CN109281894B - 一种微型容积式远程控制的静液作动器非线性补偿方法 - Google Patents

一种微型容积式远程控制的静液作动器非线性补偿方法 Download PDF

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CN109281894B CN201811264746.8A CN201811264746A CN109281894B CN 109281894 B CN109281894 B CN 109281894B CN 201811264746 A CN201811264746 A CN 201811264746A CN 109281894 B CN109281894 B CN 109281894B
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Abstract

本发明针对远程操控细长软管连接的微型液压作动器和软管连接的高压液压驱动***，公开了一种液压作动器非线性补偿方法，以抑制以软管变形为代表的容腔变化对***的时变非线性影响。以一种基于细长软管连接的微型双缸容积控制***为例，首先建立其动力学方程；其次，将动力学方程转换为状态空间模型以完成其数学模型构建；最后，设计基于干扰观测器辨识外负载和径向基函数神经网络辨识软管非线性特性的双环控制器布局，同时在设计过程中利用Lyapunov函数判定判定***的稳定性。本发明可抑制以软管变形为代表的容腔变化对***时变非线性影响。

Description

一种微型容积式远程控制的静液作动器非线性补偿方法
技术领域
本发明属于电静液作动器液压控制技术领域，特别是一种微型容积式远程控制的静液作动器非线性补偿方法。
背景技术
传统液压伺服控制***有阀控和泵控两种。阀控***结构简单、响应快，但效率低，油源需要储备较多的油；泵控***虽效率高，但结构复杂，响应慢。上述***方案从结构重量方面均难以轻型化，特别是小型作动器的设计，无法同时满足重量轻、装拆便捷且便于远程控制、噪音低等综合要求，所以典型的常规控制器对此类***控制效果不尽如人意。基于小型双缸容积控制的静液驱动器有显著优势，其一般由伺服电机经滚珠丝杠驱动控制缸，经连接管路传递压力从而驱动作动缸。但两缸需基于液压软管以实现软管连接。另外，对高压远程操控液压***，当对位置或速度控制精度和动态响应有严格要求时，包括管路在内的压力容腔变形对控制目标的影响显得尤为突出，需要找到一种有效控制方法解决这一非线性因素的影响。
发明内容
针对于上述现有技术的不足，本发明的目的在于针对远程操控细长软管连接的微型液压作动器和软管连接的高压液压驱动***，公开了一种微型容积式远程控制的静液作动器非线性补偿方法，以抑制以软管变形为代表的容腔变化对***时变非线性影响。
为达到上述目的，本发明采用的技术方案如下：
本发明的一种微型容积式远程控制的静液作动器非线性补偿方法，基于微型双缸容积控制***，该***包含：控制缸和作动缸，二者通过细长软管连接；包括步骤如下：
步骤1：建立***动力学方程；
步骤2：将上述建立的***动力学方程转换为状态空间模型以完成其数学模型构建；
步骤3：设计基于DOB(干扰观测器)辨识外负载和RBF(径向基函数)神经网络辨识软管非线性特性的双环控制器布局，同时在设计过程中利用Lyapunov函数判定判定***的稳定性。
进一步地，所述步骤1具体包括：
***动力学平衡方程为：
Figure BDA0001844628130000011
Figure BDA0001844628130000012
Figure BDA0001844628130000013
作动缸的摩擦力方程为：
Figure BDA0001844628130000021
式中，Vh1是两个无杆室之间的油压缩和软管膨胀相结合的加压体积增量；Vh2是两个有杆室之间油压缩和软管膨胀相结合的加压体积增量；m是负荷质量；fv是总摩擦包括缸内的静摩擦和粘性摩擦；fs是最大静摩擦力；μvisc是粘性摩擦系数；Xpi、Xpo分别为控制缸和作动缸的位移；P1、P2分别为控制缸和作动缸的无杆室内的压力；AP1、AP2分别为控制缸的无杆室和有杆室的有效作用面积；AA1、AA2分别为作动缸的无杆室和有杆室的有效作用面积；Ft为加载到作动缸上的负载；
液容C大小定义为流量与压力变化率的比值，给出以下公式：
Figure BDA0001844628130000022
其中，q2，q1分别是流入和流出软管的流量。
进一步地，所述步骤2具体包括：
为了描述状态空间模型中的***行为，组合公式(1)到(4)的方程给出：
Figure BDA0001844628130000023
***的状态变量由下式给出：
Figure BDA0001844628130000024
然后结合式(5)到(7)，获得***的状态空间模型：
Figure BDA0001844628130000025
新的变量由
Figure BDA0001844628130000026
定义，其中α＝AA2/AA1；因此，将新的
Figure BDA0001844628130000027
