CN104950899B - 一种固定时间收敛的飞行器姿态控制方法 - Google Patents

一种固定时间收敛的飞行器姿态控制方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开的一种固定时间收敛的飞行器姿态控制方法，涉及一种飞行器姿态控制方法，属于飞行器控制技术领域。本发明包括如下步骤：步骤一、建立再入飞行器动态模型，提出有限时间姿态跟踪任务；步骤二、对步骤一所建立的模型进行反馈线性化处理；步骤三、给出有限时间控制律，实现***状态从任意初值出发，在设定时间T跟踪上参考轨迹。本发明可针对部分初值信息未知的情况，实现***误差固定时间收敛，此外，本发明可在***参数不确定和外部干扰存在的情况下具有良好的鲁棒性。

Description

一种固定时间收敛的飞行器姿态控制方法
技术领域
本发明涉及一种飞行器姿态控制方法，尤其涉及一种固定时间收敛的飞行器姿态控制方法，属于飞行器控制技术领域。
背景技术
对于再入飞行器来讲，再入过程中飞行条件(空域、速域)大范围变化,各通道间耦合严重,呈现出强烈的非线性动态特性。另外，各种不确定性外部扰动的存在以及飞行器气动特性不能精确获知，导致其姿态控制变得异常复杂。再入飞行器控制***的设计要解决的关键问题是抑制上述非线性、强耦合和不确定性对***性能的影响。
目前应用较多的非线性控制方法有模糊控制、最优控制、动态逆控制以及滑模变结构控制等。其中滑模控制技术具备很多优点，例如：对参数变化不敏感、能抵抗外界扰动以及快速动态响应等，广泛应用于飞行器姿态控制中。然而，传统的滑模面是线性的，***渐进收敛，跟踪误差在无穷时间收敛至零，响应特性较差。在实时控制操作中，无限时间收敛特性往往是不够的。
有限时间收敛能够提供更加优越的特性，例如：更快的收敛速率，更高的精度，对不确定性和外部扰动更好的鲁棒性等。为了实现***动态的有限时间收敛，有学者提出了终端滑模控制方法。该方法能够使得***动态到达滑模面后误差在有限时间内收敛到0。在该理论的基础上，学者们又提出了快速终端滑模控制方法，使得误差收敛速度进一步得到提升。然而，在终端滑模控制过程中可能会遇到奇异问题。为了克服这个缺陷，学者们提出了非奇异终端滑模控制技术。该方法能够在不添加额外过程的情况下使得奇异问题得到解决。
进一步，有些学者提出了固定时间收敛问题，通过将分段函数引入终端滑模面中实现***误差在设定的时间收敛。但是该控制器设计时必须精确知道***的初值信息。但在输出反馈中，控制器设计时需要的初值信息不能完全获知。尤其在飞行器控制中，由于姿态角测量噪声等原因，姿态角导数信息较难通过直接求导获取，因而设定时间收敛问题就失去了意义。
发明内容
本发明的目的是为了解决在无法获知初值信息的情况下实现固定时间收敛的问题，提供一种固定时间收敛的飞行器姿态控制方法。
本发明的目的是通过下述技术方案实现的。
本发明公开的一种固定时间收敛的飞行器姿态控制方法，具体包括如下步骤：
步骤一、建立再入飞行器动态模型，提出有限时间姿态跟踪任务。
基于无动力再入飞行器的姿态控制问题，姿态动力学方程如下：
其中，ωx,ωy和ωz分别为滚转角速度、偏航角速度和俯仰角速度。Mx,My,Mz分别为滚转、偏航、俯仰转矩。Iij(i＝x,y,z；j＝x,y,z)是转动惯量和惯量积。对于几何外形相对于xz平面对称，且质量分布也对称的飞行器。Ixy＝Iyz＝0，
运动学方程为：
其中，α,β,μ分别为攻角、侧滑角和倾侧角。χ,γ分别为航向角和航迹角，φ,θ分别为纬度和经度，ΩE为地球自转角速度。
由舵面产生的控制力矩为：
其中，ρ是大气密度，Ma是马赫数，V为相对地面的飞行速度，S，b分别为飞行器的参考面积和参考长度。CMx,CMy,CMz，分别是与α,Ma和舵面相关的力矩系数。δe,δa,δr分别为升降舵，滚转舵和偏航舵。
再入姿态控制的目的是设计控制力矩u，并根据上式的表达式映射成舵面偏角指令δ，使得姿态角在参数不确定性和外部干扰存在的情况下，在有限时间T跟踪上制导指令的输出。即：
其中y＝[α,β,μ]T,yc＝[αc,βc,μc]T
步骤二、对步骤一所建立的模型进行反馈线性化处理。
将步骤一所得***模型公式(1)、(2)改写成MIMO仿射非线性形式：
应用反馈线性化理论，对输出变量进行求导，直到输出方程中显含控制量u。并引入辅助控制量v。将***解耦成如下的不确定二阶***
Δv代表聚合扰动，假设该扰动有界。
步骤三、给出有限时间控制律，实现***状态从任意初值出发，在设定时间T跟踪上参考轨迹。
步骤3.1，给出高阶滑模观测器。
解耦后不确定二阶***，即公式(4)改写成如下形式：
其中i＝1,2,3,zi1＝yi是姿态角。
设计高阶滑模观测器如下：
其中λi,κi∈R+，ui是观测器输出。
通过上述给出的观测器，即公式(5)，得到姿态角导数。
步骤3.2，给出滑模面。
其中，k是滑模面参数，姿态角导数信息由公式(5)得到。t1大于滑模观测器的收敛时间。f(t)是如下定义的分段函数：
T是设定的误差收敛时间，函数f(t)及其参数选择满足如下条件：
v(t1-)＝v(t1+) (9)
式(8)表明***状态在t1时刻处于滑模面上，式(9)表明***控制输出在t1时刻是连续的，式(10)(11)表明T是期望的收敛时间，同时滑模面在该时刻也是连续的。f(t)的具体表达式如下：
Ai＝[Ai1,Ai2,Ai3],(i＝0,...4)是分段函数系数。
步骤3.3，求解得到滑模控制量。
根据步骤3.2所得t＜t1时的线性滑模面，即公式(6)，求解得到滑模控制量
根据步骤3.2所得t＞t1时的线性滑模面，即公式(7)，求解得到滑模控制量
η＝diag(η1,η2,η3)是切换增益。满足η1≥||Δvi||∞+ε1i，ε1i为任意正数。||Δvi||∞是扰动上界。
sign(si)定义如下：
为了减小控制量抖振，采用了如下饱和函数代替切换函数sgn(S)：
通过步骤3得到的控制量v1和v2(其中在0≤t≤t1时间内选择v1，在t＞t1时间内选择v2)即可使得在初值信息未知的情况下跟踪误差在期望的时间T收敛到0。即y-yc＝0,t≥T
所述的公式(12)中分段函数系数选择方法为：
分段函数中的系数由下述方程组给出：
根据公式(8)得：
根据公式(9)得
根据公式(10)得
f(T)＝A4(T-t1)4+A3(T-t1)3+A2(T-t1)2+A1(T-t1)+A0＝0 (17)
