CN109238199A - 一种机器人旋转轴运动学参数标定方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种机器人旋转轴运动学参数标定方法，属于机器人自动化装配技术领域。该方法首先选取待标定的机器人，构建机器人旋转轴运动学模型；通过激光跟踪仪对旋转轴基座坐标系进行配准，获得激光跟踪仪坐标系与旋转轴基座坐标系之间的关系；控制机器人每个旋转轴转动不同的角度，每次旋转后，利用机器人运动学模型得到机器人的末端姿态和位置的计算值，利用激光跟踪仪得到筛选后的机器人的末端姿态和位置的测量值，最终得到k组各旋转轴角度组合及该组合分别对应的机器人末端姿态和位置的计算值和测量值；通过最小二乘法对机器人旋转轴的运动学参数进行标定。本发明方法操作简单方便，只需少量器具就能够完成高精度的旋转轴运动学参数辨识。

Description

一种机器人旋转轴运动学参数标定方法

技术领域

本发明涉及一种机器人旋转轴运动学参数标定方法，属于机器人自动化装配技术领域。

背景技术

随着科学技术的发展，机器人已经渗透到了人类生活的方方面面，尤其在作为劳力替代人类在高强度高重复性的工作中受到了广泛的运用。许多学者研究了机器人误差的分布和来源，指出几何误差是影响机器人空间运动误差的主要因素，因此对几何误差的标定和补偿成为了提高机器人精度的重要研究内容。几何误差的测量主要有两类方法，第一是单项误差直接测量法，第二是综合误差测量参数辨识法。

机器人是由多个关节组成的，其中运动轨迹为直线的轴称为直线轴，运动轨迹为圆形的轴称为旋转轴。现有的机器人旋转轴误差的直接测量法常用的测量工具有百分表、千分尺和卡尺等，这些工具配合使用，可以完成所有单项误差的检测。但是这些量具使用不便、精度差，而且每个误差项都要单独测量，大大制约了旋转轴误差标定的效率和精度。

张振久等人提出一种基于激光跟踪仪测量的旋转轴几何误差检测方法，利用齐次变换矩阵进行旋转轴的运动学建模，并给出空间误差与各个单项误差的关系，利用激光跟踪仪对固结在旋转轴末端的3个靶球的测量来获得旋转轴末端位姿，进行参数辨识求解。但在该方法中仅使用单台激光跟踪仪标定旋转轴会出现精度不足的问题。

Wang等人提出一种利用激光跟踪仪分时多站位测量原理的数控机床旋转轴运动学标定方法。激光跟踪仪分时多站位测量法，是对多路激光跟踪测量***的改进。多路激光跟踪测量***在实际应用中，需要用4台激光跟踪仪同时对目标点进行测量，导致***成本较高、操作不便、测量效率不高。激光跟踪仪分时多站位测量，是用一台激光跟踪仪转移多个站位对同一目标点进行测量，利用多边测量原理对目标点坐标进行求解，其原理与多路激光跟踪测量***相同，但仅需一台激光跟踪仪即可完成测量，大大降低了***的硬件成本。由于整个测量过程仅用到了激光跟踪仪的高精度测距值，所以分时多站位测量方法对空间点坐标的测量可以达到很高的精度。但是由于要进行多次测量，这种方法测量时间长，测量过程复杂，且需要在很大的空间范围设置测量站位，实际应用很不方便，此外测量时还要求机床重复运动相同的轨迹，对机床的重复定位精度要求很高。

综上所述，机器人旋转轴的结构复杂，误差标定难度较大，单项误差直接测量方法效率较低，效果较差。误差建模和辨识的方法是旋转轴误差标定的主要研究方向，一些学者研究了基于球杆仪、位置敏感探测器等仪器的旋转轴误差参数辨识方法，但限于仪器特性，这些方法的实际应用比较受限。基于激光跟踪仪测量和齐次变换矩阵构造运动学模型的方法应用越来越广泛，但是对于自动制孔***的旋转轴运动学标定问题，由于***结构复杂、体积较大，导致激光跟踪仪测量距离较远，测量精度不足。而基于多边法的分时多站位测量方法操作复杂，测量站位设置不便，且对自动制孔***的重复定位精度有较高要求，实际应用很不方便。

