CN105182990A - 具有输出受限的三自由度模型直升机的鲁棒控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种具有输出受限的三自由度模型直升机的鲁棒控制方法，将三自由度模型直升机***分解为俯仰和滚转通道组成的子***①和偏航通道组成的子***②，包括步骤：(1)分别将子***①和子***②控制***变换成仿射非线性***方程形式；(2)分别根据子***①和子***②的仿射非线性***方程来设计鲁棒控制器。本发明考虑了三自由度模型直升机三个轴的运动，将整个***分成两个子***，分别针对子***①和②设计控制器。所设计的控制器使得三自由度模型直升机在***存在不确定性、未知外部干扰和不可直接测量状态的情况下具有良好的控制性能。

Description

具有输出受限的三自由度模型直升机的鲁棒控制方法

技术领域：

本发明涉及一种具有输出受限的三自由度模型直升机的鲁棒控制方法，其属于直升机飞行控制技术领域。

背景技术：

三自由度模型直升机***是一个构造简单且成本低廉的实验装置，但是作为一个被控对象，它又相当的复杂，是一个不稳定、多变量、非线性、强耦合的多输入多输出***，只有釆取行之有效的控制方法才能使其稳定运行。直升机***控制效果的稳定性和状态可以通过俯仰角度、滚转角度、旋转速度以及稳定时间来直观的度量。因此可将三自由度模型直升机***作为飞行控制技术研究平台来进行直升机飞行控制方法开发与验证。

Backstepping控制策略是一种非线性的反馈控制方法，在实际的控制***中相比于其他的非线性方法更容易实现。在对象的阶次不高时，计算量不大，因此广泛用于工程设计中。

由于***中存在不可直接测量的状态，会使得***的控制律不可实现。状态观测器是一个能简单且有效的解决***中出现状态不可直接测量的方法。利用状态观测器来观测***中未知的状态量，然后根据状态观测器估计出来的状态量来设计***的控制律。

考虑到径向基神经网络(RadialBasisFunctionNeuralNetworks，RBFNNs)能够以任意精度逼近任意连续函数，所以对于***中存在的建模不确定和外部未知干扰的问题，采用RBFNNs构造一种补偿器，利用RBFNNs估计出***中的未建模动态和外部未知干扰，在控制律设计中对其进行补偿。

针对三自由度模型直升机***的三个姿态角的输出受限的问题，在Backstepping控制器设计中加入BarrierLyapunovFunction，利用BarrierLyapunovFunction的特殊性，将***的输出限制在给定的范围内。

发明内容：

本发明的目的是提供一种能够使得直升机***在具有***建模不确定性，外部未知干扰和输出受限的综合影响下跟踪指定的姿态角信号的直升机鲁棒控制方法。

本发明采用如下技术方案：一种具有输出受限的三自由度模型直升机的鲁棒控制方法，首先将三自由度模型直升机***分解为俯仰和滚转通道组成的子***①和偏航通道组成的子***②，其包括如下步骤：

(1)分别将子***①和子***②控制***变换成仿射非线性***方程形式；

(2)分别根据子***①和子***②的仿射非线性***方程来设计鲁棒控制器。

进一步地，所述步骤(1)的子***①、②的仿射非线性***方程为：

C、子***①的模型为

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}=\frac{l_{1}k}{J_1}(u_d+u_s)cos\mathrm{\φ}-\frac{T_g}{J_1}cos\mathrm{\θ}+{\mathrm{\Δ}}_1+d_1\\ \stackrel{\·\·}{\mathrm{\φ}}=\frac{l_{r}k}{J_3}(u_d-u_s)+{\mathrm{\Δ}}_2+d_2\end{array}\right.$

其中，J₁为俯仰轴的转动惯量，J₃为滚转轴的转动惯量，l₁为螺旋桨到俯仰轴的距离，l_r为螺旋桨到滚转轴的距离，k为电机的力常数，Δ_i,i＝1,2分别为俯仰和滚转通道的未建模动态，d_i分别为俯仰和滚转通道所受的外界未知干扰，T_g为俯仰轴的平衡块产生的有效重力矩，T_g＝m_hgl₁-m_bgl₂，m_h是直升机螺旋桨部分的质量，m_b为直升机平衡块的质量，l₂为直升机平衡块到俯仰轴的距离，u_d、u_s分别为两个电机所提供的电压，θ和φ分别为三自由度模型直升机的俯仰角和滚转角，和分别为三自由度模型直升机的俯仰角加速度和滚转角加速度；

定义[x₁₁x₂₁]^T＝[θφ]^T,写成仿射非线性***方程为：

${\stackrel{\·}{x}}_{i1}=x_{i2}$

${\stackrel{\·}{x}}_{i2}=f\left(y_i\right)+g\left(y_i\right)u_i+{\mathrm{\Δ}}_i+d_i$

y_i＝x_i1

式中， $\left[\begin{array}{c}f\left(y_1\right)\\ f\left(y_2\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-\frac{T_g}{J_1}cos\mathrm{\θ}\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{u}_d+u_s\\ u_d-u_s\end{array}\right]$ 为***的控制输入， $\left[\begin{array}{c}g\left(y_1\right)\\ g\left(y_2\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{l_{1}k}{J_1}cos\mathrm{\φ}\\ \frac{l_{r}k}{J_3}\end{array}\right],$ 子***①的输出量为[y₁y₂]^T＝[θφ]^T；

D、子***②的非线性模型为：

其中，G为直升机能悬浮在空中的悬浮力，J₂为偏航轴的转动惯量，Δ₃为偏航通道的未建模动态，d₃为偏航通道所受的外界未知干扰，为子***②的输出偏航角，针对上式，进行如下变换，有

定义则写成仿射非线性***方程为

${\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_1={\stackrel{\‾}{x}}_2$

$\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}=b_3\stackrel{\‾}{u}-b_3\mathrm{\φ}+b_{3}sin\mathrm{\φ}+{\mathrm{\Δ}}_3+d_3$

$y={\stackrel{\‾}{x}}_1$

其中，为***的虚拟控制量，由于滚转角的变化在一定的范围内，子***②的控制相当于考虑输入受限的问题，

$\stackrel{\&OverBar;}{u}\left(v\right(t\left)\right)=sat\left(v\right(t\left)\right)=\left\{\begin{array}{cc}sign\left(v\right(t\left)\right),& \left|v\left(t\right)\right|\&GreaterEqual;u_M\\ v\left(t\right)& \left|v\left(t\right)\right|<u_M\end{array}\right.$

其中u_M为滚转角的界，在实际的***中根据具体的任务来确定

饱和项sat(v(t))可以用一个平滑的函数逼近为

$h\left(v\right)=u_M\&times;\tanh \left(\frac{v}{u_M}\right)=u_M\frac{e^v/u_M-e^{-v}/u_M}{e^v/u_M+e^{-v}/u_M}$

子***②可以写为

${\stackrel{\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_1={\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_2=b_{3}h\left(v\right)+{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Delta;}}}_3+d_3$

$y={\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1$

其中 ${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Delta;}}}_3=-b_3\mathrm{\&phi;}+b_{3}sin\mathrm{\&phi;}+{\mathrm{\&Delta;}}_3+b_3(\stackrel{\&OverBar;}{u}-h(v\left)\right).$

进一步地，所述步骤(2)的子***①、②的控制器的设计为：

a、利用Backstepping控制策略设计子***①的控制器，同时采用径向基函数神经网络对子***①中未建模动态进行逼近，采用扩维状态观测器来估计***中的未知状态和干扰，并用BarrierLaypunov函数来处理***的输出受限的问题，具体为：

a-1、利用径向基函数神经网络逼近***①的复合干扰项，

${\widehat{\mathrm{\&Delta;}}}_i={\hat{W}}_i^T{\mathrm{\&Phi;}}_i\left(\hat{Z}\right)$

其中，为第i个通道的未建模动态，为第i个通道的径向基函数神经网络的权值，权值的自适应调整律为σ_i0、p_i2和Λ_i别为第i个通道的神经网络权值自适应律中的实数和参数矩阵，且σ_i0＞0，为Λ_i的转置矩阵，为x_i1的估计，采用状态观测器进行估计，为估计误差，为第i个通道的径向基向量，l为网络总节点数，为网络输入向量，中元素采用高斯基函数形式，即c_ik为网络第k个节点的中心向量，b_ik为网络第k个节点的基宽参数，k＝1,2,…,l；

a-2、设计扩维状态观测器来估计***的中状态量及外界未知干扰

${\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_{i1}={\hat{x}}_{i2}+l_{i1}(y_i-{\hat{y}}_i)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_{i2}=f\left(y_i\right)+g\left(y_i\right)u_i+{\widehat{\mathrm{\&Delta;}}}_i+l_{i2}(y_i-{\hat{y}}_i)+{\hat{x}}_{i3}$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_{i3}=l_{i3}(y_i-{\hat{y}}_i)$

