CN111027213A - 一种基于频域法的车致桥梁横向振动反应计算方法 - Google Patents

一种基于频域法的车致桥梁横向振动反应计算方法 Download PDF

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CN111027213A
CN111027213A CN201911264049.7A CN201911264049A CN111027213A CN 111027213 A CN111027213 A CN 111027213A CN 201911264049 A CN201911264049 A CN 201911264049A CN 111027213 A CN111027213 A CN 111027213A
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晋智斌
任娟娟
袁李刚
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Abstract

本发明公开了一种基于频域法的车致桥梁横向振动反应计算方法，提出了一种新的铁路桥梁横向振动反应确定方法，相比于传统的时域分析法，将列车荷载频谱细分为荷载序列谱和桥梁谐波模态谱，研究横向简谐波频率、车速、荷载序列、不同荷载幅值对其影响关系，从理论上简化计算；将车桥横向振动直接解耦，将轮对横向力简化转向架力，通过轮对横向力的功率谱密度，采用频域算法，便于进行随机振动分析；因此，本发明提供的方法计算量小，计算效率高；且基于确定的模态数量时，计算精度也较好。

Description

一种基于频域法的车致桥梁横向振动反应计算方法
技术领域
本发明属于铁路桥梁横向振动计算技术领域，具体涉及一种基于频域法的车致桥梁横向振动反应计算方法。
背景技术
传统上，通过时域仿真方法评估由于移动车辆引起的铁路桥梁的横向振动，需要建立详细的车-轨-桥模型，轮轨关系复杂，这种方法计算量大，计算效率比较低。特别是在需要大量算例进行相关分析时难以用时域仿真的分析方法。例如一整条高铁线路上桥梁振动评估、铁路桥梁振动的概率分析。另外轨道不平顺是随机的，采用某一指定的轨道不平顺进行时域仿真的结果不具有代表性。车致桥梁振动解耦，以功率谱密度的形式考虑轮对横向力，计算桥梁随机反应，该方法计算效率高。
时域仿真方法计算铁路桥梁的横向振动，主要不足之处在于建立仿真模型复杂，计算量大，计算效率比较低。轨道不平顺是典型的随机过程，考虑车桥耦合振动分析的时域求解一般采用积分法，例如Newmark-β法、中心差分法和、Wilson-θ等法，部分算法对积分步长有一定的要求，即使采用模态叠加法简化桥梁的计算，其计算效率相对于频域方法仍比较低，对于需要大量算例的研究计算效率无疑是重要的影响因素。
发明内容
针对现有技术中的上述不足，本发明提供的基于频域法的车致桥梁横向振动计算方法解决了通过传统的时域分析法确定横向振动时，计算量大且计算效率较低的问题。
为了达到上述发明目的，本发明采用的技术方案为：一种基于频域法的车致桥梁横向振动反应计算方法，包括以下步骤：
S1、将列车轮对横向力简化为转向架力作用在桥梁结构上，并确定第k个转向架的横向力Fk(t)；
S2、通过有限元法构建桥梁动力方程，并根据桥梁位移Xb(t)将其分解为若干阶桥梁模态运动，建立桥梁模态运动方程；
S3、确定由转向架横向力Fk(t)引起的桥梁第i阶模态力pi(t)；
S4、根据单位荷载序列谱C1(ω)，确定不同速度下的列车荷载序列谱Cv(ω)；
S5、桥梁第i阶模态频谱
Figure BDA0002312369900000021
确定桥梁第i阶谐波模态谱
Figure BDA0002312369900000022
S6、将列车的荷载序列谱Cv(ω)和桥梁第i阶谐波模态谱
Figure BDA0002312369900000023
相乘，得到桥梁第i阶模态力pi(t)对应的模态力频谱P(ω)；
S7、将桥梁第i阶模态力频谱P(ω)与桥梁第i阶模态频响函数H(ω)相乘，得到桥梁第i阶模态反应频谱Q(ω)；
