CN106052556A - 一种基于激光追踪仪多站位测量的三坐标测量机空域坐标修正方法 - Google Patents

Abstract

一种基于激光追踪仪多站位测量的三坐标测量机空域坐标修正方法，首先在三坐标测量机测量空间范围内进行测点网格划分并确定测点坐标，测量时移动靶镜到各测点，激光追踪仪在网格空间范围外进行转站测量，获取不同站位下每个测点到第一个测点的相对干涉测长值。然后利用两点距离公式和最小二乘法原理求解各站位的坐标和对应站位到第一个测点的距离。再利用各站位坐标、测点坐标以及站位到第一个测点的距离，通过干涉测长误差方程求解出各个测点的修正值。再次，采用提高站位坐标精度、站位到第一个测点距离精度的迭代方法来获取更为精确的测点修正值。最后利用三线性插值方法获得网格空间内任意测点的修正值，从而提高三坐标测量机的测量精度。

Description

一种基于激光追踪仪多站位测量的三坐标测量机空域坐标修 正方法

技术领域

本发明涉及一种提高三坐标测量机(Coordinate Measuring Machine，简称CMM)测量精度的分析方法，特别是基于激光追踪仪多站位测量的三坐标测量机空域坐标修正方法，属于精密测量技术和坐标测量技术领域。

背景技术

三坐标测量机作为坐标测量技术中高效率的精密测量***，以其测量精度高、速度快、柔性强等特点，在现代化的生产制造和航空、航天等领域中起着越来越重要的作用，是先进制造领域的关键基础性测量设备，也是民用行业生产中质量检测和控制的关键测试设备，能够完成各种零件的几何元素、曲线和曲面的空间三维坐标测量，并能实现在线检测和自动化测量。随着科学技术的进步和超精密加工技术的发展，对三坐标测量机测量精度的要求也越来越高。而快速、准确的对CMM进行标定，检测出CMM的各项误差并进行误差补偿，是提高CMM测量精度的重要途径之一，是一种以较低成本大幅度提高CMM测量精度的先进技术手段。

提高坐标测量机精度的途径和措施有很多种，例如提高机械结构精度、减少力变形、热变形、提高标尺精度以及采用适当的采样策略等。由于坐标测量机结构复杂，从提高机械结构精度的手段保证其精度，不仅成本高，且提高的精度十分有限。因此高精度、高效率的坐标测量机标定技术成为提高坐标测量机测量精度的先进技术手段，误差补偿技术在坐标测量机中得到了广泛应用。目前坐标测量机标定方法比较常用的是激光干涉仪、自准直仪、光学直角器等高精度仪器直接分离21项误差，利用球棒、球列、球板等间接分离坐标测量机的21项误差。

激光跟踪三维坐标测量技术是上世纪80年代在机器人计量学基础上发展起来的一种新型的坐标测量技术。自从激光跟踪测量***第一次被研制出以来，面向现场的便携式坐标***——激光跟踪仪解决了坐标测量机标定效率和精度提高的难题。基于激光跟踪仪的测量原理，通过多基站下的全球定位***(Global Positioning System,GPS)的定位方法可以实现CMM的标定。

传统的激光跟踪***的跟踪机构是可绕空间两垂直轴相交的转轴精密转动装置，采用两个固定式万向节分别控制跟踪镜或者干涉仪光束的转动方向，如果转轴旋转时两旋转轴线的交点不稳定，就会引起测量误差，甚至会引起激光干涉仪断光，致使整个***测量中断。同时跟踪反射镜的装配误差、结构不稳定以及热变形等也会带来误差。可以看到相比于长度测量，角度测量更能影响激光跟踪***的测量不确定度。在使用激光跟踪仪进行三坐标测量机的标定中，虽然只用到了激光跟踪仪精密干涉测长结合多站位的测量方法，激光跟踪仪的三维球坐标测量并没有用到，但是由于传统商用激光跟踪仪机械结构的限制，使得传统激光跟踪***精度很难提高。

德国国家计量研究院(PTB)和英国国家物理实验室(NPL)联合研制了专门用于校准数控机床和坐标测量机的激光追踪仪，能够提供最高精度的距离测量。干涉仪装在万向节装置中围绕仅作为干涉仪的参考镜的固定球体移动。由于这一原理，旋转机械轴的径向和横向偏差并不会显著影响测量精度。激光跟踪的精度不受机械结构的影响，主要取决于参考球面的质量和空间位置的变化。既能大幅度提高测量精度，又能缩短整个检测周期。

