CN110749858B - 一种基于多项式求根的展开互质阵测向估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于多项式求根的展开互质阵测向估计方法，包括如下步骤：建立展开互质线阵的阵列信号的数学模型；根据建立的数学模型求出协方差矩阵，并对协方差矩阵进行特征值分解，获得信号子空间和噪声子空间；由展开互质线阵和一维均匀线阵的关系构建抽取矩阵，根据抽取矩阵和噪声子空间的关系构建求根多项式；通过得到的求根多项式进行求根，并确定信源角度对应的根；完成一维DOA估计。本发明通过结合ROOT‑MUSIC算法和展开互质线阵的优点，可以利用展开互质线阵有效提高空间自由度的同时，由于ROOT‑MUSIC算法无需进行谱峰搜索而降低了算法复杂度，从而得到较高精度的一维DOA估计。

Description

一种基于多项式求根的展开互质阵测向估计方法

技术领域

本发明属于阵列信号处理领域，具体涉及一种基于多项式求根的展开互质阵测向估计方法。

背景技术

早期的DOA估计研究均基于均匀线阵，即为各阵元等间距地排列在同一直线上的一维阵列，均匀线阵具有结构简单的优点，但由于各阵元均位于同一直线上，因此只能进行一维的角度估计。传统一维均匀线阵虽然能进行有效的DOA估计，但是存在一定的缺陷。以均匀线阵为例，包含M个阵元的均匀线阵最多只能检测出M-1个信源，即DOF＝M，空间自由度较小。同时，为了避免角度模糊问题，传统阵列的阵元间距通常需要小于等于接收信号波长的一半，然而阵元间距离过近会带来较强的互耦影响，从而降低估计精度。为了解决这两个问题，学者们提出了稀疏阵列的概念。常见的稀疏阵列有最小冗余阵、嵌套阵、互质阵等。其中，互质阵由两个阵元数互质且首阵元重合的均匀线阵组成。若两个子阵的阵元数分别为M和N，则阵元总数为M+N-1的互质线阵可获得O(MN)的空间自由度，而阵元数相同的均匀线阵仅可获得O(M+N)的空间自由度，因此互质结构使得阵列可探测的信源数获得了极大提升。同时，互质线阵中两个子阵的阵元间距分别为半波长的N倍和M倍，阵元间距远大于均匀线阵，故阵元间的互耦效应也得到了有效削弱。在此基础上，学者们又相继提出了多种优化的互质阵列结构，如增广互质线阵、压缩阵元间距的互质线阵、子阵移位的互质线阵等，这些优化阵列均在一定程度上提高了阵列的空间自由度或削弱了阵列的互耦效应。

在传统的互质阵DOA估计算法中，使用较为广泛的算法是解模糊方法和虚拟化方法两大类，解模糊方法分别对两个子阵进行DOA估计，并利用子阵阵元数的互质特性对比估计结果，从而得到唯一的DOA估计值。但是该解模糊方法虽易于实现，但对两个子阵分别估计的方法使得空间自由度大幅降低。

发明内容

发明目的：为了克服现有技术中存在的不足，提供一种基于多项式求根的展开互质阵测向估计方法，其降低了传统MUSIC算法进行一维角度估计需要谱峰搜索带来的高复杂度，在充分利用展开互质阵高自由度特点的同时保证了信号角度参数估计的性能。

技术方案：为实现上述目的，本发明提供一种基于多项式求根的展开互质阵测向估计方法，包括如下步骤：

S1：建立展开互质线阵的阵列信号的数学模型；

S2：根据建立的数学模型求出协方差矩阵，并对协方差矩阵进行特征值分解，获得信号子空间和噪声子空间；

S3：由展开互质线阵和一维均匀线阵的关系构建抽取矩阵，根据抽取矩阵和噪声子空间的关系构建求根多项式；

S4：通过步骤S3中得到的求根多项式进行求根，并确定信源角度对应的根；

S5：完成一维DOA估计。

进一步的，所述步骤S1中数学模型的建立具体为：

所述展开互质线阵由两个子阵列组成，分别为在原点左右两侧的第一阵列和第二阵列，所述第一阵列和第二阵列的阵元数分别为M和N，阵元间距分别为Nλ/2和Mλ/2，其中M和N互为质数，λ为波长，展开互质阵在原点处重叠，除了原点处阵元，其他各阵元位置互不重叠，记阵元间距d₁＝Nλ/2，d₂＝Mλ/2，，则展开互质线阵上每个阵元的位置可以表示为

