CN114384806B - 多摄动地影约束下电推进航天器多圈变轨的分段优化方法 - Google Patents

多摄动地影约束下电推进航天器多圈变轨的分段优化方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开的一种多摄动地影约束下电推进航天器多圈变轨的分段优化方法，属于航天器轨道动力学与控制领域。本发明通过建立考虑多摄动和地影约束的小推力轨道最优控制模型，建立考虑J2摄动长期影响的小推力轨道最优控制模型，将电推进推力幅值和J2摄动长期项增大相同的倍数后，对整体变轨过程进行分段，使得整体多圈变轨接近最优，并能够保证多圈变轨整体优化过程的鲁棒性，根据分段结果和所建立的考虑多摄动和地影约束的小推力轨道最优控制模型，依次求解每一段考虑多摄动和地影约束的小推力轨道最优控制问题，实现对多摄动地影约束下电推进航天器多圈变轨的优化。本发明具有优化精确、鲁棒性强、可靠性高、实现简便等优点。

Description

多摄动地影约束下电推进航天器多圈变轨的分段优化方法
技术领域
本发明涉及一种多摄动地影约束下电推进航天器多圈变轨的分段优化方法，尤其涉及航天器小推力轨道最优控制，属于航天器轨道动力学与控制领域。
背景技术
电推进以其高比冲特点在航天器轨道机动中具有重要的应用价值。航天器电推进变轨比传统的化学推进变轨更加节省燃料，因此采用电推进变轨将带来巨大的经济效益，但其推力较小使得变轨圈数很多，时间很长，给轨道优化带来较大的困难，尤其考虑到实际变轨中的多种摄动影响和地影约束。文献(张冉,李小娟,韩潮,张亚航,于俊慧.基于分段常值的全电推进GEO卫星制导策略[J].飞控与探测,2020,3(03):40-48.)提出一种多项式曲线拟合最优轨迹的方法，将多圈轨道转移问题分解为多个单圈轨道优化问题。方法理论研究无误，但该文献中的方法每次仅求解单圈轨道优化问题，使得分段数量过多，且采用常值控制结构，导致每一段变轨并非最优变轨，因此多圈变轨的整体最优性有待提高。此外，该文献中的方法仅考虑J2项摄动，但在长时间的多圈变轨中，日月第三体引力等其它摄动因素以及地影约束都是不可忽略的。结合间接法和同伦法对航天器小推力轨道最优控制问题进行求解具有精度高和可保证最优的优点，但当圈数较多时，间接法对协态初值的依赖和敏感性使得其难以求解多摄动地影约束下的小推力多圈轨道最优控制问题。为实现接近最优的多摄动地影约束下电推进航天器多圈变轨，必须提出一种新的分段方法，将其与间接法和同伦法结合，从而在保证每一段变轨的最优性的基础上使得整体多圈变轨接近最优，并保证多圈变轨整体优化过程的鲁棒性。因此发明一种新的分段优化方法，实现对多摄动地影约束下电推进航天器多圈变轨的优化，为实际工程中电推进航天器多圈变轨的制导控制提供参考，进而节省燃料，对于电推进在航天器轨道机动中的应用具有重要意义。
发明内容
为了解决电推进航天器在多摄动地影约束下多圈变轨优化困难，导致燃料消耗大的问题，本发明的主要目的是提供一种多摄动地影约束下电推进航天器多圈变轨的分段优化方法，通过建立考虑多摄动和地影约束的小推力轨道最优控制模型，使得长时间的多圈变轨更加符合工程实际，并建立考虑J2摄动长期影响的小推力轨道最优控制模型，将电推进推力幅值和J2摄动长期项增大相同的倍数后，利用该模型得到相应的最优变轨，依据该最优变轨的轨道根数变化规律对整体变轨过程进行分段，使得整体多圈变轨接近最优，并能够保证多圈变轨整体优化过程的鲁棒性，然后根据分段结果和所建立的考虑多摄动和地影约束的小推力轨道最优控制模型，依次求解每一段考虑多摄动和地影约束的小推力轨道最优控制问题，实现对多摄动地影约束下电推进航天器多圈变轨的优化。本发明具有优化精确、鲁棒性强、可靠性高、实现简便等优点。
本发明的目的是通过以下技术方案实现的。
本发明公开的多摄动地影约束下电推进航天器多圈变轨的分段优化方法，包括如下步骤：
步骤一：建立考虑多摄动和地影约束的小推力轨道最优控制模型，使得长时间的多圈变轨更加符合工程实际。
采用改进春分点根数[p f g h k l]描述电推进航天器的轨道运动，x为状态量，有
x＝[p f g h k l]T (1)
其中
Figure BDA0003465798160000021
其中，a为轨道半长轴，e为轨道偏心率，i为轨道倾角，Ω为升交点赤经，ω为近地点幅角，ν为真近点角。为方便表述，将x的各个分量表示为xj,j＝1,2,3,4,5,6，分别对应p,f,g,h,k,l。
考虑多摄动和地影约束的小推力轨道动力学模型如下
