CN104865556B - 基于实域加权最小化l1范数方法的MIMO雷达***DOA估计方法 - Google Patents
基于实域加权最小化l1范数方法的MIMO雷达***DOA估计方法 Download PDFInfo
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Abstract
本发明涉及MIMO雷达***技术领域，特别涉及MIMO雷达***DOA估计的应用，具体说是一种基于实域加权最小化l1范数方法的MIMO雷达***DOA估计方法。本发明包括：利用降维矩阵对接收数据进行降维处理；进行奇异值分解并获得稀疏表示框架下的相应模型；利用实域导向矢量和它相应噪声子空间的正交性，设计一个对角线元素与实域MUSIC谱相对应的权值矩阵以解决MMV问题；实现对MIMO雷达***中目标DOA的估计。本发明通过降维转换SNR增益得到加强，同时所设计的加权l1范数更好地接近了l0范数并且强化了稀疏解，比l1‑SVD和RV l1‑SVD算法有更高的分辨率。
Description
技术领域
本发明涉及MIMO雷达***技术领域，特别涉及MIMO雷达***DOA估计的应用，具体说是一种基于实域加权最小化l1范数方法的MIMO雷达***DOA估计方法。
背景技术
最近几年里，由于多输入多输出(multiple-input multiple-output，MIMO)阵列雷达***(IEEE Signal Processing Magazine，2007，24(5)：106-114)相比于传统相控阵雷达***的潜在优点而得到极大的关注。在MIMO雷达***中，角度估计是一个关键性问题。对于这个问题，一些基于子空间的方法，例如MUSIC算法(IEEE Trans.Antennas andpropagation，1986，34(3)：276-280)和ESPRIT算法(IEEE Trans.Signal Process.，1989，37(7)：984-995)，已经在MIMO雷达***的角度估计中得到了应用。另一方面，利用MIMO雷达***的特殊结构，在DOA估计中已经提出了RD-ESPRIT(Electronics Letters：2011，47(4)：283-284)和共轭ESPRIT(C-ESPRIT)(Signal Process.，2013，93：2070-2075)算法。基于传送阵波束空间能量集中技术(IEEE Transations on Signal Processing，2011，59(6)：2669-2682)算法的提出提高了角度估计性能。然而，这些方法的性能在低SNR，有限快拍数或者目标空间紧密分布的情况下通常是不能达到要求的。
近几年，稀疏表示领域的出现给阵列信号处理中的DOA估计提供了新的视点，在相关领域中已经提出了一些稀疏表示方法。针对DOA估计提出的一种l1-SVD算法(IEEETrans.Signal Process.，2005，53(8)：3010-3022)，利用l1范数处罚接近l0范数处罚，关注直接数据。l1-SRACV算法(IEEE Trans.Signal Process.，2011，59(2)：629-638)和CMSR算法(IEEE Trans.Aerosp.Electron.Syst.，2013，49(3))不是利用直接数据而是基于阵列协方差向量的稀疏性。另一方面，实域l1-SVD(RV l1-SVD)算法(IEEE Antennas WirelessPropag.Lett.，2013，12：376-379)，相比于l1-SVD算法具有更低的计算复杂度，更好的角度估计性能。上面所提到的方法都是基于l1范数处罚，l1范数处罚不能更好地接近l0范数处罚。在(Journal of fourier analysis and applications，2008，14(5)：887-905)中提出的一种迭代算法，加权最小化l1范数方法，更好地接近了l0范数处罚。但是这面临两大问题：1)只适用于单测量矢量恢复问题。然而，在MIMO阵列***DOA估计中涉及到多测量矢量恢复问题；2)在MIMO雷达***中需要二维完备字典恢复稀疏阵列，这也许在恢复稀疏矩阵时失效。
