trajektorienregelung eines Fahrzeugs gemäß Anspruch 1.
• In manuell geführten Fahrzeugen übernimmt der Fahrer die Aufgabe der Trajektorienplanung, das heißt er bestimmt auf welchem Pfad er sich wann und mit welcher Geschwindigkeit bewegen möchte. Bei der Trajektorienplanung berücksichtigt der Fahrer dabei die Eigenschaften der Fahrbahn vor dem Fahrzeug so wie das erlernte Wissen über die zu erwartende Fahrzeugreaktion. Mit dieser Information plant der Fahrer eine Trajektorie, welcher das Fahrzeug erfahrungsgemäß folgen wird, das heißt die Trajektorie ist fahrbar.
• Die DE 100 50 421 A1 offenbart ein Fahrdynamik-Regelverfahren eines insbesondere vierrädrigen Kraftfahrzeuges, wobei das zwischen Rädern und Fahrbahn zur Verfügung stehende Kraftschluss-Potential ermittelt und durch Vergleich mit der ebenfalls ermittelten momentanen Kraftschluss-Ausnutzung einer Kraftschluss-Reserve bestimmt wird. Erfindungsgemäß werden neben den in der Horizontalebene wirkenden Kräften zusätzlich die Vertikalbewegungen des Kraftfahrzeug-Aufbaus gegenüber den Rädern bei der Bestimmung der Kraftschluss-Reserve berücksichtigt. Bevorzugt wird durch Multiplikation der in Vertikalrichtung orientierten Radlast mit einem geschätzten oder mittels eines Sensors ermittelten Reibwert zwischen Radreifen und Fahrbahn die vom Radreifen maximal übertragene Horizontalkraft ermittelt, woraus mit den geeignet geschätzten aktuellen Werten für die in der Horizontalebene wirkende Längskraft und Seitenkraft die Kraftschluss-Reserven in Fahrzeug-Längsrichtung und in Fahrzeug-Querrichtung und in Vertikalrichtung ermittelt werden. Dann können die ermittelten Kraftschluss-Reserven einem sog. Kraftschlussregler übermittelt werden, der unter Berücksichtigung des gewünschten Fahrmanövers eine günstige Nutzung des aktuellen Kraftschlussangebotes veranlasst.
• Die DE 10 2015 221 612 A1 offenbart ein Verfahren zum Berechnen einer Trajektorie zum Führen eines Fahrzeugs, das Verfahren umfassend: Erzeugen einer Schar von Trajektorien für das Fahrzeug mit verschiedenen Endzeiten und verschiedenen Zielzuständen relativ zu einer vorgegebenen Referenztrajektorie, wobei eine Trajektorie aus der Schar von Trajektorien einen vorgegebenen Beschleunigungsverlauf umfasst, und wobei der vorgegebene Beschleunigungsverlauf durch eine vorgegebene, maximale Beschleunigung begrenzt ist; Berechnen einer Bewertungsfunktion für wenigstens eine Trajektorie aus der Schar von Trajektorien; Bestimmen einer bezüglich der Bewertungsfunktion günstigsten Trajektorie aus der Schar von Trajektorien; und Festlegen der bestimmten Trajektorie als die Trajektorie zum Führen des Fahrzeugs.
• Die US 2017 / 0 233 001 A1 offenbart ein Verfahren zum Bereitstellen einer Fahrzeugquerlenkregelung. Das Verfahren umfasst das Bereitstellen eines mathematischen Modells der Fahrzeugdynamik, das eine Zustandsvariable, eine Lenksteuervariable und einen zukünftigen Straßenstörungsfaktor umfasst, der die bevorstehende Straßenkrümmung, Böschungen und Neigungen der Fahrbahn definiert. Das Verfahren bestimmt ein optimales Lenksteuersignal, das einen Rückkopplungsabschnitt und einen Mitkopplungsabschnitt umfasst, wobei der Mitkopplungsabschnitt den Straßenstörungsfaktor umfasst. Das Verfahren ermittelt eine Zustandsgröße und eine Regelgröße für die aktuelle Fahrbahnkrümmung, -querneigung und -steigung für eine stationäre Bewegung des Fahrzeugs bei konstanter Geschwindigkeit, Gierrate und Quergeschwindigkeit. Das Verfahren führt dann eine neue Zustandsvariable und Steuervariable für die dynamische Fahrzeugbewegung für variable Geschwindigkeit, Gierrate und Quergeschwindigkeit ein, die eine Differenz zwischen den Zustands- und Steuervariablen für vorhergesagte zukünftige Zeiten und den stationären Zustandsvariablen ist.
• Der Erfindung liegt die Aufgabe zu Grunde, ein verbessertes Verfahren zur Prüfung der Eignung einer Solltrajektorie für eine Trajektorienregelung eines Fahrzeugs anzugeben.
• Die Aufgabe wird erfindungsgemäß gelöst durch ein Verfahren zur Prüfung der Eignung einer Solltrajektorie für eine Trajektorienregelung eines Fahrzeugs gemäß Anspruch 1.
• Vorteilhafte Ausgestaltungen der Erfindung sind Gegenstand der Unteransprüche.
• Bei einem erfindungsgemäßen Verfahren zur Prüfung der Eignung einer Solltrajektorie für eine Trajektorienregelung eines Fahrzeugs enthält die Solltrajektorie Streckeninformationen über den Verlauf einer abzufahrenden Strecke und Dynamikinformationen über die Dynamik, mit der die Strecke abgefahren werden soll. Erfindungsgemäß werden eine Steigung, eine Querneigung und ein Reibwert einer Fahrbahn entlang der Solltrajektorie sensorisch und/oder aus Kartendaten ermittelt und/oder geschätzt. Falls einige Werte nicht sensorisch ermittelt werden können, werden diese beispielsweise aus Kartendaten entnommen. Falls die Werte weder direkt gemessen noch direkt aus Kartendaten entnommen werden können, werden die Werte geschätzt, beispielsweise anhand von Sensorinformationen oder Kartendaten. Basierend auf Modellgleichungen des Fahrzeugs werden aus den Strecken- und Dynamikinformationen der Solltrajektorie und aus der ermittelten Steigung und Querneigung zum Abfahren der Solltrajektorie erforderliche Sollwerte einer Sollzugkraft, einer Sollzugleistung, einer Solllenkleistung und horizontaler Sollreifenkräfte an einzelnen Rädern des Fahrzeugs berechnet, wobei die Solltrajektorie als für die Trajektorienregelung geeignet bewertet wird, wenn:
• - die Sollzugkraft und Sollzugleistung unterhalb einer vorgegebenen Zugkraftkennlinie beziehungsweise Zugleistungskennlinie liegen,
• - die Solllenkleistung unterhalb eines vorgegebenen Leistungslimits der Lenkung liegt und
• - die horizontalen Sollreifenkräfte an jedem Rad innerhalb der durch den Reibwert bestimmten Reibwertgrenzen liegen, wobei die Solltrajektorie anderenfalls als ungeeignet bewertet wird.
• In einer Ausführungsform wird das Verfahren auf jede Solltrajektorie aus einer vorgegebenen Schar von Solltrajektorien angewendet.
• In einer Ausführungsform wird jede als ungeeignet bewertete Solltrajektorie als ungültig verworfen.
• In einer Ausführungsform werden die Zugkraftkennlinie und die Zugleistungskennlinie aus jeweiligen Look-up-Tabellen entnommen.
• In einer Ausführungsform berücksichtigen die Zugkraftkennlinie und die Zugleistungskennlinie Degradationserscheinungen eines Antriebsstrangs.
• In einer Ausführungsform erfolgt eine quantitative Bewertung der Ausnutzung des Reibwertpotentials.
• In einer Ausführungsform werden auch Degradationserscheinungen einer Lenkungsaktorik berücksichtigt.
• In einer Ausführungsform beruhen die Modellgleichungen des Fahrzeugs auf einem quasistationären Modellansatz.
• In einer Ausführungsform erfolgt in einem ersten Schritt eine Umrechnung von Größen der Solltrajektorie sowie der Steigung und Querneigung in Fahrzeuggrößen mittels der Modellgleichungen.
• In einer Ausführungsform werden die Sollzugkraft und die Sollzugleistung für ein Schwerkraftzentrum des Fahrzeugs berechnet.
• Die vorgeschlagene Erfindung löst das Problem der Fahrbarkeitsbestimmung für autonome Fahrzeuge.
• Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Prüfung der Eignung einer Solltrajektorie für eine Trajektorienregelung eines Fahrzeugs, wobei die Solltrajektorie Streckeninformationen über den Verlauf einer abzufahrenden Strecke (Sollposition, Sollkrümmung, Sollkrümmungsänderung) und Dynamikinformationen über die Dynamik (Sollgeschwindigkeit, Sollbeschleunigung), mit der die Strecke abgefahren werden soll, enthält.
• Erfindungsgemäß werden die Steigung λ, die Querneigung η und der Reibwert µ_max der Fahrbahn entlang der Solltrajektorie (sensorisch oder aus Kartendaten) ermittelt oder geschätzt. Weiterhin werden, basierend auf Modellgleichungen des Fahrzeugs, aus den Strecken- und Dynamikinformationen der Solltrajektorie und aus der ermittelten Steigung λ und Querneigung η die zum Abfahren der Solltrajektorie erforderlichen Sollwerte der Antriebskraft (Sollzugkraft F_{traction,demand}), der Antriebsleistung (Sollzugleistung P_{traction,demand}), der Lenkleistung (Solllenkleistung P_steering,max) und der horizontalen Sollreifenkräfte an den einzelnen Rädern (Längs-Sollreifenkräfte F_XT,i, Quer-Sollreifenkräfte F_YT,i) berechnet. Die Solltrajektorie wird als für die Trajektorienregelung geeignet bewertet, wenn eine Prüfung ergibt, dass
• - die Sollzugkraft und Sollzugleistung unterhalb einer vorgegebenen Zugkraftkennlinie bzw. Zugleistungskennlinie liegen,
• - die Solllenkleistung unterhalb eines vorgegebenen Leistungslimits der Lenkung liegt und
• - die horizontalen Sollreifenkräfte an jedem Rad innerhalb der durch den Reibwert µ_max bestimmten Reibwertgrenzen (maximales zur Verfügung stehendes Kraftschlusspotential, Kraftschlussellipse) liegen.
• Andernfalls wird die Solltrajektorie als für die Trajektorienregelung ungeeignet bewertet. Vorteilhafterweise wird das Verfahren auf jede Solltrajektorie aus einer vorgegebenen Schar von Solltrajektorien angewendet. Jede als ungeeignet bewertete Solltrajektorie wird als ungültig verworfen. Die Zugkraftkennlinie und Zugleistungskennlinie werden vorteilhafterweise aus einer Look-up-Tabelle entnommen und berücksichtigen eventuelle Degradationserscheinungen.
• Die Erfindung betrifft ferner eine Vorrichtung, die eingerichtet ist, ein Verfahren wie oben beschrieben auszuführen. Insbesondere kann die Vorrichtung eine Datenverarbeitungseinrichtung umfassen, beispielsweise ein Steuergerät in einem Kraftfahrzeug.
• Ausführungsbeispiele der Erfindung werden im Folgenden anhand von Zeichnungen näher erläutert.
• Dabei zeigen:
• 1 eine schematische Seitenansicht eines Fahrzeugs mit verschiedenen Achsensystemen,
• 2 eine schematische Ansicht eines Fahrzeugs von hinten mit verschiedenen Achsensystemen,
• 3 eine schematische Draufsicht eines Fahrzeugs mit verschiedenen Achsensystemen,
• 4 schematisch Rotationen von Achsensystemen,
• 5 eine schematische Ansicht des Fahrzeugs, wobei die Rollachse, das vordere Rollzentrum und das hintere Rollzentrum dargestellt sind,
• 6 eine schematische Ansicht des Fahrzeugs,
• 7 eine schematische Ansicht des Fahrzeugs mit Vorder- und Hinterachskräften und -momenten,
• 8 eine schematische Ansicht der Vorderachse mit Reifenkräften, Chassis-Reaktions-Kräften und dem Chassis-Reaktions-Moment,
• 9 schematische Ansichten von Look-up-Tabellen,
• 10 eine schematische Ansicht einer Reifenkräfte-Ellipse, und
• 11 eine schematische Detailansicht einer funktionalen Architektur einer Vorrichtung zur modellbasierten Fahrbarkeitsprüfung.
• Einander entsprechende Teile sind in allen Figuren mit den gleichen Bezugszeichen versehen.
• Die vorliegende Erfindung betrifft die Einschätzung der Fahrbarkeit aller gewünschten Trajektorien aus einer Anzahl von Trajektorienkandidaten, die als horizontale Trajektorien in erdfesten Koordinaten angegeben sind, wobei Fahrbarkeitslimits für Trajektorien typischerweise in Fahrzeug- und Fahrbahngrößen angegeben werden. Beispiele sind das Reibungspotential, das die maximal erreichbaren horizontalen Reifenkräfte begrenzt und die Antriebskräfte und Leistungsgrenzen im Antriebsstrang, die die mögliche Beschleunigung begrenzen. Zur Überprüfung gegenüber diesen Grenzen ist es erforderlich, die zugeordneten Fahrzeuggrößen aus den gewünschten Trajektorien zu berechnen. Vorliegend wird ein quasistationärer (QSS) Modellansatz gewählt, um sowohl Reifenkräfte als auch Antriebskraft und Leistungsanforderungen aus einer gegebenen, gewünschten Trajektorie zu berechnen. Vorliegend wurde beispielhaft eine Anzahl von 1000 gewünschten Trajektorienkandidaten von 10 s Länge verwendet, die alle 100 ms evaluiert wurden. Daher ist die Laufzeit ein wichtiger Punkt und der Hauptgrund für die Wahl eines quasistationären Modellansatzes anstatt beispielsweise eines dynamischen Modells, welches genaueres Sampling und Lösen der gewöhnlichen Differentialgleichungen dieses Modells erfordert.
• Die im Folgenden verwendeten Achsensysteme folgen ISO 8855:2011. Die wichtigsten Achsensystems sind unten angegeben. Eine graphische Übersicht über relevante orthogonale Achsensysteme, kinematische Eigenschaften, Kräfte und Momente ist in 1, 2 und 3 gezeigt.
• Das Fahrzeugachsensystem (X_V, Y_V, Z_V) ist ein Achsensystem, dass im Referenzrahmen der gefederten Fahrzeugmasse verankert ist, so dass die X_V-Achse im Wesentlichen horizontal und nach vorn ausgerichtet (wenn das Fahrzeug 1 im Stillstand ist) und parallel zur Symmetrie-Längsebene des Fahrzeugs 1 ist. Die Y_V-Achse ist rechtwinklig zur Symmetrie-Längsebene des Fahrzeugs 1 und zeigt nach links, wobei die Z_V-Achse nach oben zeigt. Der Ursprung des zugehörigen Fahrzeug-Koordinatensystems (x_V, y_V, z_V) befindet sich bei statischer Referenzlastbedingung in der Mitte der Vorderachse.
• Das erdfeste Achsensystem (X_E, Y_E, Z_E) ist ein Achsensystem, das im Trägheitsreferenzrahmen festgelegt ist. X_E und Y_E sind parallel zur Ebene des Untergrunds. Z_E zeigt nach oben und ist am Schwerkraftvektor ausgerichtet. Das zugeordnete erdfeste Koordinatensystem (x_E, y_E, z_E) hat seinen Ursprung in der Ebene des Untergrunds.
• Das zwischengeschaltete horizontierte Achsensystem (X, Y, Z) ist ein Achsensystem, dessen X- und Y-Achsen parallel zur Ebene des Untergrunds sind, wobei die X-Achse auf die vertikale Projektion der X_V-Achse auf die Ebene des Untergrunds ausgerichtet ist. Der Ursprung des zugeordneten Koordinatensystems (x, y, z) fällt mit dem Ursprung des Fahrzeug-Koordinatensystems zusammen.
• Das Fahrbahn-Ebenen-Achsensystem (X_R, Y_R, Z_R) ist ein Achsensystem, dessen X_R- und Y_R-Achsen parallel zur Fahrbahn-Ebene liegen, wobei die X_R-Achse auf die vertikale Projektion der X_V-Achse auf die Fahrbahn-Ebene ausgerichtet ist. Der Ursprung des zugeordneten Fahrbahn-Koordinatensystems (x_R, y_R, z_R) fällt mit dem Ursprung des Fahrzeug-Achsensystems zusammen. Die Fahrbahnebene ist ein Best-Fit durch die vier Kontaktstellen der Reifen.
• Das Reifen-Achsensystem (X_T,1R, Y_T,1R ,Z_T,1R) für das rechte Vorderrad 1R, das Reifen-Achsensystem (X_T,1L, Y_T,1L, Z_T,1L) für das linke Vorderrad 1L, das Reifen-Achsensystem (X_T,2R, Y_T,2R,Z_T,2R) für das rechte Hinterrad 2R und das Reifen-Achsensystem (X_T,2L, Y_T,2L, Z_T,2L) für das linke Hinterrad 2L sind Achsensysteme, deren X_T- und Y_T-Achsen parallel zur Fahrbahnebene liegen, wobei die Z_T-Achse normal zur Fahrbahnebene ausgerichtet ist, wobei die Ausrichtung der X_T-Achse durch den Schnitt der Radebene und der Fahrbahnebene definiert ist, wobei die positive Z_T-Achse nach oben zeigt. 1 zeigt ferner den Neigungswinkel θ (negativ dargestellt) und den Fahrbahn-Steigungswinkel λ (negativ dargestellt) gemäß ISO 8855:2011. F_{X R,cg}, F_{Y R,cg} und F_{Z R,cg} sind beliebige Kraftvektor-Komponenten, die mit dem Fahrbahn-Achsensystem ausgerichtet und am Schwerkraftzentrum des Fahrzeugs 1 wirksam sind. M_{X R,cg}, M_{Y R,cg}, M_{Z R,cg} sind beliebige Drehmoment-Vektoren-Komponenten, die mit dem Fahrbahn-Achsensystem ausgerichtet sind.
• 2 zeigt ferner einen Wankwinkel φ (positiv dargestellt, Rotation um die X_V-Achse), den Fahrzeug-Wankwinkel φ_V (positiv dargestellt, Rotation um die X-Achse) und den Fahrbahnebenen-Sturzwinkel η (positiv dargestellt, Rotation um die X-Achse) gemäß ISO 8855:2011.
• 3 zeigt ferner den Gierwinkel ψ (positiv dargestellt, von der X_E-Achse zur X-Achse, um Z_E) und die linken und rechten vorderen Lenkwinkel δ_1L, δ_1R (positiv dargestellt, Winkel von der X_V-Achse zur Radebene, um die Z_V-Achse) gemäß ISO 8855:2011.
• Beschleunigung und Geschwindigkeit von Trajektorienkandidaten, die durch die Trajektionorienplanung bereitgestellt sind, werden als Projektionen der gewünschten Hinterachsbewegung in die zwischengeschaltete X-Y-Ebene angegeben. Damit sie als Eingangsgrößen eines Modells nutzbar sind, müssen diese Eigenschaften zu Beschleunigungen und Geschwindigkeiten konvertiert werden, die die Bewegung des Schwerkraftzentrums in der durch X_R-Y_R gegebenen Fahrbahnebene beschreiben. Die zugehörigen Koordinatentransformationen zwischen den Koordinatensystemen (x, y, z) and (x_R, y_R, z_R) werden in diesem Abschnitt abgeleitet.
• 1 zeigt die zugehörigen Rotationen. Man beachte, dass die als Eingangsgrößen bereitgestellten Winkel Fahrbahnebenen-Steigung λ (Gefälle) und Fahrbahnebenen-Sturzwinkel η (Querneigung) sind, die nicht gleich den Rotationswinkeln sind, die für die Achsenrotationen benötigt werden. Aus 1 können die folgenden Merkmale entnommen werden: $$\overline{OB}-\mathrm{1,}$$

