CN107181473A - 一种直接构造非均匀余弦调制线性相位滤波器组的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种直接构造非均匀余弦调制线性相位滤波器组的方法，通过将非均匀余弦调制线性相位滤波器组的设计问题归结为一个无约束优化问题，其目标函数综合考虑非均匀滤波器组传递失真与原型滤波器阻带能量，进而线性迭代求解原型滤波器，显著地降低了非均匀滤波器组的设计和计算复杂度。同时本发明所获得的非均匀滤波器组传递失真和混叠失真更小，整体性能更加优异。所以本发明为降低滤波器组设计和计算的复杂度，实现信号的准确重建提供了简单高效的解决方案。

Description

一种直接构造非均匀余弦调制线性相位滤波器组的方法

技术领域

本发明涉及滤波器组设计技术领域，具体涉及一种直接构造非均匀余弦调制线性相位滤波器组的方法。

背景技术

多速率滤波器组在通信***、数字图像处理和语音信号处理等领域取得了广泛的应用，尤其是非均匀余弦调制线性相位滤波器组。因其有以下优点：非均匀滤波器组允许对信号频谱进行任意的划分，线性相位FIR滤波器组保证了***是稳定的同时没有相位失真，最后余弦调制滤波器组具有较低的设计复杂度。因此，非均匀余弦调制线性相位滤波器组广泛应用在许多工程中。例如，采用非均匀余弦调制线性相位滤波器组实现的耳蜗滤波器组在助听器应用中扮演了重要的作用，其将语音信号通过不同的频率子带进行分解，使音频信号和非音频信号分离从而实现语音去噪，音频性能得以改善。

现有设计非均匀余弦调制滤波器组的方法主要有两类：

第一类是Li J L等人在《IEEE Transactions on Signal Processing》上发表的《A simple design method for near-perfect-reconstruction nonuniform filterbanks》中利用子带合并的间接设计方法。在这种方法中，非均匀余弦调制滤波器组中的每个子带滤波器都是由均匀余弦调制滤波器组中若干个相邻滤波器线性组合获得，因此其继承了均匀余弦调制滤波器组的许多良好性质，如大的阻带衰减、小的传递失真等。然而，上述设计方法存在自身的不足：首先非均匀余弦调制滤波器组的分析和综合滤波器不再是线性相位；接着其不能完全去除混叠，单条通道可能存在大块混叠的现象；最后所有子带滤波器长度是相同的，不符合宽带宽的滤波器应该有更短长度的原则。

针对第一类方法中的不足之处，Ho C Y F等人在《International Symposium onCommunication Systems Networks and Digital Signal Processing》上发表的《Optimalcosine modulated nonuniform linear phase FIR filter bank design viastretching and shifting frequency response of prototype filter》中提出了一种基于频域直接构造非均匀余弦调制滤波器组的第二类方法。在这种方法中，非均匀余弦调制滤波器组中的分析和综合滤波器是由单原型线性相位滤波器经过采样、延迟和伸缩之后进行余弦调制获得。该方法首先保证了非均匀余弦调制滤波器组的分析和综合滤波器都是线性相位，因为滤波器经采样、伸缩和频移并不改变其线性相位的性质。接着非均匀余弦调制滤波器组中的每个分析和综合滤波器正好拥有合适于它们带宽的不同长度，因为他们都是由原型滤波器频移而来，频域平移等价于时域采样。然而在该文献中，作者将非均匀余弦调制线性相位滤波器组的设计问题归结为一个非凸且多个不等式约束的带约束优化问题，然后在约束转录和凸松弛等条件下采用混合全局优化方法求解，存在优化约束因子多，设计和求解过程过于复杂的缺点。

发明内容

本发明所要解决的问题是针对现有非均匀余弦调制滤波器组的设计方法中将滤波器组的设计问题归结为一个非凸且多个不等式约束的带约束优化问题，存在设计和求解过程过于复杂的缺点，提供一种直接构造非均匀余弦调制线性相位滤波器组的方法。