发明内容
本发明的目的在于克服上述方法的缺陷，提出一种新的基于实域加权最小化l1范数的 MIMO雷达***DOA估计方法。
本发明的目的是这样实现的：
包括如下步骤：
(1)发射阵列发射相互正交的相位编码信号，接收端进行匹配滤波处理后获得接收数据，并利用降维矩阵对接收数据进行降维处理；
(2)利用酉变换矩阵，将降维后接收数据的增广样本矩阵变成实域，进行奇异值分解并获得稀疏表示框架下的相应模型；
(3)利用实域导向矢量和它相应噪声子空间的正交性，设计一个对角线元素与实域MUSIC谱相对应的权值矩阵以解决MMV问题；
(4)设计实域加权最小化l1范数框架，利用编程软件包SOC二阶锥计算方法，获得恢复矩阵，寻找恢复矩阵中的非零行，实现对MIMO雷达***中目标DOA的估计。
所述步骤(1)中按如下步骤对接收数据进行降维处理：
(1.1)根据单基地MIMO雷达***接收—发射导向矢量的结构可知，MIMO雷达***的发射—接收导向矢量满足：
式中at(θ)和ar(θ)分别为发射导向矢量和接收导向矢量，Q＝M+N–1，分别是转换矩阵和一维导向矢量，
其中，
Jm＝[0N×m,IN,0N×(M-m-1)]，m＝0,1,…,M-1，
通过利用矩阵GH对应Q个不同的元素，二维导向矢量可以转换为一维导向矢量即进行降维处理；
(1.2)根据转换矩阵，降维矩阵为W＝F-1/2GH，其中
(1.3)利用W获得降维接收数据则有
式中满足B＝[b(θ1),b(θ2),…,b(θp)]，
所述步骤(2)中按如下步骤利用酉变换矩阵，将降维后接收数据的增广样本矩阵变成实域，进行奇异值分解并获得稀疏表示框架下的相应模型：
(2.1)考虑增广样本矩阵其中ΓQ是具有反对角元素为1，其他元素为0的Q×Q交换矩阵，(·)*表示共轭操作，Y是中心厄米特矩阵并且能够转换为一个实域矩阵，
其中，酉变换矩阵为
其中SΥ＝[Φ*S ΦS*ΓJ]U2J是实域信号矩阵，是实域噪声矩阵；
(2.2)对YΥ应用奇异值分解SVD技术，有
其中VS是由对应着P个最大奇异值的YΥ的实域右奇异向量构成；
(2.3)应用稀疏表示框架，实域一维完备字典可以表示为：
所述步骤(3)中按如下步骤利用实域导向矢量和它相应噪声子空间的正交性，设计对角线 元素与实域MUSIC谱相对应的权值矩阵：
(3.1)将实域完备字典分为两部分：则有
式中是由对应着可能目标的实域导向矢量p＝1，2，…，P组成，是由字典剩下的实域导向矢量组成，Vn是实域噪声子空间，通过对YΥ进行奇异值分解可以得到；
(3.2)根据实域导向矢量和相应噪声子空间的正交性，当J→∞时，W1,i→0，W2,i＞0，定义权值矩阵
由于W1,i/max(W2)＜W2,i/max(W2)。
所述步骤(4)中按如下步骤设计实域加权最小化l1范数框架，利用编程软件包SOC二阶锥计算方法，获得恢复矩阵，寻找恢复矩阵中的非零行，对MIMO雷达***中的目标DOA进行估计：
实域加权最小化l1范数为
式中是正则化参数，利用编程软件包SOC二阶锥计算，通过测绘
本发明的有益效果在于：
