CN107252780A

CN107252780A - 一种三机驱动双质体亚共振自同步概率等厚筛及参数确定方法

Info

Publication number: CN107252780A
Application number: CN201710432990.XA
Authority: CN
Inventors: 张学良; 马辉; 徐金林; 张永华; 李晖; 赵春雨; 闻邦椿
Original assignee: Northeastern University China
Current assignee: Northeastern University China
Priority date: 2017-06-12
Filing date: 2017-06-12
Publication date: 2017-10-17
Anticipated expiration: 2037-06-12
Also published as: CN107252780B

Abstract

本发明公开了一种三机驱动双质体亚共振自同步概率等厚筛，主要用于工矿企业。本发明的双质体是新型结构，一个质体驱动另一个质体。形成了一个敏感的亚共振***，不因为装载量的变化而影响整体机械性能的发挥。与单质体***相比，双质体***用较小的功率就可以达到相同的功效。与传统的单级和双级相比增大了驱动的频率，使得筛分更彻底，进一步提升了工作效率。使三个不相同的耦合激振器具有相同的旋转方向，实现自同步驱动，达到了节能。概率等厚筛分理论的应用，实现了机体上物料的概率快速分层、防堵筛以及等厚高效筛分，提高了筛分效率和产量，并可实现筛分机械的大型化，采用三机自同步驱动增加了激振力在筛机上的均衡分布。

Description

一种三机驱动双质体亚共振自同步概率等厚筛及参数确定方法

技术领域

本发明属于现代振动筛分装置，涉及一种三机驱动双质体亚共振自同步概率等厚筛。

背景技术

在现代筛选机械技术领域内，振动筛是工矿企业普遍应用的筛分机械，用作物料的筛分、分级、洗涤、脱介、脱水之用。筛分技术的水平的高低和质量的优劣，关系到工艺效果的好坏生产效率的高低和能源的节省的程度，从而直接影响企业的经济效益。一般振动筛筛分效率低、筛分时间长，振动筛机构过于传统，不能实现设备的大型化，作为现在筛分机械的新理念，振动筛要求要与原有筛分机械在结构上有所创新，打破机体的整体化，和结构的统一化，其次，传统筛分效率低、物料筛分不彻底、能耗大、结构笨重，这些从较大的方面限制了传统筛的使用寿命。本发明在解决传统振动筛的缺点之余，应用三机自同步理论、亚共振的机构、概率等厚筛分方法的应用，使得振动筛的效率成倍的提高。

本发明属于振动筛分设备中一种新型结构和新技术的整体有机结合，原理和传统振动筛分机相，同采用的电动机驱动筛分物料，传统筛分机往往产生许多问题：

1.传统振动筛一般采用单机驱动或双机同步驱动所需的电动机功率大，进而能耗增加，电动机本身体积也大，对电动机的技术要求也提高。

2.传统振动筛通常采用单质体，在实现设备大型化有很大的难度，传给基础的动载荷较大，对振动筛本身的强度要求特别高。

3.传统振动筛一般采用齿轮传动强迫联系的激振器，虽然结构紧凑成本低，但是由于振动筛振动次数较高，振幅较大，对齿轮的加工精度和润滑要求特别高。随着对振动筛的要求不断的提高，使得振动筛的机构、性能各方面都有进一步的创新。

发明内容

针对目前传统振动筛，由于筛分效率低，筛分物料分离不彻底，和结构上过于陈旧，核心理论方法上不创新。本发明在传统的结构上打破了传统结构保守的结构模式，并应用新的同步理论和现代筛分技术来实现新的革新，结合三机自同步理论、亚共振机构、概率等厚筛分方法的应用，使得振动筛的效率成倍提高。

本发明是通过以下技术方案来实现的：

一种三机驱动双质体亚共振自同步概率等厚筛，包括偏心转子、交流电动机、挠性联轴器、主振弹簧、导向板、筛箱、三成筛板、减振弹簧、基座、支撑架，分为上质体和下质体：上质体有交流电动机驱动偏心转子组成激振器构成上质体，筛箱构成下质体；在基座上分别有四组减震弹簧组与箱体通过弹簧组相连接前后左右对称分布在筛箱两侧，筛箱中部两侧均有一伸出结构作为支撑面，与主振弹簧和导向板互成夹角与上质体连接，上质体有三个偏心转子和三个交流电动机通过挠性联轴器共同组成三个激振器组成筛箱，前部为进料端，后部为出料端，与进料端邻接处装有三层筛分的筛板，用于概率快速分层物料，电动机支撑架支撑三个驱动电动机，位于筛箱的一侧。它采用双质体亚共振设计理论，运动方式为两个质体相对运动；具有亚共振***设备的激振频率小于振动***的固有频率；当振动电动机所带动的偏心转子在上质体工作时，所产生的激振力使得上质体振动，激振力通过主振弹簧使得下质体振(箱体)振动；由偏向转子产生的激振力驱动上质体，上质体的振幅通过主振弹簧加以放大，从而产生下质体所要求的有效振幅，物料从进料端进入，均匀分散在筛板之上快速实现概率分层以防物料堆积，并通过振动而输送至单层筛网段并实现等厚高效筛分；下质体所产生的振动被减振弹簧有效隔离，从而保证大振动不能传播到地基，避免造成对周边环境的影响。