根据公式(11)得
***在t＞t1时的跟踪误差曲线为：
C＝[C1,C2,C3]T,Bi＝[Bi1,Bi2,Bi3],(i＝0,...4)是待定系数。将公式(19)代入滑模面(7)中，参数C＝[C1,C2,C3]T，Bi＝[Bi1,Bi2,Bi3],(i＝0,...4)可以由参数Ai＝[Ai1,Ai2,Ai3],(i＝0,...4)表示，由于期望的收敛时间是T，误差方程满足：
解方程组(15),(16),(17),(18),(20)即可求得待定系数Ai＝[Ai1,Ai2,Ai3],(i＝0,...4)。
由于e(T)＝0，从式(20)看出e(t)＝0,(t＞T)，***响应具有下述形式：
可以看出采用本发明给出的滑模面和控制器可以在初值信息未知的情况下实现设定时间收敛。
有益效果
1、本发明的一种固定时间收敛的飞行器姿态控制方法，用于飞行器控制中，由于存在姿态角测量噪声等原因，姿态角导数信息较难通过直接求导获取，设计高阶滑模观测器实现对姿态角导数信息的估计
2、本发明的一种固定时间收敛的飞行器姿态控制方法，针对部分初值信息未知的情况，通过固定时间收敛的控制方法，实现***误差设定时间收敛。
3、本发明的一种固定时间收敛的飞行器姿态控制方法，***在参数不确定和外部干扰存在的情况下，采用本发明设计的控制方法，可以保证良好的鲁棒性。
附图说明
图1为本发明方法的流程图；
图2为具体实施方式中***姿态角跟踪曲线图；(i)攻角跟踪曲线；(ii)侧滑角跟踪曲线；(iii)倾侧角跟踪曲线；
图3为具体实施方式中舵面偏转曲线图；(i)CSMC作用下的舵面偏转曲线；(ii)HONTSM作用下的舵面偏转曲线；
图4为具体实施方式中滑模面响应曲线图；(i)CSMC作用下的滑模面响应曲线；(ii)HONTSM作用下的滑模面响应曲线。
具体实施方式
为了更好的说明本发明的目的和优点，下面结合附图和实例对技术方案做进一步详细说明。
步骤一、建立再入飞行器动态模型，提出有限时间姿态跟踪任务。
基于无动力再入飞行器的姿态控制问题，姿态动力学方程如下：
其中，ωx,ωy和ωz分别为滚转角速度、偏航角速度和俯仰角速度。Mx,My,Mz分别为滚转、偏航、俯仰转矩。Iij(i＝x,y,z；j＝x,y,z)是转动惯量和惯量积。对于几何外形相对于xz平面对称，且质量分布也对称的飞行器。Ixy＝Iyz＝0，
运动学方程为：
其中，α,β,μ分别为攻角、侧滑角和倾侧角。χ,γ分别为航向角和航迹角，φ,θ分别为纬度和经度，ΩE为地球自转角速度。
由舵面产生的控制力矩为：
其中，ρ是大气密度，Ma是马赫数，V为相对地面的飞行速度，S，b分别为飞行器的参考面积和参考长度。CMx,CMy,CMz，分别是与α,Ma和舵面相关的力矩系数。δe,δa,δr分别为升降舵，滚转舵和偏航舵。
再入姿态控制的目的是设计控制力矩u，并根据上式的表达式映射成舵面偏角指令δ，使得姿态角在参数不确定性和外部干扰存在的情况下，在有限时间T跟踪上制导指令的输出。即：
其中y＝[α,β,μ]T,yc＝[αc,βc,μc]T
考虑初始高度为30km，初始速度2800m/s，初始角速度为ωx(0)＝0deg,ωy(0)＝1deg,ωz(0)＝0.9deg,初始姿态角α0＝0deg，β0＝-1deg，μ0＝0deg。姿态角的给定指令为αc＝3deg,βc＝0deg,μc＝3deg的跟踪状况。
步骤二、对步骤一所建立的模型进行反馈线性化处理。
在如下情况下：
(1)不考虑地球自转的影响，ΩE＝0
(2)飞行器旋转运动大于平移运动，因而忽略平移运动产生的角速度。
将步骤一所得***模型公式(21)(22)改写成如下MIMO仿射非线性形式：
其中状态向量为输出向量y＝[α,β,μ]T，控制向量u＝[Mx,My,Mz]T，g(x)＝[g1(x),g2(x),g3(x)]h(x)＝[h1(x),h2(x),h3(x)]T具体表达式可由公式(21)(22)整理得到。
应用反馈线性化理论，对输出变量进行求导，直到输出方程中显含控制量u。得到下式：
由于采用倾斜转弯控制方式，cosβ≈1，因而detE(x)≠0，E(x)可逆，设计控制律：
u＝E(x)-1[v-F(x)], (24)
可以实现输入输出反馈线性化，v＝[v1,v2,v3]T是引入的辅助控制量。
由于***的相对阶是6，等于***方程的维数。可以完全线性化，且不存在内动态。模型参数不确定性和外部扰动的存在，反馈线性化不精确，通过控制律(24)可将***解耦成如下的不确定二阶***
Δv代表聚合扰动，假设该扰动有界。验证时扰动设置为：
大气密度拉偏20％，力系数和力矩系数拉偏20％，质量和转动惯量拉偏10％。并施与如下形式的外部干扰：
步骤三、给出有限时间控制律，实现***状态从任意初值出发，在设定时间T跟踪上参考轨迹。
步骤3.1，高阶滑模观测器设计。
解耦后不确定二阶***(4)改写成如下形式：
其中i＝1,2,3,zi1＝yi是姿态角。
设计高阶滑模观测器如下：
其中λi,κi∈R+，ui是观测器输出。取κi＝8,λi＝10。
如果状态变量z1有界并且Lebesgue可测，则通过合适的参数选择，状态观测值在有限时间收敛到其真实值。其中参数选择满足：
κi＞Ci
其中Ci是Lebesgue常数，满足取Ci＝1.5，收敛时间由下式给出：
其中Φ(κi,λi,Ci)＝|Ψ(t*)|具体定义如下：
Σi(0)＝0 Ψi(0)＝1
其中t*＝inf{t|t＞0,Σi(t)＝0,Ψi(t)＜0}。计算得到Φ(κi,λi,C)＝1.167×10-6。相应的收敛时间为：
通过上述给出的观测器(26)，可以实现对姿态角导数的估计。
步骤3.2，设计滑模面。
其中，k是滑模面参数，取为k＝diag(1,1,1)，姿态角导数信息由高阶滑模观测器(26)估计得到。t1大于滑模观测器的收敛时间。t1＝0.5s＞tconverge，f(t)是如下定义的分段函数：
T是设定的误差收敛时间，函数f(t)及其参数选择满足如下条件：
v(t1-)＝v(t1+) (30)
式(29)表明***状态在t1时刻处于滑模面上，式(30)表明***控制输出在t1时刻是连续的，式(31)(32)表明T是期望的收敛时间，取为T＝3s，同时滑模面在该时刻也是连续的。f(t)的具体表达式如下：
Ai＝[Ai1,Ai2,Ai3],(i＝0,...4)是分段函数系数。
步骤3.3，求解得到滑模控制量