本发明通过降维转换SNR增益得到加强，同时所设计的加权l1范数更好地接近了l0范数并且强化了稀疏解，比l1-SVD和RV l1-SVD算法有更高的分辨率；本发明由于实域转换技术的应用，在低SNR区域角度估计性能优于l1-SVD和RV l1-SVD，并且由于以上提到的本发明的优点它接近于CRB；本发明由于包含前后空间平滑技术和加权l1范数技术，对于相关系数的变化具有鲁棒性，并且比l1-SVD和RV l1-SVD具有更好的角度估计性能。本发明解决了基于加权l1范数的波达方向估计方法存在不适用于多测量矢量恢复问题等缺点，并且能够很好地适用于较低的快拍数。
附图说明
图1是本发明的整体框架图；
图2不同算法对于两个不相关目标分辨成功概率与角度间隔的关系；
图3不同算法对于三个不相关目标角度估计的均方根误差和信噪比的关系；
图4不同算法对于两个目标角度估计均方根误差和相关系数的关系；
图5不同算法对于三个不相关目标角度估计的均方根误差和快拍数的关系。
具体实施方案
下面结合波达方向估计的框架图对本发明做更详细的描述
本发明提供一种基于实域加权最小化l1范数的多输入多输出(multiple-inputmultiple-output，MIMO)雷达***目标波达方向(Direction of arrival，简称DOA)估计方法，主要是为了解决目前MIMO雷达***中基于稀疏表示的波达方向估计方法存在字典复杂度高和估计精度不理想等缺点。首先根据MIMO雷达***的特点，利用降维转换和酉变换技术，使接收数据转变成为低维的并且是实域的。然后根据实域MUSIC谱，为得到加权最小化l1范数框架设计一个权值矩阵，进而通过找到恢复矩阵中的非零行对DOA进行估计。其过程为：建立单基地MIMO雷达***的接收信号模型，构造降维矩阵进行降维处理；然后利用酉变换矩阵将降维后接收数据的增广样本矩阵变为实域的，进行奇异值分解并获得稀疏表示框架下的相应模型；根据实域导向矢量和它相应噪声子空间的正交性，设计一个对角线元素与实域MUSIC谱相对应的权值矩阵，进而设计加权最小化l1范数框架，使其稀疏解更接近于l0范数从而极大地加强稀疏性；最后得到恢复矩阵，并寻找恢复矩阵中的非零行，实现对MIMO雷达***中目标DOA的估计。与现有的基于稀疏表示的DOA估计方法l1-SVD以及实域l1-SVD算法相比，本发明具有更高的分辨率，在低SNR情况下以及对于不相关目标和相关目标均具有更好的角度估计性能，并且能够很好地适用于较低的快拍数。
本发明根据MIMO雷达***的特点，利用降维转换和酉变换技术，使接收数据转变成为低维的并且是实域的；然后根据实域导向矢量和它相应噪声子空间的正交性，设计一个对角线元素与实域MUSIC谱相对应的权值矩阵，进而设计加权最小化l1范数框架，使其稀疏解更接近于l0范数从而极大地加强稀疏性；最后得到恢复矩阵，并通过找到恢复矩阵中的非零行对DOA进行估计。与现有的基于稀疏表示的DOA估计方法l1-SVD以及实域l1-SVD算法相比，本发明具有更高的分辨率，在低SNR情况下以及对于不相关目标和相关目标均具有更好的角度估计性能，并且能够很好地适用于较低的快拍数。本发明DOA估计方法主要包括以下几个方面：
1、建立单基地MIMO雷达的接收信号模型，并设计降维矩阵对接收数据进行降维处理。
假设一个具有M个发射天线和N个接收天线的窄带单基地MIMO雷达***，它们是阵元间距离为半个波长的空间均匀线阵(ULA)。在MIMO雷达***中，利用M个发射天线发射M个具有相同带宽和中心频率的正交波。假设有P个目标位于阵列远场的同一范围。θp表示第p个目标的波达角(DOA)。使用匹配滤波器后，接收阵列的输出可以表示为
x(t)＝As(t)+n(t) (1)
其中是接收数据矢量，是信号数据矢量， 中βp(t)和fp分别是反射系数和多普勒频率。
X＝AS+N (2)
其中X＝[x(t1),…,x(tJ)]，S＝[s(t1),…,s(tJ)]，N＝[n(t1),…,n(tJ)]。
根据接收—发射导向矢量的结构可知，发射—接收导向矢量满足
其中和分别是转换矩阵和一维导向矢量，表示为