代入式(8)得到新的***状态空间模型为：
Figure BDA0001844628130000028
式中，F是外力和摩擦力的总和；f(x)和g(x)是关于x和C的函数，C随***状态而变化。
进一步地，所述步骤3具体包括：
31)设计干扰观测器的算法：
为了量化不确定的力，x2的扩张状态观察器设计为：
Figure BDA0001844628130000031
式中，
Figure BDA0001844628130000032
d分别是x2和F估计值；χ是整个闭环***稳定性校正项；
x2和F的估计误差分别由下式定义：
Figure BDA0001844628130000033
Figure BDA0001844628130000034
适应法则为：
Figure BDA0001844628130000035
其中，k11，k12是正常数；χb是另一个校正系数；
Lyapunov函数定义为：
Figure BDA0001844628130000036
Figure BDA0001844628130000037
的导数为：
Figure BDA0001844628130000038
根据式(11)至(15)，得到V1的时间导数：
Figure BDA0001844628130000039
32)位置跟踪控制器的算法设计：
通过使用如下的反步控制设计方法，位置跟踪误差定义为：
e＝x1-xd (17)
滑模表面设计为：
Figure BDA00018446281300000310
其中，c1是正常数；将s的时间导数与式(9)和(17)相结合得到：
Figure BDA00018446281300000311
β是对
Figure BDA0001844628130000041
的虚拟控制器，定义为：
Figure BDA0001844628130000042
式中，c2是正常数；负载压力误差由下式定义：
Figure BDA0001844628130000043
将式(20)和(21)与(19)组合，将s的时间导数重写为：
Figure BDA0001844628130000044
更新的Lyapunov函数为：
Figure BDA0001844628130000045
其中，k2是正常数；
然后将式(16)和(20)组合，得到V2的时间导数：
Figure BDA0001844628130000046
两个校正项χb，χ：
Figure BDA0001844628130000047
将式(24)中的χb，χ代入(25)，新的
Figure BDA0001844628130000048
为：
Figure BDA0001844628130000049
然后，
Figure BDA00018446281300000410
的时间导数：
Figure BDA00018446281300000411
现在，Lyapunov函数为：
Figure BDA00018446281300000412
将式(26)和(27)与(28)结合，V3的时间导数为：
Figure BDA00018446281300000413
u控制律变为：
Figure BDA00018446281300000414
根据神经网络的通用函数：
Figure BDA0001844628130000051
Figure BDA0001844628130000052
其中，x是网络输入层的向量，||·||表示欧几里德范数，cj是中心矢量，bj是宽度，h＝[hj]T描述RBF映射函数的输出，W*和V*隐藏层和输出层之间的实际输出，并且
Figure BDA0001844628130000053
和
Figure BDA0001844628130000054
是隐藏层和输出层之间的估计输出；
式(30)中，
Figure BDA0001844628130000055
和
Figure BDA0001844628130000056
由RBF神经网络表示为：
Figure BDA0001844628130000057
定义估算误差为：
Figure BDA0001844628130000058
Figure BDA0001844628130000059
将式(31)与(34)和(35)组合，将V3的时间导数变换为：
Figure BDA00018446281300000510
最终的Lyapunov函数为：
Figure BDA00018446281300000511
其中，
Figure BDA00018446281300000512
最终的自适应律为：
Figure BDA00018446281300000513
将(37)与(36)和(38)组合，L的时间导数表示为：
Figure BDA00018446281300000514
由于εf和εg(RBF神经网络的近似误差)是足够的小，因此采用鲁棒系数D≥|εf+εgu|，然后
Figure BDA00018446281300000515
本发明的有益效果：
(1)本发明抑制了以软管变形为代表的容腔变化对***时变非线性影响。
(2)本发明使用基于Lyapunov函数的控制方法可以确保液压驱动***的稳定；与传统PID和SMC控制方法相比，采用RBF-DOB控制的***具有更高的精度和更好的动态性能。
