CN108006193A - 一种基于滚齿加工仿真的理想齿轮表面模型建模方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种基于滚齿加工仿真的理想齿轮表面模型建模方法。基于该齿轮表面模型建模方法，首先建立齿轮齿面仿真模型，然后建立滚刀的模型，再把齿轮坐标系变换到和滚刀同一个坐标系中，仿真出滚刀和齿轮啮合的模型，计算出齿轮齿面上沿其法线方向与滚刀距离最近的点来计算滚齿切削厚度，最终可得到齿轮齿面模型。该方法可用于定量评价滚刀和齿轮的轴系误差对加工齿轮的表面质量的影响，为齿轮加工误差溯源提供理论基础，为提高齿轮加工精度提供理论实验数据和指导。

Description

一种基于滚齿加工仿真的理想齿轮表面模型建模方法
技术领域
本发明涉及一种齿轮表面模型建模方法，特别是基于滚齿加工仿真的理想齿轮表面模型建模方法。属于齿轮加工表面模型建模技术领域。
背景技术
关于滚齿加工仿真建模问题，滚刀和齿轮的参数化设计是必要的，通过调整滚刀和齿轮的参数来控制所建模型的几何形状，实现滚刀和齿轮的精确建模。目前的研究多采用包络曲线获得齿轮齿廓曲线的方法，最终实现齿轮三维模型的建立。这些研究存在的问题是：没有直接针对齿轮滚削过程，多采用包络曲线的方法来获取齿轮齿廓。而齿轮滚削加工中滚刀形状和加工运动机理相比都有要复杂的多。
为此有必要发明一种基于滚齿加工仿真的理想齿轮表面模型建模方法，该方法以滚刀和直齿圆柱齿轮的空间啮合和接触过成仿真为基础，计算出齿轮齿面上沿其法线方向与滚刀距离最近的点来计算滚齿切削厚度，最终得到齿轮齿面模型。
发明内容
本发明提供一种基于滚齿加工仿真的理想齿轮表面模型建模方法，可用于定量评价滚刀和齿轮的轴系误差对加工齿轮的表面质量的影响，以及为齿轮加工误差溯源提供理论基础，为提高齿轮加工精度提供理论实验数据和指导。
本发明是采取如下技术方案予以实现的：
一种基于滚齿加工仿真的理想齿轮表面模型建模方法，包括下述步骤：
步骤一：建立齿轮齿面仿真模型。齿轮坐标系表示为Sg(Og:Xg,Yg,Zg)，该坐标系以渐开线直齿圆柱齿轮中心为坐标原点Og，以齿轮轴线为Yg轴，以从原点出发通过齿面上理论节点位置的射线为Zg轴正向，最后按照右手法则确定Xg轴。齿轮坐标系Sg(Og:Xg,Yg,Zg)中，y＝0为齿轮端截面。N点为过节点C的齿廓法线在基圆上的切点，节点C处的端面压力角为α0，齿廓上任意点处的端面压力角为α，E点是过F点的齿廓法线在基圆的切点。
齿轮齿面上任意一点(y,α)，其中y表示该点在Yg方向的坐标，α表示该点的端面压力角。齿轮齿面绕Yg轴转一个角度，用表示。蜗杆和齿轮为点接触。在齿轮坐标系Sg中，规定理论啮合点与齿面上的节点重合时，齿轮绕其轴线的角度则齿轮齿面上的一点由给定的一组参数唯一确定，y∈[-b/2,b/2]，α∈(0,αta)，b为齿轮的齿宽，αta为端面齿顶压力角。
令l0代表节点C处的展开弧长，则
其中，rb为齿轮的基圆半径。
令lα代表压力角为α的齿廓点处的展开弧长，则
lα＝rb tan(α) (2)
θ是齿面F点的法线与Xg轴正向之间的夹角。若在齿面任一点F处，端面压力角为α，Yg方向坐标为y，且F所处齿面从起始位置旋转了角，顺时针方向旋转取负值，则此时θ角为：
其中inv(α0)＝tan(α)-α，inv()为渐开线函数，点E(xE,yE,zE)和点F(xF,yF,zF)的坐标参数方程表示为：
由此可知，点F(xF,yF,zF)具有任意性，式(5)也就是齿轮齿面的参数方程。
步骤二：建立滚刀的模型。建立蜗杆坐标系Sw(Ow:Xw,Yw,Zw)。滚齿加工中，滚刀和齿轮如一对蜗轮蜗杆传动，滚刀相当于啮合中的蜗杆，蜗杆齿上开有数个槽，以形成切削刃，所以建立蜗杆的模型来代替滚刀。取蜗杆轴线为Zw轴，选取基圆渐开线起点A所处位置为Xw正向，则A所在端截面与Zw轴交点为蜗杆坐标系原点Ow,Yw轴方向由右手笛卡尔坐标系法则决定。
λb1为蜗杆的基圆螺旋升角，rb1为蜗杆的基圆半径。当λb1、rb1和A点的坐标确定后，整个渐开螺旋面齿面的空间位置也就确定下来了。
A点所在的渐开螺旋面与XwOwYw平面的交线为AB，则AB为蜗杆的一条端面渐开线。设M是蜗杆齿面上的任意一点，F点是M点在XwOwYw平面上沿Zw轴负向的投影点。令F点的极坐标为(ρ,θ)，其中极径ρ为线段OF的长度，极角θ＝∠XwOwF。过M点作基圆柱的切平面BCD，切平面BCD与基圆柱的切线为DC，与XwOwYw平面的交线为BC，则线段DC平行于Zw轴。令线段ME平行于平面XwOwYw。