其中Jm＝[0N×m,IN,0N×(M-m-1)]，m＝0,1,…,M-1。根据公式(4)，我们定义矩阵F＝GHG，如下所示
根据公式(3)和公式(6)，通过利用矩阵GH对应Q个不同的元素，二维导向矢量可以转换为一维导向矢量，然而，利用GH将增加色噪声。为了避免附加色噪声，降维矩阵可以定义为W＝F-1/2GH，满足WWH＝IQ。因此，利用W可以获得降维接收数据如下所示
其中满足B＝[b(θ1),b(θ2),…,b(θp)]，
2、利用酉变换矩阵，将降维后接收数据的增广样本矩阵变成实域，进行奇异值分解并获得稀疏表示框架下的相应模型。
将降维后的接收数据的增广样本矩阵变成实域的，如下所示
根据公式(7)，降维接收数据对应着含有权值矩阵F1/2的线性阵列。因此我们考虑一个增广样本矩阵其中ΓQ是具有反对角元素为1，其他元素为0的Q×Q交换矩阵，(·)*表示共轭操作。Y是中心厄米特矩阵并且能够转换为一个实域矩阵
其中，酉变换矩阵定义为
通过省略U2K+1的中心行和中心列很容易得到U2K。从公式(8)可以看出，由于合并前后平均值，样本量从J到2J增加了一倍。另一方面，公式(7)中的导向矩阵满足 其中diag[·]表示对角化操作。结果表明，公式(7)中关于接收数据的线性阵列在降维转换后是中心对称阵列。酉变换之后，实域导向矩阵可以表示为因此，经过简单的代数运算，公式(8)可以写成如下形式
其中SΥ＝[Φ*S ΦS*ΓJ]U2J是实域信号矩阵，是实域噪声矩阵。
进行奇异值分解并获得稀疏表示框架下的相应模型，如下所示
对YΥ应用奇异值分解(SVD)技术，有
其中VS是由对应着P个最大奇异值的YΥ的实域右奇异向量构成。
基于对应于整个空间目标的稀疏性，公式(2)中的信号模型可以转变成为一个稀疏表示 模型。用Ω表示一系列可能的位置，(L>>P)表示覆盖Ω的网格。因此，发射完备字典和接收完备字典表示为构造完备字典为 在稀疏表示框架下，公式(2)中的信号模型可以写成为
其中和S具有相同的行支持，即矩阵是稀疏的。为了估计公式(12)中的稀疏表示模型可以看作为最小化l1范数问题，表示为
其中||·||1和||·||2分别表示l1范数和l2范数。
其中和有相同的行支持，这意味着矩阵是稀疏的。
3、利用实域导向矢量(的每一列)和它相应噪声子空间的正交性，设计一个对角线元素与实域MUSIC谱相对应的权值矩阵以解决MMV问题。
实域完备字典可以分为两部分：其中是由对应着可能目标的实域导向矢量组成，是由字典剩下的实域导向矢量组成。因此，有
其中，Vn是实域噪声子空间，通过对YΥ进行奇异值分解可以得到。当J→∞时，W1,i→0，W2,i＞0。因此，我们定义权值矩阵
由于W1,i/max(W2)＜W2,i/max(W2)，对于MMV问题，权值矩阵W能够很好地实现大 权值用来处罚更可能在稀疏矩阵中为零的那些项，而小权值用来储存更大的项，这和对于SMV问题的迭代加权最小化l1范数的研究方法一致。
4、设计实域加权最小化l1范数框架，利用编程软件包SOC(二阶锥)计算方法，获得恢复矩阵，寻找恢复矩阵中的非零行，实现对MIMO雷达***中目标DOA的估计。
实域加权最小化l1范数问题成为
其中是正则化参数，公式(17)可以利用编程软件包SOC(二阶锥)计算，例如SeDuMi。通过测绘DOA估计从求解公式(17)过程中即可得到。
在公式(17)中，正则化参数设置误差量并且在最后的DOA估计性能中起到重要的作用。正则化参数的选择依靠的是由于W和Uk(k＝Q,2J)都是正交矩阵，噪声矩阵NΥ也满足实域高斯分布。因此，噪声矩阵近似实域高斯分布，这是因为VS只是NΥ的一个函数。故通过方差标准化，近似成一个自由度为(M+N-1)P的χ2分布。通过具有99％置信区间的上限值选择本发明的正则化参数
步骤一、建立单基地MIMO雷达的接收信号模型。
