CN105973619A - 结构健康监测***下基于影响线的桥梁局部损伤识别方法 - Google Patents

Abstract

结构健康监测***下基于影响线的桥梁局部损伤识别方法，涉及工程结构健康监测领域。包括以下步骤：1)桥梁影响线的快速识别；2)影响线损伤指标的构造；3)融合多传感器信息的损伤识别。基于桥梁的健康监测***实时监测的移动车辆与桥梁响应识别桥梁影响线，能更及时、快速地捕捉影响线的变化，从而尽早发现结构异常。基于影响线的损伤指标具有对大跨桥梁局部损伤更敏感，而对环境因素变化较不敏感的特点，较适用于在运营环境下检测大跨桥梁的局部损伤。将多传感器信息融合理论与影响线损伤指标相结合，可大大提升损伤识别方法抗噪声干扰和定位损伤的能力，提高损伤决策的可信度。

Description

结构健康监测***下基于影响线的桥梁局部损伤识别方法

技术领域

本发明涉及工程结构健康监测领域，具体是涉及一种结构健康监测***下基于影响线的桥梁局部损伤识别方法。

背景技术

在过去的几十年内，中国修建了许多大跨径桥梁。考虑到台风、地震等严酷的自然灾害，以及温度剧烈变化、环境腐蚀等恶劣环境的影响，桥梁一经建成结构就开始劣化，并且损伤在整个服役期内不断累积。近年来，国内还发生了不少桥梁坍塌的事故。其实在这类事故发生之前，多数都会有桥梁局部构件先发生损伤甚至完全失效。但是，局部构件的损伤，在早期一般局限于损伤构件的附近，检测出该类局部异常是颇为不易的。为了保证服役桥梁的安全性和使用者的舒适性，不少新建的大跨桥梁上还安装了结构健康监测***。桥梁监测的传感器***包括布置在桥梁关键截面的各种不同类型传感器，主要监测桥梁荷载、桥梁响应和桥梁环境。研发一种基于健康监测***的桥梁局部损伤识别方法，是结构健康监测领域内一项亟待突破却又富有挑战的工作。

找到一种可适用于大跨桥梁局部损伤检测的损伤指标是关键^[1-3]。在过去的几十年，损伤识别一直是机械、航空、土木等领域共同关注的问题。在土木领域，得到最多认可的是基于模态参数(频域)的损伤识别方法^[4-6]。频域方法在理想环境下较简单的结构中取得过很好的效果，但应用于运营环境下检测大跨桥梁的局部损伤，效果往往不理想，原因主要来自三方面:(1)大跨桥梁的主梁构件繁多，即便局部严重受损，影响也往往局限于损伤构件附近，甚少改变桥梁整体特性；(2)考虑到噪声干扰，经典的模态参数法能有效识别的动力特性指标一般仅能反映结构整体状态，对桥梁局部信息的反映不足；(3)桥梁结构动力特性会随环境改变而发生变化，环境因素的波动甚至可能淹没或掩盖损伤对结构动力特性的影响。作为频域方法的延伸与发展，时频域方法同样存在模态参数对损伤不敏感而对环境参数过于敏感的缺点。直接基于振动信号的时域方法，优点是仅需桥梁时域振动信号，无需桥梁无损状态信息和桥梁模型，易于操作。但是，该方法目前仅用于一些简单桥梁，且难以应用于基频低、频率成分多且分布紧密的大跨桥梁。

相比之下，基于移动车辆引起的桥梁响应的损伤识别方法，更有希望实现大跨桥梁的局部损伤识别[^7-10]。首先，车辆作为移动的激励源，当移动到布置在桥梁易损位置的传感器附近时，采集的结构动响应信号会相应出现峰值，此时信号的信噪比最高，有利于局部异常的识别。其次，在一列车辆过桥的短暂时段内，基本可以忽略环境因素(温度、湿度等)的变化，所关注的结构响应波动部分主要由移动车辆引起，故该方法对环境变化较不敏感。桥梁影响线方法是通过建立移动车辆与桥梁响应的联系，提取桥梁的影响线特性，并进一步构造损伤指标用于桥梁损伤的识别，因此可以认为是基于移动车辆的损伤识别方法的一种。

利用结构健康监测***的测量数据，基于桥梁影响线实现局部损伤的识别，该项工作的顺利完成需要解决几个关键问题：(1)基于健康监测***实测的桥梁响应和移动车辆信息，识别桥梁关键构件的影响线；(2)基于识别的影响线结果，构造对大跨桥梁局部损伤敏感、对环境因素变化不敏感的损伤指标；(3)基于不同位置的多个传感器测量数据，融合多源信息得到具有更高可信度的损伤位置识别结果。对于以上三个关键问题，尚未有文献针对桥梁影响线展开深入讨论，并提出有效的解决方法。

参考文献：

[1]Doebling S W,Farrar C R,Prime M B.A Summary Review of Vibration-Based Damage Identification Methods[J].Shock&Vibration Digest,1998,30(2):91-105.

[2]Housner G W,Bergman L A,Caughey T K,et al.Structural control:past,present,and future[J].Journal of Engineering Mechanics,1997,123(9):897-971.

[3]Zou Y,Tong L,Steven G P.Vibration-based model-dependent damage(delamination)identification and health monitoring for composite structures—a review[J].Journal of Sound&Vibration,2000,230(2):357-378.

[4]Cawley P,Adams R D.The Location of Defects in Structures FromMeasurements of Natural Frequencies[J].Journal of Strain Analysis forEngineering Design,1979,14(2):49-57.

[5]Narkis Y.Identification of Crack Location in Vibrating SimplySupported Beams[J].Journal of Sound&Vibration,1994,172(172):549-558.

[6]Pandey A K,Biswas M,Samman M M.Damage detection from changes incurvature mode shapes[J].Journal of Sound&Vibration,1991,145(2):321-332.

[7]Link M,Weiland M.Damage identification by multi-model updating inthe modal and in the time domain[J].Mechanical Systems&Signal Processing,2009,23(6):1734-1746.

[8]Law S S,Bu J Q,Zhu X Q,et al.Vehicle Condition Surveillance onContinuous Bridges Based on Response Sensitivity[J].Journal of EngineeringMechanics,2006,132(1):78-86.

[9]He W Y,Zhu S.Moving load-induced response of damaged beam and itsapplication in damage localization[J].Journal of Vibration&Control,2015.