${\hat{y}}_i={\hat{x}}_{i1}$

其中，x_i3＝d_i为***的增广状态，为未知外界干扰d_i估计值，为x_i2的估计值，j＝1,2,3为的导数，l_ij＞0为***扩维状态观测器待估计的增益；

a-3、根据a-1中获得未建模动态的估计值 $\widehat{\mathrm{\&Delta;}}={\left[\begin{array}{cc}{\widehat{\mathrm{\&Delta;}}}_1& {\widehat{\mathrm{\&Delta;}}}_2\end{array}\right]}^T$ 以及a-2中所观测出未知状态的估计值采用Backstepping法并结合BarrierLaypunov函数，最终得到子***①的控制器模型为：

$u_i=\frac{1}{g_i\left(y_i\right)}(-f_i(y_i)-\frac{z_{1,i}}{K_{b,i}^2-{z_{1,i}}^2}-{\hat{W}}_i^T{\mathrm{\&Phi;}}_i(\hat{Z})-{\hat{d}}_i-l_{i2}(y_i-{\hat{y}}_i)+{\mathrm{\&chi;}}_i-k_{2,i}{z}_{2,i}-\frac{1}{2}{\left(\frac{\&part;{\mathrm{\&alpha;}}_i}{\&part;x_{1i}}\right)}^2{z}_{2,i})$

式中，由于三自由度模型直升机***的限制，***的滚转角的变化所以g_i(y_i)≠0，存在，z_1,i＝x_i1-x_i1d为***的跟踪误差，其中α_i为虚拟控制律， ${\mathrm{\&alpha;}}_i=-(K_{b,i}^2-{z_{1,i}}^2)k_{1,i}{z}_{1,i}+{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_{d,i}-\frac{1}{2}\frac{z_{1,i}}{K_{b,i}^2-{z_{1,i}}^2},{\mathrm{\&chi;}}_i=\frac{\&part;{\mathrm{\&alpha;}}_i}{\&part;x_{1,i}}{\hat{x}}_{i2}+\frac{\&part;{\mathrm{\&alpha;}}_i}{\&part;y_{d,i}}{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_{d,i}+\frac{\&part;{\mathrm{\&alpha;}}_i}{\&part;{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_{d,i}}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_{d,i},$ k_1,i和k_2,i为待设计的控制器的参数，K_b,i＞0是z_1,i的界，满足-K_b,i＜z_1,i＜K_b,i，y_d,i＝x_i1d为子***①的第i个期望跟踪姿态信号，为y_d,i的一阶导数；

b、利用径向基函数神经网络逼近子***②中的未建模动态，采用扩维状态观测器来估计***中不能测量得到的角速度和外界未知干扰，构造辅助***来补偿***的输入受限的问题，并设计Backstepping控制器实现姿态跟踪控制，具体步骤为：

b-1、利用径向基函数神经网络逼近***的复合干扰项

${\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Delta;}}}}_3={\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{W}}}^T\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Phi;}}\left(\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{Z}}\right)$

其中，为径向基神经网络的权值，和分别为神经网络权值自适应律中的实数和参数矩阵，且为的转置矩阵，为状态估计误差，采用状态观测器进行估计，为径向基向量，m为网络总节点数，为网络输入向量，中元素采用高斯基函数形式，即为网络第k个节点的中心向量，b_k为网络第n个节点的基宽参数，n＝1,2,…,m；

b-2、设计状态观测器估计状态量

${\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}}_1={\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_2+{\stackrel{\&OverBar;}{l}}_1(y-\hat{y})$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}}_2=b_{3}g\left(v\right)+{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Delta;}}}}_3+{\stackrel{\&OverBar;}{l}}_2(y-\hat{y})+{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_3$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}}_3={\stackrel{\&OverBar;}{l}}_3(y-\hat{y})$

$\hat{y}=\stackrel{\&OverBar;}{C}{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_1$

式中，为***的增广状态，为的估计值，为的导数，l_j＞0为***扩维状态观测器的增益；

b-3、构造辅助***来补偿***的输入受限的问题

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_1=-{\mathrm{\&xi;}}_1{\mathrm{\&lambda;}}_1+{\mathrm{\&lambda;}}_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_2=-{\mathrm{\&xi;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2+b_3\left(h\right(v)-v)\end{array}\right.$

其中，λ_i为辅助***的状态变量，ξ_i＞0为***的设计参数；

b-4、根据b-1中获得的未建模动态的估计值b-2中估计出的未知状态量和外界干扰以及b-3中所构造的辅助***，采用Backstepping方法可得如下控制器模型：

$v=\frac{1}{b_3}({\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_{1d}-{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{W}}}^T\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Phi;}}(\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{Z}})-{\hat{d}}_3+(c_1^2-1){\stackrel{\&OverBar;}{z}}_1-c_2{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_2-c_3(y-\hat{y})+{\mathrm{\&xi;}}_1^2{\mathrm{\&lambda;}}_1-({\mathrm{\&xi;}}_1+{\mathrm{\&xi;}}_2\left){\mathrm{\&lambda;}}_2\right)$

式中， ${\stackrel{\&OverBar;}{z}}_1={\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_1-{\mathrm{\&lambda;}}_1-{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{1d},{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_2={\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_2-{\mathrm{\&lambda;}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_{1d}-\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}$ 虚拟控制律 $\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}=-c_1{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_1-{\mathrm{\&zeta;}}_1{\mathrm{\&lambda;}}_1;{\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_1={\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1-{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_1$ 为状态的估计误差，为子***②的期望姿态跟踪信号，为子***②的期望输出的两阶导数，c_j＞0为控制***待设计的三个控制增益。

本发明与现有技术相比，具有以下显著的优点：本发明考虑了三自由度模型直升机三个轴的运动，并根据其模型的特点，将整个***分成两个子***，分别针对子***①和②设计控制器。针对子***①，利用径向基函数神经网络逼近***中的未知建模动态，采用扩维状态观测器来估计***中不能测量得到的角速度和外界未知干扰，基于BarrierLaypunov函数设计Backstepping控制器，解决姿态角输出受限的问题。对于子***②，利用径向基函数神经网络逼近***中的未知建模动态，采用扩维状态观测器来估计***中不能测量得到的角速度和外界未知干扰，构造辅助***来补偿***的输入受限的问题，并基于辅助***产生的补偿信号来设计Backstepping控制器。所设计的控制器使得三自由度模型直升机在具有***不确定性、未知外部干扰和不可直接测量的状态的情况下具有良好的控制性能。

附图说明：

图1为本发明三自由度模型直升机***的运动示意图。

图2为三自由度模型直升机姿态控制的鲁棒控制器的控制框图。

具体实施方式：

本发明设计了一种具有输出受限的三自由度模型直升机的鲁棒控制方法，根据三自由度模型直升机的运动特点将三自由度模型直升机***分解为俯仰和滚转通道组成的子***①和偏航通道组成的子***②。该方法基于子***①和子***②组成的闭环控制***来实现，其包括以下步骤：

首先将三自由度模型直升机***分解为俯仰和滚转通道组成的子***①和偏航通道组成的子***②，其特征在于：包括如下步骤

(1)分别将子***①和子***②控制***变换成仿射非线性***方程形式；

(2)分别根据子***①和子***②的仿射非线性***方程来设计鲁棒控制器；

其中步骤(1)的子***①、②的仿射非线性***方程为：

A、子***①的模型为

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}=\frac{l_{1}k}{J_1}(u_d+u_s)cos\mathrm{\&phi;}-\frac{T_g}{J_1}cos\mathrm{\&theta;}+{\mathrm{\&Delta;}}_1+d_1\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&phi;}}=\frac{l_{r}k}{J_3}(u_d-u_s)+{\mathrm{\&Delta;}}_2+d_2\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，J₁为俯仰轴的转动惯量，J₃为滚转轴的转动惯量，l₁为螺旋桨到俯仰轴的距离，l_r为螺旋桨到滚转轴的距离，k为电机的力常数，Δ_i,i＝1,2分别为俯仰和滚转通道的未建模动态，d_i分别为俯仰和滚转通道所受的外界未知干扰，T_g为俯仰轴的平衡块产生的有效重力矩，T_g＝m_hgl₁-m_bgl₂，m_h是直升机螺旋桨部分的质量，m_b为直升机平衡块的质量，l₂为直升机平衡块到俯仰轴的距离，u_d、u_s分别为两个电机所提供的电压，θ和φ分别为三自由度模型直升机的俯仰角和滚转角，和分别为三自由度模型直升机的俯仰角加速度和滚转角加速度；

定义[x₁₁x₂₁]^T＝[θφ]^T,写成仿射非线性***方程为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{i1}=x_{i2}$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{i2}=f\left(y_i\right)+g\left(y_i\right)u_i+{\mathrm{\&Delta;}}_i+d_i---\left(2\right)$

y_i＝x_i1

式中， $\left[\begin{array}{c}f\left(y_1\right)\\ f\left(y_2\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-\frac{T_g}{J_1}cos\mathrm{\&theta;}\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{u}_d+u_s\\ u_d-u_s\end{array}\right]$ 为***的控制输入， $\left[\begin{array}{c}g\left(y_1\right)\\ g\left(y_2\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{l_{1}k}{J_1}cos\mathrm{\&phi;}\\ \frac{l_{r}k}{J_3}\end{array}\right],$ 子***①的输出量为[y₁y₂]^T＝[θφ]^T；