假设一个具有M个发射天线和N个接收天线的窄带单基地MIMO雷达***，它们是阵元间距离为半个波长的空间均匀线阵(ULA)。在MIMO雷达***中，利用M个发射天线发射M个具有相同带宽和中心频率的正交波。假设有P个目标位于阵列远场的同一范围。θp表示第p个目标的波达角(DOA)。使用匹配滤波器后，接收阵列的输出可以表示为
x(t)＝As(t)+n(t) (18)
其中是接收数据矢量，是信号数据矢量， 中βp(t)和fp分别是反射系数和多普勒频率。
是发射—接收导向矩阵，其中表示Kronecker积操作，是发射导向矢量，是接收导向矢量。是一个具有零均值并且协方差矩阵为σ2IMN的复杂随机复杂高斯白噪声矢量。通过收集J个快拍，公式(18)中的接收数据变成了
X＝AS+N (19)
其中X＝[x(t1),…,x(tJ)]，S＝[s(t1),…,s(tJ)]，N＝[n(t1),…，n(tJ)]。
步骤二、设计降维矩阵对接收数据进行降维处理。
根据接收—发射导向矢量的结构可知，发射—接收导向矢量满足
其中和(Q＝M+N-1)分别是转换矩阵和一维导向矢量，表示为
其中Jm＝[0N×m,IN,0N×(M-m-1)]，m＝0,1,…,M-1。根据公式(21)，我们定义矩阵F＝GHG，如下所示
根据公式(20)和公式(23)，通过利用矩阵GH对应Q个不同的元素，二维导向矢量可以转换为一维导向矢量，然而，利用GH将增加色噪声。为了避免附加色噪声，降维矩阵可以定义为W＝F-1/2GH，满足WWH＝IQ。因此，利用W可以获得降维接收数据如下所示
其中满足B＝[b(θ1),b(θ2),…,b(θp)]，
步骤三、利用酉变换矩阵，将降维后接收数据的增广样本矩阵变成实域。
根据公式(24)，降维接收数据对应着含有权值矩阵F1/2的线性阵列。因此我们考虑一个增广样本矩阵其中ΓQ是具有反对角元素为1，其他元素为0的Q×Q交换矩阵，(·)*表示共轭操作。Y是中心厄米特矩阵并且能够转换为一个实域矩阵
其中，酉变换矩阵定义为
通过省略U2K+1的中心行和中心列很容易得到U2K。从公式(25)可以看出，由于合并前后平均值，样本量从J到2J增加了一倍。另一方面，公式(24)中的导向矩阵满足其中diag[·]表示对角化操作。结果表明，公式(24)中关于接收数据的线性阵列在降维转换后是中心对称阵列。酉变换之后，实域导向矩阵可以表示为因此，经过简单的代数运算，公式(25)可以写成如下形式
其中SΥ＝[Φ*S ΦS*ΓJ]U2J是实域信号矩阵，是实域噪声矩阵。
步骤四、对实域增广样本矩阵进行奇异值分解并获得稀疏表示框架下的相应模型。
对YΥ应用奇异值分解(SVD)技术，有
其中VS是由对应P个最大奇异值，YΥ的实域右奇异向量构成。
基于对应于整个空间目标的稀疏性，公式(19)中的信号模型可以转变成为一个稀疏表示模型。用Ω表示一系列可能的位置，(L>>P)表示覆盖Ω的网格。因此，发射完备字典和接收完备字典表示为构造完备字典为在稀疏表示框架下，公式(19)中的信号模型可以写成为
其中和S具有相同的行支持，即矩阵是稀疏的。为了估计公式(29)中的稀疏表示模型可以看作为最小化l1范数问题，表示为
其中||·||1和||·||2分别表示l1范数和l2范数。
其中和有相同的行支持，这意味着矩阵是稀疏的。
步骤五、针对MMV问题，利用实域导向矢量和它相应噪声子空间的正交性，设计权值 矩阵。
实域完备字典可以分为两部分：其中是由对应着可能目标的实域导向矢量组成，是由字典剩下的实域导向矢量组成。因此，有
其中，Vn是实域噪声子空间，通过对YΥ进行奇异值分解可以得到。当J→∞时，W1,i→0，W2,i＞0。因此，我们定义权值矩阵
由于W1,i/max(W2)＜W2,i/max(W2)，对于MMV问题，权值矩阵W能够很好地实现大权值用来处罚更可能在稀疏矩阵中为零的那些项，而小权值用来储存更大的项，这和对于SMV问题的迭代加权最小化l1范数的研究方法一致。
