CN107368619A - 基于电池滞回电压特性和回弹电压特性的扩展卡尔曼滤波soc估算方法 - Google Patents

基于电池滞回电压特性和回弹电压特性的扩展卡尔曼滤波soc估算方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于电池滞回电压特性和回弹电压特性的扩展卡尔曼滤波SOC估算，包括以下步骤：(1)、采集当前状态下的电压、电流、历史SOC、累计充放电次数N等参数信息；(2)、基于电池滞回电压特性和回弹电压特性建立电池的三阶RC等效电路模型；(3)、基于改进安时积分法建立SOC状态方程；(4)、基于建立的状态方程和观测方程，根据扩展卡尔曼递推原理不断对当前时刻SOC值进行修正，使估算值逐渐逼近真实值；(5)、SOC误差小于2％时，结束SOC的扩展卡尔曼递推过程。该方案克服了开路电压法无法在线估算，安时积分法电流误差累积的缺点，提高了电池SOC的估算精度，实现了电池SOC的在线估算。

Description

基于电池滞回电压特性和回弹电压特性的扩展卡尔曼滤波 SOC估算方法
技术领域
本发明涉及磷酸铁锂动力电池的技术领域，更具体地说，涉及一种基于电池滞回电压特性和回弹电压特性的扩展卡尔曼滤波SOC估算方法。
背景技术
在电动汽车用锂动力电池管理***中，电池荷电状态(SOC)的估算是电池管理***(BMS)的核心内容，且电池的均衡控制，健康状态(SOH)控制均是以SOC的估算为基础，SOC的估算准确与否，将直接影响到电池管理***的决策，因此精确的SOC估计对改善电池性能，提高电池可靠性，延长电池使用寿命有重要意义。
电池SOC的估算与电池的开路电压、充放电电流、蓄电池内阻。自放电及电池的循环寿命等参数有关。目前国内外常用的SOC估算方法为开路电压法和安时积分法。开路电压法为电池停止工作测量电路开路电压值，通过OCV-SOC查表估计此时的SOC值，该方法需要静置足够的时间，无法实现在线估算；安时积分法通过电流的动态积分来估算SOC，算法简单，但其为一种开环预测，无法实时修正，且无法确定初值，同时存在传感器的累积误差。
扩展卡尔曼滤波算法基于建立的精确的电池等效电路模型建立电池的状态空间方程，结合递推算法实现对SOC的估计，可实现在线估计，同时可给出误差估计范围，满足电动汽车实际工况下的电流剧烈变化条件。
发明内容
本发明的主要目的在于克服现有技术的缺点与不足，一种基于电池滞回电压和回弹电压特性的扩展卡尔曼滤波SOC估算方法，克服了开路电压法无法在线估算，安时积分法电流误差累积的缺点，提高了电池SOC的估算精度，实现了电池SOC的在线估算。
为了达到上述目的，本发明采用以下技术方案：
本发明公开的一种基于电池滞回电压特性和回弹电压特性的扩展卡尔曼滤波SOC估算方法，包括下述步骤：
(1)采集当前状态下的电压、电流、历史SOC、累计充放电次数N这些参数信息；
(2)基于电池滞回电压特性和回弹电压特性建立电池的三阶RC等效电路模型；
(3)基于改进安时积分法建立SOC状态方程；
(4)基于建立的状态方程和观测方程，根据扩展卡尔曼递推原理不断对当前时刻SOC值进行修正，使估算值逐渐逼近真实值；
(5)SOC误差小于2％时结束SOC的扩展卡尔曼递推过程。
作为优选的技术方案，步骤(2)中，建立三阶RC等效电路模型的方法为：
建立三阶RC等效电路模型描述其响应特性和内部特性，响应特性是指电池的端电压与负载电流的对应关系；内部特性是指电池的内部变量欧姆内阻、极化内阻、极化电压与SOC的关系，建立的观测方程如下：
Uc(t)＝Eb-Ur-Us-Um-Ul
其中，Eb＝UEMF+UVh，UEMF＝g(SOC),UVh＝f(SOC,I)，Ur＝I·Rr
UC(t)为电池的负载电压，Eb为电池的等效电压，Ur为电池欧姆内阻对应的电压，Us、Um、Ul为三阶RC网络分别对应的电压，UEMF为反电动势，与充放电SOC有关，UVh为电池滞回电压，与电流I方向，电池SOC有关；
即：
UC(t)＝UEMF+UVh-Us-Um-Ul-Ur
＝g(SOC)+f(SOC,I)-Es-Em-El-IRr
由实验可知，电池内阻Rr受SOC影响较大，0≤SOC≤50％时，Rr随SOC变化较大，50％＜SOC≤100时，Rr趋于稳定，因此，Rr与SOC关系描述如下：
则观测方程可表达为：
UC(t)＝UEMF+UVh-Us-Um-Ul-Ur
＝g(SOC)+f(SOC,I)-Es-Em-El-I·h(SOC)
由电化学原理可知，可采用RC网络描述电池的回弹特性，其精度与RC的阶数有关，采用三阶RC网络来表达电池的回弹电压特性，既满足精度要求，又不会增加计算的复杂度，表示如下：
作为优选的技术方案，所述步骤(3)中，基于改进安时积分法建立SOC状态方程的方法为：
3.1)建立SOC状态方程：
其中，α为电池的老化系数，与充放电次数N有关，SOC(0)为电池的初始时刻SOC，CN为电池的标称容量，单位为Ah，表示电量完全充满的情况下电池以实际的工作温度和放电倍率下所放出的电量，η为电池效率系数，主要包括充放电系数ηc和温度系数ηT，它们之间满足η＝ηc·ηT的函数关系；
3.2)计算初始状态SOC(0)：
SOC(0)＝βSOCh+(1-β)SOCOCV
其中，SOCh为上次关机时***记录的历史SOC估计值，通过标准充放电实验分段拟合的平衡电势与SOC一阶函数关系，SOCocv为通过采集电池开机电压、电流计算的SOC值，β为与上次关机到此次开机的时间间隔T的相关系数。
作为优选的技术方案，在步骤3.1)中，α满足如下函数关系：
在步骤3.2)中，β满足如下函数关系：