S8、对于桥梁第i阶模态反应频谱Q(ω)进行逆傅里叶变换并结合瞬态反应，得到完整的桥梁第i阶模态反应q(ωh,t)，并基于确定的模态数量得到车致桥梁的横向振动反应。
进一步地，所述步骤S1中，第k个转向架的横向力Fk(t)为：
Fk(t)＝F0(t-tk)
式中，下标k为列车包含的转向架数，且k＝0,1,…,2Nc-1，Nc为列车中的车辆数；
t为时刻；
tk为第k个转向架横向力滞后时间，且tk＝xk/v，xk是第k个转向架与第一个转向架之间的距离，v是列车的运行速度。
进一步地，所述步骤S2中构建的桥梁动力方程为：
Figure BDA0002312369900000031
式中，Mb为桥梁结构的质量矩阵；
Cb为桥梁结构的阻尼矩阵；
Kb为桥梁结构的刚度矩阵；
Xb(t)为桥梁在时刻t的位移；
Figure BDA0002312369900000032
为桥梁的加速度，即位移对时间的二阶导数；
Figure BDA0002312369900000033
为桥梁的速度，即位移对时间的一阶导数；
Pb(t)是作用在桥上的外力；
所述步骤S2中，将桥梁动力方程分解为桥梁模态运动方程的方法具体为：
A1、通过模态叠加法将桥梁位移Xb(t)分解为多个模态形状φi的叠加，将Xb(t)表示为：
Figure BDA0002312369900000034
式中，qi(t)为第i阶模态位移；
A2、基于模态形状叠加后的桥梁位移Xb(t)对桥梁动力方程进行分解，得到第i阶桥梁模态运动方程为：
Figure BDA0002312369900000035
式中，
Figure BDA0002312369900000036
为桥梁第i阶模态加速度；
Figure BDA0002312369900000037
为桥梁第i阶模态速度；
qi为桥梁第i阶模态位移；
ζi为第i阶桥梁模态振动的阻尼比；
ωb,i为第i阶桥梁模态振动的圆频率；
Pi(t)为第i阶桥梁模态力，且
Figure BDA0002312369900000038
Figure BDA0002312369900000039
为第i阶桥梁模态向量φi的转置。
进一步地，所述步骤S3中，由转向架横向力引起的桥梁第i阶模态力pi(t)为：
Figure BDA0002312369900000041
式中，L为桥梁跨度；
Π[·]为荷载作用在桥梁结构上的控制变量，且Π(u)＝{1,|u∈[0,1]；0|其它}；
当所述转向架横向力为简谐荷载时，将桥梁模态力频谱可分解为列车荷载序列谱和桥梁谐波模态谱的乘积；
所述简谐荷载为：
Figure BDA0002312369900000042
式中，ωh为简谐波的圆频率。
进一步地，所述步骤S4中的单位荷载序列谱C1(ω)；
Figure BDA0002312369900000043
式中，exp(·)为指数函数；
I为虚数；
ω为圆频率；
la为同一转向架前后轮对中的距离；
lc为同一车辆前后转向架中心的距离；
所述步骤S4中的列车的荷载序列谱Cv(ω)为：
Cv(ω)＝C1(ω/v)。
进一步地，所述步骤S5中的桥梁第i阶谐波模态谱
Figure BDA0002312369900000044
为：
Figure BDA0002312369900000045
式中，v≠1、ωh≠0
Figure BDA0002312369900000046
为v＝1，ωh＝0时的桥梁第i阶谐波模态谱，且
Figure BDA0002312369900000047
Figure BDA0002312369900000051
进一步地，所述步骤S6中的桥梁第i阶模态力频谱P(ω)为：
Figure BDA0002312369900000052
进一步地，所述步骤S7中桥梁第i阶模态反应频谱Q(ω)为：
Q(ω)＝H(ω)P(ω)
式中，H(ω)为桥梁第i阶模态频响函数，且
Figure BDA0002312369900000053
进一步地，所述步骤S8中，完整的桥梁第i阶模态反应q(ωh,t)为：
Figure BDA0002312369900000054