步骤六、设计实域加权最小化l1范数框架，获得恢复矩阵，寻找恢复矩阵中的非零行，实现对MIMO雷达***中目标DOA的估计。
实域加权最小化l1范数问题成为
其中是正则化参数，公式(34)可以利用编程软件包SOC(二阶锥)计算，例如SeDuMi。通过测绘DOA估计从求解公式(34)过程中即可得到。
在公式(34)中，正则化参数设置误差量并且在最后的DOA估计性能中起到重要的作用。正则化参数的选择依靠的是由于W和Uk(k＝Q,2J)都是正交矩阵，噪声矩阵NΥ也满足实域高斯分布。因此，噪声矩阵近似实域高斯分布，这是因为VS只是NΥ的一个函数。故通过方差标准化，近似成一个自由度为(M+N-1)P的χ2分布。通过具有99％置信区间的上限值选择本发明的正则化参数
本发明的效果可通过以下仿真说明：
(一)仿真条件与内容：
将本发明与l1-SVD，RV l1-SVD以及CRB进行了对比。假设一个单基地MIMO雷达***，M＝N＝5，发射阵列和接收阵列都是阵元间距离为半个波长的空间均匀线阵。对于仿真中的所有方法，都假设目标数目是已知的。所有方法中，空间网格都是统一为0.1°从-90°到90°范围，并且选择正则化参数的置信区间为99％。
(二)仿真结果
1、不同算法对于两个不相关目标分辨成功概率与角度间隔的关系
图2展示了对于两个不相关目标分辨率与分离角的关系。其中快拍数J＝50，SNR＝5dB并且假设不相关目标来自于θ1＝0°，θ2＝0°+Δθ，Δθ从1°到10°变化。如果空间谱中出现至少两个尖峰，且满足其中是θi的估计，那么这两个目标可以看作是被解决了。如图2所示，RV l1-SVD算法优于l1-SVD算法。此外，本发明通过降维转换SNR增益得到加强，同时所设计的加权l1范数更好地接近了l0范数并且强化了稀疏解。因此，本发明比l1-SVD和RV l1-SVD算法有更高的分辨率。
2、不同算法对于三个不相关目标角度估计的均方根误差和信噪比的关系
图3展示了对于三个不相关目标角度估计的均方根误差(RMSE)和SNR的关系，其中快拍数J＝50，并且假设三个不相关目标来自于θ1＝-20°，θ2＝-10°，θ3＝10°。从图3可以看出，由于实域转换技术，在低SNR区域RV l1-SVD比l1-SVD算法有更好的角度估计。此外，本发明角度估计性能优于l1-SVD和RV l1-SVD，并且由于以上提到的本发明的优点它接近于CRB。
3、不同算法对于两个目标角度估计均方根误差和相关系数的关系
图4展示了对于两个目标角度估计RMSE和相关系数的关系。其中快拍数J＝50，SNR＝5dB。假设两个目标来自于θ1＝-20°，θ2＝-10°并且相关系数的变化范围是0到1。如图4所示，本发明对于相关系数的变化具有鲁棒性，并且比l1-SVD和RV l1-SVD具有更好的角度估计性能。这是因为本发明包含前后空间平滑技术和加权l1范数技术。
4、不同算法对于三个不相关目标角度估计的均方根误差和快拍数的关系
图5展示了对于三个不相关目标角度估计的RMSE和快拍数的关系。假设SNR＝5dB，三个不相关目标来自于θ1＝-20°，θ2＝-10°，θ3＝10°。如图5所示，本发明的角度估计性能比l1-SVD和RV l1-SVD算法都好，在所有快拍范围内接近CRB，这意味着本发明能够很好地适用于较低的快拍数。
Claims (1)
1.基于实域加权最小化l1范数方法的MIMO雷达***DOA估计方法，其特征在于，包括如下步骤：
(1)发射阵列发射相互正交的相位编码信号，接收端进行匹配滤波处理后获得接收数据，并利用降维矩阵对接收数据进行降维处理；
(2)利用酉变换矩阵，将降维后接收数据的增广样本矩阵变成实域，进行奇异值分解并获得稀疏表示框架下的相应模型；