B、子***②的非线性模型为：

其中，G为直升机能悬浮在空中的悬浮力，J₂为偏航轴的转动惯量，Δ₃为偏航通道的未建模动态，d₃为偏航通道所受的外界未知干扰，为子***②的输出偏航角，针对上式，进行如下变换，有

定义则写成仿射非线性***方程为

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_1={\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_2=b_3\stackrel{\&OverBar;}{u}-b_3\mathrm{\&phi;}+b_3\sin \mathrm{\&phi;}+{\mathrm{\&Delta;}}_3+d_3\\ y={\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\end{array}---\left(5\right)$

其中，为***的虚拟控制量，由于滚转角的变化在一定的范围内，子***②的控制相当于考虑输入受限的问题，

$\stackrel{\&OverBar;}{u}\left(v\right(t\left)\right)=sat\left(v\right(t\left)\right)=\left\{\begin{array}{cc}sign\left(v\right(t\left)\right),& \left|v\left(t\right)\right|\&GreaterEqual;u_M\\ v\left(t\right)& \left|v\left(t\right)\right|<u_M\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中u_M为滚转角的界，在实际的***中根据具体的任务来确定。

饱和项sat(v(t))可以用一个平滑的函数逼近为

$h\left(v\right)=u_M\&times;\tanh \left(\frac{v}{u_M}\right)=u_M\frac{e^v/u_M-e^{-v}/u_M}{e^v/u_M+e^{-v}/u_M}---\left(7\right)$

式(5)可以写为

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_1={\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_2=b_{3}h\left(v\right)+{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Delta;}}}_3+d_3\\ y={\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\end{array}---\left(8\right)$

其中

其中步骤(2)的子***①、②的控制器的设计为：

a、利用Backstepping控制策略设计子***①的控制器，同时采用径向基函数神经网络对子***①中未建模动态进行逼近，采用扩维状态观测器来估计***中的未知状态和干扰，并用BarrierLaypunov函数来处理***的输出受限的问题，具体为：

a-1、利用径向基函数神经网络逼近***①的复合干扰项，

${\widehat{\mathrm{\&Delta;}}}_i={\hat{W}}_i^T{\mathrm{\&Phi;}}_i\left(\hat{Z}\right)---\left(9\right)$

其中，为第i个通道的未建模动态，为第i个通道的径向基函数神经网络的权值，权值的自适应调整律为σ_i0、p_i2和Λ_i别为第i个通道的神经网络权值自适应律中的实数和参数矩阵，且σ_i0＞0，为Λ_i的转置矩阵，为x_i1的估计，采用状态观测器进行估计，为估计误差，为第i个通道的径向基向量，l为网络总节点数，为网络输入向量，中元素采用高斯基函数形式，即c_ik为网络第k个节点的中心向量，b_ik为网络第k个节点的基宽参数，k＝1,2,…,l；

a-2、设计扩维状态观测器来估计***的中状态量及外界未知干扰

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_{i1}={\hat{x}}_{i2}+l_{i1}(y_i-{\hat{y}}_i)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_{i2}=f\left(y_i\right)+g\left(y_i\right)u_i+{\widehat{\mathrm{\&Delta;}}}_i+l_{i2}(y_i-{\hat{y}}_i)+{\hat{x}}_{i3}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_{i3}=l_{i3}(y_i-{\hat{y}}_i)\\ {\hat{y}}_i={\hat{x}}_{i1}\end{array}---\left(10\right)$

其中，x_i3＝d_i为***的增广状态，为未知外界干扰d_i估计值，为x_i2的估计值，j＝1,2,3为的导数，l_ij＞0为***扩维状态观测器待设计的增益；

a-3、根据a-1中获得未建模动态的估计值 $\widehat{\mathrm{\&Delta;}}={\left[\begin{array}{cc}{\widehat{\mathrm{\&Delta;}}}_1& {\widehat{\mathrm{\&Delta;}}}_2\end{array}\right]}^T$ 以及a-2中所观测出未知状态的估计值采用Backstepping法并结合BarrierLaypunov函数，最终得到子***①的控制器模型为：

$u_i=\frac{1}{g_i\left(y_i\right)}(-f_i(y_i)-\frac{z_{1,i}}{K_{b,i}^2-{z_{1,i}}^2}-{\hat{W}}_i^T{\mathrm{\&Phi;}}_i(\hat{Z})-{\hat{d}}_i-l_{i2}(y_i-{\hat{y}}_i)+{\mathrm{\&chi;}}_i-k_{2,i}{z}_{2,i}-\frac{1}{2}{\left(\frac{\&part;{\mathrm{\&alpha;}}_i}{\&part;x_{1i}}\right)}^2{z}_{2,i})---\left(11\right)$

式中，由于三自由度模型直升机***的限制，***的滚转角的变化所以g_i(y_i)≠0，存在，z_1,i＝x_i1-x_i1d为***的跟踪误差，其中α_i为虚拟控制律， ${\mathrm{\&alpha;}}_i=-(K_{b,i}^2-{z_{1,i}}^2)k_{1,i}{z}_{1,i}+{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_{d,i}-\frac{1}{2}\frac{z_{1,i}}{K_{b,i}^2-{z_{1,i}}^2},{\mathrm{\&chi;}}_i=\frac{\&part;{\mathrm{\&alpha;}}_i}{\&part;x_{1,i}}{\hat{x}}_{i2}+\frac{\&part;{\mathrm{\&alpha;}}_i}{\&part;y_{d,i}}{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_{d,i}+\frac{\&part;{\mathrm{\&alpha;}}_i}{\&part;{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_{d,i}}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_{d,i},$ k_1,i和k_2,i为待设计的控制器的参数，K_b,i＞0是z_1,i的界，满足-K_b,i＜z_1,i＜K_b,i，y_d,i＝x_i1d为子***①的第i个期望跟踪姿态信号，为y_d,i的一阶导数；

b、利用径向基函数神经网络逼近子***②中的未建模动态，采用扩维状态观测器来估计***中不能测量得到的角速度和外界未知干扰，构造辅助***来补偿***的输入受限的问题，并设计Backstepping控制器实现姿态跟踪控制，具体步骤为：

b-1、利用径向基函数神经网络逼近***的复合干扰项

${\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Delta;}}}}_3={\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{W}}}^T\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Phi;}}\left(\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{Z}}\right)---\left(12\right)$

其中，为径向基神经网络的权值，和分别为神经网络权值自适应律中的实数和参数矩阵，且为的转置矩阵，为状态估计误差，采用状态观测器进行估计，为径向基向量，m为网络总节点数，为网络输入向量，中元素采用高斯基函数形式，即为网络第k个节点的中心向量，b_k为网络第n个节点的基宽参数，n＝1,2,…,m；

b-2、设计状态观测器估计状态量

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}}_1={\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_2+{\stackrel{\&OverBar;}{l}}_1(y-\hat{y})\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}}_2=b_{3}g\left(v\right)+{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Delta;}}}}_3+{\stackrel{\&OverBar;}{l}}_2(y-\hat{y})+{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_3\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}}_3={\stackrel{\&OverBar;}{l}}_3(y-\hat{y})\\ \hat{y}=\stackrel{\&OverBar;}{C}{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_1\end{array}---\left(13\right)$

式中，为***的增广状态，为的估计值，为的导数，l_j＞0为***扩维状态观测器的增益；

b-3、构造辅助***来补偿***的输入受限的问题

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_1=-{\mathrm{\&xi;}}_1{\mathrm{\&lambda;}}_1+{\mathrm{\&lambda;}}_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_2=-{\mathrm{\&xi;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2+b_3\left(h\right(v)-v)\end{array}\right.---\left(14\right)$

其中，λ_i为辅助***的状态变量，ξ_i＞0为***的设计参数；

b-4、根据b-1中获得的未建模动态的估计值b-2中估计出的未知状态量和外界干扰以及b-3中所构造的辅助***，采用Backstepping方法可得如下控制器模型：

$v=\frac{1}{b_3}({\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_{1d}-{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{W}}}^T\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Phi;}}(\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{Z}})-{\hat{d}}_3+(c_1^2-1){\stackrel{\&OverBar;}{z}}_1-c_2{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_2-c_3(y-\hat{y})+{\mathrm{\&xi;}}_1^2{\mathrm{\&lambda;}}_1-({\mathrm{\&xi;}}_1+{\mathrm{\&xi;}}_2\left){\mathrm{\&lambda;}}_2\right)---\left(15\right)$

式中， ${\stackrel{\&OverBar;}{z}}_1={\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_1-{\mathrm{\&lambda;}}_1-{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{1d},{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_2={\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_2-{\mathrm{\&lambda;}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_{1d}-\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}},$ 虚拟控制律 $\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}=-c_1{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_1-{\mathrm{\&zeta;}}_1{\mathrm{\&lambda;}}_1;{\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_1={\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1-{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_1$ 为状态的估计误差，为子***②的期望跟踪载体信号，为子***②的期望输出的两阶导数，c_j＞0为控制***待设计的三个控制增益。

