CN107302391A - 基于互质阵列的自适应波束成形方法 - Google Patents

基于互质阵列的自适应波束成形方法 Download PDF

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CN107302391A CN201710313243.4A CN201710313243A CN107302391A CN 107302391 A CN107302391 A CN 107302391A CN 201710313243 A CN201710313243 A CN 201710313243A CN 107302391 A CN107302391 A CN 107302391A
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史治国
周成伟
贺诗波
陈积明
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    • H04B—TRANSMISSION
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    • H04B7/04—Diversity systems; Multi-antenna system, i.e. transmission or reception using multiple antennas using two or more spaced independent antennas
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Abstract

本发明公开了一种基于互质阵列的自适应波束成形方法，主要解决现有技术无法充分利用互质阵列的性质和输出性能下降的问题，其实现步骤是：(1)基站端架构互质阵列；(2)将互质阵列分解为一对互质稀疏均匀线性子阵列，并进行信号建模；(3)利用分解的互质稀疏均匀线性子阵列接收信号进行波达方向估计；(4)基于一对互质稀疏均匀线性子阵列协方差矩阵联合优化的功率估计；(5)期望信号导引向量重建；(6)干扰加噪声协方差矩阵重建；(7)波束成形权重向量设计。本发明充分利用了互质阵列所包含的互质性质以实现精确的参数估计，并重建波束成形权重向量的重要参数，有效地提升了自适应波束成形器的输出性能，可用于信号的定向发送与接收。

Description

基于互质阵列的自适应波束成形方法
技术领域
本发明属于信号处理技术领域，尤其涉及对雷达信号、声学信号及电磁信号的波束成形，具体是一种基于互质阵列的自适应波束成形方法，可用于信号的定向发送与接收。
背景技术
波束成形是阵列信号处理领域中的一个重要分支。以接收端为例，波束成形通过天线技术和各类数字信号处理技术的结合，对多天线阵元接收到的各路信号进行权值累加，以增强期望信号的阵列增益并抑制干扰和噪声。自适应波束成形能够根据外部环境调整波束成形权重向量，以保证***的稳定性和鲁棒性，在雷达、声呐、语音和无线通信等领域均有着重要的应用价值。
自适应波束成形的研究在过去的几十年间得到了迅猛的发展，从最小方差无畸变响应(Minimum Variance Distortionless Response,MVDR)方法，到对角加载类方法、子空间类方法，以及基于最坏情况(Worse-case)优化方法，再到最近提出的基于协方差矩阵重建的方法，波束成形的输出性能得到了稳步的提升且逐步逼近最优值。尽管这些自适应波束成形方法并未限定具体的阵列结构，均匀阵列是最为常用的一种阵列结构；但是，均匀阵列的孔径受限于阵元的个数。由于波束成形的各项性能指标与阵列孔径息息相关，我们希望能够用较少的阵元实现更大的孔径，因此，基于非均匀稀疏阵列的相关研究陆续被提出。
互质阵列是互质采样技术在空间域上的一个典型表现形式，它提供了一个***化的稀疏阵列架构方案，具有结构简单、阵列孔径大、阵元间互耦效应小等优点。由于互质阵列在分辨率、自由度以及计算复杂度等方面表现出的突出性能，其在波达方向估计领域受到了广泛的研究和关注。相比之下，作为阵列信号处理领域另一个基本问题，采用互质阵列的自适应波束成形的研究相对较少。尽管传统适用于通用阵列结构的自适应波束成形方法能够直接应用到互质阵列中来，但是它们并未完全利用互质的性质，且互质阵列的非均匀性导致了输出性能的下降。因此，如何充分利用互质阵列的性质设计有效的自适应波束成形方法，以保证其输出性能的有效性与鲁棒性，对于实际中的应用有着重要的意义。
发明内容
本发明的目的在于针对现有自适应波束成形方法存在的无法充分利用互质阵列的性质和输出性能下降的问题，提出一种基于互质阵列的自适应波束成形方法。一方面，充分利用互质阵列的性质进行期望信号和各干扰信号的波达方向估计及功率估计，并降低整体***的硬件和计算复杂度；另一方面，基于期望信号导引向量和干扰加噪声协方差矩阵重建的思想设计一种专门用于互质阵列的自适应波束成形器，以避免信号自相消现象，从而提升波束成形器的输出性能。
本发明的目的是通过以下技术方案来实现的：一种基于互质阵列的自适应波束成形方法，该方法包含以下步骤：
(1)基站端使用M+N-1个物理天线阵元，按照互质阵列结构进行架构；其中M与N为互质整数；
(2)将互质阵列分解为一对互质稀疏均匀线性子阵列，并进行信号建模。将非均匀的互质阵列分解为一对互质稀疏均匀线性子阵列，其中第一个子阵列包含M个间距为Nd的物理天线阵元；第二个子阵列包含N个间距为Md的物理天线阵元；这里，单位间隔d为入射窄带信号波长λ的一半，即d＝λ/2。采用这一对互质稀疏均匀线性子阵列接收K+1个远场窄带非相干信号源的入射信号，分别得到M×1维和N×1维的接收信号xM(l)和xN(l)。假定K+1个信号源包含一个期望信号θs和K个干扰信号θ1,θ2,…,θK，xM(l)和xN(l)可分别建模为：