  

  $$\overline{OC}-\mathrm{1,}$$

  

  $$\overline{AB}-\text{sin}\left({\eta }_{XR}\right),$$

  

  $$\overline{DC}=\text{sin}\left(\eta \right),$$

  

  $$\overline{AC}=\overline{AB}=\text{sin}\left({\eta }_{XR}\right),$$

  

  $$\frac{\overline{DC}}{\overline{AC}}=\text{cos}\left(\lambda \right),$$

  

  $$\overline{OE}=\text{cos}\left({\eta }_{XR}\right),$$

  

  $$\overline{EF}=\text{cos}\left({\eta }_{XR}\right),$$

  

  $$\overline{IF}=\overline{OE}=\text{cos}\left({\eta }_{XR}\right),$$

  

  $$\overline{IG}=\overline{IF}=\text{cos}\left({\eta }_{XR}\right).$$

  
• Daraus folgt: $$\text{cos}\left(\lambda \right)=\frac{\overline{DC}}{\overline{AC}}=\frac{\text{sin}\left(\eta \right)}{\text{sin}\left({\eta }_{XR}\right)},$$

  

  $$\text{sin}\left({\eta }_{XR}\right)=\frac{\text{sin}\left(\eta \right)}{\text{cos}\left(\lambda \right)},$$

  

  $$\text{sin}\left(\eta \right)=\text{sin}\left({\eta }_{XR}\right)\cdot \text{cos}\left(\lambda \right).$$

  
• 4 zeigt die Rotationen der Achsen, die den Fahrbahnebenen-Steigungswinkel λ und den Fahrbahnebenen-Sturzwinkel η ins Verhältnis setzen:
1. 1. Das Rotieren des zwischengeschalteten horizontierten Achsensystems (X, Y, Z) um den Winkel η_{X R} um X führt zu einem Hilfs-Achsensystem (X`, Y`, Z`).
2. 2. Das Rotieren des Hilfs-Achsensystems (X`, Y`, Z`) um Y (!) um den Winkel λ ergibt das Fahrbahn-Achsensystem (X<sub>R</sub>, Y<sub>R</sub>, Z<sub>R</sub>). Man bemerke, dass die Rotation um die originale Y-Achse erfolgt, nicht um Y`, was anders ist als die üblichen Euler-Winkel- oder Tait-Bryan-Winkel-Rotationen, die Rotationen um die resultierenden Achsensysteme hervorrufen. λ und η sind die Winkel zwischen X_R, Y_R und deren jeweiliger Projektion in der horizontalen Ebene. Diese Projektionen bilden kein orthogonales Paar von Vektoren.
• Um Koordinatentransformationen (oder passive Transformationen wie in M.J. Benacquista, J.D. Romano, Classical Mechanics, Springer, Cham, CH, 2018, pp. 193) zwischen (x, y, z) und (x_R, y_R, z_R) zu definieren, ist es möglich zwischen intrinsischen und extrinsischen Rotations-Matrizen zu unterscheiden (siehe M.J. Benacquista, J.D. Romano, Classical Mechanics, Springer, Cham, CH, 2018, pp. 200), welche entweder mit relativ zum rotierten Körper (intrinsisch) oder mit im Raum festgelegten Achsen (extrinsisch) definiert sind. Die Rotationen in 4 sind als eine Abfolge extrinsischer Rotationen angegeben:
1. 1. Rotieren um X um den Winkel η_{X R}.
2. 2. Rotieren um Y um den Winkel λ.
• Unter Anwendung von M.J. Benacquista, J.D. Romano, Classical Mechanics, Springer, Cham, CH, 2018 ist dies äquivalent zu den intrinsischen Rotationen:
1. 1. Rotieren um Y um den Winkel λ,
2. 2. Rotieren um X₀ (!) um den Winkel η_{X R}.
• Daher kann die Koordinatentransformation T_IR von (x, y, z) nach (x_R, y_R, z_R) unter Verwendung von zwei Rotationsmatrizen für intrinsische Rotationen angegeben werden, zum Beispiel: $$\left[\begin{array}{c}{x}_R\\ y_R\\ z_R\end{array}\right]=\underset{{\mathbf{T}}_{IR}}{\underbrace{\underset{{\mathbf{T}}_{X\text{'}}\left({\eta }_{XR}\right)}{\underbrace{\left[\begin{array}{lll}1\hfill & 0\hfill & 0\hfill \\ 0\hfill & \text{cos}\left({\eta }_{XR}\right)\hfill & \text{sin}\left({\eta }_{XR}\right)\hfill \\ 0\hfill & -\text{sin}\left({\eta }_{XR}\right)\hfill & \text{cos}\left({\eta }_{XR}\right)\hfill \end{array}\right]}}\underset{{\mathbf{T}}_Y\left(\lambda \right)}{\underbrace{\left[\begin{array}{lll}\text{cos}\left(\lambda \right)\hfill & 0\hfill & -\text{sin}\left(\lambda \right)\hfill \\ 0\hfill & 1\hfill & 0\hfill \\ \text{sin}\left(\lambda \right)\hfill & 0\hfill & \text{cos}\left(\lambda \right)\hfill \end{array}\right]}}}}\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$$

  
• Durch Kombination beider Transformationsmatrizen ist T_IR gegeben durch: $${\mathbf{T}}_{IR}=\left[\begin{array}{lll}\text{cos}\left(\lambda \right)\hfill & 0\hfill & -\text{sin}\left(\lambda \right)\hfill \\ \text{sin}\left({\eta }_{XR}\right)\text{sin}\left(\lambda \right)\hfill & \text{cos}\left({\eta }_{XR}\right)\hfill & \text{sin}\left({\eta }_{XR}\right)\text{cos}\left(\lambda \right)\hfill \\ \text{cos}\left({\eta }_{XR}\right)\text{sin}\left(\lambda \right)\hfill & -\text{sin}\left({\eta }_{XR}\right)\hfill & \text{cos}\left({\eta }_{XR}\right)\text{cos}\left(\lambda \right)\hfill \end{array}\right]$$

  
• Das Ersetzen von η_{X R} durch Gleichung (12) ergibt: $${\mathbf{T}}_{IR}=\left[\begin{array}{lll}\text{cos}\left(\lambda \right)\hfill & 0\hfill & -\text{sin}\left(\lambda \right)\hfill \\ \frac{\text{sin}\left(\eta \right)}{\text{cos}\left(\lambda \right)}\text{sin}\left(\lambda \right)\hfill & \text{cos}\left(\text{arcsin}\left(\frac{\text{sin}\left(\eta \right)}{\text{cos}\left(\lambda \right)}\right)\right)\hfill & \text{sin}\left(\eta \right)\hfill \\ \text{cos}\left(\text{arcsin}\left(\frac{\text{sin}\left(\eta \right)}{\text{cos}\left(\lambda \right)}\right)\right)\text{sin}\left(\lambda \right)\hfill & -\frac{\text{sin}\left(\eta \right)}{\text{cos}\left(\lambda \right)}\hfill & \text{cos}\left(\text{arcsin}\left(\frac{\text{sin}\left(\eta \right)}{\text{cos}\left(\lambda \right)}\right)\right)\text{cos}\left(\lambda \right)\hfill \end{array}\right]$$

  
• Die Koordinatentransformation T_ER von erdfesten Koordinaten (x_E, y_E, Z_E) zu Fahrbahnebenen-Koordinaten (x_R, y_R, z_R) kann durch Erweiterung von Gleichung (14) gefunden werden: $$\left[\begin{array}{c}{x}_R\\ y_R\\ z_R\end{array}\right]=\underset{{\text{T}}_{ER}}{\underbrace{\underset{{\text{T}}_{X\text{'}}\left({\eta }_{XR}\right)}{\underbrace{\left[\begin{array}{lll}1\hfill & 0\hfill & 0\hfill \\ 0\hfill & \text{cos}\left({\eta }_{XR}\right)\hfill & \text{sin}\left({\eta }_{XR}\right)\hfill \\ 0\hfill & -\text{sin}\left({\eta }_{XR}\right)\hfill & \text{cos}\left({\eta }_{XR}\right)\hfill \end{array}\right]}}\underset{{\text{T}}_Y\left(\lambda \right)}{\underbrace{\left[\begin{array}{lll}\text{cos}\left(\lambda \right)\hfill & 0\hfill & -\text{sin}\left(\lambda \right)\hfill \\ 0\hfill & 1\hfill & 0\hfill \\ \text{sin}\left(\lambda \right)\hfill & 0\hfill & \text{cos}\left(\lambda \right)\hfill \end{array}\right]}}\underset{{\text{T}}_{Z_E}\left(\psi \right)}{\underbrace{\left[\begin{array}{lll}\text{cos}\left(\psi \right)\hfill & \text{sin}\left(\psi \right)\hfill & 0\hfill \\ -\text{sin}\left(\psi \right)\hfill & \text{cos}\left(\psi \right)\hfill & 0\hfill \\ 0\hfill & 0\hfill & 1\hfill \end{array}\right]}}}}\left[\begin{array}{c}{x}_E\\ y_E\\ z_E\end{array}\right]$$

  
• Hierbei bezeichnet T_ZE die Matrix in Rechts-Rotation um Z_E um den Winkel ψ (vergl. 3) verbunden mit einer Koordinatentransformation von erdfesten Koordinaten (x_E, y_E, z_E) zu Zwischenkoordinaten (x, y, z), wie es in D.T. Greenwood, Principles of Dynamics, Prentice Hall, Upper Saddle River, US-NJ, 2nd edition, 1988, pp. 357 zu finden ist. Mit der Kombination aller Transformationsmatrizen ist T_ER gegeben durch: $$\begin{array}{l}{\mathbf{T}}_{ER}=[\begin{array}{l}\text{cos}\left(\psi \right)\text{cos}\left(\lambda \right)\hfill \\ -\text{sin}\left(\psi \right)\text{cos}\left({\eta }_{XR}\right)+\text{cos}\left(\psi \right)\text{sin}\left(\lambda \right)\text{sin}\left({\eta }_{XR}\right)\hfill \\ \text{sin}\left(\psi \right)\text{sin}\left({\eta }_{XR}\right)+\text{cos}\left(\psi \right)\text{sin}\left(\lambda \right)\text{cos}\left({\eta }_{XR}\right)\hfill \end{array}\\ \begin{array}{ll}\text{sin}\left(\mathrm{\psi }\right)\text{cos}\left(\mathrm{\lambda }\right)\hfill & -\text{sin}\left(\mathrm{\lambda }\right)\hfill \\ \text{cos}\left(\mathrm{\psi }\right)\text{cos}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)+\text{sin}\left(\mathrm{\psi }\right)\text{sin}\left(\mathrm{\psi }\right)\text{sin}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)\hfill & \text{cos}\left(\mathrm{\lambda }\right)\text{sin}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)\hfill \\ -\text{cos}\left(\mathrm{\psi }\right)\text{sin}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)+\text{sin}\left(\mathrm{\psi }\right)\text{sin}\left(\mathrm{\lambda }\right)\text{cos}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)\hfill & \text{cos}\left(\mathrm{\lambda }\right)\text{cos}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)\hfill \end{array}]\end{array}$$

