CN107398538A

CN107398538A - 变钢种浇注连铸坯混钢区域的判定方法

Info

Publication number: CN107398538A
Application number: CN201610340856.2A
Authority: CN
Inventors: 宋景欣; 邹世文; 岳强; ***
Original assignee: Shanghai Meishan Iron and Steel Co Ltd
Current assignee: Shanghai Meishan Iron and Steel Co Ltd
Priority date: 2016-05-20
Filing date: 2016-05-20
Publication date: 2017-11-28
Anticipated expiration: 2036-05-20
Also published as: CN107398538B

Abstract

本发明涉及一种变钢种浇注连铸坯混钢区域的判定方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：(1)在中间包出口残留钢液液面高度下，对中间包内钢液浓度场分布进行模拟计算，得到钢液RTD曲线的模拟计算，监测出口处的平均浓度分布；(2)在中间包正常浇注钢液液面高度下，对中间包内钢液浓度场分布进行模拟计算，得到钢液的RTD曲线，监测出口处的平均浓度；(3)中间包出口残留钢液液面高度下，确定中间包模型的面积百分比函数η(t)；(4)通过理论计算钢包从换钢液开浇开始到中间包液面高度上升到正常浇注液面高度条件下的时间t_full；(5)在中间包正常浇注钢液液面高度下，确定中间包模型的面积百分比函数ψ(t)。

Description

变钢种浇注连铸坯混钢区域的判定方法

技术领域

本发明涉及一种判断方法，具体涉及一种变钢种浇注连铸坯混钢区域的判定方法，属于炼钢技术领域。

背景技术

在连铸过程中，从转炉到精炼和连铸过程中，通常一炉钢水的温度和成分是均匀的，因此铸坯在成分方面的变化不大，但是在更换钢包进行异钢种浇注过程中，对于大容量中间包混钢区钢水的残余量较多，混钢量较大。在不更换中间包、不停机的条件下，不同钢种更换期间，造成混浇区的成分与前一炉和后一炉的成分有较大差别，然而铸坯的不同钢种混浇区域很难准确地判定，通常根据经验进行判定，容易造成误判，降级改判和铸坯的判废处理，降低了成材率和金属收得率，因此，在不同钢种更换钢包浇注过程中，采用合适的方法来判定混浇坯的区域和长度是非常必要的。

鉴于此，为提高更换钢包进行异钢种浇注过程产品的成材率，降低生产成本，为了找到准确的新旧钢种混合区的开始部分和结束部分，生产现场往往先根据经验确定混合区域的开始和结束位置，然后在铸上进行取样，进行成分分析，从而确定混合区域的位置和长度，然而该方法工作量大，成本也相对较高，进行取样成分分析的次数较多，有时，需要大量地进行取样才能最终确定新旧钢种的混合区域，同时也影响铸坯的收得率。异钢种混合区域的判定主要存在以下难点：

1、在上一包中间包浇注过程中，随着钢包内旧钢液浇注结束，中间包内钢液液面下降，在中间包内的钢液量为正常浇注总量的15-90％时，开启钢包的滑动水口，在中间包长水口出口处，如何确定中间包长水口的流速的大小。

2、新钢水和中间包的旧钢水进行混合，引起新旧钢水浓度的变化，该过程还涉及到液面上升过程的非稳态浇注的问题。待中间包内钢液上升至正常的浇注液面下，初始的新旧钢液的浓度分布作为中间包内流动和浓度重新分布的初始条件。

中间包内钢液的停留时间分布曲线(RTD曲线)是研究中间包内流动过程中，全混流，活塞流以及短路流的常用方法，根据各区域的体积分数来对中间包内钢液的流动特性进行分析。通常采用刺激-响应试验来对中间包出口处的浓度进行监测，进而得到出口处示踪剂浓度随时间变化的曲线，根据中间包停留时间分布曲线上响应时间、峰值时间以及计算得到的平均停留时间来分析，全混区，活塞区以及死区的体积分数，进而对中间包的结构参数、工艺参数进行评价。刺激响应试验也用在模型模拟中间包内钢液流动的研究中。

发明内容

本发明正是针对现有技术中存在的技术问题，提供一种变钢种浇注连铸坯混钢区域的判定方法，该方法可以合理地给出中间包的临界卷渣高度，实现简单、快捷、准确地判定混钢区域。