Ls＝{(-m₁d₁，0)，|m₁＝0，1，2…M-1}∪{(0，m₂d₂)，|m₂＝0，1，2…N-1}

原点处的阵元由第一阵列和第二阵列所共享，互质线阵的总阵元数目为M+N-1；

设定空域中有K个相互独立的信源，第k个信号的入射角度记为θ_k，k＝1，2，…，K，则第i个第二阵列的接收信号表示为X_i＝A_iS+N_i

A_i＝[a_i(θ₁)，a_i(θ₂)，…，a_i(θ_k)]，子阵1与子阵2的区别仅在：/>A_i表示子阵i的方向矩阵，S＝[s₁，s₂，…，s_K]^T是信源矩阵，s_k＝[s_k(1)，s_k(2)，…，s_k(J)]，(k＝1，2，…，K)，J表示快拍数，/>为子阵i的噪声矩阵。

考虑展开互质阵的方向阵作整体处理，则A＝[a(θ₁)，a(θ₂)，…，a(θ_k)]，，S是信源矩阵，J表示快拍数，N∈C^(M+N-1)×J为展开互质阵的噪声矩阵。则接收信号可表示为X＝AS+N。

进一步的，所述步骤S2中协方差矩阵的具体求解为：

获取J个快拍得到的协方差矩阵的估计：

所述步骤S2中对协方差矩阵的特征值分解的表达式如下：

其中，U_S表示信号子空间，U_N表示噪声子空间，D_S和D_N均表示对角矩阵。

进一步的，所述步骤S3中抽取矩阵的构建具体为：在一维均匀线阵中，基于ROOT-MUSIC算法定义多项式：

其中，u_l是矩阵R的第l个特征向量，并且p₁(z)＝[1，z，…，z^N-1]^T；

一维均匀线阵的阵元位置表示为Ls₁＝{(-(M-1)d，…，0，…，(N-1)d)}

定义A为抽取矩阵，则Ls₁和Ls存在以下关系

Ls＝ALs₁

将展开互质阵看成是由一维均匀线阵抽取的结果，上述关系反应在p(z)上：

p(z)＝Ap₁(z)。

进一步的，所述步骤S3中求根多项式的表达式如下：

进一步的，所述步骤S4中利用p^T(z^-1)代替p^H(z)，得到求根MUSIC多项式，即

f(z)是2(2MN-(M+N))次多项式，它的根相对于单位圆为镜像对，其中，具有最大幅值的K个根的相位给出波达方向估计。

进一步的，所述步骤S5中一维DOA估计表达式如下：

本发明的基本设计思路为：由阵列信号的数学模型确定接收信号的协方差矩阵，通过对协方差矩阵进行特征值分解获得信号子空间和噪声子空间，然后由互质阵和一维线阵的关系构建抽取矩阵，最后根据抽取矩阵和噪声子空间的关系构建求根多项式，求根并完成信源角度估计。

本发明方法通过结合ROOT-MUSIC算法和展开互质线阵的优点，可以利用展开互质线阵有效提高空间自由度的同时，由于ROOT-MUSIC算法无需进行谱峰搜索而降低了算法复杂度，从而得到较高精度的一维DOA估计。

