CN103591888B - 大口径离轴非球面光学元件几何参数的测算方法 - Google Patents

Abstract

大口径离轴非球面光学元件几何参数的测算方法，涉及光学检测领域，解决现有大口径离轴非球面光学元件几何参数难以准确测量的问题；调整补偿器、干涉仪与待检非球面元件三者共轴。使用激光跟踪仪分别测量补偿器外表面处的坐标以及待检非球面镜处的坐标。使用补偿器柱面处测得的坐标数据，拟合非球面元件的光轴方向。依据拟合的光轴方向将测量坐标系下待检非球面处的坐标测量点进行旋转，使得旋转后的测量点对应的光轴与测量坐标系Z轴平行。对旋转后的非球面镜接触处的角锥反射镜球心测量点坐标，依据曲面方程进行非线性最小二乘拟合，得到待检非球面光学元件的几何参数。本方法测量过程简单，适用于大口径离轴非球面元件几何参数的测算。

Description

大口径离轴非球面光学元件几何参数的测算方法

技术领域

本发明涉及光学检测领域，具体涉及大口径离轴非球面光学元件几何参数的测算方法。

背景技术

随着空间光学与天文光学的迅速发展，大口径离轴非球面光学元件的需求日益增多。在光学设计中使用非球面元件，能够比球面元件更有效地校正像差。离轴非球面元件还能够避免中心遮拦，保证结构紧凑，提高传递函数，实现大视场。故而以大口径离轴非球面元件为核心的光学***在空间遥感、天文观测、深空探测等领域倍受青睐。

非球面元件的加工和检测难度远高于球面元件。非球面上顶点以外的各点曲率半径与顶点处的曲率半径各不相同，离轴特性又使得虚顶点位置难以测量，导致离轴非球面元件的几何参数(顶点曲率半径、圆锥系数、高次系数等)很难准确测量。在光学***中，非球面元件几何参数的检测准确性是确保整个***性能的前提，故对于大口径离轴非球面镜，需要寻求一种具有高精度、高可靠性且通用性好的几何参数测量方法。

目前非球面元件几何参数的测量方法分为非接触测量与接触测量两种。非接触测量方法主要是基于光波面补偿的干涉测量，非球面的几何参数是由面形数据拟合得到，面形测量中的微小误差可能导致较大的几何参数测量误差，且测量***通常较复杂。接触测量使用三坐标机或激光跟踪仪即可实现，其测量准确度与测量过程以及数据处理方式有关。王孝坤等人的专利中提出的使用干涉仪与激光跟踪仪共同测量曲率半径的方法仅适用与光学球面元件的检测。而李锐刚等人的专利中提出的采用激光跟踪仪测量非球面顶点半径的方法中，需要测算非球面顶点的空间位置，对于离轴非球面元件不再适用。

发明内容

本发明为解决现有大口径离轴非球面光学元件几何参数难以准确测量的问题，提供一种大口径离轴非球面光学元件几何参数的测算方法。

大口径离轴非球面光学元件几何参数的测算方法，该方法由以下步骤实现：

步骤一、调整补偿器、干涉仪与待检非球面光学元件同轴；

步骤二、采用激光跟踪仪与球形角锥反射镜分别测量补偿器柱面的坐标数据以及待检非球面光学元件镜面处的坐标数据；

步骤三、利用步骤二获得的补偿器柱面的坐标数据，拟合待检非球面光学元件的光轴方向；具体为：对补偿器柱面的坐标数据，通过最小化测量点到光轴距离的标准差，计算获得测量坐标系下的待检非球面光学元件光轴方向；