为了实现上述目的，本发明的技术方案如下，一种变钢种浇注连铸坯混钢区域的判定方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：(1)在中间包出口残留钢液液面高度下，对中间包内钢液浓度场分布进行模拟计算，得到钢液RTD曲线的模拟计算，监测出口处的平均浓度分布；

(2)在中间包正常浇注钢液液面高度下，对中间包内钢液浓度场分布进行模拟计算，得到钢液的RTD曲线，监测出口处的平均浓度；

(3)中间包出口残留钢液液面高度下，确定中间包模型的面积百分比函数η(t)；

(4)通过理论计算钢包从换钢液开浇开始到中间包液面高度上升到正常浇注液面高度条件下的时间t_full；

(5)在中间包正常浇注钢液液面高度下，确定中间包模型的面积百分比函数ψ(t)。

作为本发明的一种改进，所述步骤1)在中间包出口残留钢液液面高度下，对中间包内钢液浓度场分布进行模拟计算，得到钢液RTD曲线的模拟计算，监测出口处的平均浓度分布，具体如下：在中间包内的钢液量为正常浇注总量的15-90％时，开启钢包的滑动水口，在钢包出口处的流速以及充满中间包所需时间的计算；

钢液通过截面为A₂的流出口的质量流量为：

其中，A₂为钢包出流口直径，u₂为钢液流出时候，液面高度为H时的瞬时速度，ρ为密度，t为时间，速度u₂大小计算式为：

其中，H为时间的函数，ф为流量系数(钢包出流处取值通常为0.92)，随着时间的增加，钢包内的液面下降，下降的质量流量为：

当流出质量为dM时，钢包内液体下降dH，则有如下关系式：

dM＝ρA₁dH_(2-4)；

其中，A₁为钢包在钢液高度为H下的横截面面积；

在考虑中间包铸机不停机的条件下，对钢包出流口的速度进行拟合得到速度随时间的变化关系式，进而得到充满中间包所需时间t。；

通过求解粘性流体的N-S方程，湍流模型采用标准的k-epsilon湍流模型，求解器选择三维、显式算法进行计算，检测不同液面高度条件下，中间包出口处的浓度，获得中间包不同液面高度下出口处的RTD曲线。

作为本发明的一种改进，所述步骤2)在中间包正常浇注钢液液面高度下，对中间包内钢液浓度场分布进行模拟计算，得到钢液的RTD曲线，监测出口处的平均浓度，具体如下：通过模拟钢包开始浇注时，残留钢种浇注液面条件下钢液的流动和传质，得到中间包出口处的RTD曲线，找到该液面高度下的响应时间t_min1和峰值时间t_max1，并以2.5倍的理论停留时间作为示踪剂流空的时间t_end；对得到的RTD曲线的浓度和时间进行积分，可以得到不同时刻下的面积占总体RTD曲线的面积比。

作为本发明的一种改进，所述步骤3)中间包出口残留钢液液面高度下，确定中间包模型的面积百分比函数η(t)；具体如下：根据步骤2)中提出的中间包出口浓度示踪剂测定的方法中，在中间包残留钢液液面高度下，钢液的体积为V₁，通过刺激-响应实验方法测得示踪剂完全流出的时间为t_end，其流动过程中，在某一时刻t，出口处的浓度为c₁(t)，示踪剂浓度与时间轴围成的曲线面积占整个曲线面积的百分比函数η(t)为：

作为本发明的一种改进，所述步骤4)通过理论计算钢包从换钢液开浇开始到中间包液面高度上升到正常浇注液面高度条件下的时间t_full，具体如下：在残留钢液液面高度下，中间包出口处示踪剂的浓度为1，随着下一包钢水注入到中间包内(相对于旧钢液而言，可以理解为：在原有旧钢液液面高度下，在原有旧钢液中注入新钢液，新钢液含有旧钢液的浓度为零)，由残留钢液液面高度浇注到正常钢液液面高度下所需时间为t_full，在此过程中的某一时刻t，中间包出口处旧钢液的浓度为：

