DE102012023629A1

DE102012023629A1 - Verfahren zur Berechnung der Restfehler einer Netzwerkanalysatormessung

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Publication number: DE102012023629A1
Application number: DE201210023629
Authority: DE
Inventors: Friedrich Lenk
Original assignee: HOCHSCHULE LAUSITZ (FH); HOCHSCHULE LAUSITZ FH
Current assignee: HOCHSCHULE LAUSITZ (FH); HOCHSCHULE LAUSITZ FH
Priority date: 2012-12-03
Filing date: 2012-12-03
Publication date: 2014-06-05

Abstract

Die Kalibrierung von Netzwerkanalysatoren erfolgt durch die Messung verschiedener Kalibrier-Standards. Je nach verwendetem Kalibrier-Verfahren müssen verschiedene elektrische Eigenschaften der Kalibrier-Standards bekannt sein. Weichen die verwendeten Kalibrier-Standards z. B. durch Fertigungstoleranzen von den als bekannt angenommenen Werten ab, so ergeben sich durch Fehlerfortpflanzung Messfehler bei der Messung mit einem so kalibrierten Netzwerkanalysator. Bekannte Verfahren für die Berechnung dieser Restfehler sind immer zweistufig, wobei zunächst die Fehler in den Korrekturtermen und anschließend daraus die Restfehler in den S-Parametern der Messung bestimmt werden. Die so bestimmten Ergebnisse sind deshalb immer nur numerischer Natur und die direkten Zusammenhänge zwischen den Fehlern in den Kalibrier-Standards und den Fehlern in der eigentlichen Messung gehen verloren. Es ist das Ziel der Erfindung ein einfaches und einstufiges Berechnungsverfahren für die Bestimmung der durch Unsicherheiten der Kalibrier-Standards entstehenden Restfehler einer Messung mit einem Netzwerkanalysator anzugeben. Wesentliches Merkmal des Verfahrens ist die Angabe der Restfehler unabhängig von den durch das gewählte Kalibrier-Verfahren bestimmten Korrekturtermen und auch unabhängig von den Messwerten. Diese Unabhängigkeit wird dadurch erreicht, dass zunächst die Bestimmungsgleichungen der Korrekturterme in die Bestimmungsgleichungen für die S-Parameter des Mesobjektes eingesetzt und damit eliminiert werden. Alle Gleichungen müssen dabei als Funktion der Kalibrier-Standards geschrieben werden. Anschließend werden die Bestimmungsgleichungen für die S-Parameter des Mesobjektes nach den Kalibrier-Standards abgeleitet und somit die Empfindlichkeit (auch Sensitivität) des jeweiligen S-Parameters auf den jeweiligen Kalibrier-Standard bestimmt. Da durch das Kalibrier-Verfahren das Messsystem vollständig bekannt ist, können die in den Gleichungen für die Sensitivitäten enthaltenen Messwerte als Gleichungen in Abhängigkeit von den Korrekturtermen und den Kalibrier-Standards geschrieben werden. Wird diese Darstellung der Messwerte anschließend in die Gleichungen der Sensitivitäten eingesetzt und vereinfacht, ergeben sich Bestimmungsleichungen für die Sensitivitäten, die nur noch die verwendeten Kalibrier-Standards und die S-Parameter des Messobjektes enthalten. Somit kann der Zusammenhang zwischen den Unsicherheiten der Kalibrier-Standards und den Restfehlern der S-Parameter des Messobjektes einfach und analytisch berechnet werden. Bei der Messung eines Eintores erfolgt die Kalibrierung mit drei Kalibrier-Standards mit den Reflexionsfaktoren ro, rs und rm und den zugehörigen Unsicherheiten Δro, Δrs und Δrm. Für ein Messobjekt mit dem Reflexionsfaktor rd ergibt sich mit dem vorgestellten Verfahren für die Unsicherheit Δrd:und damit ein Berechnungsverfahren für die Restfehler Δrd, welches unabhängig von den Korrekturtermen und auch unabhängig von den Messwerten ist.

Description

Stand der Technik
Ein vektorieller Netzwerkanalysator wird für die Messung von Streuparametern elektronischer Bauelemente und Schaltungen in der Hochfrequenz- und Mikrowellentechnik verwendet.
Es ist bekannt, dass durch die Unvollkommenheit des Netzwerkanalysators systematische Messfehler auftreten. Diese Systemfehler können durch einen Eich- bzw. Kalibriervorgang vollständig bestimmt und bei der eigentlichen Messung mit einem rechnerischen Verfahren eliminiert werden.
Für die Bestimmung der Systemfehler sind verschiedene Kalibrierverfahren bekannt (z. B. DE 3912795 A1 ). Jeweils werden unterschiedliche bekannte Kalibrier-Normale (auch Kalibrier-Standards) mit dem Netzwerkanalysator gemessen. Aus diesen Messergebnissen können dann die Systemfehler bestimmt werden. Die bekannten Kalibrierverfahren unterscheiden sich durch

• die Anzahl der zu kalibrierenden Tore des Netzwerkanalysators
• das zugrunde liegende Fehlermodell des Netzwerkanalysators und der daraus folgenden Anzahl von zu bestimmenden Korrekturfaktoren
• die Art und Anzahl der verwendeten Kalibrier-Standards
• die an die Kenntnis über die Kalibrier-Standards gestellten Anforderungen

