CN107341317A - 大坡度刚架柱顶支座刚度和刚架柱计算长度的计算方法 - Google Patents

大坡度刚架柱顶支座刚度和刚架柱计算长度的计算方法 Download PDF

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Abstract

本发明涉及大坡度刚架柱顶支座刚度和刚架柱计算长度的计算方法，确定刚架柱顶支座条件，分别对两种弹簧支座形式作出计算简图；进行超静定结构求解，计算柱顶水平弹簧支座和转动弹簧支座刚度；建立刚架柱屈曲微分方程，获得计算长度系数关于支座端的水平刚度与转动刚度两个参数的超越方程；对方程进行拟合求解，确定刚架柱计算长度系数μ关于水平弹簧支座和转动弹簧支座刚度的理论公式。该方法考虑了大坡度刚架梁柱连接节点的半刚性特点，适用于大坡度刚架柱计算长度系数的实际工程设计，也可适用于坡度小于1:5的刚架结构设计，具有结构特点针对性强、计算过程简便等明显优点，填补了国内该领域的空白。

Description

大坡度刚架柱顶支座刚度和刚架柱计算长度的计算方法
技术领域
本发明涉及属于钢结构工程计算领域，具体涉及一种大坡度刚架柱顶支座刚度和刚架柱计算长度的计算方法。
背景技术
我国现行的钢结构设计规范所规定的结构柱计算长度系数取值，是针对框架结构中梁柱线刚度比的约束情况来确定框架柱的计算长度。在计算模型中，梁与柱垂直相交，在一般的建筑结构中，具有较好的适用意义。对于门式刚架结构，《门式刚架轻型房屋钢结构技术规程》(CECS 102:2002)分别对有侧移和无侧移结构形式的梁柱计算长度提供了计算公式，但规范对门式刚架斜梁坡度规定了限值，以满足计算公式的基本假定要求。对于山形门式刚架，当斜梁小于23°时，通常采用将横梁拉平的计算方法，再根据有水平横梁的刚架确定柱的计算长度.然而对于门式刚架结构，梁柱节点会传递水平推力，使得斜梁产生拱效应。
在现代建筑中，由于建筑外观、空间使用、屋顶排水等需求，逐渐产生一种大坡度的刚架结构，此种结构斜梁坡度较大，斜梁坡度已超过了《门式刚架轻型房屋钢结构技术规程》4.1.5中，门式刚架屋面坡度宜取1/8-1/20的限值要求。大坡度刚架结构的计算不能满足《钢结构设计规范》与《门式刚架轻型房屋钢结构技术规程》中有关计算长度公式的基本假定，故在实际工程设计中缺乏理论依据与指导。而目前国内外的研究多针对传统框架结构或门式刚架结构，对大坡度刚架结构形式进行研究少之又少。斜梁坡度的增大，将直接影响结构的内力分布、刚度支撑作用，因而对这种结构柱的计算长度系数取值进行专项的推导与研究工作，为设计工作提供科学可靠的设计依据具有十分重要的意义。
发明内容
本发明的目的是提供一种大坡度刚架柱顶支座刚度和刚架柱计算长度的计算方法，适用于大坡度刚架柱计算长度系数的实际工程设计，也可适用于坡度小于1:5的刚架结构设计。
本发明所采用的技术方案为：
大坡度刚架柱顶支座刚度和刚架柱计算长度的计算方法，其特征在于：
由以下步骤实现：
步骤一：确定刚架柱顶支座条件，分别对水平弹簧支座和转动弹簧支座两种弹簧支座形式作出计算简图；
步骤二：进行超静定结构求解，计算柱顶水平弹簧支座和转动弹簧支座刚度；
步骤三：建立刚架柱屈曲微分方程，获得计算长度系数关于支座端的水平刚度与转动刚度两个参数的超越方程；
步骤四：对方程进行拟合求解，确定刚架柱计算长度系数μ关于水平弹簧支座和转动弹簧支座刚度的理论公式。
步骤一中，在建立计算简图时，对于柱脚铰接的大坡度刚架结构形式柱子底部支座条件为铰接，顶部为水平弹簧支座和转动弹簧支座；对于柱脚刚接的大坡度刚架结构形式，柱子底部支座条件为刚接，顶部为水平弹簧支座和转动弹簧支座。
步骤二中，对于柱脚铰接的大坡度刚架结构形式，水平及转动弹簧支座位移计算简图均为一次超静定结构；对于柱脚刚接的大坡度刚架结构形式，水平及转动弹簧支座位移计算简图均为二次超静定结构。
本发明具有以下优点：
本发明涉及的计算方法，分别求解两种柱脚形式的大坡度刚架结构柱顶水平支座和转动支座的刚度，再建立刚架柱的平衡微分方程，确定柱顶水平支座和转动支座刚度与刚架柱计算长度系数的关系，使用MATLAB进行数值拟合，确定刚架柱计算长度系数的拟合公式。公式考虑了大坡度刚架梁柱连接节点的半刚性特点，具有结构特点针对性强、计算过程简便等明显优点，填补了国内该领域的空白。
附图说明
