CN101943245A - 直线-圆弧齿廓内啮合圆柱齿轮副齿形优化设计方法 - Google Patents

Abstract

一种直线-圆弧齿廓内啮合圆柱齿轮副齿形优化设计方法，设计的内齿轮副由直线齿廓内齿圈和圆弧齿廓外齿轮组成，内齿轮副是圆柱直齿轮。首先根据齿轮副工况确定齿轮副模数和齿数，确定了齿轮副内外齿轮的齿顶圆、分度圆、齿根圆后，内齿轮齿廓设计为简单的直线齿廓，再以圆弧齿廓替代外齿轮共轭齿廓引起的啮合传动误差为最小的优化设计方法确定了外齿轮圆弧齿廓的齿形参数，即圆弧齿廓圆弧半径及圆弧中心位置。本发明的有益效果是，圆弧齿廓能完全替代外齿轮共轭齿廓，这种内齿轮副可以分别通过成形法磨削工艺和圆弧齿轮的磨削工艺进行内、外齿轮的硬齿面磨削加工，精度可到达6级。

Description

直线-圆弧齿廓内啮合圆柱齿轮副齿形优化设计方法 

技术领域

本发明属于机械传动技术领域，具体涉及一种机械传动***中应用的直线-圆弧齿廓内啮合圆柱齿轮副齿形的优化设计方法。 

背景技术

内齿轮副具有传动比大、低振动、低噪音、齿磨损小、抗胶合能力强等优点，广泛应用于行星齿轮传动系、少齿差与零齿差内齿轮副、回转支承中。提高内齿轮副的性能，大力促进其推广应用是齿轮研究的主要方向之一。目前内齿轮副中采用较多的是渐开线齿廓，因为国内内齿轮磨齿机床较少，进口的相应机床价格昂贵，所以要普遍实现内齿轮硬齿面化难度很大，而齿轮不能实现硬齿面化将严重影响齿轮副的整体性能和使用寿命。寻求一种工艺上易于实现高效磨齿的内齿轮齿廓代替渐开线齿廓，有显著的工程应用价值。将内齿轮齿廓设计为直线是一个可行工艺，使用这种齿廓采用成形法磨齿其精度可以达到6级。 

内齿轮副的内齿轮采用直线齿廓，与其啮合的外齿轮采用什么齿廓也是不能忽视的问题，因为齿轮的承载能力与齿形精度和齿距误差密切相关，与直线齿廓啮合的外齿轮齿廓是共轭曲线，其加工难度很大，基本不采用，目前有关研究是，在申请号200720046096.0“直线-圆弧齿廓内齿轮传动副”的专利中，与直线齿廓相啮合的是圆弧齿廓，可以借用圆弧外齿轮的加工工艺，但是该圆弧齿廓是由外齿轮共轭齿廓与外齿轮齿顶圆、分度圆、齿根圆相交的三点决定的，替代外齿轮共轭齿廓有一定的误差，在申请号200910064116.0“直线—渐开线齿廓内啮合圆柱齿轮副”的专利中，外齿轮采用的是同模数的渐开线齿廓，而与渐开线齿廓啮合的直线齿廓应该是齿条，这样处理其齿形误差是很明显的。 

发明内容

本发明要解决的技术问题是，内齿轮副的内齿轮采用直线齿廓后，找到一种设计方法设计与内齿轮啮合的外齿轮齿廓形状，设计出的齿轮副齿形误差即齿轮啮合传动转角误差很小，小于0.005°，使圆弧齿廓能完全替代外齿轮共轭齿廓。 

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：本发明所提供的直线-圆弧齿廓内齿轮副由直线齿廓内齿圈和圆弧齿廓外齿轮组成(图1，图2)，内齿轮副是圆柱直齿轮。首先根据齿轮副传动扭矩和传动比确定齿轮副模数和齿数，齿轮副内外齿轮的齿顶圆、分度圆、齿根圆就确定下来了，将内齿轮齿廓设计为简单的直线齿廓，其齿顶圆与齿根圆之间的齿形用直线方程表示，再用优化设计方法确定使啮合传动误差最小的外齿轮圆弧齿廓的齿形参数，使圆弧齿廓能完全替代外齿轮共轭齿廓。 

内齿轮的齿形为直线齿廓，取图3所示坐标系，其方程为： 

$\left.\begin{array}{c}{x}_1=-\frac{1}{2}m{z}_2\sin \frac{\mathrm{\π}}{2z_2}-h\sin \mathrm{\γ}+2\mathrm{ht}\sin \mathrm{\γ}\\ y_1=\frac{1}{2}m{z}_2\cos \frac{\mathrm{\π}}{2z_2}-h\cos \mathrm{\γ}+2\mathrm{ht}\cos \mathrm{\γ}\end{array}\right\}---\left(1\right)$