xM(l)＝dM(θs)s(l)+iM(l)+nM(l)，
xN(l)＝dN(θs)s(l)+iN(l)+nN(l)，
其中，s(l)为信号波形，iM(l)和iN(l)分别表示这一对子阵列接收到的干扰信号分量，nM(l)和nN(l)分别表示这一对子阵列接收信号的噪声分量，dM(θs)与dN(θs)为这一对子阵列所对应的期望信号导引向量，可表示为：
这里，[·]T表示转置操作。相应地，根据L个采样快拍，这一对互质稀疏均匀线性子阵列的采样协方差矩阵和可计算为：
其中，(·)H表示共轭转置；
(3)利用分解的互质稀疏均匀线性子阵列接收信号进行波达方向估计。引入多重信号子空间分类方法，分别对和进行统计信号处理，计算出这一对互质稀疏均匀线性子阵列所对应的空间功率谱：
其中，UM与UN分别为采样协方差矩阵和的噪声子空间，θ为假定的信号波达方向；分别寻找空间功率谱pM(θ)和pN(θ)中的峰值所对应的波达方向角度值，获得波达方向角度集合ΘM和ΘN。接着，将信号波达方向的范围划分成期望信号角度域Φ和干扰信号角度域即满足Φ与并集涵盖全部的波达方向范围，Φ与的交集为空集。期望信号的波达方向估计值可通过在期望信号角度域Φ中，寻找集合ΘM和ΘN内最接近的两个值求平均获得，即：
其中，与分别为集合ΘM和ΘN中的元素。期望信号的波达方向估计值可计算为：
类似地，干扰信号的波达方向估计值可通过在干扰信号角度域中寻找：
其中，ε为一个预定义的误差阈值。求解上式获得个满足条件的波达方向集合则干扰信号的波达方向估计值可通过将这个满足条件的波达方向集合分别求平均获得；
(4)基于一对互质稀疏均匀线性子阵列协方差矩阵联合优化的功率估计。将期望信号波达方向估计值以及个干扰信号的波达方向估计值作为先验信息，构建如下基于一对互质稀疏均匀线性子阵列协方差矩阵联合优化的功率估计问题：
这里，eU为协方差矩阵拟合误差， 为一个对角矩阵，包含期望信号的功率值以及个估计得到的干扰信号的功率值 为噪声功率的估计值，可通过取采样协方差矩阵和最小特征值的平均值得到，IM和IN分别表示维度为M×M和N×N的单位矩阵，‖·‖F表示Frobenius范数；Λ≥0保证了矩阵Λ的半正定性。求解上述优化问题获得包含期望信号功率估计值和各干扰信号功率估计值的对角矩阵
(5)期望信号导引向量重建。根据期望信号方向估计值以及互质阵列的结构，期望信号导引向量可重建为：
其中，u＝[u1,u2,…,uM+N-1]表示M+N-1个互质阵列物理天线阵元的位置，且u1＝0；
(6)干扰加噪声协方差矩阵重建。根据个干扰信号的波达方向估计值和功率估计值以及噪声功率估计值干扰加噪声协方差矩阵可重建为：
其中，IM+N-1为(M+N-1)×(M+N-1)维单位矩阵；
(7)波束成形权重向量设计。根据重建的期望信号导引向量和干扰加噪声协方差矩阵互质阵列自适应波束成形器的权重向量可设计为：
其中，[·]-1为求逆操作。权重向量w的维度为(M+N-1)×1，对应于互质阵列中M+N-1个物理天线阵元。相应地，波束成形器的输出波形为：
y(l)＝wHx(l)。
进一步地，步骤(1)所述的互质阵列由一对稀疏均匀线性子阵列组合而成，其中第一个子阵列包含M个天线阵元，阵元间距为Nd；第二个子阵列包含N个天线阵元，阵元间距为Md；将两个子阵列以首个天线阵元重叠的方式进行组合，得到包含M+N-1个物理天线阵元的互质阵列架构。
进一步地，步骤(4)所述的基于一对互质稀疏均匀线性子阵列协方差矩阵联合优化的功率估计问题可等价转化为一个最小二乘问题进行求解，即：
其中，
这里，0为全零矩阵，vec(·)为向量化操作。
本发明与现有技术相比具有以下优点：
(1)本发明采用互质阵列实现自适应波束成形，与均匀阵列相比减少了相同阵列孔径下所需的物理阵元个数，降低了计算复杂度；
(2)本发明充分利用了互质的性质进行波达方向和信号功率的估计，将互质阵列大阵列孔径的优势应用于参数估计，保证了估计的精确度；
(3)本发明将估计得到的波达方向信息和功率信息用于期望信号导引向量和干扰加噪声协方差矩阵的重建，进而设计基于互质阵列的权重向量，提升了自适应波束成形方法的输出性能和鲁棒性。
附图说明
图1是本发明的方法总体流程框图。
图2是本发明中组成互质阵列的一对稀疏均匀子阵列结构示意图。
图3是本发明中互质阵列的结构示意图。
图4是本发明所提方法估计的空间功率谱与Capon空间功率谱对比示意图。
图5是本发明所提方法与现有各自适应波束成形方法的输出信干噪比对比示意图，以输入信噪比为变量，信号随机方向误差的情况；
图6是本发明所提方法与现有各自适应波束成形方法的输出信干噪比对比示意图，以采样快拍数为变量，信号随机方向误差的情况；
具体实施方式
以下参照附图，对本发明的技术方案和效果作进一步的详细说明。
对于自适应波束成形在实际***中的应用，输出信干噪比是一个重要的性能衡量指标。基于期望信号导引向量和干扰加噪声协方差矩阵重建的自适应波束成形方法能够有效抑制信号的自相消现象，因而能够获得较为理想的输出性能效果。考虑到信号的波达方向和功率是重建这两个参量的重要信息，大的阵列孔径有利于提升参数估计的精确性；为了在不增加物理天线阵元个数的情况下提升波束成形器的输出性能，本发明提供了一种基于互质阵列的自适应波束成形方法，参照图1，本发明的实现步骤如下：
步骤一：在基站端使用M+N-1个物理天线阵元架构互质阵列；首先，选取一组互质整数M、N；然后，参照图2，构造一对稀疏均匀线性子阵列，其中第一个子阵列包含M个间距为Nd的物理天线阵元，其位置为0,Nd,…,(M-1)Nd；第二个子阵列包含N个间距为Md的天线阵元，其位置为0,Md,…,(N-1)Md；单位间隔d取为入射窄带信号波长λ的一半，即d＝λ/2；接着，参照图3，将两个子阵列以首个阵元重叠的形式进行阵列组合，获得实际包含M+N-1个物理天线阵元的非均匀互质阵列架构。
