CN110990979A - 一种弧面凸轮轴截面特征线的求解方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种弧面凸轮轴截面特征线的求解方法，通过定义弧面凸轮廓面的特定线，并建立特征线求解坐标系，可知弧面凸轮廓面方程与轴截面方程的交线为特征线方程，通过计算推导得到弧面凸轮廓面的特征线方程；根据弧面凸轮分度机构的运动规律曲线，在停歇段和分度段分别采用不同方法进行处理；对停歇段直接根据设定的凸轮转角α值，通过刀具进给量b的取值范围精确求解出特征线；对分度段采用牛顿迭代法进行最小距离的近似求解，并采用NURBS曲线进行拟合，大大提高了弧面特征线的求解精度。本发明一种弧面凸轮轴截面特征线的求解方法，将弧面凸轮廓面分为两部分进行不同求解，大大提高了求解的准确度，为弧面凸轮廓面的误差测量与评定提供准确的理论特征线。

Description

一种弧面凸轮轴截面特征线的求解方法

技术领域

本发明设计属于弧面凸轮误差测量评定技术领域，具体为弧面凸轮廓面的加工误差测量与误差评定提供理论支撑。

背景技术

自动换刀装置(ATC)是加工中心的重要功能部件，而ATC的工作性能很大一部分取决于弧面凸轮的加工精度。弧面凸轮的工作廓面为复杂空间不可展曲面，很难用常规的方法进行测量与评价。目前，通用性的复杂曲面测量方法是坐标测量法，但这种方法测量速度慢，数据处理复杂。弧面凸轮属于回转体，可以用特征线来表示本身的特征，通过测量特征线的方法来评定回转体的轮廓度，这种方法可以提高测量速度。对于测量弧面凸轮廓面加工误差采用轴截面进行测量，可提高检测的精度。因此，需要一种弧面凸轮轴截面特征线的求解方法，为弧面凸轮廓面加工精度的误差测量与评定提供理论基础。

发明内容

本发明目的在于提出了一种弧面凸轮轴截面特征线的求解方法，为弧面凸轮廓面加工精度的误差测量与评定提供理论基础。

为实现上述目的，本发明采用的技术方案为一种弧面凸轮轴截面特征线的求解方法，包括如下步骤：

(1)弧面凸轮廓面特征线定义

为了统一概念，将弧面凸轮的廓面及特征线进行定义：当凸轮转角为α时，α对应的轴截面为S_α；α＝0°时的轴截面S₀作为基准面，测量时凸轮转动，基准面保持不变；凸轮与从动滚子接触的廓面为工作廓面记为S_p；定义凸轮轴截面S_α与工作廓面S_p的交线为理论特征线L_α。

根据弧面凸轮廓面的特征线轴截面廓线定义，在求解过程中设轴截面与参考面成α角，则在α角度下的特征线都将在轴截面上，即满足y/x＝tanα条件的工作廓面坐标点构成轴截面特征线。α角度不同的轴截面特征线的形状和数量有所不同。凸轮转角α下的轴截面方程为：

式中：x、y分别为弧面凸轮廓面及特征线横纵坐标；

(2)特征线方程

根据弧面凸轮廓面和轴截面特征线的定义，可知弧面凸轮廓面方程与轴截面方程的交线即为特征线，因此弧面凸轮廓面特征线方程可以表示如下：

式中：x、y、z分别为弧面凸轮廓面及特征线上点的坐标；b为点P与点O₀的距离，d为刀具直径，a为机床A轴旋转中心线与B轴摆动中心线之间的距离，称为中心距。A轴转角α和B轴转角β的关系由预先设计的弧面凸轮机构的运动规律曲线决定，是已知条件。

(3)特征线求解

弧面凸轮廓面特征线的方程中的变量为α∈[0°,360°]和b∈[b_min,b_max]，β与α符合凸轮分度机构的运动规律曲线，其它参数都是常量。在停歇段和分度段分别采用不同方法进行处理。为了方便叙述弧面凸轮特征线的求解过程，将特征线方程是定义为：

