CN109270484B - 一种基于运动合成阵列的多信源doa估计方法 - Google Patents

一种基于运动合成阵列的多信源doa估计方法 Download PDF

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CN109270484B CN201810815427.5A CN201810815427A CN109270484B CN 109270484 B CN109270484 B CN 109270484B CN 201810815427 A CN201810815427 A CN 201810815427A CN 109270484 B CN109270484 B CN 109270484B
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Abstract

本发明公开了一种基于运动合成阵列的多信源DOA估计方法，包括如下步骤：(1)运动阵列以周期T采集L段数据，每段数据包含N个快拍；(2)对相邻两段数据的协方差矩阵进行特征分解得到噪声子空间，构建二维谱函数，运用二维搜索或降维搜索得到一组相位校正因子和初始DOA估计值；(3)对L段数据连续利用步骤(2)，共得到L‑1组相位校正因子；(4)对L段总体数据的协方差矩阵进行特征分解得到总体噪声子空间，利用步骤(3)得到的相位校正因子对阵列流型进行补偿，构造合成阵列的谱函数，搜索谱函数得到DOA估计值。本发明适用于阵列非匀速运动及信源非相干情况，合成阵列的孔径得到极大的拓展，DOA估计性能也得到极大提升。

Description

一种基于运动合成阵列的多信源DOA估计方法
技术领域
本发明涉及阵列信号处理波达方向估计技术领域，尤其是一种基于运动合成阵列的多信源DOA估计方法。
背景技术
当前，由于干扰信号的数目日益增多，为了在这些干扰中有效分辨有用信号，高分辨率的DOA估计算法显得至关重要。最常用提升阵列分辨率的方法就是增大阵列的孔径，但增大阵列的孔径会加重承载平台的负担且会消耗更多的硬件资源。此外由于承载平台的小型化趋势，如无人机，大孔径的阵列无法适用实际应用场景。在这种情况下，合成阵列方法能够满足兼顾高分辨率和承载平台小型化的要求。
合成阵列方法运用平台运动和信号的时间相干性进行孔径拓展，其在阵列信号处理和声信号处理领域有广泛的应用，如合成孔径雷达(Synthetic aperture radar，SAR)和合成孔径声纳(Synthetic aperture sonar，SAS)等。简单来讲，合成阵列方法就是运用信号处理的方法，将同一时刻不同阵元的接收信号等效为不同时刻同一阵元的接收信号。这样，原本有限的阵列孔径得到拓展。这些算法大致可以分为三类：拓展拖曳阵列测量(Extended towed array measurements)方法、FFTSA(fast Fourier transformsynthetic aperture)方法和最大似然(Maximum likelihood，ML)方法。其中，ETAM算法在估计性能、阵列增益等方面均优于其他方法。ETAM算法利用相位校正因子，对运动拖曳阵列连续接收的信号进行相干补偿以拓展阵列孔径，其中相位校正因子与阵列运动和不确定相位噪声有关。
目前，对于ETAM算法的研究大都考虑在阵列匀速运动的情况，这在实际中很难保证。此外，对于多信源DOA估计，传统的ETAM算法由于每次只能估计一个相位校正因子，因此要求多个信号相干。然而，相位噪声往往由***误差和随机相位噪声引起，对于不同信源一般不同，因此不能认为所有信源的相位校正因子相同。由于相位校正因子估计是ETAM算法的关键，若不同信源的相位校正因子估计误差较大会对最终的DOA估计性能产生较大的影响。
发明内容
本发明所要解决的技术问题在于，提供一种基于运动合成阵列的多信源DOA估计方法，适用于阵列非匀速运动及信源非相干情况，合成阵列的孔径得到极大的拓展，DOA估计性能也得到极大提升。
为解决上述技术问题，本发明提供一种基于运动合成阵列的多信源DOA估计方法，包括如下步骤：
(1)运动阵列以周期T采集L段数据，每段数据包含N个快拍；
(2)对相邻两段数据的协方差矩阵进行特征分解得到噪声子空间，构建二维谱函数，运用二维搜索或降维搜索得到一组相位校正因子和初始DOA估计值；
(3)对L段数据连续利用步骤(2)，共得到L-1组相位校正因子；
(4)对L段总体数据的协方差矩阵进行特征分解得到总体噪声子空间，利用步骤(3)得到的相位校正因子对阵列流型进行补偿，构造合成阵列的谱函数，搜索谱函数得到DOA估计值。