其中0≤β≤1。
作为优选的技术方案，步骤3.2)中在计算初始SOC时，使用Matlab进行一阶拟合，拟合方程为：
作为优选的技术方案，步骤(4)中，建立的状态方程和观测方程，根据扩展卡尔曼递推原理不断对当前时刻SOC值进行修正的方法为：
4.1)获取扩展卡尔曼滤波状态估计向量初始值X0与误差协方差矩阵的初始值P0；
X0＝[SOC(0)Us(0)Um(0)Ul(0)]T＝[SOC(0)0 0 0]T
P0＝E[(X0-X0)(X0-X0)T]
4.2)将k-1时刻的状态向量估计值与误差协方差矩阵Pk-1/k-1进行时间更新进一步确定k时刻的状态向量先验估计值与误差协方差Pk/k-1:
***噪声方差：
其中wk为均值为0的高斯白噪声，为wk的转置，E为数学期望
4.3)确定扩展卡尔曼增益矩阵Kk
其中Ck为雅可比矩阵，为Ck的转置，Rk为观测噪声协方差
协方差Rk为：
vk为均值为0的高斯白噪声
4.4)获得卡尔曼滤波状态向量估计值及状态协方差
本发明与现有技术相比，具有如下优点和有益效果：
1、本发明采用改进的安时积分法和扩展卡尔曼滤波算法计算电池SOC值，克服了安时积分在线估算时间长的问题。
2、本发明基于电池电压滞回特性和回弹特性建立较精确的三阶RC电池模型，提高了SOC模型的估算精度。
3、本发明采用电池关机记录SOC值与OCV-SOC查表结合的方法计算电池SOC初值，同时考虑到电池的老化效应，提高了SOC初值的估算精度。
附图说明
图1为本发明流程图；
图2为本发明电池等效电路模型图；
图3为本发明内阻RS与SOC关系图；
图4为本发明电池滞回电压特性图；
图5为本发明回弹电压特性图；
图6为本发明计算初始SOC流程图。
具体实施方式
下面结合实施例及附图对本发明作进一步详细的描述，但本发明的实施方式不限于此。
实施例
如图1所示，本发明SOC估算方法主要包括电池等效电路建模，构建扩展卡尔曼状态方程，扩展卡尔曼滤波递推算法状态变量更新计算几部分。
S1、采集当前状态下的电压、电流、历史SOC、累计充放电次数N等参数信息；
S2、基于电池滞回电压特性和回弹电压特性建立电池的三阶RC等效电路模型；
图2所示等效电路模型，应用扩展卡尔曼滤波器估算电池***SOC，需要建立精确的电池模型。电池模型应尽量完善表达实际电池的响应特性和内部特性。响应特性是指电池的端电压与负载电流的对应关系；内部特性是指电池的内部变量欧姆内阻、极化内阻、极化电压与SOC的关系，建立的观测方程如下：
Uc(t)＝Eb-Ur-Us-Um-Ul
其中，Eb＝UEMF+UVh，UEMF＝g(SOC),UVh＝f(SOC,I)，Ur＝I·Rr
即：
UC(t)＝UEMF+UVh-Us-Um-Ul-Ur
＝g(SOC)+f(SOC,I)-Es-Em-El-IRr
图3为电池内阻Rr与SOC关系图，由图可知，电池欧姆内阻Rr受SOC影响较大，0≤SOC≤50％时，Rr随SOC变化较大，50％＜SOC≤100时，Rr趋于稳定。因此，Rr与SOC关系描述如下：
则观测方程可表达为：
UC(t)＝UEMF+UVh-Us-Um-Ul-Ur
＝g(SOC)+f(SOC,I)-Es-Em-El-I·h(SOC)
图4为电池回弹电压特性图，由图可知，当回路电流为0时，电池内部由于其极化反应并未停止，因此其净反应速率不会立即降为0，电池端电压会继续上升，直至经历足够的静置时间，端电压才会恢复稳定，即与开路电压相同。由电化学原理可知，可采用RC网络描述电池的回弹特性，其精度与RC的阶数有关。本发明采用三阶RC网络来表达电池的回弹电压特性，既满足精度要求，又不会增加计算的复杂度。
由基尔霍夫电压电流定律可知三阶RC网络满足如下条件：
S3、基于改进安时积分法建立SOC状态方程：
其中，α为电池的老化系数，与充放电次数N有关，SOC(0)为电池的初始时刻SOC，CN为电池的标称容量，单位为Ah，表示电量完全充满的情况下电池以实际的工作温度和放电倍率下所放出的电量，η为电池效率系数，主要包括充放电系数ηc和温度系数ηT.，它们之间满足η＝ηc·ηT函数关系，α满足如下函数关系：
图5为电池滞回电压特性图，由图可知，相同的SOC值在充放电条件下对应的电池平衡电压是不同的，相同条件下充电状态平衡电压较高，其主要由电池本身的电化学特性造成。同时由图5可知，磷酸铁锂电池在平台区(SOC为20％～90％)电压变化不大，非平台区(SOC为0～20％，90％～100％)电压变化较大。因此，根据磷酸铁锂电池充放电开路电压与SOC关系,可使用Matlab中将其一阶拟合，在精度要求前提下降低运算复杂度。本发明计算基于开路平衡电压的电池初始SOC时，首先判断电流方向，即判断***处于充电状态还是放电状态，然后根据开路平衡电压代入拟合方程式中计算SOC值。拟合方程具体表示如下：
由于电池开端电压在较长静置时间才恢复稳定，为提高SOC估算精度，本发明采用上次关机***记录的历史SOC值与电池开路电压一阶拟合相结合的方法计算初始SOC，如图6所示。由实验数据及经验可知，在静置2小时以后电池的端电压趋于稳定。因此，本发明将开路平衡电压SOCOCV与上次关机时***记录的历史SOC值SOCh结合计算初始时刻SOC，具体表示如下：
SOC(0)＝βSOCh+(1-β)SOCOCV
其中，SOCh为***记录的上次关机时的电池SOC值，SOCocv为基于电池电压滞回特性计算的SOC，β为时间T相关系数，0≤β≤1，其表示如下：
S4、基于电池滞回电压特性和回弹电压特性建立的三阶等效电池模型的的状态空间模型，选择电池的工作电流i作为***激励、负载电压Uc作为***观测变量、电池的极化电压和SOC值作为状态变量建立状态方程和观测方程，并将其离散化；
