CN114169128B - 一种基于Bayes分析的可靠性强化试验定量评估方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于Bayes分析的可靠性强化试验定量评估方法，进行不同条件的强化试验，分别采用不同的估计方法，设置一定的置信水平，分阶段评估，得到可靠性强化试验的综合MTBF值，克服了基于经典方法所需样本量大或必须即时纠正故障的不足，解决了小子样可靠性强化试验评估问题，特别是设备或整机级的可靠性评估，可推广至小子样可靠性评估领域，节约人力物力，准确得到产品的可靠性实现水平，利于产品研制中的资源分配决策。

Description

一种基于Bayes分析的可靠性强化试验定量评估方法

技术领域

本发明属于试验统计技术领域，具体涉及一种可靠性评估技术。

背景技术

随着科学技术的不断发展，产品的材料、工艺、技术不断的迭代更新，人们对于高可靠 性产品的需求日益增多。

不同于传统的可靠性增长试验，可靠性强化试验属于激发型试验。釆用高应力水平作为 试验条件，以充分激发产品设计中存在的潜在缺陷和薄弱环节为目的，采取相应的改进措施， 在短时间内加速产品可靠性增长，大幅度提高试验效率，降低成本。

在强化试验过程中，对产品采取改进措施，会使产品状态发生改变。加速模型中的参数， 也将随着产品的改进而不断发生变化。

目前，针对可靠性试验的经典统计方法的特点在于：做统计推断依据的信息来自于模型 和样本，总体的分布源自于经验或某种合理假设。统计推断的一切结论都来自于概率解释， 例如极大似然估计法，经典统计方法对参数θ的点估计有矩法和极大似然法等。

极大似然法是根据样本分布构造似然函数，然后求出使似然函数达到最大值的参数值作 为θ的点估计值，样本量越大，样本信息越充分，则估计结果越精准。

用经典统计方法作统计推断时，要经历选定模型、构造统计量、确定抽样分布等环节， 最终得到对参数θ的某种估计或假设检验的结论。考虑到模型的选定过程中，经典的统计方 法试图通过增加样本容量以达到寻求总体分布的目的，该方法要求试验样本量较大。

目前，可靠性强化试验一般为定性试验。现有的强化试验评估方法，一般是获取可靠性 强化试验故障数据，采用相应的加速模型，外推故障数据，得到正常应力水平下的故障数据， 然后采用AMSAA模型或经典统计分析方法，对故障数据进行可靠性评估，得到待测电子产 品的可靠性水平。

AMSAA 模型进行可靠性增长评估，适用于母体变动的情况，如可靠性试验中的即时纠 正故障处理方式。上述方法由于时间、成本、试验现场的条件限制，常采用延缓纠正的故障 处理方式，即母体不变动，此时AMSAA增长模型并不适用。

Bayes统计分析的信息依据是模型信息、样本信息和先验信息。由样本信息和先验信息 推导求出参数的后验分布。Byaes统计学认为利用这些先验信息不仅可以减少样本容量，而 且在很多情况还可以提高统计精度。

相对于Bayes统计分析方法，经典统计分析方法所需的样本量较大，而试验产品特别是 试验产品层次越高，往往试验成本也大，试验样机越少，可靠性强化试验特别是设备级以上 层次的产品多为小子样。由于Bayes方法适用于小样本，充分利用验前信息，既可以节约人 力物力，又可以得到优于大样本量经典统计分析方法的估计结果。

发明内容

本发明为了解决现有技术存在的问题，提出了一种基于Bayes分析的可靠性强化试验定 量评估方法，为了实现上述目的，本发明采用了以下技术方案。

进行低温步进应力、高温步进应力、快速温度循环、振动步进应力、综合环境应力试验， 记录故障数据和应力数据；根据产品有无故障，将试验结果分为有失效和无失效；根据应力 类型，将试验条件分为步进应力和恒定应力；评估产品在有失效步进应力、有失效恒定应力、 无失效步进应力、无失效恒定应力的平均寿命。

有失效步进应力：折算失效数据，采用基于Gibbs抽样的Bayes估计方法，得到正常应力 S下的平均寿命估计；有失效恒定应力：计算加速因子，将恒定应力的试验时间折算成正常应 力的试验时间，采用Bayes方法得到失效率的估计形式，采用Gibbs抽样方法得到失效率的 估计值，采用最小二乘法，得到常应力S下的平均寿命估计；无失效步进应力：计算加速因子， 将步进应力的试验时间折算成正常应力的试验时间，采用无失效的Bayes估计方法；无失效 恒定应力：计算加速因子，将恒定应力的试验时间折算成正常应力的试验时间，采用无失效 的Bayes估计方法。

根据试验对象在各试验条件的试验时间与失效个数，设置一定的置信水平，产生各试验 条件的MTBF置信区间，采用分阶段定量评估方法，计算分析各MTBF的可用性，经加权平 均得到可靠性强化试验的综合MTBF值。