优选的，步骤(1)具体为：定义测量周期为T，接收L段数据；在每段数据中，进行N次采样，采样间隔为τ，其中Nτ<T，在t+Tl时刻，第m个阵元接收到的第l段信号为
Figure BDA0001740196810000021
其中，t∈[0,T]，Tl＝(l-1)T；θk和fk,k＝1,…,K为第k个信源的入射角度和频率；dm为第m个阵元与参考阵元的间距；c为信号波的传播速度；
Figure BDA0001740196810000022
表示第k个信号在第i段数据接收时间内的不确定相位，设
Figure BDA0001740196810000023
sk(t)表示参考阵元在第l段数据接收时间内第k个信源的信号；wm(t+Tl)为相应时刻的加性噪声；Dl＝vlTl为在接收l段数据时间内阵列运动的距离；
用矩阵形式表示，第l段的接收信号可以表示为
Xl＝ASl+Wl
其中，
Figure BDA0001740196810000024
是实阵列的阵列流型，
Figure BDA0001740196810000025
Figure BDA0001740196810000026
和
Figure BDA0001740196810000027
为参考阵元接收的第l段信号和噪声矩阵。
优选的，步骤(2)具体为：在不考虑噪声的情况下，第l+1段的数据为
Xl+1＝ASl+1＝[a(θ1)p1l,…,a(θK)pKl]Sl
其中，
Figure BDA0001740196810000031
φkl称为相位校正因子；
联合相邻两段数据
Figure BDA0001740196810000032
其中，
Figure BDA0001740196810000033
⊙表示Khatri-Rao积；Bl＝Pl⊙A可以看作用Tl到Tl+1两段数据得到的等效合成阵列的阵列流型；
可以通过对二维谱函数进行谱峰搜索可以得到初始DOA和校正因子的估计值
Figure BDA0001740196810000034
其中，bk(φ,θ)是阵列流型Bl的第k列；φ和θ是相位校正因子和DOA估计值的搜索值；Unl表示信号子空间和噪声子空间；通过谱峰搜索，由K个谱峰可以得到K个相位校正因子
Figure BDA0001740196810000035
和相应的K个初始DOA估计值；
采用降维方法，将高复杂度的二维谱峰搜索转化为复杂度较低的一维搜索；这样，相位校正因子可以估计为
Figure BDA0001740196810000036
其中，
Figure BDA0001740196810000037
为一列向量，I2是一个二维的单位阵。
优选的，步骤(3)具体为：重复步骤(2)L-1次，每次利用相邻两段数据，可以得到K个信源的L-1组相位校正因子
Figure BDA0001740196810000038
优选的，步骤(4)具体为：通过二维或降维的MUSIC方法，利用L段数据，K个信源的L-1对相位校正因子
Figure BDA0001740196810000039
全部得到，这些相位校正因子用来补偿整个合成阵列的阵列流型，其谱函数可以表示为
Figure BDA00017401968100000310
其中，
Figure BDA0001740196810000041
Figure BDA0001740196810000042
Figure BDA0001740196810000043
由协方差矩阵
Figure BDA0001740196810000044
分解得到的噪声子空间，在N个快拍下，
Figure BDA0001740196810000045
本发明的有益效果为：(1)本发明算法适用于阵列非匀速运动及信源非相干情况，更为实际；(2)合成阵列的孔径得到极大的拓展，DOA估计性能也得到极大提升；(3)本发明算法能估计多于实际阵元数的信源。
附图说明
图1为本发明的运动合成线阵模型示意图。
图2为本发明的相位校正因子和初始DOA估计示意图。
图3为本发明的相位校正因子估计性能随信噪比变化示意图。
图4为本发明的DOA估计性能随信噪比变化示意图。
图5为本发明的DOA估计性能随数据段数L增加的变化示意图。
具体实施方式
本发明提出一种考虑相位相位噪声情况下，运用运动合成阵列对多个非相干信源进行DOA估计的方法。首先，推导考虑相位噪声的阵列接收信号模型和运动阵列的流型矢量，然后运用二维MUSIC方法对相邻两段接收信号进行谱峰搜索，得到DOA和相位校正因子的初始估计值。在所有时间段内接收数据对应的相位校正因子都估计得到后，对不同时间段内的接收信号由于阵列运动和不确定相位噪声造成的相位差进行补偿，以得到等效的合成阵列。为了降低二维谱峰搜索的复杂度，同时提出一种降维MUSIC方法将二维搜索转化为一维搜索。由于阵列孔径得到拓展，DOA估计性能极大提高。此外，本发明算法还可以估计多于实际阵元数目的信源。根据仿真结果，利用本发明的合成阵列算法，一个由4阵元的均匀线阵(uniform linear array，ULA)合成的20阵元合成阵列能获得与采用传统MUSIC算法的14阵元的实阵列相近的DOA估计性能。