  
• Die Matrix in Gleichung (18) enthält zur besseren Lesbarkeit einen Zeilenumbruch, wobei die erste Spalte vor dem Zeilenumbruch und die zweite und dritte Spalte nach dem Zeilenumbruch dargestellt sind.
• Für die quasistationären Fahrzeugbeschreibungen wird als Modellannahme ein Doppelspurmodell in Bewegung angenommen.
• Die folgenden Aspekte werden berücksichtigt:
• • Seitenbeschleunigung in Kurven
• • Längsbeschleunigung infolge von Fahren und Bremsen
• • aerodynamischer Zug
• • aerodynamischer Auftrieb
• • Rollmomentverteilung zwischen Vorderachse und Hinterachse
• • stationärer Einfluss von Querneigung und Gefälle
• • Rollwiderstand (nur der Einfluss des erforderlichen Motormoments)
• Die folgenden Aspekte werden vernachlässigt:
• • Roll- und Nickbewegung der Aufhängung
• • Schnelle Veränderungen von Querneigung und Gefälle
• • Unterschiede zwischen Gesamtmasse und gefederter Masse
• • asymmetrische seitliche Lastbedingungen
• • Einfluss von ABS, ASR und ESP (das heißt das Modell ist eine leicht konservative Beschreibung der Fahrzeugfähigkeiten)
• • Unterschiede in linken und rechten Antriebs- und Bremskräften (das heißt kein Torque Vectoring und kein µ-split)
• • Langsame Kurvenfahrt und Parkmanöver
• 5 ist eine schematische Ansicht des Fahrzeugs 1 in der X_R-Z_R-Ebene, wobei die Rollachse RA, das vordere Rollzentrum FRC und das hintere Rollzentrum RRC dargestellt sind. h_cg bezeichnet die Höhe des Schwerkraftzentrums, I_f den Abstand des Schwerkraftzentrums zur Vorderachse und I den Radstand. F_{X R,f}, F_{Z R,f}, F_{X R,r}, F_{Z R,r} sind Achskräfte und F_{X R,R1}, F_{Z R,R1}, F_{X R,L1}, F_{Z R,L1}, F_{X R,R2}, F_{Z R,R2}, F_{X R,L2}, F_{Z R,L2} sind Reifenkräfte. F_{X R,cg} und F_{Z R,cg} sind beliebige Kraftvektor-Komponenten, die mit dem Fahrbahnebenen-Achssystem am Schwerkraftzentrum des Fahrzeugs 1 ausgerichtet sind. M_{Y R,cg} ist eine beliebige Drehmomenten-Vektor-Komponente, die mit dem Fahrbahnebenen-Achssystem ausgerichtet ist.
• Aus 5 ist ersichtlich, dass die Gleichgewichtskräfte in Z_R-Richtung sich wie folgt ergeben: $${\text{F}}_{\text{Z}\text{,R}\text{,f}}+{\text{F}}_{\text{Z}\text{,R}\text{,r}}+{\text{F}}_{\text{Z}\text{,R}\text{,cg}}=0.$$

  
• Das Gleichgewicht der Momente um Y_R an der Vorderachse auf Bodenniveau ist: $${\text{F}}_{\text{Z}\text{,R}\text{,r}}\cdot \text{I}+{\text{F}}_{\text{Z}\text{,R}\text{,cg}}\cdot \text{If}+{\text{F}}_{\text{X}\text{,R}\text{,cg}}\cdot {\text{h}}_{\text{cg }}+{\text{M}}_{\text{Y R}\text{,cg}}=0.$$

  
• Aus (20) folgt: $$F_{ZR,r}=-\frac{l_f}{l}{F}_{ZR,cg}-\frac{h_{cg}}{l}{F}_{XR,cg}-\frac{1}{l}{M}_{YR,cg}$$

  

  und Einsetzen in Gleichung (19) führt zu: $$F_{ZR,f}=-\underset{=\frac{l_h}{l}}{\underbrace{\left(1-\frac{l_f}{l}\right)}}{F}_{Z,R,cg}+\frac{h_{cg}}{l}{F}_{XR,cg}+\frac{1}{l}{M}_{YR,cg}.$$

  
• Die Plausibilität kann leicht gesehen werden durch Einsetzen von zum Beispiel $${\text{F}}_{\text{ZR}\text{,cg}}=-\text{m}\cdot {\text{g und F}}_{\text{XR}\text{,cg}}=-\text{m}\cdot {\text{a}}_{\text{XR}}.$$

  

  Hinweis: Radlastübergang während Beschleunigung und Bremsen wird wegen Symmetrie als gleichförmig auf das linke und rechte Rad verteilt angenommen. Daher muss in (21) und (22) kein Nickzentrum und keine Nickmomentverteilung berücksichtigt werden. Allerdings wird die Rollmomentverteilung in den folgenden Abschnitten berücksichtigt.
• 6 zeigt eine schematische Ansicht des Fahrzeugs 1 in der X_R-Y_R-Ebene. F_{X R,f}, F_{Y R,f}, F_XR,r, F_{Y R,r} sind Achskräfte. F_{X R,cg}, F_{Y R,cg} und F_{Z R,cg} sind beliebige Kraftvektorkomponenten, die mit dem Fahrbahnebenen-Achssystem ausgerichtet und am Schwerkraftzentrum des Fahrzeugs 1 wirksam sind. M_{X R,cg}, M_{Y R,cg}, M_{Z R,cg} sind beliebige Drehmomenten-Vektor-Komponenten, die mit dem Fahrbahnebenen-Achssystem ausgerichtet sind.
• Aus 6 ist ersichtlich, dass die Gleichgewichtskräfte in Y_R-Richtung sich wie folgt ergeben: $${\text{F}}_{\text{YR}\text{,f}}+{\text{F}}_{\text{YR}\text{,r}}+{\text{F}}_{\text{YR}\text{,cg}}=0.$$

  
• Das Momentengleichgewicht um Z_R an der Vorderachsmitte ist: $$-{\text{F}}_{\text{YR}\text{,cg}}\cdot {\text{I}}_{\text{f}}-{\text{F}}_{\text{YR}\text{,r}}\cdot \text{I}+{\text{M}}_{\text{ZR}\text{,cg}}=0.$$

  
• Linke und rechte Brems- und Antriebskräfte werden als gleich angenommen und tragen daher nicht zum Momentengleichgewicht um Z_R bei. Daher folgt aus (24), dass $$F_{YR,r}=-\frac{l_f}{l}{F}_{YR,cg}+\frac{1}{l}{M}_{ZR,cg}$$

  

  und das Einsetzen dieser Gleichung in (25) führt zu $$F_{YR,f}=-\underset{=\frac{l_h}{l}}{\underbrace{\left(1-\frac{l_f}{l}\right)}}{F}_{YR,cg}-\frac{1}{l}{M}_{ZR,cg}.$$

  
• In X_R-Richtung gilt: $${\text{F}}_{\text{XR}\text{,f}}+{\text{F}}_{\text{XR}\text{,r}}+{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,cg}}=0.$$

  

  F_{X R,r} und F_{X R,f} werden durch Antriebs- und Bremsmomentverteilung bestimmt.
• 7 ist eine schematische Ansicht des Fahrzeugs 1 in der Y_R-Z_R-Ebene mit den Vorder- und Hinterachskräften F_{Y R,f}, F_{Y R,r} und -momenten M_{X R,f}, M_{X R,r}. F_{Y R,cg}, und F_{Z R,cg} sind beliebige Kraftvektorkomponenten, die mit dem Fahrbahnebenen-Achssystem ausgerichtet und am Schwerkraftzentrum des Fahrzeugs 1 wirksam sind. M_{X R,cg} ist eine beliebige Drehmomenten-Vektor-Komponente, die mit dem Fahrbahnebenen-Achssystem ausgerichtet ist. h_cg bezeichnet die Höhe des Schwerkraftzentrums und h_rcg ist die Höhe des Rollzentrums RC_cg an der x_R-Position des Schwerkraftzentrums.
• Das Momentengleichgewicht um die X_R-Achse kann aus 7 entnommen werden, welche die Vorder- und Hinterachskräfte F_{Y R,f}, F_{Y R,r} und -momente M_{X R,f}, M_{X R,r} sowie auch beliebige Kräfte und Momente, die am Schwerkraftzentrum wirksam sind, darstellt. Wenn das Rollzentrum RC_cg an der x_R-Position des Schwerkraftzentrums verwendet wird, um das Momentengleichgewicht um X_R auszudrücken, dann folgt, dass: $$M_{XR,cg}+\underset{:=M_{XR,f+r}}{\underbrace{M_{XR,f}+M_{XR,r}}}-\left(h_{cg}-h_{reg}\right)\cdot F_{YR,cg}=0.$$

  
• Mit der Einführung von M_{X R,f+r} kann dies umgestellt werden als: $${\text{M}}_{\text{XR}\text{,f+r}}=\left({\text{h}}_{\text{cg}}-{\text{h}}_{\text{reg}}\right)\cdot {\text{F}}_{\text{YR}\text{,cg}}-{\text{M}}_{\text{XR}\text{,cg}}.$$

  
• 8 ist eine schematische Ansicht der Vorderachse in der Y_R-Z_R-Ebene mit den Reifenkräften F_{Y R,1L}, F_{Z R,1L}, F_{Y R,1R}, F_{Z R,1R}, Chassis-Reaktions-Kräften F_{Y R,1}, F_{Z R,1} und dem Chassis-Reaktions-Moment M_{X R,1}. h_rf bezeichnet die Höhe des Rollzentrums der Vorderachse FRC und b_f ist die Spurweite der Vorderachse. Man beachte, dass die Reifenkräfte F_{Y R,1L} und F_{Y R,1R} immer noch als Vektorkomponenten in Fahrbahnebenen-Koordinaten angegeben sind, die nicht mit F_{Y T,1L} und F_{Y T,1R} in Reifenkoordinaten übereinstimmen.
• Wenn man eine Rollmomentenverteilung einführt, die den Einfluss der Steifheiten der Aufhängung und des Stabilisators zusammenfasst, ist es möglich, die Rollmomente der Vorder- und Hinterachse zu erhalten, die durch den Versatz zwischen dem Schwerkraftzentrum und der Rollachse verursacht werden: $$M_{XR,f}=\kappa \cdot M_{XR,f+r}=\kappa \left(\left(h_{cg}-h_{reg}\right)\cdot F_{YR,cg}-M_{XR,cg}\right),$$

  

  $$M_{XR,r}=\left(1-\kappa \right)\cdot M_{XR,f+r}=\left(1-\kappa \right)\left(\left(h_{cg}-h_{reg}\right)\cdot F_{YR,cg}-M_{XR,cg}\right)$$

  
• Da die Rollmomentverteilung und die Achskräfte verfügbar sind, ist es möglich, die vertikalen Reifenkräfte zu berechnen wie in 8 dargestellt.
• Das Kräftegleichgewicht in Z_R- und Y_R-Richtung ergibt: $${\text{F}}_{\text{ZR}\text{,1L}}+{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,1R}}+{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,1}}=\mathrm{0,}$$

  

  $${\text{F}}_{\text{YR}\text{,1L}}+{\text{F}}_{\text{YR}\text{,1R}}+{\text{F}}_{\text{YR}\text{,1}}=\mathrm{0,}$$

  

  $${\text{F}}_{\text{ZR}\text{,2L}}+{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,2R}}+{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,2}}=\mathrm{0,}$$

  

  $${\text{F}}_{\text{YR}\text{,2L}}+{\text{F}}_{\text{YR}\text{,2R}}+{\text{F}}_{\text{YR}\text{,2}}=0.$$

  
• Das Momentengleichgewicht um die Symmetrieachse auf Fahrbahnebenen-Niveau ergibt: $$\frac{b_f}{2}{F}_{ZR\mathrm{,1}L}-\frac{b_f}{2}{F}_{ZR\mathrm{,1}R}-h_{rf}\cdot F_{YR\mathrm{,1}}+M_{XR\mathrm{,1}}=\mathrm{0,}$$

  

  $$\frac{b_f}{2}{F}_{ZR\mathrm{,2}L}-\frac{b_f}{2}{F}_{ZR\mathrm{,2}R}-h_{rr}\cdot F_{YR\mathrm{,2}}+M_{XR\mathrm{,2}}=0.$$

  
• Mit Newtons drittem Gesetz werden die Chassis-Reaktions-Kräfte und die Achskräfte wie folgt ins Verhältnis gesetzt: $${\text{F}}_{\text{YR}\text{,1}}={\text{F}}_{\text{YR}\text{,f}},$$

  

  $${\text{F}}_{\text{ZR}\text{,1}}=-{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,f}},$$

  

  $${\text{M}}_{\text{XR}\text{,1}}=-{\text{M}}_{\text{XR}\text{,f}}.$$

  
• Die Anwendung dessen und (32) bis (37) führt zu: $${\text{F}}_{\text{ZR}\text{,1L}}+{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,1R}}+{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,f}}=\mathrm{0,}$$

  

  $${\text{F}}_{\text{YR}\text{,1L}}+{\text{F}}_{\text{YR}\text{,1R}}+{\text{F}}_{\text{YR}\text{,f}}=\mathrm{0,}$$

  

  $${\text{F}}_{\text{ZR}\text{,2L}}+{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,2R}}+{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,r}}=\mathrm{0,}$$

  

  $${\text{F}}_{\text{YR}\text{,2L}}+{\text{F}}_{\text{YR}\text{,2R}}+{\text{F}}_{\text{YR}\text{,r}}=0.$$

  

  $$\frac{{\text{b}}_{\text{f}}}{\text{2}}\underset{:=2\cdot \Delta {\text{F}}_{\text{ZR}\text{,1}}}{\underbrace{\left({\text{F}}_{\text{ZR}\text{,1L}}-{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,1R}}\right)}}+{\text{h}}_{\text{rf}}\cdot {\text{F}}_{\text{YR}\text{,f}}+{\text{M}}_{\text{XR}\text{,f}}=\mathrm{0,}$$

  

  $$\frac{{\text{b}}_{\text{r}}}{\text{2}}\underset{:=2\cdot \Delta {\text{F}}_{\text{ZR}\text{,2}}}{\underbrace{\left({\text{F}}_{\text{ZR}\text{,2L}}-{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,2R}}\right)}}-{\text{h}}_{\text{rr}}\cdot {\text{F}}_{\text{YR}\text{,r}}+{\text{M}}_{\text{XR}\text{,r}}=0.$$

  
• Die Lösung von (41) und (43) sowohl für F_{Z R,1L}, F_{Z R,1R} als auch für F_{Z R,2L}, F_{Z R,2R} und das anschließende Einsetzen der Ergebnisse in (45) und (46) ergibt: $$\frac{{\text{b}}_{\text{f}}}{\text{2}}\left({\text{F}}_{\text{ZR}\text{,1L}}-{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,f}}+{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,1L}}\right)+{\text{h}}_{\text{rf}}\cdot {\text{F}}_{\text{YR}\text{,f}}-{\text{M}}_{\text{XR}\text{,f}}=\mathrm{0,}$$

  

  $${\text{b}}_{\text{f}}\cdot {\text{F}}_{\text{ZR}\text{,1L}}-\frac{{\text{b}}_{\text{f}}}{2}{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,f}}+{\text{h}}_{\text{rf}}\cdot {\text{F}}_{\text{YR}\text{,f}}-{\text{M}}_{\text{XR}\text{,f}}=\mathrm{0,}$$

  

  $${\text{F}}_{\text{ZR}\text{,1L}}=\frac{1}{2}{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,f}}-\frac{{\text{h}}_{\text{rf}}}{{\text{b}}_{\text{f}}}{\text{F}}_{\text{YR}\text{,f}}+\frac{1}{{\text{b}}_{\text{f}}}{\text{M}}_{\text{XR}\text{,f}}$$