Weichen die verwendeten Kalibrier-Standards z. B. durch Fertigungstoleranzen von den als bekannt angenommenen Werten ab, so werden die Korrekturfaktoren des zugrunde liegenden Fehlermodells nicht mehr korrekt bestimmt. Diese Fehler in den Korrekturfaktoren pflanzen sich bei der eigentlichen Messung in Messfehler des Messobjektes fort, die im Folgenden als Restfehler bezeichnet werden.
Es sind verschiedene Verfahren bekannt die durch Unsicherheiten der Kalibrier-Standards verursachten Restfehler zu berechnen, z. B.:

• J. Stenarson: Residual error models for the SOLT and SOLR VNA calibration algorithms, 69th ARFTG conference, June 2007.
• M. Zeier: Softwareunterstützte Messunsicherheitsberechnung in der Vektornetzwerkanalyse, VDI Fachtagung Messunsicherheit praxisgerecht bestimmen, Erfurt, Nov. 2008.
• G. Wübbeler, C. Elster, T. Reichel and R. Judaschke: Determination of the Complex Residual Error Parameters of a Calibrated One-Port Vector Network Analyzer, IEEE Trans. Instrum. Meas. 58, no. 9, Sept. 2009.
• M. Wollensack, J. Hoffmann, J. Rüfenacht and M. Zeier: VNA Tools II: S-parameter uncertainty calculation (paper), 79th ARFTG conference, 2012.
• U. Stumper and T. Schrader: Influence of Different Configurations of Nonideal Calibration Standards an Vector Network Analyzer Performance, IEEE Trans. Instrum. Meas. 61, no. 7, July 2012

Bei den meisten dieser bekannten Verfahren werden die Restfehler in einem zweistufigen numerischen Prozess berechnet. Im ersten Schritt wird zunächst die Fehlerfortpflanzung der Kalibrier-Standards in die Korrekturterme bestimmt. Im einem zweiten Schritt erfolgt dann die Berechnung der Fehlerfortpflanzung aus den Korrekturtermen in die Messwerte des Messobjektes.
Mit dieser Vorgehensweise sind verschiedene Nachteile verbunden:

• Der unmittelbare Zusammenhang zwischen den Unsicherheiten der Kalibrier-Standards und den Restfehlern in den S-Parameter des Messobjektes geht bei dieser Art der Berechnung verloren.
• Weil die gemessenen Größen und damit auch die Korrekturterme komplexwertig sind, sich also aus Real- und Imaginärteil zusammensetzen, muss im allgemeinen Fall für den Unsicherheitsbereich bei der Rechnung der Fehlerfortpflanzung ein ellipsenförmiges Gebiet angenommen werden.

Durch die Komplexität der verwendetet Algorithmen ist eine Implementierung der bekannten Verfahren nur teilweise und wenn dann immer als separate Softwarelösung erfolgt.
Lediglich die letzte Quelle der bekannten Verfahren (Stumper) gibt einen Algorithmus an, bei dem der direkte Zusammenhang zwischen den Unsicherheiten der Kalibrier-Standards und den Restfehler der gemessenen S-Parameter erhalten bleibt. Allerdings wurden hier verschiedene Näherungen verwendet, so dass es sich nicht um eine vollständig analytische Lösung handelt.
Aufgabenstellung
Der im Patentanspruch 1 angegebenen Erfindung liegt das Problem zugrunde, ein Verfahren zur Berechnung der durch Unsicherheiten der Kalibrier-Standards entstehenden Restfehler einer Messung mit einem Netzwerkanalysator anzugeben, bei dem die Berechnung nur aus den Messwerten des Messobjektes und den Daten der Kalibrier-Standards erfolgt und somit die durch die Kalibrierung bestimmten Korrekturfaktoren für das Berechnungsverfahren nicht benötigt werden.
Diese Aufgabe wird durch das Verfahren nach den Patentansprüchen gelöst.
Die mit der Erfindung erzielten Vorteile bestehen insbesondere darin, dass der direkte Zusammenhang zwischen den Unsicherheiten der Kalibrier-Standards und den Restfehlern der S-Parameter des Messobjektes durch einen einfachen formelmäßigen Zusammenhang ersichtlich ist und damit eine Implementierung des Algorithmus z. B. in die Steuerungssofware eines Netzwerkanalysators erfolgen kann.
Beschreibung
Bei der erfindungsgemäßen Lösung werden die Bestimmungsgleichungen für die Berechnung der Restfehler in einem mehrstufigen Verfahlen in Abhängigkeit von dem gewählten Kalibrier-Verfahren bestimmt:

1. Zunächst werden in Abhängigkeit von dem gewählten Kalibrier-Verfahren die Unsicherheiten in den Kalibrier-Standards identifiziert, die zu den Restfehlern bei der Bestimmung der S-Parameter beitragen. Es sind verschiedene Kalibrierverfahren z. B. nach DE 3912795 A1 bekannt, bei denen nicht alle Kalibrier-Standards vollständig bekannt sein müssen (Selbstkalibrierung), sondern aus den Kalibrier-Messungen bestimmt werden. Die so bestimmten Parameter liefern deshalb keinen Beitrag zu den Restfehlern bei der Bestimmung der S-Parameter des Messobjektes.
2. Die Korrekturterme des angenommenen Fehlermodells für den Netzwerkanalysator werden nach bekannten Verfahren (z. B. DE 3912795 A1 ) aus den Kalibrier-Messungen bestimmt. Diese Gleichungen werden in Abhängigkeit von den unter 1. identifizierten Größen formuliert und in die Bestimmungsgleichungen der S-Parameter des Messobjektes eingesetzt. Die so erhaltenen Bestimmungsgleichungen der S-Parameter des Messobjektes sind damit nur abhängig von den Kalibrier-Standards, den Messwerten der Kalibrier-Messungen und den Messwerten der Messung des Messobjektes.
3. Die nach 2. erhaltenen Gleichungen werden jeweils nach den unter 1. identifizierten Größen abgeleitet. Die Ableitungen kennzeichnet die Empfindlichkeit (auch Sensitivität) des jeweiligen S-Parameters auf die jeweilige unter 1. identifizierten Größe. Der Restfehler der S-Parameter des Messobjektes kann dann durch lineare Approximation aus den Sensitivitäten und den Unsicherheiten der nach 1. identifizierten Größe berechnet werden.
4. Durch den Kalibrier-Algorithmus sind die Korrekturfaktoren des verwendeten Fehlermodells und die S-Parameter des Messobjektes bekannt. Die Messwerte der Kalibrier-Messungen und die Messwerte der Messung des Messobjektes werden nun in Abhängigkeit von den Korrekturfaktoren, den Kalibrier-Standards und den S-Parametern des Messobjektes formuliert.
5. Die unter 4. erhaltenen Gleichungen werden in die unter 3. erhaltenen Bestimmungsgleichungen für die Sensitivitäten eingesetzt und vereinfacht. Die so berechneten Bestimmungsgleichungen für die Sensitivitäten erhalten dann nur noch die S-Parameter des Messobjektes und die nach 1. identifizierten Größen und zeigen den unmittelbaren Zusammenhang zwsichen den Unsicherheiten der Kalibrier-Standards und den Unsicherheiten in den S-Parameter des Messobjektes.

Das erfindungsgemäße Verfahren wird im Folgenden auf verschiedene Kalibrier-Verfahren angewendet.
1-Tor Messung
In der 1 ist das Signalflussdiagramm für das übliche Fehlermodell einer 1-Tor Messung mit einem vektoriellen Netzwerkanalysator gezeigt. Es ist bekannt, dass für die Kalibrierung eines 1-Tores ein Fehlermodell mit 3 Korrekturfaktoren ausreichend ist und deshalb ein Zweig des Fehleradapters auf 1 normiert werden kann. Die Korrekturfaktoren sind mit e₀₀, e₁₁, und e₁₀₀₁, der unbekannte Reflexionsfaktor des Messobjektes ist mit r_d bezeichnet. Die Kalibrierung erfolgt durch die Messung von drei bekannten Kalibrier-Standards, deren Reflexionsfaktoren mit r_m, r_o und r_s bezeichnet werden. Die zugehörigen Messwerte der Kalibrier-Messungen werden im Folgenden mit M_m, M_o und M_s bezeichnet.
Die Korrekturfaktoren können mit den folgenden Gleichungen berechnet werden:
Nachdem die Korrekturfaktoren bestimmt sind, erfolgt die Berechnung des Messobjektes durch eine Korrekturrechnung des Messwertes M_d:
Werden die Korrekturfaktoren nach (1) in (2) eingesetzt, so erhält man die folgende Bestimmungsgleichung für r_d:
Abkürzungen

M_so = (M_d – M_m)(M_s – M_o) M_om = (M_d – M_s)(M_o – M_m) M_ms = (M_d – M_o)(M_m – M_s)

Berechnung
Die Restfehler der Reflexionsfaktorbestimmung können durch Ableitung der Gleichung 3 nach den Kalibrier-Standards berechnet werden:
Die einzelnen Ableitungen werden als Sensitivitäten bezeichnet und geben den Einfluss der Unsicherheit des jeweiligen Kalibrier-Standards auf den Restfehler an.
Für die Sensitivitäten ergibt sich:
Das Fehlermodell des vektoriellen Netzwerkanalysators ist durch (1) vollständig bekannt. Für ein beliebiges Messobjekt r_i ergibt sich dann der gemessene Reflexionsfaktor M_i nach der folgenden Gleichung:
Für die drei Kalibrier-Messungen und für die Messung des Messobjektes können somit die folgende Gleichungen gefunden werden:
Werden M_o, M_s, M_m, und M_d nach (8) in die Bestimmungsgleichungen der Sensitivitäten (6) eingesetzt und vereinfacht ergibt sich dann:
Die Berechnung der Restfehler kann mit den Sensitivitäten nach (9) mit der folgenden Gleichung erfolgen: Δ_rd = s_oΔ_ro + s_sΔ_rs + s_mΔ_rm (10)
Die Bestimmungsgleichungen für die Sensitivitäten (9) und Restfehler nach (10) zeigen den direkten Zusammenhang zwischen den Unsicherheiten der Messwerte und den Unsicherheiten der Kalibrier-Standards ohne die Verwendung der Korrekturterme. Die Gleichungen sind einfach und übersichtlich und können damit ohne größeren Aufwand in der Steuerungssoftware eine Netzwerkanalysators implementiert werden.
2-Tor Messung
In der 2 ist das Signalflussdiagramm für das übliche Fehlermodell einer 2-Tor Messung mit einem Netzwerkanalysator mit je 2 Messtellen auf beiden Seiten des Messobjektes gezeigt. Die folgenden Herleitungen für die Berechnung der Restfehler bei 2-Tor Messungen basieren auf den folgenden Bezeichnungen und Voraussetzungen:

• Bei der Kalibrierung kann auf einen der zu bestimmenden Korrekturterme normiert werden. Hier wird die Normierung X₂₂ = 1 gewählt.
• Die Fehleradapter X und Y
seien mit Transmissionsparametern beschrieben.
• Gemessene Rohdaten des unkalibrierten Netzwerkanalysators werden mit M gekennzeichnet und bezeichnen Verhältnisse von Wellengrößen in der Darstellung als S-Parameter, wobei die Einflüsse eines nicht-perfekten Umschalters für die Vor- und Rückwärtsmessung des Netzwerkanalysators nach bekannten Verfahren schon berücksichtigt wurden.
• Als erstes Zweitor für die Kalibrier-Messungen wird die ideale direkte Verbindung der Messtore (engl. THRU) verwendet. Die gemessenen Rohdaten werden mit M, bezeichnet:
• Die S-Parameter des Messobjektes werden mit S_d bezeichnet:
• In den Berechnungen werden Streu- und Transmissionsparameter vermischt verwendet. Die Umrechnungsfunktionen StoT() und TtoS() sind wie folgt definiert:

TRM Kalibrierung
Als Kalibrier-Standards werden die Direktverbindung (THRU), ein unbekanntes Eintor r₂ (REFLECT) und ein bekanntes Eintor (MATCH) r₁ verwendet. Bei den Kalibriermessungen werden die beiden Eintore r₁ und r₂ entweder nacheinander an beide Messtore angeschlossen, oder es werden jeweils hinreichend gleiche Eintore r₁ und r₂ gleichzeitig mit den beiden Messtoren verbunden.
Die Direktverbindung wird als ideal angenommen (s. o.), so dass durch diesen Kalibrier-Standard kein Beitrag zu des Restfehlern erfolgt. Der unbekannte Reflexionsfaktor r₂ muss sich lediglich vom bekannten Reflexionsfaktor r₁ unterscheiden und wird durch den Kalibrier-Algorithmus bis auf ein Vorzeichen bestimmt. Damit trägt auch der Reflexionsfaktor r₂ nicht zu den Restfehlern der S-Parameter bei. Lediglich der als bekannt angenommene Reflexionsfaktor r₁ ist damit Ursache für die Restfehler in den S-Parametern.
Für die folgende Herleitung werden die gemessenen Rohdaten wie folgt bezeichnet:

• Die Rohdaten der S-Parameter der Messung des Reflexionsfaktors r₁
• Die Rohdaten der S-Parameter der Messung des Reflexionsfaktors r₂
• Die Rohdaten der S-Parameter der Messung des Messobjektes

Die Restfehler in den S-Parametern der Messung werden durch Ableitung der jeweiligen Bestimmungsgleichung nach dem Kalibrier-Standard r₁ bestimmt. Diese Ableitungen werden auch als Sensitivitäten bezeichnet.
Zur Bestimmung der Restfehler müssen die Bestimmungsgleichungen für die vier S-Parameter also als Funktion von r₁ geschrieben werden. Deshalb werden im Folgenden alle zu bestimmenden Größen in Abhängigkeit von r₁ formuliert. Die Vorgehensweise zur Berechnung der Bestimmungsgleichungen des Kalibrier-Verfahrens sind aus DE 3912795 A1 bekannt.
Zunächst erfolgt die Bestimmung des Reflexionsfaktors r₂ aus den drei Kalibrier-Messungen. Dabei ist zu beachten, dass die Bestimmung von r₂ aus einer quadratischen Gleichung erfolgt und somit nur mit der Unsicherheit eines Wurzelvorzeichens erfolgen kann.
Abkürzungen

Δ_Mt = M_t11M_t22 – M_t12M_t21
r₂₀ = –sqx r₂₁ = (Δ_Mt – M_m2M_t11 + M_m1(M_m2 – M_t22))(Δ_Mt – M_s2M_t11 + M_s1(M_s2 – M_t22)) r₂₂ = sqx r_2n0 = (Δ_Mt – M_s2M_t11 + M_m1(M_s2 – M_t22))(Δ_Mt – M_s1M_t22 + M_m2(M_s1 – M_t11)) r_2n2 = (M_m1 – M_s1)(M_m2 – M_s2)(Δ_Mt – M_t11M_t22)