进一步的，根据试验数据，采用累积损伤模型或指数损伤模型，折算高温步进应力、低 温步进应力、快速温变应力、振动步进应力、综合环境应力的加速因子，高温步进应力采用 Arrhenius模型和单应力Eyring模型计算加速因子，低温步进应力采用指数加速模型计算加速 因子，快速温变应力采用修正的Coffin-Manson模型及其扩展模型计算加速因子，振动步进应 力采用Basquin等式和Miner规则计算加速因子，综合环境应力将试验拆分为快速温变试验 与振动应力试验分析计算，综合得到加速因子。

具体的，Arrhenius模型的高温步进应力的加速因子

单应力Eyring模型的高温步进应力的加速因子

其中t_use是使用应力水平 的试验时间，t_test是加速应力水平的试验时间，T_use是使用应力水平，T_test是加速应力水平， E_a是激活能，单位eV，k_B是玻尔兹曼常数，根据两个模型拟合数据的结果好坏决定用哪个模 型。

Arrhenius模型的核心是激活能，激活能是一个量子物理学概念，表征微观上启动某种粒 子间重组所需克服的能量障碍。

Arrhenius模型的物理基础是化学反应速率，描述产品中非机械材料疲劳的、取决于化学 反应、腐蚀、物质扩散或迁移等过程的失效机理，数学形式是

其中t_L是产品 特征寿命或可靠性特征参数，取值8.617×10^-5(eV/K)，T是绝对温度，摄氏度+273.15， 单位K，C是常数。

单应力Eyring模型由量子力学原理推导得到，用绝对温度的函数表示产品的寿命特性， 当绝对温度在较小范围内变化时，单应力Eyring模型近似于Arrhenius模型，需要获得激活 能计算，数学形式是

其中A、B、C是常数，其余符号含义与 Arrhenius模型相同。

在实际工程应用中，通过试验获得产品的激活能，在样本量、经费和周期方面不可承受， 一般采用推荐的标准激活能，包括：美国国防手册针对电子产品推荐的0.79eV、JEDEC固态 技术协会标准推荐的0.7eV～1.0eV。

具体的，指数加速模型的低温步进应力的加速因子

b＝8.3×10^-2，其中ξ(T)＝a·e^b·T是指数加速模型的数学形式，描述产品可靠性特征与低 温之间的变化规律，T是绝对温度，a、b是常数。

具体的，修正的Coffin-Manson模型的快速温变应力的加速因子

其中N_use、N_test分别是正常应力和试验 应力的失效循环数，ΔT_test、ΔT_use分别是试验应力和正常应力的温度变换范围，ftest、fuse分 别是试验应力和正常应力的循环频率，T_max,test、T_max,use分别是试验应力和正常应力的循环 最高温度。

Coffin-Manson模型描述塑性应变幅和疲劳寿命之间的关系，使用范围限定在疲劳寿命次 数低于10⁶次，修正的Coffin-Manson模型N＝A·f^-α·ΔT^-β·G(T_max)，其中N是失效循环数， f是循环频率，T是温度变化范围，G(T_max)是温度循环最高温T_max的Arrhenius模型，即

Basquin等式的数学形式是NS^b＝C，其中S是广义应力，N是振动时间或循环至疲劳的 循环数，C是常数，随机振动的单位是功率谱密度PSD或均方根值rms，正弦振动的单位是幅值。

Miner规则的数学形式是L(S)＝C^-1×S^-m，描述寿命或预测确定的持续时间，其中S是 应力，描述脉冲型冲击、正弦振动或随机振动，C是需要确定的常数，C>0，m是与应力相关的参数。

具体的，振动应力加速采用应力-循环寿命S-N曲线描述，计算加速因子

通过材料的疲劳试验获得S-N曲线，拟合得到参数m，或查询GJB150A、 MIL-STD-810G资料手册得到m的经验值，正弦振动的m值采用6，随机振动m采用5～8。

具体的，综合环境应力的加速因子A_F＝A_{F_fastT}×A_{F_var}，其中A_{F_fastT}是快速温变对应加速因子，A_{F_var}是振动对应加速因子，将各试验过程的应力以低于工作极限值的10％量值综合在一起，施加于产品，以温度循环的方式，在第一个温度循环采用步长为破坏振动极限的20％，在第二个温度循环采用步长为破坏极限的40％，以此类推，直至产品不可修复，或达到所需的循环次数。

进一步的，无失效的Bayes估计方法，假设失效分布服从指数分布，即F(t)＝P(T＜t)＝ 1-e^-λt，其中t是产品工作时间，F(t)是产品在t时刻的累计失效率，λ是失效率，在特定应 力下是常数，分别在不同试验应力S_i(i＝1,2…,k)试验样品，试验总时间是t_i0(i＝1,2…,k)， 相同试验应力的同组试验样品的试验时间相同，对应的试验样品个数是n_i(i＝1,2…,k)，每 组试验都没有失效样品，目标应力是S₀，等效试验总时间是t_i(i＝1,2…,k)，则

