CN116385642A - 基于球面Shearlet的三维标量信息压缩重构方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种基于球面Shearlet的三维标量信息压缩重构方法。该方法用于处理三维空间中满足某种概率分布的数据，尤其适用于处理极坐标下有球面环绕式分布特征且在球面上各向异性的随机数据或确定性标量数据，包括具物理意义的空间数据分布和生物医学中临床观测数据。本发明在将三维空间合理划分为多个同心球层的基础上，将三维数据分布分解为多层球面数据，于各层中利用球面Shearlet***的数学特性，分解、提取并压缩存储球面相关关键信息，并能从所提取的关键数据重建或逼近还原原始三维数据信息。

Description

基于球面Shearlet的三维标量信息压缩重构方法

技术领域

本发明属于应用数学和计算机图形学，具体涉及一种基于球面Shearlet的三维标量信息压缩重构方法。

背景技术

传统的傅里叶分析、样条分析和小波分析等已用于数据处理的方法大多是基于笛卡尔坐标的。近期有专家学者利用深度学习的方法学习了二维极坐标表示中的单连通集，实际效果相比于在笛卡尔正交坐标系中的常规学习方法有明显的提升。这意味着极坐标表示对于分析某些二维数据具有天然的优越性。在三维数据处理中，某些数据集具有集中分布在二维类球曲面领域内的特征，且其分布相对于二维曲面具有较明显的线性奇异性。若利用具有球面各向异性构造的表示***，结合三维极坐标，往往能够更精准高效地捕获此类数据的关键信息加以存储——球面Shearlet表示正是具有该特性的一种表示。然而目前尚未有基于球面Shearlet表示的三维信息压缩重构技术方法。

发明内容

针对现有技术方法的缺失，本发明提出一种基于球面Shearlet的三维标量信息压缩重构技术方法，用于分解、提取、存储和重构三维空间中的满足一定分布的标量数据信息——包括在三维空间中具有球面特征的质量分布或满足一定概率分布的随机数据等。生物医学中，人的心脏、肾脏及大脑表面等结构的诸如超声、核磁和CT的三维图像数据都比较适合用球面Shearlet***的信息压缩重构技术进行处理；在自然界中，地球表面山脊、海沟，以及星体周围的分布数据也可应用此法进行分析。

具体技术方案如下：

一种基于球面Shearlet的三维标量信息压缩重构方法，包括以下步骤：

S1：将三维空间或空间集V分解为多个同心球层，∪_i∈IV_[ri,i+1]＝V，并逐层分割分布于空间中的标量数据信息X；

S2：按三维标量数据X的类型设定球面层选择机制F_S:X→F_sX{F_sX_i}_i∈I+，逐层提取出待由离散球面Shearlet***处理的球面数据信息；

S3：每一层球面数据信息经离散球面Shearlet***分解、提取并存储，进而对三维空间数据进行重建。所述离散球面Shearlet***具有如下表达：

其中{a_k}_k≥1为对正半轴的采样，a_k单调趋于零；指标α标志着各向异性的程度，其值越小则各向异性程度越高；G为正交群SO(3)的有限或可数离散子集，使得任意球面上的平方可积函数h在正交群上的积分有离散表达式

其中z₀为球面上选定的极点，w_j为依赖于G的权重。该离散***可由单个(或有限个)球面Shearlet的生成函数S^α，在离散化的参数集上，经球面的尺度变换D_a和球面旋转得到。记P_l为对n＝1,2,…,l阶球谐函数所张成空间的投影，则S^α须满足诸如

的限定条件。离散球面Shearlet***{S_j,k}_j,k具有稳定的分解重构功能且具有可调节的各向异性支撑集，即若记S²为二维球面，R为实数域，则对输入的球面信息X_s:S²→R,在一定归一化操作后有如下重构表达式