式中：α—为凸轮转角，α∈[0°,360°]；b—为刀具进给量，b∈[b_min,b_max]，b_max为刀具最大进给量，b_min为刀具最小进给量；

a)停歇段特征线在停歇段，凸轮转动，滚子保持不动，即α在停歇段改变时β不变，弧面凸轮廓面与从动滚子的接触线就是α角度下的轴截面特征线，因此可直接根据设定的α角度，通过b的取值范围精确求解出停歇段特征线，通过特征线方程可以求解出停歇段的特征线为直线。

b)分度段特征线在分度段，由滚子转动实现换刀动作，α和β在分度段同时改变，因此弧面凸轮与滚子之间存在压力角，导致在同一凸轮转角α下弧面凸轮廓面与从动滚子的接触线偏离了α角度下的轴截面，不能按照停歇段的方法求解分度段的特征线。在弧面凸轮的分度段，由于α和β的运动规律复杂，导致弧面凸轮廓面方程为超越方程，弧面凸轮的特征线方程在分度段也为超越方程，超越方程不能采用常规方法对其进行求解，只能用数值法求解。

弧面凸轮分度段特征线求解过程是建立在弧面凸轮廓面模型数值法求解的基础之上进行的，主要包括：1)在给定凸轮转角α和刀具进深b时，设定凸轮转角α∈[α-Δα,α+Δα]，(其中Δα为搜索区间偏差)，在该区间下采用数值法求解凸轮廓面点；2)比较所求解的廓面点到轴截面y/x＝tanα的距离，搜索找到距离最小的点，并将该点向轴截面投影，投影点即为弧面凸轮分度段轴截面上的特征线点；3)将所求的特征点拟合成曲线即为弧面凸轮分度段的特征线。

为了保证弧面凸轮分度段特征线的精度，采用牛顿迭代法进行最小距离的近似求解，其迭代公式如下：

满足D(α)≤0.001时停止迭代，以此时角α下的弧面凸轮廓面点p(x,y,z)向平面tanα＝y/x投影后的点p_c(x_c,y_c,z_c)作为弧面凸轮分度段特征线上的点，即：

式中：(x_c,y_c,z_c)—为弧面凸轮廓面点平面tanα＝y/x投影后的点的坐标值；(n_x，n_y，n_z)—为平面tanα＝y/x的法向量；λ—为中间变量。

利用上式即可求解出弧面凸轮廓面点p(x,y,z)向平面tanα＝y/x投影后的点p_c(x_c,y_c,z_c)。可分别求出在b＝b₁,b₂,...,b_n下的投影点坐标：

最后将上式中所有点采用NURBS曲线进行拟合即为弧面凸轮分度段的特征线。

NURBS(Non Uniform Rational B-spline)曲线通常称为非均匀有理B样条曲线，其数学定义如下：

式中P(K)—为曲线上的位置向量；N_i,m(K)—为m次样条基函数；P_j—为控制点；R_j—为权因子，K为节点矢量。

4)NURBS曲线求解过程如下：

(1)数据点参数化采用向心参数化方法对数据点进行参数化。计算公式如下：

式中ΔP_i—为向前差分矢量；ΔP_i＝P_i+1-P_i—即弦线矢量。

(2)计算节点矢量对于非周期NURBS曲线，一般取两端节点的重复度为k+1，即节点矢量K＝[α,...,α,K_i+1,....,Kn,β,...,β]，α和β的值分别为0和1。

(3)求解基函数NURBS基函数的求解是一个递推过程。m次NURBS基函数是由相邻两个m-1次NURBS基函数的线型组合构成。基函数N_i,m(K)的递推公式为：

N_i,m(K)的双下角标中第一个下角标i为基函数序号；第二个下角标m为次数。每一个基函数由K取值范围内的m个子区间定义。

(4)求解控制顶点设通过n+1个型值点Q_j，j＝0,1,…,n的m次NURBS曲线方程为：

其中

将型值点Q_j对应参数

代入上式，得到线性方程组：

因此，可将求解控制点的问题转化为求解线性方程组，利用Matlab中的求解函数linsolve，求解线性方程组Ax＝b的解。

(5)插值得到曲线最终根据控制顶点和节点矢量并通过插值的方式生成NURBS曲线

与现有技术相比，本发明具有如下有益效果：

本发明提出的一种弧面凸轮轴截面特征线的求解方法，其求解精度高，可根据实际不同的弧面凸轮参数进行，重新定义特征线；可为弧面凸轮的误差测量与误差评定提供一定的理论基础。