(3)利用实域导向矢量和它相应噪声子空间的正交性，设计一个对角线元素与实域MUSIC谱相对应的权值矩阵以解决MMV问题；
(4)设计实域加权最小化l1范数框架，利用编程软件包SOC二阶锥计算方法，获得恢复矩阵，寻找恢复矩阵中的非零行，实现对MIMO雷达***中目标DOA的估计；
所述步骤(1)中按如下步骤对接收数据进行降维处理：
(1.1)根据单基地MIMO雷达***发射—接收导向矢量的结构可知，MIMO雷达***的发射—接收导向矢量满足：
式中at(θ)和ar(θ)分别为发射导向矢量和接收导向矢量，Q＝M+N–1，分别是转换矩阵和一维导向矢量，
其中，
Jm＝[0N×m,IN,0N×(M-m-1)]，m＝0,1,...,M-1；
利用矩阵GH中对应Q个不同的元素，将二维导向矢量转换为一维导向矢量即进行降维处理；
(1.2)根据转换矩阵，降维矩阵为W＝F-1/2GH，其中
(1.3)利用W获得降维接收数据则有
式中满足B＝[b(θ1),b(θ2),...,b(θp)]，S＝[s(t1),...,s(tJ)]，N＝[n(t1),...,n(tJ)]；s(t)＝[s1(t),s2(t),...,sp(t)]T，中βp(t)和fp分别是反射系数和多普勒频率，n(t)是一个具有零均值并且协方差矩阵为σ2IMN的附加随机复高斯白噪声矢量，M为发射天线数、N为接收天线数，θp表示第p个目标的波达角，p＝1，2，…，P；所述步骤(2)中按如下步骤利用酉变换矩阵，将降维后接收数据的增广样本矩阵变成实域，进行奇异值分解并获得稀疏表示框架下的相应模型：
(2.1)考虑增广样本矩阵其中ΓQ是具有反对角元素为1，其他元素为0的Q×Q交换矩阵，(·)*表示共轭操作，Y是中心厄米特矩阵并且能够转换为一个实域矩阵，
其中，酉变换矩阵为
导向矩阵满足diag(·)表示对角化操作，其中关于接收数据的线性阵列在降维转换后是中心对称的，
酉变换之后，实域导向矩阵表示为经过代数运算，写成如下形式
其中SΥ＝[Φ*S ΦS*ΓJ]U2J是实域信号矩阵，是实域噪声矩阵；
(2.2)进行奇异值分解并获得稀疏表示框架下的相应模型，如下所示
对YΥ应用奇异值分解技术，有
其中VS是由对应着P个最大奇异值的YΥ的实域右奇异向量构成；
(2.3)基于对应于整个空间目标的稀疏性，X＝AS+N中的信号模型转变成为一个稀疏表示模型；用Ω表示一系列可能的位置，表示覆盖Ω的网格,P<<L，发射完备字典和接收完备字典表示为构造完备字典为在稀疏表示框架下，X＝AS+N的信号模型写成为
其中和S具有相同的行支持，即矩阵是稀疏的；
是发射—接收导向矩阵，其中表示Kronecker积操作，是发射导向矢量，
应用稀疏表示框架，实域一维完备字典表示为：
式中在稀疏表示框架下，
所述步骤(3)中按如下步骤利用实域导向矢量和它相应噪声子空间的正交性，设计对角线元素与实域MUSIC谱相对应的权值矩阵：
(3.1)将实域一维完备字典分为两部分：则有
式中是由对应着可能目标的实域导向矢量p＝1，2，…，P组成，是由字典剩下的实域导向矢量组成，Vn是实域噪声子空间，通过对YΥ进行奇异值分解可以得到；
(3.2)根据实域导向矢量和相应噪声子空间的正交性，当J→∞时，W1,i→0，W2,i＞0，定义权值矩阵
由于W1,i/max(W2)＜W2,i/max(W2)，
所述步骤(4)中按如下步骤设计实域加权最小化l1范数框架，利用编程软件包SOC二阶锥计算方法，获得恢复矩阵，寻找恢复矩阵中的非零行，对MIMO雷达***中的目标DOA进行估计：
实域加权最小化l1范数为
式中是正则化参数，利用编程软件包SOC二阶锥计算，完成测绘
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