C_av1＝1-η(t)(0<t<t_full) (2-6)。

作为本发明的一种改进，所述步骤5)在中间包正常浇注钢液液面高度下，确定中间包模型的面积百分比函数ψ(t)具体如下：根据本发明所提出的中间包出口处示踪剂浓度测定的方法中，在中间包正常钢液液面高度下，通过刺激-响应实验方法测得示踪剂完全流出的时间为t_end，其流动过程中，在某一时刻t，出口处的浓度为c₂(t)，示踪剂浓度与时间轴围成的曲线面积占整个曲线面积的百分比函数ψ(t)为：

在中间包正常钢液液面高度下，钢液的体积为V₀，在中间包残留钢液液面高度下，钢液的体积为V₁，C_av1是基于残留液面高度下得到的出口处示踪剂的浓度，在正常液面高度下，中间包内钢液的体积为V₀，而且V₀>V₁，出口处钢液的浓度相当于被稀释了，体积由V₁变为V₀，中间包出口处示踪剂的浓度为C_av1*V₁/V₀；随着新钢水不断地注入到中间包内(相对于旧钢液而言，可以理解为：正常钢液液面高度下，旧钢液的浓度为C_av1*V₁/V₀，在原有旧钢液中注入新钢液，新钢液含有旧钢液的浓度为零)，在中间包出口处旧钢液的浓度C_av2为：

根据式(2-6)和(2-8)可以计算不同时刻下，中间包出口处旧钢液的浓度，式(2-6)为中间包内钢液由残留钢液面高度浇注到正常液面过程中，中间包出口处浓度的变化，式(2-8)为中间包内钢液在正常液面高度下，中间包出口处的浓度；

由残留钢液液面高度浇注到正常钢液液面高度下所需时间为t_full，根据式(2-6)和(2-8)在t_full时刻下，中间包出口处旧钢液的浓度C_av1与C_av2可能不同，这主要是采用了两个液面高度的浓度分布曲线来代替不同液面高度的浓度分布曲线所致。所以要对t_full时刻前后的曲线进行拟合过渡，取t_full前一时刻为(1-ф₀)t_full，取t_full后一时刻为(1+ф₁)t_full，ф₀，ф₁为取值系数，在0-1之间，这里不妨取ф₀，ф₁均为0.1；

在(1-ф₀)t_full时刻下，代入式(2-6)计算可得旧钢种钢液在中间包出口的浓度为C_av1为：

C_av1＝1-η(1-ф₀)t_full)(t＝(1-ф₀)t_full) (2-9)；

在(1+ф₁)t_full时刻下，代入式(2-8)计算可得旧钢种钢液在中间包出口的浓度为C_av2为：

在(1-ф₀)t_full时刻和在(1+ф₁)t_full时刻之间，中间包出口处浓度分别为C_av1和C_av2的条件下，进行浓度的线性拟合可得C_av为：

即

整理可得：

所以，式(2-6)可写为：

C_av1＝1-η(t)(t<(1-ф₀)t_full) (2-13)；

所以，式(2-8)可写为：

；如果定义中间包出口处旧钢液的浓度为0.9和0.1之间的钢水为混钢，根据式(2-12)、(2-13)和(2-14)可以计算这两个浓度所对应的时刻t分别为t₁和t₂，那么铸坯混钢区的长度：ΔL＝u(t₂-t₁)/60，其中u为拉坯速度，单位为m/min，t为时间，单位为s。

相对于现有技术，本发明具有如下优点，该方法通过计算中间包出口处的浓度分布精确的获得变钢种浇铸条件下连铸坯混钢区域的长度；相比较现有技术中的通过现场测定确定铸坯表面温度，该方法更简单、快捷、准确。

附图说明

图1为中间包出口处浓度分布曲线示意图；

图2为中间包出口处新旧钢液的浓度随时间的变化示意图；

具体实施方式

为了加深对本发明的理解，下面结合附图对本实施例做详细的说明。

实施例1：由中间包出口处的RTD曲线，找到该液面高度下的响应时间t_min1和峰值时间t_max2，并以2.5倍的理论停留时间作为示踪剂流空的时间t_end。

中间包原型及实际浇注过程，中间包内的钢液质量残留6t(低液位)；

模拟某厂实际生产的250t钢包的换包浇注过程。现场用中间包的容量为60t。换包浇注工艺为，待钢液1(旧钢液)钢包浇注结束后，最后一包中间包内的钢液质量残留6t时；开启新钢包的滑动水口，水口呈全开状态；中间包钢液的通钢量保持在5t/min不变；待中间包液面上升至正常浇注液面时，调节滑板开口度以保证中间包液面稳定浇注。

