CN112697140B - 惯导imu组件相对内环架姿态角的测量装置及测量计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种惯导IMU(Inertial Measurement Unit,惯性测量单元)组件相对内环架姿态角的测量装置及测量计算方法，该测量装置包括：自准直光管、反射镜M₀、反射镜M₁和反射镜M₂；反射镜M₀设置在惯导设备的内环架的一个侧边的外侧上；反射镜M₁和反射镜M₂分别设置在惯导IMU组件的两个相邻面上；转动惯导设备的方位轴和俯仰轴，能使自准直光管分别对反射镜M₀、反射镜M₁和反射镜M₂自准直；充分利用双轴惯导的回转轴系及测角单元，通过一个自准直光管以及平面反射镜对IMU姿态及航向进行测量，解算后得到IMU组件相对于轴系内环架的姿态角，得到重复安装或更换后IMU组件的姿态角相对轴系内环架的变化量，以便对惯导的航向及姿态进行补偿；突破对姿态及航向标校时要求载体具备静态条件的限制。

Description

惯导IMU组件相对内环架姿态角的测量装置及测量计算方法

技术领域

本发明涉及导航技术领域，尤其涉及一种惯导IMU组件相对内环架姿态角的测量装置及测量计算方法。

背景技术

双轴惯性导航***中，IMU组件安装在内环架上。为保证载体的姿态、航向和位置的准确性，IMU组件与内环架之间要求有确定的联接关系。当惯导***的IMU组件重复安装或更换时，IMU组件与内环架相对位置可能会发生变化，需要重新标校相互位置关系，对惯导的航向及姿态输出进行补偿。另外在长期工作过程中由于IMU上橡胶减振器老化或其它原因导致的IMU组件与内环架之间的相对姿态发生变化，获得具体变化量并进行补偿修正可提高导航精度。

通常用以下几类方法确定IMU组件重复安装或者更换后的姿态变化：一类是在更换完IMU组件后，惯导***的载体在静止不动的条件下，采用陀螺经纬仪寻北或用经纬仪瞄准已知基准目标得到真北值，再对惯导上的基准镜自准直，以确定惯导航向；使用差分水平仪测惯导上的基准面的倾角，确定惯导的姿态。另一类是通过机构设计，从物理上提高IMU组件重复安装精度，使IMU组件在重复安装或者更换后，其姿态及航向误差在可接受的范围内。

发明内容

本发明针对现有技术中存在的技术问题，提供一种惯导IMU组件相对内环架姿态角的测量装置及测量计算方法，解决现有技术中不能在动态载体上进行标校的问题。

本发明解决上述技术问题的技术方案如下：充分利用双轴惯导的回转轴系及测角单元，通过一个自准直光管以及平面反射镜对IMU姿态及航向进行测量，解算后得到IMU组件相对于轴系内环架的姿态角，得到重复安装或更换后IMU组件的姿态角相对轴系内环架的变化量，以便对惯导的航向及姿态进行补偿；突破对姿态及航向标校时要求载体具备静态条件的限制，提高设备的维修性及适装性；所用自准直光管体积小、携带及安装方便，克服了野外作业的不便，可用于监测长期工作过程中由于橡胶减振器老化形或其它原因导致的IMU组件航向及姿态变化，进行补偿修正，提高导航精度。

一种基于所述的测量装置的惯导IMU组件相对内环架姿态角的测量计算方法，其特征在于，所述测量计算方法包括：

利用所述自准直光管对所述反射镜M₀自准直，通过轴系测角单元得到该状态下方位角ψ₀和俯仰角θ₀；

转动所述所述惯导设备的方位轴和俯仰轴，利用所述自准直光管对所述反射镜M₁自准直，通过所述轴系测角单元得到该状态下的方位角ψ₁和俯仰角θ₁；利用所述自准直光管对所述反射镜M₂自准直，通过所述轴系测角单元得到该状态下的方位角ψ₂和俯仰角θ₂；