图1为铰接柱脚刚架计算简图。
图2为铰接柱脚水平弹簧支座位移计算简图。
图3为铰接柱脚转动弹簧支座位移计算简图。
图4为铰接柱脚水平弹簧支座位移计算基本体系。
图5为铰接柱脚转动弹簧支座位移计算基本体系。
图6为铰接柱脚弹簧刚度求解思路。
图7为铰接柱脚刚架柱变形图。
图8为铰接柱脚单元隔离体。
图9为柱脚铰接刚架柱计算系数变化曲面。
图10为刚接柱脚刚架计算简图。
图11为刚接柱脚水平弹簧支座位移计算简图。
图12为刚接柱脚转动弹簧支座位移计算简图。
图13为刚接柱脚水平弹簧支座位移计算基本体系。
图14为刚接柱脚转动弹簧支座位移计算基本体系。
图15为刚接柱脚弹簧刚度求解思路。
图16为刚接柱脚刚架柱变形图。
图17为刚接柱脚单元隔离体。
图18为刚接柱脚刚架柱计算系数变化曲面。
图19为柱脚铰接刚架柱计算长度系数取值。
图20为柱脚刚接刚架柱计算长度系数取值。
具体实施方式
下面结合具体实施方式对本发明进行详细的说明。
本发明涉及大坡度刚架柱顶支座刚度和刚架柱计算长度的计算方法，依据传统力学方法，分别求解两种柱脚形式的大坡度刚架结构柱顶水平支座和转动支座的刚度，再建立刚架柱的平衡微分方程，确定柱顶水平支座和转动支座刚度与刚架柱计算长度系数的关系，使用MATLAB进行数值拟合，确定刚架柱计算长度系数的拟合公式。在建立屈曲平衡方程时，作出如下基本假定：
a.构件是理想的等截面挺直杆；
b.压力沿构件原来的轴线作用；
c.材料符合胡克定律，即应力和应变呈线性关系；
d.构件变形之前的平截面在弯曲变形之后仍为平面；
e.构件的弯曲变形是微小的，曲率可以近似地用变形的二次微分表示，即Φ＝-y″。
本发明具体由以下步骤实现：
步骤一：确定刚架柱顶支座条件，分别对水平弹簧支座和转动弹簧支座两种弹簧支座形式作出计算简图；
对于柱脚铰接的大坡度刚架结构形式柱子底部支座条件为铰接，顶部为水平弹簧支座和转动弹簧支座；对于柱脚刚接的大坡度刚架结构形式，柱子底部支座条件为刚接，顶部为水平弹簧支座和转动弹簧支座。
步骤二：进行超静定结构求解，计算柱顶水平弹簧支座和转动弹簧支座刚度；
对于柱脚铰接的大坡度刚架结构形式，水平及转动弹簧支座位移计算简图均为一次超静定结构；对于柱脚刚接的大坡度刚架结构形式，水平及转动弹簧支座位移计算简图均为二次超静定结构。
步骤三：建立刚架柱屈曲微分方程，获得计算长度系数关于支座端的水平刚度与转动刚度两个参数的超越方程。
步骤四：对方程进行拟合求解，确定刚架柱计算长度系数μ关于水平弹簧支座和转动弹簧支座刚度的理论公式。
(1)铰接柱脚刚架
对于柱脚铰接的大坡度刚架结构形式，在建立屈曲微分方程时，柱子底部支座条件为铰接，顶部为水平弹簧支座和转动弹簧支座，即可认为柱子底端边界条件为柱位移和弯矩值为0，而柱子顶部有平移的弹性约束及转动位移的弹性约束。所以可根据约束条件画出计算简图，如图1～3所示。
对于柱脚铰接的大坡度刚架结构形式，水平及转动弹簧支座位移计算简图均为一次超静定结构，在计算式分别去除一个多余约束力，代之以未知力X1，如图4和图5所示。
按照图6的求解过程得到柱顶的水平刚度和转动刚度：
式中，K1为刚架斜梁线刚度，K2为刚架柱线刚度，ξ为长度比例系数，分别按下式计算。
柱脚铰接刚架柱计算可简化为底部支座条件为铰接，顶部为水平弹簧支座和转动弹簧支座形式，如图7所示。在荷载P作用下，刚架柱在其支座条件下发生变形。其中，以顺时针的转角为正，向右的平移为正，柱端的力矩和水平力以与位移同方向时为正，异向时为负。
取图8所示的隔离体，建立平衡方程：
联立式(6)和式(7)可得刚架柱轴心受压的四阶微分方程，如式(8)所示，
EI2y(4)+Py″＝0 (8)
令k2＝P/EI2，可得微分方程的通解，
y＝C1sinkx+C2coskx+C3x+C4 (9)
y′＝C1kcoskx-C2ksinkx+C3 (10)
y″＝-C1k2sinkx-C2k2coskx (11)
由边界条件y(0)＝0和y′(0)＝0，可得C2＝0，C4＝0。
由Q(l)＝-PC3＝-kB y(l)和M(l)＝-EI2y″(l)＝rB y′(l)可得：
kBC1sinkl+(kBl-P)C3＝0 (12)
(EI2k2sin kl-rBkcoskl)C1-rBC3＝0 (13)
C1、C3要有非零解的条件是式(12)和式(13)中的系数行列式为零，即
行列式展开可得：