步骤二：将互质阵列分解为一对互质稀疏均匀线性子阵列，并进行信号建模。将互质阵列分解为一对互质稀疏均匀线性子阵列，并进行波达方向估计。将如图3所示的非均匀互质阵列分解为如图2所示的一对互质稀疏均匀线性子阵列。采用这一对互质稀疏均匀线性子阵列接收K+1个远场窄带非相干信号源的入射信号，分别得到M×1维和N×1维的接收信号xM(l)和xN(l)。假定K+1个信号源包含一个期望信号θs和K个干扰信号θ1,θ2,…,θK，xM(l)和xN(l)可分别建模为：
xM(l)＝dM(θs)S(l)+iM(l)+nM(l)，
xN(l)＝dN(θs)s(l)+iN(l)+nN(l)，
其中，s(l)为信号波形，iM(l)和iN(l)分别表示这一对子阵列接收到的干扰信号分量，nM(l)和nN(l)分别表示这一对子阵列接收信号的噪声分量，dM(θs)与dN(θs)为这一对子阵列所对应的期望信号导引向量，可表示为：
这里，[·]T表示转置操作。相应地，根据L个采样快拍，这一对互质稀疏均匀线性子阵列的采样协方差矩阵和可计算为：
其中，(·)H表示共轭转置。
步骤三：利用分解的互质稀疏均匀线性子阵列接收信号进行波达方向估计。利用和分别进行统计信号处理，并画出对应于各阵列的空间功率谱。以多重信号子空间分类方法为例，图2所示这一对互质稀疏均匀线性子阵列的空间功率谱为：
其中，UM与UN分别为采样协方差矩阵和的噪声子空间，θ为假定的信号波达方向，这里取-90°到90°；分别寻找空间功率谱pM(θ)和pN(θ)中的峰值所对应的波达方向角度值，获得波达方向角度集合ΘM和ΘN。需要说明的是，波达方向角度集合ΘM和ΘN中不仅包含实际信号的波达方向估计值，还包括因阵列中阵元稀疏放置所产生的虚峰所对应的波达方向估计值。但是，这一对互质稀疏均匀线性子阵列所拥有的互质性质能够将虚峰所对应的波达方向估计值有效抑制。估计期望信号和干扰信号波达方向的具体方法如下：将信号波达方向的范围[-90°，90°]划分成期望信号角度域Φ和干扰信号角度域即满足期望信号的波达方向估计值可通过在期望信号角度域范围Φ中，寻找集合ΘM和ΘN内最接近的两个值求平均获得，即：
其中，与分别为集合ΘM和ΘN中的元素。期望信号的波达方向估计值可计算为：
类似地，干扰信号的波达方向估计值可通过在干扰信号角度域范围中寻找：
其中，ε为一个预定义的误差阈值。求解上式获得个满足条件的波达方向集合则干扰信号的波达方向估计值可通过将这个满足条件的波达方向集合分别求平均获得。
步骤四：基于一对互质稀疏均匀线性子阵列协方差矩阵联合优化的功率估计。将步骤三估计所得的期望信号波达方向估计值以及个干扰信号的波达方向估计值作为先验信息，构建如下基于一对互质稀疏均匀线性子阵列协方差矩阵联合优化的功率估计问题：
这里， 为一个对角矩阵，包含期望信号的功率值以及个估计得到的干扰信号的功率值 为噪声功率的估计值，可通过取采样协方差矩阵和最小特征值的平均值得到，IM和IN分别表示维度为M×M和N×N的单位矩阵，eU为协方差矩阵拟合误差，‖·‖F表示Frobenius范数；Λ≥0保证了矩阵Λ的半正定性。上述优化问题可转化为一个最小二乘问题进行求解，即：
其中，
0为全零矩阵，vec(·)为向量化操作，[·]-1为求逆操作；
为包含期望信号功率估计值和各干扰信号功率估计值的对角矩阵。
步骤五：期望信号导引向量重建。根据期望信号方向估计值以及互质阵列的结构，期望信号导引向量可重建为：
其中，u＝[u1,u2,…,uM+N-1]表示M+N-1个互质阵列物理天线阵元的位置，且u1＝0。
步骤六：干扰加噪声协方差矩阵重建。根据个干扰信号的波达方向估计值和功率估计值以及噪声功率估计值干扰加噪声协方差矩阵可重建为：
其中，IM+N-1为(M+N-1)×(M+N-1)维单位矩阵。
步骤七：波束成形权重向量设计。根据重建的期望信号导引向量和干扰加噪声协方差矩阵互质阵列自适应波束成形器的权重向量可设计为：
权重向量w的维度为(M+N-1)×1，对应于互质阵列中M+N-1个物理天线阵元。相应地，波束成形器的输出波形为：
y(l)＝wHx(l)。
本发明一方面基于互质阵列的互质性质设计各信号源的波达方向估计和功率估计问题，充分利用了互质阵列大阵列孔径的优势，在一定的计算复杂度下提升了参数估计的精确度；另一方面，基于期望信号导引向量和干扰加噪声协方差矩阵重建的思想设计专用于互质阵列的波束成形权重向量，有效地抑制了信号的自相消现象，保证了波束成形器的输出性能。
下面结合仿真实例对本发明的效果做进一步的描述。
仿真条件：互质阵列的参数选取为M＝5，N＝6，即架构的互质阵列共包含M+N-1＝10个天线阵元。假定期望信号的波达方向为θs＝5°，两个干噪比为30dB的干扰信号的波达方向分别为-50°和-20°。空间功率谱上假定的来波方向范围为[-90°，90°]，采样间隔设置为0.1°，误差阈值ε设置为0.2°。
仿真实例1：本发明中估计所得的波达方向和功率值所对应的空间功率谱，与Capon方法分别采用互质阵列及10天线物理阵元均匀线性阵列所获得的空间功率谱对比示意图如图4所示。期望信号的信噪比为20dB，采样快拍数L＝30。可以看出，本发明所提方法能够有效地估计期望信号及各干扰信号的波达方向和功率值，且功率估计效果优于Capon方法。尽管存在两个额外估计的信号源，这是由于干扰源个数预先未知所造成的，但是它们的功率估计值极低，在干扰加噪声协方差矩阵重建的过程中仅占据极小的比例，因而对波束成形器输出性能的扰动可近乎忽略不计。