式(4a)-(4b)中，为正整数，X_s一般情况下为满足平方可积条件的函数分布或随机变量，而

为X_s的离散形式的球面Shearlet变换，其具体计算涉及到对P_lS_j,k的进一步离散化，可先于球面Shearlet变换计算得到。

进一步地，步骤S1中，对空间集和标量信息逐层分割的具体实现步骤如下：令V＝R³为整个三维实空间，或包含待处理数据的有限空间集。先验信息对本发明方法并非必要，但若有整个空间数据分布的先验信息，知道数据大致分为几个区块，则可利用合适的数据分类方法将整个空间预先分为几部分，再将每一部分作为V分别处理。根据需要提取的局部特征尺寸的数量级s₀，将V分割为互不相交的同心球层

使得r_i+1-r_i∝s₀，

同时三维数据被相应划分为{X_i}_i∈I，X_i为X在同心球层/>

中的数据。指标集I在模型意义下为有限集或可数集,在实际操作意义下为有限集。选取不同的概率测度μ以适应不同的数据类型，其中所分析的三维数据分布可为连续或离散分布。例如，可取dμ在同心球层/>

上的限制为/>

按实际需求设定阈值N_b＜＜μ(V)，若

中的数据总量/>

则直接舍弃该同心球层/>

并令X_i＝0；否则/>

中数据分布可进一步被分解为各子域V_i,k中的数据，且有/>

N_b的选取应使得舍弃某同心球层的数据不会对关键信息的提取造成影响，同时降低分析整体数据的计算量。相邻层/>

与/>

中的子域V_i,k与V_i+1,k‘如拥有共同面积元，则该子域位于相同的径向截面所围成的以/>

为顶点的锥体内。

在每个子域V_i,k上，当

时，设定r_i,k,1＝r_i,k,2＝r_i,k,-1＝r_i,k,-2＝r_i；否则，令

并记：

r_i,k,-2＝inf_r{r:μ({x∈V_i,k:r_i＜|x|＜r})＞ε}，其中ε为给定的适当阈值。特别地，对于V_i,k中数据为少量离散数据点时，可令/>

取代(6b)式以减少计算量。

若对于某给定正常数c有r_i,k,1-r_i,k,-1≥c·s₀，则将该子域V_i,k沿

一分为二得到细化的两子域V′_i,k和V″_i,k，并记r′_i,k,2＝r_i,k,2，r′_i,k,-2＝r_i,k,1，r″_i,k,2＝r_i,k,-1，r″_i,k,-2＝r_i,k,-2。其余的子域中可一致记r′_i,k,2＝r_i,k,2，/>

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同样可以直接舍弃V′_i,k，而只保留V″_i,k。如此反复，遍历所有的子域V_i,，使得/>

被更新，直到每个子域中r_i,k,1-r_i,k,-1为可忽略不计的量值，最终得到一组子域/>

该过程对数据分布几何特征较为突出的区域作进一步剖分，例如将使得原本不连通的区域被分割为两个连通子域分别处理，是一个适应性精细化过程。

将

经有限次分割后的各子域以及相对应的

进行配对组合，得到在/>

中的有限组组合

进一步地，步骤S2设定信息选择机制F_S:X→F_SX{F_SX_i}_i∈I+，将三维空间中的数据信息分解为多层球面信息F_SX进行处理，例如可采用如下方案：

令1_W为空间集W的特征函数，考虑数据分布X＝X_c＝c_W·1_W，即X在某局部连通空间集W上为非零常值c_W，而在补集W^c上几乎处处为0的情形。在

的每个同心球层

已被充分地细化的情况下，令

其中

对应子域V_i,的方向坐标。W可对应(但不限于)具有良好局部正则性的三维卡通形体。

对于数据分布

及X＝X_c+X_d中包含了不可忽略的离散成分X_d＝∑_p∈Dd_pδ_p的情形(其中D为三维空间中的有限离散子集，d_p为正整数，δ_p为p点的delta分布)，可采取如下处理方法：令Y为满足/>

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并记

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依次类推得到

对分布

在各

上分别作诸如数据类型X_c的处理，得到一组函数/>

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再令

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层的待处理数据。

最后实行步骤S3，将球面信息F_SX部分，包括(7)或(9)式中依赖球面坐标的待处理数据，记为{xⁱ}_i∈I+＝{F_SX_i}_i∈I+并按(4a)式作球面Shearlet分解，并存储相应的由球面Shearlet变换(5)得到的系数