[10]Zaurin R,Catbas F N.Structural health monitoring using videostream,influence lines,and statistical analysis[J].Structural HealthMonitoring,2010,9(4):309-332.

发明内容

本发明要解决的技术问题，是提供结构健康监测***下基于影响线的桥梁局部损伤识别方法。

本发明包括以下步骤：

1)桥梁影响线的快速识别

影响线是桥梁结构的固有特性，常被用于桥梁承载力的评估。尽管桥梁影响线可以通过专门的桥梁静载测试确定，但程序较繁琐，实验期间需封闭正常交通，全桥仅限于检测车通行。因程序繁琐且对现有交通干扰大，该测试一般只在成桥通车实验和大规模桥梁检修时，才有机会采用。鉴于装有健康监测***的桥梁可实时监测移动车辆与桥梁响应数据，若能基于该数据识别影响线，则有利于及时捕捉影响线的变化，尽早发现结构异常。因此，相较于传统方法，新方法具有更及时、更快速的优点。

假设车辆沿直线在桥上行驶，车辆各轴轴重对桥的影响相互独立，则移动车辆所引起的响应R_s可近似地表示为各轴引起响应的叠加：

$R_s\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}A\left(i\right)\×\mathrm{\Φ}(x-D(i\left)\right)---\left(1\right)$

式中R_s表示车作用在顺桥向x位置(第一个车轴的所在位置)时，引起的所关心位置的响应，Ф(x)表示单位力在对应位置的影响线函数，N表示车辆的轴数，A(i)表示车辆第i个轴的轴重，D(i)表示车辆第i个轴与第一个轴的间距，其中，桥梁关键位置的响应时程R_s(t)通常可实测得到。若已知车辆速度v，则R_s(t)可通过下式转换为R_s(x)：

x＝t×v (2)

当车辆在桥梁上行进，假设其保持匀速，即车速为v。根据采样频率和有限元网格划分，可将函数R_s(x)和Ф(x)离散成向量R_s和Φ。因此，式(2)可写成矩阵形式：

R_s＝LΦ (3)

或

式(4)中，R_s表示桥梁某一特定位置的响应向量，p是应力测量的采样点个数，L表示基于车辆信息建立的荷载矩阵，信息包含车辆轴重及轴间距等，Φ表示影响线向量，q是影响线上的离散点，即应力影响因子的个数。

若已知响应向量和荷载矩阵，且p≠q，则影响线识别就是求解一个逆问题。考虑到实测的桥梁响应除了包含通过影响线重构的部分，还不可避免地存在波动项，主要是来自于动力冲击效应、轨道不平顺、道路粗糙、其他荷载干扰和测量误差等。因此，实测响应R_m可以表示成两部分的叠加：

R_m＝LΦ+η (5)

式(5)中，第一项表示准静态响应，它可通过静力影响线估计。第二项表示考虑了动力和噪音因素所引起的干扰向量η。虽然η相较于响应R_s的峰值而言非常小，却足以在估计影响线时产生巨大的误差，所以必须考虑“病态矩阵”逆求解的合适方法。

针对病态矩阵的求解，截断奇异值分解和Tikhonov正则化是最常用的两种方法。在病态***很大的情况下，考虑到对大矩阵进行奇异值分解，通过直接滤波实现正则化，往往不可行。因此，在设置影响线识别的优化目标函数时，采用Tikhonov法的以下表述方法：

$I_{\mathrm{\α}}=\arg \underset{f\∈R^n}{\min }\left|\right|R_m-L\×\mathrm{\Φ}|{|}^2+\mathrm{\α}|\left|P\right||---\left(6\right)$

式(6)中，{arg min}为函数的最小化，||R-L×Φ||²表示误差项的平方和。||P||是罚函数，可通过先验信息建立，α是罚函数的权重。考虑到大多数桥梁构件的影响线在绝大多数位置都是平滑的曲线，为了限制影响线结果的剧烈跳动，采用如下的罚函数形式：

$\left|\right|P\left|\right|=\underset{i=1}{\overset{n-2}{\Σ}}\[2\mathrm{\φ}(i+1)-\mathrm{\φ}\left(i\right)-\mathrm{\φ}(i+2)\]---\left(7\right)$

基于等式(6)所定义的目标函数，利用遗传算法寻找影响线的最优解。所述遗传算法以一个初始种群为开始，评估种群中个体的适应性，然后生成下一代的新的个体。

2)影响线损伤指标的构造

影响线是结构的一种静力特性，记录了单位荷载移动对结构某一特定位置的反力、内力、位移或应力引起的变化。它作为桥梁结构的一种固有特性，被广泛地用于描述桥梁行为。众所周知，一座桥梁服役了一段时间后，结构就有可能会发生劣化，随之出现局部刚度下降或其他固有特性的改变。作为桥梁的固有特性，比较当前状态与无损状态下影响线，可用于桥梁状态的评定。将无损状态下的桥梁影响线作为基准影响线，当桥梁出现损伤时，应力影响线可能发生变化。与基准影响线的相比，将影响线的变化量作为损伤指标：

Ω(x)＝Ф(x)-Ф_BL(x) (8)

式(8)中，Ф(x)和Ф_BL(x)分别表示待检测状态下的影响线与基准影响线。影响线上离散点定义为影响线因子，它们是顺桥向位置x的函数，表示单位力作用于该位置时特定应力输出点的应力值。若结构未损伤，或者损伤位置远离应力输出点，影响线变化Ω(x)值会非常小，甚至可以忽略。相反，损伤位置附近的影响线变化Ω(x)会很显著。

为了提高指标对桥梁损伤的敏感性，采用近似于求导的方法，定义另外一个损伤指标，影响线变化的一阶导如下：

$\mathrm{\Γ}\left(x\right)=\frac{\mathrm{\Ω}\left(x\right)-\mathrm{\Ω}(x-\mathrm{\Δ}x)}{\mathrm{\Δ}x}---\left(9\right)$

式(9)中，Δx表示相邻影响线因子的间距。同样地，定义影响线变化的两阶导也作为损伤指标：

$\mathrm{\Ψ}\left(x\right)=\frac{\mathrm{\Γ}\left(x\right)-\mathrm{\Γ}(x-\mathrm{\Δ}x)}{\mathrm{\Δ}x}---\left(10\right)$