Berechnung
Üblicherweise wird für r₂ ein Kurzschluss oder ein Leerlauf verwendet. Von den beiden möglichen Lösungen für r₂ nach (15) wird diejenige identifiziert, die dem verwendeten Kalibrier-Standard näher kommt. Damit ist das Wurzelvorzeichen bestimmt, und die Korrekturfaktoren des X-Fehleradapters können mit den folgenden Gleichungen bestimmt werden:
Abkürzungen

n₀ = (M_m2 – M_s2)(Δ_Mt + M_m2(M_s1 – M_t11) – M_s1M_t22)(Δ_Mt – M_t11M_t22) n₂ = (M_m1 – M_s1)(Δ_Mt + M_m1(M_s2 – M_t22) – M_s2M_t11)M_m2 – M_t22)² x₁₁₀ = sqx(M_m2M_t11 – Δ_Mt) x₁₁₁ = (Δ_Mt – M_m2M_t11 + M_m1(M_m2 – M_t22))· (M_m1(Δ_Mt – M_m2M_t11)(M_s2 – M_t22) – M_s1(Δ_Mt – M_s2M_t11)(M_m2 – M_t22)) x₁₁₂ = –M_m1sqx(M_m2 – M_t22) x₁₂₀ = M_m1(M_m2 – M_s2)(Δ_Mt + M_m2(M_s1 – M_t11) – M_s1M_t22)(Δ_Mt – M_t11M_t22) x₁₂₁ = (Δ_Mt – M_m2M_t11 + M_m1sqx(M_m2 – M_t22)) x₁₂₂ = (M_m1 – M_s1)(Δ_Mt – M_m2M_t11)(M_m2 – M_t22)(–Δ_Mt + M_s2M_t11 + M_m1(–M_s2 + M_t22)) x₂₁₀ = (M_m2 – M_t22)sqx x₂₁₁ = (Δ_Mt – M_m2M_t11 + M_m1(M_m2 – M_t22))· {(Δ_Mt – M_m2M_t11 + (–M_m1 + M_s1)(M_m2 – M_t22))(M_s2 – M_t22) – (Δ_Mt – M_s2M_t11)(M_m2 – M_t22)} x₂₁₂ = (M_t22 – M_m2)sqx

Berechnung
Wenn der X-Fehleradapter bestimmt ist, können die S-Parameter der Messobjektes S_d berechnet werden. Dabei wird der Y-Fehleradapter aus der ersten Kalibrier-Messung des direkten Durchgangs implizit verwendet: [Y] = StoT([M_t])[X]^–1 (17) [Y]^–1 = StoT([M_t])^–1[X] S_d = TtoS([X]^–1StoT([M_d])[Y]^–1) = TtoS([X]^–1StoT([M_d]){StoT([M_t])}^–1[X]) (18)
Es ergeben sich also die folgenden Bestimmungsgleichungen für die S-Parameter des Messobjektes:
Abkürzungen

Δ_Tx = M_T11M_T22 – M_T12M_T21 N_S = X₂₁(M_T12 + M_T11X₁₂) – X₁₁(M_T22 + M_T21X₁₂)

Berechnung
Mit der Gleichung (19) ist nun eine Beschreibung gefunden, bei der die Abhängigkeiten des S-Parameters S_dij von r₁ ersichtlich ist: S_dij(r₁) = S_dij(X₁₁(r₁), X₁₂(r₁), X₂₁(r₁)) (20)
Damit können die Sensitivitäten berechnet werden:
Abkürzungen

c_S1 = M_T22 + M_T21X₁₂ c_S2 = M_T21X₁₁ – M_T11X₂₁ c_S3 = M_T12 + M_T11X₁₂ c_S11X11 = c_S1S_d11 c_S11X12 = c_S2S_d11 – M_T11 + c_S1 + M_T21X₁₂ c_S11X21 = –c_S3S_d11 c_S12X11 = c_S1S_d12 – Δ_Tx c_S12X12 = c_S1S_d12 + Δ_TxX₂₁ c_S12X21 = –c_S3S_d12 + Δ_TxX₁₂ c_S21X11 = c_S1S_d21 – 1 c_S21X12 = c_S2S_d21 + X₂₁ c_S21X21 = –c_S3S_d12 + X₁₂ c_S22X11 = c_S1S_d22 + c_S2 + M_T21X₁₁ + M_T22X₂₁ c_S22X12 = c_S2S_d22 c_S22X21 = –c_S3S_d22 – M_T11X₁₁ + M_T22X₁₁ – 2M_T12X₂₁ C_X11r1 = x₁₁₁ + 2r₁(x₁₁₂ – X₁₁n₂) C_X12r1 = x₁₂₁ + 2r₁(x₁₂₂ – X₁₂n₂) C_X21r1 = x₂₁₁ + 2r₁(x₂₁₂ – X₂₁n₂)

Berechnung
Durch die Kalibrierung sind sämtliche Größen des Fehlermodells bekannt:

• Der Reflexionsfaktor r₂ aus (15)
• Der X-Fehler-Adapters X₁₁, X₁₂ und X₂₁ aus (16)
• Der Y-Fehler-Adapters Y₁₁, Y₁₂, Y₂₁ und Y₂₂ aus (17)
• Die S-Parameter des Messobjektes aus (19)

Damit können für die Messwerte die folgenden Gleichungen angegeben werden:
Diese Ausdrücke für die Messwerte werden nun sukzessive in alle Bestimmungsgleichungen eingesetzt. In der Bestimmungsgleichung (15) von r₂ geht dabei die Unsicherheit bei der Bestimmung des Wurzelvorzeichens verloren. Es ergibt sich:
Werden nun die Messwerte nach (22) und die Gleichung (23) in die Parameter für die X-Fehleradapter nach (16) eingesetzt, so ergibt sich:
Abkürzungen