进一步地，主振弹簧与导向板弹簧夹角为90°，且主振弹簧与物料前进方向成45°，也即振动方向角为45°。

上述三机驱动双质体亚共振自同步概率等厚筛的参数确定方法，包括如下步骤：

步骤1，建立动力学模型和运动微分方程

振动***的动力学模型，其中主振动体由两个刚体和三对偏心转子组成；刚体A通过弹簧和导向板分别连接到基座和刚体B上，而三个偏心转子安装在刚体B上；另外，振动弹簧与x轴平行且和导向板垂直；三个偏心转子分别绕偏心转子旋转轴中心o₁，o₂和o₃旋转，并且旋转中心o₁,o₂,o₃共线；感应电动机驱动三个偏心转子以逆时针方向旋转；分别是三个偏心转子的旋转角；由于导向板的限制作用，可以假定整个***只有沿x方向的一个自由度，用x表示；

基于拉格朗日方程，振动***的运动微分方程得出如下。

M₁＝m₁；M₂＝m₂+m₀₁+m₀₂+m₀₃；M＝M₁+M₂J_oi＝m_0ir_i ²；r₁＝r₂＝r；m₀₁＝m₀₂＝m₀1、两个刚体在x方向的相对运动微分方程

假设三个偏心转子的质量:m₀₁＝η₁m₀；m₀₂＝η₂m₀；m₀₃＝η₃m₀(和η₁＝1)三个偏心转子的平均相位为其相位差为2α₁，2α₂，2α₂，且它们的关系如下

当三个偏心转子同步运行时，它们的同步角速度为然后，在稳态下其位移和角加速度的关系可以如下表示

偏心转子的角加速度在稳定状态下接近于零，即将公式(3)***到(1)的前两个公式中，且其中f_1x可以被忽略(相对于其他参数，f_1x非常小)。

在式(4)和(5)，k_1x<<k_2x，M'₂＝M₂。

在稳态下，有变换公式(4)和(5)：然后代入公式(2)，得出两个刚体m₁和m₂在x方向上的相对运动微分方程。

m是振动***的诱导质量。

根据公式(6)可以得到两个刚体的相对运动固有频率ω₀(也称为主振动***的固有频率)。

方程(6)的响应如下

对于具有小阻尼的振动机，在工程上有f_2x＝2ξ_2xmω₀。其中ξ_2x是等效的相对阻尼系数，且ξ_2x≤0.07。

根据式(8)，当z₀＝1(即ω_m0＝ω₀)，A₂₁的值达到最大。这表明ω₀是x方向上两个刚体之间的反相位运动的固有频率。

基于求解极值规则，具有反相位相对运动的响应幅值λ₂₁可以表示如下。

λ₂₁的值在工程中非常重要，其将在后面部分中详细讨论。

步骤2，推导同步性条件

考虑式(2)，通过传递函数方法求解(1)的前两个公式，得***稳态下的响应：

(1)三个偏心转子的同步判据

从式(1)的前两个公式中，可以得到x方向上的两个刚体的耦合矩阵和特征方程。

其中M'是惯性耦合矩阵，K'是刚度耦合矩阵，Δ(ω²)是特征值的特征方程。当Δ(ω²)＝0时，有

ω⁴M₁M₂-ω²M₁k₂-ω²M₂k₂-ω²M₂k₁+k₁k₂＝0 (12)

基于式(12)，可以求解两个刚体在x方向上的两个固有频率：

在工程中，隔振***的刚度k_1x远小于主振动***的刚度k_2x(即k_1x<<k_2x)。因此，忽略ω′_inv中的k_1x(即k_1x＝0)，我们有ω′_inv≈ω₀。这表明，ω′_inv是两个刚体在x方向上的反相位相对运动的固有频率。显然，ω′_sa则是两个刚体在x方向上同相位相对运动的固有频率。

当三个偏心转子同步运行时，它们的同步角速度对式(10)二次微分，然后将结果分别代入式(1)后面的三个公式中，并将它们在上积分。在重排之后，可以获得三个偏心转子的平衡微分方程。

其中为电动机i的输出电磁转矩。是标准偏心转子对的动能

在上述积分过程期间，与随时间t的的变化相比，2α₁和2α₂的变化小得多，其可以被看作为是慢变参数.因此，故2α₁和2α₂可以用它们的积分均值和代替。

电动机A和B之间以及电动机B和C之间的输出电磁转矩之差如下：

重新整理公式(15)

其中，τ_c12(α₁，α₂)，τ_c23(α₁，α₂)分别是电动机A和B，B和C的无量纲耦合力矩。其约束函数如下：

因此得到三个偏心转子的同步判据如下

方程(22)和(23)可以描述为：任意两个激振器之间的无量纲残余力矩之差的绝对值小于或等于其无量纲耦合力矩的最大值。

将式(14)中公式相加并重新排列，得到三个电动机的平均无量纲负载力矩。

其约束函数如下

定义ζ_i,j(i,j＝1，2，3)为偏心转子A和B，B和C，A和C之间的同步能力的系数，其表达式如下。

同步能力的系数ζ₁₂，ζ₂₃和ζ₃₁越大，振动***的同步能力越强，振动***更容易实现同步。

步骤3推导稳定性条件

振动***的动能(T)和势能(V)如下

单个周期内振动***的平均动能和势能可求得：

振动***单周期上的Hamilton平均作用量：

在同步状态下，***的稳定相位差解对应于Hamilton的平均作用量的最小值。即I的Hesse矩阵应该在稳定同步解的邻域内正定。

如果I的Hesse矩阵是正定的，则有

A>0，AC-B²>0 (33)