根据步骤3.2所得t＜t1时的线性滑模面，即公式(27)，求解得到滑模控制量
根据步骤3.2所得t＞t1时的线性滑模面，即公式(28)，求解得到滑模控制量
η＝diag(η1,η2,η3)是切换增益。满足η1≥||Δvi||∞+ε1i，ε1i为任意正数。||Δvi||∞是扰动上界。
sign(si)定义如下：
为了减小控制量抖振，采用了如下饱和函数代替切换函数sgn(S)：
针对式(25)所表示的不确定二阶***，在t＜t1时选择式(34)所示的滑模控制律，闭环***是渐进稳定的。
定义如下正定的Lyapunov函数：
对上式进行微分得到
其中εmin＝min(ε1,ε2,ε3)，根据Lyapunov有限时间稳定原理可知滑模面是渐进收敛的，***闭环稳定。
针对式(25)所表示的不确定二阶***，选择式(35)所示的时变滑模控制律，***状态在t＞t1之后处于滑模段运动，即对于t∈[t1,+∞)，有s≡0。
如下的Lyapunov函数
沿控制律(35)作用下的闭环轨迹求导：
由于选择的实变函数f(t)使得s(t1)＝0，也即由于V是不增的，即V(t)≤V(t1)＝0，又由V的表达式可知V≥0，所以由上述过程可以得到对于t∈[t1,+∞)，有V(t)≡0，也即对于t∈[t1,+∞)，s(t)≡0。因此说明***状态在t＞t1之后处于滑模段运动。
公式(33)中分段函数系数选择方法：
根据t∈[t1,+∞)，有s≡0。可以知道***误差响应在t∈[t1,+∞)时完全由滑模面决定。即在t≥t1时：
求解上述微分方程可以得到姿态跟踪误差响应如下：
C＝[C1,C2,C3]T,Bi＝[Bi1,Bi2,Bi3],(i＝0,...4)是待定系数。将公式(37)带入到滑模面方程(36)，参数Bi＝[Bi1,Bi2,Bi3],(i＝0,...4)可以由参数Ai＝[Ai1,Ai2,Ai3],(i＝0,...4)表示：
由于e(t1)＝C+B0，C＝[C1,C2,C3]T可以表示为
C＝-B0+e(t1) (39)
从而Ci，Bi均可以由Ai表示出。
由于期望的收敛时间是T，误差方程满足：
根据公式(29)得：
根据公式(30)
上式进一步简化为：
根据公式(31)得
f(T)＝A4(T-t1)4+A3(T-t1)3+A2(T-t1)2+A1(T-t1)+A0＝0 (43)
根据公式(32)得
解方程组(40),(41),(42),(43),(44)即可求得待定系数Ai＝[Ai1,Ai2,Ai3],(i＝0,...4)。
由于e(T)＝0，从式(20)看出e(t)＝0,(t＞T)，***响应具有下述形式：
可以看出采用本发明给出的滑模面和控制器可以在初值信息未知的情况下实现设定时间收敛。
为了对比本发明给出的基于高阶滑模观测器的时变非奇异终端滑模控制律(High-order sliding mode observer based time-varying nonsingular terminalsliding mode attitude controller-HONTSM)的快速收敛特性，对比传统滑模控制器(conventional sliding mode control-CSMC)：
滑模面参数选择为k＝diag(1,1,1)
如图2所示，是姿态角跟踪曲线，由曲线可以看出，在***不确定性和外部扰动存在的情况下，姿态角在设定的时间T＝3s跟踪上了给定指令，同时表明***具有良好的鲁棒性。同样对比本发明与传统的滑模控制器作用下的响应曲线，可以看出本发明提出的控制器具有较快的响应速度。如图3所示，是舵面偏角指令，可以看出在本发明提出的滑模控制器作用下的控制量输出平滑。如图4所示，给出了两种控制器作用下的滑模面响应曲线，从图3(ii)可以看出自t＝t1＝0.5时刻之后，滑模面一直处于边界层内。也说明了***响应在t＞t1之后完全由滑模面决定。
综上所述，该发明提出的控制律鲁棒性强，能够使得误差在初值状态未知的情况下实现固定时间收敛，并且可以调节收敛速度，具有很高的工程应用价值。
以上所述的具体描述，对发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施例，用于解释本发明，并不用于限定本发明的保护范围，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (2)

1.一种固定时间收敛的飞行器姿态控制方法，包括如下步骤，步骤一、建立再入飞行器动态模型，提出有限时间姿态跟踪任务；
基于无动力再入飞行器的姿态控制问题，姿态动力学方程如下：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>I</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>z</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <msup> <mi>I</mi> <mo>*</mo> </msup> </mfrac> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msup> <mi>I</mi> <mo>*</mo> </msup> </mfrac> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>I</mi> <mo>*</mo> </msup> </mfrac> <msub> <mi>M</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>I</mi> <mo>*</mo> </msup> </mfrac> <msub> <mi>M</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>y</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <msub> <mi>M</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>z</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>I</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