kBlEI2k2sinkl-kBrBlkcoskl-PEI2k2sinkl+PrB kcoskl+kBrB sinkl＝0
(15)
由于式中各项参数具有如下关系：
同时，可令支座参数RB、KB分别为
同(16)式一起代入式(15)中，得到铰接柱脚刚架有关柱子计算长度系数的超越方程：
当已知刚架结构的截面和刚架尺寸时，可根据式(1)和式(2)计算确定弹簧刚度值，继而求得柱子的计算长度系数。
采用割线法对方程(18)的实根进行迭代求解，割线法是一种逐点线性化的方法，其基本思想是预先给定初始值x-1和x0，用区间[xk-1,xk]上的割线近似代替目标函数的导函数曲线，用割线与横轴交点的横坐标作为方程式的近似解。
割线法的迭代公式为：
当|f(xk)|<0.001时，结束迭代，取迭代结果作为计算长度系数的近似解，部分结果如图19所示。
将KB、RB从0至100的计算结果绘制成曲面，如图9所示。使用MATLAB对计算数据进行数值拟合，柱脚铰接刚架柱计算长度系数拟合公式为：
拟合公式(20)的确定系数为0.9879，标准差为0.1115，计算结果略大于超越方程计算结果，拟合公式计算足够精确，可以适用于实际工程计算取值。
(2)刚接柱脚刚架：
对于柱脚刚接的大坡度刚架结构形式，在建立屈曲微分方程时，柱子底部支座条件为刚接，顶部为水平弹簧支座和转动弹簧支座，即可认为柱子底端边界条件为柱位移和转角为0，而柱子顶部有平移的弹性约束及转动的弹性约束。所以可根据约束条件画出计算简图，如图10～图12所示。
对于柱脚刚接的大坡度刚架结构形式，水平及转动弹簧支座位移计算简图均为二次超静定结构，在计算式分别去除两个多余约束力，代之以未知力X1、X2，如图13和图14所示。
按照图15的求解过程得到柱顶的水平刚度和转动刚度：
柱脚刚接刚架柱计算可简化为底部支座条件为刚接，顶部为水平弹簧支座和转动弹簧支座形式，如图16所示。在荷载P作用下，刚架柱在其支座条件下发生变形。其中，以顺时针的转角为正，向右的平移为正，柱端的力矩和水平力以与位移同方向时为正，异向时为负。
同建立柱脚铰接刚架柱屈曲方程方法相同，取图17所示的隔离体，建立柱脚刚接刚架柱屈曲方程：
EI2y(4)+Py″＝0 (23)
式(23)为刚架柱轴心受压的四阶微分方程，令k2＝P/EI2，可得到微分方程的通解：
y＝C1sinkx+C2coskx+C3x+C4 (24)
y′＝C1kcoskx-C2ksinkx+C3 (25)
y″＝-C1k2sinkx-C2k2coskx (26)
由边界条件y(0)＝0和y′(0)＝0，得：
C2+C4＝0 (27)
C1k+C3＝0 (28)
由Q(l)＝-PC3＝-kB y(l)和M(l)＝-EI2y″(l)＝rB y′(l)可得：
kBC1sinkl+(kBl-P)C3＝0 (29)
(EI2k2sinkl-rBkcoskl)C1-rBC3＝0 (30)
C1、C3有非零解的条件是式(27)～式(30)中的系数行列式为零，即
行列式展开可得：
kBEI2k2sinkl-kBrBkcoskl+2kBrBk-kBrBkcoskl-kBlEI2k3coskl
-kBrBlk2sinkl+PEI2k3coskl+PrBk2sinkl＝0 (32)
同样，将公式(16)、(17)一起代入式(30)中，得得到铰接柱脚刚架有关柱子计算长度系数的超越方程：
确定刚架的截面大小和刚架尺寸时，可根据式(21)和式(22)计算确定弹簧刚度值，继而求得柱子的计算长度系数。
同样采用数值方法求得方程(33)的部分解，结果如图20所示。
将KB、RB从0至100的计算结果绘制成曲面，如图18所示。使用MATLAB对计算数据进行数值拟合，柱脚刚接刚架柱计算系数拟合公式为：
拟合公式(34)的确定系数为0.9775，标准差为0.04818，计算结果略大于超越方程计算结果，拟合公式计算足够精确，可以适用于实际工程计算取值。
求解大坡度刚架柱子的计算长度系数，若是铰接柱脚，可根据式(1)和式(2)计算确定弹簧刚度值；若是刚接柱脚，可根据式(19)和式(20)计算确定弹簧刚度值。再从表1或表2查的相应的柱子计算长度系数，或按照拟合公式(20)或(34)计算求得相应的柱子计算长度系数。
本发明的内容不限于实施例所列举，本领域普通技术人员通过阅读本发明说明书而对本发明技术方案采取的任何等效的变换，均为本发明的权利要求所涵盖。