  

  $$\frac{{\text{b}}_{\text{f}}}{2}\left({\text{F}}_{\text{ZR}\text{,f}}-{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,1R}}-{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,1R}}\right)+{\text{h}}_{\text{rf}}\cdot {\text{F}}_{\text{YR}\text{,f}}-{\text{M}}_{\text{XR}\text{,f}}=\mathrm{0,}$$

  

  $$\frac{{\text{b}}_{\text{f}}}{2}{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,f}}-{\text{b}}_{\text{f}}\cdot {\text{F}}_{\text{ZR}\text{,1R}}+{\text{h}}_{\text{rf}}\cdot {\text{F}}_{\text{YR}\text{,f}}-{\text{M}}_{\text{XR}\text{,f}}=\mathrm{0,}$$

  

  $${\text{F}}_{\text{ZR}\text{,1R}}=\frac{1}{2}{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,f}}+\frac{{\text{h}}_{\text{rf}}}{{\text{b}}_{\text{f}}}{\text{F}}_{\text{YR}\text{,f}}-\frac{1}{{\text{b}}_{\text{f}}}{\text{M}}_{\text{XR}\text{,f}}$$

  

  $$\frac{{\text{b}}_{\text{r}}}{2}\left({\text{F}}_{\text{ZR}\text{,2L}}-{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,r}}+{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,2L}}\right)+{\text{h}}_{\text{rr}}\cdot {\text{F}}_{\text{YR}\text{,r}}-{\text{M}}_{\text{XR}\text{,r}}=\mathrm{0,}$$

  

  $${\text{b}}_{\text{r}}\cdot {\text{F}}_{\text{ZR}\text{,2L}}-\frac{{\text{b}}_{\text{r}}}{2}{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,r}}+{\text{h}}_{\text{rr}}\cdot {\text{F}}_{\text{YR}\text{,r}}-{\text{M}}_{\text{XR}\text{,r}}=\mathrm{0,}$$

  

  $${\text{F}}_{\text{ZR}\text{,2L}}=\frac{1}{2}{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,r}}-\frac{{\text{h}}_{\text{rr}}}{{\text{b}}_{\text{r}}}{\text{F}}_{\text{YR}\text{,r}}+\frac{1}{{\text{b}}_{\text{r}}}{\text{M}}_{\text{XR}\text{,r}}$$

  

  $$\frac{{\text{b}}_{\text{r}}}{2}\left({\text{F}}_{\text{ZR}\text{,r}}-{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,2R}}-{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,2R}}\right)+{\text{h}}_{\text{rr}}\cdot {\text{F}}_{\text{YR}\text{,r}}-{\text{M}}_{\text{XR}\text{,r}}=\mathrm{0,}$$

  

  $$\frac{{\text{b}}_{\text{r}}}{2}{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,r}}-{\text{b}}_{\text{r}}\cdot {\text{F}}_{\text{ZR}\text{,2R}}+{\text{h}}_{\text{rr}}\cdot {\text{F}}_{\text{YR}\text{,r}}-{\text{M}}_{\text{XR}\text{,r}}=\mathrm{0,}$$

  

  $${\text{F}}_{\text{ZR}\text{,2R}}=\frac{1}{2}{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,r}}+\frac{{\text{h}}_{\text{rr}}}{{\text{b}}_{\text{r}}}{\text{F}}_{\text{YR}\text{,r}}-\frac{1}{{\text{b}}_{\text{r}}}{\text{M}}_{\text{XR}\text{,r}}$$

  
• Einsetzen von (22), (26) und (30) in (49) und (52) ergibt: $$\begin{array}{l}{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,1L}}=\frac{1}{2}\left(\left(1-\frac{{\text{l}}_{\text{f}}}{\text{l}}\right){\text{F}}_{\text{ZR}\text{,cg}}+\frac{{\text{h}}_{\text{cg}}}{\text{l}}{\text{F}}_{\text{XR}\text{,cg}}+\frac{1}{\text{l}}{\text{M}}_{\text{YR}\text{,cg}}\right)\\ -\frac{{\text{h}}_{\text{rf}}}{{\text{b}}_{\text{f}}}\left(-\left(1-\frac{{\text{l}}_{\text{f}}}{\text{l}}\right){\text{F}}_{\text{YR}\text{,cg}}-\frac{1}{\text{l}}{\text{M}}_{\text{ZR}\text{,cg}}\right)\\ +\frac{1}{{\text{b}}_{\text{f}}}\cdot \mathrm{\kappa }\left(\left({\text{h}}_{\text{cg}}-{\text{h}}_{\text{reg}}\right){\text{F}}_{\text{YR}\text{,cg}}-{\text{M}}_{\text{XR}\text{,cg}}\right),\end{array}$$

  

  $$\begin{array}{l}\underset{\ge 0\left(\text{constraint}\right)}{\underbrace{{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,1L}}}}=\frac{1}{2}\frac{{\text{h}}_{\text{cg}}}{\text{l}}{\text{F}}_{\text{XR}\text{,cg}}-\frac{1}{{\text{b}}_{\text{f}}}\cdot \mathrm{\kappa }\cdot {\text{M}}_{\text{XR}\text{,cg}}\\ +\left(\frac{{\text{h}}_{\text{rf}}}{{\text{b}}_{\text{f}}}\left(1-\frac{{\text{l}}_{\text{f}}}{\text{l}}\right)+\mathrm{\kappa }\frac{{\text{h}}_{\text{cg}}-{\text{h}}_{\text{reg}}}{{\text{b}}_{\text{f}}}\right){\text{F}}_{\text{YR}\text{,cg}}+\frac{1}{2\cdot \text{l}}{\text{M}}_{\text{YR}\text{,cg}}\\ -\frac{1}{2}\left(1-\frac{{\text{l}}_{\text{f}}}{\text{l}}\right){\text{F}}_{\text{ZR}\text{,cg}}+\frac{{\text{h}}_{\text{rf}}}{{\text{b}}_{\text{f}}\cdot \text{l}}{\text{M}}_{\text{ZR}\text{,cg}},\end{array}$$

  

  $$\begin{array}{l}{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,1R}}=\frac{1}{2}\left(-\left(1-\frac{{\text{l}}_{\text{f}}}{\text{l}}\right){\text{F}}_{\text{ZR}\text{,cg}}+\frac{{\text{h}}_{\text{cg}}}{\text{l}}{\text{F}}_{\text{XR}\text{,cg}}+\frac{1}{\text{l}}{\text{M}}_{\text{YR}\text{,cg}}\right)\\ +\frac{{\text{h}}_{\text{rf}}}{{\text{b}}_{\text{f}}}\left(-\left(1-\frac{{\text{l}}_{\text{f}}}{\text{l}}\right){\text{F}}_{\text{YR}\text{,cg}}-\frac{1}{\text{l}}{\text{M}}_{\text{ZR}\text{,cg}}\right)\\ -\frac{1}{{\text{b}}_{\text{f}}}\cdot \mathrm{\kappa }\left(\left({\text{h}}_{\text{cg}}-{\text{h}}_{\text{reg}}\right){\text{F}}_{\text{YR}\text{,cg}}-{\text{M}}_{\text{XR}\text{,cg}}\right),\end{array}$$

  

  $$\begin{array}{l}\underset{\ge 0\left(\text{constraint}\right)}{\underbrace{{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,1R}}}}=\frac{1}{2}\frac{{\text{h}}_{\text{cg}}}{\text{l}}{\text{F}}_{\text{XR}\text{,cg}}+\frac{1}{{\text{b}}_{\text{f}}}\cdot \mathrm{\kappa }\cdot {\text{M}}_{\text{XR}\text{,cg}}\\ -\left(\frac{{\text{h}}_{\text{rf}}}{{\text{b}}_{\text{f}}}\left(1-\frac{{\text{l}}_{\text{f}}}{\text{l}}\right)+\mathrm{\kappa }\frac{{\text{h}}_{\text{cg}}-{\text{h}}_{\text{reg}}}{{\text{b}}_{\text{f}}}\right){\text{F}}_{\text{YR}\text{,cg}}+\frac{1}{2\cdot \text{l}}{\text{M}}_{\text{YR}\text{,cg}}\\ -\frac{1}{2}\left(1-\frac{{\text{l}}_{\text{f}}}{\text{l}}\right){\text{F}}_{\text{ZR}\text{,cg}}-\frac{{\text{h}}_{\text{rf}}}{{\text{b}}_{\text{f}}\cdot \text{l}}{\text{M}}_{\text{ZR}\text{,cg}},\end{array}$$

  
• Einsetzen von (21), (25) und (31) in (55) und (58) ergibt: $$\begin{array}{l}{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,2L}}=\frac{1}{2}\left(-\frac{{\text{l}}_{\text{f}}}{\text{l}}{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,cg}}-\frac{{\text{h}}_{\text{cg}}}{\text{l}}{\text{F}}_{\text{XR}\text{,cg}}-\frac{1}{\text{l}}{\text{M}}_{\text{YR}\text{,cg}}\right)\\ -\frac{{\text{h}}_{\text{rf}}}{{\text{b}}_{\text{f}}}\left(-\frac{{\text{l}}_{\text{f}}}{\text{l}}{\text{F}}_{\text{YR}\text{,cg}}+\frac{1}{\text{l}}{\text{M}}_{\text{ZR}\text{,cg}}\right)\\ +\frac{1}{{\text{b}}_{\text{r}}}\cdot \left(\mathrm{1}-\mathrm{\kappa }\right)\left(\left({\text{h}}_{\text{cg}}-{\text{h}}_{\text{reg}}\right){\text{F}}_{\text{YR}\text{,cg}}-{\text{M}}_{\text{XR}\text{,cg}}\right),\end{array}$$

  

  $$\begin{array}{l}\underset{\ge 0\left(\text{constraint}\right)}{\underbrace{{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,2L}}}}=-\frac{1}{2}\frac{{\text{h}}_{\text{cg}}}{\text{l}}{\text{F}}_{\text{XR}\text{,cg}}-\frac{1}{{\text{b}}_{\text{r}}}\cdot \left(1-\mathrm{\kappa }\right)\cdot {\text{M}}_{\text{XR}\text{,cg}}\\ +\left(\frac{{\text{h}}_{\text{rr}}}{{\text{b}}_{\text{r}}}\frac{{\text{l}}_{\text{f}}}{\text{l}}+\left(1-\mathrm{\kappa }\right)\frac{{\text{h}}_{\text{cg}}-{\text{h}}_{\text{reg}}}{{\text{b}}_{\text{r}}}\right){\text{F}}_{\text{YR}\text{,cg}}-\frac{1}{2\cdot \text{l}}{\text{M}}_{\text{YR}\text{,cg}}\\ -\frac{1}{2}\frac{{\text{l}}_{\text{f}}}{\text{l}}{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,cg}}-\frac{{\text{h}}_{\text{rf}}}{{\text{b}}_{\text{r}}\cdot \text{l}}{\text{M}}_{\text{ZR}\text{,cg}},\end{array}$$

  

  $$\begin{array}{l}{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,2R}}=\frac{1}{2}\left(-\frac{{\text{l}}_{\text{f}}}{\text{l}}{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,cg}}-\frac{{\text{h}}_{\text{cg}}}{\text{l}}{\text{F}}_{\text{XR}\text{,cg}}-\frac{1}{\text{l}}{\text{M}}_{\text{YR}\text{,cg}}\right)\\ +\frac{{\text{h}}_{\text{rf}}}{{\text{b}}_{\text{f}}}\left(-\frac{{\text{l}}_{\text{f}}}{\text{l}}{\text{F}}_{\text{YR}\text{,cg}}+\frac{1}{\text{l}}{\text{M}}_{\text{ZR}\text{,cg}}\right)\\ -\frac{1}{{\text{b}}_{\text{r}}}\cdot \left(1-\mathrm{\kappa }\right)\left(\left({\text{h}}_{\text{cg}}-{\text{h}}_{\text{reg}}\right){\text{F}}_{\text{YR}\text{,cg}}-{\text{M}}_{\text{XR}\text{,cg}}\right),\end{array}$$

  

  $$\begin{array}{l}\underset{\ge 0\left(\text{constraint}\right)}{\underbrace{{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,2R}}}}=-\frac{1}{2}\frac{{\text{h}}_{\text{cg}}}{\text{l}}{\text{F}}_{\text{XR}\text{,cg}}+\frac{1}{{\text{b}}_{\text{r}}}\cdot \left(1-\mathrm{\kappa }\right)\cdot {\text{M}}_{\text{XR}\text{,cg}}\\ -\left(\frac{{\text{h}}_{\text{rr}}}{{\text{b}}_{\text{r}}}\frac{{\text{l}}_{\text{f}}}{\text{l}}+\left(1-\mathrm{\kappa }\right)\frac{{\text{h}}_{\text{cg}}-{\text{h}}_{\text{reg}}}{{\text{b}}_{\text{r}}}\right){\text{F}}_{\text{YR}\text{,cg}}-\frac{1}{2\cdot \text{l}}{\text{M}}_{\text{YR}\text{,cg}}\\ -\frac{1}{2}\frac{{\text{l}}_{\text{f}}}{\text{l}}{\text{F}}_{\text{ZR}\text{,cg}}+\frac{{\text{h}}_{\text{rf}}}{{\text{b}}_{\text{r}}\cdot \text{l}}{\text{M}}_{\text{ZR}\text{,cg}},\end{array}$$

  
• F_{Z R,1L}, F_{Z R,1R}, F_{Z R,2L}, F_{Z R,2R} in den oben angegebenen Gleichungen müssen auf Werte >= 0 begrenzt werden, da negative Kräfte infolge des Anhebens des Rads nicht möglich sind.
• Um die seitliche Reifenkraftverteilung und die maximalen horizontalen Reifenkräfte zu berechnen wird das Konzept der effektiven Radlasten eingeführt. Maximale horizontale Reifenkräfte erhöhen sich nicht linear mit der Radlast, sondern zeigen ein leicht degressives Verhalten. Das bedeutet, dass zwei gleichförmig belastete Räder zusammen eine höhere maximale horizontale Reifenkraft aufbringen als zwei ungleichförmig belastete Räder, auch wenn sie dieselbe Summe vertikaler Kräfte aufweisen. Es gibt verschiedene Ansätze dieses Verhalten zu modellieren. Hier wird ein Ansatz nach R. Orend, Modelling and Control of a vehicle with single-wheel chassis actuators, IFAC Proceedings Volume 38, Issue 1, Pages 79-84, 2005 verwendet, der die effektiven Radlasten F_ZT,eff,i wie folgt einführt: $${\text{F}}_{\text{ZT}\text{,eff}\text{,i}}={\text{F}}_{\text{ZT}\text{,i}}\left(1+{\text{k}}_{\text{FZ}}\frac{{\text{F}}_{\text{ZT}\text{,N}\text{,i}}-{\text{F}}_{\text{ZT}\text{,i}}}{{\text{F}}_{\text{ZT}\text{,N}\text{,i}}}\right),\text{ i}\in \left\{\text{1L}\text{, }1\text{R}\text{, }2\text{L}\text{, }2\text{R}\right\},$$

  

  wobei 0 ≤ k_FZ ≤ 1 einen empirischen Radlast-Degressions-Faktor und F_ZT,N,i die nominale Radlast bezeichnet.
• Wenn nur longitudinale oder nur seitliche Reifenkräfte vorausgesetzt werden, können die jeweiligen Spitzenkräfte wie folgt modelliert werden: $${\text{F}}_{\text{XT}\text{,max}\text{,i}}\mathrm{=}{\mathrm{\mu }}_{\text{max}}\cdot {\text{F}}_{\text{ZT}\text{,eff}\text{,i}},$$

