CN112464481A - 机器人用摆线针轮减速机的动态传动精度数值计算方法 - Google Patents

Abstract

一种机器人用摆线针轮减速机的动态传动精度数值计算方法，首先对其各个零部件的关键误差进行定义并进行测、算来确定关键误差，然后建立动态传动误差的力学模型，然后根据误差力学模型计算在零件接触处所产生的位移，进一步的确定各零件的微位移在轴或轴承以及轮齿啮合处所产生的位移，再根据上述误差和位移确定各零件在各个零件接触处的作用力；建立其动态传动误差数学模型；通过计算，即可确定其输出轴在任意时刻的实际转角θ_c、动态传动误差Δθ_c，该方法综合考虑各种误差、和接触间隙、零件接触变形、旋转零件的惯性载荷等非线性因素，更接近该减速机实况，得到的传动误差更接近实际情况，能够更准确的指导该减速机的零部件生产和装配过程。

Description

机器人用摆线针轮减速机的动态传动精度数值计算方法

技术领域

本发明涉及机器人用摆线针轮减速机的技术领域，特别是涉及一种机器人用摆线针轮减速机的动态传动精度数值计算方法。

背景技术

摆线针轮传动是采用摆线轮和针轮啮合的少齿差行星传动，该传动机构是在二十世纪三十年代初在德国首先研制成功，发明者LorenzBraren于1931年在慕尼黑创建了赛古乐股份有限公司，并开始制造和销售摆线针轮减速机。该传动机构具有传动比大、传动效率高、体积小、重量轻、承载能力大、运行平稳、噪音低、寿命长等特点。

由于摆线针轮减速机零部件制造误差、装配误差以及传动过程中温度变形和弹性变形的存在,输入输出传动误差在所难免。传动误差是指输出轴实际转角与理论转角之间的偏差值，是评价摆线针轮减速机传动精度的重要指标。

传动误差是指：当输入轴单向旋转时，输出轴转角的实际值与理论值的差值。对于行星架为输出轴的摆线针轮减速机，若假设输入轴(即太阳轮)输入端匀速转动且其转角为θ_s、输出轴(即行星架)实际转角为θ_c、***传动比为i_z，则该***的传动误差为：Δθ_c＝θ_c-θ_s/i_z。传动精度即是前面提到的传动误差，图1为传动误差的波形示意图。

传动精度的确定对于机器人用摆线针轮减速机的零部件生产和装配过程具有现实的指导意义，能够提前确定零部件的优化配合关系，对采用互补性好的零部件搭配出性能更优的减速机具有重大的意义。

发明内容

本发明的目的是为了解决上述问题，提供一种机器人用摆线针轮减速机的动态传动精度数值计算方法，具体来说是提供一种机器人用三曲柄摆线针轮减速机的动态传动精度数值计算方法。

本发明的技术方案是：该方法的基本原理是：由于其传动***中各零件的加工误差、安装误差、轮齿啮合间隙、轴承间隙、零件接触变形、旋转零件的惯性载荷等非线性因素的存在，而使零件的实际质心位置及其转角偏离了理想位置，且其偏离量用线位移、角位移来描述，并将这些线位移、角位移统称为微位移；同时将零件间的轴承或轴支承、轮齿啮合等接触处用弹簧进行等效，并用轴承或轴刚度、轮齿啮合刚度物理量进行描述。通过分析该传动***中各零件在理想位置时的受力状况，依据D'Alembert原理，建立该***的动力学微分方程组，即动态传动误差的数值计算数学模型；采用Wilson-θ法、Newmark法等非线性直接积分法求解微分方程组；然后进行编程，并利用计算机进行计算，确定该减速机输出轴在任意时刻的实际转角θ_c，进而确定其动态传动误差Δθ_c。

具体的该方法包括如下步骤：

S1.根据待仿真计算的减速机的设计参数来确定三曲柄摆线针轮减速机的基本结构参数，

具体包括如下参数：太阳轮齿数Z_s、行星轮齿数Z_p、摆线轮齿数Z_b、针轮齿数Z_r、渐开线齿轮模数m(mm)、渐开线齿轮压力角α(°)、太阳轮轮齿变位系数x_cs、行星轮轮齿变位系数x_cp、行星轮齿宽B_z(mm)、摆线轮轮齿宽度B_c(mm)、曲柄轴偏心距e(mm)、针齿销半径r_d(mm)、针齿销或针齿壳齿槽分布圆的理论半径r_z(mm)、2个摆线轮、3个行星轮、3个曲柄轴；

S2.定义该减速机中的太阳轮、3个行星轮、2个摆线轮、3个曲柄轴、行星架、针齿销、针齿壳及滚子轴承的关键误差，然后通过高精度测量仪来测量，并根据测量结果运算来确定这些关键误差；

上述各个零件关键误差的定义如下：

1)太阳轮的关键误差的定义

太阳轮的关键误差是指：太阳轮的基圆偏心误差(E_s,β_s)，太阳轮装配误差为(A_s,γ_s)；其中：E_s、A_s分别表示其基圆偏心误差、装配误差的大小，量纲(um)；β_s、γ_s分别表示其基圆偏心误差、装配误差的方向，量纲(°)；

2)行星轮的关键误差定义

行星轮的关键误差是指：3个行星轮的基圆偏心误差分别为(E_pi,β_pi)，(i＝1,2,3)；其中：E_pi(i＝1,2,3)分别表示行星轮1、2、3的基圆偏心误差大小，量纲(um)；β_pi(i＝1,2,3)分别表示行星轮1、2、3的基圆偏心误差方向，量纲(°)；

3)三曲柄摆线轮的关键误差的定义

三曲柄摆线轮的关键误差是指：摆线轮1、2上的曲柄轴孔1、2、3的偏心误差(E_hji,β_hji)(j＝1,2；i＝1,2,3)；摆线轮1、2上的轮齿齿槽偏差R_jk(j＝1,2)、齿距偏差P_jk(j＝1,2)；其中：E_hji表示曲柄轴孔的偏心误差大小，量纲(um)；β_hji表示曲柄轴孔的偏心误差方向，量纲(°)；R_jk、P_jk分别表示摆线轮齿的齿槽偏差、齿距偏差大小，量纲(um)；

4)针齿壳的关键误差的定义

针齿壳的关键误差是指：Z_r个针齿齿槽的平均半径误差δ_cr(um)，针齿壳上Z_r个齿槽圆心的齿槽偏差(简称针齿齿槽偏差)R_k(k＝1,2,…,Z_r)、齿距偏差(简称针轮齿距偏差)P_k(k＝1,2,…,Z_r)；其中：R_k、P_k分别表示第k个针齿的齿槽偏差、齿距偏差大小，量纲(um)；

5)曲柄轴的关键误差的定义

曲柄轴的关键误差是指：曲柄轴1、2、3上的偏心凸轮1、2的偏心误差(E_cji,β_cji)(j＝1,2；i＝1,2,3)；其中：E_cji表示偏心凸轮的偏心误差大小，量纲(um)；β_cji表示偏心凸轮的偏心误差方向，量纲(°)；

6)行星架的关键误差的定义

行星架的关键误差是指：行星架上曲柄轴孔1、2、3的偏心误差(E_cai,β_cai)(i＝1,2,3)，行星架上安装轴承的轴颈偏心误差(A_c,γ_c)；其中：E_cai、A_c表示曲柄轴孔、轴颈的偏心误差大小，量纲(um)；β_cai、γ_c表示曲柄轴孔、轴颈的偏心误差方向，量纲(°)；

7)针齿销的关键误差的定义

针齿销的关键误差是指：Z_r个针齿销的平均直径误差δ_zr，量纲(um)；

8)轴承的关键误差的定义

在三曲柄摆线针轮减速机中，摆线轮1、2与曲柄轴1、2、3间的轴承采用滚子轴承(图12)，其轴承间隙分别为δ_bji(j＝1,2；i＝1,2,3)，量纲(um)；

行星架与曲柄轴1、2、3间的轴承采用圆锥滚子轴承，其轴承间隙分别为δ_xi(i＝1,2,3)，量纲(um)；

行星架与针齿壳间的轴承采用角接触球轴承，其轴承间隙为δ_ca，量纲(um)；

S3.建立计算三曲柄摆线针轮减速机动态传动误差的力学模型，具体如下

1)在力学模型中，将零件间的轴承或轴支承、轮齿啮合等接触处用弹簧进行等效，并用轴承或轴刚度、轮齿啮合刚度物理量进行描述；太阳轮与行星轮i(i＝1,2,3)间的轮齿啮合刚度k_i(N/um)(i＝1,2,3)、曲柄轴i(i＝1,2,3)与摆线轮j(j＝1,2)轴孔间的轴承支承刚度k_ji(N/um)(j＝1,2；i＝1,2,3)、曲柄轴i(i＝1,2,3)和行星架轴孔间的轴承支承刚度k_bi(N/um)(i＝1,2,3)、行星架与针齿壳间轴承支承刚度k_ca(N/um)、摆线轮与针齿间的啮合刚度k_jk(N/um)(k＝1,2,…,Z_r)、太阳轮轴的支承刚度k_s(N/um)；以上刚度的确定方法为：k_i采用轮齿弯曲变形来确定；k_s通过计算太阳轮轴的弯曲变形来求得；而k_ji、k_bi、k_ca、k_jk接触刚度则采用Palmgren公式确定。

Palmgren公式为：

其中，

式中ν₁,ν₂——弹性体1、2的泊松比；

E₁,E₂——弹性体1、2的弹性模量(MPa)；

δ——两弹性体间的接触变形量(mm)；

l——两弹性体间的接触长度(mm)；

F——两弹性体间的载荷(N)。

若用k₀表示两弹性体间的接触刚度(N/mm)，则

F＝k₀δ (2)

