CN107862125A - 一种多晶硅光伏组件载波频段交流阻抗参数的计算方法 - Google Patents

一种多晶硅光伏组件载波频段交流阻抗参数的计算方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种多晶硅光伏组件载波频段交流阻抗参数的计算方法，其特征在于，包括以下步骤：运用非线性最小二乘算法，将测量得到的多晶硅光伏组件的阻抗频率特性的实部和虚部曲线分别拟合为某一椭圆方程；将光伏组件交流阻抗等效电路模型中的四参数简化为三参数得到简化等效电路模型；根据拟合得到的椭圆方程及简化等效电路，确定光伏组件交流阻抗等效电路模型中的四参数。本发明通过曲线拟合及简化等效电路，推导计算得到光伏组件的四个等效电路参数，且能够表征参数随频率的变化规律，计算过程简单、计算结果更准确。

Description

一种多晶硅光伏组件载波频段交流阻抗参数的计算方法
技术领域
本发明涉及太阳能光伏发电领域，特别是涉及一种多晶硅光伏组件载波频段交流阻抗参数的计算方法。
背景技术
近年来，日益严重的能源危机和环境污染，使得光伏发电越来越受到各国的重视。光伏组件是光伏发电***中的重要组成部分，对其交流阻抗等效电路参数的研究具有重要的意义。
现有最常见的光伏电池直流等效电路模型是单二极管或双二极管电路模型，求解光伏电池的五参数，而对光伏电池或光伏组件的电感和电容参数通常予以忽略。但在研究光伏电站中的光伏组件与其它设备间的相互影响，以及在光伏组件间进行载波通信时，需研究其交流阻抗特性。
现有采用时域、频域和交流阻抗谱的方法对光伏电池动态等效电路模型中的电容进行研究，但这些方法仅应用于忽略串联电感的光伏电池模型中，因此不能反映该电感的影响及其具体大小。现有技术中已经公开了多种计算方法，包括：一种采用最小二乘回归法确定光伏组件的动态等效电路参数的方法，但该方法计算过程较为复杂；一种根据光伏电池的波特图，推导计算光伏电池在无光照下的等效电路参数计算方法，但该方法仅计算出某一频点的参数值，不能反映各参数随频率的变化规律。
综上可见，针对光伏组件载波频段交流阻抗参数(等效串联电阻、等效并联电阻、等效并联电容、等效串联电感)的计算方法，目前尚没有一种计算过程简单且能够得到表征多晶硅光伏组件交流阻抗等效电路参数随频率变化规律的方法。
发明内容
针对现有技术对光伏组件交流阻抗等效电路模型中的参数研究不全面、所得参数结果不能反映随频率的变化规律等的不足，本发明的目的在于，以多晶硅光伏组件的交流阻抗等效电路模型和测量的光伏组件无光照阻抗频率特性为基础，提出了一种运用非线性最小二乘算法，对阻抗频率特性曲线进行拟合，结合简化等效电路，推导计算多晶硅光伏组件交流阻抗等效电路的参数，为研究光伏组件载波频段的交流阻抗特性提供了一种更简单的方法。
一种多晶硅光伏组件载波频段交流阻抗参数的计算方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1：测量得到多晶硅光伏组件的阻抗频率特性的实部和虚部；
步骤2：运用非线性最小二乘算法，将测量得到的多晶硅光伏组件的阻抗频率特性的实部和虚部曲线分别拟合为某一椭圆方程；
步骤3：将光伏组件交流阻抗等效电路模型中的四参数Rs、Rp、Cp、Ls简化为三参数Re(Z)、Cpe、Ls得到简化等效电路模型，其中，Rs、Rp、Cp、Ls分别为光伏组件的等效串联电阻、等效并联电阻、等效并联电容、等效串联电感；Re(Z)、Cpe分别为光伏组件的实部、简化等效电路模型的等效串联电容；
步骤4：根据拟合得到的所述椭圆方程及所述简化等效电路模型，确定光伏组件交流阻抗等效电路模型中的四参数。
光伏组件为光伏电池片串联形式的多晶硅光伏组件。光伏组件的等效阻抗为：
Z＝Re(Z)+jIm(Z) (1)
式中，Z表示光伏组件的等效阻抗，Re(Z)、Im(Z)分别表示光伏组件等效阻抗Z的实部和虚部，其中：
令：
式中，Rs、Rp、Cp和Ls分别表示光伏组件的等效串联电阻、等效并联电阻、等效并联电容和等效串联电感，ω为角频率。
椭圆方程的圆心由公式(5)和(6)得到：
上述二式中，(a0，b0)、(a1，b1)是椭圆圆心，且a0、a1、b0>0，b1<0；m0、m1及n0、n1分别是椭圆的长轴及短轴。
将所述等效并联电阻和所述等效并联电容对所述光伏组件的等效阻抗的虚部的贡献等效为一等效串联电容Cpe，将所述等效并联电阻和所述等效并联电容对所述光伏组件的等效阻抗的实部的贡献连同所述等效串联电阻等效为一电阻，该电阻即所述光伏组件的等效阻抗的实部Re(Z)，所述简化等效电路的表达式为：
其中，ω为角频率。
光伏组件的等效串联电阻Rs随频率的变化很小可视为常量，Rp、Cp、Ls是频率的函数，即Rp(f)、Cp(f)、Ls(f)，则Rs为：
Rs＝b0 (8)