(1)考虑***阻尼的情况

将式(32)代入式(33)中，并重新排列，可以获得同步状态的稳定性判据。

其中H可以称为振动***的同步稳定性系数。

(2)忽略***阻尼的情况

通常，振动机的***阻尼小，因此可以忽略。在忽略***阻尼之后，式(34)可以表示如下。

(3)在一些工程机械振动中

在工程中，如振动输送机，考虑到机械结构和工程设计要求，三台电动机的参数相同，工作时其相位差接近零。此外，通常在设计过程中得到一系列***的固有频率，且有0<ω′_sa<ω₁<ω′_inv。因此，等式(36)可以大致简化如下。

方程(35)和方程(37)可以被认为是工程设计中稳定性判据的最简表达式。在这种条件下，当三个偏心转子工作在亚谐振状态或亚临近谐振状态时，它们的相位差稳定并接近零。

该新型振动筛采用了双质体亚共振结构、三机自同步理论，提高了设备的运转效率，降低了设备的高度、减少了维护量，适合于各种大型、超大型工业应用。

本发明的有益效果：

1)双质体是振动设备的一类新型结构，采用一个质体驱动另一个质体。激发质体通常有电动机驱动的偏心转子外壳和筛箱的一组弹簧构成，使用弹簧链接另一个质体，这样就形成了一个敏感的亚共振***，并不因为装载量的变化而影响整体机械性能的发挥。与单质体***相比，双质体***用较小的功率就可以达到相同的功效，双质体驱动***能够很好的降低电能消耗，在同样工作的条件下能节约50％～70％的电能。

2)三机驱动，改变传统驱动理论的思想，采用三机驱动应用了自同步理论。与传统的单级和双级驱动相比增大了驱动的频率，使得筛分更彻底，进一步提升了工作效率。振动***具有两个刚体，三个不相同的耦合激振器具有相同的旋转方向，实现自同步理论。

3)概率等厚筛分技术的应用，与传统的单层筛分所不同，不仅能够实现物料的分层，还能有利于物料筛分更彻底，使物料获得更精确地筛分。概率等厚筛分法综合了概率筛分法的单位面积产量大以及设备尺寸小的优点，同时克服了概率筛分法效率低和筛下产品中常含有粗颗粒的缺陷以及等候筛分法筛面长度较大的缺点。因此概率等候筛分法已经成为一种较为完善的筛分方法，具有单位面积产量大、筛分效率高、所需筛面长度较小的优点。

4)筛网，采用若干个小块拼接来代替传统的整体式筛网，筛面无螺栓连接，可以保证平缓的无障碍的筛分过程，筛网可以根据损坏程度进行局部更换，方便节约成本。

附图说明

图1为振动筛结构示意图主视图；

图2为振动筛结构示意图俯视图；

图3为振动筛结构示意图左视图；

图4为振动***动力学模型图；

图5为频率-振幅曲线图；

图6为不同η_i下τ_cijmax(ij＝1,2,3)随ω_m0的变化图；

图7为不同η_i下CGDSs随ω的变化图：(a)η₁＝η₂＝η₃＝1下曲线；(b)η₁＝η₂＝1，η₃＝0.6下曲线；(c)η₁＝1η₂＝0.8，η₃＝0.6下曲线；

图8为不同η_i下偏心转子间的相位差随ω的变化图：(a)η₁＝η₂＝η₃＝1；(b)η₁＝η₂＝1，η₃＝0.6；(c)η₁＝1，η₂＝0.8，η₃＝0.6；

图9为不同η_i下振动***的同步稳定性系数随ω的变化图：(a)η₁＝η₂＝η₃＝1；(b)η₁＝η₂＝1，η₃＝0.6；(c)η₁＝1，η₂＝0.8，η₃＝0.6；

图10为两个刚体的相位滞后角随ω的变化图；

图11为η₁＝η₂＝η₃＝1时在亚共振状态下(z₀≈0.24)的仿真结果图：(a)三个电动机的旋转速度；(b)偏心转子A和B之间的相位差、(c)偏心转子B和C之间的相位差；(d)偏心转子A和C之间的相位差；(e)刚体A在x方向上的位移；(f)刚体B在x方向上的位移；(g)刚体A和B在x方向上的相对位移；

图12为η₁＝1，η₂＝0.8，η₃＝0.6时亚谐振状态下(z₀≈0.24)的仿真结果图：(a)偏心转子A和B之间的相位差；(b)偏心转子B和C之间的相位差；(c)偏心转子A和C之间的相位差；(d)刚体A和B在x方向上的相对位移；

图13为η₁＝η₂＝η₃＝1时亚共振状态下(z₀≈0.63)的仿真结果图：(a)三个电动机的转速；(b)偏心转子A和B之间的相位差；(c)偏心转子B和C之间的相位差；(d)偏心转子A和C之间的相位差；(e)刚体A在x方向上的位移；(f)刚体B在x方向上的位移；(g)刚体A和B在x方向上的相对位移；

图14为η₁＝1，η₂＝0.8，η₃＝0.6时亚共振状态下(z₀≈0.63)的仿真结果图：(a)偏心转子A和B之间的相位差；(b)偏心转子B和C之间的相位差；(c)偏心转子A和C之间的相位差；(d)刚体A和B在x方向上的相对位移；

图15为η₁＝η₂＝η₃＝1时超共振状态下(z₀≈1.26)的仿真结果图：(a)三个电动机的转速；(b)偏心转子A和B之间的相位差；(c)偏心转子B和C之间的相位差；(d)偏心转子A和C之间的相位差；(e)刚体A在x方向上的位移；(f)刚体B在x方向上的位移；(g)刚体A和B在x方向上的相对位移；