其中AF(S_j,S₀)是试验应力S_j相对于目标应力S₀的加速因子，记录试验数 据(t_i,s_i)，其中s_i是t_i时刻的试验样品个数，即s_i＝n_i+n_i+1+…+n_k，基于Bayes方法计算 等效试验时间t_i对应的累计失效概率估计值

基于最小二乘法估算目标应力S₀的失效率的估 计值

估计平均无故障工作时间MTBF，即

具体的，用p_i表示等效试验时间为t_i的累计失效概率，即p_i＝f(t_i)，用(1-p_i)²作为密度 的核估计先验密度，即

其中

是特定 常数，根据可靠性试验数据处理的经验分布函数的一般计算方式，令

由

计算

即

根据无失效试验结果对应的似然函数

采用Bayes公式计算p_i的后验分布密度，即

考虑平方损失，得到

的估计值，即

具体的，用函数

描述累计失效概率估计值

与失效率λ间的关系，其 中ε_i是累计失效概率估计值

产生的误差，采用最小二乘法求解失效率对应的平方损失是

令dQ(λ)/dλ＝0，计算参数λ的最小二乘估计值，即

进一步的，有失效步进应力的Bayes估计方法，假设失效分布服从指数分布，即

其中步进应力是S_i，t是产品工作时间，λ_i是产品在步进应力S_i时刻t的失效率，是固定常数，

是 产品在步进应力S_i时刻t的累计失效概率，

为产品在步进应力S_i时刻t的瞬时失效概率， 即失效概率密度函数，

是产品在应力S_i时刻t的可靠度，失效样品的工作时间是

其中

样本总数是n，根据定时截尾 的特性，试验中止时间是τ_i，时间τ_i的失效样品数是r_i，根据指数分布的无记忆性，构建步进 应力试验的似然函数，即

令

其中R_i是步进应力S₁至S_i的失效总数，r＝R_k是步进试验的失效总数，τ_i′是所有样本的累计工 作时间，简化似然函数，即

设产品在步进应力S₁的失效率是 λ₁，即

其中θ＝λ₂/λ₁是产品在步进应力S₂下相较于步进应力S₁的加速系数，θ>0，用函数

描述

根据步进应力类型和加速因子的计算 方式，分别选用Arrhenius模型、指数加速模型、S-N曲线方程，描述高温步进、低温步进、 振动步进的加速模型，简化函数

即

令 λ＝λ₁、

得到

选取θ的先验分布

1≤k₁＜θ＜k₂，假设产品在步进应力S₁的失效率λ的先验分布服从Gamma分布， 则密度函数

其中0＜λ＜∞,α>0,β>0，α和β是超参数，先验分布 分别取(0,1)和(0,c)上的均匀分布，c>0是常数，概率密度分别是π(β)＝1(0＜α＜1)和 π(β)＝1/c(0＜β＜c)，若α和β独立，则λ的多层先验概率密度

根据似然函数的先验分布，得到参数(λ,θ,α,β)的 联合后验分布的概率密度函数

其中

描述试验相关信息，对该式依次求积分，得到各参数的边缘概率密度，λ的满 条件后验分布的概率密度

θ的满条件后验分布的概率密度

α的满条件后验分布的概率密度π(α∣θ,λ,α,τ)∝β^αλ^α/Γ(α)，β 的满条件后验分布的概率密度π(β∣θ,λ,α,τ)∝β^αe^-λβ，采用Gibbs抽样方法，计算联合后验 分布的参数均值，采用舍选抽样法产生θ和α的满条件后验分布的随机数，采用Gamma分布 Γ(α+r,β+T₂)和Γ(α+1,λ)产生λ和β的满条件后验分布的随机数，设起始点 (λ⁽⁰⁾,θ⁽⁰⁾,α⁽⁰⁾,β⁽⁰⁾)，从满条件后验分布π(λ∣θ^(n-1),α^(n-1),β^(n-1),τ)产生λ⁽ⁿ⁾，从满条件后验 分布π(θ∣λ⁽ⁿ⁾,α^(n-1),β^(n-1),τ)产生θ⁽ⁿ⁾，从满条件后验分布π(α∣λ⁽ⁿ⁾,θ⁽ⁿ⁾,β^(n-1),τ)产生α⁽ⁿ⁾， 从满条件后验分布π(β∣λ⁽ⁿ⁾,θ⁽ⁿ⁾,α⁽ⁿ⁾,τ)产生β⁽ⁿ⁾，则(λ⁽ⁿ⁾,θ⁽ⁿ⁾,α⁽ⁿ⁾,β⁽ⁿ⁾,n＝1,2,…,m,m+ 1,…,M)成为参数(λ,θ,α,β)的Gibbs迭代样本，其中m是Gibbs迭代抽样达到稳定状态之前舍 弃的样本容量，M>m是总的样本容量，得到λ,θ,α,β的多层Bayes参数估计