有益效果：本发明与现有技术相比，在展开互质线阵中多信源入射条件下的信号角度参数估计中，提供一种基于多项式求根的测向估计方法，其具备如下优点：

①能充分利用展开互质线阵的空间自由度高的特点，有效提高角度估计性能；

②计算复杂度相对传统解模糊MUSIC算法更低；

③能有效地用于一维DOA估计，同时获得较高精度的角度估计结果；

④本发明算法的角度估计性能优于解模糊MUSIC算法和ESPRIT算法。

附图说明

图1是本发明算法的算法流程图；

图2是互质线阵示意图；

图3是展开互质线阵示意图；

图4是本发明算法的角度估计性能在不同快拍数条件下的对比图；

图5是本发明算法的角度估计性能在不同阵元数条件下的对比图；

图6是本发明算法应用于均匀线阵、互质线阵和展开互质线阵在相同阵元数目和相同快拍数条件下的对比图；

图7是本发明算法和解模糊MUSIC算法、解模糊ESPRIT算法、一维全阵列MUSIC算法的角度估计性能在相同阵列结构和相同快拍数条件下的对比图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例，进一步阐明本发明。

本发明提供一种基于多项式求根的展开互质阵测向估计方法，图2为互质线阵，图3为基于互质线阵获取的展开互质线阵，该展开互质线阵由两个均匀线阵构成的子阵组成，分别记为子阵1(第一阵列)和子阵2(第二阵列)，它们的阵元数分别为M和N，阵元间距分别为Nd和Md，其中d为半波长，M和N互质；两个子阵均以原点为参考点，其中子阵1和子阵2分别位于原点左右两侧。结合图1和图2，空间有K个信源入射到此展开互质线阵上，其一维波达方向为θ_k，k＝1，2，...，K，其中θ_k代表第k个信源的仰角。

本实施例中在上述展开互质线阵的基础上，进行一种基于多项式求根的测向估计方法，为了便于理解，用(·)^T表示矩阵转置，(·)^H表示矩阵共轭转置，大写字母X表示矩阵，小写字母x(·)表示矢量，arg(·)表示取复数的相角，如图1所示，该方法包括如下步骤：

S1：建立阵列信号的数学模型：

如图3所示，展开互质线阵的子阵1和子阵2的阵元数分别为M和N，阵元间距分别为Nλ/2和Mλ/2的均匀稀疏线阵组合而成，其中M和N互为质数，λ为波长，由阵列1和阵列2组成的展开互质阵在原点处重叠，除了原点处阵元，其他各阵元位置互不重叠；

记阵元间距d₁＝Nλ/2，d₂＝Mλ/2，，则展开互质线阵上每个阵元的位置可以表示为：

Ls＝{(-m₁d₁，0)，|m₁＝0，1，2…M-1}∪{(0，m₂d₂)，|m₂＝0，1，2…N-1}

原点处的阵元可以由两个子阵所共享，所以互质线阵的总阵元数目为M+N-1，但是可以提供O(MN)的自由度。由于空域中有K个相互独立的信源，第k个信号的入射角度记为θ_k，k＝1，2，…，K，则第i个原点右侧子阵的接收信号可表示为：

X_i＝A_iS+N_i

A_i＝[a_i(θ₁)，a_i(θ₂)，…，a_i(θ_k)]，子阵1与子阵2的区别仅在：/>A_i表示子阵i的方向矩阵，S＝[s₁，s₂，…，s_K]^T是信源矩阵，s_k＝[s_k(1)，s_k(2)，…，s_k(J)]，(k＝1，2，…，K)，J表示快拍数，/>为子阵i的噪声矩阵。

考虑展开互质阵的方向阵作整体处理，则A＝[a(θ₁)，a(θ₂)，…，a(θ_k)]，，s是信源矩阵，J表示快拍数，N∈C^(M+N-1)×J为展开互质阵的噪声矩阵。则接收信号可表示为X＝AS+N