蜗杆齿面任意一点M的坐标(xw,yw,zw)是由F点的极坐标(ρ,θ)唯一确定的，故M点记作为M(ρ,θ)。∠AOC(ρ,θ)表示为：
∠AOC(ρ,θ)＝θ+cos(rb1/ρ) (6)
表示为：
M(ρ,θ)为：
式(8)需要修正，将Zw轴的坐标原点设置在节点P处，因此首先计算出公式(8)中节点P处的Zw轴坐标为：
zP＝zM(rw1,0) (9)
其中rw1为蜗杆工作节圆半径。
然后，将公式(8)修正为：
公式(10)即为渐开线蜗杆的一侧齿面的参数方程。其中参数ρ∈[rf1,ra1]，θ∈[-π,π]，rf1为蜗杆齿根圆半径，ra1为蜗杆齿顶圆半径。
步骤三：坐标变换。为实现蜗杆齿面和齿轮齿面的啮合与接触过程仿真，必须把齿轮齿面和蜗杆齿面放到同一个坐标系中，在这里把齿轮坐标系变换到蜗杆坐标系中，因此需要求出坐标变换矩阵。其中蜗杆轴线和齿轮轴线成异面直线关系。在加工过程中，轴线Zw和轴线Yg之间的工作轴交角记为∑w，表达为：
∑w＝β1±β2+π/2+eΣ (11)
其中β1为蜗杆分度圆螺旋角，β2为齿轮分度圆螺旋角，eΣ为工作轴交角∑w的安装误差。
公式(11)中正负号的选取与蜗杆和齿轮的螺旋旋向有关。当蜗杆和齿轮螺旋方向相反时取“-”号，当蜗杆和齿轮螺旋方向相同时取“+”号。
轴线Zw和轴线Yg之间的工作中心距记为aw，表达为：
aw＝rw1+rw2＝r1+r2+ea (12)
其中rw2为齿轮工作节圆半径，r1为蜗杆分度圆半径，r2为齿轮分度圆半径，ea为中心距aw的安装误差。
从齿轮坐标系Sg(Og:Xg,Yg,Zg)到蜗杆坐标系Sw(Ow:Xw,Yw,Zw)的位置坐标变换矩阵为Mwg，Mwg记为：
齿轮齿面在蜗杆坐标系中表示为：
Fw(xFw,yFw,zAw)＝Mwg·F(xF,yF,zF) (14)
蜗杆坐标系Sw(Ow:Xw,Yw,Zw)中的齿轮齿面的任意点由Fw(xFw,yFw,zAw)表示。
步骤四：获得理想齿轮齿面模型。
齿轮F点处的齿廓法线方程为：
将齿轮坐标系Sg(Og:Xg,Yg,Zg)中的点E(xE,yE,zE)和点F(xF,yF,zF)到蜗杆坐标系Sw(Ow:Xw,Yw,Zw)中。
在蜗杆坐标系中齿轮齿面法线方程表示为：
联立公式(10)和(18)，可得以(ρ,θ)为未知数的解，即一组由参数(ρ,θ)表示的齿轮齿面法线与蜗杆的交点坐标。定义该交点在蜗杆坐标系Sw(Ow:Xw,Yw,Zw)中的坐标为将蜗杆齿面限制在一定范围内，θ∈[-π,π]，ρ∈[rf1,ra1]，交点坐标(ρ,θ)为唯一解。
在初始蜗杆和齿轮的转角位置，齿轮齿面上的一点沿其法线方向和蜗杆齿面交点与该选取的齿轮齿面上的一点之间距离表示为D1。在该转角位置时，齿轮齿面上其他点沿其法线方向和蜗杆齿面交点与该点的距离分别表示为D2,D3,D4,······,Dn，n表示齿轮齿面上的点的个数，取正整数。求出其中最短距离Dmin1表示为：
Dmin1＝Min[D2,D3,D4,······,Dn] (19)
求出的最短距离Dmin1的交点坐标，即为在当前齿轮和蜗杆的位置，蜗杆和齿轮的实际啮合点。
如果把蜗杆齿面看作理想的渐开螺旋面。则蜗杆的转动和蜗杆沿轴向平动对啮合过程的影响效果是一样的，所以用蜗杆齿面沿其轴线的平移代替蜗杆的转动。当为单头蜗杆时，蜗杆每转一圈，齿轮转过一个齿，蜗杆相对应的沿其轴向平动一个齿距pw的距离。将一个齿的角度分为m等分，相对应的蜗杆平动一个齿距pw的距离也m等分。在蜗杆和齿轮的每一个转角位置，求得Dmin1,Dmin2,······,Dminm，其相对应的最短距离相对应的交点坐标分别为得到的这些交点坐标即可拟合为没有误差条件下滚齿加工得到的齿轮齿面。
所述步骤四中的获得滚齿加工仿真出的理想齿轮齿面模型。
与现有技术相比，本发明具有以下有益的技术效果：
本发明新型的有益效果为：通过提供一种基于滚齿加工仿真的齿轮表面模型建模方法，使之能够方便快捷的建立蜗杆和齿轮啮合的模型，为齿轮加工误差溯源提供理论基础，为提高齿轮加工精度提供理论实验数据和指导，对研究滚刀和齿轮的轴系误差对加工齿轮的齿面精度的影响规律具有实际意义。
附图说明
图1为建立齿轮齿面的坐标系和齿轮齿面的法线。
图2为建立蜗杆坐标系。
图3为仿真出来的齿轮齿面。
图4为仿真出来的蜗杆齿面。
图5为仿真出来的蜗杆和齿轮的啮合。
图6为本方法的实施流程图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明做进一步的详细说明，以令本领域技术人员参照说明书文字能够据以实施。