由参数估计得到步进应力试验模型的加速方程，计算目标应力S₀的平均MTBF。

进一步的，有失效恒定应力的Bayes估计方法，S_i是恒定应力，失效样品的工作时间是

n_i是恒定应力S_i的样本总数，根据 定时截尾的特性，τ_i是恒定应力S_i的试验中止时间，r_i是在τ_i之前的失效样品数，令

则试验数据的似然函数

其中 H＝{(λ₁,λ₂,…,λ_k):0＜λ₁≤λ₂≤…≤λ_k}，令

其中T_i是恒定应力 S_i的所有样本的累计工作时间，简化似然函数，即

假设产品在恒定应力S_i的失效率λ_i的先验分布服从Gamma分布Ga(α_i,β_i)，其中α_i,β_i是已知确定的超参数，根据各应力S_i的独立性，得到λ_i,…,λ_k的联合先验密度函数

由Bayes定理得到λ₁,λ₂,…,λ_k的联合后验密度函数

计算λ_i的Bayes后验均值

其中(λ₁,λ₂,…,λ_k)∈H，若i＜j，则0＜λ_i≤λ_j、 E(λ_i|D)≤E(λ_j|D)、

采用Gibbs抽样方法，得到λ_i的满条件后验分布

服从区间的截断Gamma分布，即

其中G_i是Gamma分布Ga(α_i+r_i,β_i+T_i)的分布函数，

是其反函数，U是均匀分布U(0,1)的一个随机样本，若无信息先验，则α_s＝β_s＝0， 经过t步Gibbs抽样迭代，得到(λ₁,λ₂,…,λ_k)的m重Gibbs样本

则

根据加速因子的计算方式，得到目标应力S₀的等效失效率 估计值

和失效率估值

以及

进一步的，假设产品平均无故障间隔T服从指数分布，随机抽取n个产品，在应力条件进 行定时截尾寿命试验，停止时间是t₀，在t₀前有r个产品失效，则定时截尾样本t₁≤t₂≤…≤ t_r≤t₀,r＜n，样本的似然函数

t₁≤t₂≤…≤t_r≤t₀，其中

是总试验时间，令

则

其雅可比行列式

得到ω₁,…,ω_r的联合密度函数

根据ω₁,…,ω_r相互独立同分布，得到其共同分布Exp(λ)＝Ga(1,λ)，根据独立Gamma变量的 可加性，得到

则MTBF的1-α近似置信区间是

将尾部概率α/2并入另一侧的1-α/2，得到1-α的单侧置信下限

具体的，保留1-α近似置信区间的估值，总计k个，若工程经验信息少，则采用平均方 法计算综合MTBF，即

若工程经验信息多，则采用Delphi-AHP模型计算综合MTBF，即

本发明的有益效果：克服了基于经典方法所需样本量大或AMSAA模型必须采用即时纠 正的故障处理方式的不足，针对可靠性强化试验中的低温步进、高温步进、快速温度循环和 振动步进，综合环境应力分解为步进应力、恒定应力和试验有故障、无故障四种组合方式， 采用了基于Gibbs抽样的Bayes估计方法，解决了小子样可靠性强化试验，特别是设备或整 机级的可靠性评估，可推广至小子样可靠性评估领域，节约人力物力，准确得到产品的可靠 性实现水平，利于产品研制中的资源分配决策。

附图说明

图1是评估流程图，图2是低温步进应力试验图，图3是高温步进应力试验图，图4是快速温变循环试验图，图5是振动步进应力试验图，图6综合环境应力试验图，图7是低温 步进应力仿真图，图8是振动步进应力仿真图。

具体实施方式

以下结合附图对本发明的技术方案做具体的说明。

评估流程如图1所示，首先判断有无失效数据，再判断是步进应力还是恒定应力，然后 适用不同的模型，设置置信区间，评估综合MTBF值。

低温步进应力试验如图2所示，从0℃开始，每降5℃为一台阶，到-45℃结束，其中0℃ 保温5h，此后每一阶段温度保温2h，相邻温度台阶中间的温变速率为10℃/min，在-45℃时 出现故障1次，在-40℃复现仍存在。

高温步进应力试验如图3所示，从60℃开始，每降5℃为一台阶，到70℃结束，其中60℃ 保温5h，此后每一阶段温度保温2h，相邻温度台阶中间的温变速率为10℃/min，无故障。

快速温变循环试验如图4所示，低温段使用-40℃，高温段使用70℃，每个温度段保温时 间为4h，快速温变的温变速率为30℃/min，无故障。

振动步进应力试验如图5所示，从18grms开始，每2grms为一个步进台阶，最高到24grms 结束，分X轴(轴向)、Y轴(垂向)、Z轴(侧向)三个方向连续开展3组振动步进试验，每个振动应力台阶保持3min，振动应力升降的速率很快忽略不计，共出现两次故障，分别为第2组步进24grms时，第3组步进18grms时。

综合环境应力试验如图6所示，低温段使用-40℃，高温段使用70℃，每个温度段保温时 间为4h，各温度阶梯间温变速率为15℃/min，在整个试验过程，持续施加19.2grms(24grms×0.8)的随机振动应力，无故障。