式中：m为齿轮模数，z₂为内齿轮齿数，γ为内齿轮齿形半角(直线齿廓与Y轴的夹角，取值范围25～32°，图3所示)，h为全齿高，t为0到1之间连续变化的自然数。 

外齿轮齿形优化方法步骤如下： 

1、确定设计变量及参数选择 

根据内齿轮副传动工况，预确定传动比i，齿数z₁、z₂，由接触强度、弯曲强度等力能参数计算确定了齿轮模数m，并预定齿顶高系数h_a ^*、齿根高系数h_f ^*后，内齿圈齿形就取决于齿形半角γ，与之啮合的圆弧外齿轮齿形就取决于圆弧半径R和圆弧中心位置，而该圆弧中心位置O_C(图2)可以由式(2)、(3)计算确定，所以设计变量取γ和R。 

X_CO＝O_CP×cosγ＝(R-R_b+r₂×sinγ)cosγ             (2) 

Y_CO＝r₁-O_CP×sinγ＝r₁-(R-R_b+r₂×sinγ)sinγ       (3) 

式中(图4) 

O_CP＝O_CN₁-PN₁＝R-R_b+r₂*sinγ                       (5) 

外齿轮节圆半径r₁为 内齿轮节圆半径r₂为 

X＝[x₁，x₂]^T＝[γ，R]^T                       (6) 

2、建立目标函数 

本文讨论的是在保证足够接触强度条件下(先确定齿轮模数)，能使内齿轮进行正确啮合传动的齿形，且内外齿轮齿形均能磨削。内齿轮副能进行正确连续啮合传动的条件是周节相等和啮合重合度大于1。用圆弧齿廓替代直线齿廓的共轭齿廓会引起齿形误差，即周节不相等，就会产生啮合传动转角误差。本数学模型以直线—圆弧齿廓啮合传动误差为最小作为优化目标函数，啮合重合度大于1在约束条件中考虑。直线—圆弧齿廓啮合传动误差为(图4)： 

式中：i-传动比，为 

a-中心矩， 

将式(7)中的γ、R分别用x₁、x₂代替得目标函数为 

节圆上单齿传动齿形误差为 

3、建立约束函数 

(1)啮合重合度 

啮合重合度为端面作用角与齿距角之比 

$\mathrm{\ϵ}=\frac{{\mathrm{\α}}_1+{\mathrm{\α}}_2}{\frac{2\mathrm{\π}}{z_2}}---\left(10\right)$

式中：α₁、α₂分别为啮合起点和终点对应的内齿圈转角，有 

${\mathrm{\α}}_1=\arcsin \sqrt{{\sin }^2(\mathrm{\γ}+\frac{\mathrm{\π}}{2z_2})+1-{\left(\frac{r_{a2}}{r_2}\right)}^2}-\mathrm{\γ}---\left(11\right)$

${\mathrm{\α}}_2=\mathrm{\γ}-\arcsin \frac{R_b*(r_2-r_1)-\sqrt{{R_b}^2*{(r_1-r_2)}^2-({r_2}^2-2r_1{r}_2)*({r_1}^2-{r_{a1}}^2+{R_b}^2)}}{{r_2}^2-2r_1{r}_2}---\left(12\right)$

式中：r_a1、r_a2分别为外、内齿轮齿顶圆半径，代入式(10)，约束函数为 

g₁(x)＝1-ε≤0即 

(2)内齿轮极限齿形半角γ的限制 

齿形半角不能取过大，否则将使齿根园消失或使齿顶厚为零。 

$g_2\left(x\right)=\mathrm{\γ}-\arctan \frac{r_1*\sin \frac{\mathrm{\π}}{2z_1}}{r_{a1}-r_1*\cos \frac{\mathrm{\π}}{2z_1}}\≤0---\left(14\right)$

$g_3\left(x\right)=\mathrm{\γ}-\arctan \frac{r_{a1}*\sin \frac{\mathrm{\π}}{z_1}-r_1*\sin \frac{\mathrm{\π}}{2z_1}}{r_1*\cos \frac{\mathrm{\π}}{2z_1}-r_{a1}*\cos \frac{\mathrm{\π}}{z_1}}\≤0---\left(15\right)$

(3)内齿轮副啮合极限点的限制 

直线齿廓在径向不是无限延伸的，应满足下式 

$g_4\left(x\right)=a+r_{a2}-r_1*\sqrt{1+{\sin }^2(\mathrm{\γ}+\frac{\mathrm{\π}}{2z_2})}\≤0---\left(16\right)$