一种基于滚齿加工仿真的理想齿轮表面模型建模方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤一：建立齿轮齿面仿真模型。见图1，齿轮坐标系表示为Sg(Og:Xg,Yg,Zg)，该坐标系以渐开线直齿圆柱齿轮中心为坐标原点Og，以齿轮轴线为Yg轴，以从原点出发通过齿面上理论节点位置的射线为Zg轴正向，最后按照右手法则确定Xg轴。齿轮坐标系Sg(Og:Xg,Yg,Zg)中，y＝0为齿轮端截面。N点为过节点C的齿廓法线在基圆上的切点，节点C处的端面压力角为α0，齿廓上任意点处的端面压力角为α，E点是过F点的齿廓法线在基圆的切点。
齿轮齿面上任意一点(y,α)，其中y表示该点在Yg方向的坐标，α表示该点的端面压力角。齿轮齿面绕Yg轴转一个角度，用表示。蜗杆和齿轮为点接触。在齿轮坐标系Sg中，规定理论啮合点与齿面上的节点重合时，齿轮绕其轴线的角度
现在结合具体的蜗杆和齿轮的参数值来仿真，蜗杆和齿轮的参数见表1。
表1蜗杆和齿轮的参数
齿轮齿面所处的初始位置齿轮齿面上的一点由给定的一组参数确定。参考表1中的参数，由式(2)，得齿轮齿面上压力角为α的齿廓点处的展开弧长：
lα＝37.2545×tan(α) (20)
θ是齿面F点的法线与Xg轴正向之间的夹角。若在齿面任一点F处，端面压力角为α，Yg方向坐标为y，且F所处齿面从起始位置旋转了角，顺时针方向旋转取负值。由式(3)，得齿面F点的法线与Xg轴正向之间的夹角θ：
由式(5)，得齿轮的参数方程：
其中，y∈[-b/2,b/2]，α∈(0,αta)，αta为齿轮的端面齿顶压力角：αta＝arccos(rb/ra)＝arccos(37.2545/45)＝34.1188度。在Mathematica软件中绘制一个齿轮齿面：ParametricPlot3D[{xF,yF,zF},{y,-b/2,b/2},{α,0,αta}]，绘制得到的整个齿轮齿面见图3。
步骤二：建立滚刀的模型。见图2，建立蜗杆坐标系Sw(Ow:Xw,Yw,Zw)。滚齿加工中，滚刀和齿轮如一对蜗轮蜗杆传动，滚刀相当于啮合中的蜗杆，蜗杆齿上开有数个槽，以形成切削刃，所以建立蜗杆的模型来代替滚刀。取蜗杆轴线为Zw轴，选取基圆渐开线起点A所处位置为Xw正向，则A所在端截面与Zw轴交点为蜗杆坐标系原点Ow,Yw轴方向由右手笛卡尔坐标系法则决定。图2中，λb1为蜗杆的基圆螺旋升角，rb1为蜗杆的基圆半径。当λb1、rb1和A点的坐标确定后，整个渐开螺旋面齿面的空间位置也就确定下来了。
A点所在的渐开螺旋面与XwOwYw平面的交线为AB，则AB为蜗杆的一条端面渐开线。设M是蜗杆齿面上的任意一点，F点是M点在XwOwYw平面上沿Zw轴负向的投影点。令F点的极坐标为(ρ,θ)，其中极径ρ为线段OF的长度，极角θ＝∠XwOwF。过M点作基圆柱的切平面BCD，切平面BCD与基圆柱的切线为DC，与XwOwYw平面的交线为BC，则线段DC平行于Zw轴。令线段ME平行于平面XwOwYw。
蜗杆齿面任意一点M的坐标(xw,yw,zw)是由F点的极坐标(ρ,θ)唯一确定的，故M点记作为M(ρ,θ)。根据表1中蜗杆的参数，蜗杆的基圆螺旋升角λb1＝29.2468度，蜗杆的基圆半径rb1＝8.1698mm。
∠AOC(ρ,θ)计算，得：
∠AOC(ρ,θ)＝θ+cos(8.1698/ρ) (23)
计算，得：
由式(10)，蜗杆的一侧齿面的参数方程为：
取参数ρ∈[rf1,ra1]，θ∈[-3π,3π]。在Mathematica软件中绘制一侧蜗杆齿面：ParametricPlot3D[{xM,yM,zM},{ρ,rf1,ra1},{θ,-3π,3π}]，绘制得到的一侧蜗杆齿面见图4。
步骤三：坐标变换。为实现蜗杆齿面和齿轮齿面的啮合与接触过程仿真，必须把齿轮齿面和蜗杆齿面放到同一个坐标系中，在这里把齿轮坐标系变换到蜗杆坐标系中，因此需要求出坐标变换矩阵。其中蜗杆轴线和齿轮轴线成异面直线关系。在加工过程中，轴线Zw和轴线Yg之间的工作轴交角记为∑w，表达为：
∑w＝β1±β2+π/2+eΣ (26)
其中β1为蜗杆分度圆螺旋角，β2为齿轮分度圆螺旋角，eΣ为工作轴交角∑w的安装误差。
公式(11)中正负号的选取与蜗杆和齿轮的螺旋旋向有关。当蜗杆和齿轮螺旋方向相反时取“-”号，蜗杆和齿轮螺旋方向相反时取“+”号。