为解决上述问题，本发明是通过以下技术方案实现的：

一种直接构造非均匀余弦调制线性相位滤波器组的方法，包括如下步骤：

步骤1，根据设计要求，确定整个滤波器组的传递失真E_t(x)与原型滤波器的系数向量x的函数关系以及原型滤波器的阻带能量E_s(x)与原型滤波器的系数向量x的函数关系；

步骤2，将非均匀滤波器组的设计问题归结为一个无约束优化问题，其目标函数综合考虑非均匀滤波器组传递失真与原型滤波器阻带能量，通过优化其加权和来获得最佳非均匀滤波器组，即

式中，Φ(x)表示目标函数，E_t(x)表示非均匀滤波器组的传递失真，E_s(x)表示原型滤波器的阻带能量，x表示原型滤波器的系数向量，α和β表示权重；

步骤3，结合线性化方法迭代求解步骤2的式①；即：

步骤3.1，先给定一个原型滤波器的初始系数向量x₀；

步骤3.2，将原型滤波器的初始系数向量x₀代入式①，求得闭式解x_min；

步骤3.3，检验迭代终止条件，即判断||x_min-x₀||₂＜δ是否成立；若成立，则终止迭代，输出闭式解x_min作为原型滤波器的最优系数向量；否则，令x₀＝(x_min+x₀)/2，即将初始系数向量x₀更新为(x_min+x₀)/2，并返回步骤3.2继续迭代；

步骤4，将步骤3所求出的原型滤波器的最优系数向量x_min分别带入到非均匀余弦调制线性相位滤波器组的分析滤波器与系数向量x的函数关系以及综合滤波器分别与系数向量x的函数关系中，即可直接构造出整个非均匀余弦调制线性相位滤波器组；

上述α,β,δ均为设定值。

上述方案中，所述原型滤波器为线性相位的低通滤波器。

上述方案中，权重α和β的取值范围为α,β∈(0,1)。

上述方案中，δ的取值范围为δ∈(10^-8,10^-12)。

与现有技术相比，本发明通过将非均匀余弦调制线性相位滤波器组的设计问题归结为一个无约束优化问题，其目标函数综合考虑非均匀滤波器组传递失真与原型滤波器阻带能量，进而线性迭代求解原型滤波器，显著地降低了非均匀滤波器组的设计和计算复杂度。同时本发明所获得的非均匀滤波器组传递失真和混叠失真更小，整体性能更加优异。所以本发明为降低滤波器组设计和计算的复杂度，实现信号的准确重建提供了简单高效的解决方案。

附图说明

图1为本发明提供的直接构造非均匀余弦调制线性相位滤波器组的流程图。

图2为非均匀滤波器组的一般结构。

图3为实例中本发明方法所得到的最佳原型滤波器的幅度响应。

图4为实例中本发明方法所得到的非均匀余弦调制线性相位分析滤波器组的幅度响应。

具体实施方式

一种直接构造非均匀余弦调制线性相位滤波器组的方法，如图1所示，包括如下步骤：

第一步：图2给出了一个N通道，采样因子为n_i的非均匀滤波器组一般结构，其输出与输入X(ω)的关系为：

其中

式中ω表示频域变量，N表示非均匀滤波器组的通道数，n_i表示采样因子，H_i(ω)和F_i(ω)分别表示非均匀滤波器组分析滤波器和综合滤波器的频率响应，X(ω)表示输入信号的频率响应，表示输出信号的频率响应，T₀(ω)表示传递函数，X(ω-2πk/n_i)，k＝1,2,…,n_i-1表示混叠失真项，下标i＝0,1,...,N-1。在这里，我们假设采样因子是正整数同时非均匀滤波器组是最大临界采样，即n_i∈Z+且其中Z⁺表示正整数集。我们之所以这样假设是因为这样的非均匀滤波器组被广泛的应用在很多科学与工程应用中。

当一个滤波器组满足传递函数为一个纯延迟且混叠失真项为零时，则这个滤波器组是完全重构。当上述条件近似成立时，滤波器组是近似完全重构。本文设计的非均匀余弦调制线性相位滤波器组是近似完全重构，因为近似完全重构的滤波器组相比于完全重构的滤波器组在实际应用中设计的复杂度更低，拥有的整体性能更佳。