根据所述反射镜M₀、反射镜M₁和反射镜M₂的相对方向及各个状态下的方位角和俯仰角计算所述惯导IMU组件相对所述内环架的姿态角。

本发明的有益效果是：充分利用双轴惯导的回转轴系及测角单元，通过一个自准直光管以及平面反射镜对IMU姿态及航向进行测量，解算后得到IMU组件相对于轴系内环架的姿态角，得到重复安装或更换后IMU组件的姿态角相对轴系内环架的变化量，以便对惯导的航向及姿态进行补偿；突破对姿态及航向标校时要求载体具备静态条件的限制，提高设备的维修性及适装性；所用自准直光管体积小、携带及安装方便，克服了野外作业的不便，可用于监测长期工作过程中由于橡胶减振器老化形或其它原因导致的IMU组件航向及姿态变化，进行补偿修正，提高导航精度。

在上述技术方案的基础上，本发明还可以做如下改进。

进一步，所述自准直光管分别对所述反射镜M₀、反射镜M₁和反射镜M₂自准直时，惯导的轴系测角单元分别测量输出各个状态的方位角和俯仰角。

进一步，所述自准直光管对所述反射镜M₀、反射镜M₁或反射镜M₂自准直时，当所述自准直光管的度数不为零时，将所述自准直光管的读数值通过相应运算计入到所述方位角和俯仰角的测角读数中。

进一步，所述根据所述反射镜M₀、反射镜M₁和反射镜M₂的相对方向及各个状态下的方位角和俯仰角计算所述惯导IMU组件相对所述内环架的姿态角的过程中：

定义各个坐标系，所述坐标系包括：所述自准直光管的光管坐标系b、惯导设备的轴系坐标系、反射镜M₀坐标系、反射镜M₁的坐标系和反射镜M₂的坐标系；

通过各个坐标系之间的坐标转换矩阵定义所述反射镜M₀、反射镜M₁和反射镜M₂的相对方向。

进一步，计算所述惯导IMU组件相对所述内环架的姿态角的过程包括：

利用所述自准直光管对所述反射镜M₀自准直时，通过调整光管消除自准直十字丝的像旋，建立所述光管坐标系b与所述反射镜M₀坐标系完全一致的方程，计算所述轴系坐标系到所述光管坐标系b的转换矩阵与方位角ψ₀和俯仰角θ₀的关系；

利用所述自准直光管对所述反射镜M₁自准直时，建立所述反射镜M₁的坐标系与光管坐标系b的相对关系的方程；

利用所述自准直光管对所述反射镜M₂自准直时，建立所述反射镜M₂的坐标系与光管坐标系b的相对关系的方程；

根据转换矩阵所述反射镜M₁的坐标系与光管坐标系b的相对关系的方程以及所述反射镜M₂的坐标系与光管坐标系b的相对关系的方程计算惯导IMU组件坐标系到所述反射镜M₀坐标系的转换矩阵/>根据所述转换矩阵/>计算所述姿态角。

进一步，所述光管坐标系b的坐标原点为所述自准直光管的镜头中心，光管坐标系b的三个坐标轴(x_b，y_b，z_b)，z_b垂直光轴向上，y_b沿光轴方向，x_b轴由右手定则确定；

所述轴系坐标系为o_Ax_Ay_Az_A，o_A位于所述方位轴与所述俯仰轴的交点处，当z_a、x_f转动角为0时，z_A与z_a重合，x_A与x_f重合，y_A轴由右手定则确定；

所述反射镜M₀坐标系为o₀x₀y₀z₀，x₀与x_f平行，y₀与反射镜法线重合，当z_a、x_f转动角为0时，o₀x₀y₀z₀方向与o_Ax_Ay_Az_A各轴方向一致；