步骤四、依据拟合的光轴方向将测量坐标系下待检非球面光学元件的坐标测量点进行旋转，使旋转后的测量点对应的光轴与测量坐标系下的Z轴平行；

步骤五、对旋转后的待检非球面光学元件的球形角锥反射镜球心测量点坐标，进行非线性最小二乘拟合，获得待检非球面光学元件的几何参数。

本发明的有益效果：

一、本发明采用激光跟踪仪的高精度选项测量坐标数据，并在测量中保证激光跟踪的旋转角编码器移动较小，从而一定程度上提高坐标的测量精度。利用补偿器与待检非球面的共轴关系，将待检非球面处的坐标测量点旋转至光轴与Z轴平行的位置，从而可以精确分析测量点的数学模型，并利用计算机进行曲面拟合得到非球面光学元件的几何参数。其数据处理过程包含如下三个核心步骤：a、拟合光轴：对补偿器圆柱面处的坐标数据，通过最小化测量点到光轴距离的标准差，计算得到测量坐标系下的光轴方向。b、旋转待检非球面镜处测量点坐标：按照将测量坐标系下的光轴旋转至Z轴方向的旋转矩阵，将待检非球面镜处的坐标测量点旋转至新的位置。c、拟合角锥反射镜球心所在曲面在接触测量离轴非球面元件时，球形角锥反射镜的球心与待测非球面元件之间满足固定的几何关系，球心测量点构成一个包络曲面。使用计算机辅助推导，可以得到该球心包络曲面的曲面方程。对旋转后的非球面镜处的测量点，用导出的球心所在曲面方程进行拟合，使用置信域算法进行求解非球面镜的几何参数。从给定的初始解出发，在逐步迭代中计算试探步长，校正置信域，从而不断改进直至获得近似最优解。

二、本发明通过尽量保证激光跟踪仪的旋转角编码器移动较小，并使用激光跟踪仪的高准度选项，以及采用精准的曲面拟合模型计算非球面镜的几何参数，有效提高了测算精度，而且测量简便快捷、重复性好。本发明可应用于大口径离轴非球面镜的抛光阶段或最终检测阶段的几何参数测量。

附图说明

图1为本发明所述的大口径离轴非球面光学元件几何参数的测算方法的检测装置图；

图2为本发明所述的大口径离轴非球面光学元件几何参数的测算方法中补偿器的柱面测量示意图；

图3为本发明所述的大口径离轴非球面光学元件几何参数的测算方法中待检非球面光学元件的测量示意图；

图4为本发明所述的大口径离轴非球面光学元件几何参数的测算方法中光轴的计算示意图；

图5为本发明所述的大口径离轴非球面光学元件几何参数的测算方法中球形角锥反射镜球心所在的曲面与非球面光学元件的几何关系示意图；

图6为本发明所述的大口径离轴非球面光学元件几何参数的测算方法中采用置信域算法求解非线性最小二乘问题的流程图；

图7为采用本发明所述的大口径离轴非球面光学元件几何参数的测算方法测量得到的补偿器与待检非球面光学元件的坐标数据；

图8为采用本发明所述的大口径离轴非球面光学元件几何参数的测算方法计算得到的光轴示意图；

图9为本发明所述的大口径离轴非球面光学元件几何参数的测算方法中按照光轴方向对测量坐标进行旋转的示意图；

图10、为本发明所述的大口径离轴非球面光学元件几何参数的测算方法中拟合得到的球形角锥反射镜的球心所在的曲面的示意图；

图中：1、干涉仪，2、补偿器，3、激光跟踪仪，4、待检非球面光学元件，5、球形角锥反射镜，6、干涉仪位置调节器，7、补偿器位置调节器，8、待检非球面光学元件位置调节器，a、补偿器柱面处测量点坐标，b、待检非球面光学元件测量点坐标，c、光轴，d、待检非球面光学元件测量点旋转后的点坐标，e、法线。

具体实施方式

具体实施方式一、结合图1至图6说明本实施，本实施方式所述大口径离轴非球面光学元件几何参数的测算方法，使用补偿器、激光干涉仪、激光跟踪仪与调节器等装置测量并计算离轴非球面元件的几何参数。该方法流程如下：

步骤一、通过干涉仪位置调节器6、补偿器位置调节器7和待检非球面光学元件位置调节器8调整干涉仪1、补偿器2与待检非球面光学元件4的相对位置关系，通过观察和测定干涉仪1输出达到零条纹且面形误差最小，从而确保三者共轴。