式中，π为圆周率；
A、B均为瞬态解常数项；
Figure BDA0002312369900000055
Figure BDA0002312369900000056
本发明的有益效果为：
本发明提供的基于频域法的车致桥梁横向振动计算方法，提出了一种新的车致桥梁横向振动反应的确定方法，相比于传统的时域分析法，将列车荷载频谱细分为荷载序列谱和桥梁谐波模态谱，研究横向简谐波频率、车速、荷载序列、不同荷载幅值对其影响关系，从理论上简化计算；将车桥横向振动直接解耦，将轮对横向力简化转向架力，通过轮对横向力的功率谱密度，采用频域算法，便于进行随机振动分析；因此，本发明提供的方法计算量小，计算效率高；且基于确定的模态数量，计算精度也较好。
附图说明
图1为本发明提供的基于频域法的车致桥梁横向振动反应计算方法流程图。
图2为本发明提供的实施例中一般铁路列车转向架布置情况示意图。
图3为本发明提供的实施例中通过频谱方法与Newmark-β桥梁响应对比示意图。
图4为本发明提供的实施例中不同车速下轮对横向力的功率谱示意图。
图5为本发明提供的实施例中简支梁位移响应的标准偏差示意图。
具体实施方式
下面对本发明的具体实施方式进行描述，以便于本技术领域的技术人员理解本发明，但应该清楚，本发明不限于具体实施方式的范围，对本技术领域的普通技术人员来讲，只要各种变化在所附的权利要求限定和确定的本发明的精神和范围内，这些变化是显而易见的，一切利用本发明构思的发明创造均在保护之列。
如图1所示，一种基于频域法的车致桥梁横向振动反应计算方法，包括以下步骤：
S1、将列车轮对横向力简化为转向架力作用在桥梁结构上，并确定第k个转向架的横向力Fk(t)；
S2、通过有限元法构建桥梁动力方程，并根据桥梁位移Xb(t)将其分解为若干阶桥梁模态运动，建立桥梁模态运动方程；
S3、确定由转向架横向力Fk(t)引起的桥梁第i阶模态力pi(t)；
S4、根据单位荷载序列频谱C1(ω)，确定不同速度下的列车荷载序列谱Cv(ω)；
S5、桥梁第i阶模态频谱
Figure BDA0002312369900000061
确定桥梁第i阶谐波模态谱
Figure BDA0002312369900000062
S6、将列车的荷载序列谱Cv(ω)和桥梁第i阶谐波模态谱
Figure BDA0002312369900000063
相乘，得到桥梁第i阶模态力pi(t)对应的模态力频谱P(ω)；
S7、将桥梁第i阶模态力频谱P(ω)与桥梁第i阶模态频响函数H(ω)相乘，得到桥梁第i阶模态反应频谱Q(ω)；
S8、对于桥梁第i阶模态反应频谱Q(ω)进行逆傅里叶变换并结合瞬态反应，得到完整的桥梁第i阶模态反应q(ωh,t)，并基于确定的模态数量得到车致桥梁的横向振动反应。
对于上述步骤S1，已有研究表明，桥梁的振动对轮轨力的影响有限，列车和桥梁的响应可以以解耦的方式求解，由于列车第一轮对和第三轮对的横向力几乎相同，第二和第四轮对的横向力也相似，因此，将每个转向架下方的两个轮对的横向力合计为一个转向架力，则两个转向架下方的横向力几乎相同。由于同一转向架下方的前后轮对之间的距离通常为1.5-2.5m，比桥的跨度小得多，因此可以将列车轮对横向力简化为转向架力作用在桥梁结构上。如图2所示，每个转向架的横向力近似可以看做一致，不同的转向架其横向力存在了时间滞后，将第k个转向架的横向力记做Fk(t)，其表示为：
Fk(t)＝F0(t-tk) (1)
式中，下标k为列车包含的转向架数，且k＝0,1,…,2Nc-1，Nc为列车中的车辆数；
t为时刻；
tk为第k个转向架横向力滞后时间，且tk＝xk/v，xk是第k个转向架与第一个转向架之间的距离，v是列车的运行速度。
上述步骤S2中构建的桥梁动力方程为：
Figure BDA0002312369900000071
式中，Mb为桥梁结构的质量矩阵；
Cb为桥梁结构的阻尼矩阵；
Kb为桥梁结构的刚度矩阵；
Xb(t)为桥梁在时刻t的位移；
Figure BDA0002312369900000081
为桥梁的加速度，即位移对时间的二阶导数；
Figure BDA0002312369900000082