相比位移等桥梁的整体响应，应力容易测量，而且对局部损伤更敏感，采用应力影响线更易于识别大跨桥梁局部损伤和损伤位置。

3)融合多传感器信息的损伤识别

大型桥梁的结构健康监测***，在桥梁关键截面布置了众多传感器，采集了大量数据。对于结构损伤识别而言，若能融合多类型、多位置传感器的信息，有利于增强多源信号中的一致信息，消除非一致信息，增加传感器信息对损伤定位的敏感性，提高损伤决策的可信度。

D-S证据理论具备处理不确定信息能力强，灵活且易于理解等优点，故选择Dempster-Shafer(D-S)证据理论融合多传感器位置的影响线损伤指标。首先，建立一个关注区域所有的位置识别框架，融合多传感器信息进行损伤定位，该框架建立如下：

Θ＝{x₁，x₂，…，x_m} (11)

其中，x表示关注区域内的待检测位置，下标m表示关注区域内待检测位置个数。

基于关注区域内所有待检测位置的影响线变化一阶导Γ，计算并构造各待检测位置x_j(1,…,m)的基本概率数向量：

[M(x₁),M(x₂),…,M(x_m)] (12)

其中，

$M\left(x_j\right)=\frac{\left|\mathrm{\Γ}\left(x_j\right)\right|}{\underset{k=1}{\overset{m}{\Σ}}\left|\mathrm{\Γ}\left(x_k\right)\right|}---\left(13\right)$

式(13)中，|·|表示取绝对值，Γ(x_j)表示x_j位置的影响线变化的一阶导，M(x_j)即为位置x_j的基本概率数。基于对影响线变化的一阶导指标的理解，若不考虑其他干扰，指标曲线的峰值将会出现在结构损伤位置的附近。因此，经过标准单位化后的基本概率数可用于表征待检测位置x_j发生损伤的可能性。

若基于多源信息(多传感器)进行损伤检测，则待检测位置的基本概率数向量可扩展成为如下矩阵：

$M=\left[\begin{array}{cccc}{M}_1\left(x_1\right)& M_1\left(x_2\right)& ...& M_1\left(x_m\right)\\ M_2\left(x_1\right)& M_2\left(x_2\right)& ...& M_2\left(x_m\right)\\ ...& ...& ...& ...\\ M_n\left(x_1\right)& M_n\left(x_2\right)& ...& M_n\left(x_m\right)\end{array}\right]---\left(14\right)$

其中，下标m表示待检测位置个数，n表示融合的传感器个数，M_i(x_j)表示基于i号传感器信息判断待检测位置x_j是否发生损伤的基本概率数。因此，矩阵中任意行均表示仅基于某个传感器信息所建立的基本概率数。

依据D-S证据理论，融合n个传感器的信息后，可确定对于待检测位置x_j的基本概率数：

$M\left(x_j\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Π}}{M}_i\left(x_j\right)/\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}\left(\underset{j=1}{\overset{n}{\Π}}{M}_i\right(x_j\left)\right)---\left(15\right)$

上述的多传感信息融合表达式，对不同的传感器都设置了相同的权重。考虑到传感器与待检测位置之间的距离并不相同，实际造成基于不同传感器的识别结果的可信度也存在差异。传感器距离待检测位置过远，在某种程度上，会影响该传感器检测结果的可信度。因此，基于传感器与待检测位置的距离远近，设置如下的权重函数：

$w_{ij}=\frac{1/D_{ij}}{\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}(1/D_{ij})}---\left(16\right)$

$D_{ij}=\sqrt{{(x_i-x_j)}^2+{(y_i-y_j)}^2+{(z_i-z_j)}^2}---\left(17\right)$

式(16)和(17)中，权重函数w_ij的取值，与传感器i到待检测位置x_j的距离D_ij直接相关。x_i，y_i，z_i表示i号传感器的空间坐标，x_j，y_j，z_j表示待检测位置x_j的空间坐标。引入新的权重函数后，式(15)可表示为：

$M\left(x_j\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Π}}{w}_{ij}{M}_i\left(x_j\right)/\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}\left(\underset{j=1}{\overset{n}{\Π}}{w}_{ij}{M}_i\right(x_j\left)\right)---\left(18\right)$

本发明利用结构健康监测***可实时测量移动车辆信息和对应的桥梁响应的优势，提供一种新的算法实现桥梁影响线的快速识别。基于桥梁影响线的识别结果，构造影响线损伤指标，基于该指标判断损伤是否发生和损伤具***置。基于不同位置的多传感器信息，将多位置影响线指标与信息融合方法相结合，提出一种考虑了多传感器信息的损伤识别方法。

与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：

一、影响线测量的传统方法，测量期间需封闭正常交通，全桥仅限检测车通行。因程序繁琐且对正常交通干扰大，该测试一般只在成桥通车实验和大规模桥梁检修时，才有机会采用。基于桥梁的健康监测***实时监测的移动车辆与桥梁响应的影响线识别方法，相较于传统方法，该方法能更及时、快速地捕捉影响线的变化，从而尽早发现结构异常。

二、同现有的损伤指标相比，基于影响线的损伤指标具有对大跨桥梁局部损伤更敏感，而对环境因素变化较不敏感的特点，较适用于在运营环境下检测大跨桥梁的局部损伤。

三、同现有的仅考虑单个传感器的损伤识别方法相比，将多传感器信息融合理论与影响线损伤指标相结合，可大大提升损伤识别方法抗噪声干扰和定位损伤的能力，提高损伤决策的可信度。

附图说明

图1为桥梁构件及1/4主跨截面的应变片。

图2为某斜杆上应变片采集的火车过桥的动应力响应时程。

图3为标准火车的构造。

图4为不同方法识别出的影响线的比较。

图5为青马大桥有限元模型。

图6为损伤前后的吊杆影响线及其变化。

图7为基于影响线变化的损伤检测。

图8为基于影响线变化的一阶导的损伤检测。

图9为基于影响线变化的二阶导的损伤检测。

图10为基于影响线变化的一阶导指标定位多点损伤。

图11为基于吊杆影响线识别单点损伤。

图12为基于吊杆影响线识别多点损伤。

图13为考虑不同传感器数量的融合结果。

图14为不同输出响应位置的检测结果。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明做进一步的详细说明。