不考虑工作轴交角∑w的安装误差eΣ和中心距aw的安装误差ea，由式(11)，得工作轴交角：∑w＝169.63度。由式(12)，得中心距：aw＝67mm。由式(13)，从齿轮坐标系Sg(Og:Xg,Yg,Zg)到蜗杆坐标系Sw(Ow:Xw,Yw,Zw)的位置坐标变换矩阵为：
由式(15)，蜗杆坐标系Sw(Ow:Xw,Yw,Zw)中的齿轮齿面的任意点为Fw(xFw,yFw,zAw)。齿轮齿面经过坐标变换后，生成蜗杆和齿轮啮合的三维仿真见图5。
步骤四：获得理想齿轮齿面模型。将坐标变换矩阵Mwg代入式(17)和式(18)，得蜗杆坐标系中点和点联立式(19)和式(25)，得由参数(ρ,θ)表示的齿轮齿面法线与蜗杆的交点坐标。定义该交点在蜗杆坐标系Sw(Ow:Xw,Yw,Zw)中的坐标为将蜗杆齿面限制在一定范围内，θ∈[-π,π]，ρ∈[rf1,ra1]，交点坐标(ρ,θ)为唯一解。
在初始蜗杆和齿轮的转角位置，齿轮齿面上的一点沿其法线方向和蜗杆齿面交点与该选取的齿轮齿面上的一点之间距离表示为D1。在该转角位置时，齿轮齿面上其他点沿其法线方向和蜗杆齿面交点与该点的距离分别表示为D2,D3,D4,······,Dn，n表示齿轮齿面上的点的个数，取正整数。求出其中距离最短Dmin1表示为：
Dmin1＝Min[D2,D3,D4,······,Dn] (28)
求出的最短距离Dmin1的交点坐标，即为在当前齿轮和蜗杆的位置，蜗杆和齿轮的实际啮合点。
如果把蜗杆齿面看作理想的渐开螺旋面。则蜗杆的转动和蜗杆沿轴向平动对啮合过程的影响效果是一样的，所以用蜗杆齿面沿其轴线的平移代替蜗杆的转动。当为单头蜗杆时，蜗杆每转一圈，齿轮转过一个齿，蜗杆相对应的沿其轴向平动一个齿距pw的距离。将一个齿的角度分为m等分，相对应的蜗杆平动一个齿距pw的距离也m等分。在蜗杆和齿轮的每一个转角位置，求得Dmin1,Dmin2,······,Dminm，其相对应的最短距离相对应的交点坐标分别为得到的这些交点坐标即可拟合为没有误差条件下滚齿加工得到的齿轮齿面。
得到的齿轮齿面可用于以下用途：
可以研究滚刀和齿轮的轴系误差对加工齿轮的齿面粗糙度和横截面的形貌的影响规律具有实际意义，为齿轮加工误差溯源提供理论基础，为提高齿轮加工精度提供理论实验数据和指导。

Claims (2)

1.一种基于滚齿加工仿真的理想齿轮表面模型建模方法，其特征在于：该方法包括下述步骤：
步骤一：建立齿轮齿面仿真模型；齿轮坐标系表示为Sg(Og:Xg,Yg,Zg)，该坐标系以渐开线直齿圆柱齿轮中心为坐标原点Og，以齿轮轴线为Yg轴，以从原点出发通过齿面上理论节点位置的射线为Zg轴正向，最后按照右手法则确定Xg轴；齿轮坐标系Sg(Og:Xg,Yg,Zg)中，y＝0为齿轮端截面；N点为过节点C的齿廓法线在基圆上的切点，节点C处的端面压力角为α0，齿廓上任意点处的端面压力角为α，E点是过F点的齿廓法线在基圆的切点；
齿轮齿面上任意一点(y,α)，其中y表示该点在Yg方向的坐标，α表示该点的端面压力角；齿轮齿面绕Yg轴转一个角度，用表示；蜗杆和齿轮为点接触；在齿轮坐标系Sg中，规定理论啮合点与齿面上的节点重合时，齿轮绕其轴线的角度则齿轮齿面上的一点由给定的一组参数唯一确定，y∈[-b/2,b/2]，α∈(0,αta)，b为齿轮的齿宽，αta为端面齿顶压力角；
令l0代表节点C处的展开弧长，则
<mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>|</mo> <mover> <mrow> <mi>N</mi> <mi>C</mi> </mrow> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>|</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>r</mi> <mi>b</mi> </msub> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，rb为齿轮的基圆半径；
令lα代表压力角为α的齿廓点处的展开弧长，则
lα＝rbtan(α) (2)
θ是齿面F点的法线与Xg轴正向之间的夹角；若在齿面任一点F处，端面压力角为α，Yg方向坐标为y，且F所处齿面从起始位置旋转了角，顺时针方向旋转取负值，则此时θ角为：
其中inv(α0)＝tan(α)-α，inv()为渐开线函数，点E(xE,yE,zE)和点F(xF,yF,zF)的坐标参数方程表示为：