因b1<0，式(6)第一项为电感Ls(f)呈现的感性部分，第二项b1为串联等效电容Cpe(f)所呈现的容性部分：
所述光伏组件的简化等效电路的等效阻抗的虚部为式(10)：
将式(9)代入式(10)得Ls(f)，如式(11)：
由四参数光伏组件交流阻抗等效电路的阻抗方程，得到中间变量Rp(f)Cp(f)如式(12)：
将式(12)代入四参数光伏组件交流阻抗等效电路的阻抗方程，得到Rp(f)和Cp(f)的表达式如式(13)和式(14)所示：
可采用L-M迭代算法对所述曲线进行拟合。L-M算法的具体迭代过程如下：设x(i)表示第i次迭代的权值和阈值所组成的向量，x(i+1)是新的权值和阈值所组成的向量，如式(15)所示：
x(i+1)＝x(i)+Δx (15)
设误差评价函数为：
式中，ei(x)为误差(i＝1,2,…,N)；
式中，为梯度；为雅可比矩阵，其形式为：
Δx为：
Δx＝-[JT(x)J(x)+μI]-1J(x)e(x) (19)
式(19)中，比例系数μ>0为常数，I为单位阵。
本发明与现有技术相比，具有如下有益效果：
本发明基于光伏组件的交流阻抗等效电路模型和测量的阻抗频率特性，根据测量的光伏组件实部与虚部曲线符合椭圆方程一部分的特性，运用非线性最小二乘算法对测量的实部和虚部分别进行曲线拟合，结合简化等效电路，推导计算出载波频段内光伏组件交流阻抗等效电路的各参数值。与现有的计算等效电路参数的方法相比，所述方法不仅能够表征光伏组件等效电路参数随频率的变化规律，而且具有计算过程简单、计算结果更准确的优点。
附图说明
为了更清楚地说明本发明的技术方案，下面给出本发明的实施例所需要使用的附图作简单地介绍。显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，可根据本发明的技术方案获得其它附图。
图1为光伏组件交流阻抗等效电路模型图；
图2为无光照光伏组件的阻抗频率特性的实部和虚部测量曲线图；
图3为L-M算法流程图；
图4为光伏组件简化等效电路图；
图5为运用非线性最小二乘算法将实部、虚部拟合为椭圆的图；
图6为光伏组件的等效并联电阻、等效并联电容和等效串联电感计算结果图。
具体实施方式
下面结合附图和实施例，对本发明的具体实施方式作进一步详细描述。
为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述。显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。
一种多晶硅光伏组件载波频段交流阻抗参数的计算方法，包括如下步骤：
步骤1：测量得到多晶硅光伏组件的阻抗频率特性的实部和虚部。
光伏组件为光伏电池片串联形式的多晶硅光伏组件，光伏组件的交流阻抗等效电路如图1所示，等效电路的阻抗如公式(1)所示：
Z＝Re(Z)+jIm(Z) (1)
式中，Z表示光伏组件的等效阻抗，Re(Z)、Im(Z)分别表示光伏组件阻抗Z的实部和虚部。其中：
令：
式中，Rs、Rp、Cp和Ls分别表示光伏组件的等效串联电阻、等效并联电阻、等效并联电容和等效串联电感，ω为角频率。
步骤2：运用非线性最小二乘算法，将测量得到的多晶硅光伏组件的阻抗频率特性的实部和虚部曲线(100kHz-500kHz)分别拟合为某一椭圆方程。
使用阻抗分析仪对型号为DM310-P156-72(由72片156×156mm电池串联)及型号为YL235P-29b(由60片156×156mm电池串联)的多晶硅光伏组件进行了阻抗频率特性测量，得到的实部和虚部在100kHz-500kHz频率范围内随频率的变化规律基本符合椭圆方程的一部分。对前者测量得到的实部和虚部曲线见图2。
本发明采用非线性最小二乘算法中的L-M迭代算法对曲线进行拟合，L-M算法较梯度下降法提高速度几十甚至上百倍，具有收敛速度快的优点。L-M算法的具体迭代过程如下：设x(i)表示第i次迭代的权值和阈值所组成的向量，x(i+1)是新的权值和阈值所组成的向量，如式(5)所示：
x(i+1)＝x(i)+Δx (5)
设误差评价函数为：
式中，ei(x)为误差(i＝1,2,…,N)。
式中，为梯度；为雅可比矩阵，其形式为：
Δx为：
Δx＝-[JT(x)J(x)+μI]-1J(x)e(x) (9)
式(9)中，比例系数μ>0为常数，I为单位阵。L-M迭代过程的流程图如图3所示。将测量得到的光伏组件100kHz-500kHz的实部和虚部曲线，运用上述算法拟合为某一椭圆方程，如式(10)和式(11)所示：
上述二式中，(a0，b0)、(a1，b1)是椭圆圆心，且a0、a1、b0>0，b1<0；m0、m1及n0、n1分别是椭圆的长轴及短轴。
步骤3：将光伏组件交流阻抗等效电路模型中的四参数Rs、Rp、Cp、Ls简化为三参数Re(Z)、Cpe、Ls得到简化等效电路模型。其中，Rs、Rp、Cp、Ls分别为光伏组件的等效串联电阻、等效并联电阻、等效并联电容、等效串联电感；Re(Z)、Cpe分别为光伏组件的实部、简化等效电路模型的等效串联电容。