S2：根据建立的数学模型求出协方差矩阵并对/>进行特征值分解，获得信号子空间和噪声子空间：

获取J个快拍得到的协方差矩阵的估计为

对信号协方差矩阵进行特征值分解，可以表示为

其中，U_S表示信号子空间，U_N表示噪声子空间，D_S和D_N均表示对角矩阵。

S3：由展开互质线阵和一维均匀线阵的关系构建抽取矩阵，根据抽取矩阵和噪声子空间的关系构建求根多项式：

在一维均匀线阵中，基于ROOT-MUSIC算法首先定义多项式：

u_l是矩阵R的第l个特征向量，并且p₁(z)＝[1，z，…，z^M-1]^T；

现在考虑展开互质阵的情况，参照图2，展开互质阵和相同起始和终点的一维均匀线阵对比存在阵元缺省。设定一维均匀线阵的阵元位置表示为Ls₁＝{(-(M-1)d，…，0，…，(N-1)d)}

定义A为抽取矩阵，则Ls₁和Ls存在以下关系

Ls＝ALs₁

将展开互质阵看成是由一维均匀线阵抽取的结果，上述关系反应在p(z)上

p(z)＝Ap₁(z)

为了从所有噪声特征矢量中同时提取信息，获得如下求根多项式：

S4：通过上述求根多项式进行求根，并确定信源角度对应的根：

f(z)还不是z的多项式，因为存在z的幂次项。由于只对单位圆上的z值感兴趣，所以可以用p^T(z^-1)代替p^H(z)，这就给出了求根MUSIC多项式，即

由于，f(z)是2(2MN-(M+N))次多项式，它的根相对于单位圆为镜像对。其中，具有最大幅值的K个根的相位给出波达方向估计。

S5：完成一维DOA估计：

本实施例中为了验证本发明的效果，对本发明算法的运算复杂度进行分析，具体如下：由于展开互质线阵中的子阵1的阵元数为M，子阵2的阵元数为N，信源数为K，快拍数为L，所以本算法的主要复杂度包括：计算接收信号的协方差矩阵需要O{(M+N-1)²L}，特征值分解需要O{(M+N-1)³}，高阶多项式求根需要O{(2(2MN-(M+N))³}，所以ROOT-MUSIC算法的总复杂度为O{(M+N-1)²J+(M+N-1)³+(2(2MN-(M+N))³}，由于本发明算法无需对信源角度进行角度搜索，所以在相同阵列结构下，本发明算法的复杂度要远低于解模糊MUSIC算法。

为了进一步验证本发明算法的效果，本实施例进行了仿真试验，其具体的结果如下：

如图4所示，快拍数增加，即采样数据增多。可以看出，算法的角度估计性能随着快拍数增加变得更好。其中，入射信号的角度参数θ为θ₁＝10°，θ₂＝30°，θ₃＝50°，展开互质线阵大小为M＝3，N＝4。

如图5所示，阵元数增加，即分集增益增加。可以得出，算法的角度估计性能随着阵元数增加变得更好。其中，入射信号的角度参数θ为θ₁＝10°，θ₂＝30°，θ₃＝50°，展开互质线阵大小为M＝3，N＝4。快拍数L＝100。

将本实施例的展开互质阵和ULA、传统互质阵仿真对比，其结果如图6所示，在相同阵元数目时，互质阵由于阵列孔径提升，使其角度估计性能要优于均匀线阵，且展开互质阵由于差分阵的冗余减少，角度估计性能优于传统互质阵。其中，入射信号的角度参数θ为θ₁＝10°，θ₂＝30°，θ₃＝50°，展开互质线阵大小为M＝3，N＝4。快拍数L＝100。

将本发明ROOT-MUSIC算法和基于解模糊的ESPRIT算法和MUSIC算法以及全阵列MUSIC算法仿真对比，其结果如图7所示，ROOT-MUSIC算法能充分利用展开互质阵的性质，且解模糊的方法会损失一定的空间自由度，所以ROOT-MUSIC算法的角度估计性能要优于解模糊的两种方法。其中，入射信号的角度参数θ为θ₁＝10°，θ₂＝30°，θ₃＝50°，展开互质线阵大小为M＝5，N＝4。快拍数L＝100。

Claims (6)

