CN1186157C - 鼓锥形刀具及用鼓锥形刀具侧铣复杂曲面离心叶轮的方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种高效的任意曲面离心叶轮侧铣刀具——鼓锥形刀，并针对该刀具给出了走刀间距与走刀步长、以及刀位的计算方法。刀具切削部分是回转面，母线是一段半径为R的圆弧，回转面与刀柄相切，刀具底部无切削刃。这种刀具比球形刀加工效率高，同时克服了鼓形刀刚度小的弱点，又比锥形刀有更大的旋转灵活性，可方便地避免加工中可能出现的过切和碰撞，是一种理想的任意曲面三元叶轮加工刀具，采用本发明的鼓锥形刀加工叶轮，其刀具轨迹数目远远小于采用球形刀时的轨迹数目，二者的比例一般为1∶3左右，在同样的的加工条件下，刀具轨迹长度短，所需加工时间少，有十分明显的经济效益。

Description

鼓锥形刀具及用鼓锥形刀具侧铣复杂曲面离心叶轮的方法

一、技术领域

本发明涉及机械加工及数控加工技术领域的复杂曲面叶轮等复杂曲面的数控加工技术，特别涉及一种鼓锥形刀具及利用鼓锥形刀具侧铣复杂曲面的方法。

二、背景技术

叶轮机械广泛地用于能源动力、航空航天、石油化工、冶金等行业，在国民经济和国防事业中发挥着巨大作用，如压缩机、鼓风机、通风机和水泵等都是典型的叶轮机械。叶轮是叶轮机械中的关键部件，通过其高速旋转，叶片对流体作功，得到高速、高压的流体。按照流体流动方向，可分为轴流叶轮和离心叶轮，在轴流叶轮中，流体沿轴向流动；在离心叶轮中，流体的主要运动方向为垂直于旋转轴的径向(姜培正.叶轮机械.西安：西安交通大学出版社，1991.8)。图1中所示的叶轮为为一种离心叶轮，它包括有长叶片1，短叶片2，流道3等，图中还示意性地表示出有加工刀具4。

根据叶片的几何形状，可将叶轮分为具有直纹面叶片的叶轮和具有复杂曲面叶片的叶轮。直纹面可以视为由一条直线在空间运动所形成的曲面；复杂曲面也称自由曲面，几何形状没有一定的规律，由数据点来表示(梅向明，黄敬之后。微分几何。北京：高等教育出版社，1981)。本专利涉及的叶轮就是叶片为复杂曲面的离心叶轮，图1显示了加工中叶轮与刀具4的位置关系，其中的叶轮就是复杂曲面离心叶轮。

由于叶轮形状复杂，普通机床难以胜任，采用数控机床加工是最好的方法。数控机床的功能很大程度上取决于它的自由度数，数控机床的自由度是指刀具相对于工件的运动。机床工作时，刀具夹持在主轴上，工件固定在工作台上。数控机床的坐标系采用右手直角坐标系，三个直线运动坐标轴为X、Y、Z，三个回转运动坐标A、B、C分别表示绕X、Y、Z轴的旋转运动，如图2所示。按数控机床的自由度数，可分为三坐标、四坐标以及五坐标数控机床，三坐标机床的自由度只有X、Y、Z三个平移自由度，四坐标机床在此基础上增加一个旋转自由度，五坐标机床有三个平移自由度、二个旋转自由度(李树明，高东强。CAD/CAM技术。西安：陕西科学技术出版社，1994)。

对于图1所示的复杂曲面离心叶轮，须采用五坐标数控机床加工，否则，刀具与叶片将发生干涉，难以制造出符合要求的叶轮。图3所示为利用五坐标数控铣床加工叶轮20的示意图，其中，X、Y轴的平移运动以及C轴的回转运动由机床工作台30实现，Z轴的平移以及A轴的摆动由机床主轴实现。