4.子***①控制器设计

在对子***①进行控制器设计前需要如下定义和假设：

定义1：令Ω为一个包含原点的开区域，界限Lyapunov函数(BarrierLyapunovFunction，BLF)V(x)为定义在Ω上关于***的标量函数，它具有以下特性：(1)光滑、正定；(2)在Ω上的每个点的一阶连续偏导数存在；(3)当x趋向Ω的约束范围时，V(x)→∞；(4)当x(0)∈Ω时，对于所有的t＞0，其中为某个正常数。

假设1：对子***①，期望姿态角向量X_d＝[x_1d,x_2d]^T＝[θ_d,φ_d]^T已知连续且其二阶导数存在。

假设2：对子***①，外部未知干扰连续且干扰的变化率有界，即

假设3：由于三自由度模型直升机***的限制，***的滚转角的变化不失一般性，假定滚转角的变化为 $\mathrm{\&phi;}\&Element;(-\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}+{\mathrm{\&phi;}}_l,\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}-{\mathrm{\&phi;}}_l),0<{\mathrm{\&phi;}}_l<\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}.$

在子***①中，考虑了***的未建模动态和外部未知干扰，基于径向基函数神经网络设计Backstepping控制器。由于三自由度模型直升机平台的限制，子***①中的两个姿态角不能大范围变化，在子***①中利用BarrierLyapunov函数处理***输出受限的问题。

定理1：针对子***①，设计式(10)的扩维状态观测器，利用径向基函数神经网络逼近未建模动态，权值的自适应调整律采用式(9)，子***①的Backstepping控制器设计为式(11)，则子***①的状态估计误差和姿态跟踪误差在一个小个领域内，姿态输出在给定的界限内。

证明：选择Lyapunov函数为

$V_s=\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}{\tilde{X}}_i^T{P}_i{\tilde{X}}_i+\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}tr\left({\tilde{W}}_i^T{\mathrm{\&Lambda;}}_i^{-1}{\tilde{W}}_i\right)+\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}\log \frac{K_{b,i}^2}{K_{b,i}^2-z_{1,i}^2}+\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}{z}_{2,i}^2---\left(16\right)$

其中，为所选择的BarrierLyapunovFunction，为神经网络逼近权值的估计误差，W_i为神经网络逼近的理想权值，为神经网络权值的估计值。 ${\tilde{X}}_i={\left[\begin{array}{ccc}{\tilde{x}}_{i1}& {\tilde{x}}_{i2}& {\tilde{x}}_{i3}\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{ccc}{x}_{i1}-{\hat{x}}_{i1}& x_{i2}-{\hat{x}}_{i2}& x_{i3}-{\hat{x}}_{i3}\end{array}\right]}^T$ 为扩维状态观测器的估计误差， $P_i=\left[\begin{array}{ccc}{p}_{i1}& p_{i2}& p_{i3}\\ p_{i2}& p_{i4}& p_{i5}\\ p_{i3}& p_{i5}& p_{i6}\end{array}\right]>0.$

为了证明方便，式(10)写成状态空间形式为

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{X}}}_i=A_i{\hat{X}}_i+B_i{u}_i+L_i(y_i-{\hat{y}}_i)+F\left(y_i\right)+H_i{\widehat{\mathrm{\&Delta;}}}_i\\ {\hat{y}}_i=C_i{\hat{X}}_i\end{array}---\left(17\right)$

其中 ${\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{X}}}_i=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_{i1}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_{i2}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_{i3}\end{array}\right],{\hat{X}}_i=\left[\begin{array}{c}{\hat{x}}_{i1}\\ {\hat{x}}_{i2}\\ {\hat{x}}_{i3}\end{array}\right],A_i=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right],B_i=\left[\begin{array}{c}0\\ g\left(y_i\right)\\ 0\end{array}\right],L_i=\left[\begin{array}{ccc}{l}_{i1}& 0& 0\\ 0& l_{i2}& 0\\ 0& 0& l_{i3}\end{array}\right],$ $H_i=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right],F\left(y_i\right)=\left[\begin{array}{c}0\\ f\left(y_i\right)\\ 0\end{array}\right],$ C_i＝[100]。

原***(2)也可以写成如下形式：

${\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_i=A_i{X}_i+B_i{u}_i+F\left(y_i\right)+E_i{\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_i+H_i{\mathrm{\&Delta;}}_i$

(18)

y_i＝C_iX_i

其中 ${\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_i=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{i1}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{i2}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{i3}\end{array}\right],X_i=\left[\begin{array}{c}{x}_{i1}\\ x_{i2}\\ x_{i3}\end{array}\right],E_i=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right].$

比较式(17)和(18)，可以得到状态估计的误差方程为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{X}}}_i=(A_i-L_i{C}_i){\tilde{X}}_i+\left[\begin{array}{c}0\\ W_i^T{\mathrm{\&Phi;}}_i\left(Z\right)-{\hat{W}}_i^T{\mathrm{\&Phi;}}_i\left(\hat{Z}\right)\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ \mathrm{\&epsiv;}\\ 0\end{array}\right]+E_i{\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_i---\left(19\right)$

$\frac{z_{1,i}{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_{1,i}}{K_{b,i}^2-{z_{1,i}}^2}=\frac{z_{1,i}({\hat{x}}_{i2}-{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_{d,i}+{\tilde{x}}_{i2})}{K_{b,i}^2-{z_{1,i}}^2}=\frac{z_{1,i}(z_{2,i}+{\mathrm{\&alpha;}}_i+{\tilde{x}}_{i2}-{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_{d,i})}{K_{b,i}^2-{z_{1,i}}^2}---\left(20\right)$

因为

$\frac{z_{1,i}{\tilde{x}}_{2,i}}{K_{b,i}^2-{z_{1,i}}^2}\&le;\frac{1}{2}\frac{z_{1,i}^2}{{(K_{b,i}^2-{z_{1,i}}^2)}^2}+\frac{1}{2}{\tilde{x}}_{2,i}^2---\left(21\right)$

$\begin{array}{c}\frac{z_{1,i}(z_{2,i}+{\mathrm{\&alpha;}}_i+{\tilde{x}}_{i2}-{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_{d,i})}{K_{b,i}^2-{z_{1,i}}^2}\&le;\frac{1}{2}\frac{z_{1,i}^2}{{(K_{b,i}^2-{z_{1,i}}^2)}^2}+\frac{1}{2}{\tilde{x}}_{i2}^2+\frac{z_{1,i}(z_{2,i}+{\mathrm{\&alpha;}}_i-{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_{d,i})}{K_{b,i}^2-{z_{1,i}}^2}\\ =-k_{1,i}{z_{1,i}}^2+\frac{z_{1,i}{z}_{2,i}}{K_{b,i}^2-{z_{1,i}}^2}+\frac{1}{2}{\tilde{x}}_{i2}^2\end{array}---\left(22\right)$

考虑式(19)和(22)，对式(16)求导可得

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_s=\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}({\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{X}}}_i^T{P}_i{\tilde{X}}_i+{\tilde{X}}_i^T{P}_i{\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{X}}}_i)+\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}tr\left({\tilde{W}}_i^T{\mathrm{\&Lambda;}}^{-1}{\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{W}}}_i\right)+\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}\frac{z_{1,i}{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_{1,i}}{K_{b,i}^2-{z_{1,i}}^2}+\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}{z}_{2,i}{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_{2,i}\\ \&le;\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}tr\left({\tilde{W}}_i^T{\mathrm{\&Lambda;}}^{-1}{\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{W}}}_i\right)+\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}\begin{array}{c}{\left(\right(A_i-L_i{C}_i){\tilde{X}}_i+\left[\begin{array}{c}0\\ W_i^T{\mathrm{\&Phi;}}_i\left(Z\right)-{\hat{W}}_i^T{\mathrm{\&Phi;}}_i\left(\hat{Z}\right)\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ \mathrm{\&epsiv;}\\ 0\end{array}\right]+E_i{\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_i)}^T{P}_i{\tilde{X}}_i\\ +{\tilde{X}}_i^T{P}_i\left(\right(A_i-L_i{C}_i)+\left[\begin{array}{c}0\\ W_i^T{\mathrm{\&Phi;}}_i\left(Z\right)-{\hat{W}}_i^T{\mathrm{\&Phi;}}_i\left(\hat{Z}\right)\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ \mathrm{\&epsiv;}\\ 0\end{array}\right]+E_i{\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_i)\end{array}\\ +\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}(-k_{1,i}{z_{1,i}}^2+\frac{z_{1,i}{z}_{2,i}}{K_{b,i}^2-{z_{1,i}}^2}+\frac{1}{2}{\tilde{x}}_{i2}^2+z_{2,i}(f_i\left(y_i\right)+g_i\left(y_i\right)u_i+{\hat{W}}_i^T{\mathrm{\&Phi;}}_i\left(\hat{Z}\right)+{\hat{d}}_i+l_{i2}{\tilde{x}}_{i1}-{\mathrm{\&chi;}}_i-\frac{\&part;{\mathrm{\&alpha;}}_i}{\&part;x_{i1}}{\tilde{x}}_{i2}))\end{array}$