为此有必要设计一种基于激光追踪仪多站位测量的三坐标测量机空域坐标修正方法，能够高精度标定三坐标测量机，以提高三坐标测量机空间测量点的测量精度。

发明内容

本发明的目的在于提出一种三坐标测量机空域坐标修正方法，目的是提供一种基于激光追踪仪多站位测量和利用三线性插值(Trilinear interpolation)对空间任意测点进行修正的误差补偿方法，使之能够在实际测量中提高三坐标测量机的测量精度。相较现有的分析方法，本方法具有测量精度高、测量成本相对低和操作简单等特点。

为达到以上目的，本发明采取如下技术方案：

一种基于激光追踪仪多站位测量的三坐标测量机空域坐标修正方法，该方法包括下述步骤：

步骤一：构建激光追踪仪多站位测量模型。CMM坐标系下，设CMM测量空间内待测点为A_i(x_i,y_i,z_i)，其中i＝1,2,3,…,n；激光追踪仪内部标准球的球心为O；激光追踪仪的站位坐标为P_j(X_j,Y_j,Z_j)，其中j＝1,2,3,…,m；P_j到A₁点的距离为d_j；测量过程中激光追踪仪的测量数据为l_ij，如图1。按三维空间两点距离公式建立下列关系式：

$\sqrt{{(x_i-X_j)}^2+{(y_i-Y_j)}^2+{(z_i-Z_j)}^2}=d_j+l_{ij}---\left(1\right)$

方程个数为m×n，未知数个数为4m+3n。为使方程组可解应满足：

m×n≥4m+3n (2)

则m和n满足m≥4，n≥16。

步骤二：划分测量空间，如图2，小立方体空间的顶点为待测点，确定待测点A_i在CMM测量空间范围内的坐标值(x_i,y_i,z_i)，规划目标靶镜的移动路径如图3所示。激光追踪仪的站位为P₁，控制CMM移动目标靶镜按照规划好的路径移动至待测点A_i，并测量此时的激光追踪仪的测量数据l_i1。依次移动激光追踪仪到各个站位P_j，其中j＝1,2,3,…,m，并按规划路径移动靶镜完成所有待测点测量数据l_ij的测量。

步骤三：将式(1)等号两边同时平方并移项得到方程：

$x_i^2+y_i^2+z_i^2-2x_i{X}_j-2y_i{Y}_j-2z_i{Z}_j+X_j^2+Y_j^2+Z_j^2-d_j^2-2d_j{l}_{ij}-l_{ij}^2=0---\left(3\right)$

令则式(3)转化为：

$x_i^2+y_i^2+z_i^2-2x_i{X}_j-2y_i{Y}_j-2z_i{Z}_j+k-2d_j{l}_{ij}-l_{ij}^2=0---\left(4\right)$

根据最小二乘法将目标函数定义为：

$F(X_j,Y_j,Z_j,k)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{(x_i^2+y_i^2+z_i^2-2x_i{X}_j-2y_i{Y}_j-2z_i{Z}_j+k-2d_j{l}_{ij}-l_{ij}^2)}^2---\left(5\right)$

使F(X_j,Y_j,Z_j,k)最小，(5)式应满足下列条件：

$\frac{\∂F}{\∂X_j}=0,\frac{\∂F}{\∂Y_j}=0,\frac{\∂F}{\∂Z_j}=0,\frac{\∂F}{\∂d_j}=0,\frac{\∂F}{\∂k}=0---\left(6\right)$

同时满足：

$\begin{array}{c}\frac{{\∂}^{2}F}{\∂X_j^2}=8\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^2>0,\\ \frac{{\∂}^{2}F}{\∂Y_j^2}=8\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i^2>0,\\ \frac{{\∂}^{2}F}{\∂Z_j^2}=8\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{z}_i^2>0,\\ \frac{{\∂}^{2}F}{\∂d_j^2}=8\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{l}_{ij}^2>0,\\ \frac{{\∂}^{2}F}{\∂k^2}=2>0\end{array}---\left(7\right)$