通常，光伏组件的串联电阻Rs随频率的变化很小，可视为常量，而Rp、Cp、Ls应是频率的函数，则得Rs如式(12)：
Rs＝b0 (12)
因b1<0，式(11)第一项可看作电感Ls(f)呈现的感性部分，第二项b1可看作一个串联等效电容Cpe(f)所呈现的容性部分，即式(4)中的β：
步骤4：根据拟合得到的椭圆方程及简化等效电路，确定光伏组件交流阻抗等效电路模型中的四参数。
将等效并联电阻和等效并联电容对组件虚部的贡献等效为一等效串联电容Cpe，将等效并联电阻和等效并联电容对组件实部的贡献连同等效串联电阻等效为一电阻，该电阻即组件的实部Re，则可将图1简化为如图4所示，虚部写为式(14)：
所述简化等效电路的表达式为：
其中，ω为角频率。
将(13)代入式(14)得Ls(f)，如式(15)：
由式(2)和式(3)得中间变量Rp(f)Cp(f)，如式(16)：
将式(16)代入式(2)和式(3)得Rp(f)和Cp(f)的表达式如式(17)和式(18)：
可见，通过测量得到光伏组件阻抗的实部Re(Z)及虚部Im(Z)，并通过曲线拟合求得Rs和Ls(f)，即可计算出Rp(f)和Cp(f)，从而获得光伏组件交流阻抗等效电路模型中的所有参数。
本发明的一个具体实施例为：利用安捷伦Agilent 4294A型号的阻抗分析仪对型号为DM310-P156-72(由72片156mm×156mm电池串联)的光伏组件进行阻抗频率特性测量；测量环境为室内、无光照、组件表面温度为25℃，可应用于载波传输的100kHz-500kHz频率范围内的光伏组件的测量结果如图2所示，部分频率点的测量数据如表1所示。
表1部分频率点的测量数据
根据前述的测量结果，运用非线性最小二乘算法的L-M算法对图2中无光照测试的实部和虚部曲线进行椭圆拟合，得到的Re(Z)、Im(Z)与频率f的拟合表达式分别为：
实部拟合与虚部拟合的相关系数分别为0.94433和0.99982，实测曲线与拟合曲线如图5所示，100kHz-500kHz的相对误差如表2和表3所示，误差对比分析采用绝对相对误差(ARE)拟合曲线对实测曲线的拟合精度，公式如下：
表2 100kHz-500kHz实部拟合与实测误差
表3 100kHz-500kHz虚部拟合与实测误差
从表2和3中的误差分析可看出实部、虚部拟合曲线对于实测曲线误差ARE分别小于7％和3.5％，说明拟合得到的椭圆方程与实测曲线的吻合度较好。
由式(19)得该光伏组件的Rs＝0.61458Ω；由式(20)得b1＝-16.03768，代入式(15)得Ls(f)，代入式(13)得Cpe(f)。将测量值Re(Z)和Im(Z)及计算得到的Rs和Ls(f)代入式(17)和(18)，求得Rp(f)和Cp(f)，Rp(f)、Ls(f)、Cp(f)和Cpe(f)的计算结果如图6所示，部分频点的计算结果如表4所示。
表4部分频点的参数计算结果
虽然，上文中已经用一般性说明及具体实施例对本发明作了详尽的描述，但在本发明基础上，对之作一些修改或改进，这对本领域技术人员而言是显而易见的。因此，在不偏离本发明精神的基础上所做的这些修改或改进，均属于本发明要求保护的范围。

Claims (8)

1.一种多晶硅光伏组件载波频段交流阻抗参数的计算方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1：测量得到多晶硅光伏组件的阻抗频率特性的实部和虚部；
步骤2：运用非线性最小二乘算法，将测量得到的多晶硅光伏组件的阻抗频率特性的实部和虚部曲线分别拟合为某一椭圆方程；
步骤3：将光伏组件交流阻抗等效电路模型中的四参数Rs、Rp、Cp、Ls简化为三参数Re(Z)、Cpe、Ls得到简化等效电路模型，其中，Rs、Rp、Cp、Ls分别为光伏组件的等效串联电阻、等效并联电阻、等效并联电容、等效串联电感；Re(Z)、Cpe分别为光伏组件的实部、简化等效电路模型的等效串联电容；
步骤4：根据拟合得到的所述椭圆方程及所述简化等效电路模型，确定光伏组件交流阻抗等效电路模型中的四参数。
2.根据权利要求1所述的一种多晶硅光伏组件载波频段交流阻抗参数的计算方法，其特征在于，所述光伏组件为光伏电池片串联形式的多晶硅光伏多晶硅光伏组件。
3.根据权利要求2所述的一种多晶硅光伏组件载波频段交流阻抗参数的计算方法，其特征在于，所述光伏组件的等效阻抗为：
Z＝Re(Z)+jIm(Z) (1)
式中，Z表示光伏组件的等效阻抗，Re(Z)、Im(Z)分别表示光伏组件等效阻抗Z的实部和虚部，
其中：
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令：