由于

$\begin{array}{c}{W}_i^T{\mathrm{\&Phi;}}_i\left(Z\right)-{\hat{W}}_i^T{\mathrm{\&Phi;}}_i\left(\hat{Z}\right)=W_i^T{\mathrm{\&Phi;}}_i\left(Z\right)-W_i^T{\mathrm{\&Phi;}}_i\left(\hat{Z}\right)+W_i^T{\mathrm{\&Phi;}}_i\left(\hat{Z}\right)-{\hat{W}}_i^T{\mathrm{\&Phi;}}_i\left(\hat{Z}\right)\\ =W_i^T\left({\mathrm{\&Phi;}}_i\right(Z)-{\mathrm{\&Phi;}}_i(\hat{Z}\left)\right)+{\tilde{W}}_i^T{\mathrm{\&Phi;}}_i\left(\hat{Z}\right)\end{array}---\left(24\right)$

将(11)和(24)带入(23)，有

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_s\&le;-\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}tr\left({\tilde{W}}_i^T{\mathrm{\&Lambda;}}^{-1}{\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{W}}}_i\right)+\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}{X}_i^T\left(P_i\right(A_i-L_i{C}_i)+{\left(A_i-L_i{C}_i\right)}^T{P}_i){\tilde{X}}_i+\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}{\tilde{X}}_i^T{P}_i\left[\begin{array}{c}0\\ {\tilde{W}}_i^T{\mathrm{\&Phi;}}_i\left(\hat{Z}\right)\\ 0\end{array}\right]\\ +\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}{\tilde{X}}_i^T{P}_i\left[\begin{array}{c}0\\ \mathrm{\&epsiv;}\\ 0\end{array}\right]+\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}{\tilde{X}}_i^T{P}_i\left[\begin{array}{c}0\\ W_i^T\left({\mathrm{\&Phi;}}_i\right(\hat{Z})-{\mathrm{\&Phi;}}_i(\hat{Z}\left)\right)\\ 0\end{array}\right]+\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}{\tilde{X}}^T{P}_i{E}_i{\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_i\\ +\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}(-k_{1,i}{z_{1,i}}^2-k_{2,i}{z}_{2,i}^2-\frac{1}{2}{\left(\frac{\&part;{\mathrm{\&alpha;}}_i}{\&part;x_{i1}}\right)}^2{z}_{2,i}^2-\frac{\&part;{\mathrm{\&alpha;}}_i}{\&part;x_{i1}}{\tilde{x}}_{i2}{z}_{2,i}+\frac{1}{2}{\tilde{x}}_{i2}^2)\\ \&le;-\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&sigma;}}_{i0}tr\left({\tilde{W}}_i^T{\tilde{W}}_i\right)+\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}{\tilde{X}}_i^T\left(P_i\right(A_i-L_i{C}_i)+{\left(A_i-L_i{C}_i\right)}^T{P}_i){\tilde{X}}_i+\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}({\tilde{X}}_i^T{P}_i\left[\begin{array}{c}0\\ \mathrm{\&epsiv;}\\ 0\end{array}\right]+\\ {\tilde{x}}_{i2}^T{p}_{i4}{\tilde{W}}_i^T{\mathrm{\&Phi;}}_i\left(\hat{Z}\right)+{\tilde{x}}_{i3}^T{p}_{i5}{\tilde{W}}_i^T{\mathrm{\&Phi;}}_i\left(\hat{Z}\right)+\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}{\tilde{X}}_i^T{P}_i\left[\begin{array}{c}0\\ W_i^{*T}\left({\mathrm{\&Phi;}}_i\right(\hat{Z})-{\mathrm{\&Phi;}}_i(\hat{Z}\left)\right)\\ 0\end{array}\right]\\ +\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}(-k_{1,i}{z_{1,i}}^2-k_{2,i}{z}_{2,i}^2-\frac{1}{2}{\left(\frac{\&part;{\mathrm{\&alpha;}}_i}{\&part;x_{i1}}\right)}^2{z}_{2,i}^2-\frac{\&part;{\mathrm{\&alpha;}}_i}{\&part;x_{1,i}}{\tilde{x}}_{i2}{z}_{2,i}+\frac{1}{2}{\tilde{x}}_{i2}^2)+\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}{\tilde{X}}^T{P}_i{E}_i{\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_i\end{array}---\left(25\right)$

由于

$\begin{array}{c}{\tilde{x}}_{i2}{p}_{i4}{\tilde{W}}_i^T{\mathrm{\&Phi;}}_i\left(\hat{Z}\right)=\frac{1}{2}{\tilde{x}}_{i2}^2{p}_{i4}^2+\frac{1}{2}{\tilde{W}}_i^T{\mathrm{\&Phi;}}_i\left(\hat{Z}\right){\mathrm{\&Phi;}}_i{\left(\hat{Z}\right)}^T{\tilde{W}}_i\\ \&le;\frac{1}{2}{\tilde{X}}_i^T\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& p_{i4}^2& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]{\tilde{X}}_i+\frac{1}{2}l{\tilde{W}}_i^T{\tilde{W}}_i\end{array}---\left(26\right)$

$\begin{array}{c}{\tilde{x}}_{i3}{p}_{i5}{\tilde{W}}_i^T{\mathrm{\&Phi;}}_i\left(\hat{Z}\right)=\frac{1}{2}{\tilde{x}}_{i3}^2{p}_{i5}^2+\frac{1}{2}{\tilde{W}}_i^T{\mathrm{\&Phi;}}_i\left(\hat{Z}\right){\mathrm{\&Phi;}}_i{\left(\hat{Z}\right)}^T{\tilde{W}}_i\\ \&le;\frac{1}{2}{\tilde{X}}_i^T\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& p_{i5}^2\end{array}\right]{\tilde{X}}_i+\frac{1}{2}l{\tilde{W}}_i^T{\tilde{W}}_i\end{array}---\left(27\right)$

${\tilde{X}}_i^{T}P{\left[\begin{array}{c}0\\ W_i^T\left({\mathrm{\&Phi;}}_i\right(\hat{Z})-{\mathrm{\&Phi;}}_i(\hat{Z}\left)\right)\\ 0\end{array}\right]}_i\&le;\frac{1}{2}{\tilde{X}}_i^T{P}_i{P}_i^T{\tilde{X}}_i+\frac{1}{2}\left|\right|W_i^{*T}\left({\mathrm{\&Phi;}}_i\right(Z)-{\mathrm{\&Phi;}}_i(\hat{Z}\left)\right)|{|}^2---\left(28\right)$

${\tilde{X}}_i^{T}P\left[\begin{array}{c}0\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_i\\ 0\end{array}\right]\&le;\frac{1}{2}{\tilde{X}}_i^T{P}_i{P}_i^T{\tilde{X}}_i+\frac{1}{2}\left|\right|{\mathrm{\&epsiv;}}_i|{|}^2---\left(29\right)$

$-\frac{\&part;{\mathrm{\&alpha;}}_i}{\&part;x_{i1}}{\tilde{x}}_{i2}{z}_{2,i}\&le;\frac{1}{2}{\left(\frac{\&part;{\mathrm{\&alpha;}}_i}{\&part;x_{i1}}\right)}^2{z}_{2,i}^2+\frac{1}{2}{\tilde{x}}_{i2}^2---\left(30\right)$

${\tilde{X}}^T{P}_i{E}_i{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&Delta;}}}_i\&le;\frac{1}{2}{\tilde{X}}^T{P}_i{P}_i^T\tilde{X}+\frac{1}{2}{E}_i^T{E}_i{\left|{\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_i\right|}^2\&le;\frac{1}{2}{\tilde{X}}^T{P}_i{P}_i^T\tilde{X}+\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&beta;}}_i^2---\left(31\right)$

将式(26)-(31)带入式(25)有

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_s\&le;-\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}{\tilde{X}}_i^T{N}_i{\tilde{X}}_i-\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}(k_{1,i}{z_{1,i}}^2+k_{2,i}{z}_{2,i}^2)-\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}\left({\mathrm{\&sigma;}}_{0}tr\right({\tilde{W}}_i^T{\tilde{W}}_i\left)\right)+\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}{\tilde{x}}_{i2}^2\\ +\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}({\tilde{X}}_i^T{P}_i{P}_i^T{\tilde{X}}_i+\frac{1}{2}{\tilde{X}}_i^T\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& p_{i4}^2& 0\\ 0& 0& p_{i5}^2\end{array}\right]{\tilde{X}}_i+l{\tilde{W}}_i^T{\tilde{W}}_i+\frac{1}{2}{\tilde{X}}^T{P}_i{P}_i^T\tilde{X})\\ +\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}\left(\right|\left|W_i^T\right({\mathrm{\&Phi;}}_i\left(Z\right)-{\mathrm{\&Phi;}}_i\left(\hat{Z}\right))|{|}^2+|\left|{\mathrm{\&epsiv;}}_i\right|{|}^2+{\mathrm{\&beta;}}_i^2)\\ \&le;-({\mathrm{\&sigma;}}_{i0}-l)tr\left({\tilde{W}}_i^T{\tilde{W}}_i\right)-\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}{\tilde{X}}_i^T(\frac{1}{2}{N}_i-\frac{3}{2}{P}_i{P}_i^T-\frac{1}{2}T){\tilde{X}}_i-\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}(k_{1,i}{z_{1,i}}^2+k_{2,i}{z}_{2,i}^2)\\ +\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}\left(\right|\left|W_i^T\right({\mathrm{\&Phi;}}_i\left(Z\right)-{\mathrm{\&Phi;}}_i\left(\hat{Z}\right)\left)\right|{|}^2+\left|\right|{\mathrm{\&epsiv;}}_i|{|}^2+\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&beta;}}_i^2)\\ \&le;-{\mathrm{\&kappa;V}}_4+\mathrm{\&tau;}\end{array}---\left(32\right)$