将式(6)写成矩阵形式：

$\left[\begin{array}{ccccc}2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^2& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i{y}_i& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i{z}_i& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i{l}_{ij}& -\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i\\ 2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i{y}_i& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i^2& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i{z}_i& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i{l}_{ij}& -\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i\\ 2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i{z}_i& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i{z}_i& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{z}_i^2& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{z}_i{l}_{ij}& -\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{z}_i\\ 2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i{l}_{ij}& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i{l}_{ij}& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{z}_i{l}_{ij}& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{l}_{ij}^2& -\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{l}_{ij}\\ -\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i& -\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i& -\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{z}_i& -\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{l}_{ij}& \frac{n}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_j\\ Y_j\\ Z_j\\ d_j\\ k\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i(x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_{ij}^2)\\ \underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i(x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_{ij}^2)\\ \underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{z}_i(x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_{ij}^2)\\ \underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{l}_{ij}(x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_{ij}^2)\\ -\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_{ij}^2)\end{array}\right]---\left(8\right)$

解式(8)可得到站位坐标P_i(X_j,Y_j,Z_j)和d_j。

步骤四：将式(1)写成误差方程：

$v_{ij}=\sqrt{{(x_i-X_j)}^2+{(y_i-Y_j)}^2+{(z_i-Z_j)}^2}-d_j-l_{ij}---\left(9\right)$

利用最小二乘法处理式(9)得到的误差平方和为：

$E(x_1,y_1,z_1,...x_n,y_n,z_n,X_1,Y_1,Z_1,...,X_m,Y_m,Z_m)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}{v}_{ij}^2---\left(10\right)$

式(10)是一个非线性方程，为方便求解采用下面的计算过程：

令

$L_{ij}=\sqrt{{(x_i-X_j)}^2+{(y_i-Y_j)}^2+{(z_i-Z_j)}^2}---\left(11\right)$

利用泰勒级数展开对式(11)进行泰勒级数展开，得到如下方程：

$\begin{array}{c}{L}_{ij}\≈L_{ij}{|}_0+\frac{\∂L_{ij}}{\∂x_i}{|}_0\·{\mathrm{dx}}_i+\frac{\∂L_{ij}}{\∂y_i}{|}_0\·{\mathrm{dy}}_i+\frac{\∂L_{ij}}{\∂z_i}{|}_0\·{\mathrm{dz}}_i\\ +\frac{\∂L_{ij}}{\∂X_j}{|}_0\·{\mathrm{dX}}_j+\frac{\∂L_{ij}}{\∂Y_j}{|}_0\·{\mathrm{dY}}_j+\frac{\∂L_{ij}}{\∂Z_j}{|}_0\·{\mathrm{dZ}}_j\end{array}---\left(12\right)$

将式(12)代入式(9)，化简整理后有：

$\begin{array}{c}{v}_{ij}=L_{ij}{|}_0+\frac{x_i{|}_0-X_j{|}_0}{L_{ij}{|}_0}\·({\mathrm{dx}}_i-{\mathrm{dX}}_j)+\frac{y_i{|}_0-Y_j{|}_0}{L_{ij}{|}_0}\·({\mathrm{dy}}_i-{\mathrm{dY}}_j)\\ +\frac{z_i{|}_0-Z_j{|}_0}{L_{ij}{|}_0}\·({\mathrm{dz}}_i-{\mathrm{dZ}}_j)-d_j-l_{ij}\end{array}---\left(13\right)$

其中：等式(13)即为优化后的求解模型。式(12)、(13)中，标为|₀的为该数值的近似值，x_i|₀、y_i|₀、z_i|₀由CMM提供，X_j|₀、Y_j|₀、Z_j|₀、d_j由求解方程组式(8)得到。

令v_ij＝0，将式(13)写成矩阵的形式：

Ax＝B (14)

其中：

$x={\[{\mathrm{dx}}_1,{\mathrm{dy}}_1,{\mathrm{dz}}_1,...,{\mathrm{dx}}_n,{\mathrm{dy}}_n,{\mathrm{dz}}_n,{\mathrm{dX}}_1,{\mathrm{dY}}_1,{\mathrm{dZ}}_1,...,{\mathrm{dX}}_m,{\mathrm{dY}}_m,{\mathrm{dZ}}_m\]}_{1\×(3n+3m)}^T---\left(15\right)$

$b={\[d_1+l_{11}-L_{11}{|}_0,...,d_j+l_{ij}-L_{ij}{|}_0,...,d_m+l_{nm}-L_{nm}{|}_0\]}_{1\×nm}^T---\left(16\right)$