步骤二、固定干涉仪1、补偿器2以及待检非球面光学元件4对应的调节器位置不变，使用激光跟踪仪3与球形角锥反射镜5分别测量一组补偿器柱面处的坐标数据以及一组待检非球面光学元件4处的坐标。其接触测量轨迹分别如图2与图3所示；测得的补偿器2柱面的坐标数据记为[col_x₁,col_y₁,col_z₁；col_x₂,col_y₂,col_z₂；…col_x_m,col_y_m,col_z_m；]，待检非球面光学元件4处的坐标数据记为[x₁,y₁,z₁；x₂,y₂,z₂；…x_n,y_n,z_n]。

步骤三、使用补偿器2柱面测得的坐标数据，拟合非球面元件的光轴方向。补偿器2柱面的坐标数据[col_x₁,col_y₁,col_z₁；col_x₂,col_y₂,col_z₂；…col_x_m,col_y_m,col_z_m]与光轴的相对关系如附图4所示，即该组空间坐标到光轴的距离D_i都相等。若光轴在测量坐标系下方程为

$\frac{x-a_x}{b_x}=\frac{y-a_y}{b_y}=z-a_z,---\left(1\right)$

对一球心坐标为[col_x_i,col_y_i,col_z_i]的测量点，它到光轴的空间距离为

$D_i=\frac{\sqrt{{\left|\begin{array}{cc}col\_y_i-a_y& col\_z_i-a_z\\ b_y& 1\end{array}\right|}^2+{\left|\begin{array}{cc}col\_z_i-a_z& col\_x_i-a_x\\ 1& b_x\end{array}\right|}^2+{\left|\begin{array}{cc}col\_x_i-a_x& col\_y_i-a_y\\ b_x& b_y\end{array}\right|}^2}}{\sqrt{b_x^2+b_y^2+1}}---\left(2\right)$

对补偿器柱面处各测量点[col_x₁,col_y₁,col_z₁；col_x₂,col_y₂,col_z₂；…col_x_m,col_y_m,col_z_m]，最小化距离D的标准差：

[a_x,a_y,a_z,b_x,b_y]＝argmin{std(D₁,D₂,...,D_m)}，(3)

得到光轴方向的单位向量为：

步骤四、通过旋转矩阵T∈R^3×3将向量旋转至方向[0,0,1]，即

其中T由公式(6)计算得到：

$T={\left[\begin{array}{ccc}\sqrt{v_2^2+v_3^2}& -\frac{v_1{v}_2}{\sqrt{v_2^2+v_3^2}}& -\frac{v_1{v}_2}{\sqrt{v_2^2+v_3^2}}\\ 0& \frac{v_3}{\sqrt{v_2^2+v_3^2}}& -\frac{v_2}{\sqrt{v_2^2+v_3^2}}\\ v_1& v_2& v_3\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}\sqrt{v_2^2+v_3^2}& 0& v_1\\ -\frac{v_1{v}_2}{\sqrt{v_2^2+v_3^2}}& \frac{v_3}{\sqrt{v_2^2+v_3^2}}& v_2\\ -\frac{v_1{v}_3}{\sqrt{v_2^2+v_3^2}}& \frac{v_2}{\sqrt{v_2^2+v_3^2}}& v_3\end{array}\right],---\left(6\right)$

同样可由旋转矩阵T将测量坐标系下的非球面光学元件处的坐标点进行旋转。由于旋转变换属于刚性变换，不改变测量点间的相对位置关系，故用旋转后的测量坐标不影响非球面光学元件的几何参数拟合结果。

步骤五、对旋转后的非球面光学元件处的测量点，其光轴平行于向量[0,0,1]，即光轴与测量坐标系的Z轴平行。记旋转后的非球面光学元件处的球心点坐标为[r_x₁,r_y₁,r_z₁；r_x₂,r_y₂,r_z₂；…r_x_n,r_y_n,r_z_n]，满足球心包络曲面方程：