仿真实例2：本发明所提方法的输出信干噪比与现有自适应波束成形方法在信号随机方向误差情况下的性能对比如图5和图6所示，其中对比方法包括：采样协方差矩阵求逆方法、对角加载方法、基于子空间方法、基于最坏情况性能优化方法、协方差矩阵重建方法。假定期望信号和干扰信号均存在一个满足[-4°，4°]均匀分布的随机误差，即期望信号的波达方向在[1°，9°]范围内随机生成，两个干扰信号的波达方向分别在[-54°，-46°]及[-24°，-16°]范围内随机生成。期望信号的角度域范围为Φ＝[θs-5°，θs+5°]；相应地，干扰信号的角度域范围为与此同时，最优信干噪比也同时在仿真图中给出作为参考。对于每一组参数取值，蒙特卡罗试验的次数为1000次。图5为输出信干噪比与输入信噪比之间的性能对比示意图，采样快拍数L＝30。可以看出，本发明所提方法的输出信干噪比与最优值最为接近，且趋势与最优值保持一致。这是因为，一方面，本发明所提方法基于期望信号和干扰加噪声协方差矩阵的思想设计波束成形权重向量，有效地抑制了信号的自相消现象；另一方面，本发明所提方法充分利用了互质阵列大阵列孔径的优势，精确估计的信号波达方向和功率信息保证了重建得到的互质阵列波束成形权重向量的准确性。图6为输出信干噪比与采样快拍数之间的性能对比示意图，期望信号的信噪比为20dB。类似地，本发明所提方法的性能与最优值相接近，且收敛速度极快，在采样快拍个数有限的情况下也能够获得较为理想的输出性能。
综上所述，本发明主要解决了现有自适应波束成形技术无法充分利用互质阵列的互质特性以及输出性能下降的问题，一方面充分利用互质阵列的互质特性，基于一对互质均匀稀疏线性子阵列进行各信号源的波达方向和功率估计；另一方面，根据互质阵列上物理阵元的结构以及重建的期望信号导引向量和干扰加噪声协方差矩阵设计波束成形权重向量。仿真结果表明，本发明所提方法能够有效地抑制信号的自相消现象，保证输出性能的稳定性，有利于信号的高效发送与接收。

Claims (3)

1.一种基于互质阵列的自适应波束成形方法，其特征在于，包含以下步骤：
(1)基站端使用M+N-1个物理天线阵元，按照互质阵列结构进行架构；其中M与N为互质整数；
(2)将互质阵列分解为一对互质稀疏均匀线性子阵列，并进行信号建模。将非均匀的互质阵列分解为一对互质稀疏均匀线性子阵列，其中第一个子阵列包含M个间距为Nd的物理天线阵元；第二个子阵列包含N个间距为Md的物理天线阵元；这里，单位间隔d为入射窄带信号波长λ的一半，即d＝λ/2。采用这一对互质稀疏均匀线性子阵列接收K+1个远场窄带非相干信号源的入射信号，分别得到M×1维和N×1维的接收信号xM(l)和xN(l)。假定K+1个信号源包含一个期望信号θs和K个干扰信号θ1,θ2,…,θK，xM(l)和xN(l)可分别建模为：
xM(l)＝dM(θs)s(l)+iM(l)+nM(l)，
xN(l)＝dN(θs)s(l)+iN(l)+nN(l)，
其中，s(l)为信号波形，iM(l)和iN(l)分别表示这一对子阵列接收到的干扰信号分量，nM(l)和nN(l)分别表示这一对子阵列接收信号的噪声分量，dM(θs)与dN(θs)为这一对子阵列所对应的期望信号导引向量，可表示为：
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这里，[·]T表示转置操作。相应地，根据L个采样快拍，这一对互质稀疏均匀线性子阵列的采样协方差矩阵和可计算为：
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其中，(·)H表示共轭转置；
(3)利用分解的互质稀疏均匀线性子阵列接收信号进行波达方向估计。引入多重信号子空间分类方法，分别对和进行统计信号处理，计算出这一对互质稀疏均匀线性子阵列所对应的空间功率谱：
<mrow> <msub> <mi>p</mi> <mi>M</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msubsup> <mi>d</mi> <mi>M</mi> <mi>H</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>U</mi> <mi>M</mi> </msub> <msubsup> <mi>U</mi> <mi>M</mi> <mi>H</mi> </msubsup> <msub> <mi>d</mi> <mi>M</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>p</mi> <mi>N</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msubsup> <mi>d</mi> <mi>N</mi> <mi>H</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>U</mi> <mi>N</mi> </msub> <msubsup> <mi>U</mi> <mi>N</mi> <mi>H</mi> </msubsup> <msub> <mi>d</mi> <mi>N</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>
其中，UM与UN分别为采样协方差矩阵和的噪声子空间，θ为假定的信号波达方向；分别寻找空间功率谱pM(θ)和pN(θ)中的峰值所对应的波达方向角度值，获得波达方向角度集合ΘM和ΘN。接着，将信号波达方向的范围划分成期望信号角度域Φ和干扰信号角度域即满足Φ与并集涵盖全部的波达方向范围，Φ与的交集为空集。期望信号的波达方向估计值可通过在期望信号角度域Φ中，寻找集合ΘM和ΘN内最接近的两个值求平均获得，即：