由于Φ_i(Z)为高斯函数，则有

式(32)中，l为径向基函数神经网络的节点数， $T=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 2+p_{i4}^2& 0\\ 0& 0& p_{i5}^2\end{array}\right],$ $\mathrm{\&kappa;}=\min (k_{1,i},k_{2,i},{\mathrm{\&sigma;}}_{i0}-l,{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }(\frac{1}{2}{N}_i-\frac{3}{2}{P}_i{P}_i^T-\frac{1}{2}T\left)\right),\mathrm{\&tau;}=\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}\left(o\right|\left|W_i^T\right|{|}^2+\left|\right|{\mathrm{\&epsiv;}}_i|{|}^2+{\mathrm{\&beta;}}_i^2)$ 为一个未知的常数。

上式中，N_i和P_i满足李氏第二稳定性理论，即有

P_i(A_i-L_iC_i)+(A_i-L_iC_i)^TP_i＝-N_i

可见，选择合适的参数，可使得子***①以指数收敛的形式收敛到一个小的邻域内，则***的状态估计误差神经网络以及姿态跟踪误差是有界的。即证。

5.子***②控制器设计

在对子***②进行控制器设计前需要如下假设：

假设4：对子***②，期望姿态角向量已知连续且其二阶导数存在。

假设5：对子***②，外界未知干扰的连续且导数存在且有界，即

由于子***①中的滚转角作为子***②的虚拟控制输入，因此在子***①的控制器的设计中构造辅助设计***来处理***的输入饱和问题。考虑了***的未建模动态和外部未知干扰，即子***②中的复合干扰由***的未建模动态和外部未知干扰组成，基于神经网络设计Backstepping控制器。

定理2：对于子***②，设计式(14)辅助设计***，采用径向基函数神经网络逼近***的复合干扰项，权值的自适应调整律选为(12)，扩维状态观测器设计为(13)，子***②控制器设计成式(15)，则子***②姿态角跟踪误差、状态估计误差和干扰估计误差以指数收敛在一个小的领域内。

为了证明方便，式(13)写成状态空间形式为

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}=\stackrel{\&OverBar;}{A}\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}+\stackrel{\&OverBar;}{L}(y-\hat{y})+\stackrel{\&OverBar;}{E}{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Delta;}}}}_3+\stackrel{\&OverBar;}{B}h\left(v\right)\\ \widehat{\stackrel{\&OverBar;}{y}}=\stackrel{\&OverBar;}{C}\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}\end{array}---\left(33\right)$

其中 $\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}}_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}}_3\end{array}\right],\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}=\left[\begin{array}{c}{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_1\\ {\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_2\\ {\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_3\end{array}\right],\stackrel{\&OverBar;}{A}=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right],\stackrel{\&OverBar;}{B}=\left[\begin{array}{c}0\\ b_3\\ 0\end{array}\right],\stackrel{\&OverBar;}{L}=\left[\begin{array}{ccc}{\stackrel{\&OverBar;}{l}}_{i1}& 0& 0\\ 0& {\stackrel{\&OverBar;}{l}}_{i2}& 0\\ 0& 0& {\stackrel{\&OverBar;}{l}}_{i3}\end{array}\right],\stackrel{\&OverBar;}{E}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right],$ $\stackrel{\&OverBar;}{C}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right].$

原***(5)也可以写成如下形式：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}=\stackrel{\&OverBar;}{A}\stackrel{\&OverBar;}{x}+\stackrel{\&OverBar;}{E}{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Delta;}}}}_3+\stackrel{\&OverBar;}{B}h\left(v\right)+\stackrel{\&OverBar;}{H}{\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_3\\ \stackrel{\&OverBar;}{y}=\stackrel{\&OverBar;}{C}\stackrel{\&OverBar;}{x}\end{array}---\left(34\right)$

其中 $\stackrel{\&OverBar;}{H}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right].$

比较式(33)和(34)，可以得到状态估计的误差方程为：

$\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}=(\stackrel{\&OverBar;}{A}-\stackrel{\&OverBar;}{L}\stackrel{\&OverBar;}{C})\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}+\left[\begin{array}{c}0\\ {\stackrel{\&OverBar;}{W}}^{*T}\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Phi;}}\left(\stackrel{\&OverBar;}{Z}\right)-{\hat{W}}^T\mathrm{\&Phi;}\left(\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{Z}}\right)\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ \stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}\\ 0\end{array}\right]+\stackrel{\&OverBar;}{H}{\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_3---\left(35\right)$

证明：其证明方法与子***①类似，选择Lyapunov函数为

$V_f=\frac{1}{2}{\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}^T\stackrel{\&OverBar;}{P}\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}+\frac{1}{2}{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_1^2+\frac{1}{2}{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_2^2+\frac{1}{2}tr\left({\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{W}}}^T{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}^{-1}\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{W}}\right)---\left(36\right)$

其中 ${\stackrel{\&OverBar;}{z}}_1={\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_1-{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{1d}-{\mathrm{\&lambda;}}_1,{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_2={\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_{1d}-{\mathrm{\&lambda;}}_2-\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}},$ 虚拟控制量为 $\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}=-c_1{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_1-{\mathrm{\&xi;}}_1{\mathrm{\&lambda;}}_1,\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{W}}=\stackrel{\&OverBar;}{W}-\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{W}}$ 为神经网络逼近权值的估计误差，为神经网络逼近的理想权值，为神经网络权值的估计值。 $\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}={\left[\begin{array}{ccc}{\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_1& {\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_2& {\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_3\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{ccc}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1-{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_1& {\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2-{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_2& {\stackrel{\&OverBar;}{x}}_3-{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_3\end{array}\right]}^T$ 为扩维状态观测器的估计误差， $\stackrel{\&OverBar;}{P}=\left[\begin{array}{ccc}{\stackrel{\&OverBar;}{p}}_1& {\stackrel{\&OverBar;}{p}}_2& {\stackrel{\&OverBar;}{p}}_3\\ {\stackrel{\&OverBar;}{p}}_2& {\stackrel{\&OverBar;}{p}}_4& {\stackrel{\&OverBar;}{p}}_5\\ {\stackrel{\&OverBar;}{p}}_3& {\stackrel{\&OverBar;}{p}}_5& {\stackrel{\&OverBar;}{p}}_6\end{array}\right]>0.$

对式(36)求导可得

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_f=\frac{1}{2}{\stackrel{\&CenterDot;}{\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}}^T\stackrel{\&OverBar;}{P}\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}+\frac{1}{2}{\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}^T\stackrel{\&OverBar;}{P}\stackrel{\&CenterDot;}{\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}+tr\left({\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{W}}}^T{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}^{-1}\stackrel{\&CenterDot;}{\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{W}}}\right)+{\stackrel{\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{z}}}_1{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_1+{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_2{\stackrel{\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{z}}}_2\\ =tr\left({\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{W}}}^T{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Lambda;}}}^{-1}\stackrel{\&CenterDot;}{\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{W}}}\right)+\frac{1}{2}{\left(\right(\stackrel{\&OverBar;}{A}-\stackrel{\&OverBar;}{K}\stackrel{\&OverBar;}{C})\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}+\left[\begin{array}{c}0\\ {\stackrel{\&OverBar;}{W}}^T\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Phi;}}\left(\stackrel{\&OverBar;}{Z}\right)-{\hat{W}}^T\mathrm{\&Phi;}\left(\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{Z}}\right)\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ \stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}\\ 0\end{array}\right]+\stackrel{\&OverBar;}{H}{\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_3)}^T\stackrel{\&OverBar;}{P}\stackrel{\&OverBar;}{x}\\ +\frac{1}{2}{\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}^T\stackrel{\&OverBar;}{P}\left(\right(\stackrel{\&OverBar;}{A}-\stackrel{\&OverBar;}{K}\stackrel{\&OverBar;}{C})+\left[\begin{array}{c}0\\ {\stackrel{\&OverBar;}{W}}^T\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Phi;}}\left(\stackrel{\&OverBar;}{Z}\right)-{\hat{W}}^T\mathrm{\&Phi;}\left(\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{Z}}\right)\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ \stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}\\ 0\end{array}\right]+\stackrel{\&OverBar;}{H}{\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_3)+{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_1({\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_{1d}+k_1{\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_1)\\ +{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_2(\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}-\stackrel{\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_{1d}-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_2)\\ =-{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&sigma;}}}_{0}tr\left({\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{W}}}^T\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{W}}\right)+\frac{1}{2}{\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}^T\stackrel{\&OverBar;}{P}\left(\right(\stackrel{\&OverBar;}{A}-\stackrel{\&OverBar;}{K}\stackrel{\&OverBar;}{C})+{\left(\stackrel{\&OverBar;}{A}-\stackrel{\&OverBar;}{K}\stackrel{\&OverBar;}{C}\right)}^T\stackrel{\&OverBar;}{P}){\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}^T\stackrel{\&OverBar;}{P}\left[\begin{array}{c}0\\ {\stackrel{\&OverBar;}{W}}^T\left(\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Phi;}}\right(\stackrel{\&OverBar;}{Z})-\mathrm{\&Phi;}(\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{Z}}\left)\right)\\ 0\end{array}\right]\\ +{\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}^T\stackrel{\&OverBar;}{P}\left[\begin{array}{c}0\\ \stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}\\ 0\end{array}\right]-c_1{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_1^2-(c_2-c_1){\stackrel{\&OverBar;}{z}}_2^2+z_1{k}_1{\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_1+{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_2{\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_1(c_1{\mathrm{\&zeta;}}_1+{\mathrm{\&zeta;}}_2-c_3)\\ +{\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_3{\stackrel{\&OverBar;}{p}}_5{\tilde{W}}^T\mathrm{\&Phi;}\left(\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{Z}}\right)+{\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_2{\stackrel{\&OverBar;}{p}}_4{\tilde{W}}^T\mathrm{\&Phi;}\left(\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{Z}}\right)+{\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}^T\stackrel{\&OverBar;}{P}\stackrel{\&OverBar;}{H}{\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_3\end{array}---\left(37\right)$