图16为η₁＝1，η₂＝0.8，η₃＝0.6时超共振状态下(z₀≈1.26)的仿真结果图：(a)偏心转子A和B之间的相位差；(b)偏心转子B和C之间的相位差；(c)偏心转子A和C之间的相位差；(d)刚体A和B在x方向上的相对位移；

图中：1筛板；2进料口；3偏心转子；4激振器；5主振弹簧；6导向板；9减振弹簧；10支撑面；11隔板；12挠性联轴器；13电动机。

具体实施方式

如图4振动***的动力学模型，其中主振动体由两个刚体和三个偏心转子组成。刚体A通过弹簧和导向板分别与基座和刚体B连接，且三个偏心转子安装在刚体B上。另外，振动弹簧与x轴平行且和导向板垂直。三个偏心转子分别绕偏心旋转轴中心o₁，o₂和o₃旋转，并且旋转中心o₁，o₂，o₃共线。感应电动机驱动三个偏心转子一起逆时针旋转。在文中，分别是三个偏心转子的旋转角。由于导向板的限制作用，可以假定整个***只有沿x方向的一个自由度，用x表示。

给出了一些数值分析以验证理论结果。在分析过程中，研究了***的特点，振动***的参数为：k_1x＝100kN/m，k_2x＝8000kN/m，m₁＝1500kG，m₂＝10kG，m₀＝10kG，r＝0.15m，ξ_2x＝0.02，ξ_1x＝0.07。根据参数，ω₀和ω₁的值易得，ω₀≈134rad/s，ω₁≈74rad/s。另外，三个电动机的类型是相同的(三相鼠笼，50Hz，380V，6极，0.75kW，额定速度980r/min)，并且电动机的参数：转子电阻R_r＝3.40Ω，定子电阻R_s＝3.35Ω，互感L_m＝164mH，转子电感L_r＝170mH，定子电感L_s＝170mH，f₁＝f₂＝f₃＝0.05。

1)稳态下的幅频特性

基于式(8)～(9)，频率-振幅曲线如图5所示。从图5中可以清楚地看出，三条曲线的趋势是相同的，曲线都可以分为三部分，它们分别表示两个刚体的三种运动状态：(i)当偏心转子运动频率满足ω<ω₁，刚体A与刚体B之间的相对位移的幅度为零；(ii)当偏心转子运动频率满足ω₁<ω<ω₀的条件时，刚体B的刚体A之间相对位移的振幅随着外激频率的增加而增加；(iii)当偏心转子运动频率满足ω>ω₀，两个刚体的运动关系与在ω<ω₁的条件下相同，它们是相对静态的。在工程中，一般状态(ii)满足工作要求。

2)动态特性的讨论

在上述分析中，定义了***的同步能力系数ζ_ij(ij＝12,23,13)，ζ_ij是τ_cijmax和τ_amax之间的比值，其中τ_cijmax是三个偏心转子的无量纲耦合力矩的最大值，τ_amax是三个电动机平均无量纲负载力矩。通常,ζ_ij也称为广义动态对称系数(CGDS),它取决于振动***的参数。在分析过程中，CGDS越好，振动***的同步能力越强。

根据式(18)～(24)可以得到如图4所示的CGDS曲线。图6所示的曲线描述了对于不同的η_i(i＝1，2，3)，τ_cijmax随着激励频率ω的变化。在图6中，可以清楚地发现，当ω接近ω₁或ω₀时，CGDS将突然减小。τ_cijmax的这种变化可以表明当激励频率ω等于ω₁或ω₀时，三个任意偏心转子对的无量纲耦合力矩最大值达到最小。此外，从图7中还可以清楚地看到，当ω接近ω₁或ω₀时同步能力最弱。分析可知，ω₁和ω₀分别是振动***的两个固有频率，当ω等于ω₁或ω₀时，***实现共振，同步能力弱。从图7中的CGDS的变化，容易发现振动***打的广义动态对称性：(a)当η₁＝η₂＝η₃＝1时，三个偏心转子的质量相同，我们可以认为三个偏心转子是对称的，并且同步能力相同，(b)当η₁＝η₂＝1>η₃＝0.6时，偏心转子A和B的质量是相同的，换句话说，偏心转子A和B是对称的，因此CGDS满足(c)当η₁＝1>η₂＝0.8>η₃＝0.6时，三个偏心转子彼此不同，并且CGDS满足

3)同步状态下的稳定相位差的讨论

在振动***同步状态的分析过程中，稳定相位差的研究是必不可少的。当振动***稳定运行时，三个电动机的输出电磁转矩分别相等。换句话说，在振动***满足同步判据和稳定性判据的条件下，三个电动机的输出电磁转矩的差值为零(即ΔT₀₁₂＝ΔT₀₂₃＝0)。基于此，考虑公式(15)，通过改变外激频率ω的值，可以得到稳定的相位差的值，振动***稳定相位差与外激频率之间的关系曲线如图5所示。

在图8中，随着ω的增加，稳定相位差值可以分为两组，I和II，然而，可以清楚地看到，I和II的结果是相反的，考虑到动力学模型的对称性，其可被看作为是一组稳定相位差。从图8(a)，(b)，(c)可以看出，偏心转子的稳定相位差值可以分为三个区域：