与/>

原始三维空间数据X可由

近似得到，其中

为集/>

的特征函数，/>

为集

的特征函数，且

使得在有限的(i,j,k)指标集上

其中ε‘＜＜1按所需精度设定，‖·‖_B为适应球面Shearlet***的B空间中能反映数据奇异特征的范数，

为球面信息非低阶量的近似。若F_SX具球面上的线性奇异性质，则相应的Shearlet系数具可预见的稀疏性。所需计算的层数通常有限，故计算效率由Shearlet***表示的效率决定。

本发明的有益效果如下：

本发明在将三维空间合理划分为多个同心球层的同时，将三维数据分布分解为多层球面数据，于各层中在极坐标系下利用球面Shearlet***对三维空间标量数据进行分解、压缩和重构。相较于传统方法，基于球面Shearlet表示的方法在处理三维空间中具有球面分布特征的，尤其是球面上具有线性奇异分布的标量数据信息方面，具有可预见的优越性。

附图说明

图1为本发明提出的基于球面Shearlet的三维标量信息压缩重构方法的流程示意图。

图2为某一同心球层间的数据分布图例。

图3为包含锥状体的同心球层

的示意图。

具体实施方式

下面按方法的主要流程和功能，详细描述本发明。此处所描述的具体实施例及概念性附图仅用以解释，并不用于限定本发明，也不讨论具体实施中计算量等方面的优化。

该方法主要用于处理三维空间中的标量数据信息,包括在三维空间中具有球面特征的质量分布或满足一定概率分布的随机数据等——技术层面上能将三维空间分布坐标以矩阵形式输入计算机进行计算的数据，均可用此技术方法处理，但本发明不采用矩阵语言进行描述。生物医学中，人的心脏、肾脏及大脑表面等结构的诸如超声、核磁和CT的三维图像数据都比较适合用球面Shearlet***的信息压缩重构技术进行处理；在自然界中，地球表面山脊、海沟，以及星体周围的分布数据也可应用此法进行分析。

如流程示意图1所示，本发明方法包括以下三个步骤：

S1：在极坐标下将三维空间或空间集V分解为多个同心球层，

并逐层分割分布于空间中的采集获取的标量数据信息X。

S2：按三维标量数据X的类型设定球面层选择机制F_S:X→F_SX{F_SX_i}_i∈I+，逐层提取出待由离散球面Shearlet***处理的球面数据信息。

S3：每一层球面信息经由离散球面Shearlet***分解、提取并存储，进而对三维空间数据进行重建。离散球面Shearlet***具有如下表达：

其中，{a_k}_k≥1为对正半轴的采样，a_k单调趋于零，且存在δ′＞0使得|a_k-a_k+1|＜δ′；指标α标志着各向异性的程度，其值越小则各向异性程度越高；G为正交群SO(3)的有限或可数离散子集，使得任意球面上的平方可积函数h在正交群上的积分有如下离散表达式：

式(2)中，z₀为球面上选定的极点，w_j为依赖于G的权重。所述离散球面Shearlet***可由单个(或有限个)球面Shearlet的生成函数S^α，在离散化的参数集上，经球面的尺度变换D_a和球面旋转得到。记P_l为对n＝1,…,l阶球谐函数所张成空间的投影，则S^α须满足诸如

的限定条件。

离散球面Shearlet***{S_j,}_j,具有稳定的分解重构功能，且具有可调节的各向异性支撑集，即若记S²为二维球面，R为实数域，则对输入的球面信息X_s:S²→R，在一定归一化操作后有如下重构表达式：

式(4a)-(4b)中，为正整数，一般情况下假设X_s为满足平方可积条件

的函数分布，X_s的离散形式的球面Shearlet变换为

式(5)的具体计算涉及到对P_lS_j,k的进一步离散化，可先于球面Shearlet变换计算得到。

步骤S1中，对空间集和标量信息逐层分割的具体实现步骤如下：

令V＝R³为整个三维实空间，或包含待分析数据的有限空间集。先验信息对本发明方法并非必要，但若有整个空间数据分布的先验信息，知道数据大致分为几个区块，则可利用合适的数据分类方法将整个空间预先分为几部分，再将每一部分作为V分别处理。根据需要提取的局部特征尺寸的数量级s₀，将V分割为互不相交的同心球层