叶轮的加工主要有开槽粗加工和精加工，在复杂曲面离心叶轮的整个加工过程中，精加工所用的时间占有相当大的比例，其中，刀具的形状与加工效率有很大关系。图4显示了刀具有效切削半径与加工宽度的关系。该图是过刀具与曲面的接触点处，垂直于切削方向的剖面。图中，f为切削方向，h为给定的残留高度，d为相邻走刀轨迹之间的距离，r_c为刀具的有效切削半径，不同的刀具具有不同的有效切削半径，球形刀的有效切削半径是球的半径。从图可以看出，在相同的残留高度h下，有效切削半径r_c越大，走刀间距d越大；对于给定的曲面，切削用量相同的情况下，d越大，走刀次数就少，加工效率则高(Vickers G W，Quan K W，Ball-mills versus end-mills for curved surfacemachining.Journal of Engineering for Industry，Vol.111，1989：22～26)。叶轮加工中，由于流道狭窄，刀具直径必定受到限制，参见图1，在同样刀具半径下，r_c值越大则加工效率越高，本发明中的鼓锥型刀具就具有这样的特点，其有效切削半径大于同样刀具直径的球形刀，具有高的切削效率。

零件的数控加工中，关键是要编制出数控程序，数控机床按照数控程序实现加工。编程时，首先要确定刀具的姿态，即刀具与曲面的接触点和刀具的方向，刀具与曲面接触点的集合就是刀具轨迹，确定刀具轨迹就是要计算出轨迹间距d，以及走刀步长；所确定的刀具方向要保证机床能够实现。刀具接触点和刀具方向确定后，刀具相对于工件的姿态在空间中就唯一地确定了。然后，针对不同的数控机床，通过后置处理环节，将刀位数据转变成机床能够识别的机床指令进行加工(姚英学，蔡颖.计算机辅助设计与制造。北京：高等教育出版社，2002.1)。

目前，在离心叶轮精加工中通常采用的刀具为球形刀，球形刀有效切削半径小，加工效率低。

C.Y.Wu.(Arbitrary surface flank milling of fan，compressor，andimpeller blades.Transactions of the ASME，Journal of Engineering forGas Turbines and Power，Vol.117，1995，p 534～p 539)，提出了利用锥形刀侧铣任意曲面叶轮叶片的方法，其切削刃为圆锥面，参见图5。他突破了加工任意曲面必须采用球形刀或立铣刀进行点接触加工这一思维方式，将高效的线接触加工方式应用到任意曲面的加工中，该方法加工效率远远大于球形刀。

实践中发现，采用锥形刀加工任意曲面存在以下缺陷：1)该方法对所加工叶片形状及加工中刀具的方向要求比较苛刻，叶片扭曲不能太大，否则找不到合适的刀具加工位置。为了加工曲面上给定位置，刀具的可行方向域很小，转动余地小；2)如果刀具与叶片发生碰撞，由于刀具的可行方向域小，刀具转动范围小，干涉刀位很难修正。因此，在任意曲面三元离心叶轮整体铣制过程中，这种方法可能失败。

刘雄伟，张定华等(数控加工理论与编程技术.北京：机械工业出版社，1994)引入了利用鼓形刀侧铣曲面的思路，参见图6，采用这种方法，刀具与加工表面的接触长度较大。文献中只是利用鼓形刀来介绍侧铣的基本原理，没有涉及鼓形刀曲面侧铣刀位的计算。

由于叶轮流道为狭窄通道，采用鼓型刀，刀具的刚度比较小，影响加工精度。

三、发明内容

针对上述现有技术存在的缺陷或不足，本发明的一个目的是提供一种鼓锥形刀具，该鼓锥形刀具的特点是，刀具切削部分是回转面，母线是一段半径为R的圆弧，回转面与刀柄相切，刀具底部无切削刃，该刀具中R的取值以不与曲面发生过切为原则，即曲面接触点的曲率半径应大于R值；本发明的鼓锥形刀具是一种高效的切削刀具，保留了鼓形刀和锥形刀相对于球形刀高的加工效率，同时克服了鼓形刀刚度小的弱点，又比锥形刀有更大的灵活性，可方便地避免过切和碰撞，是一种理想的任意曲面三元叶轮整体加工刀具。

本发明的另一个目的是提供一种利用鼓锥形刀具侧铣复杂曲面离心叶轮的方法，包括以下步骤：

1)刀具轨迹间距与走刀步长的计算

(1)刀具轨迹间距的计算

(2)走刀步长的计算

2)刀位数据的计算

包括，刀轴矢量的计算和刀具计算中心的计算。

本发明采用鼓锥形刀加工叶轮，在同样的加工条件下，刀具轨迹长度短，所需加工时间少，即采用这种刀具精加工任意曲面叶轮，加工效率将是传统方法的3倍。同时，它比锥形刀有更大的灵活性，很容易修正加工中刀具与叶片的干涉；而且刚度高于鼓形刀。