Δ_Y = Y₁₁Y₂₂ – Y₁₂Y₂₁

Berechnung
Für die in (19) verwendeten Abkürzungen ergibt sich:
Die Abkürzungen, die bei der Berechnung der Sensitivitäten nach (21) verwendet werden, vereinfachen sich dann zu:
Werden die Abkürzungen schließlich in die Berechnungsgleichungen der Sensititvitäten nach (21) eingesetzt, so vereinfachen sich die Ausdrücke zu:
Die Bestimmungsgleichungen für die Sensitivitäten und Restfehler nach (27) zeigen den direkten Zusammenhang zwischen den Unsicherheiten der Messwerte und den Unsicherheiten der Kalibrier-Standards ohne die Verwendung der Korrekturterme. Die Gleichungen sind einfach und übersichtlich und können damit ohne größeren Aufwand in der Steuerungssoftware eine Netzwerkanalysators implementiert werden.
TRL Kalibrierung
Als Kalibrier-Standards werden die Direktverbindung (THRU), ein unbekanntes Eintor r₂ (REFLECT) und eine bekannte Leitung (LINE) verwendet. Bei den Kalibriermessungen wird das Eintor r₂ entweder nacheinander an beide Messtore angeschlossen, oder es werden zwei hinreichend gleiche Eintore r₂ gleichzeitig mit den beiden Messtoren verbunden.
Die Direktverbindung wird als ideal angenommen (s. o.), so dass durch diesen Kalibrier-Standard kein Beitrag zu des Restfehlern erfolgt. Der unbekannte Reflexionsfaktor r₂ muss sich lediglich vom Reflexionsfaktor der Leitung unterscheiden und wird durch den Kalibrier-Algorithmus bis auf ein Vorzeichen bestimmt. Damit trägt auch der Reflexionsfaktor r₂ nicht zu den Restfehlern der S-Parameter bei. Lediglich die als bekannt angenommene Leitung ist damit Ursache für die Restfehler in den S-Parametern.
Für die folgende Herleitung werden die gemessenen Rohdaten wie folgt bezeichnet:

• Die Rohdaten der S-Parameter der Messung der Leitung
• Die Rohdaten der S-Parameter der Messung des Reflexionsfaktors r₂
• Die Rohdaten der S-Parameter der Messung des Messobjektes