其中，
将其表示为矩阵形式如下：
则：
状态方程：xk＝Axk-1+Bik-1+wk
观测方程：
S5、基于建立的状态方程和观测方程，根据扩展卡尔曼递推原理不断对当前时刻SOC值进行修正，使估算值逐渐逼近真实值。基于扩展卡尔曼滤波的SOC估算具体步骤：
S51)获取扩展卡尔曼滤波状态估计向量初始值X0与误差协方差矩阵的初始值P0；
X0＝[SOC(0)Us(0)Um(0)Ul(0)]T＝[SOC(0)0 0 0]T
P0＝E[(X0-X0)(X0-X0)T]
S52)将k-1时刻的状态向量估计值与误差协方差矩阵Pk-1/k-1进行时间更新进一步确定k时刻的状态向量估计值与误差协方差Pk/k-1:
其中，f为状态转移函数，为k-1时刻状态向量估计值，ik-1为k-1时刻***输入向量。
S53)确定***噪声的方差Qk为:
其中wk为均值为0的高斯白噪声，为wk的转置，E为数学期望
S54)确定扩展卡尔曼增益矩阵Kk
其中Ck为雅可比矩阵，为Ck的转置，Rk为观测噪声协方差
方差Rk为：
vk为均值为0的高斯白噪声
S55)获得卡尔曼滤波状态向量估计值及相应协方差矩阵
上述实施例为本发明较佳的实施方式，但本发明的实施方式并不受上述实施例的限制，其他的任何未背离本发明的精神实质与原理下所作的改变、修饰、替代、组合、简化，均应为等效的置换方式，都包含在本发明的保护范围之内。

Claims (6)

1.一种基于电池滞回电压特性和回弹电压特性的扩展卡尔曼滤波SOC估算方法，其特征在于，包括下述步骤：
(1)采集当前状态下的电压、电流、历史SOC、累计充放电次数N这些参数信息；
(2)基于电池滞回电压特性和回弹电压特性建立电池的三阶RC等效电路模型；
(3)基于改进安时积分法建立SOC状态方程；
(4)基于建立的状态方程和观测方程，根据扩展卡尔曼递推原理不断对当前时刻SOC值进行修正，使估算值逐渐逼近真实值；
(5)SOC误差小于2％时结束SOC的扩展卡尔曼递推过程。
2.根据权利要求1所述的基于电池滞回电压特性和回弹电压特性的扩展卡尔曼滤波SOC估算方法，其特征在于，步骤(2)中，建立三阶RC等效电路模型的方法为：
建立三阶RC等效电路模型描述其响应特性和内部特性，响应特性是指电池的端电压与负载电流的对应关系；内部特性是指电池的内部变量欧姆内阻、极化内阻、极化电压与SOC的关系，建立的观测方程如下：
Uc(t)＝Eb-Ur-Us-Um-Ul
其中，Eb＝UEMF+UVh，UEMF＝g(SOC),UVh＝f(SOC,I)，Ur＝I·Rr
UC(t)为电池的负载电压，Eb为电池的等效电压，Ur为电池欧姆内阻对应的电压，Us、Um、Ul为三阶RC网络分别对应的电压，UEMF为反电动势，与充放电SOC有关，UVh为电池滞回电压，与电流I方向，电池SOC有关；
即：
UC(t)＝UEMF+UVh-Us-Um-Ul-Ur
＝g(SOC)+f(SOC,I)-Es-Em-El-IRr
由实验可知，电池内阻Rr受SOC影响较大，0≤SOC≤50％时，Rr随SOC变化较大，50％＜SOC≤100时，Rr趋于稳定，因此，Rr与SOC关系描述如下：
<mrow> <msub> <mi>R</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>h</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>S</mi> <mi>O</mi> <mi>C</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>a</mi> <mi>S</mi> <mi>O</mi> <mi>C</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mn>0</mn> <mo>&amp;le;</mo> <mi>S</mi> <mi>O</mi> <mi>C</mi> <mo>&amp;le;</mo> <mn>50</mn> <mi>%</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>c</mi> </mtd> <mtd> <mrow> <mn>50</mn> <mi>%</mi> <mo>&lt;</mo> <mi>S</mi> <mi>O</mi> <mi>C</mi> <mo>&amp;le;</mo> <mn>100</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
则观测方程可表达为：
UC(t)＝UEMF+UVh-Us-Um-Ul-Ur
＝g(SOC)+f(SOC,I)-Es-Em-El-I·h(SOC)
由电化学原理可知，可采用RC网络描述电池的回弹特性，其精度与RC的阶数有关，采用三阶RC网络来表达电池的回弹电压特性，既满足精度要求，又不会增加计算的复杂度，表示如下：
<mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>C</mi> <mi>s</mi> </msub> </mfrac> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>du</mi> <mi>s</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>U</mi> <mi>s</mi> </msub> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> </mfrac> <mo>=</mo> <mi>I</mi> </mrow>