依据式(1)、(2)可推导出两弹性体间的接触刚度k₀为：

由式(3)可知，两弹性体间的接触刚度k₀主要取决于两弹性体的材料、接触长度及其作用载荷；

2)确定力学模型的静、动坐标系；以太阳轮轴(或行星架、针齿壳)的理论中心O为原点，垂直减速机轴线的断面为平面静坐标系xoy。从输入端即太阳轮端开始，靠近太阳轮的摆线轮编号j＝1，另一个摆线轮编号j＝2；以摆线轮的理论质心O_j为原点，以摆线轮j(j＝1,2)的偏心方向为η_j轴，拟定太阳轮轴逆时针旋转，则将垂直于η_j轴并沿其公转方向转动90°为ξ_j轴，建立摆线轮j的动坐标系η_jO_jξ_j；在动力学建模过程中，取j＝1的摆线轮η_j轴在起始位置时与静坐标系x轴方向一致；

3)在力学模型，将各弹簧设置在各零件坐标轴的正方向接触处或轮齿啮合处，且设定使弹簧受拉为正、受压为负；φ_i表示摆线轮(或行星架)上的曲柄轴轴孔的相对位置，取φ_i＝2π(i-1)/3(i＝1,2,3)，ψ_j表示2个摆线轮的理论质心O_j的相对位置，取ψ_j＝(j-1)π(j＝1,2)；

S4.依据S2确定的三曲柄摆线针轮减速机中各零件制造误差、间隙，并结合S3所建立的力学模型，确定该传动***在轴或轴承支承处、轮齿啮合处所产生的位移；具体如下：

1)确定太阳轮的基圆偏心误差、装配误差分别在其轮齿啮合处、轴支承处所产生的位移。

若太阳轮的基圆偏心误差为(E_s,β_s)，则其在轮齿啮合处所产生的位移为：

e_si＝E_scos(θ_s+β_s-A_i) (4)

式中A_i＝θ_c+φ_i+π/2-α′，θ_c＝θ_s/i_z

α′——太阳轮和行星轮的啮合角(°)；

θ_c——行星架的理论转角(°)。

若太阳轮装配误差为(A_s,γ_s)，则其在太阳轮轴支承处x、y方向上所产生的位移分别为:

e_sx＝A_scosγ_s (5)

e_sy＝A_ssinγ_s (6)

2)确定行星轮的基圆偏心误差在其轮齿啮合处所产生的位移；3个行星轮的基圆偏心误差(E_pi,β_pi)(i＝1,2,3)在轮齿啮合处所产生的位移为:

e_pi＝-E_picos(β_pi-θ_p-A_i)(i＝1,2,3) (7)

式中θ_p——行星轮的理论自转角(°)；

3)确定摆线轮上的曲柄轴孔偏心误差在其轴承支承处所产生的位移，及其齿槽偏差、齿距偏差在轮齿啮合处所产生的位移；

定义O_ji表示摆线轮j(j＝1,2)上曲柄轴孔i(i＝1,2,3)的圆心，R_dc表示摆线轮上曲柄轴孔圆心所在圆周的半径。

若摆线轮曲柄轴孔的偏心误差为：(E_hji,β_hji)(j＝1,2；i＝1,2,3)，则其在轴承支承处静坐标系x、y方向上所产生的位移分别为：

e_hxji＝-E_hjicos(θ_c+φ_i+β_hji) (8)

e_hyji＝-E_hjisin(θ_c+φ_i+β_hji) (9)

定义摆线轮的齿槽偏差R_jk、齿距偏差P_jk，O表示针轮中心，O_j表示摆线轮j(j＝1,2)中心，P表示摆线轮j与针轮的节点；

若摆线轮j上的齿槽偏差为R_jk(j＝1,2)、齿距偏差为P_jk(j＝1,2)，则其在轮齿啮合处所产生的位移分别为：

式中α_jk——第k个针齿中心与第j个摆线轮节点连线与η_j轴正方向夹角(°)，其中k＝1,2,…,Z_r；

φ_djk——第k个针齿中心与第j个摆线轮中心O_j连线与η_j轴正方向的夹角(°)

4)确定针齿壳上齿槽圆心的齿槽偏差、齿距偏差在摆线轮齿啮合处所产生的位移；

定义针齿壳上齿槽圆心的齿槽偏差(简称针轮齿槽偏差)R_k、齿距偏差(简称针轮齿槽偏差)P_k，其中：O表示针轮中心，O_j表示摆线轮j(j＝1,2)中心，P表示摆线轮j与针轮的节点。

若针轮的齿槽偏差为R_k(k＝1,2,…,Z_r)、齿距偏差为P_k(k＝1,2,…,Z_r)，则其在轮齿啮合处所产生的位移分别为：

e_Rk＝-R_kcos(α_jk-φ_jk) (12)

式中φ_jk——第k个针齿半径方向与第j个摆线轮η_j轴正方向间的夹角(°)；

5)确定曲柄轴偏心凸轮的偏心误差在其轴承支承处所产生的位移；

定义曲柄轴i的偏心凸轮j偏心误差，O_ji表示摆线轮j(j＝1,2)上曲柄轴孔i(i＝1,2,3)的圆心，O_pj表示曲柄轴i(i＝1,2,3)上与摆线轮j(j＝1,2)相对应的曲柄轴回转中心；

若曲柄轴i上偏心凸轮j的偏心误差为(E_cji,β_cji)(j＝1,2；i＝1,2,3)，则其在x、y方向上所产生的位移分别为：

e_cxji＝E_cjicos(θ_p+ψ_j+β_cji) (14)

e_cyji＝-E_cjisin(θ_p+ψ_j+β_cji) (15)

6)确定行星架上曲柄轴孔、轴颈的偏心误差在轴承支承处所产生的位移；

定义行星架曲柄轴孔i的偏心误差，其中O_ci表示行星架上曲柄轴孔i(i＝1,2,3)的圆心，T_out表示作用在行星架上的负载转矩；

若行星架曲柄轴孔i的偏心误差为(E_cai,β_cai)(i＝1,2,3)，则它在支承处x、y方向上所产生的位移分别为：

e_caxi＝-E_caicos(θ_c+φ_i+β_cai) (16)

e_cayi＝-E_caisin(θ_c+φ_i+β_cai) (17)

若假设行星架的轴颈偏心误差为(A_c,γ_c)，则它在支承处x、y方向上所产生的位移分别为：

e_cx＝A_ccosγ_c (18)

e_cy＝A_csinγ_c (19)

7)确定针齿销的直径误差、针齿壳上的齿槽半径误差在摆线轮齿啮合处形成的间隙，并确定该间隙在摆线轮齿啮合处所产生的位移；

定义O表示针齿销的理论分布圆心或针齿壳上齿槽理论圆心的分布圆圆心，δ_jk表示摆线轮齿的啮合间隙；

若针齿销的平均直径误差δ_zr(um)、针齿齿槽的平均半径误差δ_cr(um)，则其在摆线轮齿啮合处所产生的间隙δ_jk及其所产生的位移e_jk分别为：

δ_jk＝δ_zr+δ_cr (20)

e_jk＝-δ_jk (21)

8)各轴承间隙在其支承处所产生的位移

若摆线轮j曲柄轴孔i处的滚子轴承间隙为δ_bji(j＝1,2；i＝1,2,3)，则它在支承处所产生的位移为：

e_bji＝-δ_bji (22)

若行星架在曲柄轴孔i处的圆锥滚子轴承间隙为δ_xi(i＝1,2,3)，则它在支承处所产生的位移为：

e_xi＝-δ_xi (23)

若行星架与针齿壳间的角接触球轴承间隙为δ_ca，则它在支承处所产生的位移为：

e_ca＝-δ_ca (24)

S5.确定三曲柄摆线针轮减速机中各零件的微位移在轴或轴承以及轮齿啮合处所产生的位移；具体如下：

在分析三曲柄摆线针轮减速机中各零件的微位移在接触处所产生的位移时，假设针齿壳固定不动，行星轮与曲柄轴固结在一起，且太阳轮、带曲柄轴的行星轮、摆线轮及行星架的线位移方向与静坐标系或动坐标系的坐标轴正向相同、角位移方向与设计拟定方向相同；

1)太阳轮的微位移在轮齿啮合处、太阳轮轴支承处所产生的位移；

若太阳轮的微位移为x_s、y_s、θ_sa-θ_s，则其在轮齿啮合处所产生的位移为：

s_i＝x_scosA_i+y_ssinA_i+R_bs(θ_sa-θ_s) (25)

式中R_bs——表示太阳轮的基圆半径(mm)；

在轴支承处x、y方向上所产生的位移为：

s_x＝x_s (26)

s_y＝y_s (27)

2)行星轮及曲柄轴的微位移在其轮齿啮合处、摆线轮滚子轴承支承处以及行星架圆锥滚子轴承支承处所产生的位移；

若令行星轮i(i＝1,2,3)的微位移为x_pi、y_pi和θ_pi-θ_p，则其在轮齿啮合处所产生的位移为：

s_pi＝-x_picosA_i-y_pisinA_i-R_bp(θ_pi-θ_p) (28)

式中R_bp——行星轮的基圆半径(mm)；

θ_pi——行星轮的实际自转角(°)。

在摆线轮滚子轴承支承处x、y方向上所产生的位移为：

s_jix＝x_pi-e(θ_pi-θ_p)sin(θ_p+ψ_j) (29)

s_jiy＝y_pi-e(θ_pi-θ_p)cos(θ_p+ψ_j) (30)

式中e——曲柄轴的偏心距(mm)。

在行星架圆锥滚子轴承支承处x、y方向上所产生的位移为：

s_ix＝x_pi (31)

s_iy＝y_pi (32)