(i)z₀<z₁<1(即ω<ω₁<ω₀)。在该情况下，考虑到当ω非常小时(通常，ω≤25rad/s)振动***不稳定，因此该区域可以忽略。在ω>25rad/s的情况下，根据图8所示，当η₁＝η₂＝η₃＝1时，三个偏心转子相同，稳定相位差值满足当η₁＝η₂＝1和η₃＝0.6时，偏心转子A和B是相同且对称的，偏心转子1与3，2与3之间的稳定相位差相等·，并且稳定相位差值满足根据结果，可以得知当三个偏心转子对不同时，在η₁＝1,η₂＝0.8和η₃＝0.6的情况下有基于不同η_i(i＝1,2,3)下的稳定相位差值，可以发现三个偏心转子实现了力的平衡。根据结果，可以得出，在这种情况下，两个刚体随着时间的推移而趋于静止。

(ii)z₀<1<z₁(即ω₁<ω<ω₀)。在工程中，可以在该区域中选择工作点。如图8所示，不同η_i下的稳定相位差值在零附近，并且具有广义动态对称性。在η₁＝η₂＝η₃＝1的条件下，三个偏心转子是对称的，稳定相位差值都为零，而在η₁＝η₂＝1和η₃＝0.6的条件下，偏心转子A和B是对称的，当三个偏心转子对不同时，稳定相位差值随着ω变化不在恒为零。

(iii)1<z₀<z₁(即ω₁<ω₀<ω)。该情况下振动***的运动状态与z₀<z₁<1时的运动状态相同。

4)同步状态稳定性的讨论

根据理论分析，三个电动机以ω_m0的速度(ω_m0等于外激频率ω)实现同步稳定运转，对于不同的ω，***的同步稳定性是不一样的。基于式(34)和式(35)，定义了H为振动***的同步稳定性系数，H随外激频率的变化趋势如图9所示。从图9中可以看出，对于不同的η_i，***的同步稳定能力系数近似相等。图中可以清楚地看到，曲线在点ω₀上突变，而在ω₁的点上变化缓慢。另外，在z₀<z₁<1的情况下，H的值小于零并且接近于零，这表示此时振动***的同步稳定性非常弱。

5)稳态的相位滞后角的讨论

为了分析刚体A和B之间的运动关系，将讨论两个刚体相对于偏心转子的相位滞后角。根据式(10)，η_i对相位滞后角的影响非常小，忽略η_i的影响，在η₁＝η₂＝η₃＝1时，相位滞后角γ_xi(i＝1，2)和外激频率ω的关系曲线如图10所示。从图10可以看出，γ_x2-γ_x1的曲线可以分为两组：(1)当γ_xi(i＝1，2)时，有γ_x2-γ_x1≈360°，两个刚体在这种情况下以同相位运行；(2)当ω>ω₁，有γ_x2-γ_x1≈180°，此时两个刚体以反相位运行。

仿真模拟实验

为了进一步分析数值结果，通过Runge-Kutta法得到三组仿真结果。振动***和电动机的参数在上面部分已列出。在本节中，为了获得当ω位于不同区域时***的运动状态，频率比z₀和z₁可以通过改变弹簧刚度k_2x而得到。同时，在每组中给出两个仿真结果以进行比较。

1)z₀<z₁<1

图11和图12分别展示了在三个偏心转子相同或不同的条件下***的响应。从图11(a)可以看出，同步旋转速度约为983r/min，并且满足弹簧刚度k_2x＝80000kN/m，则频率比z₀≈0.24，z₁≈0.45。通过改变偏心转子的质量比η_i(i＝1，2，3)，另一组仿真结果也可以得到，如图12。此外，在两组仿真的过程中，电动机2在25s时受到π/3的干扰。

从图11和图12可以清楚地看到稳定相位差值满足：η₁＝η₂＝η₃＝1时2α₁＝2α₂＝120°；η₁＝1，η₂＝0.8，η₃＝0.6时有2α₁≈143.2°，2α₂≈88.7°。此外，刚体的位移接近于零，换句话说，两个刚体静止。在图11中，16s之后，偏心转子对以稳定的相位差旋转。在25s时，π/3的扰动被加到电动机2上，三个偏心转子之间的相位差在短时间内出现波动，并且2α₁，2α₂随时间的推移恢复到120°。此外，在图12中，相位差的变化规律与图11中的相同，两个刚体之间的相对位移在25s时出现短时间的增加，后随着时间的推移趋于零。在图11中，还可以注意到，在大约16s之前，运动的状态是不稳定的，因此这段时间可以被称为过渡区。此外，对比数值结果，可以发现仿真结果的稳定相位差值对应于图7(a)，(c)中的和而两个刚体相对运动振幅对应于图5中的点A，与数值结果相比，仿真结果有微小的差异。作者认为，导致这种现象的因素是***的阻尼。

2)z₀<1<z₁

在仿真过程中，为了获得相同的频率比，两个仿真的弹簧刚度k_2x取值不同，η₁＝η₂＝η₃＝1时k_2x＝5000kN/m，η₁＝1，η₂＝0.8，η₃＝0.6时k_2x＝8000kN/m。根据***参数和仿真结果，求得频率比：z₀≈0.63，z₁≈1.15。图13和图14分别显示了η₁＝η₂＝η₃＝1和η₁＝1,η₂＝0.8，η₃＝0.6时的仿真结果。和上一组仿真一样，电动机2在15秒时受到π/3的扰动。

如图13和图14所示，稳定相位差值满足：η₁＝η₂＝η₃＝1时2α₁＝2α₂＝0°；η₁＝1，η₂＝0.8，η₃＝0.6时有2α₁≈-5.8°，2α₂≈-10.5°。在η₁＝η₂＝η₃＝1的情况下，刚体A的振幅为约7mm，刚体B的振幅为约14mm，同时两个刚体相对位移的振幅约为21mm。此外，当η₁＝1，η₂＝0.8，η₃＝0.6时，两个刚体的相对位移的振幅接近15.9mm。