Figure BDA0003465798160000022
其中M为加速度系数矩阵，D为开普勒漂移项，u∈[0 1]为推力幅值比，α为推力方向向量；fp为引力摄动加速度，与航天器质量无关；fpm为太阳光压摄动加速度，与航天器质量有关；m为航天器质量；Tmax为最大推力幅值；Isp为电推进推力器比冲；g0为标准重力加速度；up为地影约束系数，用于表征地影约束，有
Figure BDA0003465798160000023
多摄动地影约束下小推力轨道最优控制问题的最优指标为
Figure BDA0003465798160000031
其中t0和tf分别为初始时刻和终端时刻，L为拉格朗日函数，则哈密顿函数为
Figure BDA0003465798160000032
其中λx是矢量，为与改进春分点根数关联的协态变量，有
λx＝[λp λf λg λh λk λl]T (7)
为方便表述，将λx的各个分量表示为λxj,j＝1,2,3,4,5,6，分别对应λp,λf,λg,λh,λk,λl。
λm为与航天器质量关联的协态变量，则协态变量的微分方程为
Figure BDA0003465798160000033
其中up平滑处理后与改进春分点根数有关，因此有偏导数
Figure BDA0003465798160000034
根据庞特里亚金极小值原理，为最小化哈密顿函数，最优推力方向为
Figure BDA0003465798160000035
最优推力幅值比为
Figure BDA0003465798160000036
其中ρ为开关函数。终端约束和横截条件统一表述为
Figure BDA0003465798160000037
其中向量函数
Figure BDA0003465798160000038
为打靶函数，包含终端约束和横截条件，z为需求解的未知向量，包含未知的协态变量初值，打靶函数和未知量的具体形式由具体问题给出。
至此，式(3)(4)(5)(6)(8)(9)(10)(11)组成考虑多摄动和地影约束的小推力轨道最优控制模型。
步骤二：建立考虑J2摄动长期影响的小推力轨道最优控制模型，既能反映出长时间多圈最优变轨中的轨道演化规律，也易于优化求解。
在一个轨道周期内平均后的J2摄动势函数
Figure BDA0003465798160000041
为
Figure BDA0003465798160000042
其中J2为J2摄动系数，μ为地球引力常数，ae为地球半径。将式(12)用改进春分点根数表示为
Figure BDA0003465798160000043
根据Lagrange型摄动方程，包含J2摄动长期项的改进春分点根数摄动方程为
Figure BDA0003465798160000044
其中辅助变量s2＝1+h2+k2，辅助变量w＝1+f cos l+g sin l。定义代表J2摄动长期影响的矩阵P为
Figure BDA0003465798160000051
则考虑J2摄动长期影响的小推力轨道动力学方程为
Figure BDA0003465798160000052
/>
考虑J2摄动长期影响的小推力轨道最优控制问题的最优指标由式(5)给出，则哈密顿函数表示为
Figure BDA0003465798160000053
则协态变量的微分方程为
Figure BDA0003465798160000054
根据庞特里亚金极小值原理，为最小化哈密顿函数，最优推力方向由式(9)给出，最优推力幅值比由式(10)给出，终端约束和横截条件由式(11)表述，具体形式由具体问题给出。
至此，式(16)(5)(17)(18)(9)(10)(11)组成考虑J2摄动长期影响的小推力轨道最优控制模型。
步骤三：将电推进推力幅值和J2摄动长期项增大相同的倍数，根据步骤二建立的模型求解J2摄动长期项增大后的小推力轨道最优控制问题，得到相应的最优变轨，依据所述最优变轨的轨道根数变化规律对整体变轨过程进行分段，使得整体多圈变轨接近最优，并能够保证多圈变轨整体优化过程的鲁棒性。
在二体平方反比引力场下，最优轨迹的轨道根数变化规律以及最优控制律都随最大推力幅值的变化具有相似性，使得燃料消耗相差不大，飞行时间和飞行整圈数均呈现出倍数关系。令
Figure BDA0003465798160000061
表示增大后的最大推力幅值，有
Figure BDA0003465798160000062
其中N为正整数，则
Figure BDA0003465798160000063
