CN104679976B - 用于信号处理的收缩线性和收缩广义线性复最小二乘算法 - Google Patents

Abstract

为了解决在实际应用中传统的固定更新步长，以及未考虑信号的非圆性时的收敛速度慢以及均方误差大等问题，本发明提出收缩线性和收缩广义线性的复最小二乘算法适用与自适应波束形成，利用了权值更新时的可变步长，使得不考虑噪声时的后验误差的瞬时平均误差最小化，并且收缩广义线性的复最小二乘算法还考虑了期望信号的非圆性。这两种方法提高了收敛速度以及大大地降低稳态均方误差。

Description

用于信号处理的收缩线性和收缩广义线性复最小二乘算法

技术领域

本发明涉及阵列信号处理技术领域，尤其涉及一种收缩线性和收缩广义线性复最小二乘算法。

背景技术

阵列信号处理是信号处理领域中的一个重要分支，经过几十年的发展已日趋成熟并且在雷达、生物医疗、勘探及天文等多个军事和国民经济领域都有着广泛的应用。其工作原理是将多个传感器组成传感器阵列，并利用这一阵列对空间信号进行接收和处理，目的是抑制干扰和噪声，提取信号的有用信息。与一般的信号处理方式不同，阵列信号处理是通过布置在空间的传感器组接收信号，并且利用信号的空域特性来滤波及提取信息。因此，阵列信号处理也常被成为空域信号处理。此外，阵列信号处理有着灵活的波束控制、很强的抗干扰能力与极高的空间超分辨能力等优点，因而受到了众多学者的关注，其应用范围也不断地增大。

在阵列信号处理领域，最重要的两个研究方向是自适应滤波和空间谱估计，其中自适应滤波技术先于空间谱估计产生，而且其应用在工程***中已十分广泛。然而，对于空间谱估计虽然在近30年中得到了快速的发展，相关研究内容十分广泛，但其工程应用***却不多见。这里，自适应滤波技术是阵列信号处理领域中的一个重要概念。

自适应滤波可以应用到模型化、均衡、控制、回声消除器和自适应波束形成中。复值的最小二乘算法是一种自适应估计和预测技术，可以实现性能收敛到最优维纳解。自适应波束形成器权矢量可以基于不同的设计准则来计算，常用的准则有最小均方误差、最小方差和恒模准则，本发明采用的是最小均方误差的准则。

经典的自适应阵列利用的是圆信号，通常可以找到一个线性时不变的复值滤波器w，滤波器的输出在确定性约束的条件下最优化二阶准则。但是，在实际应用中，非圆信号已经广泛地应用到许多现代通信***中。由于经典的自适应波束形成器对圆信号来说是最优的，但对非圆信号来说是次优的。因此，广义复值最小二乘法利用扩展信号可以得到更低的波束器输出与期望信号之间的均方误差。而且复值最小二乘法对于二阶非圆信号也是次优的，因此如何保证得到非圆信号的最优值，以及提高收敛速度和输出信干噪比，降低均方误差为问题的重点。

发明内容

为了解决在实际应用中传统的固定更新步长以及未考虑信号的非圆性时，收敛速度慢和均方误差大等问题，本发明提出了一种收缩线性和收缩广义线性的复值最小二乘算法，该方法在考虑非圆性的条件下，使得不考虑噪声时的后验误差的瞬时平均误差最小化，得到近似最优的可变步长，从而提高收敛速度，降低均方误差。

本发明通过如下技术方案实现：

本发明的收缩线性复最小二乘法和收缩广义线性复最小二乘法，与以前方法不同的是既利用了非圆性又利用了收缩算法来得到可变的更新步长值，则从下面两方面来提高性能：

1.利用非圆性来提高收敛速度和降低均方误差。具体实施步骤如下：

首先，当期望信号是BPSK、QPSK以及PAM这样的信号时，则此时期望信号可分解为则此时接收到的信号与它的共轭是相关的，即共轭里面包含了期望信号的有用信息，因此，C_x＝E[x(k)x^T(k)]≠0_M×M。则此时的扩展信号为 则再由均方误差准则来得出阵列输出与期望信号之间误差的代价函数可求得此时的权值。此时，扩展的阵列权值为则此时利用了非圆信息，提高收敛速度，降低了均方误差。