(1)在中间包出口残留钢液液面高度下，对中间包内钢液浓度场分布进行模拟计算，得到钢液RTD曲线的模拟计算，监测出口处的平均浓度分布；具体如下：在中间包内的钢液量为正常浇注总量的15-90％时，开启钢包的滑动水口，在钢包出口处的流速以及充满中间包所需时间的计算；

钢液通过截面为A₂的流出口的质量流量为：

当流出质量为dM时，钢包内液体下降dH，则有如下关系式：

dM＝ρA₁dH(2-4)；

其中，A₁为钢包在钢液高度为H下的横截面面积；

通过求解粘性流体的N-S方程，湍流模型采用标准的k-epsilon湍流模型，求解器选择三维、显式算法进行计算，检测不同液面高度条件下，中间包出口处的浓度，获得中间包不同液面高度下出口处的RTD曲线；

(2)在中间包正常浇注钢液液面高度下，对中间包内钢液浓度场分布进行模拟计算，得到钢液的RTD曲线，监测出口处的平均浓度；所述步骤2)在中间包正常浇注钢液液面高度下，对中间包内钢液浓度场分布进行模拟计算，得到钢液的RTD曲线，监测出口处的平均浓度，具体如下：通过模拟钢包开始浇注时，残留钢种浇注液面条件下钢液的流动和传质，得到中间包出口处的RTD曲线，找到该液面高度下的响应时间t_min1和峰值时间t_max1，并以2.5倍的理论停留时间作为示踪剂流空的时间t_end；对得到的RTD曲线的浓度和时间进行积分，可以得到不同时刻下的面积占总体RTD曲线的面积比；

(3)中间包出口残留钢液液面高度下，确定中间包模型的面积百分比函数η(t)；所述步骤3)中间包出口残留钢液液面高度下，确定中间包模型的面积百分比函数η(t)；具体如下：根据步骤2)中提出的中间包出口浓度示踪剂测定的方法中，在中间包残留钢液液面高度下，钢液的体积为V₁，通过刺激-响应实验方法测得示踪剂完全流出的时间为t_end，其流动过程中，在某一时刻t，出口处的浓度为c₁(t)，示踪剂浓度与时间轴围成的曲线面积占整个曲线面积的百分比函数η(t)为：

(4)通过理论计算钢包从换钢液开浇开始到中间包液面高度上升到正常浇注液面高度条件下的时间t_full；所述步骤4)通过理论计算钢包从换钢液开浇开始到中间包液面高度上升到正常浇注液面高度条件下的时间t_full，具体如下：在残留钢液液面高度下，中间包出口处示踪剂的浓度为1，随着下一包钢水注入到中间包内(相对于旧钢液而言，可以理解为：在原有旧钢液液面高度下，在原有旧钢液中注入新钢液，新钢液含有旧钢液的浓度为零)，由残留钢液液面高度浇注到正常钢液液面高度下所需时间为t_full，在此过程中的某一时刻t，中间包出口处旧钢液的浓度为：

C_av1＝1-η(t)(0<t<t_full) (2-6)。

(5)在中间包正常浇注钢液液面高度下，确定中间包模型的面积百分比函数ψ(t)，

由式(2-1)、(2-2)、(2-3)和(2-4)计算得到钢包内新钢液从开始浇注到注入中间包至正常浇注液面(中间包内钢液由6t增加到60t)所需时间t_full为574s，按照式(2-12)、(2-13)和(2-14)取，ф₀为0.1，ф₁为0.1。具体浓度的表达式可写为：

C_av1＝1-η(t)(0<t<517) (2-12)

C_av2＝0.1(1-η(574))(1-ψ(t))((631<t<t_end) (2-14)

以上三个式子为中间包内钢液在不同时刻下，其出口处旧浓度随时间的变化关系，从而可以确定，在中间包出口处旧钢钢液浓度由90％下降到10％时，对应的时刻为的t₁和t₂，那么铸坯混钢区的长度：ΔL＝u(t₂-t₁)/60m，其中u为拉坯速度，单位为m/min，t为时间，单位为s。