根据可靠性强化试验记录结果，面向不同阶段的强化试验，分阶段的可靠性定量评估， 低温步进和振动步进中存在故障，同为步进应力试验，选用步进应力下的Bayes评估方法， 高温步进、快速温变以及综合应力试验中无故障，选用无失效数据的Bayes评估方法。

1)低温步进应力试验定量评估

根据低温步进应力及故障记录，整理得到低温步进强化试验数据，具体过程如下：

采用Gibbs抽样算法求解低温步进应力试验的MTBF的定量估计值，在进行Gibbs抽样 前，依据故障数据，可以确定λ、θ、α、β以外无关参数r、T₁、T₂的计算方式：

参数r的计算

低温步进总试验阶段k＝10，试验总故障个数满足：

参数T₁的计算

低温步进试验对应的函数

因而：

故可以求得T₁为：

参数T₂的计算

由

故T₂可以简化为未知参数θ的函数，求出

随Gibbs抽样过程中θ值的变化而变化：

与此同时，在进行Gibbs抽样前，需要对参数λ、θ、α、β的范围进行设定，λ∈[0,∞]，α∈[0,1]，β∈[0,500]，而参数θ可根据经验应力水平设定，

因而设定

在此基础上，进行单次总步长为2000的Gibbs抽样仿真，单次Gibbs抽样过程中超参数 均值随抽样次数的变化如图7所示，可以看出，随迭代次数的增加，参数值逐渐收敛。

尽管理论上讲，单次Gibbs抽样结果最终可以得到参数的稳态解，但参数收敛过程仍存 在一定随机性，收敛快慢上可能存在不同，为保证结果的稳定性，总计进行了1000次重复实 验，每次抽样仅保留后1000次作为稳定状态参与统计，由于本例中S₀＝S₁＝0℃，因而目标 应力下产品的平均MTBF估计为：

MTBF_低温＝362.9h

2)高温步进应力试验定量评估

根据高温步进应力，整理得到高温步进强化试验数据：

采用无失效数据的Bayes评估方法，求解高温步进应力试验的MTBF的定量估计值，具 体过程如下：

计算加速因子及等效试验时间折合

考虑高温应力下的加速模型，将温度单位变换为K

求得高温阶段加速因子分别为：

AF(S₁,S₀)＝1，AF(S₂,S₀)＝1.4330，AF(S₃,S₀)＝2.0322

外推正常应力下观测点的试验时间为：

t₁＝2，t₂＝4.8661，t₃＝8.9305

根据s_i＝n_i+n_i+1+…+n_k，可以计算得到：

s₁＝3，s₂＝2，s₃＝1

累计失效概率估计值

计算

失效率和MTBF估计

3)快速温变应力试验定量评估

根据所提供的快速温变应力，总计包含5个快速温变循环的观测周期，整理得到快速温 变强化试验数据：

采用无失效数据的Bayes评估方法，求解快速温变应力试验的MTBF的定量估计值，具 体过程如下：

计算加速因子及等效试验时间折合

考虑快速温变应力下的加速模型，将温度单位变换为K，确定AF(S_i,S₀)的计算方式，可 求得快速温变阶段加速因子分别为：

AF(S_i,S₀)＝3.8132i＝1,2,3,4,5

外推正常应力下观测点的试验时间为：

t₁＝30.97，t₂＝61.94，t₃＝92.92，t₂＝123.88，t₃＝154.86

同时，根据s_i＝n_i+n_i+1+…+n_k，可以计算得到：

s₁＝5，s₂＝4，s₃＝3，s₄＝2，s₅＝1

累计失效概率估计值

计算

失效率和MTBF估计

4)振动步进应力试验定量评估

根据所提供的振动步进应力及故障记录，整理得到振动步进强化试验数据：

根据步进应力下的Bayes评估方法所述的Gibbs抽样算法，求解振动步进应力试验的 MTBF的定量估计值，在进行Gibbs抽样前，依据故障数据，确定λ、θ、α、β以外无关参数r、T₁、T₂的计算方式，具体而言：

参数r的计算

振动步进总试验阶段k＝12，试验总故障个数满足：

参数T₁的计算

振动步进试验对应的函数

因而：

将时间单位变换为h，故可以求得T₁：

参数T₂的计算

求得R_i和τ_i′，化简

的表达式，其值同样为未知参数θ的函数，随Gibbs 抽样过程中θ值的变化而变化。

与此同时，在进行Gibbs抽样前，需要对参数λ、θ、α、β的范围进行设定.根据经验设定， λ∈[0,∞]，α∈[0,1]，β∈[0,500]，而参数θ可根据经验应力水平设定，

因而设定

采用与低温步进相同的Gibbs抽样方式，单次Gibbs抽样过程中超参数均值随抽样次数 的变化如图8所示，为保证结果的稳定性，同样总计进行了1000次重复实验，每次抽样仅保 留后1000次作为稳定状态参与统计，由于本例中S₀＝S₁＝18grms，因而目标应力下产品 的平均MTBF估计为：

