CN110557007A - 一种Boost变换器输出纹波电压建模方法 - Google Patents
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Abstract
本发明提供一种Boost变换器输出纹波电压建模方法，通过对滤波电容ESR引起Boost变换器输出纹波电压畸变的机理进行了深入研究，给出了考虑滤波电容ESR的Boost变换器稳态增益及CCM和DCM临界负载电阻RCM，以及CISM和IISM的临界负载电阻RCK，根据该临界负载可方便的判断变换器的工作模式，建立了考虑电容ESR的纹波电压数学模型，该模型与电感、输入电压、输出电压、负载电阻、电容以及电容的ESR等参数有关，最后进行实验验证，将实验结果与依据模型计算的结果进行对比分析，验证了模型的正确性，本发明对应用于危险环境的本质安全型Boost变换器的优化设计具有重要指导意义。
Description
技术领域
本发明属于Boost变换器输出波纹电压建模分析技术领域，具体涉及一种Boost变换器输出纹波电压建模方法。
背景技术
Boost变换器的输出纹波电压大小是衡量其性能一个重要指标。现有的关于纹波电压的分析是基于理想Boost变换器，且未考虑寄生参数对纹波电压的影响，为了满足纹波电压指标要求通常选取2～3倍裕量的电容容量，这样选择不仅会增加变换器的体积和成本，在某些特殊应用场合，如煤矿、石化等危险环境，会增加电源发生短路故障时引起的***风险。因此，研究更为精确的纹波电压模型对应用于危险环境的Boost变换器优化设计具有重要意义。
大量的纹波电压实验结果和传统基于理想Boost变换器的理论不相符，具体表现在以下五个方面：(1)纹波电压实验和传统理论计算结果存在较大的误差，甚至出现了实验是理论结果的2倍甚至更大的情况；(2)输出纹波电压出现了畸变，实验和传统理论波形分析结果不一致；(3)变换器工作在电感完全供能模式(CISM)时纹波电压与电感大小有关(理想纹波模型与电感无关)，且随着电感量的变化而变化；(4)变换器工作在相同工作模式时(如CCM或DCM)，随着负载电阻阻值的变化，纹波电压有多种波形(传统理论分析仅一种波形)；(5)变换器输出电压增益、临界负载等和传统理论分析结果不一致。基于以上分析可知，还需要对Boost变换器的纹波电压理论进行深入研究。
现有Boost变换器的纹波电压理论未考虑电容ESR的影响，而大量的实验结果发现ESR对纹波电压的大小有较大影响，同时会导致纹波电压波形畸变。高频化可以有效降低开关变换器滤波电容的容值，从而减小了变换器体积，但是随着电容容值的减小，ESR也随着增大，ESR的增大导致了纹波电压增大。实验结果同时发现电容容值不变时，ESR发生较小的变化也会导致纹波电压的形状和大小发生较显著的变化。基于以上分析，因此有必要对ESR引起的纹波电压畸变机理及纹波电压数学模型进行深入研究。
发明内容
本发明提供一种Boost变换器输出纹波电压建模方法，考虑滤波电容ESR对Boost变换器输出纹波电压的影响，并且对应用于危险环境的本质安全型Boost变换器的优化设计提供指导。
本发明的技术方案是：一种Boost变换器输出纹波电压建模方法，包括：
(1)计算考虑滤波电容ESR的Boost变换器稳态增益及CCM和DCM临界负载电阻RCM，以及CISM和IISM的临界负载电阻RCK：
a.CCM Boost变换器的增益比
Boost变换器工作于CCM时根据能量守恒定律可得：
式中，Ii为输入电源Vi的电流平均值；IC1为开关管VT导通时电容C放电电流的平均值；IC2为VT关断时C充电电流的平均值；D为VT导通时的占空比；
当Boost变换器工作在稳定状态时，电感电流的平均值IL即为输入电流Ii的平均值，即Ii＝IL，开关管开通与关断时间内由KCL可得：
由安秒平衡可得IC1和IC2之间关系为：
IC1DT＝IC2(1-D)T (3)