3)摆线轮的微位移在其轮齿啮合处、曲柄轴滚子轴承支承处所产生的位移；

设摆线轮j(j＝1,2)的微位移分别为η_dj、θ_dj-θ_c和θ_Oj-θ_p，其中η_dj表示摆线轮的线微位移，θ_dj-θ_c表示摆线轮的自转角微位移，θ_Oj-θ_p表示摆线轮的公转角微位移；

则摆线轮j(j＝1,2)的微位移在其轮齿啮合处所产生的位移为：

s_jk＝η_djcosα_jk-R_d(θ_dj-θ_c)sinα_jk+e(θ_Oj-θ_p)sinα_jk (33)

式中R_d——摆线轮的节圆半径(mm)；

在曲柄轴滚子轴承支承处x、y方向上所产生的位移分别为：

s_cjix＝R_dc(θ_dj-θ_c)sin(θ_c+φ_i)+e(θ_Oj-θ_p)sin(θ_p+ψ_j)-η_djcos(θ_p+ψ_j) (34)

s_cjiy＝-R_dc(θ_dj-θ_c)cos(θ_c+φ_i)+η_djsin(θ_p+ψ_j)+e(θ_Oj-θ_p)cos(θ_p+ψ_j) (35)

式中R_dc——太阳轮与行星轮间的中心距(mm)；

4)行星架的微位移在曲柄轴圆锥滚子轴承支承处、针齿壳角接触球轴承支承处所产生的位移；

设行星架的三个微位移为x_ca、y_ca和θ_ca-θ_c，则其在曲柄轴圆锥滚子轴承支承处x、y方向上所产生的位移分别为：

s_bix＝-x_ca+R_dc(θ_ca-θ_c)sin(θ_c+φ_i) (36)

s_biy＝-y_ca-R_dc(θ_ca-θ_c)cos(θ_c+φ_i) (37)

在针齿壳角接触球轴承支承处x、y方向上所产生的位移(参考图23)分别为：

s_cax＝x_ca (38)

s_cay＝y_ca (39)

S6.确定三曲柄摆线针轮减速机中，各零件在轴或轴承支承处、轮齿啮合处的作用力；

依据上述步骤S4、S5，确定的各零件制造误差、间隙及微位移在其支承、轮齿啮合处所产生的位移，同时考虑在理想状态时，各零件所传递的理论载荷，从而获得各零件在轴或轴承、轮齿啮合处的作用力。若作用力为正，则表示两物体间的接触力受压，反之受拉

1)太阳轮在其支承处x、y方向上的作用力分别为F_sx(N)、F_sy(N)，如公式(40)、(41)所示；

F_sx＝k_s(s_x-e_sx)＝k_s(x_s-e_sx) (40)

F_sy＝k_s(s_y-e_sy)＝k_s(y_s-e_sy) (41)

2)太阳轮与行星轮i(i＝1,2,3)间的轮齿啮合力为F_i(N)，如公式(42)所示；

式中F_i0——表示太阳轮与行星轮间的理论轮齿啮合力(N)；

若公式(42)中[]内数值≤0，则表示作用力为拉力，说明太阳轮与行星轮间有间隙存在而没有接触，此时取F_i的值为零；

3)摆线轮j(j＝1,2)与曲柄轴i(i＝1,2,3)接触处x、y方向上的作用力分别为F_jix(N)、F_jiy(N)，如公式(43)、(44)所示；

式中F_jix0——表示理想状态时，摆线轮j(j＝1,2)与曲柄轴i(i＝1,2,3)

间的滚子轴承在x方向上所承受的载荷(N)；

式中F_jiy0——表示理想状态时，摆线轮j(j＝1,2)与曲柄轴i(i＝1,2,3)

间的滚子轴承在y方向上所承受的载荷(N)；

公式(43)、(44)中±号是依据摆线轮与曲柄轴接触处的变形量大小进行确定；

4)摆线轮j(j＝1,2)轮齿与第k(k＝1,2,…,Z_r)个针齿间的作用力为F_jk(N)，如公式(45)所示。

式中F_jk0——表示理想状态时摆线轮j(j＝1,2)的轮齿啮合力(N)；

若F_jk≤0，则表示轮齿啮合力为拉力，说明摆线轮轮齿与针齿之间有间隙存在而没有接触，则取F_ijk＝0；

5)行星架与曲柄轴i(i＝1,2,3)接触处x、y方向上的作用力分别为F_cix(N)、F_ciy(N)，如公式(46)、(47)所示；

式中F_ci0——表示理想状态时行星架与曲柄轴i(i＝1,2,3)间的作用力(N)。

公式(46)、(47)中±号是依据行星架与曲柄轴接触处变形量的大小进行确定。

6)行星架与针齿壳支承处x、y方向上的作用力分别为F_cax(N)、F_cay(N)，如公式(48)、(49)所示。

F_cax＝k_ca(s_cax-e_cx±e_ca)＝k_ca(x_ca-e_cx±e_ca) (48)

F_cay＝k_ca(s_cay-e_cy±e_ca)＝k_ca(y_ca-e_cy±e_ca) (49)

公式(48)、(49)中±号是依据行星架与针齿壳支承处变形量的大小来确定。

S7.建立计算三曲柄摆线针轮减速机动态传动误差的数学模型；

通过分析三曲柄摆线针轮减速机中各零件任意位置时的受力状况，依据D'Alembert原理，建立该***动态传动误差的数学模型；在建立数学模型时，考虑了摆线轮、行星轮及曲柄轴的科氏(Coriolis)加速度，忽略了传动***中的摩擦阻力。通过整理，得出三曲柄摆线针轮减速机动态传动误差的数学模型如下：

式中m_s——太阳轮的质量(kg)；

m_sp——行星轮及曲柄轴的质量和(kg)；

m_bx——摆线轮的质量(kg)；

J_op——行星轮及曲柄轴的转动惯量(kg·m²)；

J_oj——摆线轮的转动惯量(kg·m²)；

ω_c——行星架理论角速度(rad/s)；

ω_p——行星轮自转理论角速度(rad/s)。

上述数学模型可整理成以下矩阵形式：

式中M、C、K——分别为质量阵、阻尼阵及刚度阵，矩阵阶数均为21×21；

X——位移向量，其中X＝(x_s,y_s,θ_sa,x_p1,y_p1,θ_p1,x_p2,y_p2,θ_p2,x_p3,y_p3,

θ_p3,η_d1,θ_o1,θ_d1,η_d2,θ_o2,θ_d2,x_ca,y_ca,θ_ca)^T；

Q——广义力矢量。

由于该传动***中的刚度系数k_ji、k_bi、k_ca、k_jk是位移的函数，因此所建立的三曲柄摆线针轮减速机动态传动误差的数学模型属于非线性动力学模型；

S8.采用非线性Newmark法、Wilson-θ法的直接积分法，求解所建立的三曲柄摆线针轮减速机动态传动误差的数学模型；通过编程，并利用计算机进行数值计算，即可确定该减速机输出轴在任意时刻的实际转角θ_c、动态传动误差Δθ_c。

优选的，步骤S2中采用的误差测量仪器具有智能模式识别、自动扫描等功能，并具有测量精度高、灵敏度高、效率高的特点；其主要技术参数的要求：最小读取单位≤0.1um、测量精度不低于1.2+4L/1000(um)(L为被测工件长度，量纲为mm)、工作台平面尺寸不小于450mm×400mm。

优选的，步骤S2中采用高精度三坐标测量仪或其他零件误差测量仪器；计算方法采用最小二乘法理论、数学变换与滤波理论以及优化方法的基本理论与方法，测量数据的通过计算机处理技术或方法，从而确定上述各零件的关键误差。

本发明的有益效果是：该方法首先对减速机的各个零部件的关键误差进行定义并进行测量和计算来确定关键误差，然后建立动态传动误差的力学模型，然后根据误差力学模型计算在轴或轴承支承处、轮齿啮合处所产生的位移，进一步的确定各零件的微位移在轴或轴承以及轮齿啮合处所产生的位移，再根据上述误差和位移确定各零件在各个零件接触处的作用力；建立该减速机的动态传动误差数学模型；通过计算机数值计算，即可确定该减速机输出轴在任意时刻的实际转角θ_c、动态传动误差Δθ_c，该方法综合考虑各种误差、和接触间隙、零件接触变形、旋转零件的惯性载荷等非线性因素，更接近该减速机实况，得到的传动误差更接近实际情况，能够更准确的指导该减速机的零部件生产和装配过程。

附图说明

图1是机器人用三曲柄摆线针轮减速机的传动误差的波形示意图；

图2是机器人用三曲柄摆线针轮减速机传动***示意图；

图3是机器人用三曲柄摆线针轮减速机的零件拆解图；

图4是其中的太阳轮轴示意图；

图5是其中的行星齿轮示意图；

图6是三曲柄摆线轮的示意图；

图7是行星架与针齿壳处的角接触球轴承的示意图；

图8是其中针齿壳的示意图；

图9是其中曲柄轴的示意图；

图10-11是其中行星架的示意图；

图12是针齿销的示意图；

图13是摆线轮与曲柄轴处的滚子轴承的示意图；

图14是曲柄轴与行星架处的圆锥滚子轴承的示意图；

图15是该三曲柄摆线针轮减速机动态传动误差的力学模型示意图；

图16是太阳轮和第i个行星轮的基圆偏心误差的示意图；

图17是太阳轮的装配误差的示意图；

图18是摆线轮曲柄轴孔的偏心误差的示意图；

图19是摆线轮的齿槽偏差、齿距偏差的示意图；

图20是针齿壳上齿槽圆心的齿槽偏差、齿距偏差的示意图；

图21是曲柄轴上偏心凸轮的偏心误差的示意图；

图22是行星架曲柄轴孔的偏心误差的示意图；

图23是行星架的轴颈偏心误差的示意图；

图24是针齿销与齿槽间的摆线轮齿啮合间隙的示意图；

具体实施方式

实施例一：参见图1-24，图中一种机器人用摆线针轮减速机的动态传动精度数值计算方法，包括如下步骤：

S1.根据待仿真计算的减速机的设计参数来确定三曲柄摆线针轮减速机的基本结构参数，

具体包括如下参数：太阳轮齿数Z_s、行星轮齿数Z_p、摆线轮齿数Z_b、针轮齿数Z_r、渐开线齿轮模数m(mm)、渐开线齿轮压力角α(°)、太阳轮轮齿变位系数x_cs、行星轮轮齿变位系数x_cp、行星轮齿宽B_z(mm)、摆线轮轮齿宽度B_c(mm)、曲柄轴偏心距e(mm)、针齿销半径r_d(mm)、针齿销或针齿壳齿槽分布圆的理论半径r_z(mm)、2个摆线轮、3个行星轮、3个曲柄轴；如图2～图3所示。