本发明提出结构健康监测***下基于影响线的桥梁局部损伤识别方法，包括以下步骤：

1)，桥梁影响线的快速识别

影响线是桥梁结构的固有特性，常被用于桥梁承载力的评估。尽管桥梁影响线可以通过专门的桥梁静载测试确定，但程序较繁琐，实验期间需封闭正常交通，全桥仅限于检测车通行。因程序繁琐且对现有交通干扰大，该测试一般只在成桥通车实验和大规模桥梁检修时，才有机会采用。鉴于装有健康监测***的桥梁可实时监测移动车辆与桥梁响应数据，若能基于该数据识别影响线，则有利于及时捕捉影响线的变化，尽早发现结构异常。因此，相较于传统方法，新方法具有更及时、更快速的优点。

假设车辆沿直线在桥上行驶，车辆各轴轴重对桥的影响相互独立，则移动车辆所引起的响应R_s可近似地表示为各轴引起响应的叠加：

$R_s\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}A\left(i\right)\×\mathrm{\Φ}(x-D(i\left)\right)---\left(1\right)$

式中R_s表示车作用在顺桥向x位置(第一个车轴的所在位置)时，引起的所关心位置的响应，Ф(x)表示单位力在对应位置的影响线函数，N表示车辆的轴数，A(i)表示车辆第i个轴的轴重，D(i)表示车辆第i个轴与第一个轴的间距。其中，桥梁关键位置的响应时程R_s(t)通常可实测得到。若已知车辆速度v，则R_s(t)可通过下式转换为R_s(x)：

x＝t×v (2)

当车辆在桥梁上行进，假设其保持匀速，即车速为v。根据采样频率和有限元网格划分，可将函数R_s(x)和Ф(x)离散成向量R_s和Φ。因此，上式可写成矩阵形式：

R_s＝LΦ (3)

或

式中，R_s表示桥梁某一特定位置的响应向量，p是应力测量的采样点个数，L表示基于车辆信息建立的荷载矩阵，信息包含车辆轴重及轴间距等，Φ表示影响线向量，q是影响线上的离散点，即应力影响因子的个数。

若已知响应向量和荷载矩阵，且p≠q，则影响线识别就是求解一个逆问题。考虑到实测的桥梁响应除了包含通过影响线重构的部分，还不可避免地存在波动项，主要是来自于动力冲击效应、轨道不平顺、道路粗糙、其他荷载干扰和测量误差等。因此，实测响应R_m可以表示成两部分的叠加：

R_m＝LΦ+η (5)

式中，第一项表示准静态响应，它可通过静力影响线估计。第二项表示考虑了动力和噪音因素所引起的干扰向量η。虽然η相较于响应R_s的峰值而言非常小，却足以在估计影响线时产生巨大的误差，所以必须考虑“病态矩阵”逆求解的合适方法。

针对病态矩阵的求解，截断奇异值分解和Tikhonov正则化是最常用的两种方法。在病态***很大的情况下，考虑到对大矩阵进行奇异值分解，通过直接滤波实现正则化，往往不可行。因此，在设置影响线识别的优化目标函数时，采用了Tikhonov正则化方法的另外一种表述方法：

$I_{\mathrm{\α}}=\arg \underset{f\∈R^n}{\min }\left|\right|R_m-L\×\mathrm{\Φ}|{|}^2+\mathrm{\α}|\left|P\right||---\left(6\right)$

式中，{arg min}为函数的最小化，||R-L×Φ||²表示误差项的平方和。||P||是罚函数，可通过先验信息建立，α是罚函数的权重。考虑到大多数桥梁构件的影响线在绝大多数位置都是平滑的曲线，为了限制影响线结果的剧烈跳动，采用如下的罚函数形式：

$\left|\right|P\left|\right|=\underset{i=1}{\overset{n-2}{\Σ}}\[2\mathrm{\φ}(i+1)-\mathrm{\φ}\left(i\right)-\mathrm{\φ}(i+2)\]---\left(7\right)$

基于等式(6)所定义的目标函数，利用遗传算法寻找影响线的最优解。该算法以一个初始种群为开始，评估种群中个体的适应性，然后生成下一代的新的个体。

2)，影响线损伤指标的构造

影响线是结构的一种静力特性，记录了单位荷载移动对结构某一特定位置的反力、内力、位移或应力引起的变化。它作为桥梁结构的一种固有特性，被广泛地用于描述桥梁行为。众所周知，一座桥梁服役了一段时间后，结构就有可能会发生劣化，随之出现局部刚度下降或其他固有特性的改变。作为桥梁的固有特性，比较当前状态与无损状态下影响线，可用于桥梁状态的评定。将无损状态下的桥梁影响线作为基准影响线，当桥梁出现损伤时，应力影响线可能发生变化。与基准影响线的相比，将影响线的变化量作为损伤指标：

Ω(x)＝Ф(x)-Ф_BL(x) (8)

式中，Φ(x)和Ф_BL(x)分别表示待检测状态下的影响线与基准影响线。影响线上离散点定义为影响线因子，它们是顺桥向位置x的函数，表示单位力作用于该位置时特定应力输出点的应力值。若结构未损伤，或者损伤位置远离应力输出点，影响线变化Ω(x)值会非常小，甚至可以忽略。相反，损伤位置附近的影响线变化Ω(x)会很显著。

为了提高指标对桥梁损伤的敏感性，采用近似于求导的方法。定义另外一个损伤指标，影响线变化的一阶导如下：

$\mathrm{\Γ}\left(x\right)=\frac{\mathrm{\Ω}\left(x\right)-\mathrm{\Ω}(x-\mathrm{\Δ}x)}{\mathrm{\Δ}x}---\left(9\right)$

式中，Δx表示相邻影响线因子的间距。同样地，定义影响线变化的二阶导也作为损伤指标：

$\mathrm{\Ψ}\left(x\right)=\frac{\mathrm{\Γ}\left(x\right)-\mathrm{\Γ}(x-\mathrm{\Δ}x)}{\mathrm{\Δ}x}---\left(10\right)$

相比位移等桥梁的整体响应，应力容易测量，而且对局部损伤更敏感，采用应力影响线更易于识别大跨桥梁局部损伤和损伤位置。

3)，融合多传感器信息的损伤识别

大型桥梁的结构健康监测***，在桥梁关键截面布置了众多传感器，采集了大量数据。对于结构损伤识别而言，若能融合多类型、多位置传感器的信息，有利于增强多源信号中的一致信息，消除非一致信息，增加传感器信息对损伤定位的敏感性，提高损伤决策的可信度。