在现有直接构造算法中，其核心思想是：首先获得一个线性相位单原型滤波器，然后对该原型滤波器进行相对应的采样、延迟和伸缩得到非均匀滤波器组对应通道的基带滤波器，再将基带滤波器进行余弦调制获得分析滤波器和综合滤波器，即获得整个非均匀余弦调制线性相位滤波器组。可以看出该算法的关键在于找到一个最佳原型滤波器。

下面推导非均匀余弦调制线性相位滤波器组的子带滤波器与原型滤波器的函数关系。

首先设r_c＝LCM(n₀,2n₁,...,2n_N-2,n_N-1)，其中LCM(z₀,z₁,...,z_N-1)表示的是元素z₀,z₁,...,z_N-1的最小公倍数。接着设截止频率ω_c为π/r_c的线性相位原型滤波器的单位脉冲响应为h'(n)，n＝0,1,2,...L,...2L，即长度为2L+1，其中L是r_c的整数倍关系，所以原型滤波器h'＝[h'(0)h'(1)…h'(2L)]^T。由于原型滤波器是线性相位的低通滤波器，其系数是关于h'(L)对称，所以令系数向量x＝[h'(0)h'(1)…h'(L)]^T。原型滤波器相应的频率响应为：

式中c(ω)＝[1e^-jω…e^-j2Lω]^T，ξ(ω)＝[2cos(Lω)...2cosω1]^T，j表示虚数单位。ω表示频域变量，符号Τ表示转置，L为设定值，h'(n)表示原型滤波器的单位脉冲响应，H'(ω)表示原型滤波器的频率响应，x表示原型滤波器的系数向量。

设非均匀余弦调制线性相位滤波器组中基带滤波器的单位脉冲响应为其与h'(n)的关系为：

式中N表示非均匀滤波器组的通道数，L为设定值，表示基带滤波器的单位脉冲响应，其n＝L(1-1/q_i'),L(1-1/q_i')+1,...,L(1+1/q_i')-1,L(1+1/q_i')，h'(n)表示原型滤波器的单位脉冲响应。

基带滤波器对应的频率响应为：

式中其中在两个相邻非零值的中间存在q_i'-1个零。ω表示频域变量，符号Τ表示转置，L为设定值，j表示虚数单位，表示基带滤波器的频率响应，x表示原型滤波器的系数向量。

同时非均匀余弦调制线性相位滤波器组的分析滤波器和综合滤波器与基带滤波器的关系为：

其中为调制相位，i＝0,1,...,N-1；k_i为调制增益，ω_i为调制频率，h_i(n)和f_i(n)分别表示非均匀余弦调制线性相位滤波器组的分析滤波器和综合滤波器的单位脉冲响应，表示基带滤波器的单位脉冲响应，n＝L(1-1/q_i'),L(1-1/q_i')+1,...,L(1+1/q_i')-1,L(1+1/q_i')，n_i表示采样因子。

显而易见，H_i(ω)和F_i(ω)的中心频率坐落在ω_i和-ω_i处，即非均匀余弦调制线性相位滤波器组的分析和综合滤波器所期望的中心频率。

由式(5)，式(6)和式(7)可以得出非均匀余弦调制线性相位滤波器组的分析滤波器H_i(ω)和综合滤波器F_i(ω)分别与原型滤波器的系数向量x的关系为：

其中

式中H_i(ω)和F_i(ω)分别表示非均匀余弦调制线性相位滤波器组分析滤波器和综合滤波器的频域响应，j表示虚数单位，ω表示频域变量，符号Τ表示转置，L为设定值，N表示非均匀滤波器组的通道数，n_i表示采样因子，x表示原型滤波器的系数向量，表示调制相位，ω_i表示调制频率，k_i表示调制增益。

接下去分别推导滤波器组传递失真E_t(x)以及原型滤波器阻带能量E_s(x)与原型滤波器的系数向量x的函数关系。

首先结合式(2)，式(8)和式(9)，我们可推出传递函数T₀(ω)与原型滤波器的系数向量x的关系式，即

T₀(ω)＝x^ΤB(ω)x (10)