发明内容

本发明的目的是为克服已有技术的不足之处，提出一种机器人旋转轴运动学参数标定方法。本发明方法操作简单方便，只需少量器具就能够完成高精度的旋转轴运动学参数辨识。

本发明提出一种机器人旋转轴运动学参数标定方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)选取待标定的机器人，构建机器人旋转轴运动学模型；具体步骤如下：

(1-1)选取待标定的机器人，对机器人旋转轴基座建立旋转轴基座坐标系C₀，令C₀在直线轴末端且与直线轴固结；自基座出发至机器人末端依次对每个旋转轴分别建立对应的坐标系分别记为C₁…C_n-1，其中C₁…C_n-1分别对应从基座至末端间的每一个旋转轴，并在机器人的末端建立末端坐标系记为C_n；

(1-2)任意选取一个旋转轴记为i，利用第i个旋转轴的旋转轴的转角θ_i、扭角α_i、轴长度a_i和轴间距离d_i 4个参数确定第i个旋转矩阵^i-1T_i，得到坐标系C_i到前一个坐标系C_i-1的转换关系，其中T(z_i-1,d_i)和T(z_i-1,θ_i)是分别沿第i-1个坐标系C_i-1的Z轴的移动和旋转，T(x_i,a_i)和T(x_i,α_i)是分别沿第i个坐标系C_i的X轴的移动和旋转；^i-1T_i表达式如下：

(1-3)将每个旋转矩阵^i-1T_i分解为对应的一个3×3的旋转矩阵^i-1R_i和一个3×1的平移向量^i-1t_i：

(1-4)计算末端坐标系C_n与旋转轴基座坐标系C₀之间的关系，表达式如下：

⁰T_n＝⁰T₁·¹T₂·…·^n-1T_n

根据机器人末端的目标姿态V_t＝[v_x v_y v_z]^T，计算机器人末端在C₀坐标系下的对应姿态V_t ⁰；表达式如下：

V_t ⁰＝⁰R₁·¹R₂·...·^n-1R_n·V_t

式中，V_x为机器人末端目标姿态在末端坐标系下的x坐标，V_y为机器人末端目标姿态在末端坐标系下的y坐标，V_z为机器人末端目标姿态在末端坐标系下的z坐标；

根据机器人末端目标位置P_t＝[p_x p_y p_z]^T计算机器人末端在C₀坐标系下的对应位置P_t ⁰；表达式如下：

式中，P_x为机器人末端目标位置在末端坐标系下的x坐标，P_y为机器人末端目标位置在末端坐标系下的y坐标,P_z为机器人末端目标位置在末端坐标系下的z坐标；

机器人旋转轴运动学模型构建完毕；

(2)将激光跟踪仪加入机器人工作空间，通过激光跟踪仪对旋转轴基座坐标系进行配准，获得激光跟踪仪坐标系C_L与旋转轴基座坐标系C₀之间的关系，得到激光跟踪仪的激光器在C₀坐标系的坐标其中，x_lt为激光跟踪仪的激光器在C₀坐标系下的X坐标值，y_lt为激光跟踪仪的激光器在C₀坐标系下的Y坐标值，z_lt为激光跟踪仪的激光器在C₀坐标系下的Z坐标值；

(3)控制机器人每个旋转轴转动不同的角度，每次旋转后，利用机器人运动学模型得到机器人的末端姿态和位置的计算值，利用激光跟踪仪得到筛选后的机器人的末端姿态和位置的测量值，最终得到k组各旋转轴角度组合及该组合分别对应的机器人末端姿态和位置的计算值和测量值；具体步骤如下：