对比图7(a)，(b)，仿真结果的稳定相位差值对应于图7(a)，(c)中的和两个刚体之间的相对位移的振幅分别对应于图5中的B和D点。将数值结果与仿真结果进行比较，可以发现稳定相位差的仿真结果差异较大。针对这种现象，作者认为，由于阻尼的影响，***的负载增加，为了平衡***的负载，感应电动机将通过增加稳定相位差来产生足够的耦合转矩。

3)1<z₀<z₁

改变弹簧刚度k_2x＝3000kN/m，在15s时给电动机加π/3的扰动上，此后，在不同质量比下的仿真结果如图15和图16所示。相比于z₀<z₁<1时的仿真结果，当振动***以稳定相位差运行时，两种状态下的稳定相位差和位移是相同的。另外，此时仿真得出的稳定相位差值对应于图11(a)，(c)中的和两个刚体之间的相对位移的振幅对应于图5中的点E。基于力学分析，在z₀<z₁<1和1<z₀<z₁的状态下，三个偏心转子对实现了力的平衡。

总结

基于以上的数值分析和计算机仿真，得出以下几点：

通过数值分析，获得振动***的同步判据和同步状态下的稳定性判据，并定义了同步能力系数和稳定性能力系数。根据同步能力系数和稳定性能力系数曲线，振动***的同步能力和同步状态下的稳定性能力在共振点ω₁和ω₀处最弱。通过比较外激频率和两个固有频率的值，振动***的运动状态可以分为三个区域：(i)亚共振状态(即ω<ω₁)；(ii)近亚共振状态(即ω₁<ω<ω₀)；(iii)超共振状态(即ω>ω₀)。

根据数值分析和计算机仿真结果，当***稳定运行时，刚体在亚共振和超共振下的运动状态是类似的，并且此时三个偏心转子实现力的平衡，因此两个刚体是静止的。在近亚共振状态下，刚体的运动类型为直线往复运动，稳定相位差区域为(-π/2,π/2)，两个刚体以反相位运行。

实际工程上，在设计振动机的过程中，为了使振动机正常工作并执行其功能，工作点只能选择在近亚共振状态下。通常，当偏心转子相同时，振动机工作效率是最好的。

Claims

1.一种三机驱动双质体亚共振自同步概率等厚筛，其特征在于，包括偏心转子、交流电动机、挠性联轴器、主振弹簧、导向板、筛箱、三成筛板、减振弹簧、基座、支撑架，分为上质体和下质体：上质体有交流电动机驱动偏心转子组成激振器构成上质体，筛箱构成下质体；在基座上分别有四组减震弹簧组与箱体通过弹簧组相连接前后左右对称分布在筛箱两侧，筛箱中部两侧均有一伸出结构作为支撑面，与主振弹簧和导向板互成夹角与上质体连接，上质体有三个偏心转子和三个交流电动机通过挠性联轴器共同组成三个激振器组成筛箱，前部为进料端，后部为出料端，与进料端邻接处装有三层筛分的筛板，电动机支撑架支撑三个驱动电动机，位于筛箱的一侧。

2.根据权利要求1所述的一种三机驱动双质体亚共自同步振概率等厚筛，其特征在于，主振弹簧与导向板弹簧夹角为90°，且主振弹簧与物料前进方向成45°。

3.权利要求1或2所述的一种三机驱动双质体亚共自同步振概率等厚筛的参数确定方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1，建立动力学模型和运动微分方程

振动***的动力学模型，其中主振动体由两个刚体和三对偏心转子组成；刚体A通过弹簧和导向板分别连接到基座和刚体B上，而三个偏心转子安装在刚体B上；另外，振动弹簧与x轴平行且和导向板垂直；三个偏心转子分别绕偏心转子旋转轴中心o₁，o₂和o₃旋转，并且旋转中心o₁,o₂,o₃共线；感应电动机驱动三个偏心转子以逆时针方向旋转；分别是三个偏心转子的旋转角；由于导向板的限制作用，整个***只有沿x方向的一个自由度，用x表示；

1)基于拉格朗日方程，振动***的运动微分方程推导如下；

<mrow> <msub> <mi>M</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow>

M₁＝m₁；M₂＝m₂+m₀₁+m₀₂+m₀₃；M＝M₁+M₂J_oi＝m_0ir_i ²；r₁＝r₂＝r；m₀₁＝m₀₂＝m₀

2)两个刚体在x方向的相对运动微分方程

假设三个偏心转子的质量:m₀₁＝η₁m₀；m₀₂＝η₂m₀；m₀₃＝η₃m₀(和η₁＝1)；

三个偏心转子的平均相位为其相位差为2α₁，2α₂，2α₂，它们的关系如下

当三个偏心转子同步运行时，它们的同步角速度为然后，在稳态下，其位移和角加速度的关系可表示如下

<mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其角加速度在稳定状态下接近于零，即将式(3)代入到(1)的前两个公式中，且忽略f_1x(相对于其他参数，f_1x非常小)；

<mrow> <msubsup> <mi>M</mi> <mn>1</mn> <mo>&prime;</mo> </msubsup> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