S2.定义该减速机中的太阳轮、3个行星轮、2个摆线轮、3个曲柄轴、行星架、针齿销、针齿壳及滚子轴承的关键误差，然后通过高精度测量仪来测量，并根据测量结果运算来确定这些关键误差；

上述各个零件关键误差的定义如下：

1)太阳轮的关键误差的定义

参见图4，太阳轮的关键误差是指：太阳轮的基圆偏心误差(E_s,β_s)，太阳轮装配误差为(A_s,γ_s)；其中：E_s、A_s分别表示其基圆偏心误差、装配误差的大小，量纲(um)；β_s、γ_s分别表示其基圆偏心误差、装配误差的方向，量纲(°)；

2)行星轮的关键误差定义

参见图5，行星轮的关键误差是指：3个行星轮的基圆偏心误差分别为(E_pi,β_pi)，(i＝1,2,3)；其中：E_pi(i＝1,2,3)分别表示行星轮1、2、3的基圆偏心误差大小，量纲(um)；β_pi(i＝1,2,3)分别表示行星轮1、2、3的基圆偏心误差方向，量纲(°)；

3)三曲柄摆线轮的关键误差的定义

参见图6，三曲柄摆线轮的关键误差是指：摆线轮1、2上的曲柄轴孔1、2、3的偏心误差(E_hji,β_hji)(j＝1,2；i＝1,2,3)；摆线轮1、2上的轮齿齿槽偏差R_jk(j＝1,2)、齿距偏差P_jk(j＝1,2)；其中：E_hji表示曲柄轴孔的偏心误差大小，量纲(um)；β_hji表示曲柄轴孔的偏心误差方向，量纲(°)；R_jk、P_jk分别表示摆线轮齿的齿槽偏差、齿距偏差大小，量纲(um)；

4)针齿壳的关键误差的定义

参见图8，针齿壳的关键误差是指：Z_r个针齿齿槽的平均半径误差δ_cr(um)，针齿壳上Z_r个齿槽圆心的齿槽偏差(简称针齿齿槽偏差)R_k(k＝1,2,…,Z_r)、齿距偏差(简称针轮齿距偏差)P_k(k＝1,2,…,Z_r)；其中：R_k、P_k分别表示第k个针齿的齿槽偏差、齿距偏差大小，量纲(um)；

5)曲柄轴的关键误差的定义

参见图9，曲柄轴的关键误差是指：曲柄轴1、2、3上的偏心凸轮1、2的偏心误差(E_cji,β_cji)(j＝1,2；i＝1,2,3)；其中：E_cji表示偏心凸轮的偏心误差大小，量纲(um)；β_cji表示偏心凸轮的偏心误差方向，量纲(°)；

6)行星架的关键误差的定义

参见图10-11，行星架的关键误差是指：行星架上曲柄轴孔1、2、3的偏心误差(E_cai,β_cai)(i＝1,2,3)，行星架上安装轴承的轴颈偏心误差(A_c,γ_c)；其中：E_cai、A_c表示曲柄轴孔、轴颈的偏心误差大小，量纲(um)；β_cai、γ_c表示曲柄轴孔、轴颈的偏心误差方向，量纲(°)；

7)针齿销的关键误差的定义

参见图12，针齿销的关键误差是指：Z_r个针齿销的平均直径误差δ_zr，量纲(um)；

8)轴承的关键误差的定义

在三曲柄摆线针轮减速机中，摆线轮1、2与曲柄轴1、2、3间的轴承采用滚子轴承，参见图13，其轴承间隙分别为δ_bji(j＝1,2；i＝1,2,3)，量纲(um)；

行星架与曲柄轴1、2、3间的轴承采用圆锥滚子轴承，参见图14，，其轴承间隙分别为δ_xi(i＝1,2,3)，量纲(um)；

行星架与针齿壳间的轴承采用角接触球轴承，参见图7，其轴承间隙为δ_ca，量纲(um)；

S3.建立计算三曲柄摆线针轮减速机动态传动误差的力学模型，具体如下

1)参见图15，在力学模型中，将零件间的轴承或轴支承、轮齿啮合等接触处用弹簧进行等效，并用轴承或轴刚度、轮齿啮合刚度物理量进行描述；太阳轮与行星轮i(i＝1,2,3)间的轮齿啮合刚度k_i(N/um)(i＝1,2,3)、曲柄轴i(i＝1,2,3)与摆线轮j(j＝1,2)轴孔间的轴承支承刚度k_ji(N/um)(j＝1,2；i＝1,2,3)、曲柄轴i(i＝1,2,3)和行星架轴孔间的轴承支承刚度k_bi(N/um)(i＝1,2,3)、行星架与针齿壳间轴承支承刚度k_ca(N/um)、摆线轮与针齿间的啮合刚度k_jk(N/um)(k＝1,2,…,Z_r)、太阳轮轴的支承刚度k_s(N/um)；以上刚度的确定方法为：k_i采用轮齿弯曲变形来确定；k_s通过计算太阳轮轴的弯曲变形来求得；而k_ji、k_bi、k_ca、k_jk接触刚度则采用Palmgren公式确定。

Palmgren公式为：

其中，

式中ν₁,ν₂——弹性体1、2的泊松比；

E₁,E₂——弹性体1、2的弹性模量(MPa)；

δ——两弹性体间的接触变形量(mm)；

l——两弹性体间的接触长度(mm)；

F——两弹性体间的载荷(N)。

若用k₀表示两弹性体间的接触刚度(N/mm)，则

F＝k₀δ (2)

依据式(1)、(2)可推导出两弹性体间的接触刚度k₀为：

由式(3)可知，两弹性体间的接触刚度k₀主要取决于两弹性体的材料、接触长度及其作用载荷；

2)确定力学模型的静、动坐标系；以太阳轮轴(或行星架、针齿壳)的理论中心O为原点，垂直减速机轴线的断面为平面静坐标系xoy。从输入端即太阳轮端开始，靠近太阳轮的摆线轮编号j＝1，另一个摆线轮编号j＝2；以摆线轮的理论质心O_j为原点，以摆线轮j(j＝1,2)的偏心方向为η_j轴，拟定太阳轮轴逆时针旋转，则将垂直于η_j轴并沿其公转方向转动90°为ξ_j轴，建立摆线轮j的动坐标系η_jO_jξ_j；在动力学建模过程中，取j＝1的摆线轮η_j轴在起始位置时与静坐标系x轴方向一致；

3)在力学模型，将各弹簧设置在各零件坐标轴的正方向接触处或轮齿啮合处，且设定使弹簧受拉为正、受压为负；φ_i表示摆线轮(或行星架)上的曲柄轴轴孔的相对位置，取φ_i＝2π(i-1)/3(i＝1,2,3)，ψ_j表示2个摆线轮的理论质心O_j的相对位置，取ψ_j＝(j-1)π(j＝1,2)；

S4.依据S2确定的三曲柄摆线针轮减速机中各零件制造误差、间隙，并结合S3所建立的力学模型，图15所示，确定该传动***在轴或轴承支承处、轮齿啮合处所产生的位移；具体如下：

1)确定太阳轮的基圆偏心误差、装配误差分别在其轮齿啮合处、轴支承处所产生的位移。图16是太阳轮和第i个行星轮的基圆偏心误差示意图，图17是太阳轮的装配误差示意图。

若太阳轮的基圆偏心误差为(E_s,β_s)，则其在轮齿啮合处所产生的位移为：

e_si＝E_scos(θ_s+β_s-A_i) (4)

式中A_i＝θ_c+φ_i+π/2-α′，θ_c＝θ_s/i_z

α′——太阳轮和行星轮的啮合角(°)；

θ_c——行星架的理论转角(°)。

若太阳轮装配误差为(A_s,γ_s)，则其在太阳轮轴支承处x、y方向上所产生的位移分别为:

e_sx＝A_scosγ_s (5)

e_sy＝A_ssinγ_s (6)

2)确定行星轮的基圆偏心误差在其轮齿啮合处所产生的位移，如图16所示；3个行星轮的基圆偏心误差(E_pi,β_pi)(i＝1,2,3)在轮齿啮合处所产生的位移为:

e_pi＝-E_picos(β_pi-θ_p-A_i)(i＝1,2,3) (7)