使得r_i+1-r_i∝s₀，/>

同时三维数据被相应划分为{X_i}_i∈I，X_i为X在同心球层/>

中的数据。其中，指标集I在模型意义下为有限集或可数集，在实际操作意义下为有限集。若赋予空间测度dv一定的坐标方位成为具有方向的体积元/>

则同心球层/>

的共同心可取为/>

并且为后续计算和操作的方便可重置坐标原点于此。由于所分析的数据可为连续分布亦可为离散分布的，根据不同的数据类型，选取不同的概率测度μ。例如，可取dμ在同心球层/>

上的限制为/>

图2为某一同心球层间的数据分布图例，其中数据主体具有球状环绕分布特征，而在数据主体***还分布有不可忽视数据集(这些数据集与数据主体不一定连通)。

按实际需求设定阈值N_b＜＜μ(V)，若

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则直接舍弃该同心球层/>

并令X_i＝0；否则/>

中数据分布须进一步被充分分解为各子域V_i,中的数据，且有/>

N_b的选取应使得舍弃某同心层的数据不会对关键信息的提取造成影响，同时降低分析整体数据的计算量。如图3所示，为一同心球层/>

的示意图，其中锥状体部分对应该空间划分中某一子域V_i,k，各锥体拥有共同的顶点p₀，相邻层/>

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中的子域V_i,k与V_i+1,k‘如拥有共同面积元，则子域V_i,k与V_i+1,k‘位于相同的径向截面所围成的以/>

为顶点的锥体内。

在每个子域V_i,k上，当

δ_i＜＜1时，设定r_i,k,1＝r_i,k,2＝r_i,k,-1＝r_i,k,-2＝r_i；否则，令

并记：

r_i,k,-2＝inf_r{r:μ({x∈V_i,k:r_i＜|x|＜r})＞ε}，其中ε为给定的适当阈值。特别地，对于V_i,k中数据为少量离散数据点时，可令/>

取代(6b)式以减少局部计算量，其中若于x点无有效数据则有X_i,k(x)＝0。

若对于某给定正值常数c有r_i,k,1-r_i,k,-1≥c·s₀，则将该子域V_i,k沿

一分为二得到两细化子域V′_i,k和V″_i,k，并记r′_i,k,2＝r_i,k,2，r′_i,k,-2＝r_i,k,1，r″_i,k,2＝r_i,k,-1，r″_i,k,-2＝r_i,k,-2；其余/>

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同样可以直接舍弃V′_i,k，(此时r′_i,k,2与r′_i,k,-2可能不存在)，只保留V″_i,k中的数据，并设定r′_i,k,2＝r′_i,k,-2＝r_i。如此反复，遍历所有的子域V_i,，使得/>