其中dx_i、dy_i、dz_i和dX_j、dY_j、dZ_j为待测点相应坐标的修正值和站位P_j相应坐标的修正值。解方程组(14)可得到待测点A_i的修正值(dx_i,dy_i,dz_i)。

步骤五：根据式(12)，影响待测点A_i修正值(dx_i,dy_i,dz_i)精度的变量有x_i|₀、y_i|₀、z_i|₀和X_j|₀、Y_j|₀、Z_j|₀、d_j，其中x_i|₀、y_i|₀、z_i|₀在完成步骤一后即确定为不变，因此X_j|₀、Y_j|₀、Z_j|₀、d_j求解的精度直接影响(dx_i,dy_i,dz_i)的求解精度。采用递推迭代方法提高X_j|₀、Y_j|₀、Z_j|₀、d_j求解的精度。

迭代方法的步骤如下：

①将待测点坐标(x_i|₀,y_i|₀,z_i|₀)与得到的修正值(dx_i,dy_i,dz_i)相加，得到(x_i|₀',y_i|₀',z_i|₀')；

②将(x_i|₀',y_i|₀',z_i|₀')和步骤二中得到的l_ij代入式(8)，求解得到P_j'(X_j',Y_j',Z_j')和d_j'；

③将(x_i|₀',y_i|₀',z_i|₀')、P_j'(X_j',Y_j',Z_j')和d_j'代入式(14)，求解得到迭代的中间修正值(dx_i',dy_i',dz'_i)。当迭代次数等于1时，将(dx_i',dy_i',dz'_i)与步骤四得到的(dx_i,dy_i,dz_i)进行比较；当迭代次数大于1时，将当前迭代的中间修正值和上次迭代的中间修正值进行比较，看数值的数量级是否在降低，如果有降低趋势则后续需继续进行迭代，如没有降低则终止迭代；

④将(x_i|₀,y_i|₀,z_i|₀)、P_j'(X_j',Y_j',Z_j')和d_j'代入式(14)，求解方程组得到高精度的修正值；

⑤重复步骤①到④的过程，其中①中与(x_i|₀,y_i|₀,z_i|₀)进行加法运算的修正值总是最新求解得到的，直到迭代终止。

步骤六：假设Q为CMM在测量空间范围内测得的任意一点，坐标为(x_Q,y_Q,z_Q)。确定Q点在划分网格空间内所属的小立方体空间。设立方体的8个顶点为A、B、C、D、E、F、G、H，其中平面ADHE垂直于CMM的x轴，Q点到平面ADHE的距离为L_x；平面ABFE垂直于CMM的y轴，Q点到平面ABFE的距离为L_y；平面ABCD垂直于CMM的z轴，Q点到平面ABCD的距离为L_z。

通过步骤五得到A、B、C、D、E、F、G、H的测点修正值。利用8个顶点的修正值通过式(17)三线性插值的方法求出该测点的误差修正值。

$\begin{array}{c}{\mathrm{\Δ}}_Q=(1-k_3)\[(1-k_1)(1-k_2){\mathrm{\Δ}}_A+k_1(1-k_2){\mathrm{\Δ}}_B+k_1{k}_2{\mathrm{\Δ}}_C+(1-k_1)k_2{\mathrm{\Δ}}_D\]\\ +k_3)\[(1-k_1)(1-k_2){\mathrm{\Δ}}_E+k_1(1-k_2){\mathrm{\Δ}}_F+k_1{k}_2{\mathrm{\Δ}}_G+(1-k_1)k_2{\mathrm{\Δ}}_H\]\end{array}---\left(17\right)$

其中Δ_A、Δ_B、Δ_C、Δ_D、Δ_E、Δ_F、Δ_G、Δ_H、Δ_Q、分别为A、B、C、D、E、F、G、H、Q的坐标修正值。

利用式(17)求得的Δ_Q即为Q点的空间修正值，将该修正值加上CMM提供的测点坐标(x_Q,y_Q,z_Q)，即为最后优化得到的高精度坐标值。

综上所述，以激光追踪仪多站位测量技术为基础，以激光追踪仪的高精度干涉测长值为约束条件，对修正值进行迭代处理，最后通过三线性插值的修正方法，能够有效的提高CMM测点测量的精度。