D-S证据理论具备处理不确定信息能力强，灵活且易于理解等优点，故选择Dempster-Shafer(D-S)证据理论融合多传感器位置的影响线损伤指标。首先，建立一个关注区域所有的位置识别框架，融合多传感器信息进行损伤定位，该框架建立如下：

Θ＝{x₁，x₂，…，x_m} (11)

其中，x表示关注区域内的待检测位置，下标m表示关注区域内待检测位置个数。

基于关注区域内所有待检测位置的影响线变化一阶导Γ，计算并构造各待检测位置x_j(1,…,m)的基本概率数向量：

[M(x₁),M(x₂),…,M(x_m)] (12)

其中，

$M\left(x_j\right)=\frac{\left|\mathrm{\Γ}\left(x_j\right)\right|}{\underset{k=1}{\overset{m}{\Σ}}\left|\mathrm{\Γ}\left(x_k\right)\right|}---\left(13\right)$

式中，|·|表示取绝对值，Γ(x_j)表示x_j位置的影响线变化的一阶导，M(x_j)即为位置x_j的基本概率数。基于对影响线变化的一阶导指标的理解，若不考虑其他干扰，指标曲线的峰值将会出现在结构损伤位置的附近。因此，经过标准单位化后的基本概率数可用于表征待检测位置x_j发生损伤的可能性。

若基于多源信息(多传感器)进行损伤检测，则待检测位置的基本概率数向量可扩展成为如下矩阵：

$M=\left[\begin{array}{cccc}{M}_1\left(x_1\right)& M_1\left(x_2\right)& ...& M_1\left(x_m\right)\\ M_2\left(x_1\right)& M_2\left(x_2\right)& ...& M_2\left(x_m\right)\\ ...& ...& ...& ...\\ M_n\left(x_1\right)& M_n\left(x_2\right)& ...& M_n\left(x_m\right)\end{array}\right]---\left(14\right)$

其中，下标m表示待检测位置个数，n表示融合的传感器个数，M_i(x_j)表示基于i号传感器信息判断待检测位置x_j是否发生损伤的基本概率数。因此，矩阵中任意行均表示仅基于某个传感器信息所建立的基本概率数。

依据D-S证据理论，融合n个传感器的信息后，可确定对于待检测位置x_j的基本概率数：

$M\left(x_j\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Π}}{M}_i\left(x_j\right)/\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}\left(\underset{j=1}{\overset{n}{\Π}}{M}_i\right(x_j\left)\right)---\left(15\right)$

上述的多传感信息融合表达式，对不同的传感器都设置了相同的权重。考虑到传感器与待检测位置之间的距离并不相同，实际造成基于不同传感器的识别结果的可信度也存在差异。传感器距离待检测位置过远，在某种程度上，会影响该传感器检测结果的可信度。因此，基于传感器与待检测位置的距离远近，设置如下的权重函数：

$w_{ij}=\frac{1/D_{ij}}{\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}(1/D_{ij})}---\left(16\right)$

$D_{ij}=\sqrt{{(x_i-x_j)}^2+{(y_i-y_j)}^2+{(z_i-z_j)}^2}---\left(17\right)$

式中，权重函数w_ij的取值，与传感器i到待检测位置x_j的距离D_ij直接相关。x_i，y_i，z_i表示i号传感器的空间坐标，x_j，y_j，z_j表示待检测位置x_j的空间坐标。引入新的权重函数后，式(15)可表示为：

$M\left(x_j\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Π}}{w}_{ij}{M}_i\left(x_j\right)/\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}\left(\underset{j=1}{\overset{n}{\Π}}{w}_{ij}{M}_i\right(x_j\left)\right)---\left(18\right)$

实施例1：基于香港青马大桥监测***的影响线识别方法验证

香港青马大桥是目前世界上最长的公铁两用悬索桥，全长2160m，主跨长1377m。香港路政署在青马大桥上安装了风与结构健康监测***。传感器***的300个传感器中，有110个动应变片被安装在4个典型截面上，用于长期监测关键截面上主要构件的应力状态。安装在截面L的轨道梁上的一组应变片，应变数据经过处理后，可转换成火车的记录信息，包括火车各轴重、轴间距、行驶速度等。同时，桥梁附近的动态称重***也记录了桥上行驶的汽车信息，桥面和桥塔的风速仪记录了桥上风速风向的数据。

识别应力影响线需要两类基本信息：火车所产生的应力(或应变)时程以及相应的火车信息。本实施例是基于实测的响应数据及相应的火车荷载信息进行影响线识别，故尽可能选择除火车荷载以外其他动力荷载干扰较小的数据加以应用。这里选择了11月的监测数据，因该月当地的平均风速较小。选择研究的时间段在1:00～2:00和5:00～6:00，因在这些时段内，都只有一辆火车会在桥上行驶，避免对向两列火车在桥上相遇的复杂性。选择桥梁主跨1/4主跨附近外侧纵向桁架的一根斜杆，具***置见图1。图2是该斜杆上动应变片实测的一段代表性的应力时程，记录时间为05:46:10～05:47:10。60s的时间段内，有一辆八车厢火车和少量轻型汽车通过，平均风速较小。该段应力响应时程将被用于验证前述所提影响线识别方法的有效性。

通过青马桥的标准火车全长约182m，由8节车厢组成，火车构造如图3所示。每节车厢22.5m长，有2个相同的转向架，每个转向架支承在2个相同车轮上。由于8节车厢的转向架规则分布，故火车荷载可用16个竖向力表示，每个力分别代表一个转向架。相关的火车信息，如转向架重量、到达时刻、行驶速度和行驶方向等都通过健康监测***记录。

图4的基准影响线结果是通过桥梁有限元模型得到。基于公式(6和7)，可用正则化方法识别出影响线。由图4可见，使用正则化方法识别出的影响线能较好地吻合基准影响线，相比之下，用常规的最小二乘法识别出来的影响线结果则有较多的波动。尽管使用最小二乘法识别也基本捕捉住了影响线波动的趋势，但是这些较多的波动使它很难应用于后续的损伤检测。正则化方法在考虑残差最小的基础下，同时引入罚函数，利用克服病态矩阵求解上的困难。因此，正则化方法给出了一条更为平滑和接近于基准值的影响线。通过一番比较，很好地表明了上述识别方法的有效性及其进一步工程应用的可能性。