其中Δm、Δt、Nrev分别为实际最大推力幅值下电推进航天器最优变轨的燃料消耗、飞行时间和飞行整圈数，而Δmlarge、Δtlarge、
Figure BDA0003465798160000064
分别为增大后的最大推力幅值下电推进航天器最优变轨的燃料消耗、飞行时间和飞行整圈数。此外，电推进航天器在进行长时间多圈变轨时，J2摄动的长期影响使得轨道升交点赤经和近地点幅角均发生漂移，进而影响最优控制律，即最优开机弧段随升交点赤经和近地点幅角的变化而变化。因此，为了准确反映出长时间多圈最优变轨中的轨道演化规律，需要将J2摄动长期项增大与最大推力幅值增大的相同倍数，即将J2摄动系数增大2N倍，使得式(20)仍然成立，令/>
Figure BDA0003465798160000065
表示增大后的J2摄动系数，有
Figure BDA0003465798160000066
/>
在步骤二所建立的模型中，将Tmax和J2分别用
Figure BDA0003465798160000067
和/>
Figure BDA0003465798160000068
替换，求解考虑J2摄动长期影响的小推力轨道最优控制问题，得到相应的最优变轨，则该最优变轨中电推进航天器的燃料消耗、飞行时间和飞行整圈数分别为Δmlarge、Δtlarge和/>
Figure BDA0003465798160000069
依据在该最优变轨中航天器的飞行整圈数/>
Figure BDA00034657981600000610
及轨道根数时间历程δlarge对整体变轨过程进行分段。将整体变轨过程分为Ntotal段变轨，有
Figure BDA00034657981600000611
其中系数cex为正整数，则整体变轨过程包含(Ntotal-1)条中间轨道，所述中间轨道即为除最后一段变轨外的每一段变轨的终端轨道，中间轨道的轨道根数表示为
Figure BDA00034657981600000612
其中
Figure BDA00034657981600000613
为第ζ条中间轨道的轨道根数，/>
Figure BDA00034657981600000614
为第ζ条中间轨道的轨道半长轴，/>
Figure BDA00034657981600000615
为第ζ条中间轨道的轨道偏心率，/>
Figure BDA00034657981600000616
为第ζ条中间轨道的轨道倾角，/>
Figure BDA00034657981600000617
为第ζ条中间轨道的升交点赤经，/>
Figure BDA00034657981600000618
为第ζ条中间轨道的近地点幅角。为了方便表述，/>
Figure BDA00034657981600000619
表示整体变轨的初始轨道根数，/>
Figure BDA0003465798160000071
表示整体变轨的终端轨道根数。当/>
Figure BDA0003465798160000072
即ζ为cex的正整数倍时，/>
Figure BDA0003465798160000073
根据δlarge得到，/>
Figure BDA0003465798160000074
和/>
Figure BDA0003465798160000075
对应的l间隔360度；当
Figure BDA0003465798160000076
即ζ为cex的非正整数倍时，/>
Figure BDA0003465798160000077
由线性插值得到
Figure BDA0003465798160000078
通过
Figure BDA0003465798160000079
和cex对整体变轨过程的分段数量进行调整，使得整体多圈变轨接近最优，也能够保证多圈变轨整体优化过程的鲁棒性。
步骤四：将步骤三中对整体变轨过程的分段结果代入步骤一所建立的小推力轨道最优控制模型，依次求解每一段考虑多摄动和地影约束的小推力轨道最优控制问题，得到每一段变轨的多摄动地影约束下的电推进轨道最优控制和最优轨迹，进而完成对多摄动地影约束下电推进航天器多圈变轨的优化。
将实际解算出的中间轨道称为实际中间轨道，实际中间轨道的轨道根数表示为
Figure BDA00034657981600000710
其中
Figure BDA00034657981600000711
为第ζ条实际中间轨道的轨道根数，/>
Figure BDA00034657981600000712
为第ζ条实际中间轨道的轨道半长轴，/>
Figure BDA00034657981600000713