四、附图说明

图1显示了加工中叶轮与刀具的位置关系；

图2是数控机床坐标系；

图3是利用五坐标数控铣床加工叶轮的示意图；

图4是刀具有效切削半径与加工宽度的关系的示意图，其中5为刀具与曲面的接触面，6为加工前零件表面，而7表示理论加工面；

图5是圆锥形刀示意图；

图6是鼓形刀示意图；

图7是本发明的鼓锥形刀示意图；

图8是利用鼓锥形刀侧铣曲面示意图，；

图9是轨迹间距d的计算示意图；

图10鼓锥形刀切削部分的截面示意图；

图11是走刀步长的计算示意图，其中8表示曲率圆，而9为理论轨迹；

图12是刀具计算中心的确定示意图；

图13是采用鼓锥形刀形成的刀具轨迹；

图14是采用球形刀形成的刀具轨迹。

五、具体实施方式

以下结合附图和发明人具体的实施例对本发明作进一步的详细描述。

5.1鼓锥形刀的提出

本发明提出了一种高效的加工复杂曲面离心叶轮的切削刀具，称该刀具为鼓锥形刀，参见图7。刀具切削部分是回转面，母线是一段半径为R的圆弧，回转面与刀柄相切，刀具底部无切削刃。鼓锥形刀保留了鼓形刀和锥形刀相对于球形刀高的加工效率，同时克服了鼓形刀刚度小的弱点，又比锥形刀有更大的灵活性，可方便地避免过切和碰撞，是一种理想的任意曲面离心三元叶轮整体加工刀具。该刀具中R的选取以不与曲面发生过切为原则，即曲面接触点的曲率半径应大于R值。

5.2刀具轨迹间距与走刀步长的计算

利用鼓锥形刀侧铣曲面的情形如图8所示，r(u，w)表示曲面，刀具接触点为点C，点O为刀具的计算中心，l为刀轴方向矢量，单位矢量f为切削方向，n为C点的单位法矢，矢量b＝n×f，这三个矢量组成了一个直角坐标系，原点在点C。在五坐标加工中，刀具具有两个旋转自由度。取刀轴的初始方向与矢量b一致，首先初始刀轴矢量绕矢量f旋转一角度α；然后，刀具再绕矢量n旋转一角度-β，正方向用右手系确定，这是因为，刀具切削时，刀轴须向切削方向f偏，以形成拖刀切削。从图中可知，刀轴在初始位置时，α＝0，β＝0。

曲面数控编程中，须计算刀具轨迹间距与走刀步长。

(1)刀具轨迹间距的计算

如图9所示，C点为已知的初始轨迹上一接触点，初始刀具轨迹一般为曲面的一条边界，C’点为需要求解的相邻轨迹上的接触点，在C点垂直于法矢f作一截面，矢量b和CC′在该平面内，得到的曲面截面线可以近似地用一段圆弧表示，半径为曲面上C点沿方向b的法截线曲率半径，记为R_b。同样，刀具切削面沿方向b的截面线也可用一段圆弧近似表示，其半径为刀具C点沿方向b的法截线曲率半径，也即刀具的有效切削半径，记为r_c。

对于给定的R_b、r_c以及残留高度h，刀具轨迹间距d可用下式计算

$d=\sqrt{\frac{{8R}_b\·r_c\·h}{R_b\±r_c}}---\left(1\right)$

1)曲面沿矢量b的法截线曲率半径R_b的计算

根据微分几何知识，曲面C点的切线b可表示为

b＝r_ud_u+r_wd_w

其中，d_u、d_w分别为矢量b在切矢量r_u、r_w上的分量。

则沿方向b的法截线曲率半径为

$R_b=\frac{I}{\mathrm{II}}=\frac{{\mathrm{Edu}}^2+2\mathrm{Fdudw}+G{\mathrm{dw}}^2}{{\mathrm{Ldu}}^2+2\mathrm{Mdudw}+\mathrm{Nd}{w}^2}---\left(2\right)$