(1)数据模型
考虑一个M阵元的线阵以已知速度v沿x轴运动，如图1所示。设有K个远场窄带不相干信源入射，其中第k个信源的入射角度和频率为θk∈(-π/2,π/2)和fk,k＝1,…,K。设阵列的阵列间距小于半波长，即dm<λmin/2,m＝1,2,…,M，其中λmin为所有信源中最短的信号波长，且设第一个阵元位置d1＝0作为参考。若阵列静止，则第m个阵元的接收信号为
Figure BDA0001740196810000051
其中，
Figure BDA0001740196810000052
为第k个窄带信源信号，αk(t)和θk(t)分别为慢变化的幅度调制和相位调制信号；τm(θk)＝dm sinθk/c为相对于参考阵元的相位延迟；wm(t)为均值为0，方差为σ2的加性高斯白噪声。在窄带信号的假设下，αk(t)≈αk(t-τm)且θk(t)≈θk(t-τm)，因此第m个阵元接收到的第k个信源信号可以近似表示为
Figure BDA0001740196810000053
假设在整个阵列合成过程中，信号都满足窄带特性。
定义单位测量周期为T，并将接受信号分为L段数据(每段数据持续时间为T)。例如，在图1中，第一段数据时间开始于T1。在每段数据中，进行N次采样，采样间隔为τ，其中Nτ<T。这样，在t+Tl时刻，第m个阵元接收到的第l段信号为
Figure BDA0001740196810000054
其中，t∈[0,T]，Tl＝(l-1)T表示第l段数据的起始时间；f'k＝fk(1+vl sinθk/c)是第k个信号的频率以多普勒频移，c为信号波的传播速度；
Figure BDA0001740196810000055
表示第k个信号在第i段数据接收时间内的不确定相位，设第一段数据的不确定相位
Figure BDA0001740196810000056
sk(t)表示参考阵元在第l段数据接收时间内第k个信源的信号；wm(t+Tl)为相应时刻的加性噪声。注意到，这里不要求阵列运动速度为常数，即阵列可以做变速直线运动。为了简单起见，设阵列运动速度在每个数据段接收时间内近似不变，在不同数据段间不同。
此外，本发明还做如下假设：1)信源数K和信号频率已知。若未知，可以事先采用现有的信息论方法或最大似然方法估计信源数K，采用FFT方法估计信号频率；2)信源入射角度在阵列合成过程中不变；3)阵列合成时间小于信号的最大相干时间，其中最大相干时间后续分析；4)阵列流型固定，所有阵元的运动状态相同且没有振动偏差。
通常，信号波的传播速度远大于阵列的运动速度vl＜＜c，则vldm sin2θk/c2＜＜dmsinθk/c成立，那么因子vldm sin2θk/c2可以忽略。这样，式(2)可以简化为
Figure BDA0001740196810000061
其中，Dl＝vlTl为在接收l段数据时间内阵列运动的距离。
(2)合成阵列方法
假设存在一个阵元为dm+Dl的实阵元，表示为第m’个阵元。该阵元在时刻t∈[0,τ]的接收信号可以表示为
Figure BDA0001740196810000062
不考虑加性噪声，第m个阵元和接收信号xm(t+Tl)和第m’个实阵元的接收信号xm'(t)有如下关系
Figure BDA0001740196810000063
其中，
Figure BDA0001740196810000064
是由于测量延迟和相位噪声造成的相位差。
通过相位补偿，运动阵列接收信号可以等效为相应位置实阵列接收到的信号，这样，阵列的阵元数和孔径都可以得到都可以得到拓展。
将总共L段接收信号表示为矩阵形式
X＝ASAS+W
其中，
Figure BDA0001740196810000065
可以看作合成阵列的阵列流型，
Figure BDA0001740196810000066
Figure BDA0001740196810000067
是合成阵列在第l段数据接收时间内的导向矢量；
Figure BDA0001740196810000071
为信源信号矩阵，
Figure BDA0001740196810000072
W为噪声矩阵。