被更新，直到每个子域中r_i,k,1-r_i,k,-1为可忽略不计的量值，最终得到一组子域

该过程对数据分布几何特征较为突出的区域作进一步剖分，例如可使得原本不连通的区域被分割为两个连通子域分别处理，是一个适应性精细化过程。

在之后的操作中，将

经有限次分割后的各子域以及相对应的

进行配对组合，例如在V_i,中挑选一对/>

与V_j,m中的/>

配对，得到在/>

中的有限个组合

并且其组数不超过各V_i,k中最大的细分次数。

步骤S2根据数据分布的类型，设定信息选择机制F_S:X→F_SX，将三维空间中的数据信息分解为多层球面信息F_SX进行处理，例如可才采用如下方案：

令1_W为空间集W的特征函数，考虑数据分布X＝X_c＝c_W·1_W，即X在某局部连通空间集W上为非零常值c_W，而在补集W^c上几乎处处为0的情形。在

的每个同心球层

已被充分地细化的情况下令

其中

对应子域V_i,的方向坐标，或简记为/>

这是一类非常重要的数据分布，正如平面上的Shearlet***被证明特别适用于边界具有一定正则性的二维卡通图形，在三维空间中亦可以假设W由有限个连通集构成，并且其边界曲面具有好的局部正则性，例如三维卡通形体，但原则上并不局限于此类数据分布。实际中处理的数据信息往往是以离散数据形式存在的，是对具有良好正则性的三维形体的拟合和逼近，同时包含着某些细节信息和噪点。例如生物医学中在处理人体组织的三维灰阶图像数据时，光滑的脏器图像周围总是存在着大量附加信息。大脑从内到外，尤其是表面皮质层，具有明显的球面分布特征，并且大脑表层的纹路沟壑是具有各向异性的结构，因此适合用球面Shearlet对其结构数据进行分解重构。不仅生物医学图像数据如此，若要对地球乃至遥远的星体进行物理仿真建模，例如在由相对低倍望远镜观测得到的土星图像中，首先可看到土星周围规则的带状环绕，适合利用球面Shearlet***进行处理；随着观测望远镜的放大倍率增加，会逐渐发现星体周围分布着小行星或巨大的石块——当人们感兴趣的只是小行星的分布位置时，这些零碎的分布就可以被当作离散数据信息。

当噪点不是感兴趣的研究对象时，可用正则化模型和神经网络等手段对数据集进行预处理去噪；但偶尔某些噪点可能非常有趣且重要，并以离散数据的形式存在。故而有时须在模型中考虑包含不可忽略的离散成分X_d＝∑_p∈Dd_pδ_p的情形，即X＝X_c+X_d，其中D为三维空间中的有界离散子集，d_p为正整数，δ_p为p点的delta分布。球面Shearlet对离散奇异点有一定的敏感性，但由于分解和重建的过程只涉及求和与积分运算，无求导操作，相对于一些传统方法又比较抗噪。

处理包含了

及离散成分X_d的数据时可采取如下方案：

若D为有限集，令Y为满足

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并记子域集/>

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上对分布

分别作如数据类型X_c的处理，得到一组函数

其中

再令

为

层的待处理数据。

若D中点的数量巨大，且X_d分布具有一定的简单几何形态时，则可设置适当的代价函数，对离散数据进行预处理得到X_d下潜藏的主要流形或感兴趣的主要部分，确定一个X_d→X_c的降维映射，再归入X_c的情形利用球面Shearlet处理相应的数据。

步骤S3的具体实施方式如下：

将球面信息F_SX部分，包括(7)或(9)式中依赖球面坐标的待处理数据，记为{xⁱ}_i∈I+＝{F_SX_i}_i∈I+并按(4)式作球面Shearlet分解，并存储相应的由球面Shearlet变换(5)得到的系数

与/>

原始三维空间数据X可由

近似得到，其中

为集/>

的特征函数，/>

为集

的特征函数，且

使得在有限的(i,j,k)指标集上有：

式(12a)-(12b)中，ε‘＜＜1按所需精度设定，‖·‖_B为某适应球面Shearlet***的B空间中能够反映数据奇异特征的范数，

为球面信息非低阶量的近似。若F_SX具球面上的线性奇异性质，则相应的Shearlet系数具有可预见的稀疏性。所需计算的层数通常有限，故整体计算效率由Shearlet***表示的效率决定。

不同于传统笛卡尔坐标系下傅里叶分析、样条分析和小波分析等已用于数据处理的方法，本发明提出了一种在极坐标系下利用球面Shearlet***对三维空间标量数据进行分解、压缩和重构的方法。相较于传统方法，基于球面Shearlet表示的方法在处理三维空间中具有球面分布特征的，尤其是球面上具有线性奇异分布的标量数据信息方面，具有可预见的优越性。

Claims (4)

1.一种基于球面Shearlet的三维标量信息压缩重构方法，用于分解、提取、存储和重构包括具有球面分布特征的三维几何数据和满足一定概率分布的随机数据在内的标量数据，其特征在于，包括以下步骤：

S1：将三维空间或空间集V分解为多个同心球层，

并逐层分割分布于空间中的标量数据信息X；

S2：按三维标量数据X的类型设定球面层选择机制F_s：X→F_SX＝{F_sX_i}_i∈I+，逐层提取出待由离散球面Shearlet***处理的球面数据信息；

S3：每一层球面数据信息经离散球面Shearlet***分解、提取并存储，进而对三维空间数据进行重建；所述离散球面Shearlet***具有如下表达：

式(1)中，{a_k}_k≥1为对正半轴的采样，a_k单调趋于零；指标α标志着各向异性的程度，其值越小则各向异性程度越高；G为正交群SO(3)的有限或可数离散子集，使得任意球面上的平方可积函数h在正交群上的积分有如下离散表达式：