<mrow> <munder> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>N</mi> <mi>j</mi> </msub> </msub> </mrow> </munder> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>N</mi> <mi>j</mi> </msub> </msub> <mo>|</mo> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>N</mi> <mi>j</mi> </msub> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>&amp;Phi;</mi> <mo>,</mo> </mrow>
其中，与分别为集合ΘM和ΘN中的元素。期望信号的波达方向估计值可计算为：
<mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>s</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>N</mi> <mi>j</mi> </msub> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>.</mo> </mrow>
类似地，干扰信号的波达方向估计值可通过在干扰信号角度域中寻找：
<mrow> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>N</mi> <mi>j</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>N</mi> <mi>j</mi> </msub> </msub> <mo>|</mo> <mo>&lt;</mo> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <msub> <mi>N</mi> <mi>j</mi> </msub> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mover> <mi>&amp;Phi;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>,</mo> </mrow>
其中，ε为一个预定义的误差阈值。求解上式获得个满足条件的波达方向集合则干扰信号的波达方向估计值可通过将这个满足条件的波达方向集合分别求平均获得；
(4)基于一对互质稀疏均匀线性子阵列协方差矩阵联合优化的功率估计。将期望信号波达方向估计值以及个干扰信号的波达方向估计值作为先验信息，构建如下基于一对互质稀疏均匀线性子阵列协方差矩阵联合优化的功率估计问题：
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <munder> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> <mi>&amp;Lambda;</mi> </munder> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>e</mi> <mi>U</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mover> <mi>R</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>M</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>D</mi> <mi>M</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>&amp;Lambda;D</mi> <mi>M</mi> <mi>H</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mover> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>I</mi> <mi>M</mi> </msub> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mover> <mi>R</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>N</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>D</mi> <mi>N</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>&amp;Lambda;D</mi> <mi>N</mi> <mi>H</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mover> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>I</mi> <mi>N</mi> </msub> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
subject to Λ≥0，
这里，eU为协方差矩阵拟合误差， 为一个对角矩阵，包含期望信号的功率值以及个估计得到的干扰信号的功率值 为噪声功率的估计值，可通过取采样协方差矩阵和最小特征值的平均值得到，IM和IN分别表示维度为M×M和N×N的单位矩阵，‖·‖F表示Frobenius范数；Λ≥0保证了矩阵Λ的半正定性。求解上述优化问题获得包含期望信号功率估计值和各干扰信号功率估计值的对角矩阵
(5)期望信号导引向量重建。根据期望信号方向估计值以及互质阵列的结构，期望信号导引向量可重建为：