实施例2：由中间包出口处的RTD曲线，找到该液面高度下的响应时间t_min1和峰值时间t_max2。并以2.5倍的理论停留时间作为示踪剂流空的时间t_end。

中间包原型及实际浇注过程，中间包内的钢液质量残留20t(中等液位)；

模拟某厂实际生产的250t钢包的换包浇注过程。现场用中间包的容量为60t。换包浇注工艺为，待钢液1(旧钢液)钢包浇注结束后，最后一包中间包内的钢液质量残留20t时；开启钢包的滑动水口，水口呈全开状态；中间包钢液的通钢量保持在5t/min不变；待中间包液面上升至正常浇注液面时，调节滑板开口度以保证中间包液面稳定浇注。

(1)在中间包出口残留钢液液面高度下，对中间包内钢液浓度场分布进行模拟计算，得到钢液RTD曲线的模拟计算，监测出口处的平均浓度分布；具体步骤如实施例1；

(2)在中间包正常浇注钢液液面高度下，对中间包内钢液浓度场分布进行模拟计算，得到钢液的RTD曲线，监测出口处的平均浓度；具体步骤如实施例1；

(3)中间包出口残留钢液液面高度下，确定中间包模型的面积百分比函数η(t)；具体步骤如实施例1；

(4)通过理论计算钢包从换钢液开浇开始到中间包液面高度上升到正常浇注液面高度条件下的时间t_full；具体步骤如实施例1；

由式(2-1)、(2-2)、(2-3)和(2-4)计算得到钢包内新钢液从开始浇注到注入中间包至正常浇注液面(中间包内钢液由20t增加到60t)所需时间t_full为360s，按照式(2-12)、(2-13)和(2-14)取，ф₀为0.1，ф₁为0.1。具体浓度的表达式可写为：

C_av1＝1-η(t)(0<t<324) (2-15)

C_av2＝0.33(1-η(360))(1-ψ(t))((396<t<t_end) (2-17)

实施例3：由中间包出口处的RTD曲线，找到该液面高度下的响应时间t_min1和峰值时间t_max2。并以2.5倍的理论停留时间作为示踪剂流空的时间t_end。

中间包原型及实际浇注过程，中间包内的钢液质量残留36t(高液位)；

模拟某厂实际生产的250t钢包的换包浇注过程。现场用中间包的容量为60t。换包浇注工艺为，待钢液1(旧钢液)钢包浇注结束后，最后一包中间包内的钢液质量残留36t时；开启新钢包的滑动水口，水口呈全开状态；中间包钢液的通钢量保持在5t/min不变；待中间包液面上升至正常浇注液面时，调节滑板开口度以保证中间包液面稳定浇注。

(1)在中间包出口残留钢液液面高度下，对中间包内钢液浓度场分布进行模拟计算，得到钢液RTD曲线的模拟计算，监测出口处的平均浓度分布；具体步骤同实施例1；

(2)在中间包正常浇注钢液液面高度下，对中间包内钢液浓度场分布进行模拟计算，得到钢液的RTD曲线，监测出口处的平均浓度；具体步骤同实施例1；

(3)中间包出口残留钢液液面高度下，确定中间包模型的面积百分比函数η(t)，具体步骤同实施例1；

(4)通过理论计算钢包从换钢液开浇开始到中间包液面高度上升到正常浇注液面高度条件下的时间t_full；具体步骤同实施例1；

由式(2-1)、(2-2)、(2-3)和(2-4)计算得到钢包内新钢液从开始浇注到注入中间包至正常浇注液面(中间包内钢液由36t增加到60t)所需时间t_full为200s，按照式(2-12)、(2-13)和(2-14)取，ф₀为0.1，ф₁为0.1。具体浓度的表达式可写为：

C_av1＝1-η(t)(0<t<180) (2-18)

C_av2＝0.6(1-η(200))(1-ψ(t))((220<t<t_end) (2-20)

需要说明的是上述实施例，并非用来限定本发明的保护范围，在上述技术方案的基础上所作出的等同变换或替代均落入本发明权利要求所保护的范围。

Claims

1.一种变钢种浇注连铸坯混钢区域的判定方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：(1)在中间包出口残留钢液液面高度下，对中间包内钢液浓度场分布进行模拟计算，得到钢液RTD曲线的模拟计算，监测出口处的平均浓度分布；