为桥梁的速度，即位移对时间的一阶导数；
Pb(t)是由于移动力作用在桥上的外力；
其中，将桥梁动力方程分解为桥梁模态运动方程的方法具体为：
A1、通过模态叠加法将桥梁位移Xb(t)分解为多个模态形状φi的叠加，将Xb(t)表示为：
Xb(t)＝∑iqi(t)φi (3)
式中，qi(t)为第i阶模态位移；
A2、基于模态形状叠加后的桥梁位移Xb(t)对桥梁动力方程进行分解；
具体地，将式(3)代入式(2)，并在两侧均左乘以
Figure BDA0002312369900000083
并进行模态质量的归一化处理
Figure BDA0002312369900000084
将桥梁的动力方程分解为n个单自由度(SD0F)桥梁模态运动方程为：
Figure BDA0002312369900000085
式中，
Figure BDA0002312369900000086
为桥梁第i阶模态加速度；
Figure BDA0002312369900000087
为桥梁第i阶模态速度；
qi为桥梁第i阶模态位移；
ζi为第i阶桥梁模态振动的阻尼比；
ωb,i为第i阶桥梁模态振动的圆频率；
Pi(t)为第i阶桥梁模态力，且
Figure BDA0002312369900000088
Figure BDA0002312369900000089
为第i阶桥梁模态向量φi的转置。
上述步骤S3中，由转向架横向力引起的桥梁第i阶模态力pi(t)为：
Figure BDA0002312369900000091
式中，δ(.)是狄拉克函数；
L为桥梁跨度，x表示桥梁上的位置；
Π[·]为荷载作用在桥梁结构上的控制变量，且Π(u)＝{1,|u∈[0,1]；0|其它}。
在上述步骤S4～步骤S6中，列车施加在桥梁上的横向力是由轨道不平顺引起的轮对蛇形运动产生的，由于轨道不平顺随机的，因此常采用功率谱密度(PSD)生成轨道不平顺，进而描述轮对横向力。因此简谐荷载作用下的桥梁横向振动反应尤为重要，根据傅里叶变换原理，任何函数都可以分解为简谐荷载的叠加，如果轮对横向力为简谐荷载，圆频率为ωh，则简谐荷载
Figure BDA0002312369900000092
为：
Figure BDA0002312369900000093
式中，k＝0,1,2,…,2Nc-1；
ωh为简谐波的圆频率；
I为虚数；
此时，桥梁第i阶模态力pi(ωh,t)为：
Figure BDA0002312369900000094
桥梁第i阶模态力的频谱即为：
Figure BDA0002312369900000095
式中，ω为圆频率；
令t-tk＝t′，桥梁第i阶模态力的频谱P(ω)可以写做：
Figure BDA0002312369900000101
其中，Cv(ω)为列车的荷载序列谱；
Figure BDA0002312369900000102
Figure BDA0002312369900000103
为桥梁第i阶谐波模态谱；
Figure BDA0002312369900000104
对于如图2所示的一般铁路列车，单位荷载序列谱可以简化为：
Figure BDA0002312369900000105
式中，x2k＝klc，x2k+1＝klc+la；
lc是同一车辆前后转向架中心的距离；
la是同一转向架下前后轮对中心的距离；
令
Figure BDA0002312369900000106
可以推导出：
Figure BDA0002312369900000107
Z＝[exp(IωNclc)-1]/[exp(Iωlc)-1] (14)因此步骤S4中的单位荷载序列谱C1(ω)为：
Figure BDA0002312369900000108
对于exp(Iωlc)＝0的特殊情况，式(15)显然不适用，可以根据式(12)得到：
C1(ω)＝Nc[1+exp(Iωla)] (16)显然不同速度下的荷载序列谱满足下列关系：
Cv(ω)＝C1(ω/v) (17)
式中，C1(ω)为速度为1m/s时单位荷载序列谱,由此得到步骤S4中列车的荷载序列谱Cv(ω)；
对于v＝1，ωh＝0时，桥梁第i阶的谐波模态谱即为：