  

  $${\text{F}}_{\text{YT}\text{,max}\text{,i}}\mathrm{=}{\mathrm{\mu }}_{\text{max}}\cdot {\mathrm{\mu }}_{\text{q1}}\cdot {\text{F}}_{\text{ZT}\text{,eff}\text{,i}},\text{ i}\in \left\{\text{1L}\text{, }1\text{R}\text{, }2\text{L}\text{, }2\text{R}\right\},$$

  

  wobei µ_max das Reibwertpotenzial und µ_ql das Verhältnis von seitlichem Grip zu longitudinalem Grip bezeichnet, welches anisotrope Reifenkrafteigenschaften modelliert.
• Um die horizontalen Reifenkräfte in X_R-Richtung zu berechnen, werden die Definition $${\text{F}}_{\text{XR}\text{,r+f}}\mathrm{:=}{\text{F}}_{\text{XR}\text{,r}}+{\text{F}}_{\text{XR}\text{,f}}$$

  

  und (27) verwendet, um Folgendes zu bilden: $${\text{F}}_{\text{XR}\text{,r+f}}\mathrm{:=}{\text{F}}_{\text{XR}\text{,r}}+{\text{F}}_{\text{XR}\text{,f}}=-{\text{F}}_{\text{XR}\text{,cg}}.$$

  
• Wenn man die Antriebs- und Bremsmomentverteilungen γ_d und γ_b einführt, die zusammen als γ_d/b bezeichnet werden, dann sind die Vorderachsen- und Hinterachsenkräfte in X_R-Richtung wie folgt gegeben: $${\text{F}}_{\text{XR}\text{,f}}\mathrm{=}{\mathrm{\gamma }}_{\text{d}|\text{b}}\cdot {\text{F}}_{\text{XR}\text{,r+f}}=-{\mathrm{\gamma }}_{\text{d}|\text{b}}\cdot {\text{F}}_{\text{XR}\text{,cg}},$$

  

  $${\text{F}}_{\text{XR}\text{,r}}\mathrm{=}\left(1-{\mathrm{\gamma }}_{\text{d}|\text{b}}\right)\cdot {\text{F}}_{\text{XR}\text{,r+f}}=-\left(1-{\mathrm{\gamma }}_{\text{d}|\text{b}}\right)\cdot {\text{F}}_{\text{XR}\text{,cg}}.$$

  
• Unter der Annahme von gleichen linken und rechten Antriebs- und Bremskräften wie oben erwähnt führt dies zu: $${\text{F}}_{\text{XR}\text{,1L}}\mathrm{=}{\text{F}}_{\text{XR}\text{,1R}}=-\frac{{\mathrm{\gamma }}_{\text{d}|\text{b}}}{2}\cdot {\text{F}}_{\text{XR}\text{,cg}},$$

  

  $${\text{F}}_{\text{XR}\text{,2L}}\mathrm{=}{\text{F}}_{\text{XR}\text{,2R}}=-\frac{\left(\mathrm{1-}{\mathrm{\gamma }}_{\text{d}|\text{b}}\right)}{2}\cdot {\text{F}}_{\text{XR}\text{,cg}}.$$

  
• Um die Reifenkräfte in Y_R-Richtung zu berechnen, wird die folgende Funktion verwendet wie in D. Ammon, Modellbildung und Systementwicklung in der Fahrzeugdynamik, Teubner, Stuttgart, DE, 1997 beschrieben: $$\begin{array}{cc}{\text{F}}_{\text{YT}\text{,i}}=\frac{{\mathrm{\alpha }}_{\text{i}}}{\sqrt{{\mathrm{\alpha }}_{\text{i}}^2+{\text{s}}_{\text{i}}^2}}\underset{{\text{=µ}}_{\text{max}}\cdot {\text{ µ}}_{\text{ql}}}{\underbrace{{\mathrm{\mu }}_{\text{Y}\text{,max}}}}\cdot {\text{F}}_{\text{ZT}\text{,eff}\text{,i}}\cdot & \underset{\text{noemalized shape function with sin }\left[\mathrm{0,1}\right]}{\underbrace{\text{g}\left(\frac{\sqrt{{\mathrm{\alpha }}_{\text{i}}^2+{\text{s}}_{\text{i}}^2}}{{\mathrm{\alpha }}_{\text{max}\text{,N}}\cdot {\mathrm{\mu }}_{\text{Y}\text{,max}}}\right)}}\\ i\in \left\{1L,1R,2L,2R\right\},& \end{array},$$

  
• α_i bezeichnet den Seitenschlupf-Winkel und s_i den Längsschlupf wie in D. Ammon, Modellbildung und Systementwicklung in der Fahrzeugdynamik, Teubner, Stuttgart, DE, 1997 definiert. Die normalisierte Formfunktion ist bei 1 für größere Seitenschlupfwinkel gesättigt, was der einzige interessante Bereich für die weiteren Überlegungen ist. α_max,N ist ein Skalierungsfaktor ohne weitere Bedeutung in der vorliegenden Arbeit.
• Unter der Annahme von seitlichen Reifenkräften F_{Y T,i} mit $$i\in \left\{1L,1R,2L,2R\right\},$$

  

  in der Nähe der Grenzen und daher im Sättigungsbereich von F_{Y T,i} können die folgenden Annahmen getroffen werden: $${\mathrm{\alpha }}_{1\text{R}}\approx {\mathrm{\alpha }}_{1\text{L}},{\mathrm{\alpha }}_{\text{2R}}\approx {\mathrm{\alpha }}_{\text{2L}},{\text{ s}}_{1\text{R}}\approx {\text{s}}_{1\text{L}},{\text{ s}}_{\text{2R}}\approx {\text{s}}_{1\text{L}},$$

  
• Bei Verwendung dieser Annahmen und von (76) kann das Verhältnis von linken und rechten Reifenkräften pro Achse wie folgt geschätzt werden: $$\frac{{\text{F}}_{\text{YR}\text{,1L}}}{{\text{F}}_{\text{YR}\text{,1R}}}\approx \frac{{\text{F}}_{\text{YR}\text{,1L}}}{{\text{F}}_{\text{YR}\text{,1R}}}\approx \frac{{\text{F}}_{\text{ZT}\text{,eff}\text{,1L}}}{{\text{F}}_{\text{ZT}\text{,eff}\text{,1R}}},$$

  

  $$\frac{{\text{F}}_{\text{YR},\text{2L}}}{{\text{F}}_{\text{YR},\text{2R}}}\approx \frac{{\text{F}}_{\text{YT},\text{2L}}}{{\text{F}}_{\text{YT},\text{2R}}}\approx \frac{{\text{F}}_{\text{ZT},\text{eff},\text{2L}}}{{\text{F}}_{\text{ZT},\text{eff},\text{2R}}}.$$

  
• Das bedeutet, dass die seitliche Reifenkraft basierend auf dem effektiven Radlastverhältnis verteilt ist.
• Setzt man Reifen- und Achskräfte in Y_R-Richtung ins Verhältnis, so ergibt sich: $${\text{F}}_{\text{YR},\text{f}}={\text{F}}_{\text{YR}\mathrm{,1}\text{L}}+{\text{F}}_{\text{YR}\mathrm{,1}\text{R}},$$

  

  $${\text{F}}_{\text{YR},\text{r}}={\text{F}}_{\text{YR}\mathrm{,2}\text{L}}+{\text{F}}_{\text{YR}\mathrm{,2}\text{R}}.$$

  
• Durch Verwendung von (78) und (79) kann dies wie folgt umgestellt werden: $${\text{F}}_{\text{YR},\text{f}}={\text{F}}_{\text{YR}\mathrm{,1}\text{R}}\left(\frac{{\text{F}}_{\text{ZT},\text{eff}\mathrm{,1}\text{L}}}{{\text{F}}_{\text{ZT},\text{eff}\mathrm{,1}\text{R}}}+1\right),$$

  

  $${\text{F}}_{\text{YR},\text{f}}={\text{F}}_{\text{YR}\mathrm{,1}\text{L}}\left(1+\frac{{\text{F}}_{\text{ZT},\text{eff}\mathrm{,1}\text{R}}}{{\text{F}}_{\text{ZT},\text{eff}\mathrm{,1}\text{L}}}\right),$$

  

  $${\text{F}}_{\text{YR},\text{r}}={\text{F}}_{\text{YT},\text{2R}}\left(\frac{{\text{F}}_{\text{ZT},\text{eff},\text{2L}}}{{\text{F}}_{\text{ZT},\text{eff},\text{2R}}}+1\right),$$

  

  $${\text{F}}_{\text{YR},\text{r}}={\text{F}}_{\text{YT},\text{2L}}\left(1+\frac{{\text{F}}_{\text{ZT},\text{eff},\text{2R}}}{{\text{F}}_{\text{ZT},\text{eff},\text{2L}}}\right).$$

  
• Lösen nach den Reifenkräften ergibt: $${\text{F}}_{\text{YR}\mathrm{,1}\text{R}}=\frac{{\text{F}}_{\text{ZT},\text{eff}\mathrm{,1}\text{R}}}{{\text{F}}_{\text{ZT},\text{eff}\mathrm{,1}\text{L}}+{\text{F}}_{\text{ZT},\text{eff}\mathrm{,1}\text{R}}}{\text{F}}_{\text{YR},\text{f}},$$

  

  $${\text{F}}_{\text{YR}\mathrm{,1}\text{L}}=\frac{{\text{F}}_{\text{ZT},\text{eff}\mathrm{,1}\text{L}}}{{\text{F}}_{\text{ZT},\text{eff}\mathrm{,1}\text{L}}+{\text{F}}_{\text{ZT},\text{eff}\mathrm{,1}\text{R}}}{\text{F}}_{\text{YR},\text{f}},$$

  

  $${\text{F}}_{\text{YR}\mathrm{,2}\text{R}}=\frac{{\text{F}}_{\text{ZT},\text{eff}\mathrm{,2}\text{R}}}{{\text{F}}_{\text{ZT},\text{eff}\mathrm{,2}\text{L}}+{\text{F}}_{\text{ZT},\text{eff}\mathrm{,2}\text{R}}}{\text{F}}_{\text{YR},\text{f}},$$

  

  $${\text{F}}_{\text{YR}\mathrm{,2}\text{L}}=\frac{{\text{F}}_{\text{ZT},\text{eff}\mathrm{,2}\text{L}}}{{\text{F}}_{\text{ZT},\text{eff}\mathrm{,2}\text{L}}+{\text{F}}_{\text{ZT},\text{eff}\mathrm{,2}\text{R}}}{\text{F}}_{\text{YR},\text{f}},$$

  
• Einsetzen von (26) und (25) ergibt die Reifenkräfte in Y_R-Richtung: $${\text{F}}_{\text{YR}\mathrm{,1}\text{R}}=\frac{{\text{F}}_{\text{ZT},\text{eff}\mathrm{,1}\text{R}}}{{\text{F}}_{\text{ZT},\text{eff}\mathrm{,1}\text{L}}+{\text{F}}_{\text{ZT},\text{eff}\mathrm{,1}\text{R}}}\left(-\underset{=\frac{{\text{l}}_{\text{h}}}{\text{l}}}{\underbrace{\left(1-\frac{{\text{l}}_{\text{f}}}{\text{l}}\right)}}{\text{F}}_{\text{YR},\text{cg}}-\frac{1}{\text{l}}{\text{M}}_{\text{ZR},\text{cg}}\right),$$

  

  $${\text{F}}_{\text{YR}\mathrm{,1}\text{L}}=\frac{{\text{F}}_{\text{ZT},\text{eff}\mathrm{,1}\text{L}}}{{\text{F}}_{\text{ZT},\text{eff}\mathrm{,1}\text{L}}+{\text{F}}_{\text{ZT},\text{eff}\mathrm{,1}\text{R}}}\left(-\underset{=\frac{{\text{l}}_{\text{h}}}{\text{l}}}{\underbrace{\left(1-\frac{{\text{l}}_{\text{f}}}{\text{l}}\right)}}{\text{F}}_{\text{YR},\text{cg}}-\frac{1}{\text{l}}{\text{M}}_{\text{ZR},\text{cg}}\right),$$

  

  $${\text{F}}_{\text{YR},\text{2R}}=\frac{{\text{F}}_{\text{ZT},\text{eff},\text{2R}}}{{\text{F}}_{\text{ZT},\text{eff},\text{2L}}+{\text{F}}_{\text{ZT},\text{eff},\text{2R}}}\left(-\frac{{\text{l}}_{\text{f}}}{\text{l}}{\text{F}}_{\text{YR},\text{cg}}+\frac{1}{\text{l}}{\text{M}}_{\text{ZR},\text{cg}}\right),$$

  

  $${\text{F}}_{\text{YR},\text{2L}}=\frac{{\text{F}}_{\text{ZT},\text{eff},\text{2L}}}{{\text{F}}_{\text{ZT},\text{eff},\text{2L}}+{\text{F}}_{\text{ZT},\text{eff},\text{2R}}}\left(-\frac{{\text{l}}_{\text{f}}}{\text{l}}{\text{F}}_{\text{YR},\text{cg}}+\frac{1}{\text{l}}{\text{M}}_{\text{ZR},\text{cg}}\right).$$

  
• Schließlich sind die Reifenkräfte in den Reifenrichtunen X_T, Y_T und Z_T gegeben durch: $$\left[\begin{array}{c}{F}_{XT,i}\\ F_{YT,i}\\ F_{ZT,i}\end{array}\right]=\underset{{\mathbf{T}}_{RT,i}}{\underbrace{\left[\begin{array}{ccc}\text{cos}\left({\delta }_i\right)& \text{sin}\left({\delta }_i\right)& 0\\ -\text{sin}\left({\delta }_i\right)& \text{cos}\left({\delta }_i\right)& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]}}\left[\begin{array}{c}{F}_{XR,i}\\ F_{YR,i}\\ F_{ZR,i}\end{array}\right],i\in \left\{1L\mathrm{,1}R\mathrm{,2}L\mathrm{,2}R\right\}.$$

  
• Hiermit ist es möglich, zu überprüfen, ob die Reifenkräfte innerhalb der Reibungsgrenze liegen: $${\text{F}}_{\text{XT},\text{i}}^2+\frac{{\text{F}}_{\text{YT},\text{i}}^2}{{\mathrm{\mu }}_{\text{ql}}^2}\le {\mathrm{\mu }}_{\text{max}}^2{\text{F}}_{\text{ZT},\text{eff},\text{i}}^2,\text{ i}\in \left\{1\text{L}\mathrm{,1}\text{R}\mathrm{,2}\text{L}\mathrm{,2}\text{R}\right\}.$$