除了上面所描述的目的、特征和优点之外，本发明还有其他的目的、特征和优点。下面将参照图，对本发明作进一步详细的说明。

附图说明

构成本申请的一部分的附图用来提供对本发明的进一步理解，本发明的示意性实施例及其说明用于解释本发明，并不够成对本发明的不当限定。在附图中：

图1是一种弧面凸轮轴截面特征线的求解方法的流程示意图。

图2是一种弧面凸轮轴截面特征线的求解方法的弧面凸轮特征线求解坐标系。

图3是一种弧面凸轮轴截面特征线的求解方法的Matlab计算廓面点流程图。

图4是一种弧面凸轮轴截面特征线的求解方法的NURBS曲线算法流程。

图5是凸轮转角为30°和40°的上廓面理论特征线。

图6是凸轮转角为30°和40°的下廓面理论特征线。

具体实施方式

在下面的描述中阐明了很多具体细节以便于充分理解本发明。但是本发明能够以很多不同与在此描述的其他方式来实施，本领域技术人员可以在不违背本发明内涵的情况下做类似推广，因此本发明不受下面公开的具体实施的限制。

其次，本发明利用示意图进行详细描述，在详述本发明实施例时，为便于说明，所述示意图只是实例，其在此不应限制本发明保护的范围。

下面结合附图对本发明的实施例进行详细说明：

对特征线求解，分为3部分，其求解流程如图1所示。

第一步弧面凸轮廓面特征线

为了同一概念，将弧面凸轮的廓面及特征线进行定义：当凸轮转角为α时，α对应的轴截面为Sα；α＝0o时的轴截面S0作为基准面，测量时凸轮转动，基准面保持不变；凸轮与从动滚子接触的廓面为工作廓面记为Sp；定义凸轮轴截面Sα与工作廓面Sp的交线为理论特征线Lα。

特征线上的点定义为特征点。理论特征点与其对应的实测特征点之间的距离用来衡量特征线的变动量，将实测特征线与理论特征线的最大变动量定义为弧面凸轮的线轮廓度误差，符合GB/T 1182-2008中定义的轮廓度误差。测量时凸轮转动，测得不同凸轮转角α下的特征线，误差评定是与相对应的理论特征线作比较得到线轮廓度误差；可以对多条特征线进行测量，用来评价弧面凸轮的面轮廓度误差。

根据弧面凸轮廓面的特征线轴截面廓线定义，在求解过程中设轴截面与参考面成α角，则在α角度下的特征线都将在轴截面上，即满足y/x＝tanα条件的工作廓面坐标点构成轴截面特征线。求解弧面凸轮廓面的特征线轴截面廓线的坐标系如图2所示。α角度不同的轴截面特征线的形状和数量有所不同。图2中的两条特征线分别在不同的工作廓面上。

凸轮转角α下的轴截面方程为：

第二步建立特征线方程

根据弧面凸轮廓面和轴截面特征线的定义，可知弧面凸轮廓面方程与轴截面方程的交线即为特征线，因此弧面凸轮廓面特征线方程可以表示如下：

第三步特征线求解

弧面凸轮廓面特征线的方程中的变量为α∈[0°,360°]和b∈[b_min,b_max]，β与α符合凸轮分度机构的运动规律曲线，其它参数都是常量。可以参考弧面凸轮建模的数值方法求解廓面特征线，并根据凸轮分度机构的运动规律曲线，在停歇段和分度段分别采用不同方法进行处理。为了方便叙述弧面凸轮特征线的求解过程，将特征线方程是定义为：

式中α——凸轮转角，α∈[0°,360°]；

b——刀具进给量，b∈[b_min,b_max]。

1)停歇段特征线在停歇段，凸轮转动，滚子保持不动，即α在停歇段改变时β不变，弧面凸轮廓面与从动滚子的接触线就是α角度下的轴截面特征线，因此可直接根据设定的α角度，可通过β的取值范围精确求解出停歇段特征线，通过特征线方程停歇段的特征线为直线。弧面凸轮廓面的轴截面特征线可以等价于在α相同的角度下，不同的b值所绘制出的曲线。

2)分度段特征线在分度段，由滚子转动实现换刀动作，α和β在分度段同时改变，因此弧面凸轮与滚子之间存在压力角，导致在同一凸轮转角α下弧面凸轮廓面与从动滚子的接触线偏离了α角度下的轴截面，不能按照停歇段的方法求解分度段的特征线。所以分度段特征线需要根据其方程的特点寻找特定的方法进行求解。

