CN105224766A - 一种基于最小次序统计量的齿轮概率寿命预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明一种基于最小次序统计量的齿轮概率寿命预测方法，属于机械可靠性领域，本发明借助最小次序统计量概念建立了齿轮寿命分布转化模型，该模型将齿轮寿命试验数据作为已知条件，通过转化可以预测任意齿数(齿轮其它参数不变)的齿轮寿命分布，且使用简单；同时，已对大量的试验数据进行了验证，模型对处理小样本量或分散性较大的试验数据同样有效，很适用于齿轮寿命试验数据的特点；本发明将齿轮的寿命信息与预测模型相结合，可以在保证概率寿命预测非常可靠的前提下显著减少齿轮试验的工作量，尤其对长寿命高精度齿轮试验意义明显。

Description

一种基于最小次序统计量的齿轮概率寿命预测方法

技术领域

本发明属于机械可靠性领域，具体涉及一种基于最小次序统计量的齿轮概率寿命预测方法。

背景技术

齿轮是使用最为普遍的机械核心零件之一，随着机械工业的发展，对齿轮的使用寿命及可靠性提出了更高的要求，特别是航空工业所用的齿轮，工作状态下的任何失效，都可能造成严重后果；因此，准确、有效地评价、预测齿轮寿命，尤其是概率寿命至关重要；

一般来说，通过齿轮的寿命试验可以获得齿轮的寿命分布信息；然而，齿轮的寿命试验需要大量的样本、时间以及繁琐的分析过程，并且试验所得数据还存在大量不完全明确的信息；随着市场竞争的加剧，研发齿轮产品所允许的时间愈来愈短，单纯依靠试验获得齿轮寿命数据难以满足工程需要；因此，通过适当的模型预测齿轮寿命，对于减少齿轮试验的工作量、缩短齿轮的研制周期意义明显；

国内外已有大量学者对齿轮的寿命预测方法进行了研究；模型大多以断裂力学为基础，根据材料性能预测零件性能；然而，材料与零件性能之间的差异使得模型应用复杂、预测结果不可靠。

发明内容

针对现有技术的不足，本发明提出一种基于最小次序统计量的齿轮概率寿命预测方法，以达到减轻齿轮试验的工作量，同时保证寿命预测结果可靠的目的。

一种基于最小次序统计量的齿轮概率寿命预测方法，包括以下步骤：

步骤1、对多对齿轮进行疲劳试验，获得齿轮的寿命试验数据；

步骤2、对齿轮的寿命试验数据进行拟合，得到齿轮的寿命分布参数估计；

步骤3、基于最小次序统计量建立模型，将齿轮的寿命分布参数估计代入模型，获得单个轮齿的寿命分布；

步骤4、将单个轮齿的寿命分布转化为目标齿数的齿轮寿命分布，完成齿轮的概率寿命预测。

步骤2所述的对齿轮的寿命试验数据进行拟合，得到齿轮的寿命分布参数估计，具体为：采用两参数威布尔分布函数进行拟合，获得威布尔分布函数的形状参数估计和尺度参数估计。

步骤3所述的基于最小次序统计量建立模型，具体如下：

特定齿数的齿轮寿命累积分布函数G₍₁₎(t)的表达式为：

G₍₁₎(t)＝1-[1-F(t)]ⁿ(1)

根据公式(1)获得单个齿的寿命累积分布函数表达式为：

F(t)＝1-[1-G₍₁₎(t)]^1/n(2)

式中，F(t)表示单个齿的寿命累积分布函数；n表示特定齿轮的齿数。

步骤4所述的将单个轮齿的寿命分布转化为目标齿数的齿轮寿命分布，具体如下：

目标齿数的齿轮寿命累积分布函数G′₍₁₎(t)表达式如下：

G′₍₁₎(t)＝1-[1-F(t)]^n′(3)

式中，F(t)表示单个齿的寿命累积分布函数；n′表示目标齿轮的齿数；

将F(t)＝1-[1-G₍₁₎(t)]^1/n代入式(3)中，将特定齿数的齿轮寿命分布转换为目标齿数的齿轮寿命分布：

G′₍₁₎(t)＝1-[1-G₍₁₎(t)]^n′/n(4)

式中，G₍₁₎(t)表示特定齿数的齿轮寿命累积分布函数，n表示特定齿轮的齿数。

本发明优点：

本发明提出一种基于最小次序统计量的齿轮概率寿命预测方法，本发明借助最小次序统计量概念建立了齿轮寿命分布转化模型，该模型将齿轮寿命试验数据作为已知条件，通过转化可以预测任意齿数(齿轮其它参数不变)的齿轮寿命分布，且使用简单；同时，已对大量的试验数据进行了验证，模型对处理小样本量或分散性较大的试验数据同样有效，很适用于齿轮寿命试验数据的特点；本发明将齿轮的寿命信息与预测模型相结合，可以在保证概率寿命预测非常可靠的前提下显著减少齿轮试验的工作量，尤其对长寿命高精度齿轮试验意义明显。