由此可知，点F(xF,yF,zF)具有任意性，式(5)也就是齿轮齿面的参数方程；
步骤二：建立滚刀的模型；建立蜗杆坐标系Sw(Ow:Xw,Yw,Zw)；滚齿加工中，滚刀和齿轮如一对蜗轮蜗杆传动，滚刀相当于啮合中的蜗杆，蜗杆齿上开有数个槽，以形成切削刃，所以建立蜗杆的模型来代替滚刀；取蜗杆轴线为Zw轴，选取基圆渐开线起点A所处位置为Xw正向，则A所在端截面与Zw轴交点为蜗杆坐标系原点Ow,Yw轴方向由右手笛卡尔坐标系法则决定；
λb1为蜗杆的基圆螺旋升角，rb1为蜗杆的基圆半径；当λb1、rb1和A点的坐标确定后，整个渐开螺旋面齿面的空间位置也就确定下来了；
A点所在的渐开螺旋面与XwOwYw平面的交线为AB，则AB为蜗杆的一条端面渐开线；设M是蜗杆齿面上的任意一点，F点是M点在XwOwYw平面上沿Zw轴负向的投影点；令F点的极坐标为(ρ,θ)，其中极径ρ为线段OF的长度，极角θ＝∠XwOwF；过M点作基圆柱的切平面BCD，切平面BCD与基圆柱的切线为DC，与XwOwYw平面的交线为BC，则线段DC平行于Zw轴；令线段ME平行于平面XwOwYw；
蜗杆齿面任意一点M的坐标(xw,yw,zw)是由F点的极坐标(ρ,θ)唯一确定的，故M点记作为M(ρ,θ)；∠AOC(ρ,θ)表示为：
∠AOC(ρ,θ)＝θ+cos(rb1/ρ) (6)
表示为：
<mrow> <mover> <mrow> <mi>C</mi> <mi>D</mi> </mrow> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>&amp;angle;</mo> <mi>A</mi> <mi>O</mi> <mi>C</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
M(ρ,θ)为：
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式(8)需要修正，将Zw轴的坐标原点设置在节点P处，因此首先计算出公式(8)中节点P处的Zw轴坐标为：
zP＝zM(rw1,0) (9)
其中rw1为蜗杆工作节圆半径；
然后，将公式(8)修正为：
<mrow> <mi>M</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mi>M</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>y</mi> <mi>M</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>z</mi> <mi>M</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&amp;rho;</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&amp;rho;</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mrow> <mi>C</mi> <mi>D</mi> </mrow> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>arccos</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>/</mo> <mi>&amp;rho;</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mi>P</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
公式(10)即为渐开线蜗杆的一侧齿面的参数方程；其中参数ρ∈[rf1,ra1]，θ∈[-π,π]，rf1为蜗杆齿根圆半径，ra1为蜗杆齿顶圆半径；
步骤三：坐标变换；为实现蜗杆齿面和齿轮齿面的啮合与接触过程仿真，必须把齿轮齿面和蜗杆齿面放到同一个坐标系中，在这里把齿轮坐标系变换到蜗杆坐标系中，因此需要求出坐标变换矩阵；其中蜗杆轴线和齿轮轴线成异面直线关系；在加工过程中，轴线Zw和轴线Yg之间的工作轴交角记为∑w，表达为：
∑w＝β1±β2+π/2+eΣ (11)
其中β1为蜗杆分度圆螺旋角，β2为齿轮分度圆螺旋角，eΣ为工作轴交角∑w的安装误差；