为简化优化设计模型，内齿轮副啮合干涉等通过运动仿真检验，这里不列入约束函数。 

4、编程计算 

根据上述优化数学模型，用MATLAB语言进行编程，优化计算时注意到目标函数中参数 

为内齿轮的转角，一对齿廓从啮入到啮出， 

从-α₁变化到α₂，先用齿形半角γ＝25°代入式(11)、(12)计算出α₁、α₂值， 

从-α₁变化到α₂过程中，啮合转角误差是变化的，通过优化循环计算使啮合转角误差的最大值为最 小，再用求出的优化结果的γ值代入式(15)、(16)计算出α₁、α₂值，再搜索使转角误差中最大值为最小的设计变量，重复上述过程，直到满足收敛精度。 

5、输出优化结果，并确定齿形参数 

输出满足约束条件的优化结果，得到优化参数：内齿圈齿形半角γ和外齿轮齿形圆弧半径R，由式(1)确定内齿圈齿形齿廓，由式(2)(3)及R确定外齿轮齿形齿廓，显示直线—圆弧齿廓啮合传动误差，并可由式(9)计算节圆上单齿传动齿形误差。 

本发明的有益效果是：内齿圈在内啮合齿轮副中体积大，制造成本高，采用简单的直线齿廓后，将能通过成形法磨削加工出硬齿面，用于磨削的砂轮修形方便而且易于保证精度，与其啮合的外齿轮采用与共轭齿廓最为接近的园弧齿廓，可以用磨削园弧齿轮的方法磨削外齿轮，从而大大提高了内齿轮副的使用寿命。利用上述优化方法设计出的圆弧齿廓能完全替代外齿轮共轭曲线齿廓，引起的齿轮副转角误差不大于0.005°，齿轮副精度可以达到6级，新型内齿轮传动副啮合性能良好。 

附图说明

图1是本发明的直线-圆弧齿廓内啮合圆柱齿轮副示意图 

图2是图1的齿廓曲线局部放大示意图 

图3是本发明的直线-圆弧齿廓内啮合圆柱齿轮副坐标系 

图4是本发明的直线-圆弧齿廓内啮合圆柱齿轮副啮合传动误差分析示意图 

图5是本发明的直线-圆弧齿廓内啮合圆柱齿轮副在R＝31、γ＝30时的转角误差图 

具体实施方法 

根据内齿轮副传动要求，某内齿轮副齿形在优化齿形前已设参数为：齿轮模数m为3，外、内齿轮齿数z₁、z₂分别为24、60，预选内齿轮齿形半角γ为26°，齿顶高系数 

齿根高系数 齿根过渡圆弧半径ρ_f＝0.2m。那么，内齿轮副中内齿轮的齿廓由公式(1)确定。 

设计变量初始值取X⁰＝[25，25]^T。用MATLAB语言编程进行优化计算时，注意到目标函数中参数 

为内齿轮的转角，一对齿廓从啮入到啮出， 

从-α₁变化到α₂，先用齿形半角γ＝25°代入式(11)、(12)计算出α₁、α₂值， 

从-α₁变化到 α₂过程中，啮合转角误差是变化的，通过优化循环计算使啮合转角误差的最大值为最小，再用求出的优化结果的γ值代入式(11)、(12)计算出α₁、α₂值，再搜索使转角误差中最大值为最小的设计变量，重复上述过程，直到满足收敛精度。 

优化结果为：当X＝[x₁，x₂]^T＝[γ，R]^T＝[30，31]^T时，目标达到最优。图5为 

从α₁＝-0.0906变化到α₂＝0.0405整个啮合过程中(以20个计算点输出结果)转角误差图，其中最大转角误差： 

节圆上单齿传动最大误差：f_p＝4.5μm，发生在刚啮合处，最小误差  均为正，啮合重合度为ε＝1.2519＞1，外齿轮圆弧齿廓中心坐标为：[X_CO，Y_CO]＝[-25.0932，21.5125]。 

计算结果表明节圆上单齿传动齿形误差仅为几微米，这在齿轮传动中误差是非常小的，在绝大部分场合都可以应用。可见这样设计出的内齿轮副不但能正常啮合，而且具有良好的啮合质量性能，为内齿轮副齿面硬化提供了可能。 

Claims (3)

1.一种直线-圆弧齿廓内啮合圆柱齿轮副齿形优化设计方法，由大的内齿圈和小的外齿轮组成，其特征是：内齿轮齿形是直线齿廓，与内齿轮啮合的外齿轮齿形是圆弧齿廓。

2.根据权利要求1所述的直线-圆弧齿廓内啮合圆柱齿轮副齿形优化设计方法，其特征是：内齿轮齿形的直线齿廓由下述方程确定：

$\left.\begin{array}{c}{x}_1=-\frac{1}{2}m{z}_2\sin \frac{\mathrm{\π}}{2z_2}-h\sin \mathrm{\γ}+2\mathrm{ht}\sin \mathrm{\γ}\\ y_1=\frac{1}{2}m{z}_2\cos \frac{\mathrm{\π}}{2z_2}-h\cos \mathrm{\γ}+2\mathrm{ht}\cos \mathrm{\γ}\end{array}\right\}---\left(1\right)$