(3-1)控制每个旋转轴转动不同的角度，使得每一次所有旋转轴旋转完毕后定位面法向量与测量光线之间的夹角小于45°；

(3-2)利用步骤(1)建立的机器人运动学模型，将第i组各旋转轴角度组合代入运动学参数初值进行计算得到第i组各旋转轴角度组合对应末端姿态的计算值和第i组各旋转轴角度组合对应末端位置的计算值记为

其中为机器人第i组各旋转轴角度组合对应末端姿态计算值在C₀下的x坐标投影，为机器人第i组各旋转轴角度组合对应末端姿态计算值在C₀下的y坐标投影，为机器人第i组各旋转轴角度组合对应末端姿态计算值在C₀下的z坐标投影；为机器人第i组各旋转轴角度组合对应末端位置计算值在C₀下的x坐标，为机器人第i组各旋转轴角度组合对应末端位置计算值在C₀下的y坐标，为机器人第i组各旋转轴角度组合对应末端位置计算值在C₀下的z坐标；

利用激光跟踪仪的激光器在C₀坐标系下的坐标分别计算第i组各旋转轴角度组合对应末端位置计算值到激光跟踪仪的位移以及末端姿态计算值与测量光线方向的夹角ω_i，表达式如下：

(3-3)利用激光跟踪仪对每一组各旋转轴角度组合进行末端位置的测量，得到第i组各旋转轴角度组合所对应的末端位置测量值选取ω_i＜45°的末端姿态进行测量，得到第i组各旋转轴角度组合所对应的末端姿态测量值最终得到k组各旋转轴角度组合及该组合分别对应的机器人末端姿态和位置的计算值和测量值；

(4)对机器人旋转轴的运动学参数进行标定；具体步骤如下：

(4-1)通过下述方程计算第i组各旋转轴角度组合对应的末端X坐标误差值f_xi、Y坐标误差值f_yi和Z坐标误差值f_zi：

(4-2)利用激光跟踪仪的激光器在C₀坐标系下的坐标为在步骤(3)中得到的任意一组各旋转轴角度组合对应的末端位置测量值为其中，为第i组各旋转轴角度组合对应的末端位置测量值的x坐标，为第i组各旋转轴角度组合对应的末端位置测量值的y坐标，为第i组各旋转轴角度组合对应的末端位置测量值的z坐标，计算该组各旋转轴角度组合的末端位置测量值与激光跟踪仪之间的距离：

计算该组各旋转轴角度组合对应的测量光线方向与坐标系各平面夹角的测量值分别为ψ_xi，ψ_yi和ψ_zi；表达式如下：

其中，ψ_xi为激光跟踪仪测量光线与yoz平面的夹角的测量值，ψ_yi为激光跟踪仪测量光线与xoz平面的夹角的测量值，ψ_zi为激光跟踪仪测量光线与xoy平面的夹角的测量值；

(4-3)使用下式中的最小二乘法则对机器人旋转轴的运动学参数进行标定，计算运动学参数：

得到各旋转轴的运动学参数如下：第一个旋转轴有三个参数，包括：扭角α_i、轴长度a_i和轴间距离d_i；之后每个旋转轴有四个参数，包括：转角θ_i、扭角α_i、轴长度a_i和轴间距离d_i。

本发明的特点及有益效果在于：

本发明利用激光跟踪仪高精度测距的优势对机器人的旋转轴运动学进行标定，以提高机器人运动学标定的精度和效率。

本方法根据刀具定位面法向量与测量光线的夹角来筛选用于计算的末端姿态，根据各个坐标方向与测量光线方向的夹角来给末端位置的三维坐标加权，构建了基于激光跟踪仪测量特性的坐标加权与姿态筛选的旋转轴运动学标定方法。

机器人运动学标定是机器人使用前非常重要的工作，可以显著减小由于机器人尺度误差引起的***定位误差，同时本发明方法使用的器具较少，只需要一台激光跟踪仪即可，实现了便捷的高精度机器人旋转轴标定方法。