>z</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <msup> <mi>I</mi> <mo>*</mo> </msup> </mfrac> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msup> <mi>I</mi> <mo>*</mo> </msup> </mfrac> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>I</mi> <mo>*</mo> </msup> </mfrac> <msub> <mi>M</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>I</mi> <mo>*</mo> </msup> </mfrac> <msub> <mi>M</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，ωx,ωy和ωz分别为滚转角速度、偏航角速度和俯仰角速度；Mx,My,Mz分别为滚转、偏航、俯仰转矩；Iij是转动惯量和惯量积，其中i＝x,y,z；j＝x,y,z；对于几何外形相对于xz平面对称，且质量分布也对称的飞行器；Ixy＝Iyz＝0，
运动学方程为：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>tan</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>x</mi> </msub> <mi>cos</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>z</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>sin</mi> <mi>&amp;mu;</mi> </mrow> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mover> <mi>&amp;chi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>cos</mi> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>-</mo> <mover> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>sin</mi> <mi>&amp;chi;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>E</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;times;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <mi>cos</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>-</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>)</mo> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;eta;</mi> </mrow> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mover> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>cos</mi> <mi>&amp;chi;</mi> <mo>-</mo> <mo>(</mo> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>E</mi> </msub> <mo>)</mo> <mi>cos</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;chi;</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>z</mi> </msub> <mi>cos</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>x</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>+</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;mu;</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mover> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>cos</mi> <mi>&amp;chi;</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>E</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;chi;</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>+</mo> <mi>cos</mi> <mi>&amp;mu;</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mover> <mi>&amp;chi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>cos</mi> <mi>&amp;gamma;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mover> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>sin</mi> <mi>&amp;chi;