  
• 10 zeigt eine schematische Ansicht einer sogenannten Reifenkraft-Ellipse, in der das Haftgrenze für kombinierte Kräfte F_XT und F_YT dargestellt ist.
• Die horizontalen Sollreifenkräfte sollen an jedem Rad innerhalb der durch den Reibwert µ_max bestimmten Reibwertgrenzen (maximales zur Verfügung stehendes Kraftschlusspotential, Kraftschlussellipse, siehe auch DE 100 50 421 A1 ) liegen.
• Wenn die Ungleichung (95), für jedes Rad erfüllt ist, dann ist eine der drei notwendigen Bedingungen für Fahrbarkeit erfüllt, anderenfalls ist die Trajektorie nicht fahrbar.
• Bis hierhin sind externe Kräfte, Schwerkraft und Trägheit nicht berücksichtigt worden. Stattdessen wurden beliebige Kraftvektor-Komponenten F_{X R,cg}, F_{Y R,cg}, und F_{Z R,cg}, die am Schwerkraftzentrum des Fahrzeugs 1 wirksam sind, und beliebige Drehmomenten-Vektor-Komponenten M_{X R,cg}, M_{Y R,cg}, und M_{Z R,cg} als Platzhalter verwendet. Im Folgenden werden externe Kräfte, Schwerkraft und Trägheit bezüglich des stationären Einflusses von Querneigung und Gefälle als Terme eingeführt, die zu F_{X R,cg}, F_{Y R,cg}, F_{Z R,cg} und M_{X R,cg}, M_{Y R,cg}, M_{Z R,cg} beitragen.
• Bezüglich der Schwerkraft folgt aus 1 und 4, dass F_Z,cg,gravity = -m · g. Daher: $${\text{F}}_{\text{XR},\text{cg},\text{gravity}}=\text{sin}\left(\mathrm{\lambda }\right)\cdot \text{m}\cdot \text{g},$$

  

  $${\text{F}}_{\text{YR},\text{cg},\text{gravity}}=-\text{sin}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)\text{cos}\left(\mathrm{\lambda }\right)\cdot \text{m}\cdot \text{g}=-\text{sin}\left(\mathrm{\eta }\right)\cdot \text{m}\cdot \text{g},$$

  

  $$F_{ZR,cg,gravity}=-\text{cos}\left({\eta }_{XR}\right)\text{cos}\left(\lambda \right)\cdot m\cdot g=-\text{cos}\left(\text{arcsin}\left(\frac{\text{sin}\left(\eta \right)}{\text{cos}\left(\lambda \right)}\right)\right)\text{cos}\left(\lambda \right)\cdot m\cdot g.$$

  
• λ ist beim Bergabfahren positiv.
• Bezüglich der translatorischen Trägheit gilt:
• Um Trägheitskräfte auszudrücken müssen die in Fahrbahnebenen-Koordinaten angegebenen Beschleunigungen a_{X R,cg}, a_{Y R,cg}, und a_{Z R,cg} aus den gewünschten Schwerkraftzentrum-Trajektorien-Beschleunigungen a_X,cg und a_Y,cg berechnet werden, die Projektionen in der X-Y Ebene des zwischengeschalteten Achsensystems sind. Unter Anwendung der Annahme stationärer Querneigung und Gefälle gilt Folgendes: $${\text{a}}_{\text{ZR},\text{cg}}\equiv 0.$$

  
• Daher sind die verbleibenden Unbekannten a_{X R,cg} und a_{Y R,cg} und auch die Bewegung a_Z,cg des Fahrzeugs 1, die nicht als Teil der Trajektorienprojektion gegeben ist. Unter Verwendung von (14), (15) und (99) kann Folgendes festgestellt werden: $${\text{a}}_{\text{XR},\text{cg}}=\text{cos}\left(\mathrm{\lambda }\right){\text{a}}_{\text{X},\text{cg}}-\text{sin}\left(\mathrm{\lambda }\right){\text{a}}_{\text{Z},\text{cg}},$$

  

  $${\text{a}}_{\text{YR},\text{cg}}=\text{sin}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)\text{sin}\left(\mathrm{\lambda }\right){\text{a}}_{\text{X},\text{cg}}+\text{cos}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right){\text{a}}_{\text{Y},\text{cg}}+\text{sin}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)\text{cos}\left(\mathrm{\lambda }\right){\text{a}}_{\text{Z},\text{cg}},$$

  

  $$0=\text{cos}\left({\eta }_{XR}\right)\text{sin}\left(\lambda \right)a_{X,cg}-\text{sin}\left({\eta }_{XR}\right)a_{Y,cg}+\text{cos}\left({\eta }_{XR}\right)\text{cos}\left(\lambda \right)a_{Z,cg}.$$

  
• Auflösen von (102) nach a_Z,cg ergibt: $${\text{a}}_{\text{Z},\text{cg}}=-\frac{\text{sin}\left(\mathrm{\lambda }\right)}{\text{cos}\left(\mathrm{\lambda }\right)}{\text{a}}_{\text{X},\text{cg}}+\frac{\text{sin}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)}{\text{cos}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)\text{cos}\left(\mathrm{\lambda }\right)}{\text{a}}_{\text{Y},\text{cg}}.$$

  
• Einsetzen von (103) in (100) ergibt: $${\text{a}}_{\text{XR},\text{cg}}=\text{cos}\left(\mathrm{\lambda }\right){\text{a}}_{\text{X},\text{cg}}-\text{sin}\left(\mathrm{\lambda }\right)\left(-\frac{\text{sin}\left(\mathrm{\lambda }\right)}{\text{cos}\left(\mathrm{\lambda }\right)}{\text{a}}_{\text{X},\text{cg}}+\frac{\text{sin}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)}{\text{cos}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)\text{cos}\left(\mathrm{\lambda }\right)}{\text{a}}_{\text{Y},\text{cg}}\right),$$

  

  $${\text{a}}_{\text{XR},\text{cg}}=\frac{1}{\text{cos}\left(\mathrm{\lambda }\right)}\underset{=1}{\underbrace{\left({\text{cos}}^2\left(\mathrm{\lambda }\right)+{\text{sin}}^2\left(\mathrm{\lambda }\right)\right)}}{\text{a}}_{\text{X},\text{cg}}-\frac{\text{sin}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)\text{sin}\left(\mathrm{\lambda }\right)}{\text{cos}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)\text{cos}\left(\mathrm{\lambda }\right)}{\text{a}}_{\text{Y},\text{cg}},$$

  

  $${\text{a}}_{\text{XR},\text{cg}}=\frac{1}{\text{cos}\left(\mathrm{\lambda }\right)}{\text{a}}_{\text{X},\text{cg}}-\frac{\text{sin}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)\text{sin}\left(\mathrm{\lambda }\right)}{\text{cos}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)\text{cos}\left(\mathrm{\lambda }\right)}{\text{a}}_{\text{Y},\text{cg}}.$$

  
• Einsetzen von (103) in (101) ergibt: $${\text{a}}_{\text{YR},\text{cg}}=\text{sin}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)\text{sin}\left(\mathrm{\lambda }\right){\text{a}}_{\text{X},\text{cg}}+\text{cos}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right){\text{a}}_{\text{Y},\text{cg}}$$

  

  $$+\text{sin}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)\text{cos}\left(\mathrm{\lambda }\right)\left(-\frac{\text{sin}\left(\mathrm{\lambda }\right)}{\text{cos}\left(\mathrm{\lambda }\right)}{\text{a}}_{\text{X},\text{cg}}+\frac{\text{sin}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)}{\text{cos}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)\text{cos}\left(\mathrm{\lambda }\right)}{\text{a}}_{\text{Y},\text{cg}}\right),$$

  

  $${\text{a}}_{\text{YR},\text{cg}}=\left(\text{cos}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)+\frac{{\text{sin}}^2\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)}{\text{cos}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)}\right){\text{a}}_{\text{Y},\text{cg}},$$

  

  $$a_{YR,cg}=\frac{1}{\text{cos}\left({\eta }_{XR}\right)}{a}_{y,cg}.$$

  
• Schließlich können mit (99), (106) und (110) die translatorischen Trägheitskraftvektor-Komponenten wie folgt ermittelt werden: $${\text{F}}_{\text{XR},\text{cg},\text{inert},\text{trans}}=-\text{m}\cdot {\text{a}}_{\text{XR},\text{cg}}=-\frac{\text{m}}{\text{cos}\left(\mathrm{\lambda }\right)}{\text{a}}_{\text{X},\text{cg}}+\text{m}\frac{\text{sin}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)\text{sin}\left(\mathrm{\lambda }\right)}{\text{cos}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)\text{cos}\left(\mathrm{\lambda }\right)}{\text{a}}_{\text{Y},\text{cg}},$$

  

  $${\text{F}}_{\text{YR},\text{cg},\text{inert},\text{trans}}=-\text{m}\cdot {\text{a}}_{\text{YR},\text{cg}}=-\frac{\text{m}}{\text{cos}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)}{\text{a}}_{\text{Y},\text{cg}},$$

  

  $${\text{F}}_{\text{ZR},\text{cg},\text{inert},\text{trans}}=-\text{m}\cdot {\text{a}}_{\text{ZR},\text{cg}}=0.$$

  
• Bezüglich der Rotations-Trägheit gilt:
• Um das Rotations-Drehmoment M_{X R,cg,inert,rot}, M_{Y R,cg,inert,rot}, und M_{Z R,cg,inert,rot}, das mit der Rotationsträgheit zusammenhängt, zu berechnen, müssen die Rotationsbeschleunigungen ω_{Ẋ R}, ω_{Ẏ R}, und ω_{Ż R} des Fahrzeugs 1, die in Fahrbahnebenen-Koordinaten angegeben sind, in Bezug auf die gewünschte Schwerkraftzentrums-Trajektorie ausgedrückt werden.
• Unter Verwendung von D.T. Greenwood, Priciples of Dynamics, Prentice Hall, Upper Saddle River, US-NJ, 2nd edition, 1988, S. 406 ist das Verhältnis zwischen Eulerschen Winkeln und Winkelgeschwindigkeiten in der Notation wie in D.T. Greenwood, Priciples of Dynamics, Prentice Hall, Upper Saddle River, US-NJ, 2nd edition, 1988: $${\mathrm{\omega }}_{\text{x}}=\dot{\varphi }-\dot{\psi }\text{sin}\left(\mathrm{\theta }\right)$$

  

  $${\mathrm{\omega }}_{\text{z}}=\dot{\theta }\text{cos}\left(\mathrm{\varphi }\right)+\dot{\psi }\text{cos}\left(\mathrm{\theta }\right)\text{sin}\left(\mathrm{\varphi }\right)$$

  

  $${\mathrm{\omega }}_{\text{z}}=\dot{\psi }\text{cos}\left(\mathrm{\theta }\right)\text{cos}\left(\mathrm{\varphi }\right)-\dot{\theta }\text{sin}\left(\mathrm{\varphi }\right)$$

  
• Unter Verwendung der Äquivalenzen $${\mathrm{\omega }}_{\text{x}}\stackrel{\wedge}{=}{\mathrm{\omega }}_{\text{XR}},{\mathrm{\omega }}_{\text{y}}\stackrel{\wedge}{=}{\mathrm{\omega }}_{\text{YR}},{\mathrm{\omega }}_{\text{z}}\stackrel{\wedge}{=}{\mathrm{\omega }}_{\text{ZR}},$$

  

  $$\mathrm{\varphi }\stackrel{\wedge}{=}{\mathrm{\eta }}_{\text{XR}},\mathrm{\theta }\stackrel{\wedge}{=}\mathrm{\lambda },\mathrm{\psi }\stackrel{\wedge}{=}\mathrm{\psi },$$

  

  überträgt sich das in die Notation des vorliegenden Dokuments: $${\mathrm{\omega }}_{\text{XR}}={\dot{\eta }}_{\text{XR}}-\dot{\psi }\text{sin}\left(\mathrm{\lambda }\right)$$

  

  $${\mathrm{\omega }}_{\text{YR}}=\dot{\lambda }\text{cos}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)+\dot{\psi }\text{cos}\left(\mathrm{\lambda }\right)\text{sin}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)$$

  

  $${\omega }_{ZR}=\dot{\psi }\text{cos}\left(\lambda \right)\text{cos}\left({\eta }_{XR}\right)-\dot{\lambda }\text{sin}\left({\eta }_{XR}\right)$$

  
• Unter der Annahme von stationären Bedingungen langsam sich verändernder Querneigung und Gefälle, das heißt η̇_{X R} ≈ 0^· und λ̇ ≈ 0 führt dies zu: $${\mathrm{\omega }}_{\text{XR}}=-\dot{\psi }\text{sin}\left(\mathrm{\lambda }\right)$$

  

  $${\mathrm{\omega }}_{\text{YR}}=\dot{\psi }\text{cos}\left(\mathrm{\lambda }\right)\text{sin}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)$$

  

  $${\mathrm{\omega }}_{\text{ZR}}=\dot{\psi }\text{cos}\left(\mathrm{\lambda }\right)\text{cos}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)$$

  
• Unter Berücksichtigung des folgenden Verhältnisses zwischen den Winkelgeschwindigkeits-Ableitungen ω̇ und (ω̇)_r, wenn sie aus einem trägen Rahmen und einem bewegten Rahmen betrachtet werden (vergl. D.T. Greenwood, Principles of Dynamics, Prentice Hall, Upper Saddle River, US-NJ, 2nd edition, 1988, S. 392): $$\begin{array}{l}\dot{\omega }=\underset{\text{as seen from moving frame}}{\underbrace{{\left(\dot{\omega }\right)}_r}}+\underset{=0}{\underbrace{\mathrm{\omega }\times \mathrm{\omega }}},\\ ={\left(\dot{\omega }\right)}_r,\end{array}$$

  

  können die Winkelbeschleunigungen gefunden werden durch Berechnen der Ableitungen von (122) bis (124) unter Verwendung von η̇_{X R} ≈ 0^· und λ̇ ≈ 0: $${\dot{\omega }}_{\text{XR}}=-\dot{\psi }\text{sin}\left(\mathrm{\lambda }\right)$$

  

  $${\dot{\omega }}_{\text{YR}}=\dot{\psi }\text{cos}\left(\mathrm{\lambda }\right)\text{sin}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)$$

  

  $${\dot{\omega }}_{\text{ZR}}=\dot{\psi }\text{cos}\left(\mathrm{\lambda }\right)\text{cos}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)$$

  
• Mit Eulers Gleichungen der Bewegung (D.T. Greenwood, Principles of Dynamics, Prentice Hall, Upper Saddle River, US-NJ, 2nd edition, 1988, S. 392) und auch (122) bis (124) und (126) bis (128) ist es möglich, das aus der Trägheit resultierende Rotations-Drehmoment zu berechnen: $$\begin{array}{ll}{\text{M}}_{\text{XR},\text{cg},\text{inert},\text{rot}}=-{\text{J}}_{\text{xx}}{\dot{\omega }}_{\text{XR}}-\left({\text{J}}_{\text{zz}}-{\text{J}}_{\text{yy}}\right){\mathrm{\omega }}_{\text{YR}}{\mathrm{\omega }}_{\text{ZR}}\hfill & \left(129\right)\hfill \\ =+{\text{J}}_{\text{xx}}\ddot{\psi }\text{sin}\left(\mathrm{\lambda }\right)-\left({\text{J}}_{\text{zz}}-{\text{J}}_{\text{yy}}\right){\dot{\psi }}^2{\text{cos}}^2\left(\mathrm{\lambda }\right)\text{sin}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)\text{cos}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)\hfill & \left(130\right)\hfill \end{array}$$

  

  $$\begin{array}{ll}{\text{M}}_{\text{YR},\text{cg},\text{inert},\text{rot}}=-{\text{J}}_{\text{yy}}{\dot{\omega }}_{\text{YR}}-\left({\text{J}}_{\text{xx}}-{\text{J}}_{\text{zz}}\right){\mathrm{\omega }}_{\text{ZR}}{\mathrm{\omega }}_{\text{XR}}\hfill & \left(131\right)\hfill \\ =+{\text{J}}_{\text{yy}}\ddot{\psi }\text{cos}\left(\mathrm{\lambda }\right)\text{sin}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)+\left({\text{J}}_{\text{xx}}-{\text{J}}_{\text{zz}}\right){\dot{\psi }}^2\text{sin}\left(\mathrm{\lambda }\right)\text{cos}\left(\mathrm{\lambda }\right)\text{cos}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)\hfill & \left(132\right)\hfill \end{array}$$