(3)本发明采用基于DOB(干扰观测器)和RBF(径向基函数)神经网络的双环控制器布局策略的***具有良好的鲁棒性和性能指标输出品质，可更好地满足***抗干扰需求。
附图说明
图1为本发明方法的流程图。
图2为本发明微型双缸容积控制***的原理示意图。
图3为本发明基于干扰观测器和RBF神经网络的控制器布局。
图4为本发明的恒定外力阶跃信号下三种控制策略的位移对比图。
图5为本发明的恒定外力阶跃信号下三种控制策略的控制器输出对比图。
图6为本发明的恒定外力正弦信号下三种控制策略的位移对比图。
图7为本发明的恒定外力正弦信号下三种控制策略的控制器输出对比图。
图8为本发明的恒定位移阶跃信号下三种控制策略的位移对比图。
图9为本发明的恒定位移阶跃信号下三种控制策略的控制器输出对比图。
图10为本发明的恒定位移正弦信号下三种控制策略的位移对比图。
图11为本发明的恒定位移正弦信号下三种控制策略的控制器输出对比图。
具体实施方式
为了便于本领域技术人员的理解，下面结合实施例与附图对本发明作进一步的说明，实施方式提及的内容并非对本发明的限定。
参照图1所示，本发明的一种微型容积式远程控制的静液作动器非线性补偿方法，基于微型双缸容积控制***，该***包含：控制缸和作动缸，二者通过细长软管连接；包括步骤如下：
步骤1：建立了***动力学方程；
如图2所示，控制缸作为由伺服单元驱动的控制元件并与作动缸通过细长软管连接，是一种双缸控制策略；
假设：1、与外部负载相比，缸中的运动部件的质量可以忽略不计；2、在短时间的驱动过程中，缸的泄漏不是低油压工作压力下的主要因素之一；3、由于***中既不存在节流损失和也不存在静摩擦，所以热油性质不需要考虑；
***动力学平衡方程为：
Figure BDA0001844628130000061
Figure BDA0001844628130000071
Figure BDA0001844628130000072
作动缸的摩擦力方程为：
Figure BDA0001844628130000073
式中，Vh1是两个无杆室之间的油压缩和软管膨胀相结合的加压体积增量；Vh2是两个有杆室之间油压缩和软管膨胀相结合的加压体积增量；m是负荷质量；fv是总摩擦包括缸内的静摩擦和粘性摩擦；fs是最大静摩擦力；μvisc是粘性摩擦系数；Xpi、Xpo分别为控制缸和作动缸的位移；P1、P2分别为控制缸和作动缸的无杆室内的压力；AP1、AP2分别为控制缸的无杆室和有杆室的有效作用面积；AA1、AA2分别为作动缸的无杆室和有杆室的有效作用面积；Ft为加载到作动缸上的负载；
液容C大小定义为流量与压力变化率的比值，给出以下公式：
Figure BDA0001844628130000074
其中，q2，q1分别是流入和流出软管的流量。
步骤2：将动力学方程转换为状态空间模型以完成其数学模型构建，具体如下：
为了描述状态空间模型中的***行为，组合公式(1)到(4)的方程给出：
Figure BDA0001844628130000075
***的状态变量由下式给出：
Figure BDA0001844628130000076
然后结合式(5)到(7)，获得***的状态空间模型：
Figure BDA0001844628130000077
为了利用反推策略，***属于严格的反馈形式；新的变量由
Figure BDA0001844628130000078
定义，其中α＝AA2/AA1；因此，将新的
Figure BDA0001844628130000079
代入式(8)得到新的***状态空间模型为：
Figure BDA0001844628130000081
式中，F是外力和摩擦力的总和；f(x)和g(x)是关于x和C的函数，C随***状态而变化。
步骤3：最后，设计基于DOB(干扰观测器)辨识外负载和RBF(径向基函数)神经网络辨识软管非线性特性的双环控制器布局，同时在设计过程中利用Lyapunov函数判定判定***的稳定性
31)参照图3，设计干扰观测器的算法：
为了量化不确定的力，x2的扩张状态观察器设计为：
Figure BDA0001844628130000082
式中，
Figure BDA0001844628130000083
d分别是x2和F估计值；χ是整个闭环***稳定性校正项；
x2和F的估计误差分别由下式定义：
Figure BDA0001844628130000084
Figure BDA0001844628130000085
适应法则为：
Figure BDA0001844628130000086
其中，k11，k12是正常数；χb是另一个校正系数，旨在确保闭环***的稳定性，其进一步的推论接下来可以看得很清楚；
Lyapunov函数定义为：
Figure BDA0001844628130000087
Figure BDA0001844628130000088
的导数为：
Figure BDA0001844628130000089
根据式(13)至(17)，得到V1的时间导数：
Figure BDA00018446281300000810