其中[d₁,d₂,d₃]表示虚顶点坐标，c为非球面光学元件顶点的曲率半径，k为圆锥系数，A₁、A₂、A₃、A₄等为高次系数。为由虚顶点坐标和非球面光学元件的几何参数构成的参数向量(即最小二乘法中需要求解的值)。如图5所示，球形角锥反射镜的球心所在的曲面与非球面光学元件存在固定的几何关系，

其中为非球面上接触点[x₀,y₀,z₀]处的单位内法向，e为球形角锥反射镜的半径长度，在测量中该长度已知且固定。设非球面光学元件的方程为

z＝g(x,y；c,k,A₁,A₂,A₃,A₄,...)，(9)

对其求偏导数：

$\left\{\begin{array}{c}{g}_x=\frac{\∂g}{\∂x}\\ g_y=\frac{\∂g}{\∂y}\end{array}\right.,---\left(10\right)$

则接触点[x₀,y₀,z₀]处的单位内法向为

通过公式(8)和公式(9)可以得到非球面光学元件测量时球心所在的曲面方程，即公式(7)的具体形式。对球心所在的曲面方程公式(7)及其测量点[r_x₁,r_y₁,r_z₁；r_x₂,r_y₂,r_z₂；…r_x_n,r_y_n,r_z_n]，其曲面拟合问题构成如下非线性最小二乘问题

图6所示为使用置信域算法求解公式(12)所示的非线性最小二乘问题的步骤。其中，目标函数的梯度，_ui：目标函数的海森(Hessian)矩阵；ε：阈值，用于判定目标函数的梯度变化大小程度；▽：梯度算子；η₁：阈值，使置信域缩小或不变的临界值，η₂：阈值，使置信域不变或扩大的临界值；ξ₁：放缩因子，使置信域缩小的放缩因子；ξ₂：放缩因子，使置信域扩大的放缩因子；最终通过算法求解得到的参数向量的值；置信域算法通过模型求解得到试探步长逐步迭代制导获得符合要求的近似最优解为止。它具有很强的收敛性，能够有效解决公式(11)所示的非线性最小二乘问题。首先需要指定初始点以及置信域Δ的上界Δ_up，初始时置信域为Δ₀∈(0,Δ_up)。算法在第i个迭代周期中给出Δ_i+1所属的置信域，新的置信域大小取决于试探步长的好坏，若试探步长较好，则置信域放大或不变，否则置信域缩小。用于评价试探步长是否可以接受的评价函数ρ_i为：

其中为构造的二次模型函数：

若ρ_i≥η₁，则接受该试探步长，即有

式中，为在求解过程中，第i次迭代时参数向量的值，评价函数ρ_i同时还用于校正置信域范围，它衡量了二次模型与目标函数的逼近程度。ρ_i的值越接近1则越逼近目标函数，此时可以增大Δ_i以扩大置信域；若ρ_i大于0但偏离1，置信域不变；若ρ_i接近0，则减小Δ_i以缩小置信域。

具体实施方式二、结合图7至图10说明本实施方式，本实施方式为采用具体实施方式一所述的大口径离轴非球面光学元件几何参数的测算方法的实施例：

步骤A、调整补偿器、干涉仪与待检非球面元件的相对位置关系，通过观察和测定干涉仪输出达到零条纹且面形误差最小，从而确保三者共轴。

步骤B、固定干涉仪、补偿器以及待检非球面元件相对位置不变，使用激光跟踪仪分别测量一组补偿器柱面处的坐标以及一组待检非球面镜处的坐标。

实施步骤A和步骤B，得到[col_x₁,col_y₁,col_z₁；col_x₂,col_y₂,col_z₂；…col_x_m,col_y_m,col_z_m]与[x₁,y₁,z₁；x₂,y₂,z₂；…x_n,y_n,z_n]分别显示在三维坐标系中如图7所示。