式(2)中，z₀为球面上选定的极点，w_j为权重；所述离散球面Shearlet***由单个(或有限个)球面Shearlet的生成函数S^α，在离散化的参数集上，经球面的尺度变换D_a和球面旋转得到；记P₁为对n＝1，…，l阶球谐函数所张成空间的投影，则S^α须满足以下限定条件：

离散球面Shearlet***{S_j，k}_j，k具有稳定的分解重构功能，且具有可调节的各向异性支撑集，即若记S²为二维球面，R为实数域，则对输入的球面信息X_s：S²→R，在归一化操作后有如下重构表达式：

式(4a)-(4b)中，L为正整数，X_s为满足平方可积条件的函数分布或随机变量，X_s的离散形式的球面Shearlet变换为

式(5)中p_lS_j,k的计算可先于球面Shearlet变换得到。

2.根据权利要求1所述的基于球面Shearlet的三维标量信息压缩重构方法，其特征在于，具有S1中所述对空间集和标量信息逐层分割的过程，具体实现方式如下：

令V＝R³为整个三维实空间，或包含待处理数据的有限空间集；根据需要提取的局部特征尺寸的数量级s₀，将V分割为互不相交的同心球层

使得r_i+1-r_i∝s₀，

同时三维标量数据被相应划分为{X_i}_i∈I，X_i为X在同心球层/>

中的数据，其中指标集I在模型意义下为有限集或可数集，在实际操作意义下为有限集；选取不同的概率测度μ以适应不同的数据类型，令该测度在同心球层/>

上的限制为

其中所分析的三维数据分布为连续或离散分布；

设定阈值N_b＜＜μ(V)，若

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则直接舍弃该同心球层

中数据，并令X_i＝0；否则/>

中数据分布进一步被分解为各子域V_i，k中的数据，且有/>

相邻层/>

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中的子域V_i，k与V_i+1，k‘如拥有共同面积元，则子域V_i，k与V_i+1，k‘位于相同的径向截面所围成的以/>

为顶点的锥体内。

在每个子域V_i，k上，当

δ_i＜＜1时，设定r_i,k,1＝r_i,k,2＝r_i,k,-1＝r_i,k,-2＝r_i；否则，令

并记：

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r_i,k,-2＝inf_r{r：μ({x∈V_i，k：r_i<|x|<r})＞ε}，其中ε为给定的适当阈值；对于Vi，k中数据为少量离散数据点的情况，令

取代式(6b)以减少计算量；

若对于某给定正常数c有r_i,k,1-r_i,k,-1≥c·s₀，则将该子域V_i，k沿

一分为二得到细化的两子域V′_i，k和V″_i，k，并记r′_i，k，2＝r_i,k,2，r′_i，k，-2＝r_i,k,1，r″_i，k，2＝r_i,k,-1，r″_i，k，-2＝r_i,k,-2；其余的子域中一致记r′_i，k，2＝r_i,k,2，/>

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将/>

经有限次分割后的各子域以及相对应的

进行配对组合，得到在/>

中的有限组

3.根据权利要求2所述的基于球面Shearlet的三维标量信息压缩重构方法，其特征在于，所述S2的实施步骤如下：

令1_w为空间集W的特征函数，考虑数据分布X＝X_c＝c_w·1_w，即X在某局部连通空间集w上为非零常值c_W，而在补集W^c上几乎处处为0的情形；在

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对于数据分布

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为

层的待处理数据。

4.根据权利要求3所述的基于球面Shearlet的三维标量信息压缩重构方法，其特征在于，所述S3步骤通过以下操作实现：

将球面数据信息，包括式(7)或式(9)中依赖球面坐标的待处理数据，记为{xⁱ}_i∈I+＝{F_SX_i}_i∈I+，并按式(4a)作球面Shearlet分解，并存储相应的由球面Shearlet变换得到的系数

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使得在有限的(i，j，k)指标集上有：

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为球面数据非低阶量的近似。

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