公式(11)中正负号的选取与蜗杆和齿轮的螺旋旋向有关；当蜗杆和齿轮螺旋方向相反时取“-”号，当蜗杆和齿轮螺旋方向相同时取“+”号；
轴线Zw和轴线Yg之间的工作中心距记为aw，表达为：
aw＝rw1+rw2＝r1+r2+ea (12)
其中rw2为齿轮工作节圆半径，r1为蜗杆分度圆半径，r2为齿轮分度圆半径，ea为中心距aw的安装误差；
从齿轮坐标系Sg(Og:Xg,Yg,Zg)到蜗杆坐标系Sw(Ow:Xw,Yw,Zw)的位置坐标变换矩阵为Mwg，Mwg记为：
齿轮齿面在蜗杆坐标系中表示为：
Fw(xFw,yFw,zAw)＝Mwg·F(xF,yF,zF) (14)
蜗杆坐标系Sw(Ow:Xw,Yw,Zw)中的齿轮齿面的任意点由Fw(xFw,yFw,zAw)表示；
步骤四：获得理想齿轮齿面模型；
齿轮F点处的齿廓法线方程为：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>E</mi> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>F</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>E</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>z</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mi>E</mi> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mi>F</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mi>E</mi> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>E</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将齿轮坐标系Sg(Og:Xg,Yg,Zg)中的点E(xE,yE,zE)和点F(xF,yF,zF)到蜗杆坐标系Sw(Ow:Xw,Yw,Zw)中；
<mrow> <msub> <mi>E</mi> <mi>w</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <msub> <mi>E</mi> <mi>w</mi> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <msub> <mi>E</mi> <mi>w</mi> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>z</mi> <msub> <mi>E</mi> <mi>w</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>E</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>E</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>E</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>z</mi> <mi>E</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>F</mi> <mi>w</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <msub> <mi>F</mi> <mi>w</mi> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <msub> <mi>F</mi> <mi>w</mi> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>z</mi> <msub> <mi>F</mi> <mi>w</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>E</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>F</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>F</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>z</mi> <mi>F</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