Figure BDA0002312369900000111
对于v≠1，ωh≠0，根据式(11)，此时得到步骤S5中的桥梁第i阶谐波模态谱为：
Figure BDA0002312369900000112
因此基于式(9)，步骤S6中的桥梁第i阶模态力的频谱P(ω)为：
Figure BDA0002312369900000113
对于上述步骤S7，利用频域法求解式(4)的第i阶桥梁运动方程，得到桥梁第i阶模态反应的频谱Q(ω)。即等于桥梁第i阶模态力的频谱P(ω)乘以桥梁第i阶模态频响函数H(ω)，即：
Q(ω)＝H(ω)P(ω) (21)
Figure BDA0002312369900000114
对于上述步骤S8，在考虑瞬态反应的情况下，对桥梁第i阶模态反应的频谱Q(ω)进行逆傅里叶变换，得到完整的桥梁第i阶模态反应q(ωh,t)为：
Figure BDA0002312369900000115
式中，π为圆周率；
A、B均为瞬态解常数项；
Figure BDA0002312369900000121
在本发明的一个实施例中，提供了上述基于频域法确定车致桥梁横向振动时的快速傅里叶实现方法，桥梁某一阶模态振动的频域求解若下所示，下文中φ皆指的是桥梁某一阶模态形状。
上述步骤S2中，通过模态叠加法将桥梁位移Xb(t)分解为多个模态形状φi的叠加。对于桥梁某一阶模态运动，将桥梁振动模态的离散化，桥梁模态形状表示为：
φ[n]＝φ(nΔx) (25)
式中，n＝0，1，...，N-1；
Δx＝L/(N-1)，是桥梁离散长度的尺寸。L是桥梁跨度。N为桥梁模态离散点数；
根据式(18)，对离散的桥梁模态形状进行FFT(快速傅里叶变换)，得到：
Figure BDA0002312369900000122
式中，i＝0，1，...，N-1；
φ1，0[i]对应的空间频率为：
Ω(i)＝iΔΩ (27)
式中，ΔΩ＝2π/N是FFT转换的基本空间频率。
在计算桥梁谐波模态频谱时，由于前面傅里叶变换的移频关系，根据式(19)，空间频率为Ωh＝jΔΩ的桥梁谐波模态频谱为
Figure BDA0002312369900000123
式(28)的第二个公式，由于φ1，0是周期为N的函数，即
φ1，0[i]＝φ1，0[N+i] (29)
考虑实际FFT计算的特性，频率范围ω(i)(i＝0,…,N-1)应该变为
Figure BDA0002312369900000131
此时，桥梁的上述步骤S5谐波模态频谱φ′v,j[i]即为：
Figure BDA0002312369900000132
上述步骤S6中的桥梁模态的频响函数为：
Figure BDA0002312369900000133
根据式(21)，荷载的序列谱即为
Figure BDA0002312369900000134
由此得到上述步骤S7中的桥梁模态反应频谱Q′[i]为：
Q′[il＝H[i]Cv[i]φ′j，v[i] (33)
式中，i＝-(N-1)/2,…,(N-1)/2；
根据式24，桥梁模态反应的瞬态解常数项A，B即为：
Figure BDA0002312369900000135
对于
Figure BDA0002312369900000136
的逆傅里叶变换,频率范围应该变为：
Figure BDA0002312369900000137
上述步骤S8中，桥梁时域的模态反应可以通过对Q[i]进行逆傅里叶变换，再叠加初始条件得到。即：
Figure BDA0002312369900000138
式中，n＝0,1,…,N-1；
ωh＝jvΔΩ,t[n]＝nL/(N-1)，表示离散的时间点。
需要说明的是，为了使时间跨度涵盖列车通过桥梁的整个过程，长度L应大于桥梁跨度与列车长度之和。在扩展长度范围内，应将桥跨之外的模态形状赋值为零。
在本发明的一个实施例中，通过具体的算例，对使用频谱方法分析了一系列简谐移动力通过简支梁的桥梁响应与Newmark-β时域积分方法计算的桥梁响应进行了比较：