为第ζ条实际中间轨道的轨道偏心率，/>
Figure BDA00034657981600000714
为第ζ条实际中间轨道的轨道倾角，/>
Figure BDA00034657981600000715
为第ζ条实际中间轨道的升交点赤经，/>
Figure BDA00034657981600000716
为第ζ条实际中间轨道的近地点幅角。实际中间轨道的轨道根数/>
Figure BDA00034657981600000717
和步骤三中所得中间轨道的轨道根数/>
Figure BDA00034657981600000718
可以完全相同，也可以仅部分根数相同。
除最后一段变轨外，每一段变轨实际解算出的终端轨道根数所对应的轨道即为实际中间轨道，最后一段变轨实际解算出的终端轨道根数所对应的轨道为整体变轨的终端轨道。除最后一段变轨外，将每一段变轨的终端时刻及终端轨道根数作为下一段变轨的初始时刻和初始轨道根数，依次求解每一段考虑多摄动和地影约束的小推力轨道最优控制问题，得到每一段变轨的多摄动地影约束下的电推进轨道最优控制和最优轨迹。将相邻变轨段拼接起来，即得到整体接近最优的多摄动地影约束下电推进航天器的多圈变轨，进而完成对多摄动地影约束下电推进航天器多圈变轨的优化。
步骤五：根据步骤四中每一段变轨的多摄动地影约束下的电推进轨道最优控制和最优轨迹，对航天器进行相应制导控制，实现接近最优的多摄动地影约束下电推进航天器多圈变轨，进而节省燃料。
有益效果
1、本发明公开的多摄动地影约束下电推进航天器多圈变轨的分段优化方法，建立考虑多摄动和地影约束的小推力轨道最优控制模型，求解得到每一段变轨的多摄动地影约束下的电推进轨道最优控制和最优轨迹，相比于仅考虑J2摄动的情况更加符合实际轨道动力学以及工程约束，因此本发明对实际工程中电推进航天器多圈变轨的制导控制具有较高的参考价值。
2、本发明公开的多摄动地影约束下电推进航天器多圈变轨的分段优化方法，建立考虑J2摄动长期影响的小推力轨道最优控制模型，将电推进推力幅值和J2摄动长期项增大相同的倍数后利用该模型得到相应的最优变轨，既反映出长时间多圈最优变轨中的轨道演化规律，也易于求得，因此依据该最优变轨的轨道根数变化规律对整体变轨过程进行分段，能够使得整体多圈变轨接近最优，进而节省燃料，且该分段方法实现简便。
3、本发明公开的多摄动地影约束下电推进航天器多圈变轨的分段优化方法，通过将整体变轨过程进行分段，使得每一段变轨的多摄动地影约束下的小推力轨道最优控制问题均易于优化求解，使得整体多圈变轨接近最优，并能够保证多圈变轨整体优化过程的鲁棒性，因此本发明具有较高的鲁棒性。
附图说明
图1为本发明公开的多摄动地影约束下电推进航天器多圈变轨的分段优化方法流程图；
图2为实施例中最大推力幅值和J2摄动系数增大后的考虑J2摄动长期影响的最优变轨轨迹图；
图3为实施例中多摄动地影约束下电推进航天器近似最优多圈变轨的实际中间轨道示意图；
图4为实施例中多摄动地影约束下电推进航天器近似最优多圈变轨的轨迹图；
图5为实施例中中间轨道与实际中间轨道的半长轴对比图；
图6为实施例中中间轨道与实际中间轨道的偏心率对比图；
图7为实施例中中间轨道与实际中间轨道的轨道倾角对比图；
图8为实施例中中间轨道与实际中间轨道的升交点赤经对比图；
图9为实施例中中间轨道与实际中间轨道的近地点幅角对比图；
图10为实施例中中间轨道与实际中间轨道上的航天器质量对比图；
图11为实施例中多摄动地影约束下电推进航天器近似最优多圈变轨中第1段变轨的最优控制序列；
图12为实施例中多摄动地影约束下电推进航天器近似最优多圈变轨中第50段变轨的最优控制序列；
图13为实施例中多摄动地影约束下电推进航天器近似最优多圈变轨中第88段变轨的最优控制序列。
具体实施方式
为了更好地说明本发明的目的和优点，下面结合附图对本发明的具体实施方式作进一步详细的说明。
为验证本实施例公开的多摄动地影约束下电推进航天器多圈变轨的分段优化方法，选取GTO至GEO的变轨任务为主要研究对象，将变轨的初始历元时刻设置为2022年4月10日15时11分17秒，GTO和GEO的经典轨道根数如表1所示，电推进航天器的***参数如表2所示，涉及到的物理参数如表3所示。
表1 GTO和GEO的经典轨道根数
Figure BDA0003465798160000091
表2 电推进航天器的***参数
Figure BDA0003465798160000092
表3 物理参数
Figure BDA0003465798160000101