在蜗杆坐标系中齿轮齿面法线方程表示为：
<mrow> <mfrac> <mrow> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <msub> <mi>E</mi> <mi>w</mi> </msub> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <msub> <mi>F</mi> <mi>w</mi> </msub> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <msub> <mi>E</mi> <mi>w</mi> </msub> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>y</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <msub> <mi>E</mi> <mi>w</mi> </msub> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <msub> <mi>F</mi> <mi>w</mi> </msub> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <msub> <mi>E</mi> <mi>w</mi> </msub> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>z</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <msub> <mi>E</mi> <mi>w</mi> </msub> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <msub> <mi>F</mi> <mi>w</mi> </msub> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <msub> <mi>E</mi> <mi>w</mi> </msub> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
联立公式(10)和(18)，可得以(ρ,θ)为未知数的解，即一组由参数(ρ,θ)表示的齿轮齿面法线与蜗杆的交点坐标；定义该交点在蜗杆坐标系Sw(Ow:Xw,Yw,Zw)中的坐标为将蜗杆齿面限制在一定范围内，θ∈[-π,π]，ρ∈[rf1,ra1]，交点坐标(ρ,θ)为唯一解；
在初始蜗杆和齿轮的转角位置，齿轮齿面上的一点沿其法线方向和蜗杆齿面交点与该选取的齿轮齿面上的一点之间距离表示为D1；在该转角位置时，齿轮齿面上其他点沿其法线方向和蜗杆齿面交点与该点的距离分别表示为D2,D3,D4,······,Dn，n表示齿轮齿面上的点的个数，取正整数；求出其中最短距离Dmin1表示为：
Dmin1＝Min[D2,D3,D4,······,Dn] (19)
求出的最短距离Dmin1的交点坐标，即为在当前齿轮和蜗杆的位置，蜗杆和齿轮的实际啮合点；
如果把蜗杆齿面看作理想的渐开螺旋面；则蜗杆的转动和蜗杆沿轴向平动对啮合过程的影响效果是一样的，所以用蜗杆齿面沿其轴线的平移代替蜗杆的转动；当为单头蜗杆时，蜗杆每转一圈，齿轮转过一个齿，蜗杆相对应的沿其轴向平动一个齿距pw的距离；将一个齿的角度分为m等分，相对应的蜗杆平动一个齿距pw的距离也m等分；在蜗杆和齿轮的每一个转角位置，求得Dmin1,Dmin2,······,Dminm，其相对应的最短距离相对应的交点坐标分别为 得到的这些交点坐标即可拟合为没有误差条件下滚齿加工得到的齿轮齿面。
2.根据权利要求1所述的一种基于滚齿加工仿真的理想齿轮表面模型建模方法，其特征在于：所述步骤四中的获得滚齿加工仿真出的理想齿轮齿面模型。
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