2.再利用收缩的方法。具体实施步骤如下：

在收缩线性最小二乘法的求变化的步长的过程中，则由于步长为通常情况下在实际应用中，通常E[||x(k)||²]是已知的，E[|e(k)|²]是通过估计出的，其中λ是遗忘因子且0＜＜λ≤1。然而，e_f(k)是未知的，很难通过求解E[e_f(k)|²]来解上述步长。可以用收缩去噪方法，通过先验误差e(k)恢复出无噪声时的先验误差e_f(k)。使f[e_f(k)]＝0.5|e_f(k)-e(k)|²+α|e_f(k)|最小，则可恢复出e_f(k)。此时，则可得到可变步长的值，从而得到权值的更新过程。从而可以提高收敛速度，降低均方误差。

附图说明

图1是本发明的收缩线性和收缩广义线性复最小二乘算法A估计方法流程图；

图2(a)和图2(b)是在Q不同时，本发明的算法与复最小二乘法、广义线性复最小二乘法的输出信干躁比随迭代次数的变化曲线图；

图3(a)和图3(b)是在Q固定、步长不同时，本发明的算法与复最小二乘法、广义线性复最小二乘法的输出信干躁比随迭代次数的变化曲线图；

图4是本发明的算法与VSS、CNLMS、WL-CNLMS和WL-VSS算法的输出信干躁比随迭代次数的变化曲线图；

图5(a)和图5(b)是在Q不同时，本发明的算法与复最小二乘法、广义线性复最小二乘法的均方误差随迭代次数的变化曲线图；

图6(a)和图6(b)是步长不同时，本发明的算法与复最小二乘法、广义线性复最小二乘法的均方误差随迭代次数的变化曲线图；

图7是本发明的算法与VSS、CNLMS、WL-CNLMS和WL-VSS算法的均方误差随迭代次数的变化曲线图。

具体实施方式

下面结合附图说明及具体实施方式对本发明进一步说明。

考虑一M阵元的均匀线阵，接收一个远场窄带信号s₀(k)，对应的波达角为θ_d。这个信号是零均值，二阶非圆的。则阵列输出数据可以表示为：

x(k)＝a(θ_d)s₀(k)+n(k)

其中，为期望信号的导向矢量，Δ代表相邻阵元间的阵列间隔，λ代表波长，n(k)＝[n₁(k)，…，n_M(k)]^T为加性噪声矢量，它由背景噪声和干扰组成，可以表达为：

其中，P个统计不相关的非圆干扰，它们的复包络为s_i(k)，i＝1，2，...，P，以及对应的导向矢量为a(θ_i)，i＝1，2，...，P，η(k)是与期望信号和干扰均不相关的背景噪声。

当权值向量为w＝[w₁，...，w_M]^T时，则最优权矢量可通过使波束形成器的输出与理想信号s_d(k)的均方误差最小得到

其中，s_d(k)＝s₀(k)，通过一些运算可解得最优权值为：

其中，使瞬时方差的功率J[w(k)]最小

从而得到权值的更新过程

w(k+1)＝w(k)+μe^*(k)x(k)。 (3)

当期望信号是非圆信号时，例如BPSK、QPSK、PAM等，则此时期望信号矢量可表示为通常，C_x＝E[x(k)x^T(k)]≠0_M×M为了利用非圆性，扩充向量可表示为

其中，分别为扩展的导向矢量和噪声矢量。与复最小二乘法类似的广义复最小二乘法的代价函数为

其中，为扩展的瞬时误差，代表扩展的波束形成器的输出。

此时，广义权矢量的更新过程为

使最小化，得到最优的广义权矢量

其中，

将式(3)中的μ换成可变步长μ_k，则此时权矢量的更新过程为

假设序列对{x(k)，s₀(k)}是广义平稳的，因此最优权矢量w_opt(k)是时不变的，即w_opt(k)＝w_opt。设权矢量的误差向量v(k)＝w(k)-w_opt，则可以得到v(k)的更新过程为

其中，在k时刻时，波束形成器的输出与期望信号s₀(k)之间的误差为

其中，是无噪声时的先验误差。

另外，后验误差可表示为ε(k)＝∈_opt(k)+ε_f(k)，其中

为无噪声时的后验误差，将式(8)共轭转置后两边同时右乘x(k)，再代入上式，得到

ε_f(k)＝(1-μ_k||x(k)||²)e_f(k)-μ_k∈_opt(k)||x(k)||². (11)