在式(4)和(5)中，k_1x<<k_2x，M'₂＝M₂；

在稳态下有变换公式(4)和(5)：并代入公式(2)，得到两个刚体m₁,m₂在x方向上的相对运动微分方程；

x₂₁＝x₂-x₁

m是振动***的诱导质量；

根据式(6)可得到两个刚体的相对运动的固有频率ω₀；

<mrow> <msub> <mi>&omega;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>=</mo> <msqrt> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mi>m</mi> </mfrac> </msqrt> <mo>=</mo> <msqrt> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>M</mi> <mn>1</mn> <mo>&prime;</mo> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>M</mi> <mn>2</mn> <mo>&prime;</mo> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msubsup> <mi>M</mi> <mn>1</mn> <mo>&prime;</mo> </msubsup> <msubsup> <mi>M</mi> <mn>2</mn> <mo>&prime;</mo> </msubsup> </mrow> </mfrac> </msqrt> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

且方程(6)的响应如下

<mrow> <msub> <mi>A</mi> <mn>21</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>0</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mi>r</mi> </mrow> <msqrt> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>0</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&xi;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> </mfrac> <mo>,</mo> <msub> <mi>&gamma;</mi> <mn>21</mn> </msub> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>c</mi> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>&xi;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>0</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>&omega;</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> <mo>,</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </msub> <msubsup> <mi>M</mi> <mn>2</mn> <mo>&prime;</mo> </msubsup> </mfrac> <mo>&ap;</mo> <mfrac> <msub> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> </mrow>

有f_2x＝2ξ_2xmω₀；其中ξ_2x是等效的相对阻尼系数，且ξ_2x≤0.07；根据式(8)，当z₀＝1时(即ω_m0＝ω₀)，A₂₁的值达到最大；表明ω₀是x方向上两个刚体之间的反相位运动的固有频率；

基于求解极值的规则，具有反相位相对运动的响应的幅值λ₂₁表示如下；

<mrow> <msub> <mi>&lambda;</mi> <mn>21</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>21</mn> </msub> <msqrt> <mrow> <msubsup> <mi>&eta;</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&eta;</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&eta;</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mn>2</mn> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mn>2</mn> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msqrt> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

步骤2，推导同步性条件

考虑式(2)，通过使用传递函数方法求解(1)的前两个公式

<mrow> <msub> <mi>&gamma;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>c</mi> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&pi;</mi> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>c</mi> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo><</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>arctan</mi> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&pi;</mi> <mo>+</mo> <mi>arctan</mi> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo><</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>r</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>M</mi> </mfrac> <mo>,</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>M</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>M</mi> </mfrac> <mo>,</mo> <msub> <mi>&omega;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msqrt> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msub> <mi>M</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> </msqrt> <mo>,</mo> <msub> <mi>&omega;</mi> <mi>g</mi> </msub> <mo>=</mo> <msqrt> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mi>M</mi> </mfrac> </msqrt> <mo>,</mo> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>&omega;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <mo>,</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>&omega;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> <mo>,</mo> <msub> <mi>z</mi> <mi>g</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>&omega;</mi> <mi>g</mi> </msub> </mfrac> <mo>,</mo> <msub> <mi>&xi;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mn>2</mn> <msqrt> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mi>M</mi> </mrow> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <msub> <mi>&xi;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mn>2</mn> <msqrt> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mi>m</mi> </mrow> </msqrt> </mrow> </mfrac> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>M</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> <mn>4</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>M</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>M</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> <mn>3</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>g</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>M</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>g</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow>

三个偏心转子的同步性判据

根据式(1)的前两个公式，得到x方向上的两个刚体的耦合矩阵和特征方程；

<mrow> <msup> <mi>M</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>=</mo> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>M</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <msup> <mi>K</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>=</mo> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>

<mrow> <mi>&Delta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>&omega;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "|" close = "|"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>M</mi> <mn>1</mn> </msub> <msup> <mi>&omega;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>M</mi> <mn>1</mn> </msub> <msup> <mi>&omega;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中M'是惯性耦合矩阵，K'是刚度耦合矩阵，Δ(ω²)是特征值的特征方程；当Δ(ω²)＝0时，有

ω⁴M₁M₂-ω²M₁k₂-ω²M₂k₂-ω²M₂k₁+k₁k₂＝0

(12)

基于方程(12)，求解两个刚体在x方向上的两个固有频率：

<mrow> <msubsup> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mo>&prime;</mo> </msubsup> <mo>=</mo> <msqrt> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>M</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>M</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>M</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msqrt> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>M</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mfrac> </msqrt> </mrow>

<mrow> <msubsup> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>a</mi> </mrow> <mo>&prime;</mo> </msubsup> <mo>=</mo> <msqrt> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>M</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>M</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>M</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msqrt> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>M</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mfrac> </msqrt> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

当三个偏心转子同步运行时，它们的同步角速度，为对式(10)二次微分，然后将结果分别代入到式(1)后面的三个公式中，并将它们在积分；在重排之后，获得三个偏心转子的平衡微分方程；

<mrow> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mn>01</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>01</mn> </msub> <msub> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>T</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>L</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mn>02</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>02</mn> </msub> <msub> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>T</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mn>03</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>03</mn> </msub> <msub> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>T</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>L</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中为电动机i的输出电磁力矩；是标准偏心转子的动能

<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>T</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>L</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>u</mi> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&lsqb;</mo> <msubsup> <mi>&eta;</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>sin&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>sin&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>sin&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>cos&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>cos&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>T</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>u</mi> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&lsqb;</mo> <msubsup> <mi>&eta;</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>sin&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>sin&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>sin&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>cos&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>cos&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>T</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>L</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>u</mi> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&lsqb;</mo> <msub> <mi>sin&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>sin&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>sin&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>cos&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>cos&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