如图1所示，本实施例公开的多摄动地影约束下电推进航天器多圈变轨的分段优化方法流程图，具体实现步骤如下：
步骤一：建立考虑多摄动和地影约束的小推力轨道最优控制模型，使得长时间的多圈变轨更加符合工程实际。
在本实施例中，令多摄动地影约束下小推力轨道最优控制问题的最优指标为
Figure BDA0003465798160000102
即燃料最优。在本实施例中，考虑地球非球形J2项摄动、日月第三体引力摄动以及太阳光压摄动，并考虑推力器在地影区必须关机的地影约束。动力学方程和对应的协态变量微分方程分别由式(3)和式(8)给出，最优控制由式(9)(10)给出。由于GTO至GEO的变轨任务在变轨过程中对轨道的升交点赤经和近地点幅角不关心，且升交点赤经和近地点幅角在GEO上无定义，因此在本实施例中，在求解每一段变轨的多摄动地影约束下的小推力轨道最优控制问题时，将该段变轨终端时刻的升交点赤经和近地点幅角视为自由的，则打靶函数为
Figure BDA0003465798160000103
其中
z＝[λx T(t0) λm(t0)]T (28)
Figure BDA0003465798160000111
其中下标f表示对应变量的目标终端值。
步骤二：建立考虑J2摄动长期影响的小推力轨道最优控制模型，既能反映出长时间多圈最优变轨中的轨道演化规律，也易于优化求解。
在本实施例中，令考虑J2摄动长期影响的小推力轨道最优控制问题的最优指标为
Figure BDA0003465798160000112
即燃料最优。动力学方程和对应的协态变量微分方程分别由式(16)和式(18)给出，最优控制由式(9)(10)给出，未知量由式(28)给出，打靶函数为
Figure BDA0003465798160000113
步骤三：将电推进推力幅值和J2摄动长期项增大相同的倍数，根据步骤二建立的模型求解J2摄动长期项增大后的小推力轨道最优控制问题，得到相应的最优变轨，依据所述最优变轨的轨道根数变化规律对整体变轨过程进行分段，使得整体多圈变轨接近最优，并能够保证多圈变轨整体优化过程的鲁棒性。
在本实施例中，取N＝3，则根据式(19)和表2中的数据有
Figure BDA0003465798160000114
根据式(21)和表3中的数据有
Figure BDA0003465798160000115
在步骤二所建立的模型中，将Tmax和J2分别用
Figure BDA0003465798160000116
和/>
Figure BDA0003465798160000117
替换，求解考虑J2摄动长期影响的小推力轨道最优控制问题，得到相应的最优变轨，最优变轨轨迹如图2所示，其中三角形标记表示航天器的初始位置，倒三角标记表示航天器的终端位置，黑色粗线段为推力段，灰色细线段为滑行段，正方形标记表示分段点。该最优变轨的结果如下
Figure BDA0003465798160000118
在本实施例中，取cex＝1，则根据式(22)，Ntotal＝89，即将整体变轨过程分为89段，因此包含88条中间轨道，即为图2所示的轨道，图2中分段点所对应的轨道根数即作为中间轨道的轨道根数，所述中间轨道的半长轴、偏心率和轨道倾角即作为每一段变轨的终端轨道的半长轴、偏心率和轨道倾角。
步骤四：将步骤三中的分段结果代入步骤一所建立的模型，依次求解每一段考虑多摄动和地影约束的小推力轨道最优控制问题，得到每一段变轨的多摄动地影约束下的电推进轨道最优控制和最优轨迹，进而完成对多摄动地影约束下电推进航天器多圈变轨的优化。
根据步骤三中的分段结果和步骤一所建立的模型，依次求解每一段考虑多摄动和地影约束的小推力轨道最优控制问题，得到多摄动地影约束下电推进航天器近似最优多圈变轨的结果如下
Figure BDA0003465798160000121
式(34)(35)符合式(20)所示的规律，证明所得多摄动地影约束下电推进航天器近似最优多圈变轨十分接近最优变轨。多摄动地影约束下电推进航天器近似最优多圈变轨的实际中间轨道如图3所示，其与图2所示的轨道十分相似。在图3中，黑色虚线表示GTO轨道，黑色粗线表示GEO轨道，灰色细线表示实际中间轨道。多摄动地影约束下电推进航天器近似最优多圈变轨的轨迹如图4所示，电推进航天器的飞行整圈数多达703圈，其中黑色粗线段表示推力段，灰色细线段表示滑行段，浅灰色细虚线段表示航天器位于地影区的滑行段。图4中推力段在轨道上的分布与图2中的推力段分布十分相似，但由于受到J2摄动、日月第三体引力摄动和太阳光压摄动的联合作用以及地影约束影响，图4中推力段在轨道上的分布更加复杂。