在弧面凸轮的分度段，由于α和β的运动规律复杂(如本发明采用的修正正弦曲线)，导致弧面凸轮廓面方程为超越方程，所以弧面凸轮的特征线方程在分度段也为超越方程，超越方程不能采用常规方法对其进行求解，只能用数值法求解。参考弧面凸轮的建模过程，结合弧面凸轮分度段特征线的特点，通过对不同数值解法的比较，拟采用最小距离法进行弧面凸轮分度段特征线的求解。

弧面凸轮分度段特征线求解过程是建立在弧面凸轮廓面模型数值法求解的基础之上进行的，主要包括：1)在给定凸轮转角α和刀具进深b时，设定凸轮转角α∈[α-Δα,α+Δα]，(其中Δα＝5°)，在该区间下采用数值法求解凸轮廓面点；2)比较所求解的廓面点到轴截面y/x＝tanα的距离，搜索找到距离最小的点，并将该点向轴截面投影，投影点即为弧面凸轮分度段轴截面上的特征线点；3)将所求的特征点拟合成曲线即为弧面凸轮分度段的特征线。

为了保证弧面凸轮分度段特征线的精度，采用牛顿迭代法进行最小距离的近似求解，其迭代公式如下：

满足D(α)≤0.001时停止迭代，以此时α下的弧面凸轮廓面点p(x,y,z)向平面tanα＝y/x投影后的点作为弧面凸轮分度段特征线上的点，即：

即可求解出弧面凸轮廓面点p(x,y,z)向平面tanα＝y/x投影后的点p_c(x_c,y_c,z_c)。可分别求出在b＝b₁,b₂,...,b_n下的投影点坐标：

最后将所有点采用NURBS曲线进行拟合即为弧面凸轮分度段的特征线，Matlab求解分度期特征点的流程如图3所示，特征线的拟合步骤如下：

(1)数据点参数化本发明采用向心参数化方法对数据点进行参数化。计算公式如下：

式中ΔP_i——为向前差分矢量；

ΔPi＝P_i+1-P_i——即弦线矢量。

(2)计算节点矢量对于非周期NURBS曲线，一般取两端节点的重复度为k+1，即K＝[α,...,α,K_i+1,....,Kn,β,...,β]，本发明中α和β的值分别为0和1。

(3)求解基函数NURBS基函数的求解是一个递推过程。m次NURBS基函数是由相邻两个m-1次NURBS基函数的线型组合构成。其递推公式为：

N_i,m(K)的双下角标中第一个下角标i为基函数序号；第二个下角标m为次数。每一个基函数由K取值范围内的m个子区间定义。

(4)求解控制顶点设通过n+1个型值点Q_j,j＝0,1,…,n的m次NURBS曲线方程为：

其中

将型值点Q_j对应参数

代入上式，得到线性方程组：

因此，将求解控制点的问题转化为求解线性方程组，利用Matlab中的求解函数linsolve，求解线性方程组Ax＝b的解。

(5)插值得到曲线最终根据控制顶点和节点矢量并通过插值的方式生成NURBS曲线。NURBS曲线整体算法流程如图4所示。

通过上述求解过程对分度期理论特征线进行拟合，以弧面凸轮TC40为例，其参数：弧面凸轮外径D＝265mm，中心距a＝160mm，刀具垂直滚子轴线截面到转盘中心的距离b的范围是39.5mm≤b≤54.5mm，刀具直径d＝30mm。求解为凸轮转角为30°和40°下的分度期特征线，将拟合后的凸轮转角为30°下的上廓面特征线和凸轮转角为40°下的上廓面特征线放在同一坐标系中如图5所示；将拟合后的凸轮转角为30°下的下廓面特征线和凸轮转角为40°下的下廓面特征线放在同一坐标系中如图6所示。

结合图5和图6可知，在凸轮转角一定的情况下，分度期特征线不为直线；在凸轮转角不同的情况下，分度期特征线互不相同。

以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种弧面凸轮轴截面特征线的求解方法，其特征在于，包括如下步骤：

1)弧面凸轮廓面特征线定义；

将弧面凸轮廓面及特征线进行定义：当凸轮转角为α时，α对应的轴截面为S_α；α＝0°时的轴截面S₀作为基准面，测量时凸轮转动，基准面保持不变；凸轮与从动滚子接触的廓面为工作廓面记为S_p；定义凸轮轴截面S_α与工作廓面S_p的交线为特征线L_α；