  

  $$\begin{array}{ll}{\text{M}}_{\text{ZR},\text{cg},\text{inert},\text{rot}}=-{\text{J}}_{\text{zz}}{\dot{\omega }}_{\text{ZR}}-\left({\text{J}}_{\text{yy}}-{\text{J}}_{\text{xx}}\right){\mathrm{\omega }}_{\text{XR}}{\mathrm{\omega }}_{\text{YR}}\hfill & \left(133\right)\hfill \\ =+{\text{J}}_{\text{zz}}\ddot{\psi }\text{cos}\left(\mathrm{\lambda }\right)\text{cos}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)+\left({\text{J}}_{\text{yy}}-{\text{J}}_{\text{xx}}\right){\dot{\psi }}^2\text{sin}\left(\mathrm{\lambda }\right)\text{cos}\left(\mathrm{\lambda }\right)\text{sin}\left({\mathrm{\eta }}_{\text{XR}}\right)\hfill & \left(134\right)\hfill \end{array}$$

  
• Bezüglich des aerodynamischen Zugs und Auftriebs ist es möglich, durch Einführen der Zugkraft-Hebelarm-Höhe h_d, die die resultierende Zugkräfte-Höhe über dem Untergrund beschreibt, aerodynamische Zugbeiträge (M. Mitschke, Dynamik der Kraftfahrzeuge,
• Springer, Berlin, DE, 5th edition, 2014.) zu den beliebigen Kräften und Momenten auszudrücken, die am Schwerkraftzentrum des Fahrzeugs 1 wirksam sind: $${\text{F}}_{\text{XR},\text{cg},\text{drag}}=-\text{sgn}\left({\text{v}}_{\text{XR}}\right){\text{C}}_{\text{d}}\frac{{\mathrm{\rho }}_{\text{a}}}{2}{\text{A}}_{\text{a}}{\text{v}}_{\text{XR}}^2,$$

  

  $$\begin{array}{ll}{\text{M}}_{\text{YR},\text{cg},\text{drag}}=\left({\text{h}}_{\text{d}}-{\text{h}}_{\text{cg}}\right){\text{F}}_{\text{XR},\text{cg},\text{drag}}\hfill & \left(136\right)\hfill \\ =-\left(h_d-h_{cg}\right)\text{sgn}\left(v_{XR}\right)C_d\frac{{\rho }_a}{2}{A}_a{v}_{XR}^2.\hfill & \left(137\right)\hfill \end{array}$$

  
• Hierbei bezeichnet C_d den aerodynamischen Zugkoeffizienten, A_a die aerodynamische Oberfläche und ρ_a die Luftdichte.
• In ähnlicher Weise wird der aerodynamische Auftrieb (M. Mitschke, Dynamik der Kraftfahrzeuge, Springer, Berlin, DE, 5th edition, 2014.) beschrieben durch: $${\text{F}}_{\text{ZR},\text{cg},\text{lift}}=\left({\text{C}}_{\text{l},\text{f}}+{\text{C}}_{\text{l},\text{r}}\right)\frac{{\mathrm{\rho }}_{\text{a}}}{2}{\text{A}}_{\text{a}}{\text{v}}_{\text{XR}}^2,$$

  

  $${\text{M}}_{\text{YR},\text{cg},\text{lift}}=\left(-{\text{l}}_{\text{f}}{\text{C}}_{\text{l},\text{f}}+\left(\text{l}-{\text{l}}_{\text{f}}\right){\text{C}}_{\text{l},\text{r}}\right)\frac{{\mathrm{\rho }}_{\text{a}}}{2}{\text{A}}_{\text{a}}{\text{v}}_{\text{XR}}^2,$$

  
• Hierbei bezeichnen C_l,f und C_l,r vordere und hintere aerodynamische Auftriebs-Koeffizienten.
• Bezüglich des quasistationären Lenksystem-Modells gilt: Um die physische Realisierbarkeit (=Fahrbarkeit) einer Trajektorie zu bewerten, sind Lenkkraft-Beschränkungen ein weiterer wichtiger Aspekt. Unter Berücksichtigung der Reifenkräfte, die oben im Kontext der Gleichungen (70) bis (95) diskutiert wurden, werden im Folgenden Beschränkungen des Lenksystems und der Leistung diskutiert. Die Modellannahmen werden getroffen wie oben diskutiert.
• Die Bewertung der Fahrbarkeit von Trajektorien ist besonders bei höheren Geschwindigkeiten relevant. In diesem Fall müssen Beschränkungen der Lenkkraft und Lenkrate berücksichtigt werden, um die Auswahl fahrbarer Trajektorien sicherzustellen. Langsame Kurvenfahrt und Parkmanöver können einfach durch Neuplanen behandelt werden, falls Abweichungen zwischen erwünschten und tatsächlichen Lenkaktor-Bewegungen auftreten.
• Für höhere Geschwindigkeiten und kleinere Lenkwinkel besagt W. Matschinsky, Radführungen der Straßenfahrzeuge, Springer, Berlin, DE, 3rd edition, 2007, dass das Lenkmoment durch seitliche Reifenkräfte F_{Y T,1L}, F_{Y T,1R}, kinematischen Nachlauf n_k und Reifennachlauf n_p dominiert wird. Der durch Lenkkinematiken definierte kinematische Nachlauf ändert sich typischerweise mit vertikalem Radhub. Der Reifennachlauf ändert sich mit longitudinalem Reifenschlupf und mit dem Seitenschlupf-Winkel des Reifens. Je näher der Reifen an Schlupfbedingungen ist, desto kleiner wird der Reifennachlauf.
• Bei gleichen linken und rechten Antriebs/Brems-Kräften, wie oben angenommen, löschen sich die Einflüsse von F_XT,1L und F_XT,1R auf die Lenkkraft aus. Daher wird die erforderliche Lenkkraft durch den Beitrag der Seitenkräfte F_{Y T,1L} und F_{Y T,1R} zum Rückstellmoment dominiert. Dies führt zu: $$P_s=\underset{F_{YT\mathrm{,1}L}\text{ part of self aligning torque}}{\underbrace{\left(n_{k\mathrm{,1}L}+n_{p\mathrm{,1}L}\right)F_{YT\mathrm{,1}L}}}{\dot{\delta }}_{1L}+\underset{F_{YT\mathrm{,1}R}\text{ part of self aligning torque}}{\underbrace{\left(n_{k\mathrm{,1}R}+n_{p\mathrm{,1}R}\right)F_{YT\mathrm{,1}R}}}{\dot{\delta }}_{1R}.$$

  
• Da kinematischer Nachlauf n_k und Reifennachlauf n_p vom vertikalen Radhub und Schlupf abhängen, ist ein quasistationäres Modell, das die Chassis-Bewegung, Anregungen durch die Fahrbahnoberfläche und Schlupf nicht berücksichtigt, nicht imstande, exakte Werte für n_k und n_p bereitzustellen. Es ist allerdings möglich, eine obere Grenze P_{s, max}≥P_s zu berechnen. Mit den Definitionen des maximalen kinematischen Nachlaufs n_k und Reifennachlaufs n_p und der mittleren Lenkrate δ̇_1,m wie folgt: $${\text{n}}_{\text{k},\text{max}}:=\text{max}\left({\text{n}}_{\text{k},\text{1L}}(\dots ),{\text{n}}_{\text{k},\text{1R}}(\dots )\right),$$

  

  $${\text{n}}_{\text{p},\text{max}}:=\text{max}\left({\text{n}}_{\text{p},\text{1L}}(\dots ),{\text{n}}_{\text{p},\text{1R}}(\dots )\right),$$

  

  $${\dot{\delta }}_{\mathrm{1,}\text{m}}:=\frac{{\dot{\delta }}_{1\text{L}}+{\dot{\delta }}_{1\text{R}}}{2},$$

  

  ist die obere Grenze gegeben durch: $$P_{s,max}=\left(n_{k,max}+n_{p,max}\right)\left(F_{YT\mathrm{,1}L}+F_{YT\mathrm{,1}R}\right){\dot{\delta }}_{\mathrm{1,}m}$$

  
• Damit ist eine weitere der drei notwendigen Bedingung der Fahrbarkeits-Überprüfung zu prüfen, ob P_s,max unterhalb der gegenwärtig verfügbaren Leistung der elektronischen Servolenkung (EPS) P_EPS liegt. Wenn die Ungleichung P_s,max ≤ P_EPS erfüllt ist, dann ist diese notwendige Bedingung für Fahrbarkeit erfüllt, andernfalls ist die Trajektorie nicht fahrbar.
• Bezüglich des quasistationären Antriebsstrang-Modells gilt:
• Die Kernidee, um die Fahrbarkeitsbeschränkungen im Antriebsstrang zu bewerten, ist, die erforderliche Zugkraft und Radleistung mit der verfügbaren Kraft und Leistung an den Rädern (Lieferkennung) zu vergleichen. Details zur Definition dieser Begriffe sind in M. Mitschke, Dynamik der Kraftfahrzeuge, Springer, Berlin, DE, 5th edition, 2014 genannt.
• Die Zugkraft-Anforderung F_{traction,demand} wie in (145) definiert, wird verwendet um die folgenden Fälle zu unterscheiden:
1. 1. Fahren: F_{traction,demand} ≥ 0
2. 2. Motorbremse: F_{traction,hyd brake threshold} < F_{traction,demand} < 0
3. 3. Motorbremse und hydraulische Bremse: F_{traction,demand} ≤ F_{traction,hyd brake threshold}
• Um die angeforderte und verfügbare Zugkraft und Radleistung zu modellieren, werden die folgenden Modellannahmen getroffen.
• Die folgenden Aspekte werden berücksichtigt:
• • Beschleunigungswiderstand von Chassis und Karosserie
• • Beschleunigungswiderstand des Antriebsstrangs
• • Steigungswiderstand
• • Zweiradantrieb, Vierradantrieb, Vierradantrieb mit unabhängigen Motoren
• • Leistungsverluste infolge Radschlupf
• • Leistungsverluste des Antriebsstrangs
• • Elektrischer Antrieb oder Verbrennungsmotor
• • Schaltgetriebe in stationären Bedingungen (Leistungs- und Kraft-Hüllkurve für alle Gänge)
• • Rollwiderstand (ohne Geschwindigkeitsabhängigkeit)
• • Degradation des elektrischen Antriebs (Anfahr-, Stunden-, Dauerleistung)
• • aerodynamischer Zug
• Die folgenden Aspekte werden vernachlässigt:
• • Schaltstrategie und Schaltprozess. Zum Beispiel wird angenommen, dass die Getriebesteuerung einen angemessenen Gang wählt, um die erforderliche Radleistung und Zugkraft bereitzustellen, und dass es keinen wesentlichen Zugkraft-Verlust während des Schaltens gibt.
• • Reibungspotential, das heißt die verfügbare Zugkraft modelliert nur die Motorgrenzen, Reibungsgrenzen sind bereits mit der Reifenkraft in Längsrichtung berücksichtigt.
• • Elektrische Verstärkung des Verbrennungsmotors
• • Mischbremsung zwischen Motor/elektrischem Antrieb und hydraulischer Bremse wird vorausgesetzt, ist aber noch nicht im Detail modelliert.
• Fall 1: Fahren
• In den folgenden Betrachtungen wird ein einzelner Verbrennungsmotor oder ein einzelner elektrischer Antrieb vorausgesetzt. Der Ansatz kann jedoch leicht erweitert werden, indem das Antriebsdrehmoment mittels des Antriebs-Drehmomenten-Verteilungs-Faktors auf mehrere Achsen verteilt wird.
• Nach M. Mitschke, Dynamik der Kraftfahrzeuge, Springer, Berlin, DE, 5th edition, 2014 ist die gesamte Zugkraftanforderung gegeben durch: $${\text{F}}_{\text{traction},\text{demand}}={\text{f}}_{\text{R}}\cdot \text{m}\cdot \text{g}-{\text{F}}_{\text{XR},\text{cg}}+\left({\mathrm{\lambda }}_{\text{m}}-1\right)\cdot \text{m}\cdot {\text{a}}_{\text{XR},\text{cg}},$$

  

  mit
• • f_R · m · g Rollwiderstand,
• • F_{X R,cg}: Summe des Steigungswiderstands (96), Chassis- und Karosserie-Trägheit (111) und des aerodynamischen Zugs (135),
• • (λ_m - 1) · m · a_{X R,cg}: Beschleunigungswiderstand des Antriebsstrangs mit dem Massenfaktor λ_m für rotierende Massen.
• Die Radleistungs-Anforderung ohne Reifenschlupf-Verluste ist einfach gegeben durch: $${\text{P}}_{\text{traction},\text{demand},\text{w}/\text{o slip}}={\text{F}}_{\text{traction},\text{demand}}\cdot {\text{v}}_{\text{XR},\text{cg}}$$

  
• Die Radleistung mit Reifen-Schlupf ist gegeben durch: $${\text{P}}_{\text{traction},\text{demand}}=\frac{1}{{\mathrm{\eta }}_{\text{tire}}}\cdot {\text{F}}_{\text{traction},\text{demand}}\cdot {\text{v}}_{\text{XR},\text{cg}}\text{ with }{\mathrm{\eta }}_{\text{T}}=\frac{{\text{r}}_{\text{d}}\left(1-\text{s}\right)}{{\text{r}}_{\text{s}}},$$

  

  und die folgenden Definitionen:
• • η_T : Reifeneffizienz, die Verluste infolge Längsschlupf beschreibt,
• • s: mittlerer Schlupf für die angetriebene Achse, unter der Annahme z.B. s ≈ s_2L ≈ s_2R
• • r_d: der dynamische Rad-Radius, mit $r_d=\frac{U}{2\pi }$
  
  und U als Entfernung, die auf dem Untergrund durch das frei rollende Rad zurückgelegt wurde
• • r_s: der statische Rad-Radius, das heißt die Entfernung, von der Mitte des Rades zur Fahrbahnebene.
• Man beachte die folgenden Unterschiede:
• • 2π ∗ r_d: Entfernung, die auf dem Untergrund durch das schlupffreie Rad zurückgelegt wurde,
• • 2π ∗ r_d(1 - s): Entfernung, die auf dem Untergrund durch das schlupfbehaftete Rad zurückgelegt wurde,
• • 2π ∗ r_s: Entfernung, die auf dem Untergrund durch einen Punkt auf dem festen Rad mit dem Radius r_s zurückgelegt wurde.
• Für das quasistationäre Fahrzeugmodell wie oben beschrieben ist der Längsschlupf unbekannt. Bei eingeschalteter Antischlupfregelung ist der Längsschlupf im schlechtesten Fall ungefähr der kritische Schlupf s_c (M. Mitschke, Dynamik der Kraftfahrzeuge, Springer, Berlin, DE, 5th edition, 2014), typischerweise um 10%. Daher kann eine Reifeneffizienz beim kritischen Schlupf wie folgt berechnet werden: $${\eta }_{T,c}=\frac{r_d\left(1-s_c\right)}{r_s}$$