式中所以非均匀滤波器组的传递失真E_t(x)可以表示为：

式中E_t(x)表示非均匀滤波器组的传递失真，j表示虚数单位，ω表示频域变量，符号Τ表示转置，m₀表示重构延迟，x表示原型滤波器的系数向量。原型滤波器阻带能量E_s(x)的表达式为：

式中E_s(x)表示原型滤波器阻带能量，H'(ω)表示原型滤波器的频率响应，Re{·}表示取实操作，ω表示频域变量，符号T表示转置，ω_s表示原型滤波器的阻带截止频率，x表示原型滤波器的系数向量，上标H表示共轭转置，j表示虚数单位。

第二步：在调制滤波器组的设计过程中，通常需要关注两个方面：一个是滤波器组的重构特性，另一个是原型滤波器的频率特性。体现重构特性的具体指标有滤波器组的传递失真、混叠失真和重构误差，体现原型滤波器频率特性的具体指标有阻带衰减，通带最大波纹，阻带最大波纹等。

在现有直接构造算法中，Ho C Y F等人将非均匀滤波器组的设计问题归结为一个非凸且多个不等式约束的带约束优化问题，优化以及约束的因子有总混叠失真、最大传递失真、通带最大波纹与阻带最大波纹，存在设计和求解过程过于复杂的缺点。一般说来，小的传递失真和低的阻带能量可以保证滤波器组具备良好的整体性能。因此本文在构建目标函数时主要考虑的就是滤波器组的传递失真和原型滤波器的阻带能量，通过最小化他们的加权和来获得最佳原型滤波器。

综上所述，本发明将非均匀余弦调制线性相位滤波器组的设计问题归结为一个关于原型滤波器的系数向量x的无约束优化问题，其目标函数为滤波器组的传递失真和原型滤波器的阻带能量的加权和，即

式中m₀表示重构延迟，α,β∈(0,1)表示权值，ω表示频域变量，符号T表示转置，x表示原型滤波器的系数向量，j表示虚数单位，Φ(x)表示关于x的目标函数。目标函数的第一项控制传递失真，第二项控制阻带能量。

第三步：从式(14)中我们可以看发现，目标函数Φ(x)中存在关于系数向量x的四次项，众所周知高阶函数直接求解较为困难，因此本文结合线性化方法来迭代求解该优化问题。首先给定一个原型滤波器的初始系数向量x₀，将其代入式(14)中，目标函数Φ(x)转化为

式中向量f(x₀)和矩阵G(x₀)的表达式分别为

式中m₀表示重构延迟，α,β∈(0,1)表示权值，ω表示频域变量，符号T表示转置，上标*表示共轭操作，x表示原型滤波器的系数向量，j表示虚数单位，x₀表示原型滤波器的初始系数向量。

下面证明是一个凸函数并求解它的梯度向量。

设滤波器x的增量为Δx，则函数在x+Δx处的值为

所以

由上式可得的海森矩阵为梯度向量为因G(x₀)和S都是半正定矩阵，所以矩阵Q(x₀)＝αG(x₀)+βS也是半正定矩阵，根据寇述舜编写的书籍《凸分析与凸二次规划》中的定理3.2.4可证：是一个凸函数。

上述已证明是一个关于系数向量x的凸二次函数，令函数的梯度向量为零可获得该函数最小值点为

x_min＝[αG(x₀)+βS]^-1αf(x₀) (20)

在这里需要迭代求解x_min直到x_min非常接近x₀，才能达到最小化目标函数Φ(x)的目的。Jiang J Z等人在《Circuits,Systems,and Signal Processing》上发表的《Designof NPR DFT-Modulated Filter Banks via Iterative Updating Algorithm》文献可以证明，本发明所采用的线性迭代算法是一种收敛的修正牛顿法。

基于上述分析，本发明基于线性迭代来优化设计非均匀滤波器组的步骤如下：

第1步：设计一个线性相位FIR低通滤波器，即给定一个初始系数向量x₀；

第2步：将x₀代入公式(20)，求解获得x_min；

第3步：检验迭代终止条件，即判断||x_min-x₀||₂＜δ(δ是一个给定的很小正数)是否成立。若成立，则终止迭代，输出x_min为最优系数向量；否则令x₀＝(x_min+x₀)/2，返回第2步继续迭代。在本发明优选实施例中，δ的取值范围设为δ∈(10^-8,10^-12)。