Die S-Parameter S_Ltg der zur Kalibrierung verwendeten Leitung sind:
Hier bezeichnet Z_L den Wellenwiderstand der Leitung und Z₀ die Bezugsimpedanz des Messystems auf den kalibriert werden soll.
Aus DE 3912795 A1 ist bekannt, dass sowohl der Term K_x der Leitung, als auch der Reflexionsfakor r₂ jeweils bis auf eine Vorzeichenunsicherheit aus der Kalibrierung bestimmt werden kann. Diese Vorzeichen werden durch eine Schätzung der Werte von K_x und r₂ bestimmt. Daraus folgt, dass lediglich der Faktor ρ der Leitung (und damit letzlich der Wellenwiderstand Z₀) für die vollständige Kalibrierung bekannt sein muss und damit ρ auch die alleinige Ursache für die Restfehler ist.
Die Restfehler in den S-Parametern der Messung werden durch Ableitung der jeweiligen Bestimmungsgleichung nach dem Kalibrier-Standard ρ bestimmt. Diese Ableitungen werden auch als Sensitivitäten bezeichnet.
Zur Bestimmung der Restfehler müssen die Bestimmungsgleichungen für die vier S-Parameter also als Funktion von ρ geschrieben werden.
In den folgenden Gleichungen werden die Messwerte der direkten Verbindung und die Messwerte der Leitungsmessung wie folgt zusammengefasst:
Für die Berechnung der Korrekturfaktoren des X-Fehleradapters in Abhängigkeit von ρ werden die folgenden Abkürzungen benötigt, wobei die Variable sqx den Wurzelausdruck kennzeichnet, der sich bei der Berechnung von r₂ ergibt:
x₁₁₀ = K_x(–1 + K_xQ₁₁)sqx x₁₁₁ = –K_x(–1 + K 2 / x){(M_s2 – M_t22)Q₁₁ + K 2 / x(M_s2 – M_t22)Q₁₁ + K_x(M_t22 + M_t22Q 2 / 11 + M_s1M_t12M_t21Q 2 / 21 – M_s1M_t11M_t22Q 2 / 21 – M_s2(1 + Q 2 / 11 – M_s1M_t11M_t22Q 2 / 21))} x₁₁₂ = K_x(1 + K 2 / x – 2K_xQ₁₁)sqx x₁₁₃ = K_x(–1 + K 2 / x){(M_s2 – M_t22)Q₁₁ + K 2 / x(M_s2 – M_t22)Q₁₁ + K_x(M_t22 + M_t22Q 2 / 11 + M_s1M_t12M_t21Q 2 / 21 – M_s1M_t11M_t22Q 2 / 21 – M_s2(1 + Q 2 / 11 – M_s1M_t11M_t22Q 2 / 21))} x₁₁₄ = K 2 / x(–K_x + Q₁₁)sqx x₁₂₀ = K_x(K_x – Q₁₁)(–1 + K_x(Q₁₁ – M_s1Q₂₁)){M_t22 – K_xM_t22Q₁₁ – K_xM_t12M_t21Q₂₁ + K_xM_t11M_t22Q₂₁ + M_s2(–1 + K_x(Q₁₁ – M_t11Q₂₁))} x₁₂₁ = K_xsqx – K 3 / xsqx a₁ = (1 + 3Q 2 / 11 – 2(M_s1 + M_t11)Q₁₁Q₂₁ + M_s1M_t11Q 2 / 21) a₂ = Q 3 / 11 –(M_s1 + M_t11)Q₂₁ – (M_s1 + M_t11)Q 2 / 11Q₂₁ + Q₁₁(2 + M_s1M_t11Q 2 / 21) a₃ = M_t12M_t21Q₂₁(2Q₁₁ – M_s1Q₂₁) x₁₂₂ = K_x{(M_s2 – M_t22)Q₁₁ + K_x(a₃ – a₁(M_s2 – M_t22)) + 2K 2 / x(M_t12M_t21Q₂₁(–1 – Q 2 / 11 + M_s1Q₁₁Q₂₁) + a2(Ms₂ – M_t22)) + K 3 / x(a₃ – a₁(M_s2 – M_t22)) + K 4 / x(M_s2 – M_t22)Q₁₁} x₁₂₃ = K_x(–1 + K 2 / x)sqx x₁₂₄ = –{K 2 / x(–1 + K_xQ₁₁)(K_x – Q₁₁ + M_s1Q₂₁)(K_x(M_s2 – M_t22) – M_s2Q₁₁ + M_t22Q₁₁ + M_s2M_t11Q₂₁ + M_t12M_t21Q₂₁ – M_t11M_t22Q₂₁)} x₂₁₀ = K 2 / xQ₂₁sqx a₄ = –2Q₁₁ + (M_s1 + M_t11)Q₂₁ x₂₁₁ = K_x(–1 + K 2 / x)Q₂₁{–K_xM_t12M_t21Q₂₁ – (1 + K 2 / x + K_xa₄)(M_s2 – M_t22)} x₂₁₂ = –2K 2 / xQ₂₁sqx x₂₁₃ = K_x(–1 + K 2 / x)Q₂₁{K_xM_t12M_t21Q₂₁ + (1 + K 2 / x + K_xa4)(M_s2 – M_t22)} x₂₁₄ = K 2 / xQ₂₁sqx n₀ = K_xQ₂₁(–1 + K_xt₃)(K_xM_t12M_t21Q₂₁ + (1 – K_xt₀)(M_s2 – M_t22)) n₂ = K_xQ₂₁(K_xM_t12M_t21Q₂₁(1 + K 2 / x – 2K_xt₃) + (1 + K_xa₄ + 2K 2 / xt₃t₀ + K 3 / xa₄ + K 4 / x)(M_s2 – M_t22)) n₄ = –K 3 / xQ₂₁(K_x – t₃)((M_s2 – M_t22)(K_x – t₀) + M_t12M_t21Q₂₁) X_d = n₀ + n₂ρ² + n₄ρ⁴ (32)
Die Korrekturfaktoren des X-Fehleradapters ergeben sich dann zu:
Die Gleichung (19) gilt auch für die TRL Kalibrierung. Die Abhängigkeiten der Bestimmungsgleichung des S-Parameter S_dij von ρ ist somit: S_dij(ρ) = S_dij(X₁₁(ρ), X₁₂(ρ)‚ X₂₁(ρ)) (34)
Mit den Abkürzungen von (21) und den folgenden Abkürzungen ergeben sich die folgenden Ausdrücke für die Sensitivitäten:
Abkürzungen
Berechnung
Durch die Kalibrierung sind sämtliche Größen des Fehlermodells bekannt. Damit können für die Messwerte die folgenden Gleichungen angegeben werden:
Werden die Messwerte nach (36) sukzessive in die verwendeten Abkürzungen eingesetzt, so ergeben sich für die Sensitivitäten letztendlich die folgenden Gleichungen:
Die Bestimmungsgleichungen für die Sensitivitäten und Restfehler nach (37) zeigen den direkten Zusammenhang zwischen den Unsicherheiten der Messwerte und den Unsicherheiten der Kalibrier-Standards ohne die Verwendung der Korrekturterme. Die Gleichungen sind einfach und übersichtlich und können damit ohne größeren Aufwand in der Steuerungssoftware eine Netzwerkanalysators implementiert werden.
ZITATE ENTHALTEN IN DER BESCHREIBUNG
Diese Liste der vom Anmelder aufgeführten Dokumente wurde automatisiert erzeugt und ist ausschließlich zur besseren Information des Lesers aufgenommen. Die Liste ist nicht Bestandteil der deutschen Patent- bzw. Gebrauchsmusteranmeldung. Das DPMA übernimmt keinerlei Haftung für etwaige Fehler oder Auslassungen.
Zitierte Patentliteratur

DE 3912795 A1 [0003, 0013, 0013, 0032, 0052]