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>E</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>cos</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;chi;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>-</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>&amp;mu;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>x</mi> </msub> <mi>cos</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>y</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>z</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>+</mo> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>sin</mi> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>-</mo> <mover> <mi>&amp;chi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>sin</mi> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>-</mo> <mover> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>sin</mi> <mi>&amp;chi;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;gamma;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>E</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>cos</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;chi;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>+</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，α,β,μ分别为攻角、侧滑角和倾侧角；χ,γ分别为航向角和航迹角，φ,θ分别为纬度和经度，ΩE为地球自转角速度；
由舵面产生的控制力矩为：
<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>M</mi> <mi>x</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>M</mi> <mi>y</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>M</mi> <mi>z</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mi>&amp;rho;V</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>S</mi> <mi>b</mi> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>,</mo> <mi>M</mi> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>,</mo> <mi>M</mi> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>,</mo> <mi>M</mi> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，ρ是大气密度，Ma是马赫数，V为相对地面的飞行速度，S，b分别为飞行器的参考面积和参考长度；CMx,CMy,CMz分别是与α,Ma和舵面相关的力矩系数；δe,δa,δr分别为升降舵，滚转舵和偏航舵；
再入姿态控制的目的是设计控制力矩u，并根据上式的表达式映射成舵面偏角指令δ，使得姿态角在参数不确定性和外部干扰存在的情况下，在有限时间T跟踪上制导指令的输出；即：
<mrow> <munder> <mrow> <mi>l</mi> <mi>i</mi> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&gt;</mo> <mi>T</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow>
其中y＝[α,β,μ]T,yc＝[αc,βc,μc]T；
步骤二、对步骤一所建立的模型进行反馈线性化处理；
将步骤一所得***模型公式(1)、(2)改写成MIMO仿射非线性形式：
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>u</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>h</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
应用反馈线性化理论，对输出变量进行求导，直到输出方程中显含控制量u；并引入辅助控制量v；将***解耦成如下的不确定二阶***
<mrow> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mi>v</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>v</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