根据弧面凸轮廓面的特征线轴截面廓线定义，在求解过程中设轴截面与参考面成α角度，则在α角度下的特征线都将在轴截面上，即满足y/x＝tanα条件的工作廓面坐标点构成轴截面特征线；α角度不同的轴截面特征线的形状和数量有所不同；凸轮转角α下的轴截面方程为：

式中：x、y分别为弧面凸轮廓面及特征线横纵坐标；

2)特征线方程；

根据弧面凸轮廓面和轴截面特征线的定义，弧面凸轮廓面方程与轴截面方程的交线即为特征线，因此弧面凸轮廓面特征线方程表示如下：

式中：x、y、z分别为弧面凸轮廓面及特征线上点的坐标；b为点P与点O₀的距离，d为刀具直径，a为机床A轴旋转中心线与B轴摆动中心线之间的距离，称为中心距；A轴转角α和B轴转角β的关系由预先设计的弧面凸轮机构的运动规律曲线决定，是已知条件；

3)特征线求解

弧面凸轮廓面特征线的方程中的变量为α∈[0°,360°]和b∈[b_min,b_max]，β与α符合凸轮分度机构的运动规律曲线，其它参数都是常量，在停歇段和分度段分别采用不同方法进行处理。

2.根据权利要求1所述的一种弧面凸轮轴截面特征线的求解方法，其特征在于，弧面凸轮特征线的求解过程，将特征线L_α的方程定义为：

式中：α—为凸轮转角，α∈[0°,360°]；b—为刀具进给量，b∈[b_min,b_max]，b_max为刀具最大进给量，b_min为刀具最小进给量；

1)停歇段特征线在停歇段，凸轮转动，滚子保持不动，即α在停歇段改变时β不变，弧面凸轮廓面与从动滚子的接触线就是α角度下的轴截面特征线，因此直接根据设定的α角度，通过β的取值范围精确求解出停歇段特征线，通过特征线方程停歇段的特征线为直线；弧面凸轮廓面的轴截面特征线等价于在α相同的角度下，不同的b值所绘制出的曲线；

2)分度段特征线在分度段，由滚子转动实现换刀动作，α和β在分度段同时改变，因此弧面凸轮与滚子之间存在压力角，导致在同一凸轮转角α下弧面凸轮廓面与从动滚子的接触线偏离α角度下的轴截面，不能按照停歇段的方法求解分度段的特征线。

3.根据权利要求1所述的一种弧面凸轮轴截面特征线的求解方法，其特征在于，弧面凸轮分度段特征线求解过程是建立在弧面凸轮廓面模型数值法求解的基础之上进行的，包括：1)在给定凸轮转角α和刀具进深b时，设定凸轮转角α∈[α-Δα,α+Δα]，其中Δα为搜索区间偏差，在该区间下采用数值法求解凸轮廓面点；2)所求解的廓面点到轴截面y/x＝tanα的距离，搜索找到距离最小的点，并将该点向轴截面投影，投影点即为弧面凸轮分度段轴截面上的特征线点；3)将所求的特征点拟合成曲线即为弧面凸轮分度段的特征线。

4.根据权利要求1所述的一种弧面凸轮轴截面特征线的求解方法，其特征在于：为保证弧面凸轮分度段特征线的精度，采用牛顿迭代法进行最小距离的近似求解，求解的迭代公式如下：

α∈[α-Δα,α+Δα],b＝b₁,b₂,...,b_n

满足D(α)≤0.001时停止迭代，以此时角α下的弧面凸轮廓面点p(x,y,z)向平面tanα＝y/x投影后的点p_c(x_c,y_c,z_c)作为弧面凸轮分度段特征线上的点，即：

式中：(x_c,y_c,z_c)—为弧面凸轮廓面点平面tanα＝y/x投影后的点的坐标值；(n_x，n_y，n_z)—为平面tanα＝y/x的法向量；λ—为中间变量；

利用上式即求解出弧面凸轮廓面点p(x,y,z)向平面tanα＝y/x投影后的点p_c(x_c,y_c,z_c)，分别求出在b＝b₁,b₂,...,b_n下的投影点坐标：

最后将投影点坐标中的公式所有点采用NURBS曲线进行拟合即为弧面凸轮分度段的特征线。

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