附图说明

图1为本发明一种实施例的基于最小次序统计量的齿轮概率寿命预测方法流程图；

图2为本发明一种实施例的单齿寿命概率密度曲线图，图(a)是基于10个齿轮寿命试验数据的转化模型结果与基于250个随机截尾数据的验证结果的对比图，图(b)是基于15个齿轮寿命试验数据的转化模型结果与基于375个随机截尾数据的验证结果的对比图，图(c)是基于20个齿轮寿命试验数据的转化模型结果与基于500个随机截尾数据的验证结果的对比图，图(d)是基于25个齿轮寿命试验数据的转化模型结果与基于625个随机截尾数据的验证结果的对比图；

图3为本发明一种实施例的基于标准差为4.1279×10⁵的25个齿轮寿命数据的单齿寿命分布转化模型结果和随机截尾数据验证结果对比图；

图4为本发明一种实施例的基于标准差为1.1097×10⁶的25个齿轮寿命数据的单齿寿命分布转化模型结果和随机截尾数据验证结果对比图；

图5为本发明一种实施例的基于标准差为3.7968×10⁶的25个齿轮寿命数据的单齿寿命分布转化模型结果和随机截尾数据验证结果对比图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明一种实施例做进一步说明。

本发明实施例中，基于最小次序统计量的齿轮概率寿命预测方法，方法流程图如图1所示：包括以下步骤：

步骤1、对多对齿轮进行疲劳试验，获得齿轮的寿命试验数据；

断齿是齿轮发生故障最主要最严重的损伤形式，轮齿断裂可以直接导致动力传输***失效，航空齿轮的断齿失效还可能导致机毁人亡的惨剧；

本发明实施例中，疲劳试验的目的是获得齿轮的齿根弯曲疲劳寿命数据、验证有关模型；对标准直齿圆柱齿轮进行试验，按GB/T14230要求设计，模数m＝6mm，齿数n＝25，齿宽b＝16mm，齿轮材料为20CrMnTi；试验设备采用功率流封闭式齿轮试验机，采用机械封闭杠杆加载方式，各轴端采用双轴承支撑；试验齿轮的中心距为150mm，传动比1_∶1，试验采用全齿宽接触，齿轮转速恒定为1460r/min；

本发明实施例中，齿轮弯曲疲劳寿命试验数据如表1所示：

表1

步骤2、对齿轮的寿命试验数据进行拟合，得到齿轮的寿命分布参数估计；

本发明实施例中，使用多种分布函数对表1中的数据进行拟合，发现两参数威布尔分布函数对数据拟合得较好；对于分布参数估计方法的选取，考虑到极大似然估计需要求解非常复杂的超越方程，且在小样本情形下估计是有偏的；线性最小方差估计和最小二乘方估计都需要用到专门的数学用表(线性无偏估计系数表或中位秩表)，应用繁琐；表1中的试验数据全部为完全寿命数据，为了计算简单，采用矩估计法对两参数威布尔分布进行参数估计；

本发明实施例中，齿轮的疲劳寿命分布采用两参数威布尔分布表示，其累积分布函数为：

G₍₁₎(t)＝1-exp[-(t/θ)^β]，t＞0(5)

式中：β表示形状参数，θ表示尺度参数，t表示寿命；

本发明实施例中，将表1中的齿轮寿命试验数据代入两参数威布尔分布函数中，获得威布尔分布函数的形状参数估计尺度参数估计

步骤3、基于最小次序统计量建立模型，将齿轮的寿命分布参数估计代入模型，获得单个轮齿的寿命分布；

最小次序统计量的概念为，设X₁，X₂，...，X_n为取自总体X的样本，将其按大小次序排列X₍₁₎≤X₍₂₎≤...≤X_(n)，称X₍₁₎＝min(X₁，X₂，...，X_n)为最小次序统计量；若X的概率密度函数为f(x)，累积分布函数为F(x)，则最小次序统计量的概率密度函数g₍₁₎(x)为：

g₍₁₎(x)＝n[1-F(x)]^n-1f(x)(6)