△v代表聚合扰动，假设该扰动有界；
其特征在于：还包括如下步骤：
步骤三、给出有限时间控制律，实现***状态从任意初值出发，在设定时间T跟踪上参考轨迹；
步骤3.1，给出高阶滑模观测器
解耦后不确定二阶***，即公式(4)改写成如下形式：
<mrow> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow>
<mrow> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>v</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;&amp;upsi;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow>
其中i＝1,2,3,zi1＝yi是姿态角；
给出高阶滑模观测器如下：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mover> <mi>z</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>i</mi> </msub> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>u</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;kappa;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中λi,κi∈R+，ui是观测器输出；
通过上述设计的观测器，即公式(5)，得到姿态角导数；
步骤3.2，给出滑模面；
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mi>k</mi> <mi>e</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mi>k</mi> <mi>e</mi> <mo>+</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&gt;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，k是滑模面参数，姿态角导数信息由公式(5)得到；t1大于滑模观测器的收敛时间；f(t)是如下定义的分段函数：
<mrow> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&lt;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;le;</mo> <mi>T</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&gt;</mo> <mi>T</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
T是设定的误差收敛时间，函数f(t)及其参数选择满足如下条件：
<mrow> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>k</mi> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
v(t1-)＝v(t1+) (9)
<mrow> <munder> <mrow> <mi>l</mi> <mi>i</mi> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&amp;RightArrow;</mo> <mi>T</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <munder> <mrow> <mi>l</mi> <mi>i</mi> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&amp;RightArrow;</mo> <mi>T</mi> </mrow> </munder> <msub> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式(8)表明***状态在t1时刻处于滑模面上，式(9)表明***控制输出在t1时刻是连续的，式(10)(11)表明T是期望的收敛时间，同时滑模面在该时刻也是连续的；f(t)的具体表达式如下：
<mrow> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mn>4</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>4</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>3</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&lt;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;le;</mo> <mi>T</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&gt;</mo> <mi>T</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
Ai＝[Ai1,Ai2,Ai3],i＝0,...4是分段函数系数，其中i＝0,...4；
步骤3.3，求解得到滑模控制量
根据步骤3.2所得t<t1时的线性滑模面，即公式(6)，求解得到滑模控制量
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>c</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
根据步骤3.2所得t>t1时的线性滑模面，即公式(7)，求解得到滑模控制量