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式中，Rs、Rp、Cp和Ls分别表示光伏组件的等效串联电阻、等效并联电阻、等效并联电容和等效串联电感，ω为角频率。
4.根据权利要求3所述的一种多晶硅光伏组件载波频段交流阻抗参数的计算方法，其特征在于，所述椭圆方程的圆心由公式(5)和(6)得到：
<mrow> <mi>Re</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <msub> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>f</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <msup> <msub> <mi>n</mi> <mn>0</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </msqrt> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
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上述二式中，(a0，b0)、(a1，b1)是椭圆圆心，且a0、a1、b0>0，b1<0；m0、m1及n0、n1分别是椭圆的长轴及短轴。
5.根据权利要求4所述的一种多晶硅光伏组件载波频段交流阻抗参数的计算方法，其特征在于，在所述步骤3中，将所述等效并联电阻和所述等效并联电容对所述光伏组件的等效阻抗的虚部的贡献等效为一等效串联电容Cpe，将所述等效并联电阻和所述等效并联电容对所述光伏组件的等效阻抗的实部的贡献连同所述等效串联电阻等效为一电阻，该电阻即所述光伏组件的等效阻抗的实部Re(Z)，所述简化等效电路的表达式为：
<mrow> <mi>Z</mi> <mo>=</mo> <mi>Re</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;omega;L</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>&amp;omega;C</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，ω为角频率。
6.根据权利要求5所述的一种多晶硅光伏组件载波频段交流阻抗参数的计算方法，其特征在于，所述光伏组件的等效串联电阻Rs随频率的变化很小可视为常量，Rp、Cp、Ls是频率的函数，即Rp(f)、Cp(f)、Ls(f)，则Rs为：
Rs＝b0 (8)
因b1<0，式(6)第一项为电感Ls(f)呈现的感性部分，第二项b1为串联等效电容Cpe(f)所呈现的容性部分：
<mrow> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>&amp;omega;C</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>f</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
所述光伏组件的简化等效电路的等效阻抗的虚部为式(10)：
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将式(9)代入式(10)得Ls(f)，如式(11)：
<mrow> <msub> <mi>L</mi> <mi>s</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>f</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>I</mi> <mi>m</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mi>&amp;omega;</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
由四参数光伏组件交流阻抗等效电路的阻抗方程，得到中间变量Rp(f)Cp(f)如式(12)：