中间轨道和实际中间轨道仅在半长轴、偏心率和轨道倾角三个根数上相同，而在升交点赤经和近地点幅角两个根数上不同，为了方便对比，在归一化时间坐标下，图5为中间轨道与实际中间轨道的半长轴对比图；图6为中间轨道与实际中间轨道的偏心率对比图；图7为中间轨道与实际中间轨道的轨道倾角对比图；图8为中间轨道与实际中间轨道的升交点赤经对比图；图9为中间轨道与实际中间轨道的近地点幅角对比图；图10为中间轨道与实际中间轨道上的航天器质量对比图，其中正方形标记表示分段点，即中间轨道对应的轨道根数值或其上的航天器质量，星型标记表示实际分段点，即实际中间轨道对应的轨道根数值或其上的航天器质量。图5、图6和图7中的小偏差是归一化时间造成的，在相同段数下，分段点和实际分段点在纵坐标上是一致的。图8和图9显示出中间轨道和实际中间轨道在升交点赤经和近地点幅角上较大的不同，一方面在本实施例中的GTO至GEO变轨任务中，对升交点赤经和近地点幅角不予关心，另一方面随着轨道高度的抬升，日月第三体引力摄动将对升交点赤经和近地点幅角产生较大影响。图10显示在相同段数下，中间轨道与实际中间轨道上的航天器质量十分接近。
图11、图12和图13分别为多摄动地影约束下电推进航天器近似最优多圈变轨中第1段变轨、第50段变轨和第88段变轨的最优控制序列，其中灰色区域表示电推进航天器位于地影区，黑色实线表示最优控制序列，均为bang-bang控制形式且满足推力器在地影区间关机的地影约束。
步骤五：根据步骤四中每一段变轨的多摄动地影约束下的电推进轨道最优控制和最优轨迹，对航天器进行相应制导控制，实现接近最优的多摄动地影约束下电推进航天器多圈变轨，进而节省燃料。
以上所述的具体描述，对发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施例而已，并不用于限定本发明的保护范围，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (3)

1.多摄动地影约束下电推进航天器多圈变轨的分段优化方法，其特征在于：包括如下步骤，
步骤一：建立考虑多摄动和地影约束的小推力轨道最优控制模型，使得长时间的多圈变轨更加符合工程实际；
步骤一实现方法为，
采用改进春分点根数[p f g h k l]描述电推进航天器的轨道运动，x为状态量，有
x＝[p f g h kl]T (1)
其中
Figure FDA0004080491770000011
其中，a为轨道半长轴，e为轨道偏心率，i为轨道倾角，Ω为升交点赤经，ω为近地点幅角，ν为真近点角；为方便表述，将x的各个分量表示为xj,j＝1,2,3,4,5,6，分别对应p,f,g,h,k,l；
考虑多摄动和地影约束的小推力轨道动力学模型如下
Figure FDA0004080491770000012
其中M为加速度系数矩阵，D为开普勒漂移项，u∈[01]为推力幅值比，α为推力方向向量；fp为引力摄动加速度，与航天器质量无关；fpm为太阳光压摄动加速度，与航天器质量有关；m为航天器质量；Tmax为最大推力幅值；Isp为电推进推力器比冲；g0为标准重力加速度；up为地影约束系数，用于表征地影约束，有
Figure FDA0004080491770000013
多摄动地影约束下小推力轨道最优控制问题的最优指标为
Figure FDA0004080491770000014
其中t0和tf分别为初始时刻和终端时刻，L为拉格朗日函数，则哈密顿函数为
Figure FDA0004080491770000021
其中λx是矢量，为与改进春分点根数关联的协态变量，有
λx＝[λpλfλgλhλkλl]T (7)
为方便表述，将λx的各个分量表示为λxj,j＝1,2,3,4,5,6，分别对应λp,λf,λg,λh,λk,λl；
λm为与航天器质量关联的协态变量，则协态变量的微分方程为
Figure FDA0004080491770000022
其中up平滑处理后与改进春分点根数有关，因此有偏导数
Figure FDA0004080491770000023
根据庞特里亚金极小值原理，为最小化哈密顿函数，最优推力方向为
Figure FDA0004080491770000024
最优推力幅值比为
Figure FDA0004080491770000025
其中ρ为开关函数；终端约束和横截条件统一表述为
Figure FDA0004080491770000026