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>c</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&gt;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
η＝diag(η1,η2,η3)是切换增益；满足η1≥||△vi||∞+ε1i，ε1i为任意正数；||△vi||∞是扰动上界；
sign(si)定义如下：
<mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&lt;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&gt;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
为了减小控制量抖振，采用如下饱和函数代替切换函数sign(s)：
<mrow> <mi>s</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>S</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>S</mi> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mi>S</mi> <mo>|</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mi>&amp;epsiv;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>S</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>o</mi> <mi>t</mi> <mi>h</mi> <mi>e</mi> <mi>r</mi> <mi>w</mi> <mi>i</mi> <mi>s</mi> <mi>e</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
通过步骤三得到的控制量v1和v2，其中在0≤t≤t1时间内选择v1，在t>t1时间内选择v2，即可使得在初值信息未知的情况下跟踪误差在期望的时间T收敛到0，即y-yc＝0,t≥T。
2.如权利要求1所述的一种固定时间收敛的飞行器姿态控制方法，其特征在于：所述公式(12)中分段函数系数选择方法为，
分段函数中的系数由下述方程组给出
根据公式(8)得：
<mrow> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>k</mi> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
根据公式(9)得：
<mrow> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mi>k</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
根据公式(10)得：
f(T)＝A4(T-t1)4+A3(T-t1)3+A2(T-t1)2+A1(T-t1)+A0＝0 (17)
根据公式(11)得：
<mrow> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <msub> <mi>A</mi> <mn>4</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <msub> <mi>A</mi> <mn>3</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
***在t>t1时的跟踪误差曲线为：
<mrow> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>Ce</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>4</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>4</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>3</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&lt;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;le;</mo> <mi>T</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&gt;</mo> <mi>T</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
C＝[C1,C2,C3]T,Bi＝[Bi1,Bi2,Bi3]是待定系数，其中i＝0,...4；将公式(19)代入滑模面(7)中，参数C＝[C1,C2,C3]T，Bi＝[Bi1,Bi2,Bi3]由参数Ai＝[Ai1,Ai2,Ai3]表示，其中i＝0,...4，由于期望的收敛时间是T，误差方程满足：
<mrow> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>Ce</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>4</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>4</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>3</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
解方程组(15),(16),(17),(18),(20)即可求得待定系数Ai＝[Ai1,Ai2,Ai3],i＝0,...4。
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