计算参数：桥梁跨度L＝32m，桥梁的第i阶频率ωb,i/(2π)＝13.57i2Hz，桥梁每米质量m＝28125kg/m，模态阻尼比ζi＝0.05，荷载幅值F0＝17.5kN，车速v＝350km/h，lc＝26m，la＝17.5m，车辆数Nc＝8，简谐力的频率ωh/(2π)＝10.80Hz，i指的是第i阶桥梁模态。
如图3所示，将本发明的频域法与Newmark-β得到的桥梁响应比较，可以看出两种方法得到桥梁相应比较吻合；其中，(a)为频域法，(b)为时域分析法；
图3中的桥梁响应是仅具有一个频率分量的运动的轮对横向力引起的。实际上，由于轨道不平顺过程是随机的，轮对横向力频率范围很宽。如图4所示，采用典型横向力功率谱用作该桥的随机输入。
利用频谱方法对移动随机横向力下的简支梁桥梁响应进行分析统计。在100-350km/h的速度下，中跨和1/4跨的桥梁位移的最大标准偏差如图4所示。使用第一阶模态获得的桥梁位移与包含前七阶模态获得的桥梁位移非常接近。显然，在真实列车速度范围内，除了第一阶模态以外的高阶模态对桥梁位移的贡献非常有限。
速度100-350km/h时，中跨和1/4跨的桥梁加速度的最大标准偏差如图5所示。仅考虑第一阶模态获得的桥梁中跨加速度与通过前七阶模态获得结果非常接近。但是，对于1/4桥梁跨度的加速度，车速为250-350km/h时，由第一阶模态计算结果远小于使用前七阶模态。
上述算例表明，当采用适当的模态阶数时，频域算法精度基本与Newmark-β法一致。另外，计算效率方面频域算法要远优于时域数值积分法。
本发明的有益效果为：
本发明提供的基于频域法的车致桥梁横向振动计算方法，提出了一种新的车致桥梁横向振动反应确定方法，相比于传统的时域分析法，将列车荷载频谱细分为荷载序列谱和桥梁谐波模态谱，研究横向简谐波频率、车速、荷载序列、不同荷载幅值对其影响关系，从理论上简化计算；将车桥横向振动直接解耦，将轮对横向力简化转向架力，通过轮对横向力的功率谱密度，采用频域算法，便于进行随机振动分析；因此，本发明提供的方法计算量小，计算效率高；且基于确定的模态数量，计算精度也较好。

Claims (9)

1.一种基于频域法的车致桥梁横向振动反应计算方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1、将列车轮对横向力简化为转向架力作用在桥梁结构上，并确定第k个转向架的横向力Fk(t)；
S2、通过有限元法构建桥梁动力方程，并根据桥梁位移Xb(t)将其分解为若干阶桥梁模态运动，建立桥梁模态运动方程；
S3、确定由转向架横向力Fk(t)引起的桥梁第i阶模态力pi(t)；
S4、根据单位荷载序列谱C1(ω)，确定不同速度下的列车荷载序列谱Cv(ω)；
S5、桥梁第i阶模态频谱
Figure FDA0002312369890000011
确定桥梁第i阶谐波模态谱
Figure FDA0002312369890000012
S6、将列车的荷载序列谱Cv(ω)和桥梁第i阶谐波模态谱
Figure FDA0002312369890000013
相乘，得到桥梁第i阶模态力pi(t)对应的模态力频谱P(ω)；
S7、将桥梁第i阶模态力频谱P(ω)与桥梁第i阶模态频响函数H(ω)相乘，得到桥梁第i阶模态反应频谱Q(ω)；
S8、对于桥梁第i阶模态反应频谱Q(ω)进行逆傅里叶变换并结合瞬态反应，得到完整的桥梁第i阶模态反应q(ωh，t)，并基于确定的模态数量得到车致桥梁的横向振动反应。
2.根据权利要求1所述的基于频域法的车致桥梁横向振动反应计算方法，其特征在于，所述步骤S1中，第k个转向架的横向力Fk(t)为：
Fk(t)＝F0(t-tk)
式中，下标k为列车包含的转向架数，且k＝0，1，...，2Nc-1，Nc为列车中的车辆数；
t为时刻；
tk为第k个转向架横向力滞后时间，且tk＝xk/v，xk是第k个转向架与第一个转向架之间的距离，v是列车的运行速度。
3.根据权利要求2所述的基于频域法的车致桥梁横向振动反应计算方法，其特征在于，所述步骤S2中构建的桥梁动力方程为：
Figure FDA0002312369890000021
式中，Mb为桥梁结构的质量矩阵；
Cb为桥梁结构的阻尼矩阵；