其中，I为曲面的第一基本形式，E、F、G分别为曲面的第一类基本量，II为曲面的第二基本形式，L、M、N分别为曲面的第二类基本量。

若d_w＝0，则 $R_b=\frac{I}{\mathrm{II}}=\frac{E}{L}$

若d_w≠0，则对式(2)作一变换，有

$R_b=\frac{I}{\mathrm{II}}=\frac{E{\left(\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dw}}\right)}^2+2F\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dw}}+G}{L{\left(\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dw}}\right)}^2+2M\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dw}}+N}---\left(3\right)$

由图8可知

b·f＝0

即(r_udu+r_wdw)·f＝0，由此得

$\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dw}}=-\frac{r_w\·f}{r_u\·f}---\left(4\right)$

将式(4)代入式(3)即可求出曲面法截线的曲率半径R_b的值。

2)刀具切削面沿矢量b的有效切削半径r_c的计算

将刀具切削面沿过刀轴的平面剖切，如图10显示了部分截面，其中粗实线为切削刃，点O为刀具的计算中心，点O′为刀具回转母线的中心，R为母线半径，C为刀具接触点。以点O为坐标原点，刀具轴向和径向分别作为坐标轴z和r。α为O′C与r轴的夹角。从图可知，为了使刀具与曲面有接触点，即点C处于图10中粗实线表示的切削部分，角度α的最大偏转值α_max应满足：

${\mathrm{\&alpha;}}_{\max }<\arcsin \frac{h}{R}$

由图10中所示的几何关系，可得到C点的坐标为：

由图8和图10，根据欧拉公式可得，刀具倾斜角度α和β后，在刀具切削面接触点处，沿矢量b方向的法曲率为

k_c＝k₁cos²β+k₂sin²β

其中，k₁和k₂分别为该接触点的主曲率，k₁＝1/R，k₂＝1/r＝1/(Rcosα-(R-d_c/2))

故刀具有效切削半径r_c为

r_c＝1/k_c                                              (5)

将式(5)和式(3)代入式(1)，由于h给定，即可求得刀具轨迹间距d。

(2)走刀步长的计算

对于曲面，其理论刀具轨迹为空间曲线，在曲面的多坐标数控加工中，刀具的运动一般采用线性插补方式，即将理论轨迹在给定误差下离散成一定数量的线段，刀具的实际运动轨迹为一系列直线段(实用数控加工技术编委会，实用数控加工技术，兵器工业出版社，1995：177~179)。如图11所示，设刀具实际的运动轨迹与理论轨迹之间存在的直线逼近误差为δ，则走刀步长AB可按下式计算：

$\mathrm{AB}\&ap;\sqrt{\frac{8\mathrm{\&delta;}}{k_f}}$

其中，k_f为走刀轨迹接触点处的曲率。

5.3刀位数据的计算

刀位数据包括刀具的计算中心位置O和刀轴方向(单位矢量)l，刀位的计算与刀具的形状尺寸有关。对于鼓锥形刀具，刀位计算如下。

(1)刀轴矢量l的计算

如图8所示，刀轴矢量的初始位置为矢量b，此时，α＝β＝0。首先使刀具以点O′为中心，绕矢量f旋转角度α，参见图10。再使刀具以点C为中心，绕矢量n旋转角度-β。设刀轴矢量从初始方向b绕矢量f旋转角度α后的矢量l₁，则

l₁＝b·cosα+n·sinα

刀轴矢量l₁绕矢量n旋转-β角度，即可得到刀轴的最终方向矢量l，有

l＝l₁·cosβ-n×l₁·sinβ+n·(l₁·n)·(1-cosβ)           (6)

(2)刀具计算中心的计算

图12显示了刀具绕矢量f旋转角度α前后，计算中心的变化情况。其中，点O′为刀具切削回转面母线的圆心，点O₁为刀具初始位置的计算中心，点O₂为旋转角度α后刀具的计算中心。

设矢量O′O₁绕矢量f旋转角度α后为O′O₂，矢量O′O₂绕矢量n旋转-β角度后为矢量O′O(图中未表示出)，则经过旋转变换后，刀具最终的计算中心点O为

O＝O′+O′O                                                   (7)

由图10和图12可知

O′＝C+n·R，O₁＝C+n·(d_c/2)    则

O′O₁＝n·(d_c/2-R)                                            (8)

矢量O′O₂和矢量O′O分别为

O′O₂＝O′O₁·cosα+f×O′O₁·sinα                           (9)