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3.根据权利要求1所述的基于电池滞回电压特性和回弹电压特性的扩展卡尔曼滤波SOC估算方法，其特征在于，所述步骤(3)中，基于改进安时积分法建立SOC状态方程的方法为：
3.1)建立SOC状态方程：
<mrow> <mi>S</mi> <mi>O</mi> <mi>C</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>S</mi> <mi>O</mi> <mi>C</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mi>&amp;eta;</mi> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <mn>0</mn> <mi>t</mi> </msubsup> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> <msub> <mi>C</mi> <mi>N</mi> </msub> </mfrac> <mo>;</mo> </mrow>
其中，α为电池的老化系数，与充放电次数N有关，SOC(0)为电池的初始时刻SOC，CN为电池的标称容量，单位为Ah，表示电量完全充满的情况下电池以实际的工作温度和放电倍率下所放出的电量，η为电池效率系数，主要包括充放电系数ηc和温度系数ηT，它们之间满足η＝ηc·ηT的函数关系；
3.2)计算初始状态SOC(0)：
SOC(0)＝βSOCh+(1-β)SOCOCV
其中，SOCh为上次关机时***记录的历史SOC估计值，通过标准充放电实验分段拟合的平衡电势与SOC一阶函数关系，SOCocv为通过采集电池开机电压、电流计算的SOC值，β为与上次关机到此次开机的时间间隔T的相关系数。
4.根据权利要求3所述的基于电池滞回电压特性和回弹电压特性的扩展卡尔曼滤波SOC估算方法，其特征在于，
在步骤3.1)中，α满足如下函数关系：
<mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>N</mi> <mo>&amp;le;</mo> <mn>500</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0.98</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mn>500</mn> <mo>&lt;</mo> <mi>N</mi> <mo>&amp;le;</mo> <mn>1000</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0.95</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>N</mi> <mo>&gt;</mo> <mn>1000</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
在步骤3.2)中，β满足如下函数关系：
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其中0≤β≤1。
5.根据权利要求3所述的基于电池滞回电压特性和回弹电压特性的扩展卡尔曼滤波SOC估算方法，其特征在于，步骤3.2)中在计算初始SOC时，使用Matlab进行一阶拟合，拟合方程为：
<mrow> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mi>O</mi> <mi>C</mi> <mi>V</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>S</mi> <mi>O</mi> <mi>C</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mn>0</mn> <mo>&amp;le;</mo> <mi>S</mi> <mi>O</mi> <mi>C</mi> <mo>&amp;le;</mo> <mn>20</mn> <mi>%</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>S</mi> <mi>O</mi> <mi>C</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mn>20</mn> <mi>%</mi> <mo>&lt;</mo> <mi>S</mi> <mi>O</mi> <mi>C</mi> <mo>&amp;le;</mo> <mn>90</mn> <mi>%</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>3</mn> </msub> <mi>S</mi> <mi>O</mi> <mi>C</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mn>90</mn> <mi>%</mi> <mo>&lt;</mo> <mi>S</mi> <mi>O</mi> <mi>C</mi> <mo>&amp;le;</mo> <mn>100</mn> <mi>%</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <mi>I</mi> <mo>&lt;</mo> <mn>0</mn> </mrow>