2.根据权利要求1所述的变钢种浇注连铸坯混钢区域的判定方法，其特征在于，所述步骤1)在中间包出口残留钢液液面高度下，对中间包内钢液浓度场分布进行模拟计算，得到钢液RTD曲线的模拟计算，监测出口处的平均浓度分布，具体如下：在中间包内的钢液量为正常浇注总量的15-90％时，开启钢包的滑动水口，在钢包出口处的流速以及充满中间包所需时间的计算；

钢液通过截面为A₂的流出口的质量流量为：

当流出质量为dM时，钢包内液体下降dH，则有如下关系式：

dM＝ρA₁dH (2-4)；

其中，A₁为钢包在钢液高度为H下的横截面面积；

3.根据权利要求1所述的变钢种浇注连铸坯混钢区域的判定方法，其特征在于，所述步骤2)在中间包正常浇注钢液液面高度下，对中间包内钢液浓度场分布进行模拟计算，得到钢液的RTD曲线，监测出口处的平均浓度，具体如下：通过模拟钢包开始浇注时，残留钢种浇注液面条件下钢液的流动和传质，得到中间包出口处的RTD曲线，找到该液面高度下的响应时间t_min1和峰值时间t_max1，并以2.5倍的理论停留时间作为示踪剂流空的时间t_end；对得到的RTD曲线的浓度和时间进行积分，可以得到不同时刻下的面积占总体RTD曲线的面积比。

4.根据权利要求1所述的变钢种浇注连铸坯混钢区域的判定方法，其特征在于，所述步骤3)中间包出口残留钢液液面高度下，确定中间包模型的面积百分比函数η(t)；具体如下：根据步骤2)中提出的中间包出口浓度示踪剂测定的方法中，在中间包残留钢液液面高度下，钢液的体积为V₁，通过刺激-响应实验方法测得示踪剂完全流出的时间为t_end，其流动过程中，在某一时刻t，出口处的浓度为c₁(t)，示踪剂浓度与时间轴围成的曲线面积占整个曲线面积的百分比函数η(t)为：

<mrow> <mi>&eta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mo>&Integral;</mo> <mn>0</mn> <mi>t</mi> </msubsup> <mi>c</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <msubsup> <mo>&Integral;</mo> <mn>0</mn> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>n</mi> <mi>d</mi> </mrow> </msub> </msubsup> <mi>c</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo><</mo> <mi>t</mi> <mo><</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>n</mi> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2.5</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow>

5.根据权利要求1所述的变钢种浇注连铸坯混钢区域的判定方法，其特征在于，所述步骤4)通过理论计算钢包从换钢液开浇开始到中间包液面高度上升到正常浇注液面高度条件下的时间t_full，具体如下：在残留钢液液面高度下，中间包出口处示踪剂的浓度为1，随着下一包钢水注入到中间包内，由残留钢液液面高度浇注到正常钢液液面高度下所需时间为t_full，在此过程中的某一时刻t，中间包出口处旧钢液的浓度为：

C_av1＝1-η(t) (0<t<t_full) (2-6)。

6.根据权利要求1所述的变钢种浇注连铸坯混钢区域的判定方法，其特征在于，所述步骤5)在中间包正常浇注钢液液面高度下，确定中间包模型的面积百分比函数ψ(t)具体如下：在中间包正常钢液液面高度下，通过刺激-响应实验方法测得示踪剂完全流出的时间为t_end，其流动过程中，在某一时刻t，出口处的浓度为c₂(t)，示踪剂浓度与时间轴围成的曲线面积占整个曲线面积的百分比函数ψ(t)为：

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对t_full时刻前后的曲线进行拟合过渡，取t_full前一时刻为(1-ф₀)t_full，取t_full后一时刻为(1+ф₁)t_full，ф₀，ф₁为取值系数，在0-1之间，取ф₀，ф₁均为0.1；

C_av1＝1-η(1-ф₀)t_full)(t＝(1-ф₀)t_full) (2-9)；

即

整理可得：

所以，式(2-6)可写为：

C_av1＝1-η(t) (t<(1-ф₀)t_full) (2-13)；

所以，式(2-8)可写为：

<mrow> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>v</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>v</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>v</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>v</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&psi;</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>></mo> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>&phi;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>u</mi> <mi>l</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>-</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow> 3