其中向量函数
Figure FDA0004080491770000027
为打靶函数，包含终端约束和横截条件，z为需求解的未知向量，包含未知的协态变量初值，打靶函数和未知量的具体形式由具体问题给出；
至此，式组成考虑多摄动和地影约束的小推力轨道最优控制模型；
步骤二：建立考虑J2摄动长期影响的小推力轨道最优控制模型，既能反映出长时间多圈最优变轨中的轨道演化规律，也易于优化求解；
步骤二实现方法为，
在一个轨道周期内平均后的J2摄动势函数
Figure FDA0004080491770000031
为
Figure FDA0004080491770000032
其中J2为J2摄动系数，μ为地球引力常数，ae为地球半径；将式用改进春分点根数表示为
Figure FDA0004080491770000033
/>
根据Lagrange型摄动方程，包含J2摄动长期项的改进春分点根数摄动方程为
Figure FDA0004080491770000034
其中辅助变量s2＝1+h2+k2，辅助变量w＝1+fcosl+gsinl；定义代表J2摄动长期影响的矩阵P为
Figure FDA0004080491770000041
则考虑J2摄动长期影响的小推力轨道动力学方程为
Figure FDA0004080491770000042
考虑J2摄动长期影响的小推力轨道最优控制问题的最优指标由式给出，则哈密顿函数表示为
Figure FDA0004080491770000043
则协态变量的微分方程为
Figure FDA0004080491770000044
根据庞特里亚金极小值原理，为最小化哈密顿函数，最优推力方向由式给出，最优推力幅值比由式给出，终端约束和横截条件由式表述，具体形式由具体问题给出；
至此，式组成考虑J2摄动长期影响的小推力轨道最优控制模型；
步骤三：将电推进推力幅值和J2摄动长期项增大相同的倍数，根据步骤二建立的模型求解J2摄动长期项增大后的小推力轨道最优控制问题，得到相应的最优变轨，依据所述最优变轨的轨道根数变化规律对整体变轨过程进行分段，使得整体多圈变轨接近最优，并能够保证多圈变轨整体优化过程的鲁棒性；
步骤三实现方法为，
在二体平方反比引力场下，最优轨迹的轨道根数变化规律以及最优控制律都随最大推力幅值的变化具有相似性，使得燃料消耗相差不大，飞行时间和飞行整圈数均呈现出倍数关系；令
Figure FDA0004080491770000051
表示增大后的最大推力幅值，有
Figure FDA0004080491770000052
其中N为正整数，则
Figure FDA0004080491770000053
其中Δm、Δt、Nrev分别为实际最大推力幅值下电推进航天器最优变轨的燃料消耗、飞行时间和飞行整圈数，而Δmlarge、Δtlarge、
Figure FDA0004080491770000054
分别为增大后的最大推力幅值下电推进航天器最优变轨的燃料消耗、飞行时间和飞行整圈数；此外，电推进航天器在进行长时间多圈变轨时，J2摄动的长期影响使得轨道升交点赤经和近地点幅角均发生漂移，进而影响最优控制律，即最优开机弧段随升交点赤经和近地点幅角的变化而变化；因此，为了准确反映出长时间多圈最优变轨中的轨道演化规律，需要将J2摄动长期项增大与最大推力幅值增大的相同倍数，即将J2摄动系数增大2N倍，使得式仍然成立，令/>
Figure FDA0004080491770000055
表示增大后的J2摄动系数，有
Figure FDA0004080491770000056
在步骤二所建立的模型中，将Tmax和J2分别用
Figure FDA0004080491770000057
和/>
Figure FDA0004080491770000058
替换，求解考虑J2摄动长期影响的小推力轨道最优控制问题，得到相应的最优变轨，则该最优变轨中电推进航天器的燃料消耗、飞行时间和飞行整圈数分别为Δmlarge、Δtlarge和/>
Figure FDA0004080491770000059
依据在该最优变轨中航天器的飞行整圈数/>
Figure FDA00040804917700000510
及轨道根数时间历程δlarge对整体变轨过程进行分段；将整体变轨过程分为Ntotal段变轨，有
Figure FDA00040804917700000511
其中系数cex为正整数，则整体变轨过程包含(Ntotal-1)条中间轨道，所述中间轨道即为除最后一段变轨外的每一段变轨的终端轨道，中间轨道的轨道根数表示为