附图说明

图1是激光追踪仪干涉测长示意图；

图2是测量空间划分示意图；

图3是靶镜的移动路径；

图4是CMM激光追踪仪多站位测量***；

图5a是x轴方向修正值的曲线图；

图5b是y轴方向修正值的曲线图；

图5c是z轴方向修正值的曲线图；

图6是测量空间网格划分和三线性插值示意图；

图7a是x轴方向的空间坐标修正值；

图7b是y轴方向的空间坐标修正值；

图7c是z轴方向的空间坐标修正值。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步的详细说明，以令本领域技术人员参照说明书文字能够据以实施。

实验中采用如图4所示的CMM激光追踪仪多站位测量***来进行相对干涉测长值的测量，因此通过下述步骤进行分析：

步骤一：构建激光追踪仪多站位测量模型。考虑测量精度和实验所需时间，确定激光追踪仪站位的个数为5，5个站位不在同一个平面内。空间待测点在CMM坐标系下的个数为4×4×4＝64，同一高度下的测点个数为4×4＝16。

步骤二：划分测量空间，确定64个待测点的坐标，相应坐标如表1，

表1待测点的坐标

将激光追踪仪放置于预设站位P₁，如图4所示，按图3的预设路径移动靶镜，记录到达待测点时激光追踪仪测得的数据l_i1，直到完成全部64个测点的测量。随后进行转站，依次移动激光追踪仪到站位P₂、站位P₃、站位P₄、站位P₅，按规划路径移动靶镜完成所有待测点的测量并记录下测量数据l_ij，共测得5×64＝320个数值。

步骤三：将64个测点坐标和测得的320个测量数据l_ij代入式(8)并求解方程组，即可解出激光追踪仪的站位坐标P_j(X_j,Y_j,Y_j)、P_j到A₁点的距离。

步骤四：将64个测点的坐标、320个测量数据l_ij、激光追踪仪站位坐标P_j(X_j,Y_j,Y_j)和P_j到A₁点的距离d_j代入式(14)，求解方程组即可得到64个测点的空间坐标修正值。

步骤五：采用迭代算法提高测点坐标修正值的精度。具体步骤如下：

①将64个待测点坐标(x_i|₀,y_i|₀,z_i|₀)与得到的修正值(dx_i,dy_i,dz_i)相加，得到64个坐标(x_i|₀',y_i|₀',z_i|₀')；

②将64个坐标(x_i|₀',y_i|₀',z_i|₀')和步骤二中得到的320个l_ij代入式(8)，求解得到P_j'(X_j',Y_j',Z_j')和d_j'；

③将(x_i|₀',y_i|₀',z_i|₀')、P_j'(X_j',Y_j',Z_j')和d_j'代入式(14)，求解得到迭代的中间修正值(dx_i',dy_i',dz'_i)。当迭代次数等于1时，将(dx_i',dy_i',dz_i')与步骤四得到的(dx_i,dy_i,dz_i)进行比较；当迭代次数大于1时，将当前迭代的中间修正值和上次迭代的中间修正值进行比较，看数值的数量级是否在降低，如果有降低趋势则后续需继续进行迭代，如没有降低则终止迭代；

④将(x_i|₀,y_i|₀,z_i|₀)、P_j'(X_j',Y_j',Z_j')和d_j'代入式(14)，求解方程组得到精度较高的修正值；

⑤重复步骤①到④的过程，其中①中与(x_i|₀,y_i|₀,z_i|₀)进行加法运算的修正值总是最新求解得到的，直到迭代终止。

为确定迭代算法在本发明中是有效的，在此还进行了一次仿真实验来进行验证。仿真采用18个测点，4个站位，引入的误差和求得的结果如表2。

表2x轴方向引入的误差、不迭代修正值、迭代1次修正值、迭代3次修正值(单位：mm)

分别将不迭代修正值、迭代1次修正值、迭代3次修正值与引入的误差作比较，也可以清楚的看出，加入迭代之后的求得的修正值比不加迭代的修正值更为接近引入的误差，因此迭代算法是有效的，加入迭代的算法比之前的方法能得到更为精准的修正值。

通过算法对前面实验得到的数据进行计算，最后求得的64个测点的x轴方向修正值如图5a，y轴方向修正值如图5b，z轴方向修正值如图5c。从图中可以看出，CMM不含补偿的x轴测量误差在-0.0026mm到0.0035mm之间；y轴测量误差在-0.0025mm到0.0019mm之间；z轴测量误差在-0.0056mm到0.0060mm之间。