利用L段数据，原本的M阵元实线阵可以拓展为阵元数为ML的合成阵列，其中M(L-1)个阵元为通过相位补偿得到的等效虚拟阵元。这里假设在运动合成过程中没有阵元重叠。然而，直接对这L段数据进行处理要求信号在整个合成周期内具有时间相干性，这在实际中很难满足。因此，本发明通过连续对相邻两段的信号进行处理。
第m个阵元接收第k个信源和第l段和第l+1段信号有如下的关系
Figure BDA0001740196810000073
此外，第l段的接收信号可以表示为
Xl＝ASl+Wl
其中，
Figure BDA0001740196810000074
是实阵列的阵列流型，
Figure BDA0001740196810000075
Figure BDA0001740196810000076
和
Figure BDA0001740196810000077
为参考阵元接收的第l段信号和噪声矩阵。
在不考虑噪声的情况下
Xl+1＝ASl+1＝[a(θ1)p1l,…,a(θK)pKl]Sl
其中，
Figure BDA0001740196810000078
φkl称为相位校正因子。显然，相位校正因子和阵列运动和相位噪声有关。
联合可得
Figure BDA0001740196810000079
其中，
Figure BDA00017401968100000710
⊙表示Khatri-Rao积；Bl＝Pl⊙A可以看作用Tl到Tl+1两段数据得到的等效合成阵列的阵列流型。
在这段时间内，接收信号的协方差矩阵为
Figure BDA00017401968100000711
其中，Usl和Unl表示信号子空间和噪声子空间；Λsl为K个大特征值组成的对角矩阵；Λnl为剩余2M-K个小特征值组成的对角矩阵。
相位校正因子和初始DOA估计值可以根据使得如下代价函数最小的值得到
Figure BDA0001740196810000081
可以通过对二维谱函数进行谱峰搜索得到使代价函数最小的值
Figure BDA0001740196810000082
其中，bk(φ,θ)是阵列流型Bl的第k列；φ和θ是相位校正因子和DOA的搜索值。通过谱峰搜索，由K个谱峰可以得到K个相位校正因子
Figure BDA0001740196810000083
和相应的K个初始DOA估计值。
一般而言，二维谱峰搜索的计算复杂度非常高。这里还提出一种降维方法，将高复杂度的二维谱峰搜索转化为复杂度较低的一维搜索。
上述的代价函数还可以表示为
Figure BDA0001740196810000084
其中，
Figure BDA0001740196810000085
I2是一个二维的单位阵。
可以转化为如下的二项式优化问题
Figure BDA0001740196810000086
其中，约束条件
Figure BDA0001740196810000087
是为了消除a(θ)＝0的平凡解；
Figure BDA0001740196810000088
由此可以得到导向矢量a(θ)的表示形式为
Figure BDA0001740196810000089
这样，相位校正因子φ可以估计为
Figure BDA00017401968100000810
然后，利用估计得到的
Figure BDA0001740196810000091
实际导向矢量
Figure BDA0001740196810000092
可以利用最小二乘法估计
Figure BDA0001740196810000093
其中，
Figure BDA0001740196810000094
ck＝[ck0,ck1]T，ck0为任意常数，ck1＝sinθk；
Figure BDA0001740196810000095
Figure BDA0001740196810000096
为元素全为1的列向量，dk＝[2πfkd1/c,…,2πfkdM/c]T。
对于一个相位校正因子估计值
Figure BDA0001740196810000097
它对应的DOA估计值
Figure BDA0001740196810000098
通过二维或降维的MUSIC方法，利用L段数据，K个信源的L-1对相位校正因子
Figure BDA0001740196810000099
全部得到。这些相位校正因子用来补偿整个合成阵列的阵列流型，其谱函数可以表示为
Figure BDA00017401968100000910
其中，
Figure BDA00017401968100000911
Figure BDA00017401968100000912
Figure BDA00017401968100000913
由协方差矩阵
Figure BDA00017401968100000914
分解得到的噪声子空间，在N个快拍下，