Figure FDA00040804917700000512
其中
Figure FDA00040804917700000513
为第ζ条中间轨道的轨道根数，/>
Figure FDA00040804917700000514
为第ζ条中间轨道的轨道半长轴，/>
Figure FDA00040804917700000515
为第ζ条中间轨道的轨道偏心率，/>
Figure FDA00040804917700000516
为第ζ条中间轨道的轨道倾角，/>
Figure FDA00040804917700000517
为第ζ条中间轨道的升交点赤经，/>
Figure FDA00040804917700000518
为第ζ条中间轨道的近地点幅角；为了方便表述，/>
Figure FDA00040804917700000519
表示整体变轨的初始轨道根数，/>
Figure FDA0004080491770000061
表示整体变轨的终端轨道根数；当/>
Figure FDA0004080491770000062
即ζ为cex的正整数倍时，/>
Figure FDA0004080491770000063
根据δlarge得到，/>
Figure FDA0004080491770000064
和/>
Figure FDA0004080491770000065
对应的l间隔360度；当
Figure FDA0004080491770000066
即ζ为cex的非正整数倍时，/>
Figure FDA0004080491770000067
由线性插值得到
Figure FDA0004080491770000068
通过
Figure FDA0004080491770000069
和cex对整体变轨过程的分段数量进行调整，使得整体多圈变轨接近最优，也能够保证多圈变轨整体优化过程的鲁棒性；
步骤四：将步骤三中对整体变轨过程的分段结果代入步骤一所建立的小推力轨道最优控制模型，依次求解每一段考虑多摄动和地影约束的小推力轨道最优控制问题，得到每一段变轨的多摄动地影约束下的电推进轨道最优控制和最优轨迹，进而完成对多摄动地影约束下电推进航天器多圈变轨的优化。
2.如权利要求1所述的多摄动地影约束下电推进航天器多圈变轨的分段优化方法，其特征在于：还包括步骤五，根据步骤四中每一段变轨的多摄动地影约束下的电推进轨道最优控制和最优轨迹，对航天器进行相应制导控制，实现接近最优的多摄动地影约束下电推进航天器多圈变轨，进而节省燃料。
3.如权利要求1所述的多摄动地影约束下电推进航天器多圈变轨的分段优化方法，其特征在于：步骤四实现方法为，
将实际解算出的中间轨道称为实际中间轨道，实际中间轨道的轨道根数表示为
Figure FDA00040804917700000610
其中
Figure FDA00040804917700000611
为第ζ条实际中间轨道的轨道根数，/>
Figure FDA00040804917700000612
为第ζ条实际中间轨道的轨道半长轴，
Figure FDA00040804917700000613
为第ζ条实际中间轨道的轨道偏心率，/>
Figure FDA00040804917700000614
为第ζ条实际中间轨道的轨道倾角，/>
Figure FDA00040804917700000615
为第ζ条实际中间轨道的升交点赤经，/>
Figure FDA00040804917700000616
为第ζ条实际中间轨道的近地点幅角；实际中间轨道的轨道根数/>
Figure FDA00040804917700000617
和步骤三中所得中间轨道的轨道根数/>
Figure FDA00040804917700000618
完全相同或仅部分根数相同；
除最后一段变轨外，每一段变轨实际解算出的终端轨道根数所对应的轨道即为实际中间轨道，最后一段变轨实际解算出的终端轨道根数所对应的轨道为整体变轨的终端轨道；除最后一段变轨外，将每一段变轨的终端时刻及终端轨道根数作为下一段变轨的初始时刻和初始轨道根数，依次求解每一段考虑多摄动和地影约束的小推力轨道最优控制问题，得到每一段变轨的多摄动地影约束下的电推进轨道最优控制和最优轨迹；将相邻变轨段拼接起来，即得到整体接近最优的多摄动地影约束下电推进航天器的多圈变轨，进而完成对多摄动地影约束下电推进航天器多圈变轨的优化。
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