所述反射镜M₁的坐标系为o₁x₁y₁z₁，y₁轴与反射镜M₁法线平行；

所述反射镜M₂的坐标系坐标系为o₂x₂y₂z₂，z₂轴与M₂法线平行，各轴方向与o_imux_imuy_imuz_imu平行。

进一步，所述转换矩阵的计算公式为：

进一步，所述反射镜M₁的坐标系与光管坐标系b的相对关系的方程为：

其中，反射镜M₁的坐标系旋转到光管坐标系b的过程中，Δγ为反射镜M₂的坐标系绕y₁轴旋转的角度。

进一步，所述反射镜M₂的坐标系与光管坐标系b的相对关系的方程为：

其中，反射镜M₂的坐标系旋转到光管坐标系b的过程中，Δψ为反射镜M₂的坐标系绕z₂轴旋转的角度。

采用上述进一步方案的有益效果是:通过定义自准直光管、反射镜M₀、反射镜M₁、反射镜M₂以及惯导设备的轴系坐标系，根据各个坐标系的方位关系确定相互之间的坐标转换矩阵，根据各个状态下惯导设备的轴系测角单元测量的方位角和俯仰角以及该坐标转换矩阵建立方程，即可求得惯导IMU组件相对内环架姿态角，计算过程简单快捷；惯导设备的轴系数量可以是两轴，也可以是三轴；当惯导为三轴时，可以固定其中的一轴，采用两轴实现惯导IMU组件相对内环架姿态角的测量计算，也可以使三轴同时作用，通过对计算公式稍加变换，实现惯导IMU组件相对内环架姿态角的测量计算。

附图说明

图1为本发明实施例提供的一种惯导IMU组件相对内环架姿态角的测量装置与惯导设备的结构示意图；

图2为本发明实施例提供的坐标系定义与相对位置关系示意图；

图3为本发明实施例提供的自准直光管对反射镜M₀自准直时坐标系示意图；

图4为本发明实施例提供的自准直光管对反射镜M₁自准直坐标系示意图；

图5为本发明实施例提供的自准直光管对反射镜M₂自准直坐标系示意图。

具体实施方式

以下结合附图对本发明的原理和特征进行描述，所举实例只用于解释本发明，并非用于限定本发明的范围。

现有的惯导IMU组件相对内环架姿态角的标校方法要求安装惯导的载体静止，使用的陀螺经纬仪或经纬仪需调置成水平状态，该类标校方法不能在动态的载体(如行进中舰船或处于系泊状态的舰船)上实施，使用具有较大的局限性。而通过机构设计提高IMU组件重复安装精度时，并不能完全消除重复安装的误差，且无法给出复装和更换后的航向及姿态变化值；对零件加工精度要求高；会增加惯导设备的体积和重量。

如图1所示为本发明提供的一种惯导IMU组件相对内环架姿态角的测量装置与惯导设备的结构示意图，由图1可知，该测量装置包括：自准直光管、反射镜M₀、反射镜M₁和反射镜M₂。惯导设备具有方位轴系和俯仰轴系，能输出方位角和俯仰角。

反射镜M₀设置在惯导设备的内环架的一个侧边的外侧上；反射镜M₀的法线与惯导设备的俯仰轴垂直。

反射镜M₁和反射镜M₂分别设置在惯导IMU组件的两个相邻面上；反射镜M₁和反射镜M₂的法线相互垂直。

转动惯导设备的方位轴和俯仰轴，能使自准直光管分别对反射镜M₀、反射镜M₁和反射镜M₂自准直。

具体的，架设自准直光管时，该自准直光管可以直接或者通过转接固定安装在双轴惯导设备的外壳体的基座上。

进一步的，自准直光管分别对反射镜M₀、反射镜M₁和反射镜M₂自准直时，惯导的轴系测角单元分别测量输出各个状态的方位角和俯仰角。

本发明实施例还提供一种基于本发明实施例提供的一种测量装置的惯导IMU组件相对内环架姿态角的测量计算方法，该测量计算方法包括：

利用自准直光管对反射镜M₀自准直，通过轴系测角单元得到该状态下方位角ψ₀和俯仰角θ₀。

转动惯导设备的方位轴和俯仰轴，利用自准直光管对反射镜M₁自准直，通过轴系测角单元得到该状态下的方位角ψ₁和俯仰角θ₁；利用自准直光管对反射镜M₂自准直，通过轴系测角单元得到该状态下的方位角ψ₂和俯仰角θ₂。

根据反射镜M₀、反射镜M₁和反射镜M₂的相对方向及各个状态下的方位角和俯仰角计算惯导IMU组件相对内环架的姿态角。

本发明提供一种惯导IMU组件相对内环架姿态角的测量装置及测量计算方法，充分利用双轴惯导的回转轴系及测角单元，通过一个自准直光管以及平面反射镜对IMU姿态及航向进行测量，解算后得到IMU组件相对于轴系内环架的姿态角，得到重复安装或更换后IMU组件的姿态角相对轴系内环架的变化量，以便对惯导的航向及姿态进行补偿；突破对姿态及航向标校时要求载体具备静态条件的限制，提高设备的维修性及适装性；所用自准直光管体积小、携带及安装方便，克服了野外作业的不便，可用于监测长期工作过程中由于橡胶减振器老化形或其它原因导致的IMU组件航向及姿态变化，进行补偿修正，提高导航精度。