式中θ_p——行星轮的理论自转角(°)；

3)确定摆线轮上的曲柄轴孔偏心误差在其轴承支承处所产生的位移，及其齿槽偏差、齿距偏差在轮齿啮合处所产生的位移；图18是摆线轮曲柄轴孔的偏心误差示意图；

定义其中O_ji表示摆线轮j(j＝1,2)上曲柄轴孔i(i＝1,2,3)的圆心，R_dc表示摆线轮上曲柄轴孔圆心所在圆周的半径。

若摆线轮曲柄轴孔的偏心误差为：(E_hji,β_hji)(j＝1,2；i＝1,2,3)，则其在轴承支承处静坐标系x、y方向上所产生的位移分别为：

e_hxji＝-E_hjicos(θ_c+φ_i+β_hji) (8)

e_hyji＝-E_hjisin(θ_c+φ_i+β_hji) (9)

图19是摆线轮的齿槽偏差R_jk、齿距偏差P_jk示意图，O表示针轮中心，O_j表示摆线轮j(j＝1,2)中心，P表示摆线轮j与针轮的节点；

若摆线轮j上的齿槽偏差为R_jk(j＝1,2)、齿距偏差为P_jk(j＝1,2)，则其在轮齿啮合处所产生的位移分别为：

式中α_jk——第k个针齿中心与第j个摆线轮节点连线与η_j轴正方向夹角(°)，其中k＝1,2,…,Z_r；

φ_djk——第k个针齿中心与第j个摆线轮中心O_j连线与η_j轴正方向的夹角(°)

4)确定针齿壳上齿槽圆心的齿槽偏差、齿距偏差在摆线轮齿啮合处所产生的位移；

图20是针齿壳上齿槽圆心的齿槽偏差(简称针轮齿槽偏差)R_k、齿距偏差(简称针轮齿槽偏差)P_k示意图，其中：O表示针轮中心，O_j表示摆线轮j(j＝1,2)中心，P表示摆线轮j与针轮的节点。

若针轮的齿槽偏差为R_k(k＝1,2,…,Z_r)、齿距偏差为P_k(k＝1,2,…,Z_r)，则其在轮齿啮合处所产生的位移分别为：

e_Rk＝-R_kcos(α_jk-φ_jk) (12)

式中φ_jk——第k个针齿半径方向与第j个摆线轮η_j轴正方向间的夹角(°)；

5)确定曲柄轴偏心凸轮的偏心误差在其轴承支承处所产生的位移；

图21是曲柄轴i的偏心凸轮j偏心误差示意图，O_ji表示摆线轮j(j＝1,2)上曲柄轴孔i(i＝1,2,3)的圆心，O_pj表示曲柄轴i(i＝1,2,3)上与摆线轮j(j＝1,2)相对应的曲柄轴回转中心；

若曲柄轴i上偏心凸轮j的偏心误差为(E_cji,β_cji)(j＝1,2；i＝1,2,3)，则其在x、y方向上所产生的位移分别为：

e_cxji＝E_cjicos(θ_p+ψ_j+β_cji) (14)

e_cyji＝-E_cjisin(θ_p+ψ_j+β_cji) (15)

6)确定行星架上曲柄轴孔、轴颈的偏心误差在轴承支承处所产生的位移；

图22是行星架曲柄轴孔i的偏心误差示意图，其中O_ci表示行星架上曲柄轴孔i(i＝1,2,3)的圆心，T_out表示作用在行星架上的负载转矩；

若行星架曲柄轴孔i的偏心误差为(E_cai,β_cai)(i＝1,2,3)，则它在支承处x、y方向上所产生的位移分别为：

e_caxi＝-E_caicos(θ_c+φ_i+β_cai) (16)

e_cayi＝-E_caisin(θ_c+φ_i+β_cai) (17)

若假设行星架的轴颈偏心误差为(A_c,γ_c)，则它在支承处x、y方向上所产生的位移分别为：

e_cx＝A_ccosγ_c (18)

e_cy＝A_csinγ_c (19)

7)确定针齿销的直径误差、针齿壳上的齿槽半径误差在摆线轮齿啮合处形成的间隙，并确定该间隙在摆线轮齿啮合处所产生的位移；

图24是针齿销的直径误差、针齿壳上的齿槽半径误差在摆线轮齿啮合处形成的间隙示意图，若针齿销的平均直径误差δ_zr(um)、针齿齿槽的平均半径误差δ_cr(um)，则其在摆线轮齿啮合处所产生的间隙δ_jk及其所产生的位移e_jk分别为：

δ_jk＝δ_zr+δ_cr (20)

e_jk＝-δ_jk (21)

8)各轴承间隙在其支承处所产生的位移

若摆线轮j曲柄轴孔i处的滚子轴承间隙为δ_bji(j＝1,2；i＝1,2,3)，则它在支承处所产生的位移为：

e_bji＝-δ_bji (22)

若行星架在曲柄轴孔i处的圆锥滚子轴承间隙为δ_xi(i＝1,2,3)，则它在支承处所产生的位移为：

e_xi＝-δ_xi (23)

若行星架与针齿壳间的角接触球轴承间隙为δ_ca，则它在支承处所产生的位移为：

e_ca＝-δ_ca (24)

S5.确定三曲柄摆线针轮减速机中各零件的微位移在轴或轴承以及轮齿啮合处所产生的位移；具体如下：

在分析三曲柄摆线针轮减速机中各零件的微位移在接触处所产生的位移时，假设针齿壳固定不动，行星轮与曲柄轴固结在一起，且太阳轮、带曲柄轴的行星轮、摆线轮及行星架的线位移方向与静坐标系或动坐标系的坐标轴正向相同、角位移方向与设计拟定方向相同，即图15所示方向相同；

1)太阳轮的微位移在轮齿啮合处、太阳轮轴支承处所产生的位移；

参考图16，若太阳轮的微位移为x_s、y_s、θ_sa-θ_s，则其在轮齿啮合处所产生的位移为：

s_i＝x_scosA_i+y_ssinA_i+R_bs(θ_sa-θ_s) (25)

式中R_bs——表示太阳轮的基圆半径(mm)；

在轴支承处x、y方向上所产生的位移为：

s_x＝x_s (26)

s_y＝y_s (27)

2)行星轮及曲柄轴的微位移在其轮齿啮合处、摆线轮滚子轴承支承处以及行星架圆锥滚子轴承支承处所产生的位移；

参考图16，若令行星轮i(i＝1,2,3)的微位移为x_pi、y_pi和θ_pi-θ_p，则其在轮齿啮合处所产生的位移为：

s_pi＝-x_picosA_i-y_pisinA_i-R_bp(θ_pi-θ_p) (28)

式中R_bp——行星轮的基圆半径(mm)；

θ_pi——行星轮的实际自转角(°)。

在摆线轮滚子轴承支承处x、y方向上所产生的位移为：

s_jix＝x_pi-e(θ_pi-θ_p)sin(θ_p+ψ_j) (29)

s_jiy＝y_pi-e(θ_pi-θ_p)cos(θ_p+ψ_j) (30)

式中e——曲柄轴的偏心距(mm)。

在行星架圆锥滚子轴承支承处x、y方向上所产生的位移为：

s_ix＝x_pi (31)

s_iy＝y_pi (32)

3)摆线轮的微位移在其轮齿啮合处、曲柄轴滚子轴承支承处所产生的位移；

参考图15设摆线轮j(j＝1,2)的微位移分别为η_dj、θ_dj-θ_c和θ_Oj-θ_p，其中η_dj表示摆线轮的线微位移，θ_dj-θ_c表示摆线轮的自转角微位移，θ_Oj-θ_p表示摆线轮的公转角微位移；

则摆线轮j(j＝1,2)的微位移在其轮齿啮合处所产生的位移为：

s_jk＝η_djcosα_jk-R_d(θ_dj-θ_c)sinα_jk+e(θ_Oj-θ_p)sinα_jk (33)

式中R_d——摆线轮的节圆半径(mm)；

在曲柄轴滚子轴承支承处x、y方向上所产生的位移分别为：

s_cjix＝R_dc(θ_dj-θ_c)sin(θ_c+φ_i)+e(θ_Oj-θ_p)sin(θ_p+ψ_j)-η_djcos(θ_p+ψ_j) (34)

s_cjiy＝-R_dc(θ_dj-θ_c)cos(θ_c+φ_i)+η_djsin(θ_p+ψ_j)+e(θ_Oj-θ_p)cos(θ_p+ψ_j) (35)

式中R_dc——太阳轮与行星轮间的中心距(mm)；

4)行星架的微位移在曲柄轴圆锥滚子轴承支承处、针齿壳角接触球轴承支承处所产生的位移；

参考图22，设行星架的三个微位移为x_ca、y_ca和θ_ca-θ_c，则其在曲柄轴圆锥滚子轴承支承处x、y方向上所产生的位移分别为：

s_bix＝-x_ca+R_dc(θ_ca-θ_c)sin(θ_c+φ_i) (36)

s_biy＝-y_ca-R_dc(θ_ca-θ_c)cos(θ_c+φ_i) (37)

在针齿壳角接触球轴承支承处x、y方向上所产生的位移(参考图23)分别为：

s_cax＝x_ca (38)

s_cay＝y_ca (39)

S6.确定三曲柄摆线针轮减速机中，各零件在轴或轴承支承处、轮齿啮合处的作用力；

依据上述步骤S4、S5，确定的各零件制造误差、间隙及微位移在其支承、轮齿啮合处所产生的位移，同时考虑在理想状态时，各零件所传递的理论载荷，从而获得各零件在轴或轴承、轮齿啮合处的作用力。若作用力为正，则表示两物体间的接触力受压，反之受拉

1)太阳轮在其支承处x、y方向上的作用力分别为F_sx(N)、F_sy(N)，如公式(40)、(41)所示；

F_sx＝k_s(s_x-e_sx)＝k_s(x_s-e_sx) (40)

F_sy＝k_s(s_y-e_sy)＝k_s(y_s-e_sy) (41)