将式(2)和(3)带入式(1)，可得输出电压Vo与输入电压Vi之间关系为：
b.CISM和IISM的临界负载电阻RCK
联立式(2)、(3)和(4)，可得电感电流的最大值ILP和最小值ILV为：
式中，
令式(5)中的ILV＝Io可得CISM与IISM的临界负载RCK为：
c.CCM和DCM临界负载电阻RCM
令公式(5)中的ILV＝0，可得CCM与DCM的临界负载电阻RCM为：
(2)通过对CCM Boost变换器输出纹波电压分析，建立考虑ESR时Boost变换器工作在CISM和IISM时的纹波电压数学模型，确定影响参数：
A.CISM时的纹波电压数学模型建立：
Boost变换器工作在CISM时的电路参数包括电感电流iL、电容电压vc、ESR两端电压vRc及输出纹波电压vo，电感电流的最大值ILv，电感电流的最小值ILp，输出纹波电压的最大值Vop，输出纹波电压的最小值Vov，以一个开关周期内的不同阶段讨论输出纹波电压，t0为VT导通时刻，t1为VT导通变为关断时刻，t2为VT由关断变为导通时刻：
a.阶段1[t0－t1时间段]，VT导通，C向R供能，根据KVL可得，
求解式(8)可得阶段1输出电压vo1(t)为：
b.阶段2[t＝t1时刻]，在t0－t1时间段的输出电压为vo1(t)，在t1－t2时间段的输出电压为vo2(t)，则vo1(t)和vo2(t)分别为：
t1时刻，VT由导通变为关断，因电容C两端电压不能发生突变，因此满足：vC1(t1)＝vC2(t1)，由式(11)可得输出电压在t1时刻的变化量ΔV1为：
t1时刻，开关管VT关断前和关断后RC两端的电压分别为：
联立式(5)、(11)和(12)可得输出电压在t1时刻的变化量ΔV1为：
式中，
c.阶段3[t1－t2时间段]，VT关断，电感L开始对电容C充电，此时电容C两端电压呈上升趋势，由于充电电流iC逐渐减小，RC两端的电压呈下降趋势，此阶段，电容C的充电电流iC(t)为：
假设t1＝0，vo2(t1)＝0，由式(11)可得t1－t2时间段输出纹波电压v12(t)为：
联立式(5)、(14)和(15)可得v12(t)为：
v12(t)＝at2+bt (16)
式中，
由式(16)可知a<0，因此v12(t)为开口向下的抛物线；
d.阶段4[t＝t2时刻]，VT由关断变为导通，因电容C两端的电压不能发生突变，所以满足：vC1(t2)＝vC2(t2)，由式(10)可得输出电压在t2时刻的变化量ΔV2为：
t2时刻，VT开通前和开通后RC两端的电压分别为：
联立式(5)、(17)和(18)可得输出电压在t2时刻的变化量ΔV2为：
式中，
变换器输出纹波电压波形因t2和tm的大小不同，输出纹波电压在t1－t2时间段可能会存在多种情况，tm为v12(t)的极值点，因此Boost变换器工作在CISM时的输出纹波电压为：
式中，tm＝-b/2a，t2＝(1-D)T；
B.IISM时的纹波电压数学模型建立：
IISM共有5个阶段，其中第1阶段[t0－t1]同上的第1阶段[t0－t1]、第2阶段[t＝t1]同上的第2阶段[t＝t1]、第3阶段[t1－t2]同上的第3阶段[t1－t2]、第5阶段[t＝t3]同上的第4阶段[t＝t2]；
第4阶段[t2－t3]，t2时刻，iL(t2)＝Io，t2时刻之后，电容C开始放电，放电电流iC(t)为：
在t2－t3时间段输出电压vo2(t)为：
令t2＝0，vo2(t2)＝0，此时输出纹波电压的曲线v23(t)可表示为：
式中，
联立式(21)和(23)可得v23(t)为：
由式(24)可知在t2－t3时间段，输出纹波电压呈下降趋势，当0<t2<tm时，令iC(t2)＝0，并假设t1＝0，由式(14)可得电容充电的时间Δt为：
因此Boost变换器工作在IISM时的输出纹波电压为：
式中，tm＝-b/2a，
(3)通过对DCM Boost变换器输出纹波电压分析，建立考虑ESR时Boost变换器工作在DCM时的纹波电压数学模型，确定影响参数：