实施例1

本发明提供的实施例1为本发明提供的一种惯导IMU组件相对内环架姿态角的测量计算方法的实施例，该测量计算方法的实施例基于本发明实施例提供的一种惯导IMU组件相对内环架姿态角的测量装置，惯导设备的轴系结构形式可以是外方位、内俯仰式(经纬仪式)，也可以是外俯仰、内方位式。

惯导设备的轴系数量可以是两轴，也可以是三轴。当惯导为三轴时，可以固定其中的一轴，采用两轴实现惯导IMU组件相对内环架姿态角的测量计算，也可以使三轴同时作用，通过对计算公式稍加变换，实现惯导IMU组件相对内环架姿态角的测量计算。

具体的，该测量计算方法的实施例包括：

定义各个坐标系，如图2所示为本发明实施例提供的坐标系定义与相对位置关系示意图，如图3所示为本发明实施例提供的自准直光管对反射镜M₀自准直时坐标系示意图，如图4所示为本发明实施例提供的自准直光管对反射镜M₁自准直坐标系示意图，如图5所示为本发明实施例提供的自准直光管对反射镜M₂自准直坐标系示意图，结合图2-图5可知该坐标系包括：惯导设备的方位轴的方位环坐标系a、自准直光管的光管坐标系b、惯导设备的俯仰轴的俯仰环坐标系f、惯导设备的轴系坐标系、反射镜M₀坐标系、反射镜M₁的坐标系、反射镜M₂的坐标系和IMU组件坐标系。

具体的，惯导设备的方位轴的方位环坐标系a与惯导设备的方位轴固联，z_a轴沿方位轴向上，方位环坐标系a只能绕z_a旋转，产生方位角ψ。

光管坐标系b的坐标原点为自准直光管的镜头中心，光管坐标系b的三个坐标轴(x_b，y_b，z_b)，z_b垂直光轴向上，y_b沿光轴方向，x_b轴由右手定则确定。

俯仰环坐标系f与俯仰轴固联，x_f轴沿俯仰轴方向，f系只能绕x_f旋转，产生俯仰角θ。

轴系坐标系为o_Ax_Ay_Az_A，o_A位于方位轴与俯仰轴的交点处，当z_a、x_f转动角为0时，z_A与z_a重合，x_A与x_f重合，y_A轴由右手定则确定。

反射镜M₀坐标系为o₀x₀y₀z₀，x₀与x_f平行，y₀与反射镜法线重合，当z_a、x_f转动角为0时，o₀x₀y₀z₀方向与o_Ax_Ay_Az_A各轴方向一致。

反射镜M₁的坐标系为o₁x₁y₁z₁，y₁轴与反射镜M₁法线平行。

反射镜M₂的坐标系坐标系为o₂x₂y₂z₂，z₂轴与M₂法线平行，各轴方向与o_imux_imuy_imuz_imu平行。

IMU组件坐标系定义为o_imux_imuy_imuz_imu，位于IMU的中心。

通过各个坐标系之间的坐标转换矩阵定义反射镜M₀、反射镜M₁和反射镜M₂的相对方向。

各个轴系基本旋转对应的坐标转换矩阵为：

方位轴α相对坐标系A转动ψ，坐标变换为：

俯仰轴f转动θ，坐标变换为：

横滚轴r转动γ，坐标变换为：

基座与光管固联。轴系坐标系A经过有限次旋转后，与光管坐标系一致，设其转换矩阵为设IMU坐标系到M₀坐标系的转换矩阵为/>

利用自准直光管对反射镜M₀自准直，通过轴系测角单元得到该状态下方位角ψ₀和俯仰角θ₀，通过调整光管消除自准直十字丝的像旋，建立光管坐标系b与反射镜M₀坐标系完全一致的方程，计算轴系坐标系到光管坐标系b的转换矩阵与方位角ψ₀和俯仰角θ₀的关系。

具体的，转动方位轴a和俯仰轴f，使光管内环架上的反射镜M₀按图3状态自准直，此时y₀与y_b重合，轴系的测角读数为[ψ₀ θ₀ 0]，同时可通过调整光管消除自准直十字丝的像旋，使光管坐标系b与反射镜M₀坐标系完全一致。可得到：