2)太阳轮与行星轮i(i＝1,2,3)间的轮齿啮合力为F_i(N)，如公式(42)所示；

式中F_i0——表示太阳轮与行星轮间的理论轮齿啮合力(N)；

若公式(42)中[]内数值≤0，则表示作用力为拉力，说明太阳轮与行星轮间有间隙存在而没有接触，此时取F_i的值为零；

3)摆线轮j(j＝1,2)与曲柄轴i(i＝1,2,3)接触处x、y方向上的作用力分别为F_jix(N)、F_jiy(N)，如公式(43)、(44)所示；

式中F_jix0——表示理想状态时，摆线轮j(j＝1,2)与曲柄轴i(i＝1,2,3)

间的滚子轴承在x方向上所承受的载荷(N)；

式中F_jiy0——表示理想状态时，摆线轮j(j＝1,2)与曲柄轴i(i＝1,2,3)

间的滚子轴承在y方向上所承受的载荷(N)；

公式(43)、(44)中±号是依据摆线轮与曲柄轴接触处的变形量大小进行确定；

4)摆线轮j(j＝1,2)轮齿与第k(k＝1,2,…,Z_r)个针齿间的作用力为F_jk(N)，如公式(45)所示。

式中F_jk0——表示理想状态时摆线轮j(j＝1,2)的轮齿啮合力(N)；

若F_jk≤0，则表示轮齿啮合力为拉力，说明摆线轮轮齿与针齿之间有间隙存在而没有接触，则取F_ijk＝0；

5)行星架与曲柄轴i(i＝1,2,3)接触处x、y方向上的作用力分别为F_cix(N)、F_ciy(N)，如公式(46)、(47)所示；

式中F_ci0——表示理想状态时行星架与曲柄轴i(i＝1,2,3)间的作用力(N)。

公式(46)、(47)中±号是依据行星架与曲柄轴接触处变形量的大小进行确定。

6)行星架与针齿壳支承处x、y方向上的作用力分别为F_cax(N)、F_cay(N)，如公式(48)、(49)所示。

F_cax＝k_ca(s_cax-e_cx±e_ca)＝k_ca(x_ca-e_cx±e_ca) (48)

F_cay＝k_ca(s_cay-e_cy±e_ca)＝k_ca(y_ca-e_cy±e_ca) (49)

公式(48)、(49)中±号是依据行星架与针齿壳支承处变形量的大小来确定。

S7.建立计算三曲柄摆线针轮减速机动态传动误差的数学模型；

通过分析三曲柄摆线针轮减速机中各零件任意位置时的受力状况，依据D'Alembert原理，建立该***动态传动误差的数学模型；在建立数学模型时，考虑了摆线轮、行星轮及曲柄轴的科氏(Coriolis)加速度，忽略了传动***中的摩擦阻力。通过整理，得出三曲柄摆线针轮减速机动态传动误差的数学模型如下：

式中m_s——太阳轮的质量(kg)；

m_sp——行星轮及曲柄轴的质量和(kg)；

m_bx——摆线轮的质量(kg)；

J_op——行星轮及曲柄轴的转动惯量(kg·m²)；

J_oj——摆线轮的转动惯量(kg·m²)；

ω_c——行星架理论角速度(rad/s)；

ω_p——行星轮自转理论角速度(rad/s)。

上述数学模型可整理成以下矩阵形式：

式中M、C、K——分别为质量阵、阻尼阵及刚度阵，矩阵阶数均为21×21；

X——位移向量，其中X＝(x_s,y_s,θ_sa,x_p1,y_p1,θ_p1,x_p2,y_p2,θ_p2,x_p3,y_p3,

θ_p3,η_d1,θ_o1,θ_d1,η_d2,θ_o2,θ_d2,x_ca,y_ca,θ_ca)^T；

Q——广义力矢量。

由于该传动***中的刚度系数k_ji、k_bi、k_ca、k_jk是位移的函数，因此所建立的三曲柄摆线针轮减速机动态传动误差的数学模型属于非线性动力学模型；

S8.采用非线性Newmark法、Wilson-θ法的直接积分法，求解所建立的三曲柄摆线针轮减速机动态传动误差的数学模型；通过编程，并利用计算机进行数值计算，即可确定该减速机输出轴在任意时刻的实际转角θ_c、动态传动误差Δθ_c，如图1所示。

步骤S2中采用的误差测量仪器具有智能模式识别、自动扫描等功能，并具有测量精度高、灵敏度高、效率高的特点；其主要技术参数的要求：最小读取单位≤0.1um、测量精度不低于1.2+4L/1000(um)(L为被测工件长度，量纲为mm)、工作台平面尺寸不小于450mm×400mm。

步骤S2中采用高精度三坐标测量仪或其他零件误差测量仪器；计算方法采用最小二乘法理论、数学变换与滤波理论以及优化方法的基本理论与方法，测量数据的通过计算机处理技术或方法，从而确定上述各零件的关键误差。

该方法综合考虑零件加工误差、安装误差、轮齿啮合间隙、轴承间隙、零件接触变形、旋转零件的惯性载荷等非线性因素，提出来一种动态传动误差数值计算方法。不但能够对传动误差即传动精度进行仿真测算，特别是能用于仿真计算高速运转或带载荷运转的这类减速机，因为这类减速机的零部件自身的惯性轮，以及输入和输出之间的扭矩产生的力，都会对零部件的运动接触间隙和变形量产生影响，相比单纯的静态仿真来说，该方法结合了工程实际来进行仿真，因此更适用于指导实际生产。

Claims (3)

1.一种机器人用摆线针轮减速机的动态传动精度数值计算方法，包括如下步骤：

S1.根据待仿真计算的减速机的设计参数来确定三曲柄摆线针轮减速机的基本结构参数，

具体包括如下参数：太阳轮齿数Z_s、行星轮齿数Z_p、摆线轮齿数Z_b、针轮齿数Z_r、渐开线齿轮模数m(mm)、渐开线齿轮压力角α(°)、太阳轮轮齿变位系数x_cs、行星轮轮齿变位系数x_cp、行星轮齿宽B_z(mm)、摆线轮轮齿宽度B_c(mm)、曲柄轴偏心距e(mm)、针齿销半径r_d(mm)、针齿销或针齿壳齿槽分布圆的理论半径r_z(mm)、2个摆线轮、3个行星轮、3个曲柄轴；

S2.定义该减速机中的太阳轮、3个行星轮、2个摆线轮、3个曲柄轴、行星架、针齿销、针齿壳及滚子轴承的关键误差，然后通过高精度测量仪来测量，并根据测量结果运算来确定这些关键误差；

上述各个零件关键误差的定义如下：

1)太阳轮的关键误差的定义

太阳轮的关键误差是指：太阳轮的基圆偏心误差(E_s,β_s)，太阳轮装配误差为(A_s,γ_s)；其中：E_s、A_s分别表示其基圆偏心误差、装配误差的大小，量纲(um)；β_s、γ_s分别表示其基圆偏心误差、装配误差的方向，量纲(°)；

2)行星轮的关键误差定义

行星轮的关键误差是指：3个行星轮的基圆偏心误差分别为(E_pi,β_pi)，(i＝1,2,3)；其中：E_pi(i＝1,2,3)分别表示行星轮1、2、3的基圆偏心误差大小，量纲(um)；β_pi(i＝1,2,3)分别表示行星轮1、2、3的基圆偏心误差方向，量纲(°)；

3)三曲柄摆线轮的关键误差的定义

三曲柄摆线轮的关键误差是指：摆线轮1、2上的曲柄轴孔1、2、3的偏心误差(E_hji,β_hji)(j＝1,2；i＝1,2,3)；摆线轮1、2上的轮齿齿槽偏差R_jk(j＝1,2)、齿距偏差P_jk(j＝1,2)；其中：E_hji表示曲柄轴孔的偏心误差大小，量纲(um)；β_hji表示曲柄轴孔的偏心误差方向，量纲(°)；R_jk、P_jk分别表示摆线轮齿的齿槽偏差、齿距偏差大小，量纲(um)；

4)针齿壳的关键误差的定义

针齿壳的关键误差是指：Z_r个针齿齿槽的平均半径误差δ_cr(um)，针齿壳上Z_r个齿槽圆心的齿槽偏差(简称针齿齿槽偏差)R_k(k＝1,2,…,Z_r)、齿距偏差(简称针轮齿距偏差)P_k(k＝1,2,…,Z_r)；其中：R_k、P_k分别表示第k个针齿的齿槽偏差、齿距偏差大小，量纲(um)；

5)曲柄轴的关键误差的定义

曲柄轴的关键误差是指：曲柄轴1、2、3上的偏心凸轮1、2的偏心误差(E_cji,β_cji)(j＝1,2；i＝1,2,3)；其中：E_cji表示偏心凸轮的偏心误差大小，量纲(um)；β_cji表示偏心凸轮的偏心误差方向，量纲(°)；

6)行星架的关键误差的定义

行星架的关键误差是指：行星架上曲柄轴孔1、2、3的偏心误差(E_cai,β_cai)(i＝1,2,3)，行星架上安装轴承的轴颈偏心误差(A_c,γ_c)；其中：E_cai、A_c表示曲柄轴孔、轴颈的偏心误差大小，量纲(um)；β_cai、γ_c表示曲柄轴孔、轴颈的偏心误差方向，量纲(°)；