实施例2：基于香港青马大桥有限元模型验证影响线损伤指标

验证影响线损伤指标，需要桥梁在无损基准状态和损伤状态下的影响线信息。验证工作以香港青马大桥为研究对象，截至到目前，并未有青马桥上发现明显损伤的相关报道，所以无法利用桥梁实测数据验证损伤识别方法的有效性，故验证工作是基于桥梁的有限元模型开展的。

为了能更准确地分析桥梁局部构件的应力，建立了一个精细的桥梁有限元模型(如图5所示)。该有限元模型共有12898个节点，21946个单元，其中包含板单元2906个，梁单元19040个，模型考虑了主缆的几何非线性。以桥梁主跨1/4跨附近的位于两根吊杆之间箱梁内部的一个节段为例，桥梁主要构件包括南侧至北侧的纵向桁架、横梁、轨道梁和交叉支撑等(参见图2)。连接横梁的两个纵向桁架的功能如同桥梁的主梁，每个纵向桁架由上弦杆、下弦杆、竖杆及斜杆所组成。为了让模型的结构动力特性更接近真实桥梁，基于实测的前18阶的模态频率和振型，对该桥梁模型做了模型更新。

鉴于局部损伤产生的内力重分配仅发生在很有限的区域内，本实施例将讨论桥梁构件出现损伤后，附近构件的应力影响线变化。在后续的研究中，将分别讨论香港青马大桥斜杆和轨道梁出现损伤的工况。

第一个损伤工况，Ⅱ断面(x＝1692m)的斜杆的横截面面积减少到初始值的1％。随后输出损伤周边构件在桥梁损伤前后两种状态下的应力影响线。损伤对周边构件的影响可用应力影响线变化表征，亦即是基准影响线和损伤后的影响线的差值(公式(8)所示)。假定在某吊杆安装了应变片，输出该吊杆的应力影响线。图6展示了工况一中斜杆构件发生损伤后，损伤附近的一根吊杆在损伤前后的应力影响线及相应的影响线变化。该吊杆位于Ⅰ断面(x＝1678.5m)，距离损伤单元13.5m。它的影响线变化曲线关于Ⅱ断面，也就是受损的斜杆构件位置是近似于反对称的。除此之外，影响线变化曲线在Ⅱ断面位置斜率最大。

除了影响线变化指标，还定义了影响线变化的一阶导和二阶导损伤指标。为了比较不同的影响线指标用于损伤识别的效果，以下通过某特定斜杆构件损伤的工况，分别采用影响线变化Ω(x)、变化的一阶导Γ(x)和变化的二阶导Ψ(x)进行损伤识别验证。基于单位力的影响线、火车速度、轴重和轴间距等信息，可以重构火车经过青马桥时所产生在某个位置的准静态应力响应。为了研究上述损伤指标在实际应用的鲁棒性，在应力响应中加入相对于基准影响线幅值5％水平的“噪声”，这主要是为了考虑由动力效应、测量误差和其他不确定性所带来的波动。选择测量吊杆的应力，这是因为：(1)吊杆应力影响线对上述的工况中的损伤都较敏感；(2)青马大桥上相邻吊杆是等间距的，有利于识别损伤位置；(3)在吊杆上安装应变片较方便。

仍旧采用上述Ⅱ截面(x＝1692m)的斜杆构件损伤的工况。输出位于Ⅰ截面的吊杆E21085(x＝1678.5m)的应力影响线，经过处理后得到3种应力影响线损伤指标。图7～9展示了加入“噪声”前后，应用3种应力影响线损伤指标的识别结果。影响线变化指标Ω(x)，显示了由于附近构件出现损伤而引起的变化，却无法从这个指标中准确地定位损伤，因为在损伤位置附近出现了两个峰值。对于变化的一阶导Γ(x)指标，在Ⅱ断面损伤斜杆所在的位置出现了一个十分明显的峰值，因此该指标可较为准确地检测出损伤发生位置。而变化的二阶导Ψ)x)，在损伤位置附近同样出现了两个峰值。

另外，“噪声”也会对3种指标的损伤定位结果产生一定程度影响。指标Ψ(x)对噪声尤其敏感的，因噪声的影响，以致于不能分辨出损伤所引起的峰值。对于指标Ω(x)和Γ(x)，虽然噪声会导致这两条曲线出现明显的波动，但仍可较准确地识别出损伤引起的变化。结果表明：即使在5％噪声水平时，变化的一阶导Γ(x)指标仍能较好地识别出损伤位置。但是，若保持噪声水平不变，即使采用变化的一阶导指标Γ(x)，也很难检测出更微小的损伤。通过对上述检测结果的分析，可发现：针对所提出的3个损伤指标，变化的一阶导指标Γ(x)最适合应用于检测大跨径桥梁损伤的是否出现及出现位置。因此，后续仅对Γ(x)指标进行讨论。

进一步，影响线变化的一阶导指标Γ(x)被应用于检测多个位置损伤的工况。假定位于Ⅱ断面(x＝1692m)和Ⅲ断面(x＝1669.5m)的2根斜杆单元发生了严重的损伤。它们的横截面面积均下降为初始值的1％，这2根杆件都位于桥梁北侧，沿桥纵向间距为22.5m，测量位于两根斜杆间的吊杆的应力。同样地，在模拟的火车产生的应力响应中加入了5％水平的白噪声。图10是利用影响线变化的一阶导指标Γ(x)识别两处损伤的结果。虽然受到噪声的干扰，噪声幅值小于0.03MPa，在Ⅱ断面和Ⅲ断面仍可清楚地识别2个峰值，这说明该影响线损伤指标可适用于多处损伤位置的检测。

实施例3：基于香港青马大桥有限元模型验证融合多传感器信息的损伤识别方法

为了验证融合多传感器信息的损伤识别方法的可行性，选择青马大桥作为案例分析。利用青马大桥有限元模型模拟损伤，采用与实施例2相同的两个损伤工况，即：

工况一：选择将北桥向x＝1692m处位于桥梁北侧的斜杆横截面面积降至初始值1％。

工况二：假定位于北桥向x＝1692m和x＝1669.5m的2根斜杆单元发生了严重的损伤。它们的横截面面积均下降为初始值的1％，这2根杆件都位于桥梁北侧，沿桥纵向间距为22.5m。