第四步：根据第三步所求出的最优系数向量x_min，再结合公式(8)(9)就获得了整个非均匀余弦调制线性相位滤波器组。

为验证本发明方法的有效性和正确性，下面将分别采用本发明方法和Ho C Y F等人在《International Symposium on Communication Systems Networks and DigitalSignal Processing》上发表的《Optimal cosine modulated nonuniform linear phaseFIR filter bank design via stretching and shifting frequency response ofprototype filter》方法，设计一个基本参数相同的非均匀余弦调制线性相位滤波器组。其基本参数为n_i＝[2,3,6]，L＝120，N＝3，m₀＝2L，原型滤波器的通带截止频率为π/6-0.025π，阻带截止频率为π/6+0.025π，下标i＝0,1,...,N-1。同时为了比较的公平性，所有的仿真都在相同的运行环境下进行。在本实例中，其相关参数为α＝1,β＝0.1,δ＝1×10^-11。

表1给出了本发明方法和Ho C Y F等人算法设计所得的非均匀余弦调制线性相位滤波器组的性能对比。

表1

从表1可以看出相比于Ho C Y F等人算法，本发明方法设计的非均匀余弦调制线性相位滤波器组整体性能更佳，具体表现为在滤波器组的传递失真下降了一个数量级的同时保持了原型滤波器良好的频率特性。同时本发明方法设计滤波器组所花费的时间只需要16秒，大大缩减了频域直接构造滤波器组的时间代价。

图3和图4分别给出了本发明方法设计所得的最佳原型滤波器的幅度响应和非均匀分析滤波器组的幅度响应。从图3和图4中可以看出设计所得的最佳原型滤波器和非均匀分析滤波器组都具有良好的频域特性，唯一的不足之处是与Ho C Y F等人算法一样存在过渡带不是平缓下降，有小幅度凸起的问题。

Claims (4)

1.一种直接构造非均匀余弦调制线性相位滤波器组的方法，其特征是，包括如下步骤：

步骤1，根据设计要求，确定整个滤波器组的传递失真E_t(x)与原型滤波器的系数向量x的函数关系以及原型滤波器的阻带能量E_s(x)与原型滤波器的系数向量x的函数关系；

步骤2，将非均匀滤波器组的设计问题归结为一个无约束优化问题，其目标函数综合考虑非均匀滤波器组传递失真与原型滤波器阻带能量，通过优化其加权和来获得最佳非均匀滤波器组，即

式中，Φ(x)表示目标函数，E_t(x)表示非均匀滤波器组的传递失真，E_s(x)表示原型滤波器的阻带能量，x表示原型滤波器的系数向量，α和β表示权重；

步骤3，结合线性化方法迭代求解步骤2的式①；即：

步骤3.1，先给定一个原型滤波器的初始系数向量x₀；

步骤3.2，将原型滤波器的初始系数向量x₀代入式①，求得闭式解x_min；

步骤3.3，检验迭代终止条件，即判断||x_min-x₀||₂＜δ是否成立；若成立，则终止迭代，输出闭式解x_min作为原型滤波器的最优系数向量；否则，令x₀＝(x_min+x₀)/2，即将初始系数向量x₀更新为(x_min+x₀)/2，并返回步骤3.2继续迭代；

步骤4，将步骤3所求出的原型滤波器的最优系数向量x_min分别带入到非均匀余弦调制线性相位滤波器组的分析滤波器与系数向量x的函数关系以及综合滤波器分别与系数向量x的函数关系中，即可直接构造出整个非均匀余弦调制线性相位滤波器组；

上述α,β,δ均为设定值。

2.根据权利要求1所述的一种直接构造非均匀余弦调制线性相位滤波器组的方法，其特征是，所述原型滤波器为线性相位的低通滤波器。

3.根据权利要求1或2所述的一种直接构造非均匀余弦调制线性相位滤波器组的方法，其特征是，权重α和β的取值范围均为(0,1)。

4.根据权利要求1或2所述的一种直接构造非均匀余弦调制线性相位滤波器组的方法，其特征是，δ的取值范围为(10^-8,10^-12)。