对于概率寿命预测而言，可以将一个齿轮看成一个串联***，各个齿看成***中的零件；如果任意齿失效，使齿轮无法完成传递动力或运动的功能，则齿轮这个串联***失效；考虑齿轮串联***，从失效模式看，齿轮失效可以仅由一个齿失效引起，也可以由多于一个齿同时失效导致；又由于齿轮的失效自然是最弱齿最先失效，齿轮中最弱齿的失效就意味着整个齿轮的失效；根据次序统计量的定义，齿轮的寿命分布等同于概率意义上的最弱齿的寿命分布，即齿轮各齿寿命最小次序统计量的分布；一般来说，对于同一批齿轮产品，其材料、加工设备、制造及热处理工艺等均相同，因此，可以将一个齿轮的各个齿在给定载荷历程下的寿命看作独立同分布随机变量；

通过以上分析，将式(6)两边积分，得到n个齿的寿命最小次序统计量的累积分布函数G₍₁₎(t)，即特定齿数(即步骤1中试验齿轮的齿数)的齿轮寿命累积分布函数G₍₁₎(t)的表达式为：

G₍₁₎(t)＝1-[1-F(t)]ⁿ(1)

根据公式(1)获得单个齿的寿命累积分布函数表达式为：

F(t)＝1-[1-G₍₁₎(t)]^1/n(2)

将公式(6)代入公式(2)中，获得：

F(t)＝1-exp[-(t/(θn^1/β))^β]，t＞0(7)

式中，F(t)表示单个齿的寿命累积分布函数；n表示齿轮的齿数；

本发明实施例中，将齿数为n的齿轮寿命分布转化为单齿的寿命分布；从分布函数的形式可见，单齿的寿命分布同样为两参数威布尔分布；其中，形状参数仍为β，尺度参数变为θn^1/β，将齿轮的寿命分布转化为单齿的寿命分布，其分布参数变为

步骤4、将单个轮齿的寿命分布转化为目标齿数的齿轮寿命分布，完成齿轮的概率寿命预测；

本发明实施例中，对于齿数为n′(n′≠n)的齿轮，其它设计参数与齿数为n的齿轮相同(即可用F(t)同时作为两种齿数的齿轮单齿寿命累积分布函数)，目标齿数的齿轮寿命累积分布函数G′₍₁₎(t)表达式如下：

G′₍₁₎(t)＝1-[1-F(t)]^n′(3)

式中，F(t)表示单个齿的寿命累积分布函数；n′表示目标齿轮的齿数；

将F(t)＝1-[1-G₍₁₎(t)]^1/n代入式(3)中，将特定齿数的齿轮寿命分布转换为目标齿数的齿轮寿命分布：

G′₍₁₎(t)＝1-[1-G₍₁₎(t)]^n′/n(4)

本发明实施例中，式(4)即为利用最小次序统计量概念建立的齿轮寿命分布转化模型，它将齿数为n的齿轮寿命分布转化为齿数为n′的齿轮寿命分布(两种齿轮其它设计参数相同)；因此，只要已知某种齿轮的寿命分布就可以求出齿数不同而其它设计参数相同的齿轮寿命分布；模型表明，随着齿数n′的增大，G′₍₁₎(t)也增大，阐释了在串联***中，构成***的单元数越多，***的失效概率越高的规律；

将公式(7)代入至公式(3)中，获得如下表达式：

G′₍₁₎(t)＝1-exp[-(t/(θ(n/n′)^1/β))^β]，t＞0(8)

本发明实施例中，将齿数为n的齿轮寿命分布转化为齿数为n′的齿轮寿命分布；转化后的寿命分布仍为两参数威布尔分布，形状参数仍为β，尺度参数变为θ(n/n′)^1/β。

本发明实施例中，采用随机截尾数据分布参数估计方法结合单齿寿命试验数据对模型的第一次转化进行验证，即验证模型F(t)＝1-[1-G₍₁₎(t)]^1/n：

针对试验中的齿轮对啮合传动，由于在运转过程中主动齿轮和从动齿轮上的运动扭矩不同，且在试验过程中发现，都是主动齿轮发生断齿失效，因此，将主动齿轮作为寿命研究对象。

若主动齿轮由n个齿构成，可将各齿的寿命看作独立同分布随机变量，任意一个齿失效则试验停止。记下寿命循环次数，这个循环次数即为1个齿的失效数据和n-1个齿的截尾数据(n-1个齿的寿命大于记录的循环次数)。若试验共获得k个“寿命循环次数”，就得到k个齿的失效数据和k(n-1)个齿的截尾数据。

本发明实施例中，将表1中的齿轮寿命试验数据转变成单齿寿命随机截尾数据，使用随机截尾数据处理方法计算得到单齿寿命分布参数估计值，并与本发明由寿命分布转化模型得到的单齿寿命分布结果作对比；

不同样本量试验数据的参数估计对比如下：

首先考虑表1中前10个齿轮寿命试验数据，经过转变可以得到由10个失效数据和240个截尾数据组成的250个单齿寿命随机截尾数据；将基于10个失效数据的转化模型结果与基于250个随机截尾数据的验证结果进行分布参数对比；同理考虑15个、20个和25个齿轮寿命试验数据，单齿寿命分布参数对比结果如表2所示：