完成了干扰观测器算法的设计；
32)位置跟踪控制器的算法设计：
通过使用如下的反步控制设计方法，位置跟踪误差定义为：
e＝x1-xd (17)
滑模表面设计为：
Figure BDA0001844628130000091
其中，c1是正常数；将s的时间导数与式(9)和(17)相结合得到：
Figure BDA0001844628130000092
β是对
Figure BDA0001844628130000093
的虚拟控制器，定义为：
Figure BDA0001844628130000094
式中，c2是正常数；负载压力误差由下式定义：
Figure BDA0001844628130000095
将式(20)和(21)与(19)组合，将s的时间导数重写为：
Figure BDA0001844628130000096
更新的Lyapunov函数是：
Figure BDA0001844628130000097
其中，k2是正常数；
然后将式(16)和(20)组合，得到V2的时间导数：
Figure BDA0001844628130000098
两个校正项χb，χ：
Figure BDA0001844628130000099
将式(24)中的χb，χ代入(25)，新的
Figure BDA00018446281300000910
为：
Figure BDA00018446281300000911
然后，
Figure BDA00018446281300000912
的时间导数：
Figure BDA00018446281300000913
现在，Lyapunov函数为：
Figure BDA0001844628130000101
将式(26)和(27)与(28)结合，V3的时间导数为：
Figure BDA0001844628130000102
u控制律变为：
Figure BDA0001844628130000103
根据神经网络的通用函数：
Figure BDA0001844628130000104
Figure BDA0001844628130000105
其中，x是网络输入层的向量，||·||表示欧几里德范数，cj是中心矢量，bj是宽度，h＝[hj]T描述RBF映射函数的输出，W*和V*隐藏层和输出层之间的实际输出，并且
Figure BDA0001844628130000106
和
Figure BDA0001844628130000107
是隐藏层和输出层之间的估计输出。
式(30)中，
Figure BDA0001844628130000108
和
Figure BDA0001844628130000109
由RBF神经网络表示为：
Figure BDA00018446281300001010
定义估算误差为：
Figure BDA00018446281300001011
Figure BDA00018446281300001012
将式(31)与(34)和(35)组合，将V3的时间导数变换为：
Figure BDA00018446281300001013
最终的Lyapunov函数为：
Figure BDA00018446281300001014
其中，
Figure BDA00018446281300001015
最终的自适应律为：
Figure BDA0001844628130000111
将(37)与(36)和(38)组合，L的时间导数表示为：
Figure BDA0001844628130000112
由于εf和εg(RBF神经网络的近似误差)是足够的小，因此采用鲁棒系D≥|εf+εgu|，然后
Figure BDA0001844628130000113
因此，RBF-DOB位置跟踪控制器完全按照闭环***的稳定性考虑进行设计。
综上所述，一种微型容积式远程控制的静液作动器非线性补偿策略可以让***得到稳定的输出。为了验证本发明设计的RBF-DOB控制器的位移跟踪性能，采用传统的PID控制器和SMC控制器进行不同情况的比较。PID控制器和SMC控制器的参数由很多模拟和不同值的对比决定。PID控制器参数选自大量模拟结果，标准为最小超调量和最短调节时间。SMC控制器的设计符合法律规定，采用适当的常量趋近系数和指数趋近系数，确保最小位移振荡和快速响应速度。RBF-DOB***的一些参数，如表1所示；下面结合仿真结果来说明本发明的优越性。表1如下：
表1
Figure BDA0001844628130000114
结合图4和图5，在恒定外力阶跃信号下，在2s处从5mm到20mm，然后在4s处返回到10mm，500N的外部载荷施加在作动缸上。图4可以看出，使用PID控制和SMC控制的***在此信号下表现出比RBF-DOB控制更长的延迟时间和更大的误差。图5表明，由于比例项不可过大，***中的PID控制不能使输出足够高，这减慢了目标位移的调制。具有SMC和RBF-DOB控制的***提供更高更快的控制信号，并且可以使作动缸快速稳定在预期位置。然而，SMC控制在调整期间导致明显的信号抖动，而具有RBF-BOD控制的***具有更快且更稳定的控制信号输出。