具体实施方式

本发明提出一种机器人旋转轴运动学参数标定方法，下面结合具体实施例对本发明进一步详细说明如下。

本发明提出一种机器人旋转轴运动学参数标定方法，包括以下步骤：

(1)选取待标定的机器人，确定该机器人运动的D-H参数，构建机器人旋转轴运动学模型；具体步骤如下：

(1-1)选取待标定的机器人，对机器人旋转轴基座建立旋转轴基座坐标系C₀，令C₀在直线轴末端且与直线轴固结；自基座出发至机器人末端依次对每个旋转轴分别建立对应的坐标系分别记为C₁…C_n-1，其中C₁…C_n-1分别对应从基座至末端间的每一个旋转轴，并在机器人的末端建立末端坐标系记为C_n；

以具有2个旋转轴的机器人为例，将两个旋转轴分别记为C轴和A轴，其中C轴的一端固定在直线轴末端，实现两个旋转轴的整体移动，A轴的末端安装机器人末端目标。在C轴和A轴上分别建立对应的坐标系C₀和C₁，且使坐标系C₀在直线轴末端且与直线轴固结，并作为旋转轴基座的坐标系。在A轴的末端建立机器人末端目标坐标系C₂(通常机器人末端在使用时会夹持一些实验用具，例如如果需要机器人制孔，就会夹持刀具，如果需要机器人进行抓取，就会夹持手或者夹子之类的抓取装备)。

(1-2)任意选取一个旋转轴记为i，利用第i个旋转轴的旋转轴的转角θ_i、扭角α_i、轴长度a_i和轴间距离d_i 4个参数(以上4个参数可以直接使用测量工具(例如尺等)测得，此处只需要一个不特别精确的估计值即可)确定第i个旋转矩阵^i-1T_i，得到坐标系C_i到其前一个坐标系C_i-1的转换关系，其中T(z_i-1,d_i)和T(z_i-1,θ_i)是分别沿第i-1个坐标系C_i-1的Z轴的移动和旋转，T(x_i,a_i)和T(x_i,α_i)是分别沿第i个坐标系C_i的X轴的移动和旋转。^i-1T_i表达式如下：

(1-3)将每个旋转矩阵^i-1T_i分解为对应的一个3×3的旋转矩阵^i-1R_i和一个3×1的平移向量^i-1t_i：

(1-4)计算末端坐标系C_n与旋转轴基座坐标系C₀之间的关系，表达式如下：

⁰T_n＝⁰T₁·¹T₂·····^n-1T_n

并根据机器人末端的目标姿态V_t＝[v_x v_y v_z]^T，计算机器人末端在C₀坐标系下的对应姿态V_t ⁰；表达式如下：

V_t ⁰＝⁰R₁·¹R₂·...·^n-1R_n·V_t

式中，V_x为机器人末端目标姿态在末端坐标系下的x坐标，V_y为机器人末端目标姿态在末端坐标系下的y坐标，V_z为机器人末端目标姿态在末端坐标系下的z坐标；

根据机器人末端目标位置P_t＝[p_x p_y p_z]^T计算机器人末端在C₀坐标系下的对应位置P_t ⁰；表达式如下：

式中，P_x为机器人末端目标位置在末端坐标系下的x坐标，P_y为机器人末端目标位置在末端坐标系下的y坐标,P_z为机器人末端目标位置在末端坐标系下的z坐标；

机器人旋转轴运动学模型构建完毕。

(2)调整激光跟踪仪(可为任意型号，本实施例的具体型号Leica·AT-960)，并将激光跟踪仪加入机器人工作空间，通过激光跟踪仪对旋转轴基座坐标系进行配准，获得激光跟踪仪坐标系C_L与旋转轴基座坐标系C₀之间的关系，得到激光跟踪仪的激光器在C₀坐标系的坐标其中，x_lt为激光跟踪仪的激光器在C₀坐标系下的X坐标值，y_lt为激光跟踪仪的激光器在C₀坐标系下的Y坐标值，z_lt为激光跟踪仪的激光器在C₀坐标系下的Z坐标值。