DCM时电感电流在t2时刻等于零，由式(19)可知DCM时不会出现ΔV2，DCM共有5个阶段，其中第2阶段[t＝t1]、第3阶段[t1－t2]和第4阶段[t2－t3]分别对应CCM-IISM时的第2阶段[t＝t1]、第3阶段[t1－t2]和第4阶段[t2－t3]，DCM第1阶段[t0－t1]和第5阶段[t3－t4]与CCM-IISM第1阶段[t0－t1]的工作原理相同，
变换器工作在DCM时，电感电流的最大值ILP为：
联立式(14)、(15)和(27)，可得DCM时t1－t2时间段输出纹波电压曲线v12(t)为：
v12(t)＝at2+bt (28)
式中，
Boost变换器Vi和Vo之间满足：Vi<Vo，因此由式(28)可知：a<0；
令iC(t2)＝0，并假设t1＝0，联立式(14)和(27)可得DCM时电容充电时间Δt为：
由式(13)可得DCM时输出纹波电压在t1时刻的变化量ΔV1为：
通过以上分析，可知DCM时变换器纹波电压存在如下五种情形：
式中，tm＝-b/2a，
(4)实验验证：取变换器的相关参数，设立实验平台，对比分析实验结果与依据上述步骤建立的模型理论计算的输出纹波电压，验证考虑电容ESR的Boost变换器输出纹波电压模型的正确性。
本发明的优点是：
(1)本发明给出了考虑滤波电容ESR的Boost变换器稳态增益及CCM和DCM临界负载电阻RCM，以及CISM和IISM的临界负载电阻RCK，根据该临界负载可方便的判断变换器的工作模式；
(2)本发明建立了考虑ESR时Boost变换器工作在CISM和IISM时的纹波电压数学模型，该模型与电感、输入电压、输出电压、负载电阻、电容以及电容的ESR等参数有关；
(3)本发明提出的纹波电压数学模型更加接近实验结果；
(4)本发明提出的考虑滤波电容ESR的纹波电压分析方法可应用于其它DC-DC变换器，且具有较高的精度，且可为减小变换器体积、节约成本，以及特殊应用场合(煤矿、化工等)的开关电源优化设计提供理论依据。
附图说明
图1是本发明Boost变换器拓扑图；
图2是本发明提供的Boost变换器工作在CCM对应VT导通和关断时的等效电路，图2(a)对应VT导通，图2(b)对应VT关断；
图3是本发明提供的Boost变换器工作在CISM时驱动信号vGS、电感电流iL、滤波电容两端的电压vC、RC两端的电压vRC以及CISM Boost变换器输出纹波电压类型曲线图；
图4是本发明提供的曲线v12由于变换器参数的不同存在的五种工作波形，图4(a)对应纹波CISM1、IISM1以及DCM1；图4(b)对应纹波CISM2、IISM2以及DCM2；图4(c)对应纹波CISM3、IISM3以及DCM3；图4(d)对应纹波CISM4、IISM4以及DCM4；图4(e)对应纹波CISM5、IISM5以及DCM5；
图5是本发明提供的Boost变换器工作在IISM时驱动信号vGS、电感电流iL、滤波电容两端的电压vC、RC两端的电压vRC以及IISM Boost变换器输出纹波电压类型曲线图；
图6是本发明提供的Boost变换器工作在DCM时驱动信号vGS、电感电流iL、滤波电容两端的电压vC、RC两端的电压vRC以及DCM Boost变换器输出纹波电压类型曲线图；
图7是本发明L＝220μH时vo随R变化的实验波形；
图8是本发明L＝470μH时vo随R变化的实验波形。
具体实施方式
下面结合附图对本发明做清楚完整的描述，以使本领域的技术人员在不需要作出创造性劳动的条件下，能够充分实施本发明。
本发明的具体实施方式是：一种Boost变换器输出纹波电压建模方法，包括：
(1)计算考虑滤波电容ESR的Boost变换器稳态增益及CCM和DCM临界负载电阻RCM，以及CISM和IISM的临界负载电阻RCK，图1是本发明Boost变换器拓扑图，图2是本发明提供的Boost变换器工作在CCM时分别对应VT导通和关断时的等效电路：