O′O＝O′O₂·cosβ-n×O′O₂·sinβ+n·(O′O₂·n)·(1-cosβ)   (10)

将式(8)代入式(9)、将式(9)代入式(10)可求得O′O，再将式(10)代入式(7)，即可求得刀具的最终计算中心点O。

式(6)和式(7)分别确定了刀轴方向l和刀具的计算中心O，刀位数据(O，l)由此确定。

采用本发明的鼓锥形刀加工叶片，结果表明，其刀具轨迹数目远远小于采用球形刀时的轨迹数目，二者的比例一般为1∶3左右，在同样的加工条件下，刀具轨迹长度短，所需加工时间少，即采用这种刀具精加工任意曲面叶轮，加工效率将是传统方法的3倍。同时，它比锥形刀有更大的灵活性，很容易修正加工中刀具与叶片的干涉；而且刀具刚度高于鼓形刀。

实施例：

分别利用球形刀和鼓锥形刀，对离心叶轮叶片五坐标加工中的刀具轨迹生成进行讨论。叶片为任意曲面，用双三次B样条表示。所用球形刀直径为d_c＝32mm，鼓锥形刀刀杆直径d_c＝32mm，R＝70mm，h＝25mm参见图7。允许残留高度为0.1mm，分别针对上述两种刀具计算叶片加工中的刀具轨迹。

计算结果如图13和图14所示，采用鼓锥形刀，加工该叶片的轨迹数目为16条，轨迹总长度为6631mm；而采用球形刀轨迹数目达39条之多，轨迹总长度为16453mm，二者的比例为1∶2.5。在同样的切削速度下，采用鼓锥形刀的加工效率是球形刀的2.5倍。

Claims (3)

1.一种鼓锥形刀具，包括刀柄和切削部分，其特征在于，刀具切削部分是回转面，母线是一段半径为R的圆弧，回转面与刀柄相切，刀具底部无切削刃。

2.如权利要求1所述的鼓锥形刀具，其特征在于，所述刀具中的R取值应小于曲面接触点的曲率半径。

3.一种利用鼓锥形刀侧铣复杂曲面离心叶轮的方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)刀具轨迹间距与走刀步长的计算

A.建立坐标系

设曲面为r(u，w)，刀具与曲面r(u，w)接触点为点C，刀具的计算中心点为O，刀轴方向矢量为l，单位矢量f为切削方向，n为C点的单位法矢，矢量b＝n×f，这三个矢量组成了一个直角坐标系，原点在点C；在五坐标加工中，刀具还有两个旋转自由度；取刀轴的初始方向与矢量b一致，首先初始刀轴矢量绕矢量f旋转一角度α；然后，刀具再绕矢量n旋转一角度-β，正方向用右手系确定，这是因为，刀具切削时，刀轴须向切削方向f偏移，以形成拖刀切削；刀轴在初始位置时，α＝0，β＝0；

B.刀具轨迹间距的计算

在C点垂直于法矢f作一截面，则矢量b和CC′必在该平面内，得到的曲面截面线可以近似地用一段圆弧表示，半径为曲面上C点沿方向b的法截线曲率半径，记为R_b，同样，刀具切削面沿方向b的截面线也可用一段圆弧近似表示，其半径为刀具C点沿方向b的法截线曲率半径，记为r_c；

对于给定的R_b、r_c以及残留高度h，刀具轨迹间距d可用下式计算

$d=\sqrt{\frac{{8R}_b\&CenterDot;r_c\&CenterDot;h}{R_b\&PlusMinus;r_c}}---\left(1\right)$

①曲面沿矢量b的法截线曲率半径R_b的计算

根据微分几何知识，曲面C点的切线b可表示为

b＝r_ud_u+r_wd_w

其中，d_u、d_w分别为矢量b在切矢量r_u、r_w上的分量；

则沿方向b的法截线曲率半径为

$R_b=\frac{I}{\mathrm{II}}=\frac{{\mathrm{Edu}}^2+2\mathrm{Fdudw}+{\mathrm{Gdw}}^2}{{\mathrm{Ldu}}^2+2\mathrm{Mdudw}+{\mathrm{Ndw}}^2}---\left(2\right)$