对上述式(5)求解可以得到转换矩阵的计算公式为：

转动惯导设备的方位轴和俯仰轴，利用自准直光管对反射镜M₁自准直，通过轴系测角单元得到该状态下的方位角ψ₁和俯仰角θ₁，建立反射镜M₁的坐标系与光管坐标系b的相对关系的方程；利用自准直光管对反射镜M₂自准直，通过轴系测角单元得到该状态下的方位角ψ₂和俯仰角θ₂，建立反射镜M₂的坐标系与光管坐标系b的相对关系的方程。

具体的，转动方位轴系a和俯仰轴系f，使光管与IMU组件上的反射镜M₁按图4状态自准直。此时，y_b与y₁的负方向重合，测角读数为[ψ₁ θ₁ 0]。

理论上，反射镜M₁的坐标系绕轴旋转角度Δγ消除像旋，然后绕轴旋转180°时即可与光管坐标系b一致。因此有：

即可以得到反射镜M₁的坐标系与光管坐标系b的相对关系的方程为：

其中，反射镜M₁的坐标系旋转到光管坐标系b的过程中，Δγ为反射镜M₂的坐标系绕y₁轴旋转的角度。

具体的，转动方位轴系a和俯仰轴系f，使光管与IMU组件上的反射镜M₂按图5状态自准直。此时，y_b与z₂的负方向重合，测角读数为[ψ₂ θ₂ 0]。

理论上,反射镜M₂的坐标系再绕z₂轴旋转角度Δψ消除像旋，再绕x₂轴旋转-90°，可与光管坐标系b完全一致，因此有：

即可以得到反射镜M₂的坐标系与光管坐标系b的相对关系的方程为：

其中，反射镜M₂的坐标系旋转到光管坐标系b的过程中，Δψ为反射镜M₂的坐标系绕z₂轴旋转的角度。

根据转换矩阵反射镜M₁的坐标系与光管坐标系b的相对关系的方程以及反射镜M₂的坐标系与光管坐标系b的相对关系的方程计算惯导IMU组件坐标系到反射镜M₀坐标系的转换矩阵/>根据转换矩阵/>计算姿态角。

反射镜M₁的坐标系与光管坐标系b的相对关系的方程以及反射镜M₂的坐标系与光管坐标系b的相对关系的方程含有Δγ、Δψ以及所包含的IMU组件相对内环架姿态角φ_x、φ_y、φ_z共5个未知量，故可求出/>具体值。

其中，设IMU组件相对内环架姿态角φ_x、φ_y、φ_z均为小角度，惯导IMU组件坐标系到反射镜M₀坐标系的转换矩阵为：

在双轴惯导***中，在图示的坐标系设置下，对反射镜M₀、M₁、M₂自准直时，轴系可能存在其它的对应状态，具体取决于反射镜M₀、M₁、M₂与光管的轴系坐标系的轴向正方向的设定，可按上述分析方法列出对应的方程，得到相应的解。

进一步的，自准直光管对反射镜M₀、反射镜M₁或反射镜M₂自准直时，当自准直光管的度数不为零时，将自准直光管的读数值通过相应运算计入到方位角和俯仰角的测角读数中。

并通过旋转自准直光管，使自准直十字光与光管分化板上的十字丝重合，消除像旋。

以上所述仅为本发明的较佳实施例，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (6)

1.一种基于测量装置的惯导IMU组件相对内环架姿态角的测量计算方法，其特征在于，所述测量装置包括：自准直光管、反射镜M₀、反射镜M₁和反射镜M₂；

所述反射镜M₀设置在惯导设备的内环架的一个侧边的外侧上；

所述反射镜M₁和反射镜M₂分别设置在惯导IMU组件的两个相邻面上；

转动所述惯导设备的方位轴和俯仰轴，能使所述自准直光管分别对所述反射镜M₀、反射镜M₁和反射镜M₂自准直；

所述自准直光管分别对所述反射镜M₀、反射镜M₁和反射镜M₂自准直时，惯导设备的轴系测角单元分别测量输出各个状态的方位角和俯仰角；

所述测量计算方法包括：

利用所述自准直光管对所述反射镜M₀自准直，通过轴系测角单元得到该状态下方位角ψ₀和俯仰角θ₀；

转动所述惯导设备的方位轴和俯仰轴，利用所述自准直光管对所述反射镜M₁自准直，通过所述轴系测角单元得到该状态下的方位角ψ₁和俯仰角θ₁；利用所述自准直光管对所述反射镜M₂自准直，通过所述轴系测角单元得到该状态下的方位角ψ₂和俯仰角θ₂；