步骤C、采用补偿器柱面处测得的坐标数据，拟合非球面元件的光轴方向，得到光轴方向为其位置如图8所标识。

步骤D、依据拟合的光轴方向将测量坐标系下待检非球面处的坐标测量点进行旋转，使得旋转后的测量点对应的光轴与测量坐标系Z轴平行。具体为：

利用光轴方向的计算结果得到旋转矩阵 $T=\left[\begin{array}{ccc}0.9052& 0.0000& 0.4249\\ -0.0013& 1.0000& 0.0027\\ -0.4249& 0.0029& 0.9053\end{array}\right],$ 对测量坐标系下的坐标进行旋转，其旋转后的坐标[r_x₁,r_y₁,r_z₁；r_x₂,r_y₂,r_z₂；…r_x_n,r_y_n,r_z_n]，如图9所示。

步骤E、对旋转后的非球面镜接触处的角锥反射镜球心测量点坐标，依据其实际满足的曲面方程进行非线性最小二乘拟合，得到待检非球面光学元件的几何参数。具体为：对旋转后的坐标数据进行曲面拟合，得到未知参数向量的拟合结果，参数向量中即包含了非球面的几何参数c、k、A₁、A₂、A₃、A₄等。其中拟合得到的角锥反射镜所在的曲面，如附图10所示。

重复步骤A致步骤E进行多次测量，并进行精度和一致性分析。

Claims (4)

1.大口径离轴非球面光学元件几何参数的测算方法，其特征是，该方法由以下步骤实现：

步骤一、调整补偿器（2）、干涉仪（1）与待检非球面光学元件（4）同轴；

步骤二、采用激光跟踪仪（3）与球形角锥反射镜（5）分别测量补偿器柱面的坐标数据以及待检非球面光学元件（4）镜面处的坐标数据；

步骤三、利用步骤二获得的补偿器柱面的坐标数据，拟合待检非球面光学元件（4）的光轴方向；具体为：对补偿器柱面的坐标数据，通过最小化测量点到光轴距离的标准差，计算获得测量坐标系下的待检非球面光学元件（4）光轴方向；

步骤四、依据拟合的光轴方向将测量坐标系下待检非球面光学元件（4）的坐标测量点进行旋转，使旋转后的测量点对应的光轴与测量坐标系下的Z轴平行；

步骤五、对旋转后的待检非球面光学元件（4）的球形角锥反射镜（5）球心测量点坐标，进行非线性最小二乘拟合，获得待检非球面光学元件（4）的几何参数。

2.根据权利要求1所述的大口径离轴非球面光学元件几何参数的测算方法，其特征在于，步骤四中所述的依据拟合的光轴方向将测量坐标系下待检非球面光学元件（4）的坐标测量点进行旋转，具体的旋转方法为：按照将测量坐标系下的光轴旋转至Z轴方向的旋转矩阵，将待检非球面光学元件（4）的坐标测量点旋转至新的位置。

3.根据权利要求1所述的大口径离轴非球面光学元件几何参数的测算方法，其特征在于，步骤五中所述的对旋转后的待检非球面光学元件（4）的球形角锥反射镜（5）球心测量点坐标，进行非线性最小二乘拟合的具体方法为：利用球形角锥反射镜（5）的球心与待检非球面光学元件（4）之间满足的几何关系，计算待检非球面光学元件（4）处的球形角锥反射镜（5）球心所在的包络曲面方程，对旋转后的待检非球面光学元件（4）处的测量点，用导出球形角锥反射镜（5）的球心所在的曲面方程进行拟合，使用置信域算法进行求解待测非球面光学元件（4）的几何参数。

4.根据权利要求1所述的大口径离轴非球面光学元件几何参数的测算方法，其特征在于，步骤一中通过补偿器位置调节器（7）调整补偿器（2）、干涉仪位置调节器（6）调整干涉仪（1），待检非球面光学元件位置调节器（8）调整待检非球面光学元件（4），使干涉仪（1）、补偿器（2）及待检非球面光学元件（4）同轴。