<mrow> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>s</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>j&amp;pi;u</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>s</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>j&amp;pi;u</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mo>+</mo> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>s</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>,</mo> </mrow>
其中，u＝[u1,u2,…,uM+N-1]表示M+N-1个互质阵列物理天线阵元的位置，且u1＝0；
(6)干扰加噪声协方差矩阵重建。根据个干扰信号的波达方向估计值和功率估计值以及噪声功率估计值干扰加噪声协方差矩阵可重建为：
<mrow> <msub> <mover> <mi>R</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mover> <mi>K</mi> <mo>^</mo> </mover> </munderover> <msubsup> <mover> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>d</mi> <mi>H</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msubsup> <mover> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mo>+</mo> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mrow>
其中，IM+N-1为(M+N-1)×(M+N-1)维单位矩阵；
(7)波束成形权重向量设计。根据重建的期望信号导引向量和干扰加噪声协方差矩阵互质阵列自适应波束成形器的权重向量可设计为：
<mrow> <mi>w</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mover> <mi>R</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>s</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mi>H</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>s</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mover> <mi>R</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>s</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>
其中，[·]-1为求逆操作。权重向量w的维度为(M+N-1)×1，对应于互质阵列中M+N-1个物理天线阵元。相应地，波束成形器的输出波形为：
y(l)＝wHx(l)。
2.根据权利要求1所述的基于互质阵列的自适应波束成形方法，其特征在于：步骤(1)所述的互质阵列由一对稀疏均匀线性子阵列组合而成，其中第一个子阵列包含M个天线阵元，阵元间距为Nd；第二个子阵列包含N个天线阵元，阵元间距为Md；将两个子阵列以首个天线阵元重叠的方式进行组合，得到包含M+N-1个物理天线阵元的互质阵列架构。
3.根据权利要求1所述的基于互质阵列的自适应波束成形方法，其特征在于：步骤(4)所述的基于一对互质稀疏均匀线性子阵列协方差矩阵联合优化的功率估计问题可等价转化为一个最小二乘问题进行求解，即：
<mrow> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mi>a</mi> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>&amp;Lambda;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mi>B</mi> <mi>H</mi> </msup> <mi>B</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>B</mi> <mi>H</mi> </msup> <mi>r</mi> <mo>,</mo> </mrow>
其中，