Claims (3)

1.大坡度刚架柱顶支座刚度和刚架柱计算长度的计算方法，其特征在于：
由以下步骤实现：
步骤一：确定刚架柱顶支座条件，分别对水平弹簧支座和转动弹簧支座两种弹簧支座形式作出计算简图；
步骤二：进行超静定结构求解，计算柱顶水平弹簧支座和转动弹簧支座刚度；
步骤三：建立刚架柱屈曲微分方程，获得计算长度系数关于支座端的水平刚度与转动刚度两个参数的超越方程；
步骤四：对方程进行拟合求解，确定刚架柱计算长度系数μ关于水平弹簧支座和转动弹簧支座刚度的理论公式。
2.根据权利要求1所述的大坡度刚架柱顶支座刚度和刚架柱计算长度的计算方法，其特征在于：
步骤一中，在建立计算简图时，对于柱脚铰接的大坡度刚架结构形式柱子底部支座条件为铰接，顶部为水平弹簧支座和转动弹簧支座；对于柱脚刚接的大坡度刚架结构形式，柱子底部支座条件为刚接，顶部为水平弹簧支座和转动弹簧支座。
3.根据权利要求1所述的大坡度刚架柱顶支座刚度和刚架柱计算长度的计算方法，其特征在于：
步骤二中，对于柱脚铰接的大坡度刚架结构形式，水平及转动弹簧支座位移计算简图均为一次超静定结构；对于柱脚刚接的大坡度刚架结构形式，水平及转动弹簧支座位移计算简图均为二次超静定结构。
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