1.一种基于多项式求根的展开互质阵测向估计方法，其特征在于：包括如下步骤：

S1：建立展开互质线阵的阵列信号的数学模型；

S2：根据建立的数学模型求出协方差矩阵，并对协方差矩阵进行特征值分解，获得信号子空间和噪声子空间；

S3：由展开互质线阵和一维均匀线阵的关系构建抽取矩阵，根据抽取矩阵和噪声子空间的关系构建求根多项式；

S4：通过步骤S3中得到的求根多项式进行求根，并确定信源角度对应的根；

S5：完成一维DOA估计；

所述步骤S3中抽取矩阵的构建具体为：在一维均匀线阵中，基于ROOT-MUSIC算法定义多项式：

其中，u_l是矩阵R的第l个特征向量，并且p₁(z)＝[1，z，…，z^M-1]^T；

一维均匀线阵的阵元位置表示为

Ls₁＝{(-(M-1)d，…，0，…，(N-1)d)}

定义A为抽取矩阵，则Ls₁和Ls存在以下关系

Ls＝ALs₁

将展开互质阵看成是由一维均匀线阵抽取的结果，上述关系反应在p(z)上：

p(z)＝Ap₁(z)

所述步骤S3中求根多项式的表达式如下：

2.根据权利要求1所述的一种基于多项式求根的展开互质阵测向估计方法，其特征在于：所述步骤S1中数学模型的建立具体为：

所述展开互质线阵由两个子阵列组成，分别为在原点左右两侧的第一阵列和第二阵列，所述第一阵列和第二阵列的阵元数分别为M和N，阵元间距分别为Nλ/2和Mλ/2，其中M和N互为质数，λ为波长，展开互质阵在原点处重叠，除了原点处阵元，其他各阵元位置互不重叠，记阵元间距d₁＝Nλ/2，d₂＝Mλ/2，，则展开互质线阵上每个阵元的位置可以表示为

Ls＝{(-m₁d₁，0)，|m₁＝0，1，2…M-1}∪{(0，m₂d₂)，|m₂＝0，1，2…N-1}

原点处的阵元由第一阵列和第二阵列所共享，互质线阵的总阵元数目为M+N-1；

设定空域中有K个相互独立的信源，第k个信号的入射角度记为θ_k，k＝1,2，…，K，则第i个第二阵列的接收信号表示为

X_i＝A_iS+N_i

A_i＝[a_i(θ₁)，a_i(θ₂)，…，a_i(θ_k)]，子阵1与子阵2的区别仅在：/>表示子阵i的方向矩阵，S＝[s₁，s₂，…，s_K]^T是信源矩阵，s_k＝[s_k(1)，s_k(2)，…，s_k(J)]，(k＝1，2，…，K)，J表示快拍数，/>为子阵i的噪声矩阵；

考虑展开互质阵的方向阵作整体处理，则A＝[a(θ₁)，a(θ₂)，…，a(θ_k)]，，S是信源矩阵，J表示快拍数，N∈C^(M+N-1)×J为展开互质阵的噪声矩阵，则接收信号表示为

X＝AS+N。

3.根据权利要求2所述的一种基于多项式求根的展开互质阵测向估计方法，其特征在于：所述步骤S2中协方差矩阵的具体求解为：

获取J个快拍得到的协方差矩阵的估计：

4.根据权利要求3所述的一种基于多项式求根的展开互质阵测向估计方法，其特征在于：所述步骤S2中对协方差矩阵的特征值分解的表达式如下：

其中，U_S表示信号子空间，U_N表示噪声子空间，D_S和D_N均表示对角矩阵。

5.根据权利要求1所述的一种基于多项式求根的展开互质阵测向估计方法，其特征在于：所述步骤S4中利用p^T(z^-1)代替p^H(z)，得到求根MUSIC多项式，即

f(z)是2(2MN-(M+N))次多项式，它的根相对于单位圆为镜像对，其中，具有最大幅值的K个根的相位给出波达方向估计。

6.根据权利要求5所述的一种基于多项式求根的展开互质阵测向估计方法，其特征在于：所述步骤S5中一维DOA估计表达式如下：