Zitierte Nicht-Patentliteratur

J. Stenarson: Residual error models for the SOLT and SOLR VNA calibration algorithms, 69th ARFTG conference, June 2007 [0005]
M. Zeier: Softwareunterstützte Messunsicherheitsberechnung in der Vektornetzwerkanalyse, VDI Fachtagung Messunsicherheit praxisgerecht bestimmen, Erfurt, Nov. 2008 [0005]
G. Wübbeler, C. Elster, T. Reichel and R. Judaschke: Determination of the Complex Residual Error Parameters of a Calibrated One-Port Vector Network Analyzer, IEEE Trans. Instrum. Meas. 58, no. 9, Sept. 2009 [0005]
M. Wollensack, J. Hoffmann, J. Rüfenacht and M. Zeier: VNA Tools II: S-parameter uncertainty calculation (paper), 79th ARFTG conference, 2012 [0005]
U. Stumper and T. Schrader: Influence of Different Configurations of Nonideal Calibration Standards an Vector Network Analyzer Performance, IEEE Trans. Instrum. Meas. 61, no. 7, July 2012 [0005]

Claims

Verfahren zur Berechnung der durch Unsicherheiten der Kalibrier-Standards entstehenden Restfehler einer Messung mit einem Netzwerkanalysator, dadurch gekennzeichnet, dass die Berechnung nur aus den S-Parametern des Messobjektes und den Daten der Kalibrier-Standards erfolgt und damit sowohl die durch die Kalibrierung bestimmten Fehlerterme, als auch die Messwerte der Kalibrier-Messungen und der Messungen des Messobjektes für das Berechnungsverfahren nicht benötigt werden.
Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass eine Eintor-Messung erfolgt, bei der der Netzwerkanalysator mit drei bekannten Kalibrier-Standards in beliebiger Reihenfolge kalibriert wurde.
Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass eine Zweitor-Messung erfolgt, bei der der Netzwerkanalysator in beliebiger Reihenfolge mit einer direkten Verbindung der beiden Messtore als erstem Kalibrier-Standard und einem Eintor bekannter Reflexion, das an beide Messtore nacheinander geschaltet wurde, als zweitem Kalibrier-Standard und einem Eintor unbekannter aber von der Reflexion des zweiten Kalibrier-Standard abweichender Reflexion, das an beide Messtore nacheinander geschaltet wurde, als dritter Kalibrier-Standard kalibriert wurde.
Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass eine Zweitor-Messung erfolgt, bei der der Netzwerkanalysator in beliebiger Reihenfolge mit einer direkten Verbindung der beiden Messtore als erstem Kalibrier-Standard und zwei hinreichend gleichen Eintoren bekannter Reflexion, die nacheinander oder gleichzeitig an die beiden Messtore geschaltet wurden, als zweitem Kalibrier-Standard und einem Eintor unbekannter aber von der Reflexion des zweiten Kalibrier-Standard abweichender Reflexion, das an beide Messtore nacheinander geschaltet wurde, als dritter Kalibrier-Standard kalibriert wurde.
Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass eine Zweitor-Messung erfolgt, bei der der Netzwerkanalysator in beliebiger Reihenfolge mit einer direkten Verbindung der beiden Messtore als erstem Kalibrier-Standard und einem Eintor bekannter Reflexion, das an beide Messtore nacheinander geschaltet wurde, als zweitem Kalibrier-Standard und zwei hinreichend gleichen Eintoren unbekannter aber von der Reflexion des zweiten Kalibrier-Standard abweichender Reflexion, die nacheinander oder gleichzeitig an die beiden Messtore geschaltet wurden, als dritter Kalibrier-Standard kalibriert wurde.
Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass eine Zweitor-Messung erfolgt, bei der der Netzwerkanalysator in beliebiger Reihenfolge mit einer direkten Verbindung der beiden Messtore als erstem Kalibrier-Standard und zwei hinreichend gleichen Eintoren bekannter Reflexion, die nacheinander oder gleichzeitig an die beiden Messtore geschaltet wurden, als zweitem Kalibrier-Standard und zwei hinreichend gleichen Eintoren unbekannter aber von der Reflexion des zweiten Kalibrier-Standard abweichender Reflexion, die nacheinander oder gleichzeitig an die beiden Messtore geschaltet wurden, als dritter Kalibrier-Standard kalibriert wurde.
Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass eine Zweitor-Messung erfolgt, bei der der Netzwerkanalysator in beliebiger Reihenfolge mit einer direkten Verbindung der beiden Messtore als erstem Kalibrier-Standard und einer Leitung beliebiger Länge aber bekannter Reflexion als zweitem Kalibrier-Standard und einem Eintor unbekannter aber von der Reflexion des zweiten Kalibrier-Standard abweichender Reflexion, das an beide Messtore nacheinander geschaltet wurde, als drittem Kalibrier-Standard kalibriert wurde.
Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass eine Zweitor-Messung erfolgt, bei der der Netzwerkanalysator in beliebiger Reihenfolge mit einer direkten Verbindung der beiden Messtore als erstem Kalibrier-Standard und einer Leitung beliebiger Länge aber bekannter Reflexion als zweitem Kalibrier-Standard und zwei hinreichend gleichen Eintoren bekannter Reflexion, die nacheinander oder gleichzeitig an die beiden Messtore geschaltet wurden, als drittem Kalibrier-Standard kalibriert wurde.