a.CCM Boost变换器的增益比
Boost变换器工作于CCM时根据能量守恒定律可得：
式中，Ii为输入电源Vi的电流平均值；IC1为开关管VT导通时电容C放电电流的平均值；IC2为VT关断时C充电电流的平均值；D为VT导通时的占空比；
当Boost变换器工作在稳定状态时，电感电流的平均值IL即为输入电流Ii的平均值，即Ii＝IL，开关管开通与关断时间内由KCL可得：
由安秒平衡可得IC1和IC2之间关系为：
IC1DT＝IC2(1-D)T (3)
将式(2)和(3)带入式(1)，可得输出电压Vo与输入电压Vi之间关系为：
b.CISM和IISM的临界负载电阻RCK
联立式(2)、(3)和(4)，可得电感电流的最大值ILP和最小值ILV为：
式中，
令式(5)中的ILV＝Io可得CISM与IISM的临界负载RCK为：
c.CCM和DCM临界负载电阻RCM
令公式(5)中的ILV＝0，可得CCM与DCM的临界负载电阻RCM为：
(2)通过对CCM Boost变换器输出纹波电压分析，建立考虑ESR时Boost变换器工作在CISM和IISM时的纹波电压数学模型，确定影响参数，图3是本发明提供的Boost变换器工作在CISM时驱动信号vGS、电感电流iL、滤波电容两端的电压vC、RC两端的电压vRC以及CISMBoost变换器输出纹波电压类型曲线图，图4是本发明提供的曲线v12由于变换器参数的不同存在的五种工作波形：
A.CISM时的纹波电压数学模型建立：
Boost变换器工作在CISM时的电路参数包括电感电流iL、电容电压vc、ESR两端电压vRc及输出纹波电压vo，电感电流的最大值ILv，电感电流的最小值ILp，输出纹波电压的最大值Vop，输出纹波电压的最小值Vov，以一个开关周期内的不同阶段讨论输出纹波电压，t0为VT导通时刻，t1为VT导通变为关断时刻，t2为VT由关断变为导通时刻：
a.阶段1[t0－t1时间段]，VT导通，C向R供能，根据KVL可得，
求解式(8)可得阶段1输出电压vo1(t)为：
b.阶段2[t＝t1时刻]，在t0－t1时间段的输出电压为vo1(t)，在t1－t2时间段的输出电压为vo2(t)，则vo1(t)和vo2(t)分别为：
t1时刻，VT由导通变为关断，因电容C两端电压不能发生突变，因此满足：vC1(t1)＝vC2(t1)，由式(11)可得输出电压在t1时刻的变化量ΔV1为：
t1时刻，开关管VT关断前和关断后RC两端的电压分别为：
联立式(5)、(11)和(12)可得输出电压在t1时刻的变化量ΔV1为：
式中，
c.阶段3[t1－t2时间段]，VT关断，电感L开始对电容C充电，此时电容C两端电压呈上升趋势，由于充电电流iC逐渐减小，RC两端的电压呈下降趋势，此阶段，电容C的充电电流iC(t)为：
假设t1＝0，vo2(t1)＝0，由式(11)可得t1－t2时间段输出纹波电压v12(t)为：
联立式(5)、(14)和(15)可得v12(t)为：
v12(t)＝at2+bt (16)
式中，
由式(16)可知a<0，因此v12(t)为开口向下的抛物线；
d.阶段4[t＝t2时刻]，VT由关断变为导通，因电容C两端的电压不能发生突变，所以满足：vC1(t2)＝vC2(t2)，由式(10)可得输出电压在t2时刻的变化量ΔV2为：
t2时刻，VT开通前和开通后RC两端的电压分别为：
联立式(5)、(17)和(18)可得输出电压在t2时刻的变化量ΔV2为：
式中，
变换器输出纹波电压波形因t2和tm的大小不同，输出纹波电压在t1－t2时间段可能会存在多种情况，tm为v12(t)的极值点，因此Boost变换器工作在CISM时的输出纹波电压为：
式中，tm＝-b/2a，t2＝(1-D)T；
B.IISM时的纹波电压数学模型建立：