Figure BDA00017401968100000915
精确的DOA估计值即对应上述谱函数的K个谱峰。
(3)复杂度、孔径拓展和自由度
本发明的二维MUSIC算法和相应的降维算法的复杂度分别为O(4M2N+8M3+n2·4M(2M-K))和O(4M2N+8M3+n·(2M+1)(2M-K))，其中，n是一维谱峰搜索的次数。这里只考虑复数乘法的次数。显然，降维方法的复杂度要远小于二维搜索方法。
由上面的分析可知，通过运动合成，合成阵列的总阵元数可以达到ML，最大的阵列孔径可以拓展为
Figure BDA00017401968100000916
其中D为原始实阵列的长度。当然，这里不考虑阵元位置重叠的情况，在实际中，合成阵列的数目与运动速度和单位测量周期T有关。
在相位校正因子估计过程中，利用相邻两段的数据进行估计，相应的阵列流型Bl的维度为2M×K，所以最大可辨识信源的数目为2(M-1)，在M较大时，多于实阵列的阵元数。
(4)克拉美罗界(CRB)
CRB是参数无偏估计的下界，常被用来比较算法参数估计的性能。为简便起见，设σ2＝1且信号协方差矩阵Rs＝SSH/N已知，这样共需要估计LK个参数(包括K个DOA和(L-1)K个相位校正因子)，即
ξ＝[θ1,…,θK,φ21,…,φ2K,…,φLK]T
DOA估计值的CRB可以表示为
Figure BDA0001740196810000101
其中，
Figure BDA0001740196810000102
是估计参数矢量；
Figure BDA0001740196810000103
是Fisher信息矩阵，可以表示为
Figure BDA0001740196810000104
其中，Fθθ和Fφφ是DOA和相位校正因子的估计块。F的第(m,n)个元素表示为
Figure BDA0001740196810000105
其中，R＝XXH/N；
Figure BDA0001740196810000106
和
Figure BDA0001740196810000107
为矩阵对元素的偏导。
(5)仿真结果
定义均方根误差(root mean square error,RMSE)作为性能比较的参数
Figure BDA0001740196810000108
其中，C表示蒙特卡洛仿真次数；
Figure BDA0001740196810000109
是第c次仿真中第k个信源的DOA估计值。本发明中设仿真次数C＝500.
图2显示使用第一段和第二段数据得到的二维MUSIC空间谱的等高线图。其中4个信源从方向[10°,20°,30°,40°]入射到3阵元的半波长ULA上，快拍数N＝200,信噪比SNR＝20dB。很明显，4个信源可以由该3阵元的ULA分辨出。通过二维谱峰搜索，可以得到4个相位校正因子和对应的DOA估计值。类似的，利用共L段数据，进行L-1次上述估计，可以得到L-1对相位校正因子并以此来补偿合成阵列的阵列流型Asa，最终通过一维谱峰搜索式得到精确的DOA估计。
图3显示了相位校正因子随信噪比增加的估计性能变化，其中θ＝[10°,20°]，M＝4，L＝5，且相位校正因子在-π～π间均匀分布。相位校正因子估计的RMSE定义与上文类似
Figure BDA0001740196810000111
其中，
Figure BDA0001740196810000112
是第k个信源在第c次估计第l段数据中的相位校正因子估计值；φk,l是其对应的真实值。由于设第1段时间内相位校正因子φk,1＝0作为参考，只需要估计L-1对剩余不为0的相位校正因子。随着信噪比增大，相位校正因子的估计性能逐渐提升，这也会更加准确的补偿阵列流型以获得更加精确的DOA估计。
图4该仿真比较本发明合成阵列方法和传统采用MUSIC的实阵列方法的DOA估计性能。为了公平比较，设4阵元的半波长均匀线阵采集5段数据，在vlT＝Mλ/2的假设下，合成20阵元的合成阵列。仿真中快拍数N＝200，θ＝[10°,20°]。由图4可得，采用本发明二维或降维方法的20合成阵元进行DOA估计的CRB与采用MUSIC方法的14阵元的实阵列的CRB接近，即4阵元的ULA采用合成阵列方法可以获得与14阵元实阵列相近的估计性能。这里之所以20合成阵元的性能不如20阵元的实阵列是由于合成阵列的方法需要估计相位校正因子，因而需要估计更多的参数。此外，虽然降维方法的复杂度大大低于二维谱峰搜索方法，但其估计性能损失很小。
图5显示DOA估计性能随这数据段数增多的变化，其中始终采用4阵元的运动阵列进行合成，快拍数N＝200，θ＝[10°,20°]。由图可得，随着使用数据段数的增多，合成阵列中的等效阵元数增多，DOA估计性能不断提升。但是，数据段数越多，就对信号的时间相干性要求越高，所以数据段数需要根据实际情况合理选择。