7)针齿销的关键误差的定义

针齿销的关键误差是指：Z_r个针齿销的平均直径误差δ_zr，量纲(um)；

8)轴承的关键误差的定义

在三曲柄摆线针轮减速机中，摆线轮1、2与曲柄轴1、2、3间的轴承采用滚子轴承(图12)，其轴承间隙分别为δ_bji(j＝1,2；i＝1,2,3)，量纲(um)；

行星架与曲柄轴1、2、3间的轴承采用圆锥滚子轴承，其轴承间隙分别为δ_xi(i＝1,2,3)，量纲(um)；

行星架与针齿壳间的轴承采用角接触球轴承，其轴承间隙为δ_ca，量纲(um)；

S3.建立计算三曲柄摆线针轮减速机动态传动误差的力学模型，具体如下

1)在力学模型中，将零件间的轴承或轴支承、轮齿啮合等接触处用弹簧进行等效，并用轴承或轴刚度、轮齿啮合刚度物理量进行描述；太阳轮与行星轮i(i＝1,2,3)间的轮齿啮合刚度k_i(N/um)(i＝1,2,3)、曲柄轴i(i＝1,2,3)与摆线轮j(j＝1,2)轴孔间的轴承支承刚度k_ji(N/um)(j＝1,2；i＝1,2,3)、曲柄轴i(i＝1,2,3)和行星架轴孔间的轴承支承刚度k_bi(N/um)(i＝1,2,3)、行星架与针齿壳间轴承支承刚度k_ca(N/um)、摆线轮与针齿间的啮合刚度k_jk(N/um)(k＝1,2,…,Z_r)、太阳轮轴的支承刚度k_s(N/um)；以上刚度的确定方法为：k_i采用轮齿弯曲变形来确定；k_s通过计算太阳轮轴的弯曲变形来求得；而k_ji、k_bi、k_ca、k_jk接触刚度则采用Palmgren公式确定。

Palmgren公式为：

其中，

式中ν₁,ν₂——弹性体1、2的泊松比；

E₁,E₂——弹性体1、2的弹性模量(MPa)；

δ——两弹性体间的接触变形量(mm)；

l——两弹性体间的接触长度(mm)；

F——两弹性体间的载荷(N)。

若用k₀表示两弹性体间的接触刚度(N/mm)，则

F＝k₀δ (2)

依据式(1)、(2)可推导出两弹性体间的接触刚度k₀为：

由式(3)可知，两弹性体间的接触刚度k₀主要取决于两弹性体的材料、接触长度及其作用载荷；

2)确定力学模型的静、动坐标系；以太阳轮轴(或行星架、针齿壳)的理论中心O为原点，垂直减速机轴线的断面为平面静坐标系xoy。从输入端即太阳轮端开始，靠近太阳轮的摆线轮编号j＝1，另一个摆线轮编号j＝2；以摆线轮的理论质心O_j为原点，以摆线轮j(j＝1,2)的偏心方向为η_j轴，拟定太阳轮轴逆时针旋转，则将垂直于η_j轴并沿其公转方向转动90°为ξ_j轴，建立摆线轮j的动坐标系η_jO_jξ_j；在动力学建模过程中，取j＝1的摆线轮η_j轴在起始位置时与静坐标系x轴方向一致；

3)在力学模型，将各弹簧设置在各零件坐标轴的正方向接触处或轮齿啮合处，且设定使弹簧受拉为正、受压为负；φ_i表示摆线轮(或行星架)上的曲柄轴轴孔的相对位置，取φ_i＝2π(i-1)/3(i＝1,2,3)，ψ_j表示2个摆线轮的理论质心O_j的相对位置，取ψ_j＝(j-1)π(j＝1,2)；

S4.依据S2确定的三曲柄摆线针轮减速机中各零件制造误差、间隙，并结合S3所建立的力学模型，确定该传动***在轴或轴承支承处、轮齿啮合处所产生的位移；具体如下：

1)确定太阳轮的基圆偏心误差、装配误差分别在其轮齿啮合处、轴支承处所产生的位移。

若太阳轮的基圆偏心误差为(E_s,β_s)，则其在轮齿啮合处所产生的位移为：

e_si＝E_scos(θ_s+β_s-A_i) (4)

式中A_i＝θ_c+φ_i+π/2-α′，θ_c＝θ_s/i_z

α′——太阳轮和行星轮的啮合角(°)；

θ_c——行星架的理论转角(°)。

若太阳轮装配误差为(A_s,γ_s)，则其在太阳轮轴支承处x、y方向上所产生的位移分别为:

e_sx＝A_scosγ_s (5)

e_sy＝A_ssinγ_s (6)

2)确定行星轮的基圆偏心误差在其轮齿啮合处所产生的位移；3个行星轮的基圆偏心误差(E_pi,β_pi)(i＝1,2,3)在轮齿啮合处所产生的位移为:

e_pi＝-E_picos(β_pi-θ_p-A_i) (i＝1,2,3) (7)

式中θ_p——行星轮的理论自转角(°)；

3)确定摆线轮上的曲柄轴孔偏心误差在其轴承支承处所产生的位移，及其齿槽偏差、齿距偏差在轮齿啮合处所产生的位移；

定义O_ji表示摆线轮j(j＝1,2)上曲柄轴孔i(i＝1,2,3)的圆心，R_dc表示摆线轮上曲柄轴孔圆心所在圆周的半径。

若摆线轮曲柄轴孔的偏心误差为：(E_hji,β_hji)(j＝1,2；i＝1,2,3)，则其在轴承支承处静坐标系x、y方向上所产生的位移分别为：

e_hxji＝-E_hjicos(θ_c+φ_i+β_hji) (8)

e_hyji＝-E_hjisin(θ_c+φ_i+β_hji) (9)

定义摆线轮的齿槽偏差R_jk、齿距偏差P_jk，O表示针轮中心，O_j表示摆线轮j(j＝1,2)中心，P表示摆线轮j与针轮的节点；

若摆线轮j上的齿槽偏差为R_jk(j＝1,2)、齿距偏差为P_jk(j＝1,2)，则其在轮齿啮合处所产生的位移分别为：

e_Rjk＝R_jkcos(α_jk-φ_djk) (10)

e_Pjk＝P_jksin(α_jk-φ_djk) (11)

式中α_jk——第k个针齿中心与第j个摆线轮节点连线与η_j轴正方向夹角(°)，其中k＝1,2,…,Z_r；

φ_djk——第k个针齿中心与第j个摆线轮中心O_j连线与η_j轴正方向的夹角(°)

4)确定针齿壳上齿槽圆心的齿槽偏差、齿距偏差在摆线轮齿啮合处所产生的位移；

定义针齿壳上齿槽圆心的齿槽偏差(简称针轮齿槽偏差)R_k、齿距偏差(简称针轮齿槽偏差)P_k，其中：O表示针轮中心，O_j表示摆线轮j(j＝1,2)中心，P表示摆线轮j与针轮的节点。

若针轮的齿槽偏差为R_k(k＝1,2,…,Z_r)、齿距偏差为P_k(k＝1,2,…,Z_r)，则其在轮齿啮合处所产生的位移分别为：

e_Rk＝-R_kcos(α_jk-φ_jk) (12)

e_Pk＝-P_ksin(α_jk-φ_jk) (13)

式中φ_jk——第k个针齿半径方向与第j个摆线轮η_j轴正方向间的夹角(°)；

5)确定曲柄轴偏心凸轮的偏心误差在其轴承支承处所产生的位移；

定义曲柄轴i的偏心凸轮j偏心误差，O_ji表示摆线轮j(j＝1,2)上曲柄轴孔i(i＝1,2,3)的圆心，O_pj表示曲柄轴i(i＝1,2,3)上与摆线轮j(j＝1,2)相对应的曲柄轴回转中心；

若曲柄轴i上偏心凸轮j的偏心误差为(E_cji,β_cji)(j＝1,2；i＝1,2,3)，则其在x、y方向上所产生的位移分别为：

e_cxji＝E_cjicos(θ_p+ψ_j+β_cji) (14)

e_cyji＝-E_cjisin(θ_p+ψ_j+β_cji) (15)

6)确定行星架上曲柄轴孔、轴颈的偏心误差在轴承支承处所产生的位移；

定义行星架曲柄轴孔i的偏心误差，其中O_ci表示行星架上曲柄轴孔i(i＝1,2,3)的圆心，T_out表示作用在行星架上的负载转矩；

若行星架曲柄轴孔i的偏心误差为(E_cai,β_cai)(i＝1,2,3)，则它在支承处x、y方向上所产生的位移分别为：

e_caxi＝-E_caicos(θ_c+φ_i+β_cai) (16)

e_cayi＝-E_caisin(θ_c+φ_i+β_cai) (17)

若假设行星架的轴颈偏心误差为(A_c,γ_c)，则它在支承处x、y方向上所产生的位移分别为：

e_cx＝A_ccosγ_c (18)

e_cy＝A_csinγ_c (19)

7)确定针齿销的直径误差、针齿壳上的齿槽半径误差在摆线轮齿啮合处形成的间隙，并确定该间隙在摆线轮齿啮合处所产生的位移；

定义O表示针齿销的理论分布圆心或针齿壳上齿槽理论圆心的分布圆圆心，δ_jk表示摆线轮齿的啮合间隙；

若针齿销的平均直径误差δ_zr(um)、针齿齿槽的平均半径误差δ_cr(um)，则其在摆线轮齿啮合处所产生的间隙δ_jk及其所产生的位移e_jk分别为：

δ_jk＝δ_zr+δ_cr (20)

e_jk＝-δ_jk (21)

8)各轴承间隙在其支承处所产生的位移

若摆线轮j曲柄轴孔i处的滚子轴承间隙为δ_bji(j＝1,2；i＝1,2,3)，则它在支承处所产生的位移为：

e_bji＝-δ_bji (22)

若行星架在曲柄轴孔i处的圆锥滚子轴承间隙为δ_xi(i＝1,2,3)，则它在支承处所产生的位移为：

e_xi＝-δ_xi (23)

若行星架与针齿壳间的角接触球轴承间隙为δ_ca，则它在支承处所产生的位移为：

e_ca＝-δ_ca (24)