步骤六：CMM在测量空间范围内测得的Q点的坐标为(x_Q,y_Q,z_Q)，确定Q点在网格测量空间内所属的小立方体空间，该立方体的八个顶点分别为A、B、C、D、E、F、G、H，如图6，并确定相应的坐标，这8个点的空间坐标修正值由步骤五计算得到，分别为Δ_A、Δ_B、Δ_C、Δ_D、Δ_E、Δ_F、Δ_G、Δ_H、Δ_Q，计算相应的k₁、k₂、k₃，代入公式(17)，即可求出P点的空间坐标修正值，这样就完成了对预设空间的空间坐标修正，如图7a、图7b、图7c。

通过图7a、图7b、图7c，可以清楚看出CMM的x轴、y轴精度较好，而z轴的精度相对较差；(270～340mm)×(700～800mm)×(-500～-450mm)、(200～240mm)×(800～850mm)×(-540～-400mm)为此次网格测量划分的最优测量空间。

Claims (1)

1.一种基于激光追踪仪多站位测量的三坐标测量机空域坐标修正方法，其特征在于：该方法包括下述步骤：

步骤一：构建激光追踪仪多站位测量模型；CMM坐标系下，设CMM测量空间内待测点为A_i(x_i,y_i,z_i)，其中i＝1,2,3,…,n；激光追踪仪内部标准球的球心为O；激光追踪仪的站位坐标为P_j(X_j,Y_j,Z_j)，其中j＝1,2,3,…,m；P_j到A₁点的距离为d_j；测量过程中激光追踪仪的测量数据为l_ij，按三维空间两点距离公式建立下列关系式：

$\sqrt{{(x_i-X_j)}^2+{(y_i-Y_j)}^2+{(z_i-Z_j)}^2}=d_j+l_{ij}---\left(1\right)$

方程个数为m×n，未知数个数为4m+3n；为使方程组可解应满足：

m×n≥4m+3n (2)

则m和n满足m≥4，n≥16；

步骤二：划分测量空间，小立方体空间的顶点为待测点，确定待测点A_i在CMM测量空间范围内的坐标值(x_i,y_i,z_i)；激光追踪仪的站位为P₁，控制CMM移动目标靶镜按照规划好的路径移动至待测点A_i，并测量此时的激光追踪仪的测量数据l_i1；依次移动激光追踪仪到各个站位P_j，其中j＝1,2,3,…,m，并按规划路径移动靶镜完成所有待测点测量数据l_ij的测量；

步骤三：将式(1)等号两边同时平方并移项得到方程：

$x_i^2+y_i^2+z_i^2-2x_i{X}_j-2y_i{Y}_j-2z_i{Z}_j+X_j^2+Y_j^2+Z_j^2-d_j^2-2d_j{l}_{ij}-l_{ij}^2=0---\left(3\right)$

令则式(3)转化为：

$x_i^2+y_i^2+z_i^2-2x_i{X}_j-2y_i{Y}_j-2z_i{Z}_j+k-2d_j{l}_{ij}-l_{ij}^2=0---\left(4\right)$

根据最小二乘法将目标函数定义为：

$F(X_j,Y_j,Z_j,k)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{(x_i^2+y_i^2+z_i^2-2x_i{X}_j-2y_i{Y}_j-2z_i{Z}_j+k-2d_j{l}_{ij}-l_{ij}^2)}^2---\left(5\right)$

使F(X_j,Y_j,Z_j,k)最小，(5)式应满足下列条件：

$\frac{\∂F}{\∂X_j}=0,\frac{\∂F}{\∂Y_j}=0,\frac{\∂F}{\∂Z_j}=0,\frac{\∂F}{\∂d_j}=0,\frac{\∂F}{\∂k}=0---\left(6\right)$

同时满足：

$\frac{{\∂}^{2}F}{\∂X_j^2}=8\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^2>0,$

$\frac{{\∂}^{2}F}{\∂Y_j^2}=8\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i^2>0,$

$\frac{{\∂}^{2}F}{\∂Z_j^2}=8\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{z}_i^2>0,---\left(7\right)$

$\frac{{\∂}^{2}F}{\∂d_j^2}=8\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{l}_{ij}^2>0,$