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_f\&le;-({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&sigma;}}}_0-m)tr\left({\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{W}}}^T\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{W}}\right)-\frac{1}{2}{\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}^T\stackrel{\&OverBar;}{N}\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}+{\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}^T\stackrel{\&OverBar;}{P}{\stackrel{\&OverBar;}{P}}^T\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}+\frac{1}{2}o\left|\right|{\stackrel{\&OverBar;}{W}}^T|{|}^2+\frac{1}{2}{\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}^T\stackrel{\&OverBar;}{P}{\stackrel{\&OverBar;}{P}}^T\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}\\ +\frac{1}{2}\left|\right|\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}|{|}^2-c_1{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_1^2-(c_2-c_1){\stackrel{\&OverBar;}{z}}_2^2+k_1(\frac{1}{2}{\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_1^2+\frac{1}{2}{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_1^2)+(c_1{\mathrm{\&zeta;}}_1+{\mathrm{\&zeta;}}_2-c_3)(\frac{1}{2}{\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_1^2+\frac{1}{2}{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_2^2)\\ +\frac{1}{2}{\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}^T\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& {\stackrel{\&OverBar;}{p}}_4^2& 0\\ 0& 0& {\stackrel{\&OverBar;}{p}}_5^2\end{array}\right]\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}+\frac{1}{2}{\mathrm{\&beta;}}_3^2\\ =-({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&sigma;}}}_0-m)tr\left({\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{W}}}^T\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{W}}\right)-{\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}^T(\frac{1}{2}\stackrel{\&OverBar;}{N}-\frac{3}{2}\stackrel{\&OverBar;}{P}{\stackrel{\&OverBar;}{P}}^T-\stackrel{\&OverBar;}{T})\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}-(c_1-\frac{1}{2}{k}_1){\stackrel{\&OverBar;}{z}}_1^2\\ -(c_2-c_1-\frac{1}{2}(c_1{\mathrm{\&zeta;}}_1+{\mathrm{\&zeta;}}_2-c_3\left)\right){\stackrel{\&OverBar;}{z}}_2^2+\frac{1}{2}o\left|\right|{\stackrel{\&OverBar;}{W}}^T|{|}^2+\frac{1}{2}|\left|\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}\right|{|}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\&beta;}}_3^2\\ \&le;-\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&kappa;}}{V}_f+\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}}\end{array}$

式(38)中，和满足李氏第二稳定性理论，即有

$\stackrel{\&OverBar;}{P}(\stackrel{\&OverBar;}{A}-\stackrel{\&OverBar;}{L}\stackrel{\&OverBar;}{C})+{(\stackrel{\&OverBar;}{A}-\stackrel{\&OverBar;}{L}\stackrel{\&OverBar;}{C})}^T\stackrel{\&OverBar;}{P}=-\stackrel{\&OverBar;}{N}$

其中，m为所选RBF神经网络的节点数， $\stackrel{\&OverBar;}{T}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}{c}_1{\mathrm{\&zeta;}}_1+{\mathrm{\&zeta;}}_2-c_3+k_1& 0& 0\\ 0& {\stackrel{\&OverBar;}{p}}_4^2& 0\\ 0& 0& {\stackrel{\&OverBar;}{p}}_5^2\end{array}\right],$ $\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&kappa;}}=min\left(\right(c_1-\frac{1}{2}{k}_1),(c_2-c_1-\frac{1}{2}\left(c_1{\mathrm{\&zeta;}}_1+{\mathrm{\&zeta;}}_2-c_3\right)),{\mathrm{\&lambda;}}_{min}(\frac{1}{2}\stackrel{\&OverBar;}{N}-\frac{3}{2}\stackrel{\&OverBar;}{P}{\stackrel{\&OverBar;}{P}}^T-\stackrel{\&OverBar;}{T}),({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&sigma;}}}_0-m\left)\right),$ $\mathrm{\&beta;}=\frac{1}{2}o\left|\right|{\stackrel{\&OverBar;}{W}}^T|{|}^2+\frac{1}{2}|\left|\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}\right|{|}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\&beta;}}_3^2$ 为一个未知的常数。

可见，选择合适的参数，可使得子***②以指数收敛的形式收敛到一个小的邻域内，则***的状态估计误差神经网络以及姿态跟踪误差是有界的。即证。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下还可以做出若干改进，这些改进也应视为本发明的保护范围。

Claims (3)

1.一种具有输出受限的三自由度模型直升机的鲁棒控制方法，首先将三自由度模型直升机***分解为俯仰和滚转通道组成的子***①和偏航通道组成的子***②，其特征在于：包括如下步骤

(1)分别将子***①和子***②控制***变换成仿射非线性***方程形式；

(2)分别根据子***①和子***②的仿射非线性***方程来设计鲁棒控制器。

2.如权利要求1所述的具有输出受限的三自由度模型直升机的鲁棒控制方法，其特征在于：所述步骤(1)的子***①、②的仿射非线性***方程为：

A、子***①的模型为

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}=\frac{l_{1}k}{J_1}(u_d+u_s)cos\mathrm{\&phi;}-\frac{T_g}{J_1}cos\mathrm{\&theta;}+{\mathrm{\&Delta;}}_1+d_1\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&phi;}}=\frac{l_{r}k}{J_3}(u_d-u_s)+{\mathrm{\&Delta;}}_2+d_2\end{array}\right.$

其中，J₁为俯仰轴的转动惯量，J₃为滚转轴的转动惯量，l₁为螺旋桨到俯仰轴的距离，l_r为螺旋桨到滚转轴的距离，k为电机的力常数，Δ_i,i＝1,2分别为俯仰和滚转通道的未建模动态，d_i分别为俯仰和滚转通道所受的外界未知干扰，T_g为俯仰轴的平衡块产生的有效重力矩，T_g＝m_hgl₁-m_bgl₂，m_h是直升机螺旋桨部分的质量，m_b为直升机平衡块的质量，l₂为直升机平衡块到俯仰轴的距离，u_d、u_s分别为两个电机所提供的电压，θ和φ分别为三自由度模型直升机的俯仰角和滚转角，和分别为三自由度模型直升机的俯仰角加速度和滚转角加速度；

定义[x₁₁x₂₁]^T＝[θφ]^T, ${\left[\begin{array}{cc}{x}_{12}& x_{22}\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{cc}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{11}& {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{21}\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{cc}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}& \stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&phi;}}\end{array}\right]}^T,$ 写成仿射非线性***方程为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{i1}=x_{i2}$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{i2}=f\left(y_i\right)+g\left(y_i\right)u_i+{\mathrm{\&Delta;}}_i+d_i$

y_i＝x_i1

式中， $\left[\begin{array}{c}f\left(y_1\right)\\ f\left(y_2\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-\frac{T_g}{J_1}cos\mathrm{\&theta;}\\ 0\end{array}\right],$ $\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{u}_d+u_s\\ u_d-u_s\end{array}\right]$ 为***的控制输入， $\left[\begin{array}{c}g\left(y_1\right)\\ g\left(y_2\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{l_{1}k}{J_1}cos\mathrm{\&phi;}\\ \frac{l_{r}k}{J_3}\end{array}\right],$ 子***①的输出量为[y₁y₂]^T＝[θφ]^T；

B、子***②的非线性模型为：

其中，G为直升机能悬浮在空中的悬浮力，J₂为偏航轴的转动惯量，Δ₃为偏航通道的未建模动态，d₃为偏航通道所受的外界未知干扰，为子***②的输出偏航角，针对上式，进行如下变换，有