结合图6和图7，在恒定外力正弦信号下，给定信号位移Xd＝0.005sinπt+0.02(m)并加负载力Ft＝500N。图6表明SMC控制在上升信号下产生高达5mm的位移跟踪误差，使用PID控制的***可以达到与信号相同的幅度，但延迟为0.2s。同时，RBF-DOB控制具有出色的***跟踪性能。图7所示，描述了在这三个控制器中，只有RBF-DOB控制器产生高达0.55m/s的速度输出，这允许作动缸快速跟踪信号输入。然而，当作动缸到达信号指定的位置时，SMC产生剧烈的抖动信号，因此不适用于工程情况。
结合图8和图9，在恒定位移阶跃信号下，将具有恒定位移指令的阶跃外力信号施加到作动缸上，在2秒时，外力从600N下降到400N，然后在4秒时达到500N。图8表示了利用上述三种方法的不同作动缸位移对比。采用PID控制器或SMC的***存在稳态误差。与其他两种策略相比，RBF-DOB控制器可以提高控制精度。在图9中，SMC的劣质控制信号使得难以实现控制目标，相比较而言，来自RBF-DOB和PID控制器的控制信号会轻微改变。鉴于上述分析，在恒定位移阶跃信号下，RBF-DOB控制器策略更适用于***的鲁棒控制。
结合图10和图11，在恒定压力正弦信号下，基于载荷Ft＝100sinπt+500(N)和10mm的位移指令。图10表明，在没有压力反馈控制器的情况下，使用PID控制的***会产生大位移湍流，并且对外部负载预设的最大误差为0.3mm。尽管SMC在可变外部负载下有助于强大的鲁棒性，但在其初始响应期间出现大位移误差。与上述两种方法相比，RBF-DOB控制具有更高的精度(误差位移为0.004mm)，并且在其初始响应期间也具有更强的目标位移鲁棒性。控制器的输出信号如图11所示，PID控制倾向于产生小的输出信号(最大值为0.1m/s)，这导致较差的控制效果。SMC的控制信号经常抖动，以确保外部负载快速变化时的稳健性。RBF-DOB控制在位移响应的初始时间给出大信号以应对负载的突然变化，为平滑负载产生小而快速的控制信号。显然，RBF-DOB控制更适合工程实践。
在本发明中使用Lyapunov理论的控制方法可以实现稳定的***。与传统的PID和SMC控制相比，采用RBF-DOB控制的***具有更高的精度和更好的动态性能。在抗干扰能力方面，采用RBF-DOB控制器的微型液压驱动***优于使用PID控制器的微型液压驱动***。尽管鲁棒性比所提出的方法更好，但是SMC容易诱导具有大量抖动的控制信号，并且不适合于***中的伺服电机控制。相比之下，具有强大鲁棒性和合格输出的RBF-DOB控制满足了工程需求。本发明提出的控制策略显著改善了由不确定的***参数和不同的负载状态引起的影响，提高了软管连接的微型及高压***的位移控制精度。
本发明具体应用途径很多，以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以作出若干改进，这些改进也应视为本发明的保护范围。

Claims (3)

1.一种微型容积式远程控制的静液作动器非线性补偿方法，其特征在于，基于微型双缸容积控制***，该***包含：控制缸和作动缸，二者通过细长软管连接；包括步骤如下：
步骤1：建立***动力学方程；
步骤2：将上述建立的***动力学方程转换为状态空间模型以完成其数学模型构建；
步骤3：设计基于干扰观测器辨识外负载和径向基函数神经网络辨识软管非线性特性的双环控制器布局，同时在设计过程中利用Lyapunov函数判定判定***的稳定性；
所述步骤1具体包括：
***动力学平衡方程为：
Figure FDA0002278318410000011
Figure FDA0002278318410000012
Figure FDA0002278318410000013
作动缸的摩擦力方程为：
Figure FDA0002278318410000014
式中，Vh1是两个无杆室之间的油压缩和软管膨胀相结合的加压体积增量；Vh2是两个有杆室之间油压缩和软管膨胀相结合的加压体积增量；m是负荷质量；fv是总摩擦包括缸内的静摩擦和粘性摩擦；fs是最大静摩擦力；μvisc是粘性摩擦系数；Xpi、Xpo分别为控制缸和作动缸的位移；P1、P2分别为控制缸和作动缸的无杆室内的压力；AP1、AP2分别为控制缸的无杆室和有杆室的有效作用面积；AA1、AA2分别为作动缸的无杆室和有杆室的有效作用面积；Ft为加载到作动缸上的负载；
液容C大小定义为流量与压力变化率的比值，给出以下公式：
Figure FDA0002278318410000015
其中，q2，q1分别是流入和流出软管的流量。
2.根据权利要求1所述的微型容积式远程控制的静液作动器非线性补偿方法，其特征在于，所述步骤2具体包括：
为了描述状态空间模型中的***行为，组合公式(1)到(4)的方程给出：
Figure FDA0002278318410000016
***的状态变量由下式给出：
Figure FDA0002278318410000021
然后结合式(5)到(7)，获得***的状态空间模型：
Figure FDA0002278318410000022
新的变量由
Figure FDA0002278318410000023
定义，其中α＝AA2/AA1；因此，将新的