  
• Dies führt zu einer Obergrenzenschätzung für P_{traction,demand}. Eine genauere Schätzung könnte durch Interpolation von η_T zwischen Werten von 1 bis η_{T, c} erreicht werden, beispielsweise basierend auf der Anwendung der Reibungsgrenze (friction limit utilisation): $$\text{friction limit utilization}:=\frac{1}{2}\left(\frac{{\text{F}}_{\text{XT},\text{2L}}^2+\frac{{\text{F}}_{\text{YT},\text{2L}}^2}{{\mathrm{\mu }}_{\text{ql}}^2}}{{\mathrm{\mu }}_{\text{max}}^2{\text{F}}_{\text{ZT},\text{eff},\text{2L}}^2}+\frac{{\text{F}}_{\text{XT},\text{2R}}^2+\frac{{\text{F}}_{\text{YT},\text{2R}}^2}{{\mathrm{\mu }}_{\text{ql}}^2}}{{\mathrm{\mu }}_{\text{max}}^2{\text{F}}_{\text{ZT},\text{eff},\text{2R}}^2}\right)$$

  
• 9 zeigt schematische Ansichten von Look-up-Tabellen LUT (Lieferkennfeldern). F_{traction,supply} und P_{traction,supply} sind als Look-up-Tabellen (Lieferkennfeld) angegeben für einen elektrischen Motor mit einer festen Getriebeübersetzung (durchgehende Linie) und für einen Verbrennungsmotor mit Schaltgetriebe (gestrichelt). Die Versorgungs-Look-up-Tabellen beschreiben die Zugkraft und Leistung, die an der Achse verfügbar sind. Das heißt, sie berücksichtigen bereits die Antriebsstrang-Verluste. Im Falle eines Schaltgetriebes wird die äußere Hüllkurve für alle Gänge verwendet. Die Look-up-Tabellen können wegen der Degradation DEG skaliert werden.
• Um die Fahrbarkeit zu bestimmen, werden F_{traction,demand} und P_{traction,demand} gegen die Hüllkurven von F_{traction,supply} und P_{traction,supply} verglichen, die als Look-up-Tabellen (Lieferkennfeld) gegeben sind wie in 9 dargestellt ist. Die Look-up-Tabellen berücksichtigen bereits die Antriebsstrang-Verluste, von denen vorausgesetzt wird, dass sie als konstanter Effizienzfaktor pro Gang modelliert sind. Die Degradation kann berücksichtigt werden, indem ein Verringerungsfaktor verwendet wird, der beispielsweise auf Motortemperatur, Versorgungsspannung etc. beruht.
• Wenn die Ungleichungen
  P_{traction,supply} ≥ F_{traction,demand} und
  P_{traction,supply} ≥ P_{traction,demand} erfüllt sind, dann ist die dritte notwendige Bedingung für Fahrbarkeit erfüllt, anderenfalls ist die Trajektorie nicht fahrbar.
• Fall 2: Motorbremse
• Eine kleine negative Zugkraftanforderung F_{traction,demand} wird unter ausschließlicher Verwendung der Motorbremse realisiert. Für ein zweiradgetriebenes Fahrzeug 1 bedeutet dies, dass bremsende Reifenkräfte nur an den vorderen Reifen oder den hinteren Reifen auftreten. Besonders auf Oberflächen mit geringer Reibung kann dies blockierende Reifen verursachen, wenn keine weiteren Maßnahmen ergriffen werden. Daher wird die Regelung für das elektronische Stabilitätsprogramm benötigt, um blockierende Räder zu verhindern. In diesem Fall werden die hydraulischen Bremsen aktiviert und Fall 2 geht zu Fall 3 über. Dies bedeutet, dass es keine Beschränkung der Zugkraft und Zugkraftversorgung abgesehen von den Reibungsgrenzen gibt, wobei die Reibungsgrenzen bereits in der Reifen-Längskraft (siehe oben) berücksichtigt werden. Fall 3: Motorbremse und hydraulische Bremse
• In diesem Fall gibt es keine Beschränkung der Zugkraft und Zugkraftversorgung abgesehen von den Reibungsgrenzen, wobei die Reibungsgrenzen bereits in der Reifen-Längskraft (siehe oben) berücksichtigt werden.
• Die folgende Tabelle 1 gibt einen Überblick der Fahrzeugparameter.

  Parameter	Einheit	Beschreibung
  m	kg	Fahrzeuggesamtmasse
  l	m	Radstand
  l f	m	Abstand zwischen dem Schwerkraftzentrum und der Vorderachse
  l r	m	Abstand zwischen dem Schwerkraftzentrum und der Hinterachse (lr= 1-lf)
  h cg	m	Höhe des Schwerkraftzentrums
  h rf	m	Höhe des vorderen Rollzentrums
  h rr	m	Höhe des hinteren Rollzentrums
  h rcg	m	Höhe des Rollzentrums am Schwerkraftzentrum (hrcg= hrr+ (hrf- hrr)(1 - lf /l))
  b f	m	Vordere Spurweite
  b r	m	Hintere Spurweite
  k	-	Rollmomentverteilung zwischen Vorder- und Hinterachse (1: nur vorn, 0: nur hinten)
  Y d	-	Antriebsmomenten-Verteilung zwischen Vorder- und Hinterachse (1: nur vorn, 0: nur hinten)
  Y b	-	Bremsmomenten-Verteilung zwischen Vorder- und Hinterachse (1: nur vorn, 0: nur hinten)
  k FZ	-	Radlast-Degressions-Faktor (0 ≤ kF << 1)
  F ZT,N,1R , .. ., F ZT,N,2L	N	Nominale Radlasten bei statischen Lastbedingungen
  µ max	-	Reibungspotential
  µ ql	-	Verhältnis Quer- zu Längsgrip (Idee: µ2Fz 2= Fx 2+ Fy 2/µ2 qll)
  n k,max	m	Maximaler kinematischer Nachlauf
  n p,max	m	Maximaler Reifennachlauf
  J xx , J yy , J ZZ	kg m2	Trägheitsmomente des Fahrzeugs 1 um die Fahrzeugachsen am Schwerkraftzentrum
  C d	-	Aerodynamischer Zugkoeffizient
  A a	m2	Aerodynamische Oberfläche
  h d	m	Zugkraft-Hebelarm-Höhe
  C l,f	-	Aerodynamischer Auftriebskoeffizient vorne
  C l,r	-	Aerodynamischer Auftriebskoeffizient hinten
  ρ a	kg/m3	Luftdichte
  λ m	-	Massenfaktor für rotierende Massen im Antriebsstrang (abhängig vom Gang)
  f R	-	Rollwiderstands-Faktor
  r s	m	Statischer Rad-Radius (Abstand von Radzentrum zur Fahrbahnoberfläche)
  r d	m	Dynamischer Rad-Radius, U=2πd, U: Entfernung, die durch das frei rollende Rad zurückgelegt wurde
  η T,c	-	Leistungseffizienz des Reifens bei kritischem Schlupf

• 11 verdeutlicht das Funktionsprinzip der Fahrbarkeitsprüfung FP für autonome Fahrzeuge 1.
• Eingangsgrößen sind:
• - Fahrzeugtrajektorien, die auf Fahrbarkeit zu überprüfen sind.
• - Die Steigung λ und Querneigung η der Straße vor dem Fahrzeug 1, beispielsweise aus Sensor- oder Kartendaten
• - Das Reibwertpotential µ_max der Straße beispielsweise aus Sensor- oder Kartendaten
• - Information zur Degradation der Lenkungs- und Antriebsaktorik (Verfügbare Leistung/Nominelle Leistung, Verfügbares Moment / Nominelles Moment)
• Ausgangsgrößen sind:
• - Die Bewertung der Fahrbarkeit (ja / nein)
• - Optional eine quantitative Bewertung der Ausnutzung des Reibwertpotentials
• Die technische Signalverarbeitung erfolgt folgendermaßen:
• In einem ersten Schritt S1 erfolgt eine Umrechnung der Anforderungen in Solltrajektoriengrößen (Sollposition, Sollbeschleunigung, Sollgeschwindigkeit, Sollkrümmung, Sollkrümmungsänderungen etc.) sowie der Steigung und Querneigung in Anforderungen in Fahrzeuggrößen (Sollzugkraft, Sollzugleistung, Solllenkungsleistung, Sollreifenkräfte). Die Umrechnung erfolgt hierbei durch ein inverses Fahrzeugmodell, beispielsweise das oben beschriebene quasistationäre Modell.
• In einem zweiten Schritt S2 erfolgt ein Abgleich der Anforderungen in Fahrzeuggrößen mit den von Fahrzeug 1 und Fahrbahn vorgegeben Grenzen, das heißt:
• - einer Überprüfung DTLC der Grenzen des Antriebsstrangs, ob Sollzugkraft und Sollzugleistung bei Sollgeschwindigkeit unterhalb den von der Zugkraftkennlinie und Zugleistungskennlinie gegebenen Grenzen liegen,
• - einer Überprüfung SLC der Grenzen der Lenkung, ob Solllenkungsleistung unterhalb des Leistungslimits der Lenkung liegt, und
• - einer Überprüfung FLC der Reibwertgrenzen, ob horizontale Sollreifenkräfte innerhalb der Reibwertgrenzen liegen (Kammscher Kreis)
• Die Grenzen im zweiten Schritt können dabei unter Zuhilfenahme der Information zu Degradation an die aktuelle verfügbare Leistung angepasst werden.
• Das Ergebnis der Fahrbarkeitsprüfung wird schließlich aggregiert und durch eine binäre Aussage „fahrbar/nicht fahrbar“ für jede ausgewertete Trajektorie dargestellt. Eine genauere Auswertung der Fahrbarkeit ist denkbar durch das Berechnen der Überschreitung der Grenze oder des noch verfügbaren Abstands zur Grenze in Prozent. Ein mögliches Beispielfeedback kann folgendermaßen aussehen: Reifenkraft vorne links zu hoch, 120% des Reibwertpotentials ausgenutzt. Diese Erweiterung bietet den Vorteil, eine genauere Hilfsinformation für die Trajektorienplanung zu liefern.
• Bezugszeichenliste

1

Fahrzeug

1L

linkes Vorderrad

1R

rechtes Vorderrad

2L

linkes Hinterrad

2R

rechtes Hinterrad

bf

Spurweite der Vorderachse

DEG

Degradation

DTLC

Überprüfung der Grenzen des Antriebsstrangs

FLC

Überprüfung der Reibwertgrenzen

FRC

vorderes Rollzentrum, Rollzentrum der Vorderachse

FP

Fahrbarkeitsprüfung

Ftraction,supply

verfügbare Zugkraft

FX R,cg, FY R,cg, FZ R,cg

Kraftvektor-Komponenten

FX R,f, FX R,r, FZ R,r

Achskräfte

FX R,R1, FZ R,R1,

Reifenkräfte

FX R,L1, FZ R,L1,

Reifenkräfte

FX R,R2, FZ R,R2,

Reifenkräfte

FX R,L2, FZ R,L2,

Reifenkräfte

FY R,1L, FZ R,1L,

Reifenkräfte

FY R,1R, FZ R,1R

Reifenkräfte

FX T, FY T

horizontalen Sollreifenkräfte

FY R,1, FZ R,1

Chassis-Reaktions-Kräfte

Fz,eff

effektive Reifenlast

hcg

Höhe des Schwerkraftzentrums

hrcg

Höhe des Rollzentrums an der x_R-Position des Schwerkraftzentrums

hrf

Höhe des Rollzentrums der Vorderachse

l

Radstand

lf

Abstand des Schwerkraftzentrums zur Vorderachse

LUT

Look-up-Tabelle

LTM

Langzeitspeicher

MX R,cg, MY R,cg, MZ R,cg

Drehmoment-Vektoren-Komponenten

MX R,1

Chassis-Reaktions-Moment

Ptraction,supply

verfügbare Zugleistung

RA

Rollachse

RCcg

Rollzentrum an der x_R-Position des Schwerkraftzentrums

RRC

hinteres Rollzentrum

S1

erster Schritt

S2

zweiter Schritt

SLC

Überprüfung der Grenzen der Lenkung

νXR,cg

Längsgeschwindigkeit im Schwerkraftzentrum

X, Y, Z

zwischengeschaltetes Achsensystem

XE, YE, ZE

erdfestes Achsensystem

XR, YR, ZR

Fahrbahn-Ebenen-Achsensystem, Fahrbahn-Achsensystem

XT,1L, YT,1L, ZT,1L

Reifen-Achsensystem

XV, YV, ZV

Fahrzeugachsensystem

X', Y', Z'

Hilfsachsensystem

δ1L, δ1R

Lenkwinkel

η

Fahrbahnebenen-Sturzwinkel, Querneigung

ηX R

Winkel

θ

Neigungswinkel

λ

Fahrbahn-Steigungswinkel, Fahrbahnebenen-Steigung, Steigung

µmax

Reibwertpotential, Reibwert

µql

Verhältnis von seitlichem Grip zu longitudinalem Grip

φ

Wankwinkel

φV

Fahrzeug-Wankwinkel

ψ

Gierwinkel

Claims (10)

1. Verfahren zur Prüfung der Eignung einer Solltrajektorie für eine Trajektorienregelung eines Fahrzeugs (1), wobei die Solltrajektorie Streckeninformationen über den Verlauf einer abzufahrenden Strecke und Dynamikinformationen über die Dynamik, mit der die Strecke abgefahren werden soll, enthält, wobei eine Steigung (λ), eine Querneigung (η) und ein Reibwert (µ_max) einer Fahrbahn entlang der Solltrajektorie sensorisch und/oder aus Kartendaten ermittelt und/oder geschätzt werden, wobei basierend auf Modellgleichungen des Fahrzeugs (1) aus den Strecken- und Dynamikinformationen der Solltrajektorie und aus der ermittelten Steigung (λ) und Querneigung (η) zum Abfahren der Solltrajektorie erforderliche Sollwerte einer Sollzugkraft, einer Sollzugleistung, einer Solllenkleistung und horizontaler Sollreifenkräfte an einzelnen Rädern des Fahrzeugs (1) berechnet werden, wobei die Solltrajektorie als für die Trajektorienregelung geeignet bewertet wird, wenn: - die Sollzugkraft und Sollzugleistung unterhalb einer vorgegebenen Zugkraftkennlinie beziehungsweise Zugleistungskennlinie liegen, - die Solllenkleistung unterhalb eines vorgegebenen Leistungslimits der Lenkung liegt und - die horizontalen Sollreifenkräfte an jedem Rad innerhalb der durch den Reibwert (µ_max) bestimmten Reibwertgrenzen liegen, wobei die Solltrajektorie anderenfalls als ungeeignet bewertet wird.
2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass das Verfahren auf jede Solltrajektorie aus einer vorgegebenen Schar von Solltrajektorien angewendet wird.
3. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, dass jede als ungeeignet bewertete Solltrajektorie als ungültig verworfen wird.
4. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass die Zugkraftkennlinie und die Zugleistungskennlinie aus jeweiligen Look-up-Tabellen (LUT) entnommen werden.
5. Verfahren nach Anspruch 4, dadurch gekennzeichnet, dass die Zugkraftkennlinie und die Zugleistungskennlinie Degradationserscheinungen eines Antriebsstrangs berücksichtigen.
6. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass eine quantitative Bewertung der Ausnutzung des Reibwertpotentials (µ_max) erfolgt.
7. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass Degradationserscheinungen einer Lenkungsaktorik berücksichtigt werden.
8. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass die Modellgleichungen des Fahrzeugs (1) auf einem quasistationären Modellansatz beruhen.
9. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass in einem ersten Schritt eine Umrechnung von Größen der Solltrajektorie sowie der Steigung (λ) und Querneigung (η) in Fahrzeuggrößen mittels der Modellgleichungen erfolgt.
10. Vorrichtung, die eingerichtet ist, ein Verfahren gemäß einem der vorhergehenden Ansprüche auszuführen.

Images