瞬时的无噪后验误差的能量可表达为

将式(12)两边同时对μ_k求导后等于0，则得到

将式(9)代入式(13)，得到

对共轭再右乘x(k)后两边同时求期望，则

因此，输入信号x(k)与是统计垂直的。当非常小以及在稳态时变化很慢时，e^*(k)与x(k)是不相关的，可得到

E[||x(k)||²|e(k)|²]＝E[||x(k)||²]E[|e(k)|²]. (16)

观察到在j＜k时，输入序列为独立时，v(k)仅与{x(j)，s₀(j)有关，而独立于当前的输入信号x(k)，可得到

对式(14)的两边求期望并结合式(15)到(17)的结果，得到

其中，E[μ_k||x(k)||²|e(k)|²]＝E[μ_k]E[||x(k)||²|e(k)|²] (19)

当μ_k是常数时，上式肯定成立。实际上，在稳态时，μ_k与x(k)、e(k)相比变化比较慢。因此，可以认为μ_k与x(k)、e(k)是近似不相关的，即式(19)是近似成立的。

由于E[|e_f(k)|²]是由权矢量和最优权矢量之间的误差引起的多余均方误差。

在式(3)中，用μ_k代替μ，可以得到复最小二乘法的权值更新过程。

在实际应用中，通常E[||x(k)||²]是已知的，E[|e(k)|²]是通过下式估计出的

其中λ是遗忘因子且0＜＜λ≤1。然而，e_f(k)是未知的，很难通过求解E[e_f(k)|²]来解(20)。可以用收缩去噪方法，通过先验误差e(k)恢复出无噪声时的先验误差e_f(k)。

f[e_f(k)]＝0.5|e_f(k)-e(k)|²+α|e_f(k)| (22)

使上式关于e_f(k)最小化，可以得到

由此可知α的选择非常重要。假设背景噪声为高斯白噪声，协方差为干扰偏离期望信号的主瓣可以抑制干扰部分的大部分能量则有

通过(9)和(24)可得

在均匀线性阵列中，为了保证在期望信号的波达角的波束图为1同时最大化||w_opt||²，通常设由此得到

综上所述，我们则可把其中，Q是一个参数，用来补偿上述的近似。类似于E[|e(k)|²]，可以得到

将上式中的结果和(21)中的结果代入(20)，可得到此时的权值更新步长为

将式(28)中的μ_k代替(3)中的μ，即可得到复最小二乘法的权矢量的更新过程。

类似地，将(6)中的两式子的两端分别减去w₁、w₂的最优权值w_1，opt、w_2，opt，可以得到权矢量误差的更新过程如下所示：

此时用可变步长μ_k来替代(6)中的μ。根据(5)和(28)，得到权误差矢量的向量矩阵形式

其中，是扩展的权矢量的波形输出与期望信号之间的误差。将(30)两边同时进行共轭转置再右乘得

由于扩展无噪的后验误差和先验误差分别为

与收缩的线性复最小二乘法类似，瞬时扩展的无噪后验误差的平方为

把上式作为代价函数，对其求关于μ_k的导数，并将其等于0，可以得到

在k时刻的瞬时误差为

将(36)代入(35)中得到

通过则对其两边同时求共轭转置再右乘再两边同时求期望则有

假设也与不相关，由上式可知与扩展的输入信号垂直以及则可的先验误差与x(k)也是不相关的，即

由(29)知v₁(k)，v₂(k)分别与x(k)，x^*(k)是不相关的。设由(33)和(38)的结果知

对(37)两边同时求期望，再利用(38)和(39)的结果得到

上式子是基于这样的假设

把E[μ_k]作为μ_k的估计代入(30)中，就得到广义线性复最小二乘法。

式(41)中的估计可通过下式得

扩展的无噪先验误差平方的均值

来代替(41)中的扩展无噪先验误差可通过恢复过来

然后，需要如何选择门限α，由于干扰和背景噪声都与期望信号是不相关的，则可表示为

其中，是期望信号的功率。则此时的最优权矢量为

这个结果类似于广义最优的最小方差无失真响应

其中， 与仅常数部分不同。当干扰的波达角与期望信号的波达角相差很大时，则有

其中，i＝1，2，...，P。其中是第i个干扰的初始相位。的近似结果是

其中，由于将这代入(50)中则得到

由此，可得到将这些代入(3-41)中，则有

将(52)中的结果代入(6)中则可得到收缩的广义复最小二乘法的权值更新过程。

如附图1所示，本发明的收缩线性最小二乘算法包括如下步骤：

1.计算无噪声时的后验误差ε_f(k)的能量，再对将(3-12)两边同时对μ_k求导后等于0再将(3-9)代入(3-13)中并且结合(3-15)(3-16)则得到