其中，I为曲面的第一基本形式，E、F、G分别为曲面的第一类基本量，II为曲面的第二基本形式，L、M、N分别为曲面的第二类基本量；

若d_w＝0，则 $R_b=\frac{I}{\mathrm{II}}=\frac{E}{L}$

若d_w≠0，则对式(2)作一变换，有

$R_b=\frac{I}{\mathrm{II}}=\frac{{E\left(\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dw}}\right)}^2+2F\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dw}}+G}{{L\left(\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dw}}\right)}^2+2M\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dw}}+N}---\left(3\right)$

由于b·f＝0

即(r_udu+r_wdw)·f＝0由此得

$\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dw}}=-\frac{r_w\&CenterDot;f}{r_u\&CenterDot;f}---\left(4\right)$

将式(4)代入式(3)即可求出曲面法截线的曲率半径R_b的值；

②刀具切削面沿矢量b的有效切削半径r_c的计算

将刀具切削面沿过刀轴的平面剖切，点O为刀具的计算中心，点O′为刀具回转母线的中心，R为母线半径，C为刀具接触点；

以点O为坐标原点，刀具轴向和径向分别作为坐标轴z和r；α为O′C与r轴的夹角；为了使刀具与曲面有接触点，即点C处于切削部分，角度α的最大偏转值α_max应满足：

${\mathrm{\&alpha;}}_{\max }<\arcsin \frac{h}{R}$

可得到C点的坐标为：

根据欧拉公式可得，刀具倾斜角度α和β后，在刀具切削面接触点处，沿矢量b方向的法曲率为

k_c＝k₁cos²β+k₂sin²β

其中，k₁和k₂分别为该接触点的主曲率，k₁＝1/R，k₂＝1/r＝1/(Rcosα-(R-d_c/2))

故刀具有效切削半径r_c为

r_c＝1/k_c                          (5)

将式(5)和式(3)代入式(1)，由于h给定，即可求得刀具轨迹间距d

C.走刀步长的计算

在曲面的多坐标数控加工中，刀具的运动一般采用线性插补方式，设刀具实际的运动轨迹与理论CC轨迹之间存在的直线逼近误差为δ，则走刀步长AB可按下式计算：

$\mathrm{AB}\&ap;\sqrt{\frac{8\mathrm{\&delta;}}{k_f}}$

其中，k_f为走刀轨迹接触点处的曲率；

2)刀位数据的计算

刀位数据包括刀具的计算中心位置O和刀轴方向(单位矢量)l，刀位的计算与刀具的形状尺寸有关，对于鼓锥形刀具，刀位计算如下：

①刀轴矢量l的计算

刀轴矢量的初始位置为矢量b，此时，α＝β＝0首先使刀具以点O′为中心，绕矢量f旋转角度α，再使刀具以点C为中心，绕矢量n旋转角度-β；设刀轴矢量从初始方向b绕矢量f旋转角度α后的矢量l₁，则

l₁＝b·cosα+n·sinα

刀轴矢量l₁绕矢量n旋转-β角度，即可得到刀轴的最终方向矢量l，有

l＝l₁·cosβ-n×l₁·sinβ+n·(l₁·n)·(1-cosβ)     (6)

②刀具计算中心的计算

刀具绕矢量f旋转角度α前后，计算刀具中心的变换情况；其中，点O′为刀具切削回转面母线的圆心，点O₁为刀具初始位置的计算中心，点O₂为旋转角度α后刀具的计算中心；

设矢量O′O₁绕矢量f旋转角度α后为O′O₂，矢量O′O₂绕矢量n旋转-β角度后为矢量O′O，则经过旋转变换后，刀具最终的计算中心点O为

O＝O′+O′O                                                   (7)

即：

O′＝C+n·R，O₁＝C+n·(d_c/2)

则

O′O₁＝n·(d_c/2-R)                                             (8)

矢量O′O₂和矢量O′O分别为

O′O₂＝O′O₁·cosα+f×O′O₁·sinα                            (9)

O′O＝O′O₂·cosβ-n×O′O₂·sinβ+n·(O′O₂·n)·(1-cosβ)    (10)

将式(8)代入式(9)、将式(9)代入式(10)可求得O′O，再将式(10)代入式(7)，即可求得刀具的最终计算中心点O；

式(6)和式(7)分别确定了刀轴方向l和刀具的计算中心O，刀位数据(O，l)由此确定。

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