IISM共有5个阶段，其中第1阶段[t0－t1]同上的第1阶段[t0－t1]、第2阶段[t＝t1]同上的第2阶段[t＝t1]、第3阶段[t1－t2]同上的第3阶段[t1－t2]、第5阶段[t＝t3]同上的第4阶段[t＝t2]；图5是本发明提供的Boost变换器工作在IISM时驱动信号vGS、电感电流iL、滤波电容两端的电压vC、RC两端的电压vRC以及IISM Boost变换器输出纹波电压类型曲线图。
第4阶段[t2－t3]，t2时刻，iL(t2)＝Io，t2时刻之后，电容C开始放电，放电电流iC(t)为：
在t2－t3时间段输出电压vo2(t)为：
令t2＝0，vo2(t2)＝0，此时输出纹波电压的曲线v23(t)可表示为：
式中，
联立式(21)和(23)可得v23(t)为：
由式(24)可知在t2－t3时间段，输出纹波电压呈下降趋势，当0<t2<tm时，令iC(t2)＝0，并假设t1＝0，由式(14)可得电容充电的时间Δt为：
因此Boost变换器工作在IISM时的输出纹波电压为：
式中，tm＝-b/2a，
(3)通过对DCM Boost变换器输出纹波电压分析，建立考虑ESR时Boost变换器工作在DCM时的纹波电压数学模型，确定影响参数，图6是本发明提供的Boost变换器工作在DCM时驱动信号vGS、电感电流iL、滤波电容两端的电压vC、RC两端的电压vRC以及DCM Boost变换器输出纹波电压类型曲线图。
DCM时电感电流在t2时刻等于零，由式(19)可知DCM时不会出现ΔV2，DCM共有5个阶段，其中第2阶段[t＝t1]、第3阶段[t1－t2]和第4阶段[t2－t3]分别对应CCM-IISM时的第2阶段[t＝t1]、第3阶段[t1－t2]和第4阶段[t2－t3]，DCM第1阶段[t0－t1]和第5阶段[t3－t4]与CCM-IISM第1阶段[t0－t1]的工作原理相同，
变换器工作在DCM时，电感电流的最大值ILP为：
联立式(14)、(15)和(27)，可得DCM时t1－t2时间段输出纹波电压曲线v12(t)为：
v12(t)＝at2+bt (28)
式中，
Boost变换器Vi和Vo之间满足：Vi<Vo，因此由式(28)可知：a<0；
令iC(t2)＝0，并假设t1＝0，联立式(14)和(27)可得DCM时电容充电时间Δt为：
由式(13)可得DCM时输出纹波电压在t1时刻的变化量ΔV1为：
通过以上分析，可知DCM时变换器纹波电压存在如下五种情形：
式中，tm＝-b/2a，
(4)实验验证：取变换器的相关参数，设立实验平台，对比分析实验结果与依据上述步骤建立的模型理论计算的输出纹波电压，验证考虑电容ESR的Boost变换器输出纹波电压模型的正确性。
主电路参数如下：输入电压Vi＝5V，占空比D＝0.5，工作频率f＝10kHz，负载R＝10～100Ω，电感L＝220uH/470uH，电解电容的标称值为C＝100μF/50V，利用LCR测试仪对实验所选的电解电容进行了测量，实测值为C＝85uF/50V、ESR＝142mΩ进行实验验证，选L＝220uH和L＝470uH进行实验分析，当电感L＝220uH时，求解式(6)和(7)可得临界负载RCK＝17Ω，RCM＝35Ω。由此可知，当负载满足10Ω≤R≤17Ω时，变换器工作于CISM；当负载满足17Ω<R<35Ω时，变换器工作于CCM-IISM；当负载满足R≥35Ω时，变换器工作于DCM-IISM，图7为负载电阻在10～100Ω内变化时的实验波形，左侧分别为VT的驱动信号vGS波形、电感电流iL以及输出电压vo波形，右侧为vo的放大图。
当电感L＝470uH时，Boost变换器的临界负载电阻RCK＝37Ω，RCM＝75Ω。当负载满足10Ω≤R≤37Ω时，变换器工作于CISM；当负载满足37Ω<R<75Ω时，变换器工作于CCM-IISM；当负载满足R≥75Ω时，变换器工作于DCM-IISM。图8为负载在10～100Ω内变化时的实验波形，右侧为vo的放大图，图a、b、c、d、e、f、g分别对应R＝10Ω、R＝15Ω、R＝20Ω、R＝25Ω、R＝30Ω、R＝50Ω、R＝100Ω。