考虑到实测应变响应中所存在的噪声影响，所应用的原始应力时程中均加入了5％水平的白噪声。

损伤工况一，北桥向x＝1692m处的斜杆面积降至初始值1％。将1/4主跨附近纵向x＝1642.5m到1705.5m视为关注区域。影响线因子的输出间距是4.5m，恰好是青马桥单榀桁架之间的距离。首先基于损伤附近编号为E21084、E21085、E21086吊杆上传感器的监测信息进行损伤定位，结果可见表1，表1中亦包括了融合多传感器信息的检测结果。对于各传感器，其下两列分别表示根据式(13)计算的基本概率数M_i(x_j)和根据式(16)计算的距离权重w_ij。该处共采用了3个传感器，监测了15个待检测位置，即i＝1,2,3，j＝1,2,…15，表1的最后一列是依据式(18)融合3个传感器监测信息的结果。

表1.D-S证据理论结合影响线指标的损伤识别结果

图11展示了分别基于单吊杆传感器信息及融合多传感器信息的损伤检测结果。由图可见，构件损伤位置的基本概率数相比非损伤位置的更大，即使仅基于单吊杆传感器的监测信息，仍旧可较好地实现损伤定位，这与上述结论相吻合。可也需要注意，该实施例中仅施加了5％水平的白噪声，非损伤位置波动已较大，若噪声水平有所增加，则仅仅基于单吊杆传感器信息是否还能有效地检测出损伤位置将有待思考。另一方面，融合多传感器信息，基本概率数达到了0.925，检测结果更佳，可较易与非损伤位置区别开。该结果表明D-S证据理论结合影响线损伤指标应用可较好地增强损伤附近传感器信息中由损伤引起的一致信息而消除不一致的由噪声引起的干扰。

对损伤工况二采用相似的识别步骤，检测结果见图12。由图可较好地定位两个损伤位置(截面II(x＝1692m)和III(x＝1669.5m))。若仅基于单传感器监测信息进行识别，传感器2信息可较好地识别该工况两个损伤位置，而传感器1信息仅能定位损伤位置DL₂。同时注意到，相比单传感器，融合多传感器信息的检测结果在两个损伤位置均出现了较大峰值。该结果表明了所提出的方法可适用于定位多点损伤。

选择损伤工况一作为案例分析，为了验证不同数量的吊杆位置传感器监测信息进行损伤定位的效果，传感器数量从2到4变化，识别结果详见图13。由图可见，随着所采用的传感器数量增加，融合检测结果在损伤位置，即x＝1692m处的基本概率数增加。当仅采用编号为E21085和E21086的吊杆上的传感器监测信息时，损伤位置出现了一个较大峰值，但x＝1687.5m这一非损伤位置也有一个小峰值，可认为是误判。当基于三个传感器信息融合检测时，损伤位置的基本概率数超过0.90。结果表明融合三个吊杆位置的传感器监测信息即足以适用于检测该单点损伤工况。同时，也需要注意，若损伤程度减小，可能就需要融合更多的传感器监测信息方能有效地检测出损伤位置。

考虑到不同响应输出位置的监测信息用于损伤识别效果有所差异，那么融合不同输出位置响应的检测效果可能也会因此存在差异。为此，讨论采用安装在不同类型桥梁构件上的传感器监测信息进行数据融合的检测结果。仍旧以损伤工况一作为案例分析，除了距离损伤位置较近的E21085吊杆上的传感器监测信息，此时还选择了该吊杆附近的E31375上弦杆，E39376轨道梁上的传感器监测信息。基于单传感器及融合多传感器信息的识别结果可见图14，对于轨道梁的监测信息，其在损伤位置的基本概率数比其他两种构件的均相对较大。另外，融合该三处传感器监测信息的基本概率数达到了0.93，较融合相同数量吊杆上传感器信息的损伤检测结果更佳。该结果表明：若选择在合适的构件上安装传感器，那么结合数据融合工具的影响线方法可更好地进行损伤识别。

Claims (4)

1.结构健康监测***下基于影响线的桥梁局部损伤识别方法，其特征在于包括以下步骤：

1)桥梁影响线的快速识别；

2)影响线损伤指标的构造；

3)融合多传感器信息的损伤识别。

2.如权利要求1所述结构健康监测***下基于影响线的桥梁局部损伤识别方法，其特征在于在步骤1)中，所述桥梁影响线的快速识别的具体方法如下：

假设车辆沿直线在桥上行驶，车辆各轴轴重对桥的影响相互独立，则移动车辆所引起的响应R_s近似地表示为各轴引起响应的叠加：

$R_s\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}A\left(i\right)\×\mathrm{\Φ}(x-D(i\left)\right)$

式中R_s表示车作用在顺桥向x位置(第一个车轴的所在位置)时，引起的所关心位置的响应，Φ(x)表示单位力在对应位置的影响线函数，N表示车辆的轴数，A(i)表示车辆第i个轴的轴重，D(i)表示车辆第i个轴与第一个轴的间距，其中，桥梁关键位置的响应时程R_s(t)通常由实测得到，若已知车辆速度v，则R_s(t)通过下式转换为R_s(x)：

x＝t×v

当车辆在桥梁上行进，假设其保持匀速，即车速为v，根据采样频率和有限元网格划分，将函数R_s(x)和Φ(x)离散成向量R_s和Φ，因此，上式写成矩阵形式：

R_s＝LΦ

或

式中，R_s表示桥梁某一特定位置的响应向量，p是应力测量的采样点个数，L表示基于车辆信息建立的荷载矩阵，信息包含车辆轴重及轴间距，Φ表示影响线向量，q是影响线上的离散点，即应力影响因子的个数；

若已知响应向量和荷载矩阵，且p≠q，则影响线识别就是求解一个逆问题，考虑到实测的桥梁响应除了包含通过影响线重构的部分，还不可避免地存在波动项，主要是来自于动力冲击效应、轨道不平顺、道路粗糙、其他荷载干扰和测量误差，因此，实测响应R_m表示成两部分的叠加：