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6.根据权利要求1所述的基于电池滞回电压特性和回弹电压特性的扩展卡尔曼滤波SOC估算方法，其特征在于，步骤(4)中，建立的状态方程和观测方程，根据扩展卡尔曼递推原理不断对当前时刻SOC值进行修正的方法为：
4.1)获取扩展卡尔曼滤波状态估计向量初始值X0与误差协方差矩阵的初始值P0；
X0＝[SOC(0) Us(0) Um(0) Ul(0)]T＝[SOC(0) 0 0 0]T
P0＝E[(X0-X0)(X0-X0)T]
4.2)将k-1时刻的状态向量估计值与误差协方差矩阵Pk-1/k-1进行时间更新进一步确定k时刻的状态向量先验估计值与误差协方差Pk/k-1:
<mrow> <msub> <mover> <mi>X</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>/</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>X</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>Ax</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>Bi</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>w</mi> <mi>k</mi> </msub> </mrow>
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***噪声方差：
其中wk为均值为0的高斯白噪声，为wk的转置，E为数学期望
4.3)确定扩展卡尔曼增益矩阵Kk
<mrow> <msub> <mi>K</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>/</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>k</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>C</mi> <mi>k</mi> </msub> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>/</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>k</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow>
其中Ck为雅可比矩阵，为Ck的转置，Rk为观测噪声协方差
<mrow> <msub> <mi>C</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>U</mi> <mi>c</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>S</mi> <mi>O</mi> <mi>C</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>U</mi> <mi>c</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>U</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>U</mi> <mi>c</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>U</mi> <mi>s</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>U</mi> <mi>c</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>U</mi> <mi>l</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mi>M</mi> <mi>F</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mi>V</mi> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>r</mi> </msub> <mi>i</mi> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>S</mi> <mi>O</mi> <mi>C</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
协方差Rk为：
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vk为均值为0的高斯白噪声
4.4)获得卡尔曼滤波状态向量估计值及状态协方差
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