式中：m为齿轮模数，z₂为内齿轮齿数，γ为内齿轮齿形半角，h为全齿高，t为0到1之间连续变化的自然数。

3.根据权利要求1所述的直线-圆弧齿廓内啮合圆柱齿轮副齿形优化设计方法，其特征是：外齿轮齿形优化设计步骤如下：

(1)确定设计变量及参数选择

根据内齿轮副传动工况预确定齿轮模数m，传动比i，齿数z₁、z₂，并预定齿顶高系数h_a ^*、齿根高系数h_f ^*。优化设计变量为：

X＝[x₁，x₂]^T＝[γ，R]^T                     (2)

式中：γ为内齿圈齿形半角，R为圆弧外齿轮齿形的圆弧半径。

(2)建立目标函数

以圆弧齿廓替代共轭曲线齿廓引起的啮合传动误差为：

式中：i-传动比，为

a-中心矩，

以直线—圆弧齿廓啮合传动误差为最小作为优化目标函数。将式(3)中的γ、R分别用x₁、x₂代替得目标函数为

(3)建立约束函数

(a)啮合重合度

$g_1\left(x\right)=1-\frac{({\mathrm{\α}}_1+{\mathrm{\α}}_2)*z_2}{2\mathrm{\π}}\≤0---\left(5\right)$

式中：α₁、α₂分别为啮合起点和终点对应的内齿圈转角，由下式计算：

${\mathrm{\α}}_1=\arcsin \sqrt{{\sin }^2(\mathrm{\γ}+\frac{\mathrm{\π}}{2z_2})+1-{\left(\frac{r_{a2}}{r_2}\right)}^2}-\mathrm{\γ}---\left(6\right)$

${\mathrm{\α}}_2=\mathrm{\γ}-\arcsin \frac{R_b*(r_2-r_1)-\sqrt{{R_b}^2*{(r_1-r_2)}^2-({r_2}^2-2r_1{r}_2)*({r_1}^2-{r_{a1}}^2+{R_b}^2)}}{{r_2}^2-2r_1{r}_2}---\left(7\right)$

(b)内齿轮最大齿形半角γ的限制

$g_2\left(x\right)=\mathrm{\γ}-\arctan \frac{r_1*\sin \frac{\mathrm{\π}}{2z_1}}{r_{a1}-r_1*\cos \frac{\mathrm{\π}}{2z_1}}\≤0---\left(8\right)$

$g_3\left(x\right)=\mathrm{\γ}-\arctan \frac{r_{a1}*\sin \frac{\mathrm{\π}}{z_1}-r_1*\sin \frac{\mathrm{\π}}{2z_1}}{r_1*\cos \frac{\mathrm{\π}}{2z_1}-r_{a1}*\cos \frac{\mathrm{\π}}{z_1}}\≤0---\left(9\right)$

(c)内齿轮副啮合极限点的限制

$g_4\left(x\right)=a+r_{a2}-r_1*\sqrt{1+{\sin }^2(\mathrm{\γ}+\frac{\mathrm{\π}}{2z_2})}\≤0---\left(10\right)$

(4)编程计算

根据上述优化数学模型，用MATLAB语言进行编程，优化计算时注意到目标函数中参数

为内齿轮的转角，一对齿廓从啮入到啮出，

从-α₁变化到α₂，先用齿形半角γ＝25°代入式(6)、(7)计算出α₁、α₂值，从-α₁变化到α₂过程中，啮合转角误差是变化的，通过优化循环计算使啮合转角误差的最大值为最小，再用求出的优化结果的γ值代入式(6)、(7)计算出α₁、α₂值，再搜索使转角误差中最大值为最小的设计变量，重复上述过程，直到满足收敛精度。

(5)输出优化结果，并确定齿形参数

输出满足约束条件的优化结果，得到优化参数：内齿圈齿形半角γ和外齿轮齿形圆弧半径R。由式(1)确定内齿圈齿形齿廓，由式(11)(12)及R确定外齿轮齿形齿廓，显示目标函数值即直线—圆弧齿廓啮合传动误差，并可由式(13)计算节圆上单齿传动齿形误差。

X_CO＝O_CP×cosγ＝(R-R_b+r₂×sinγ)cosγ                    (11)

Y_CO＝r₁-O_CP×sinγ＝r₁-(R-R_b+r₂×sinγ)sinγ              (12)

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