S5.确定三曲柄摆线针轮减速机中各零件的微位移在轴或轴承以及轮齿啮合处所产生的位移；具体如下：

在分析三曲柄摆线针轮减速机中各零件的微位移在接触处所产生的位移时，假设针齿壳固定不动，行星轮与曲柄轴固结在一起，且太阳轮、带曲柄轴的行星轮、摆线轮及行星架的线位移方向与静坐标系或动坐标系的坐标轴正向相同、角位移方向与设计拟定方向相同；

1)太阳轮的微位移在轮齿啮合处、太阳轮轴支承处所产生的位移；

若太阳轮的微位移为x_s、y_s、θ_sa-θ_s，则其在轮齿啮合处所产生的位移为：

s_i＝x_scosA_i+y_ssinA_i+R_bs(θ_sa-θ_s) (25)

式中R_bs——表示太阳轮的基圆半径(mm)；

在轴支承处x、y方向上所产生的位移为：

s_x＝x_s (26)

s_y＝y_s (27)

2)行星轮及曲柄轴的微位移在其轮齿啮合处、摆线轮滚子轴承支承处以及行星架圆锥滚子轴承支承处所产生的位移；

若令行星轮i(i＝1,2,3)的微位移为x_pi、y_pi和θ_pi-θ_p，则其在轮齿啮合处所产生的位移为：

s_pi＝-x_picosA_i-y_pisinA_i-R_bp(θ_pi-θ_p) (28)

式中R_bp——行星轮的基圆半径(mm)；

θ_pi——行星轮的实际自转角(°)。

在摆线轮滚子轴承支承处x、y方向上所产生的位移为：

s_jix＝x_pi-e(θ_pi-θ_p)sin(θ_p+ψ_j) (29)

s_jiy＝y_pi-e(θ_pi-θ_p)cos(θ_p+ψ_j) (30)

式中e——曲柄轴的偏心距(mm)。

在行星架圆锥滚子轴承支承处x、y方向上所产生的位移为：

s_ix＝x_pi (31)

s_iy＝y_pi (32)

3)摆线轮的微位移在其轮齿啮合处、曲柄轴滚子轴承支承处所产生的位移；

设摆线轮j(j＝1,2)的微位移分别为η_dj、θ_dj-θ_c和

其中η_dj表示摆线轮的线微位移，θ_dj-θ_c表示摆线轮的自转角微位移，

表示摆线轮的公转角微位移；

则摆线轮j(j＝1,2)的微位移在其轮齿啮合处所产生的位移为：

s_jk＝η_djcosα_jk-R_d(θ_dj-θ_c)sinα_jk+e(θ_Oj-θ_p)sinα_jk (33)

式中R_d——摆线轮的节圆半径(mm)；

在曲柄轴滚子轴承支承处x、y方向上所产生的位移分别为：

s_cjix＝R_dc(θ_dj-θ_c)sin(θ_c+φ_i)+e(θ_Oj-θ_p)sin(θ_p+ψ_j)-η_djcos(θ_p+ψ_j) (34)

s_cjiy＝-R_dc(θ_dj-θ_c)cos(θ_c+φ_i)+η_djsin(θ_p+ψ_j)+e(θ_Oj-θ_p)cos(θ_p+ψ_j) (35)

式中R_dc——太阳轮与行星轮间的中心距(mm)；

4)行星架的微位移在曲柄轴圆锥滚子轴承支承处、针齿壳角接触球轴承支承处所产生的位移；

设行星架的三个微位移为x_ca、y_ca和θ_ca-θ_c，则其在曲柄轴圆锥滚子轴承支承处x、y方向上所产生的位移分别为：

s_bix＝-x_ca+R_dc(θ_ca-θ_c)sin(θ_c+φ_i) (36)

s_biy＝-y_ca-R_dc(θ_ca-θ_c)cos(θ_c+φ_i) (37)

在针齿壳角接触球轴承支承处x、y方向上所产生的位移(参考图23)分别为：

s_cax＝x_ca (38)

s_cay＝y_ca (39)

S6.确定三曲柄摆线针轮减速机中，各零件在轴或轴承支承处、轮齿啮合处的作用力；

依据上述步骤S4、S5，确定的各零件制造误差、间隙及微位移在其支承、轮齿啮合处所产生的位移，同时考虑在理想状态时，各零件所传递的理论载荷，从而获得各零件在轴或轴承、轮齿啮合处的作用力。若作用力为正，则表示两物体间的接触力受压，反之受拉

1)太阳轮在其支承处x、y方向上的作用力分别为F_sx(N)、F_sy(N)，如公式(40)、(41)所示；

F_sx＝k_s(s_x-e_sx)＝k_s(x_s-e_sx) (40)

F_sy＝k_s(s_y-e_sy)＝k_s(y_s-e_sy) (41)

2)太阳轮与行星轮i(i＝1,2,3)间的轮齿啮合力为F_i(N)，如公式(42)所示；

式中F_i0——表示太阳轮与行星轮间的理论轮齿啮合力(N)；

若公式(42)中[]内数值≤0，则表示作用力为拉力，说明太阳轮与行星轮间有间隙存在而没有接触，此时取F_i的值为零；

3)摆线轮j(j＝1,2)与曲柄轴i(i＝1,2,3)接触处x、y方向上的作用力分别为F_jix(N)、F_jiy(N)，如公式(43)、(44)所示；

式中F_jix0——表示理想状态时，摆线轮j(j＝1,2)与曲柄轴i(i＝1,2,3)间的滚子轴承在x方向上所承受的载荷(N)；

式中F_jiy0——表示理想状态时，摆线轮j(j＝1,2)与曲柄轴i(i＝1,2,3)间的滚子轴承在y方向上所承受的载荷(N)；

公式(43)、(44)中±号是依据摆线轮与曲柄轴接触处的变形量大小进行确定；

4)摆线轮j(j＝1,2)轮齿与第k(k＝1,2,…,Z_r)个针齿间的作用力为F_jk(N)，如公式(45)所示。

式中F_jk0——表示理想状态时摆线轮j(j＝1,2)的轮齿啮合力(N)；

若F_jk≤0，则表示轮齿啮合力为拉力，说明摆线轮轮齿与针齿之间有间隙存在而没有接触，则取F_ijk＝0；

5)行星架与曲柄轴i(i＝1,2,3)接触处x、y方向上的作用力分别为F_cix(N)、F_ciy(N)，如公式(46)、(47)所示；

式中F_ci0——表示理想状态时行星架与曲柄轴i(i＝1,2,3)间的作用力(N)。

公式(46)、(47)中±号是依据行星架与曲柄轴接触处变形量的大小进行确定。

6)行星架与针齿壳支承处x、y方向上的作用力分别为F_cax(N)、F_cay(N)，如公式(48)、(49)所示。

F_cax＝k_ca(s_cax-e_cx±e_ca)＝k_ca(x_ca-e_cx±e_ca) (48)

F_cay＝k_ca(s_cay-e_cy±e_ca)＝k_ca(y_ca-e_cy±e_ca) (49)

公式(48)、(49)中±号是依据行星架与针齿壳支承处变形量的大小来确定。

S7.建立计算三曲柄摆线针轮减速机动态传动误差的数学模型；

通过分析三曲柄摆线针轮减速机中各零件任意位置时的受力状况，依据D'Alembert原理，建立该***动态传动误差的数学模型；在建立数学模型时，考虑了摆线轮、行星轮及曲柄轴的科氏(Coriolis)加速度，忽略了传动***中的摩擦阻力。通过整理，得出三曲柄摆线针轮减速机动态传动误差的数学模型如下：

式中m_s——太阳轮的质量(kg)；

m_sp——行星轮及曲柄轴的质量和(kg)；

m_bx——摆线轮的质量(kg)；

J_op——行星轮及曲柄轴的转动惯量(kg·m²)；J_oj——摆线轮的转动惯量(kg·m²)；

ω_c——行星架理论角速度(rad/s)；

ω_p——行星轮自转理论角速度(rad/s)。

上述数学模型可整理成以下矩阵形式：

式中M、C、K——分别为质量阵、阻尼阵及刚度阵，矩阵阶数均为21×21；

X——位移向量，其中X＝(x_s,y_s,θ_sa,x_p1,y_p1,θ_p1,x_p2,y_p2,θ_p2,x_p3,y_p3,

θ_p3,η_d1,θ_o1,θ_d1,η_d2,θ_o2,θ_d2,x_ca,y_ca,θ_ca)^T；

Q——广义力矢量。

由于该传动***中的刚度系数k_ji、k_bi、k_ca、k_jk是位移的函数，因此所建立的三曲柄摆线针轮减速机动态传动误差的数学模型属于非线性动力学模型；

S8.采用非线性Newmark法、Wilson-θ法的直接积分法，求解所建立的三曲柄摆线针轮减速机动态传动误差的数学模型；通过编程，并利用计算机进行数值计算，即可确定该减速机输出轴在任意时刻的实际转角θ_c、动态传动误差Δθ_c。

2.根据权利要求1所述的机器人用摆线针轮减速机的动态传动精度数值计算方法，其特征是：步骤S2中采用的误差测量仪器具有智能模式识别、自动扫描等功能，并具有测量精度高、灵敏度高、效率高的特点；其主要技术参数的要求：最小读取单位≤0.1um、测量精度不低于1.2+4L/1000(um)(L为被测工件长度，量纲为mm)、工作台平面尺寸不小于450mm×400mm。

3.根据权利要求3所述的机器人用摆线针轮减速机的动态传动精度数值计算方法，其特征是：步骤S2中采用高精度三坐标测量仪或其他零件误差测量仪器；计算方法采用最小二乘法理论、数学变换与滤波理论以及优化方法的基本理论与方法，测量数据的通过计算机处理技术或方法，从而确定上述各零件的关键误差。

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