将电路参数带入相对应工作模式下的t2和tm的表达式，便可计算出相应工况下的t2和tm，比较t2和tm的大小，便可以得到输出纹波电压类型，进而求解出该工况下的输出纹波电压值，具体实验结果如表1和表2所示。
表1 L＝220uH实验结果
表2 L＝470uH实验结果
将表1和表2中的输出纹波电压类型，与图7和8中相同工况下的实验结果进行对比，可发现实验结果与理论分析的输出纹波电压波形基本一致。同时由表1和表2可知，随着负载电阻R的增大，v12的极值点tm会逐渐减小，从而导致变换器输出纹波电压的极值点开始向左平移，且实验结果与理论分析的变化趋势相同；纹波电压与电感有关。
为了进一步验证ESR对输出纹波电压的影响，表3选择了不同的电解电容进行实验分析，为了方便分析对比，变换器的其余参数保持不变，具体变换器参数为：L＝220μH，R＝30Ω，f＝10kHz，D＝0.5，Vi＝5V。表3给出了理想纹波电压模型计算值、本文所提纹波模型计算值以及实验结果，由表3的对比结果可知，受滤波电容ESR的影响，理想纹波模型与实验结果存在较大的误差；而本文所建立的考虑ESR的纹波电压数学模型更接近实验结果，最大误差仅为5％左右，具有较高的精度；同时由表3可知，且ESR越大，纹波电压越大，实验结果与理论分析一致。
表3不同电解电容参数下输出纹波电压对比结果
以上对本发明的较佳实施例进行了描述，需要指出的是，本发明并不局限于上述特定实施方式，其中未尽详细描述的设备和结构应该理解为用本领域中的普通方式予以实施；任何熟悉本领域的技术人员，在不脱离本发明技术方案范围情况下，依据本发明的技术实质对以上实施例所做的任何简单修改、等同变化及修饰，均仍属于本发明技术方案保护的范围内。
Claims (1)
1.一种Boost变换器输出纹波电压建模方法，其特征在于，包括：
(1)计算考虑滤波电容ESR的Boost变换器稳态增益及CCM和DCM临界负载电阻RCM，以及CISM和IISM的临界负载电阻RCK：
a.CCM Boost变换器的增益比
Boost变换器工作于CCM时根据能量守恒定律可得：
式中，Ii为输入电源Vi的电流平均值；IC1为开关管VT导通时电容C放电电流的平均值；IC2为VT关断时C充电电流的平均值；D为VT导通时的占空比；
当Boost变换器工作在稳定状态时，电感电流的平均值IL即为输入电流Ii的平均值，即Ii＝IL，开关管开通与关断时间内由KCL可得：
由安秒平衡可得IC1和IC2之间关系为：
IC1DT＝IC2(1-D)T (3)
将式(2)和(3)带入式(1)，可得输出电压Vo与输入电压Vi之间关系为：
b.CISM和IISM的临界负载电阻RCK
联立式(2)、(3)和(4)，可得电感电流的最大值ILP和最小值ILV为：
式中，
令式(5)中的ILV＝Io可得CISM与IISM的临界负载RCK为：
c.CCM和DCM临界负载电阻RCM
令公式(5)中的ILV＝0，可得CCM与DCM的临界负载电阻RCM为：
(2)通过对CCM Boost变换器输出纹波电压分析，建立考虑ESR时Boost变换器工作在CISM和IISM时的纹波电压数学模型，确定影响参数：
A.CISM时的纹波电压数学模型建立：
Boost变换器工作在CISM时的电路参数包括电感电流iL、电容电压vc、ESR两端电压vRc及输出纹波电压vo，电感电流的最大值ILv，电感电流的最小值ILp，输出纹波电压的最大值Vop，输出纹波电压的最小值Vov，以一个开关周期内的不同阶段讨论输出纹波电压，t0为VT导通时刻，t1为VT导通变为关断时刻，t2为VT由关断变为导通时刻：
a.阶段1[t0－t1时间段]，VT导通，C向R供能，根据KVL可得，
求解式(8)可得阶段1输出电压vo1(t)为：
b.阶段2[t＝t1时刻]，在t0－t1时间段的输出电压为vo1(t)；在t1－t2时间段的输出电压为vo2(t)，则vo1(t)和vo2(t)分别为：