(3)控制每个旋转轴转动不同的角度，每次旋转后，利用机器人运动学模型得到机器人的末端姿态和位置的计算值，根据夹角筛选末端姿态，利用激光跟踪仪得到机器人的末端姿态和位置的测量值，最终得到k组各旋转轴角度组合及该组合分别对应的机器人末端姿态和位置的计算值和测量值；具体步骤如下：

(3-1)控制每个旋转轴(实施例中为C轴和A轴)转动不同的角度，使得每一次所有旋转轴旋转完毕后定位面法向量与测量光线之间的夹角小于45°，旋转次数为8倍旋转轴数量以上即可(本实施例中为2个旋转轴，则至少进行16次旋转，本实施例中为17次)，每次旋转时最好使得所有旋转轴均进行转动，使得测量范围分布更均匀；

(3-2)利用步骤(1)建立的机器人运动学模型，将第i组各旋转轴角度组合代入运动学参数初值进行计算得到第i组各旋转轴角度组合对应末端姿态的计算值和第i组各旋转轴角度组合对应末端位置的计算值记为

其中为机器人第i组各旋转轴角度组合对应末端姿态计算值在C₀下的x坐标投影，为机器人第i组各旋转轴角度组合对应末端姿态计算值在C₀下的y坐标投影，为机器人第i组各旋转轴角度组合对应末端姿态计算值在C₀下的z坐标投影；

以下实施例中为将第i组C轴和A轴角度组合带入运动学参数初值的结果，得到下式：

式中，C，S分别为cos和sin的缩写，θ_Ai,θ_Ci分别为第i组A轴，C轴由旋转轴电机控制的转角，α₁,α₂分别为A轴,C轴连接的机械臂自身产生的扭角，θ₂为A轴和C轴连接的机械臂产生的转角，d₁,d₂分别为A轴,C轴连接的机械臂引起的轴间距离，a₁,a₂分别为A轴,C轴的轴长度

第i组各旋转轴角度组合对应的末端位置的计算值记为其中，为机器人第i组各旋转轴角度组合对应末端位置计算值在C₀下的x坐标，为机器人第i组各旋转轴角度组合对应末端位置计算值在C₀下的y坐标，为机器人第i组各旋转轴角度组合对应末端位置计算值在C₀下的z坐标；

本实施例计算表达式如下

利用激光跟踪仪的激光器在C₀坐标系下的坐标分别计算第i组各旋转轴角度组合对应末端位置计算值到激光跟踪仪的位移以及末端姿态计算值与测量光线方向的夹角ω_i，表达式如下：

(3-3)利用激光跟踪仪对每一组各旋转轴角度(本实施例中为C轴和A轴角度)组合进行末端位置的测量，得到第i组各旋转轴角度组合所对应的末端位置测量值但是对末端姿态的测量，只选取使得定位面法向量与测量光线之间的夹角ω_i＜45°的末端姿态进行测量，得到第i组各旋转轴角度组合所对应的末端姿态测量值最终得到k组各旋转轴角度组合及该组合分别对应的机器人末端姿态和位置的计算值和测量值。

本实施例中，

其中，为利用激光跟踪仪测量在坐标系C₀下得到第i组各旋转轴角度组合所对应的末端姿态测量值；，末端位置为利用激光跟踪仪测量在坐标系C₀得到第i组各旋转轴角度组合所对应的末端位置测量值；其中为机器人第i组各旋转轴角度组合对应末端姿态测量值在C₀下的x坐标投影，为机器人第i组各旋转轴角度组合对应末端姿态测量值在C₀下的y坐标投影，为机器人第i组各旋转轴角度组合对应末端目标姿态测量值在C₀下的z坐标投影；为机器人第i组各旋转轴角度组合对应末端位置测量值在C₀下的x坐标，为机器人第i组各旋转轴角度组合对应末端位置测量值在C₀下的y坐标，为机器人第i组各旋转轴角度组合对应末端位置测量值在C₀下的z坐标；

(4)对机器人旋转轴的运动学参数进行标定；具体步骤如下：

(4-1)记是第i组各旋转轴角度组合(本实施例中为C轴和A轴角度组合)所对应的末端位置测量值，是末端位置的计算值，通过下述方程计算第i组各旋转轴角度组合对应的末端X坐标误差值f_xi、Y坐标误差值f_yi和Z坐标误差值f_zi：