定义则写成仿射非线性***方程为

${\stackrel{\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_1={\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_2=b_3\stackrel{\&OverBar;}{u}-b_3\mathrm{\&phi;}+b_{3}sin\mathrm{\&phi;}+{\mathrm{\&Delta;}}_3+d_3$

$y={\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1$

其中， 为***的虚拟控制量，由于滚转角的变化在一定的范围内，子***②的控制相当于考虑输入受限的问题，

$\stackrel{\&OverBar;}{u}\left(v\right(t\left)\right)=sat\left(v\right(t\left)\right)=\left\{\begin{array}{cc}sign\left(v\right(t)),& \left|v\left(t\right)\right|\&GreaterEqual;u_M\\ v\left(t\right)& \left|v\left(t\right)\right|<u_M\end{array}\right.$

其中u_M为滚转角的界，在实际的***中根据具体的任务来确定

饱和项sat(v(t))可以用一个平滑的函数逼近为

$h\left(v\right)=u_M\&times;\tanh \left(\frac{v}{u_M}\right)=u_M\frac{e^v/u_M-e^{-v}/u_M}{e^v/u_M+e^{-v}/u_M}$

子***②可以写为

${\stackrel{\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_1={\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_2=b_{3}h\left(v\right)+{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Delta;}}}_3+d_3$

$y={\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1$

其中 ${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Delta;}}}_3=-b_3\mathrm{\&phi;}+b_{3}sin\mathrm{\&phi;}+{\mathrm{\&Delta;}}_3+b_3(\stackrel{\&OverBar;}{u}-h(v)).$

3.如权利要求2所述的具有输出受限的三自由度模型直升机的鲁棒控制方法，其特征在于：所述步骤(2)的子***①、②的控制器的设计为：

a、利用Backstepping控制策略设计子***①的控制器，同时采用径向基函数神经网络对子***①中未建模动态进行逼近，采用扩维状态观测器来估计***中的未知状态和干扰，并用BarrierLaypunov函数来处理***的输出受限的问题，具体为：

a-1、利用径向基函数神经网络逼近***①的复合干扰项，

${\widehat{\mathrm{\&Delta;}}}_i={\hat{W}}_i^T{\mathrm{\&Phi;}}_i\left(\hat{Z}\right)$

其中，为第i个通道的未建模动态，为第i个通道的径向基函数神经网络的权值，权值的自适应调整律为σ_i0、p_i2和Λ_i别为第i个通道的神经网络权值自适应律中的实数和参数矩阵，且σ_i0＞0， 为Λ_i的转置矩阵，为x_i1的估计，采用状态观测器进行估计，为估计误差，为第i个通道的径向基向量，l为网络总节点数，为网络输入向量，中元素采用高斯基函数形式，即c_ik为网络第k个节点的中心向量，b_ik为网络第k个节点的基宽参数，k＝1,2,…,l；

a-2、设计扩维状态观测器来估计***的中状态量及外界未知干扰

${\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_{i1}={\hat{x}}_{i2}+l_{i1}(y_i-{\hat{y}}_i)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_{i2}=f\left(y_i\right)+g\left(y_i\right)u_i+{\widehat{\mathrm{\&Delta;}}}_i+l_{i2}(y_i-{\hat{y}}_i)+{\hat{x}}_{i3}$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_{i3}=l_{i3}(y_i-{\hat{y}}_i)$

${\hat{y}}_i={\hat{x}}_{i1}$

其中，x_i3＝d_i为***的增广状态，为未知外界干扰d_i估计值，为x_i2的估计值，j＝1,2,3为的导数，l_ij＞0为***扩维状态观测器待估计的增益；

a-3、根据a-1中获得未建模动态的估计值 $\widehat{\mathrm{\&Delta;}}={\left[\begin{array}{cc}{\widehat{\mathrm{\&Delta;}}}_1& {\widehat{\mathrm{\&Delta;}}}_2\end{array}\right]}^T$ 以及a-2中所观测出未知状态的估计值采用Backstepping法并结合BarrierLaypunov函数，最终得到子***①的控制器模型为：

$u_i=\frac{1}{g_i\left(y_i\right)}(-f_i(y_i)-\frac{z_{1,i}}{K_{b,i}^2-{z_{1,i}}^2}-{\hat{W}}_i^T{\mathrm{\&Phi;}}_i(\hat{Z})-{\hat{d}}_i-l_{i2}(y_i-{\hat{y}}_i)+{\mathrm{\&chi;}}_i-k_{2,i}{z}_{2,i}-\frac{1}{2}{\left(\frac{\&part;a_i}{\&part;x_{1i}}\right)}^2{z}_{2,i})$

式中，由于三自由度模型直升机***的限制，***的滚转角的变化所以g_i(y_i)≠0，存在，z_1,i＝x_i1-x_i1d为***的跟踪误差，其中α_i为虚拟控制律， ${\mathrm{\&alpha;}}_i=-(K_{b,i}^2-{z_{1,i}}^2)k_{1,i}{z}_{1,i}+{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_{d,i}-\frac{1}{2}\frac{z_{1,i}}{K_{b,i}^2-{z_{1,i}}^2},$ ${\mathrm{\&chi;}}_i=\frac{\&part;{\mathrm{\&alpha;}}_i}{\&part;x_{1,i}}{\hat{x}}_{i2}+\frac{\&part;{\mathrm{\&alpha;}}_i}{\&part;y_{d,i}}{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_{d,i}+\frac{\&part;{\mathrm{\&alpha;}}_i}{\&part;{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_{d,i}}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_{d,i},$ k_1,i和k_2,i为待设计的控制器的参数，K_b,i＞0是z_1,i的界，满足-K_b,i＜z_1,i＜K_b,i，y_d,i＝x_i1d为子***①的第i个期望跟踪姿态信号，为y_d,i的一阶导数；

b、利用径向基函数神经网络逼近子***②中的未建模动态，采用扩维状态观测器来估计***中不能测量得到的角速度和外界未知干扰，构造辅助***来补偿***的输入受限的问题，并设计Backstepping控制器实现姿态跟踪控制，具体步骤为：

b-1、利用径向基函数神经网络逼近***的复合干扰项

${\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Delta;}}}}_3={\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{W}}}^T\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Phi;}}\left(\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{Z}}\right)$

其中，为径向基神经网络的权值，和分别为神经网络权值自适应律中的实数和参数矩阵，且 为的转置矩阵，为状态估计误差，采用状态观测器进行估计，为径向基向量，m为网络总节点数，为网络输入向量，中元素采用高斯基函数形式，即为网络第k个节点的中心向量，b_k为网络第n个节点的基宽参数，n＝1,2,…,m；

b-2、设计状态观测器估计状态量

${\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}}_1={\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_2+\stackrel{\&OverBar;}{l_1}(y-\hat{y})$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}}_2=b_{3}g\left(v\right)+{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Delta;}}}}_3+\stackrel{\&OverBar;}{l_2}(y-\hat{y})+{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_3$ ${\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}}_3=\stackrel{\&OverBar;}{l_3}(y-\hat{y})$

$\hat{y}=\stackrel{\&OverBar;}{C}{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_1$

式中，为***的增广状态， 为的估计值，为的导数，l_j＞0为***扩维状态观测器的增益；

b-3、构造辅助***来补偿***的输入受限的问题

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_1=-{\mathrm{\&xi;}}_1{\mathrm{\&lambda;}}_1+{\mathrm{\&lambda;}}_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_2=-{\mathrm{\&xi;}}_2{\mathrm{\&lambda;}}_2+b_3\left(h\right(v)-v)\end{array}\right.$

其中，λ_i为辅助***的状态变量，ξ_i＞0为***的设计参数；

b-4、根据b-1中获得的未建模动态的估计值b-2中估计出的未知状态量和外界干扰以及b-3中所构造的辅助***，采用Backstepping方法可得如下控制器模型：

$v=\frac{1}{b_3}({\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_{1d}-{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{W}}}^T\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Phi;}}(\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{Z}})-{\hat{d}}_3+(c_1^2-1){\stackrel{\&OverBar;}{z}}_1-c_2{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_2-c_3(y-\hat{y})+{\mathrm{\&xi;}}_1^2{\mathrm{\&lambda;}}_1-({\mathrm{\&xi;}}_1+{\mathrm{\&xi;}}_2){\mathrm{\&lambda;}}_2)$

式中， ${\stackrel{\&OverBar;}{z}}_1={\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_1-{\mathrm{\&lambda;}}_1-{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{1d},$ ${\stackrel{\&OverBar;}{z}}_2={\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_2-{\mathrm{\&lambda;}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_{1d}-\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}},$ 虚拟控制律 $\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}=-c_1{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_1-{\mathrm{\&zeta;}}_1{\mathrm{\&lambda;}}_1;$ ${\widetilde{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_1={\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1-{\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{x}}}_1$ 为状态的估计误差，为子***②的期望姿态跟踪信号，为子***②的期望输出的两阶导数，c_j＞0为控制***待设计的三个控制增益。