MTBF_振动＝0.53h

5)综合环境应力试验定量评估

根据所提供的综合环境应力，总计包含5个综合环境应力循环的观测周期，整理得到综 合环境应力强化试验数据：

采用无失效数据的定量评估方法，求解综合环境应力试验的MTBF的定量估计值，具体过 程如下：

计算加速因子及等效试验时间折合

考虑快速温变应力下的加速模型，将温度单位变换为K，确定AF(S_i,S₀)的计算方式，可 求得综合环境应力阶段加速因子分别为：

AF(S_i,S₀)＝5.0720 i＝1,2,3,4,5

可以外推正常应力下观测点的试验时间为：

t₁＝41.82，t₂＝83.63，t₃＝125.45，t₂＝167.26，t₃＝209.08

根据s_i＝n_i+n_i+1+…+n_k，可以计算得到：

s₁＝5，s₂＝4，s₃＝3，s₄＝2，s₅＝1

累计失效概率估计值

计算

失效率和MTBF估计

6)各阶段MTBF计算结果综合评估

综上所述，使用α＝0.1的置信水平，计算各阶段的MTBF置信区间，可以得到各阶段MTBF 计算结果：

试验阶段	正常应力下的MTBF(h)	置信区间
			低温步进	362.9	[62.13,1379.91]
高温步进	25.35	[4.65,4542.3]
			快速温变	636.88	[80.63,78766.42]
振动步进	0.82	[0.50,4.79]
			综合应力	859.86	[108.85,106344.27]

分析可知，所有评估结果均在在当前置信度下的置信区间内，可以得出产品强化试验综 合MTBF：

上述作为本发明的实施例，并不限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何 修改、等同替换和改进等，均包含在本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种基于Bayes分析的可靠性强化试验定量评估方法，其特征在于，包括：进行低温步进应力、高温步进应力、快速温度循环、振动步进应力、综合环境应力试验，记录故障数据和应力数据；根据产品有无故障，将试验结果分为有失效和无失效；根据应力类型，将试验条件分为步进应力和恒定应力；评估产品在有失效步进应力、有失效恒定应力、无失效步进应力、无失效恒定应力的平均寿命；

对于有失效步进应力：折算失效数据，采用基于Gibbs抽样的Bayes估计方法，得到正常应力S下的平均寿命估计；对于有失效恒定应力：计算加速因子，将恒定应力的试验时间折算成正常应力的试验时间，采用Bayes方法得到失效率的估计形式，采用Gibbs抽样方法得到失效率的估计值，采用最小二乘法，得到常应力S下的平均寿命估计；对于无失效步进应力：计算加速因子，将步进应力的试验时间折算成正常应力的试验时间，采用无失效的Bayes估计方法；对于无失效恒定应力：计算加速因子，将恒定应力的试验时间折算成正常应力的试验时间，采用无失效的Bayes估计方法；

根据试验对象在各试验条件的试验时间与失效个数，设置一定的置信水平，产生各试验条件的MTBF置信区间，采用分阶段定量评估方法，计算分析各MTBF的可用性，经加权平均得到可靠性强化试验的综合MTBF值。

2.根据权利要求1所述的基于Bayes分析的可靠性强化试验定量评估方法，其特征在于，所述计算加速因子，包括：根据试验数据，采用累积损伤模型或指数损伤模型，折算高温步进应力、低温步进应力、快速温变应力、振动步进应力、综合环境应力的加速因子；高温步进应力采用Arrhenius模型和单应力Eyring模型计算加速因子，低温步进应力采用指数加速模型计算加速因子，快速温变应力采用修正的Coffin-Manson模型及其扩展模型计算加速因子，振动步进应力采用Basquin等式和Miner规则计算加速因子，综合环境应力将试验拆分为快速温变试验与振动应力试验分析计算，综合得到加速因子。

3.根据权利要求2所述的基于Bayes分析的可靠性强化试验定量评估方法，其特征在于，所述Arrhenius模型计算的高温步进应力的加速因子

所述单应力Eyring模型计算的高温步进应力的加速因子

其中t_use是使用应力水平的试验时间，t_test是加速应力水平的试验时间，T_use是使用应力水平，T_test是加速应力水平，E_a是激活能，单位eV，k_B是玻尔兹曼常数，根据两个模型拟合数据的结果好坏决定用哪个模型；

所述指数加速模型计算的低温步进应力的加速因子

b＝8.3×10^-2，其中ξ(T)＝a·e^b·T是指数加速模型的数学形式，描述产品可靠性特征与低温之间的变化规律，T是绝对温度，a、b是常数；

所述修正的Coffin-Manson模型计算的快速温变应力的加速因子

其中N_use、N_test分别是正常应力和试验应力的失效循环数，ΔT_test、ΔT_use分别是试验应力和正常应力的温度变换范围，f_test、f_use分别是试验应力和正常应力的循环频率，T_max,test、T_max,use分别是试验应力和正常应力的循环最高温度；