Claims (4)

1.一种基于运动合成阵列的多信源DOA估计方法，其特征在于，包括如下步骤：
(1)运动阵列以周期T采集L段数据，每段数据包含N个快拍；定义测量周期为T，接收L段数据；在每段数据中，进行N次采样，采样间隔为τ，其中Nτ＜T，在t+Tl时刻，第m个阵元接收到的第l段信号为
Figure FDA0003845063800000011
其中，t∈[0,T]，Tl＝(l-1)T；θk和fk,k＝1,…,K为第k个信源的入射角度和频率；dm为第m个阵元与参考阵元的间距；c为信号波的传播速度；
Figure FDA0003845063800000012
表示第k个信号在第i段数据接收时间内的不确定相位，设
Figure FDA0003845063800000013
sk(t)表示参考阵元在第l段数据接收时间内第k个信源的信号；wm(t+Tl)为相应时刻的加性噪声；Dl＝vlTl为在接收l段数据时间内阵列运动的距离；
用矩阵形式表示，第l段的接收信号可以表示为
Xl＝ASl+Wl
其中，
Figure FDA0003845063800000014
是实阵列的阵列流型，
Figure FDA0003845063800000015
Figure FDA0003845063800000016
和
Figure FDA0003845063800000017
为参考阵元接收的第l段信号和噪声矩阵；
(2)对相邻两段数据的协方差矩阵进行特征分解得到噪声子空间，构建二维谱函数，运用二维搜索或降维搜索得到一组相位校正因子和初始DOA估计值；
(3)对L段数据连续利用步骤(2)，共得到L-1组相位校正因子；
(4)对L段总体数据的协方差矩阵进行特征分解得到总体噪声子空间，利用步骤(3)得到的相位校正因子对阵列流型进行补偿，构造合成阵列的谱函数，搜索谱函数得到DOA估计值。
2.如权利要求1所述的基于运动合成阵列的多信源DOA估计方法，其特征在于，步骤(2)具体为：在不考虑噪声的情况下，第l+1段的数据为
Xl+1＝ASl+1＝[a(θ1)p1l,…,a(θK)pKl]Sl
其中，
Figure FDA0003845063800000021
φkl称为相位校正因子；
联合相邻两段数据
Figure FDA0003845063800000022
其中，
Figure FDA0003845063800000023
⊙表示Khatri-Rao积；Bl＝Pl⊙A可以看作用Tl到Tl+1两段数据得到的等效合成阵列的阵列流型；
可以通过对二维谱函数进行谱峰搜索可以得到初始DOA和校正因子的估计值
Figure FDA0003845063800000024
其中，bk(φ,θ)是阵列流型Bl的第k列；φ和θ是相位校正因子和DOA估计值的搜索值；Unl表示信号子空间和噪声子空间；通过谱峰搜索，由K个谱峰可以得到K个相位校正因子
Figure FDA0003845063800000025
和相应的K个初始DOA估计值；
采用降维方法，将高复杂度的二维谱峰搜索转化为复杂度较低的一维搜索；这样，相位校正因子可以估计为
Figure FDA0003845063800000026
其中，
Figure FDA0003845063800000027
为一列向量，I2是一个二维的单位阵。
3.如权利要求1所述的基于运动合成阵列的多信源DOA估计方法，其特征在于，步骤(3)具体为：重复步骤(2)L-1次，每次利用相邻两段数据，可以得到K个信源的L-1组相位校正因子
Figure FDA0003845063800000028
4.如权利要求1所述的基于运动合成阵列的多信源DOA估计方法，其特征在于，步骤(4)具体为：通过二维或降维的MUSIC方法，利用L段数据，K个信源的L-1对相位校正因子
Figure FDA0003845063800000029
全部得到，这些相位校正因子用来补偿整个合成阵列的阵列流型，其谱函数可以表示为
Figure FDA0003845063800000031
其中，
Figure FDA0003845063800000032
Figure FDA0003845063800000033
Figure FDA0003845063800000034
由协方差矩阵
Figure FDA0003845063800000035
分解得到的噪声子空间，在N个快拍下，
Figure FDA0003845063800000036
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