R_m＝LΦ+η

式中，第一项表示准静态响应，它通过静力影响线估计，第二项表示考虑了动力和噪音因素所引起的干扰向量η；

在设置影响线识别的优化目标函数时，采用Tikhonov法的以下表述方法：

$I_{\mathrm{\α}}=\arg \underset{f\∈R^n}{\min }\left|\right|R_m-L\×\mathrm{\Φ}|{|}^2+\mathrm{\α}|\left|P\right||$

式中，{arg min}为函数的最小化，||R-L×Φ||²表示误差项的平方和，||P||是罚函数，通过先验信息建立，α是罚函数的权重，考虑到大多数桥梁构件的影响线在绝大多数位置都是平滑的曲线，为了限制影响线结果的剧烈跳动，采用如下的罚函数形式：

$\left|\right|P\left|\right|=\underset{i=1}{\overset{n-2}{\mathrm{\Σ}}}\[2\mathrm{\φ}(i+1)-\mathrm{\φ}\left(i\right)-\mathrm{\φ}(i+2)\]$

基于定义的目标函数I_α，利用遗传算法寻找影响线的最优解，所述遗传算法以一个初始种群为开始，评估种群中个体的适应性，然后生成下一代的新的个体。

3.如权利要求1所述结构健康监测***下基于影响线的桥梁局部损伤识别方法，其特征在于在步骤2)中，所述影响线损伤指标的构造的具体步骤为：

将无损状态下的桥梁影响线作为基准影响线，当桥梁出现损伤时，将影响线的变化量作为损伤指标：

Ω(x)＝Φ(x)-Φ_BL(x)

式中，Φ(x)和Φ_BL(x)分别表示待检测状态下的影响线与基准影响线，影响线上离散点定义为影响线因子，它们是顺桥向位置x的函数，表示单位力作用于该位置时特定应力输出点的应力值，若结构未损伤，或者损伤位置远离应力输出点，影响线变化Ω(x)值会非常小，甚至可以忽略，相反，损伤位置附近的影响线变化Ω(x)会很显著；

为了提高指标对桥梁损伤的敏感性，采用近似于求导的方法，定义另外一个损伤指标，影响线变化的一阶导如下：

$\mathrm{\Γ}\left(x\right)=\frac{\mathrm{\Ω}\left(x\right)-\mathrm{\Ω}(x-\mathrm{\Δ}x)}{\mathrm{\Δ}x}$

式中，Δx表示相邻影响线因子的间距，同样地，定义影响线变化的两阶导也作为损伤指标：

$\mathrm{\Ψ}\left(x\right)=\frac{\mathrm{\Γ}\left(x\right)-\mathrm{\Γ}(x-\mathrm{\Δ}x)}{\mathrm{\Δ}x}.$

4.如权利要求1所述结构健康监测***下基于影响线的桥梁局部损伤识别方法，其特征在于在步骤3)中，所述融合多传感器信息的损伤识别的具体方法为：

选择Dempster-Shafer证据理论融合多传感器位置的影响线损伤指标，首先建立一个关注区域所有的位置识别框架，融合多传感器信息进行损伤定位，该框架建立如下：

Θ＝{x₁,x₂,…,x_m}

其中，x表示关注区域内的待检测位置，下标m表示关注区域内待检测位置个数；

基于关注区域内所有待检测位置的影响线变化一阶导Γ，计算并构造各待检测位置x_j(1,…,m)的基本概率数向量：

[M(x₁),M(x₂),…,M(x_m)]

其中，

$M\left(x_j\right)=\frac{\left|\mathrm{\Γ}\left(x_j\right)\right|}{\underset{k=1}{\overset{m}{\Σ}}\left|\mathrm{\Γ}\left(x_k\right)\right|}$

式中，|·|表示取绝对值，Γ(x_j)表示x_j位置的影响线变化的一阶导，M(x_j)即为位置x_j的基本概率数，基于对影响线变化的一阶导指标的理解，若不考虑其他干扰，指标曲线的峰值将会出现在结构损伤位置的附近，因此，经过标准单位化后的基本概率数用于表征待检测位置x_j发生损伤的可能性；

若基于多源信息(多传感器)进行损伤检测，则待检测位置的基本概率数向量扩展成为如下矩阵：

$M=\left[\begin{array}{cccc}{M}_1\left(x_1\right)& M_1\left(x_2\right)& ...& M_1\left(x_m\right)\\ M_2\left(x_1\right)& M_2\left(x_2\right)& ...& M_2\left(x_m\right)\\ ...& ...& ...& ...\\ M_n\left(x_1\right)& M_n\left(x_2\right)& ...& M_n\left(x_m\right)\end{array}\right]$

其中，下标m表示待检测位置个数，n表示融合的传感器个数，M_i(x_j)表示基于i号传感器信息判断待检测位置x_j是否发生损伤的基本概率数，因此，矩阵中任意行均表示仅基于某个传感器信息所建立的基本概率数；

依据Dempster-Shafer证据理论，融合n个传感器的信息后，确定对于待检测位置x_j的基本概率数：

$M\left(x_j\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Π}}{M}_i\left(x_j\right)/\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}\left(\underset{j=1}{\overset{n}{\Π}}{M}_i\right(x_j\left)\right)$

上述的多传感信息融合表达式，对不同的传感器都设置了相同的权重，考虑到传感器与待检测位置之间的距离并不相同，实际造成基于不同传感器的识别结果的可信度也存在差异，传感器距离待检测位置过远，在某种程度上，会影响该传感器检测结果的可信度，因此，基于传感器与待检测位置的距离远近，设置如下的权重函数：

$w_{ij}=\frac{1/D_{ij}}{\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}(1/D_{ij})}$

$D_{ij}=\sqrt{{(x_i-x_j)}^2+{(y_i-y_j)}^2+{(z_i-z_j)}^2}$

式中，权重函数w_ij的取值，与传感器i到待检测位置x_j的距离D_ij直接相关，x_i，y_i，z_i表示i号传感器的空间坐标，x_j，y_j，z_j表示待检测位置x_j的空间坐标，引入新的权重函数后，待检测位置x_j的基本概率数表示为：

$M\left(x_j\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Π}}{w}_{ij}{M}_i\left(x_j\right)/\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}\left(\underset{j=1}{\overset{n}{\Π}}{w}_{ij}{M}_i\right(x_j\left)\right).$