所述Basquin等式和Miner规则计算的振动步进应力的加速因子

采用应力-循环寿命S-N曲线描述材料的疲劳试验，拟合得到参数m，或查询GJB150A、MIL-STD-810G资料手册得到m的经验值，正弦振动的m值采用6，随机振动m采用5～8；

所述综合环境应力的加速因子A_F＝A_{F_fastT}×A_{F_var}，其中A_{F_fastT}是快速温变对应加速因子，A_{F_var}是振动对应加速因子，将各试验过程的应力以低于工作极限值的10％量值综合在一起，施加于产品，以温度循环的方式，在第一个温度循环采用步长为破坏振动极限的20％，在第二个温度循环采用步长为破坏极限的40％，以此类推，直至产品不可修复，或达到所需的循环次数。

4.根据权利要求3所述的基于Bayes分析的可靠性强化试验定量评估方法，其特征在于，所述无失效的Bayes估计方法，包括：假设失效分布服从指数分布，即F(t)＝P(T＜t)＝1-e^-λt，其中t是产品工作时间，F(t)是产品在t时刻的累计失效率，λ是失效率，在特定应力下是常数，分别在不同试验应力S_i(i＝1,2…,k)试验样品，试验总时间是

相同试验应力的同组试验样品的试验时间相同，对应的试验样品个数是n_i(i＝1,2…,k)，每组试验都没有失效样品，目标应力是S₀，等效试验总时间是t_i(i＝1,2…,k)，则

其中AF(S_j,S₀)是试验应力S_j相对于目标应力S₀的加速因子，记录试验数据(t_i,s_i)，其中s_i是t_i时刻的试验样品个数，即s_i＝n_i+n_i+1+…+n_k，基于Bayes方法计算等效试验时间t_i对应的累计失效概率估计值

基于最小二乘法估算目标应力S₀的失效率的估计值

估计平均无故障工作时间MTBF，即

5.根据权利要求4所述的基于Bayes分析的可靠性强化试验定量评估方法，其特征在于，所述基于Bayes方法计算等效试验时间t_i对应的累计失效概率估计值

包括：用p_i表示等效试验时间为t_i的累计失效概率，即p_i＝f(t_i)，用(1-p_i)²作为密度的核估计先验密度，即

其中

是特定常数，根据可靠性试验数据处理的经验分布函数的一般计算方式，令

由

计算

即

根据无失效试验结果对应的似然函数

采用Bayes公式计算p_i的后验分布密度，即

考虑平方损失，得到

的估计值，即

6.根据权利要求5所述的基于Bayes分析的可靠性强化试验定量评估方法，其特征在于，所述基于最小二乘法估算目标应力S₀的失效率的估计值

包括：用函数

描述累计失效概率估计值

与失效率λ间的关系，其中ε_i是累计失效概率估计值

产生的误差，采用最小二乘法求解失效率对应的平方损失是

令dQ(λ)/dλ＝0，计算参数λ的最小二乘估计值，即

7.根据权利要求3所述的基于Bayes分析的可靠性强化试验定量评估方法，其特征在于，所述有失效步进应力的估计方法，包括：假设失效分布服从指数分布，即

其中步进应力是S_i，t是产品工作时间，λ_i是产品在步进应力S_i时刻t的失效率，是固定常数，

是产品在步进应力S_i时刻t的累计失效概率，

为产品在步进应力S_i时刻t的瞬时失效概率，即失效概率密度函数，

是产品在应力S_i时刻t的可靠度，失效样品的工作时间是

其中

样本总数是n，根据定时截尾的特性，试验中止时间是τ_i，时间τ_i的失效样品数是r_i，根据指数分布的无记忆性，构建步进应力试验的似然函数，即

和

令

其中R_i是步进应力S₁至S_i的失效总数，r＝R_k是步进试验的失效总数，τ_i′是所有样本的累计工作时间，简化似然函数，即

设产品在步进应力S₁的失效率是λ₁，即

其中θ＝λ₂/λ₁是产品在步进应力S₂下相较于步进应力S₁的加速系数，θ＞0，用函数

描述

根据步进应力类型和加速因子的计算方式，分别选用Arrhenius模型、指数加速模型、S-N曲线方程，描述高温步进、低温步进、振动步进的加速模型，简化函数

即

令λ＝λ₁、

得到

选取θ的先验分布

假设产品在步进应力S₁的失效率λ的先验分布服从Gamma分布，则密度函数

其中0＜λ＜∞,α＞0,β＞0，α和β是超参数，先验分布分别取(0,1)和(0,c)上的均匀分布，c＞0是常数，概率密度分别是π(α)＝1(0＜α＜1)和π(β)＝1/c(0＜β＜c)，若α和β独立，则λ的多层先验概率密度