Figure FDA0002278318410000024
代入式(8)得到新的***状态空间模型为：
Figure FDA0002278318410000025
式中，F是外力和摩擦力的总和；f(x)和g(x)是关于x和C的函数，C随***状态而变化。
3.根据权利要求2所述的微型容积式远程控制的静液作动器非线性补偿方法，其特征在于，所述步骤3具体包括：
31)设计干扰观测器的算法：
为了量化不确定的力，x2的扩张状态观察器设计为：
Figure FDA0002278318410000026
式中，
Figure FDA0002278318410000027
d分别是x2和F估计值；χ是整个闭环***稳定性校正项；
x2和F的估计误差分别由下式定义：
Figure FDA0002278318410000028
Figure FDA0002278318410000029
适应法则为：
Figure FDA00022783184100000210
其中，k11，k12是正常数；χb是另一个校正系数；
Lyapunov函数定义为：
Figure FDA0002278318410000031
Figure FDA0002278318410000032
的导数为：
Figure FDA0002278318410000033
根据式(11)至(15)，得到V1的时间导数：
Figure FDA0002278318410000034
32)位置跟踪控制器的算法设计：
通过使用如下的反步控制设计方法，位置跟踪误差定义为：
e＝x1-xd (17)
滑模表面设计为：
Figure FDA0002278318410000035
其中，c1是正常数；将s的时间导数与式(9)和(17)相结合得到：
Figure FDA0002278318410000036
β是对
Figure FDA0002278318410000037
的虚拟控制器：
Figure FDA0002278318410000038
式中，c2是正常数；负载压力误差由下式定义：
Figure FDA0002278318410000039
将式(20)和(21)与(19)组合，将s的时间导数重写为：
Figure FDA00022783184100000310
更新的Lyapunov函数为：
Figure FDA00022783184100000311
其中，k2是正常数；
然后将式(16)和(20)组合，得到V2的时间导数：
Figure FDA00022783184100000312
两个校正项χb，χ：
Figure FDA0002278318410000041
将式(24)中的χb，χ代入(25)，新的
Figure FDA0002278318410000042
为：
Figure FDA0002278318410000043
然后，
Figure FDA0002278318410000044
的时间导数：
Figure FDA0002278318410000045
现在，Lyapunov函数为：
Figure FDA0002278318410000046
将式(26)和(27)与(28)结合，V3的时间导数为：
Figure FDA0002278318410000047
u控制律变为：
Figure FDA0002278318410000048
根据神经网络的通用函数：
Figure FDA0002278318410000049
Figure FDA00022783184100000410
其中，x是网络输入层的向量，||·||表示欧几里德范数，cj是中心矢量，bj是宽度，h＝[hj]T描述RBF映射函数的输出，W*和V*隐藏层和输出层之间的实际输出，并且
Figure FDA00022783184100000411
和
Figure FDA00022783184100000412
是隐藏层和输出层之间的估计输出；
式(30)中，
Figure FDA00022783184100000413
和
Figure FDA00022783184100000414
由RBF神经网络表示为：
Figure FDA00022783184100000415
定义估算误差为：
Figure FDA00022783184100000416
Figure FDA0002278318410000051
将式(31)与(34)和(35)组合，将V3的时间导数变换为：
Figure FDA0002278318410000052
最终的Lyapunov函数为：
Figure FDA0002278318410000053
其中，
Figure FDA0002278318410000054
最终的自适应律为：
Figure FDA0002278318410000055
将(37)与(36)和(38)组合，L的时间导数表示为：
Figure FDA0002278318410000056
由于εf和εg是足够的小，因此采用鲁棒系数D≥|εf+εgu|，然后
Figure FDA0002278318410000057
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