$\frac{{\∂}^{2}F}{\∂k^2}=2>0$

将式(6)写成矩阵形式：

$\left[\begin{array}{ccccc}2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^2& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i{y}_i& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i{z}_i& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i{l}_{ij}& -\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i\\ 2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i{y}_i& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i^2& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i{z}_i& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i{l}_{ij}& -\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i\\ 2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i{z}_i& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i{z}_i& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{z}_i^2& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{z}_i{l}_{ij}& -\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{z}_i\\ 2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i{l}_{ij}& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i{l}_{ij}& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{z}_i{l}_{ij}& 2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{l}_{ij}^2& -\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{l}_{ij}\\ -\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i& -\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i& -\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{z}_i& -\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{l}_{ij}& \frac{n}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_j\\ Y_j\\ Z_j\\ d_j\\ k\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i(x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_{ij}^2)\\ \underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i(x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_{ij}^2)\\ \underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{z}_i(x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_{ij}^2)\\ \underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{l}_{ij}(x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_{ij}^2)\\ -\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_{ij}^2)\end{array}\right]---\left(8\right)$

解式(8)可得到站位坐标P_i(X_j,Y_j,Z_j)和d_j；

步骤四：将式(1)写成误差方程：

$v_{ij}=\sqrt{{(x_i-X_j)}^2+{(y_i-Y_j)}^2+{(z_i-Z_j)}^2}-d_j-l_{ij}---\left(9\right)$

利用最小二乘法处理式(9)得到的误差平方和为：

$E(x_1,y_1,z_1,...x_n,y_n,z_n,X_1,Y_1,Z_1,...,X_m,Y_m,Z_m)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}{v}_{ij}^2---\left(10\right)$

式(10)是一个非线性方程，为方便求解采用下面的计算过程：

令

$L_{ij}=\sqrt{{(x_i-X_j)}^2+{(y_i-Y_j)}^2+{(z_i-Z_j)}^2}---\left(11\right)$

利用泰勒级数展开对式(11)进行泰勒级数展开，得到如下方程：

$\begin{array}{c}{L}_{ij}\≈L_{ij}{|}_0+\frac{\∂L_{ij}}{\∂x_i}{|}_0\·{\mathrm{dx}}_i+\frac{\∂L_{ij}}{\∂y_i}{|}_0\·{\mathrm{dy}}_i+\frac{\∂L_{ij}}{\∂z_i}{|}_0\·{\mathrm{dz}}_i\\ +\frac{\∂L_{ij}}{\∂X_j}{|}_0\·{\mathrm{dX}}_j+\frac{\∂L_{ij}}{\∂Y_j}{|}_0\·{\mathrm{dY}}_j+\frac{\∂L_{ij}}{\∂Z_j}{|}_0\·{\mathrm{dZ}}_j\end{array}---\left(12\right)$

将式(12)代入式(9)，化简整理后有：

$\begin{array}{c}{v}_{ij}=L_{ij}{|}_0+\frac{x_i{|}_0-X_j{|}_0}{L_{ij}{|}_0}\·({\mathrm{dx}}_i-{\mathrm{dX}}_j)+\frac{y_i{|}_0-Y_j{|}_0}{L_{ij}{|}_0}\·({\mathrm{dy}}_i-{\mathrm{dY}}_j)\\ +\frac{z_i{|}_0-Z_j{|}_0}{L_{ij}{|}_0}\·({\mathrm{dz}}_i-{\mathrm{dZ}}_j)-d_j-l_{ij}\end{array}---\left(13\right)$

其中：等式(13)即为优化后的求解模型；式(12)、(13)中，标为|₀的为该数值的近似值，x_i|₀、y_i|₀、z_i|₀由CMM提供，X_j|₀、Y_j|₀、Z_j|₀、d_j由求解方程组式(8)得到；

令v_ij＝0，将式(13)写成矩阵的形式：

Ax＝B (14)

其中：

$x={\[{\mathrm{dx}}_1,{\mathrm{dy}}_1,{\mathrm{dz}}_1,...,{\mathrm{dx}}_n,{\mathrm{dy}}_n,{\mathrm{dz}}_n,{\mathrm{dX}}_1,{\mathrm{dY}}_1,{\mathrm{dZ}}_1,...,{\mathrm{dX}}_m,{\mathrm{dY}}_m,{\mathrm{dZ}}_m\]}_{1\×(3n+3m)}^T---\left(15\right)$