根据似然函数的先验分布，得到参数(λ,θ,α,β)的联合后验分布的概率密度函数

其中

描述试验相关信息，对该式依次求积分，得到各参数的边缘概率密度，λ的满条件后验分布的概率密度

θ的满条件后验分布的概率密度

α的满条件后验分布的概率密度π(α∣θ,λ,β,τ)∝β^αλ^α/Γ(α)，β的满条件后验分布的概率密度π(β∣θ,λ,α,τ)∝β^αe^-λβ，采用Gibbs抽样方法，计算联合后验分布的参数均值，采用舍选抽样法产生θ和α的满条件后验分布的随机数，采用Gamma分布Γ(α+r,β+T₂)和Γ(α+1,λ)产生λ和β的满条件后验分布的随机数，设起始点(λ⁽⁰⁾,θ⁽⁰⁾,α⁽⁰⁾,β⁽⁰⁾)，从满条件后验分布π(λ∣θ^(n-1),α^(n-1),β^(n-1),τ)产生λ⁽ⁿ⁾，从满条件后验分布π(θ∣λ⁽ⁿ⁾,α^(n-1),β^(n-1),τ)产生θ⁽ⁿ⁾，从满条件后验分布π(α∣λ⁽ⁿ⁾,θ⁽ⁿ⁾,β^(n-1),τ)产生α⁽ⁿ⁾，从满条件后验分布π(β∣λ⁽ⁿ⁾,θ⁽ⁿ⁾,α⁽ⁿ⁾,τ)产生β⁽ⁿ⁾，则(λ⁽ⁿ⁾,θ⁽ⁿ⁾,α⁽ⁿ⁾,β⁽ⁿ⁾,n＝1,2,…,m,m+1,…,M)成为参数(λ,θ,α,β)的Gibbs迭代样本，其中m是Gibbs迭代抽样达到稳定状态之前舍弃的样本容量，M＞m是总的样本容量，得到λ,θ,α,β的多层Bayes参数估计

由参数估计得到步进应力试验模型的加速方程，计算目标应力S₀的平均MTBF。

8.根据权利要求1所述的基于Bayes分析的可靠性强化试验定量评估方法，其特征在于，所述有失效恒定应力的估计方法，包括：设S_i是恒定应力，失效样品的工作时间是

n_i是恒定应力S_i的样本总数，根据定时截尾的特性，τ_i是恒定应力S_i的试验中止时间，r_i是在τ_i之前的失效样品数，令

则试验数据的似然函数

其中H＝{(λ₁,λ₂,…,λ_k):0＜λ₁≤λ₂≤…≤λ_k}，令

其中T_i是恒定应力S_i的所有样本的累计工作时间，简化似然函数，即

假设产品在恒定应力S_i的失效率λ_i的先验分布服从Gamma分布Ga(α_i,β_i)，其中α_i,β_i是已知确定的超参数，根据各应力S_i的独立性，得到λ_i,…,λ_k的联合先验密度函数

由Bayes定理得到λ₁,λ₂,…,λ_k的联合后验密度函数

计算λ_i的Bayes后验均值

其中(λ₁,λ₂,…,λ_k)∈H，若i＜j，则0＜λ_i≤λ_j、E(λ_i|D)≤E(λ_j|D)、

采用Gibbs抽样方法，得到λ_i的满条件后验分布

服从区间的截断Gamma分布，即

其中G_i是Gamma分布Ga(α_i+r_i,β_i+Ti的分布函数，Gi-1是其反函数，U是均匀分布U(0,1)的一个随机样本，若无信息先验，则α_s＝β_s＝0，经过t步Gibbs抽样迭代，得到(λ₁,λ₂,…,λ_k)的m重Gibbs样本

则

根据加速因子的计算方式，得到目标应力S₀的等效失效率估计值

和失效率估值

以及

9.根据权利要求1所述的基于Bayes分析的可靠性强化试验定量评估方法，其特征在于，所述产生各试验条件的MTBF置信区间，包括：假设产品平均无故障间隔T服从指数分布，随机抽取n个产品，在应力条件进行定时截尾寿命试验，停止时间是t₀，在t₀前有r个产品失效，则定时截尾样本t₁≤t₂≤…≤t_r≤t₀,r＜n，样本的似然函数

t₁≤t₂≤…≤t_r≤t₀，其中

是总试验时间，令

则

其雅可比行列式

得到ω₁,…,ω_r的联合密度函数

根据ω₁,…,ω_r相互独立同分布，得到其共同分布Exp(λ)＝Ga(1,λ)，根据独立Gamma变量的可加性，得到

则MTBF的1-α近似置信区间是

将尾部概率α/2并入另一侧的1-α/2，得到1-α的单侧置信下限

10.根据权利要求9所述的基于Bayes分析的可靠性强化试验定量评估方法，其特征在于，所述经加权平均得到可靠性强化试验的综合MTBF值，包括：保留1-α近似置信区间的估值，总计k个，若工程经验信息少，则采用平均方法计算综合MTBF，即

若工程经验信息多，则采用Delphi-AHP模型计算综合MTBF，即

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