Kb为桥梁结构的刚度矩阵；
Xb(t)为桥梁在时刻t的位移；
Figure FDA0002312369890000022
为桥梁的加速度，即位移对时间的二阶导数；
Figure FDA0002312369890000023
为桥梁的速度，即位移对时间的一阶导数；
Pb(t)是作用在桥上的外力；
所述步骤S2中，将桥梁动力方程分解为桥梁模态运动方程的方法具体为：
A1、通过模态叠加法将桥梁位移Xb(t)分解为多个模态形状φi的叠加，将Xb(t)表示为：
Figure FDA0002312369890000024
式中，qi(t)为第i阶模态位移；
A2、基于模态形状叠加后的桥梁位移Xb(t)对桥梁动力方程进行分解，得到第i阶桥梁模态运动方程为：
Figure FDA0002312369890000025
式中，
Figure FDA0002312369890000026
为桥梁第i阶模态加速度；
Figure FDA0002312369890000027
为桥梁第i阶模态速度；
qi为桥梁第i阶模态位移；
ζi为第i阶桥梁模态振动的阻尼比；
ωb，i为第i阶桥梁模态振动的圆频率；
Pi(t)为第i阶桥梁模态力，且
Figure FDA0002312369890000031
Figure FDA0002312369890000032
为第i阶桥梁模态向量φi的转置。
4.根据权利要求3所述的基于频域法的车致桥梁横向振动反应计算方法，其特征在于，所述步骤S3中，由转向架横向力引起的桥梁第i阶模态力pi(t)为：
Figure FDA0002312369890000033
式中，L为桥梁跨度；
Π[·]为荷载作用在桥梁结构上的控制变量，且Π(u)＝{1，|u∈[0，1]；0|其它}；
当所述转向架横向力为简谐荷载时，将桥梁模态力频谱可分解为列车荷载序列谱和桥梁谐波模态谱的乘积；
所述简谐荷载为：
Figure FDA0002312369890000034
式中，ωh为简谐波的圆频率。
5.根据权利要求4所述的基于频域法的车致桥梁横向振动反应计算方法，其特征在于，所述步骤S4中的单位荷载序列谱C1(ω)；
Figure FDA0002312369890000035
式中，exp(·)为指数函数；
I为虚数；
ω为圆频率；
la为同一转向架前后轮对中的距离；
lc为同一车辆前后转向架中心的距离；
所述步骤S4中的列车的荷载序列谱Cv(ω)为：
Cv(ω)＝C1(ω/v)。
6.根据权利要求5所述的基于频域法的车致桥梁横向振动反应计算方法，其特征在于，所述步骤S5中的桥梁第i阶谐波模态谱
Figure FDA0002312369890000041
为：
Figure FDA0002312369890000042
式中，v≠1、ωh≠0
Figure FDA00023123698900000410
为v＝1，ωh＝0时的桥梁第i阶谐波模态谱，且
Figure FDA0002312369890000043
Figure FDA0002312369890000044
7.根据权利要求6所述的基于频域法的车致桥梁横向振动反应计算方法，其特征在于，所述步骤S6中的桥梁第i阶模态力频谱P(ω)为：
Figure FDA0002312369890000045
8.根据权利要求7所述的基于频域法的车致桥梁横向振动反应计算方法，其特征在于，所述步骤S7中桥梁第i阶模态反应频谱Q(ω)为：
Q(ω)＝H(ω)P(ω)
式中，H(ω)为桥梁第i阶模态频响函数，且
Figure FDA0002312369890000046
9.根据权利要求8所述的基于频域法的车致桥梁横向振动反应计算方法，其特征在于，所述步骤S8中，完整的桥梁第i阶模态反应q(ωh，t)为：
Figure FDA0002312369890000047
式中，π为圆周率；
A、B均为瞬态解常数项；
Figure FDA0002312369890000048
Figure FDA0002312369890000049
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