(4-2)利用激光跟踪仪的激光器在C₀坐标系下的坐标为在步骤(3)得到的任意一组各旋转轴角度组合(本实施例中为C轴和A轴角度组合)对应的末端位置测量值为计算该组各旋转轴角度组合的末端位置计算值与激光跟踪仪之间的距离：

进而计算该组各旋转轴角度组合对应的测量光线方向与坐标系各平面夹角的测量值分别为ψ_xi，ψ_yi和ψ_zi；表达式如下：

其中，ψ_xi为激光跟踪仪测量光线与yoz平面的夹角的测量值，ψ_yi为激光跟踪仪测量光线与xoz平面的夹角的测量值，ψ_zi为激光跟踪仪测量光线与xoy平面的夹角的测量值。

(4-3)使用下式中的最小二乘法则对机器人旋转轴的运动学参数进行标定，计算运动学参数：

其中，k为经过步骤(3)筛选得到的各旋转轴旋转角度组合的组数，本实施例为17。

得到各旋转轴的运动学参数如下：第一个旋转轴有三个参数，包括：扭角α_i、轴长度a_i和轴间距离d_i；之后每个旋转轴有四个参数，包括：转角θ_i、扭角α_i、轴长度a_i和轴间距离d_i。

Claims (1)

1.一种机器人旋转轴运动学参数标定方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)选取待标定的机器人，构建机器人旋转轴运动学模型；具体步骤如下：

(1-1)选取待标定的机器人，对机器人旋转轴基座建立旋转轴基座坐标系C₀，令C₀在直线轴末端且与直线轴固结；自基座出发至机器人末端依次对每个旋转轴分别建立对应的坐标系分别记为C₁…C_n-1，其中C₁…C_n-1分别对应从基座至末端间的每一个旋转轴，并在机器人的末端建立末端坐标系记为C_n；

(1-2)任意选取一个旋转轴记为i，利用第i个旋转轴的旋转轴的转角θ_i、扭角α_i、轴长度a_i和轴间距离d_i 4个参数确定第i个旋转矩阵^i-1T_i，得到坐标系C_i到前一个坐标系C_i-1的转换关系，其中T(z_i-1,d_i)和T(z_i-1,θ_i)是分别沿第i-1个坐标系C_i-1的Z轴的移动和旋转，T(x_i,a_i)和T(x_i,α_i)是分别沿第i个坐标系C_i的X轴的移动和旋转；^i-1T_i表达式如下：

(1-3)将每个旋转矩阵^i-1T_i分解为对应的一个3×3的旋转矩阵^i-1R_i和一个3×1的平移向量^i-1t_i：

(1-4)计算末端坐标系C_n与旋转轴基座坐标系C₀之间的关系，表达式如下：

⁰T_n＝⁰T₁·¹T₂·····^n-1T_n

根据机器人末端的目标姿态V_t＝[v_x v_y v_z]^T，计算机器人末端在C₀坐标系下的对应姿态V_t ⁰；表达式如下：

V_t ⁰＝⁰R₁·¹R₂·…·^n-1R_n·V_t

式中，V_x为机器人末端目标姿态在末端坐标系下的x坐标，V_y为机器人末端目标姿态在末端坐标系下的y坐标，V_z为机器人末端目标姿态在末端坐标系下的z坐标；

根据机器人末端目标位置P_t＝[p_x p_y p_z]^T计算机器人末端在C₀坐标系下的对应位置P_t ⁰；表达式如下：

式中，P_x为机器人末端目标位置在末端坐标系下的x坐标，P_y为机器人末端目标位置在末端坐标系下的y坐标,P_z为机器人末端目标位置在末端坐标系下的z坐标；

机器人旋转轴运动学模型构建完毕；

(2)将激光跟踪仪加入机器人工作空间，通过激光跟踪仪对旋转轴基座坐标系进行配准，获得激光跟踪仪坐标系C_L与旋转轴基座坐标系C₀之间的关系，得到激光跟踪仪的激光器在C₀坐标系的坐标其中，x_lt为激光跟踪仪的激光器在C₀坐标系下的X坐标值，y_lt为激光跟踪仪的激光器在C₀坐标系下的Y坐标值，z_lt为激光跟踪仪的激光器在C₀坐标系下的Z坐标值；