t1时刻，VT由导通变为关断，因电容C两端电压不能发生突变，因此满足：vC1(t1)＝vC2(t1)，由式(11)可得输出电压在t1时刻的变化量ΔV1为：
t1时刻，开关管VT关断前和关断后RC两端的电压分别为：
联立式(5)、(11)和(12)可得输出电压在t1时刻的变化量ΔV1为：
式中，
c.阶段3[t1－t2时间段]，VT关断，电感L开始对电容C充电，此时电容C两端电压呈上升趋势，由于充电电流iC逐渐减小，RC两端的电压呈下降趋势，此阶段，电容C的充电电流iC(t)为：
假设t1＝0，vo2(t1)＝0，由式(11)可得t1－t2时间段输出纹波电压v12(t)为：
联立式(5)、(14)和(15)可得v12(t)为：
v12(t)＝at2+bt (16)
式中，
由式(16)可知a<0，因此v12(t)为开口向下的抛物线；
d.阶段4[t＝t2时刻]，VT由关断变为导通，因电容C两端的电压不能发生突变，所以满足：vC1(t2)＝vC2(t2)，由式(10)可得输出电压在t2时刻的变化量ΔV2为：
t2时刻，VT开通前和开通后RC两端的电压分别为：
联立式(5)、(17)和(18)可得输出电压在t2时刻的变化量ΔV2为：
式中，
变换器输出纹波电压波形因t2和tm的大小不同，输出纹波电压在t1－t2时间段可能会存在多种情况，tm为v12(t)的极值点，因此Boost变换器工作在CISM时的输出纹波电压为：
式中，tm＝-b/2a，t2＝(1-D)T；
B.IISM时的纹波电压数学模型建立：
IISM共有5个阶段，其中第1阶段[t0－t1]同上的第1阶段[t0－t1]、第2阶段[t＝t1]同上的第2阶段[t＝t1]、第3阶段[t1－t2]同上的第3阶段[t1－t2]、第5阶段[t＝t3]同上的第4阶段[t＝t2]；
第4阶段[t2－t3]，t2时刻，iL(t2)＝Io，t2时刻之后，电容C开始放电，放电电流iC(t)为：
在t2－t3时间段输出电压vo2(t)为：
令t2＝0，vo2(t2)＝0，此时输出纹波电压的曲线v23(t)可表示为：
式中，
联立式(21)和(23)可得v23(t)为：
由式(24)可知在t2－t3时间段，输出纹波电压呈下降趋势，当0<t2<tm时，令iC(t2)＝0，并假设t1＝0，由式(14)可得电容充电的时间Δt为：
因此Boost变换器工作在IISM时的输出纹波电压为：
式中，tm＝-b/2a，
(3)通过对DCM Boost变换器输出纹波电压分析，建立考虑ESR时Boost变换器工作在DCM时的纹波电压数学模型，确定影响参数：
DCM时电感电流在t2时刻等于零，由式(19)可知DCM时不会出现ΔV2，DCM共有5个阶段，其中第2阶段[t＝t1]、第3阶段[t1－t2]和第4阶段[t2－t3]分别对应CCM-IISM时的第2阶段[t＝t1]、第3阶段[t1－t2]和第4阶段[t2－t3]，DCM第1阶段[t0－t1]和第5阶段[t3－t4]与CCM-IISM第1阶段[t0－t1]的工作原理相同，
变换器工作在DCM时，电感电流的最大值ILP为：
联立式(14)、(15)和(27)，可得DCM时t1－t2时间段输出纹波电压曲线v12(t)为：
v12(t)＝at2+bt (28)
式中，
Boost变换器Vi和Vo之间满足：Vi<Vo，因此由式(28)可知：a<0；
令iC(t2)＝0，并假设t1＝0，联立式(14)和(27)可得DCM时电容充电时间Δt为：
由式(13)可得DCM时输出纹波电压在t1时刻的变化量ΔV1为：
通过以上分析，可知DCM时变换器纹波电压存在如下五种情形：
式中，tm＝-b/2a，
(4)实验验证：取变换器的相关参数，设立实验平台，对比分析实验结果与依据上述步骤建立的模型理论计算的输出纹波电压，验证考虑电容ESR的Boost变换器输出纹波电压模型的正确性。
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