表2

由表2可以看出，基于不同样本量的齿轮寿命试验数据，两种方法得到的单齿寿命分布参数估计都有较好的接近程度(如图2中图(a)、图(b)、图(c)和图(d)所示)，表明本发明转化模型的合理性；关于由两种不同方法得出的单齿寿命分布参数之间的差异，可以看到对样本量不敏感，原因是在表1所选的齿轮样本范围内，单齿的截尾数据量都很大；此外，由于截尾数据量比失效数据大得多，根据截尾试验数据估计出的寿命分布参数精度不会很高。

本发明实施例中，齿轮寿命试验数据分散性的差异对寿命分布转化模型计算结果的影响如下：

使用计算机在指定数据均值与标准差的条件下生成两组随机数，样本量都为25；将表1中齿轮寿命试验数据的均值作为两组随机数的均值，将表中数据的标准差缩小3倍和放大3倍分别作为两组随机数的标准差；将这两组随机数看成齿轮的寿命数据，同样使用上述两种方法计算得到基于25个齿轮寿命数据的单齿寿命分布参数对比结果如表3所示(中间一列数据为齿轮寿命试验数据的结果，取自表2)：

表3

由表3和图3～图5可以发现，当齿轮寿命数据的样本量不变，通过改变数据的分散性并没有明显改变两种方法的相对结果，可见转化模型对试验数据的分散性要求并不苛刻；

综上所述，本发明基于最小次序统计量的概念建立了齿轮疲劳寿命分布转化模型，模型可以将特定齿数的齿轮寿命分布转化为任意齿数(其它设计参数相同)的齿轮寿命分布；在恒定应力水平下进行齿轮疲劳试验，获得20CrMnTi渗碳齿轮的齿根弯曲疲劳寿命数据；通过参数对比验证了模型具有很好的寿命预测能力，同时证明了模型对处理小样本量或不同分散性的试验数据的有效性。因此，寿命分布转化模型很适合于齿轮疲劳试验样本量小、寿命数据分散性大的特点；将齿轮的寿命信息与转化模型相结合，可以在保证寿命分布预测精度的前提下显著减少齿轮可靠性试验的工作量，尤其对于长寿命高精度齿轮试验来说意义明显。

Claims (4)

1.一种基于最小次序统计量的齿轮概率寿命预测方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、对多对齿轮进行疲劳试验，获得齿轮的寿命试验数据；

步骤2、对齿轮的寿命试验数据进行拟合，得到齿轮的寿命分布参数估计；

步骤3、基于最小次序统计量建立模型，将齿轮的寿命分布参数估计代入模型，获得单个轮齿的寿命分布；

步骤4、将单个轮齿的寿命分布转化为目标齿数的齿轮寿命分布，完成齿轮的概率寿命预测。

2.根据权利要求1所述的基于最小次序统计量的齿轮概率寿命预测方法，其特征在于，步骤2所述的对齿轮的寿命试验数据进行拟合，得到齿轮的寿命分布参数估计，具体为：采用两参数威布尔分布函数进行拟合，获得威布尔分布函数的形状参数估计和尺度参数估计。

3.根据权利要求1所述的基于最小次序统计量的齿轮概率寿命预测方法，其特征在于，步骤3所述的基于最小次序统计量建立模型，具体如下：

特定齿数的齿轮寿命累积分布函数G₍₁₎(t)的表达式为：

G₍₁₎(t)＝1-[1-F(t)]ⁿ(1)

根据公式(1)获得单个齿的寿命累积分布函数表达式为：

F(t)＝1-[1-G₍₁₎(t)]^1/n(2)

式中，F(t)表示单个齿的寿命累积分布函数；n表示特定齿轮的齿数。

4.根据权利要求1所述的基于最小次序统计量的齿轮概率寿命预测方法，其特征在于，步骤4所述的将单个轮齿的寿命分布转化为目标齿数的齿轮寿命分布，具体如下：

目标齿数的齿轮寿命累积分布函数G'₍₁₎(t)表达式如下：

G'₍₁₎(t)＝1-[1-F(t)]^n'(3)

式中，F(t)表示单个齿的寿命累积分布函数；n′表示目标齿轮的齿数；

将F(t)＝1-[1-G₍₁₎(t)]^1/n代入式(3)中，将特定齿数的齿轮寿命分布转换为目标齿数的齿轮寿命分布：

G'₍₁₎(t)＝1-[1-G₍₁₎(t)]^n'/n(4)

式中，G₍₁₎(t)表示特定齿数的齿轮寿命累积分布函数，n表示特定齿轮的齿数。