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>B</mi> <mo>=</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>v</mi> <mi>e</mi> <mi>c</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mi>M</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>s</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>d</mi> <mi>M</mi> <mi>H</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>s</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mi>N</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>s</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>d</mi> <mi>N</mi> <mi>H</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>s</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mi>e</mi> <mi>c</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mi>M</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>d</mi> <mi>M</mi> <mi>H</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mi>N</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>d</mi> <mi>N</mi> <mi>H</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>v</mi> <mi>e</mi> <mi>c</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mi>M</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>d</mi> <mi>M</mi> <mi>H</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mi>N</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>d</mi> <mi>N</mi> <mi>H</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mi>e</mi> <mi>c</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mi>M</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mover> <mi>K</mi> <mo>^</mo> </mover> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>d</mi> <mi>M</mi> <mi>H</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mover> <mi>K</mi> <mo>^</mo> </mover> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mi>N</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mover> <mi>K</mi> <mo>^</mo> </mover> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>d</mi> <mi>N</mi> <mi>H</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mover> <mi>K</mi> <mo>^</mo> </mover> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
<mrow> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <mi>v</mi> <mi>e</mi> <mi>c</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>R</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>M</mi> </msub> <mo>-</mo> <msubsup> <mover> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>I</mi> <mi>M</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>R</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>N</mi> </msub> <mo>-</mo> <msubsup> <mover> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>I</mi> <mi>N</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>
这里，0为全零矩阵，vec(·)为向量化操作。
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