<mrow> <msub> <mi>R</mi> <mi>p</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>f</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>C</mi> <mi>p</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>f</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;omega;L</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>Im</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Re</mi> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将式(12)代入四参数光伏组件交流阻抗等效电路的阻抗方程，得到Rp(f)和Cp(f)的表达式如式(13)和式(14)所示：
<mrow> <msub> <mi>R</mi> <mi>p</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>f</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Re</mi> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;omega;L</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>f</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>Im</mi> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <mi>Re</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
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7.根据权利要求1所述的一种多晶硅光伏组件载波频段交流阻抗参数的计算方法，其特征在于：在所述步骤1中采用L-M迭代算法对所述曲线进行拟合。
8.根据权利要求7所述的一种多晶硅光伏组件载波频段交流阻抗参数的计算方法，其特征在于，所述L-M算法的具体迭代过程如下：设x(i)表示第i次迭代的权值和阈值所组成的向量，x(i+1)是新的权值和阈值所组成的向量，如式(15)所示：
x(i+1)＝x(i)+Δx (15)
设误差评价函数为：
<mrow> <mi>E</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <msub> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中，ei(x)为误差(i＝1,2,…,N)；
<mrow> <mo>&amp;dtri;</mo> <mi>E</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>J</mi> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中，为梯度；为雅可比矩阵，其形式为：
<mrow> <mi>J</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mo>...</mo> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>e</mi> <mi>N</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mo>...</mo> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>e</mi> <mi>N</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>N</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>N</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mo>...</mo> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>N</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>e</mi> <mi>N</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
Δx为：
Δx＝-[JT(x)J(x)+μI]-1J(x)e(x) (19)
式(19)中，比例系数μ>0为常数，I为单位阵。
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