$b={\[d_1+l_{11}-L_{11}{|}_0,...,d_j+l_{ij}-L_{ij}{|}_0,...,d_m+l_{nm}-L_{nm}{|}_0\]}_{1\×nm}^T---\left(16\right)$

其中dx_i、dy_i、dz_i和dX_j、dY_j、dZ_j为待测点相应坐标的修正值和站位P_j相应坐标的修正值；解方程组(14)可得到待测点A_i的修正值(dx_i,dy_i,dz_i)；

步骤五：根据式(12)，影响待测点A_i修正值(dx_i,dy_i,dz_i)精度的变量有x_i|₀、y_i|₀、z_i|₀和X_j|₀、Y_j|₀、Z_j|₀、d_j，其中x_i|₀、y_i|₀、z_i|₀在完成步骤一后即确定为不变，因此X_j|₀、Y_j|₀、Z_j|₀、d_j求解的精度直接影响(dx_i,dy_i,dz_i)的求解精度；采用递推迭代方法提高X_j|₀、Y_j|₀、Z_j|₀、d_j求解的精度；

迭代方法的步骤如下：

①将待测点坐标(x_i|₀,y_i|₀,z_i|₀)与得到的修正值(dx_i,dy_i,dz_i)相加，得到(x_i|₀',y_i|₀',z_i|₀')；

②将(x_i|₀',y_i|₀',z_i|₀')和步骤二中得到的l_ij代入式(8)，求解得到P_j'(X_j',Y_j',Z_j')和d_j'；

③将(x_i|₀',y_i|₀',z_i|₀')、P_j'(X_j',Y_j',Z_j')和d_j'代入式(14)，求解得到迭代的中间修正值(dx_i',dy_i',dz'_i)；当迭代次数等于1时，将(dx_i',dy_i',dz'_i)与步骤四得到的(dx_i,dy_i,dz_i)进行比较；当迭代次数大于1时，将当前迭代的中间修正值和上次迭代的中间修正值进行比较，看数值的数量级是否在降低，如果有降低趋势则后续需继续进行迭代，如没有降低则终止迭代；

④将(x_i|₀,y_i|₀,z_i|₀)、P_j'(X_j',Y_j',Z_j')和d_j'代入式(14)，求解方程组得到高精度的修正值；

⑤重复步骤①到④的过程，其中①中与(x_i|₀,y_i|₀,z_i|₀)进行加法运算的修正值总是最新求解得到的，直到迭代终止；

步骤六：假设Q为CMM在测量空间范围内测得的任意一点，坐标为(x_Q,y_Q,z_Q)；确定Q点在划分网格空间内所属的小立方体空间；设立方体的8个顶点为A、B、C、D、E、F、G、H，其中平面ADHE垂直于CMM的x轴，Q点到平面ADHE的距离为L_x；平面ABFE垂直于CMM的y轴，Q点到平面ABFE的距离为L_y；平面ABCD垂直于CMM的z轴，Q点到平面ABCD的距离为L_z；

通过步骤五得到A、B、C、D、E、F、G、H的测点修正值；利用8个顶点的修正值通过式(17)三线性插值的方法求出该测点的误差修正值；

$\begin{array}{c}{\mathrm{\Δ}}_Q=(1-k_3)\[(1-k_1)(1-k_2){\mathrm{\Δ}}_A+k_1(1-k_2){\mathrm{\Δ}}_B+k_1{k}_2{\mathrm{\Δ}}_C+(1-k_1)k_2{\mathrm{\Δ}}_D\]\\ +k_3\[(1-k_1)(1-k_2){\mathrm{\Δ}}_E+k_1(1-k_2){\mathrm{\Δ}}_F+k_1{k}_2{\mathrm{\Δ}}_G+(1-k_1)k_2{\mathrm{\Δ}}_H\]\end{array}---\left(17\right)$

其中Δ_A、Δ_B、Δ_C、Δ_D、Δ_E、Δ_F、Δ_G、Δ_H、Δ_Q、分别为A、B、C、D、E、F、G、H、Q的坐标修正值；

利用式(17)求得的Δ_Q即为Q点的空间修正值，将该修正值加上CMM提供的测点坐标(x_Q,y_Q,z_Q)，即为最后优化得到的高精度坐标值。