根据所述反射镜M₀、反射镜M₁和反射镜M₂的相对方向及各个状态下的方位角和俯仰角计算所述惯导IMU组件相对所述内环架的姿态角；

所述根据所述反射镜M₀、反射镜M₁和反射镜M₂的相对方向及各个状态下的方位角和俯仰角计算所述惯导IMU组件相对所述内环架的姿态角的过程中：

定义各个坐标系，所述坐标系包括：所述自准直光管的光管坐标系b、惯导设备的轴系坐标系、反射镜M₀坐标系、反射镜M₁的坐标系和反射镜M₂的坐标系；

通过各个坐标系之间的坐标转换矩阵定义所述反射镜M₀、反射镜M₁和反射镜M₂的相对方向；

计算所述惯导IMU组件相对所述内环架的姿态角的过程包括：

利用所述自准直光管对所述反射镜M₀自准直时，通过调整光管消除自准直十字丝的像旋，建立所述光管坐标系b与所述反射镜M₀坐标系完全一致的方程，计算所述轴系坐标系到所述光管坐标系b的转换矩阵与方位角ψ₀和俯仰角θ₀的关系；

利用所述自准直光管对所述反射镜M₁自准直时，建立所述反射镜M₁的坐标系与光管坐标系b的相对关系的方程；

利用所述自准直光管对所述反射镜M₂自准直时，建立所述反射镜M₂的坐标系与光管坐标系b的相对关系的方程；

根据转换矩阵所述反射镜M₁的坐标系与光管坐标系b的相对关系的方程以及所述反射镜M₂的坐标系与光管坐标系b的相对关系的方程计算惯导IMU组件坐标系到所述反射镜M₀坐标系的转换矩阵/>根据所述转换矩阵/>计算所述姿态角。

2.根据权利要求1所述的测量计算方法，其特征在于，所述自准直光管对所述反射镜M₀、反射镜M₁或反射镜M₂自准直时，当所述自准直光管的度数不为零时，将所述自准直光管的读数值通过相应运算计入到所述方位角和俯仰角的测角读数中。

3.根据权利要求1所述的测量计算方法，其特征在于，所述光管坐标系b的坐标原点为所述自准直光管的镜头中心，光管坐标系b的三个坐标轴(x_b，y_b，z_b)，z_b垂直光轴向上，y_b沿光轴方向，x_b轴由右手定则确定；

所述轴系坐标系为o_Ax_Ay_Az_A，o_A位于所述方位轴与所述俯仰轴的交点处，当z_a、x_f转动角为0时，z_A与z_a重合，x_A与x_f重合，y_A轴由右手定则确定；

所述反射镜M₀坐标系为o₀x₀y₀z₀，x₀与x_f平行，y₀与反射镜法线重合，当z_a、x_f转动角为0时，o₀x₀y₀z₀方向与o_Ax_Ay_Az_A各轴方向一致；

所述反射镜M₁的坐标系为o₁x₁y₁z₁，y₁轴与反射镜M₁法线平行；

所述反射镜M₂的坐标系为o₂x₂y₂z₂，z₂轴与M₂法线平行，各轴方向与o_imux_imuy_imuz_imu平行。

4.根据权利要求3所述的测量计算方法，其特征在于，所述转换矩阵C_Ab的计算公式为：

5.根据权利要求3所述的测量计算方法，其特征在于，所述反射镜M₁的坐标系与光管坐标系b的相对关系的方程为：

其中，反射镜M₁的坐标系旋转到光管坐标系b的过程中，Δγ为反射镜M₂的坐标系绕y₁轴旋转的角度。

6.根据权利要求3所述的测量计算方法，其特征在于，所述反射镜M₂的坐标系与光管坐标系b的相对关系的方程为：

其中，反射镜M₂的坐标系旋转到光管坐标系b的过程中，Δψ为反射镜M₂的坐标系绕z₂轴旋转的角度。