(3)控制机器人每个旋转轴转动不同的角度，每次旋转后，利用机器人运动学模型得到机器人的末端姿态和位置的计算值，利用激光跟踪仪得到筛选后的机器人的末端姿态和位置的测量值，最终得到k组各旋转轴角度组合及该组合分别对应的机器人末端姿态和位置的计算值和测量值；具体步骤如下：

(3-1)控制每个旋转轴转动不同的角度，使得每一次所有旋转轴旋转完毕后定位面法向量与测量光线之间的夹角小于45°；

(3-2)利用步骤(1)建立的机器人运动学模型，将第i组各旋转轴角度组合代入运动学参数初值进行计算得到第i组各旋转轴角度组合对应末端姿态的计算值和第i组各旋转轴角度组合对应末端位置的计算值记为

其中为机器人第i组各旋转轴角度组合对应末端姿态计算值在C₀下的x坐标投影，为机器人第i组各旋转轴角度组合对应末端姿态计算值在C₀下的y坐标投影，为机器人第i组各旋转轴角度组合对应末端姿态计算值在C₀下的z坐标投影；为机器人第i组各旋转轴角度组合对应末端位置计算值在C₀下的x坐标，为机器人第i组各旋转轴角度组合对应末端位置计算值在C₀下的y坐标，为机器人第i组各旋转轴角度组合对应末端位置计算值在C₀下的z坐标；

利用激光跟踪仪的激光器在C₀坐标系下的坐标分别计算第i组各旋转轴角度组合对应末端位置计算值到激光跟踪仪的位移以及末端姿态计算值与测量光线方向的夹角ω_i，表达式如下：

(3-3)利用激光跟踪仪对每一组各旋转轴角度组合进行末端位置的测量，得到第i组各旋转轴角度组合所对应的末端位置测量值选取ω_i＜45°的末端姿态进行测量，得到第i组各旋转轴角度组合所对应的末端姿态测量值最终得到k组各旋转轴角度组合及该组合分别对应的机器人末端姿态和位置的计算值和测量值；

(4)对机器人旋转轴的运动学参数进行标定；具体步骤如下：

(4-1)通过下述方程计算第i组各旋转轴角度组合对应的末端X坐标误差值f_xi、Y坐标误差值f_yi和Z坐标误差值f_zi：

(4-2)利用激光跟踪仪的激光器在C₀坐标系下的坐标为在步骤(3)中得到的任意一组各旋转轴角度组合对应的末端位置测量值为其中，为第i组各旋转轴角度组合对应的末端位置测量值的x坐标，为第i组各旋转轴角度组合对应的末端位置测量值的y坐标，为第i组各旋转轴角度组合对应的末端位置测量值的z坐标，计算该组各旋转轴角度组合的末端位置测量值与激光跟踪仪之间的距离：

计算该组各旋转轴角度组合对应的测量光线方向与坐标系各平面夹角的测量值分别为ψ_xi，ψ_yi和ψ_zi；表达式如下：

其中，ψ_xi为激光跟踪仪测量光线与yoz平面的夹角的测量值，ψ_yi为激光跟踪仪测量光线与xoz平面的夹角的测量值，ψ_zi为激光跟踪仪测量光线与xoy平面的夹角的测量值；

(4-3)使用下式中的最小二乘法则对机器人旋转轴的运动学参数进行标定，计算运动学参数：

得到各旋转轴的运动学参数如下：第一个旋转轴有三个参数，包括：扭角α_i、轴长度a_i和轴间距离d_i；之后每个旋转轴有四个参数，包括：转角θ_i、扭角α_i、轴长度a_i和轴间距离d_i。