<mrow> <msub> <mi>F</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </msub> <msubsup> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <msqrt> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>c</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>d</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mrow> <msubsup> <mi>a</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>b</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> </msqrt> <mo>=</mo> <msqrt> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>r</mi> <mi>m</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&xi;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&xi;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msubsup> <mi>z</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msubsup> <mi>z</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>a</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&xi;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&xi;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>4</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&xi;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&xi;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </msqrt> <mo>,</mo> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </msub> <msubsup> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <msqrt> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>g</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>f</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mrow> <msubsup> <mi>a</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>b</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> </msqrt> <mo>=</mo> <msqrt> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&xi;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&xi;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msubsup> <mi>z</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msubsup> <mi>z</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>a</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&xi;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&xi;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>4</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&xi;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&xi;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </msqrt> <mo>,</mo> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>v</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mo>&prime;</mo> </msubsup> </mfrac> <mo>,</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>a</mi> </mrow> <mo>&prime;</mo> </msubsup> </mfrac> <mo>,</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&xi;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&xi;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>0</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>&xi;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>0</mn> <mn>4</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>f</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&xi;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&xi;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>8</mn> <msub> <mi>&xi;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>&xi;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>0</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>z</mi> <mi>g</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>&lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>&xi;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>&xi;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msub> <mi>z</mi> <mi>g</mi> </msub> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msubsup> <mi>z</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msubsup> <mi>z</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>a</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> <mo>,</mo> </mrow> 5

在上述积分过程期间，与随时间t的变化相比，2α₁和2α₂的变化小得多，其被看作为慢变参数，故2α₁和2α₂用它们的积分均值和代替；

电动机A和B之间以及电动机B和C之间的输出电磁力矩之差如下：

<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&Delta;T</mi> <mn>012</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>T</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>L</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>T</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>u</mi> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&eta;</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&eta;</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>sin&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>sin&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>sin&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>cos&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>cos&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>cos&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&Delta;T</mi> <mn>023</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>T</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>T</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>L</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>u</mi> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&eta;</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&eta;</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>sin&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>sin&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>sin&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>cos&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>cos&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>cos&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

重新整理公式(15)，有

<mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&Delta;T</mi> <mn>012</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>T</mi> <mi>u</mi> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&eta;</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&eta;</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>sin&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&tau;</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mn>12</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&Delta;T</mi> <mn>023</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>T</mi> <mi>u</mi> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&eta;</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&eta;</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>sin&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&tau;</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mn>23</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&tau;</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mn>12</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>sin&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>sin&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>cos&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>cos&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>cos&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&tau;</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mn>23</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>sin&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>sin&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>cos&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>cos&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>cos&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，τ_c12(α₁，α₂)，τ_c23(α₁，α₂)分别是电动机A和B的无量纲耦合转矩，以及电动机B和C的无量纲耦合转矩；约束函数如下：

<mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>&tau;</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mn>12</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>&le;</mo> <msub> <mi>&tau;</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mn>12</mn> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>&tau;</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mn>23</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>&le;</mo> <msub> <mi>&tau;</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mn>23</mn> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow>

由此得到三个偏心转子的同步性判据；

<mrow> <mo>|</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&Delta;T</mi> <mn>012</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>T</mi> <mi>u</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&eta;</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&eta;</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>sin&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <mo>&le;</mo> <msub> <mi>&tau;</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mn>12</mn> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mo>|</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&Delta;T</mi> <mn>023</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>T</mi> <mi>u</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&eta;</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&eta;</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>sin&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <mo>&le;</mo> <msub> <mi>&tau;</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mn>23</mn> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

方程(22)和(23)可以被描述为：任意两个电动机之间的无量纲残余力矩之差的绝对值小于或等于其无量纲耦合力矩的最大值；

将式(14)相加，并重新排列，得到三个电动机的平均无量纲负载力矩；

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&tau;</mi> <mi>a</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>3</mn> <msub> <mi>T</mi> <mi>u</mi> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </munderover> <msub> <mover> <mi>T</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>L</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </mfrac> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&eta;</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mi>+</mi> <msubsup> <mi>&eta;</mi> <mi>2</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mi>+</mi> <msubsup> <mi>&eta;</mi> <mi>3</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>sin&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mi>2</mi> </msub> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>sin&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>sin&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>sin&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>24</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

约束函数如下

<mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>&tau;</mi> <mi>a</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>&le;</mo> <msub> <mi>&tau;</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>25</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

定义ζ_i,j(i,j＝1，2，3)为偏心转子A和B，B和C，A和C之间的同步能力的系数，其表达式如下；

步骤3推导稳定性条件

振动***的动能(T)和势能(V)如下

获得在单个周期中的动能和势能的平均值；

<mrow> <mi>q</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&eta;</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&eta;</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&eta;</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>30</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

单周期Hamilton平均动作量：

在同步状态下，***的稳定相位差解对应于Hamilton的平均作用量的最小值；即I的Hesse矩阵应该在稳定同步解的邻域内正定；

<mrow> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <mi>I</mi> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <msubsup> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mi>H</mi> <mo>&lsqb;</mo> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>10</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>20</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>10</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow>

<mrow> <mi>B</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <mi>I</mi> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>&part;</mo> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <msub> <mi>H&eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>10</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>20</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> 7

<mrow> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <mi>I</mi> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <msubsup> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mi>H</mi> <mo>&lsqb;</mo> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>10</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>20</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>20</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>32</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mi>H</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>M</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>F</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>F</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>&lsqb;</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>F</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>F</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>F</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&gamma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&gamma;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow>

如果I的Hesse矩阵是正定的，则有***的稳定性判据为：

A>0，AC-B²>0 (33)。