2.由于通常E[||x(k)||²]是已知的，E[|e(k)|2]是通过(3-21)估计得到，而可以用收缩去噪方法，即使(3-22)最小得到

3.通过(3-27)可得到E[|e_f(k)|²]的估计量；

4.将估计量的结果代入(1)中μ_k式子中可得到

5.得到权值更新过程w(k+1)＝w(k)+μ_ke^*(k)x(k)。

本发明的收缩广义线性最小二乘算法包括如下步骤：

1.计算瞬时扩展无噪声时的后验误差的平方，再对将(3-34)两边同时对μ_k求导后等于0，再将(3-36)代入(3-35)中并且结合(3-38)(3-39)则得到

2.由于通常E[||x(k)||²]是已知的，是通过(3-43)估计得到，而可以用收缩去噪方法，即使(3-45)最小得到

3.通过(3-24)可得到的估计量；

4.将估计量的结果代入(1)中μ_k式子中可得到

5.得到权值更新过程：

考虑一均匀线阵，阵元数为M＝4，阵列间距为四个等功率的BPSK信号，它们的非圆系数是1，初始相位均为0°，期望信号入射到阵列时的波达角为θ_d＝-45°，信噪比为10dB，其它三个干扰信号的波达角分别为θ₁＝8°、θ₂＝-13°、θ₃＝30°，干噪比(INR)固定为10dB，所有的仿真结果均由500次蒙特卡洛实验获得。在收缩的线性最小二乘法的初始值为以及w(0)＝0_M×1。而且，收缩的广义线性复最小二乘法的初始值为w₁(0)＝0_M×1以及w₂(0)＝0_M×1。遗忘因子λ是固定的，λ＝0.95。

实验1输出信干躁比随迭代次数的变化。

在这个仿真中将比较本发明提出的算法与复最小二乘法、广义线性复最小二乘法随迭代次数的变化情况，当复最小二乘法与广义线性复最小二乘法的步长分别为0.001，0.0005，可以观察到在这两种情况下，考虑广义(非圆性)时的收敛速度要快于不考虑非圆性的情况，并且考虑非圆性时的输出信干噪比也较高，从附图2可以看出，Q对线性收缩的复最小二乘法的稳态性质影响较小。而且，收缩的广义线性复最小二乘法在Q＝2时比Q＝1时的性能有所提高。附图3是在Q固定时，附图3(a)中复最小二乘法与广义线性复最小二乘法的步长分别为0.008，0.004，而附图3(b)中复最小二乘法与广义线性复最小二乘法的步长分别为0.0005，0.00025时得到的。从附图3(a)中可以看出，当步长比附图2(b)中的步长大8倍时，复最小二乘法与广义线性复最小二乘法收敛速度要大于附图2(b)。由于较大的步长可以提高收敛速度。然而，在稳态时，广义线性复最小二乘法与复最小二乘法此时的输出信干躁比较小。如果我们把步长固定为附图2(b)的μ的一半，从附图3(b)中，广义线性复最小二乘法与复最小二乘法在稳态时达到与本发明所提出的算法同样的输出信干噪比。然而，这两种方法达到稳态时分别需要200，400次迭代次数，而附图2(b)中的则仅分别需要100，200次即可达到稳态。这是由于步长较小，降低收敛速度。从附图3中可以看出本发明的算法大约分别需要60，100次迭代达到稳态。而且本发明的算法输出的信干噪比分别近似达到最优广义线性信干噪比，最优信干噪比。因此本发明的算法相对于广义线性复最小二乘法和复最小二乘法而言，有较快的收敛速度和较高的输出信干噪比。

附图4为比较本发明所提出的收缩线性复最小二乘法与标准复最小二乘法(CNLMS)、变步长法(VSS)，以及本发明所提出的比较收缩广义线性复最小二乘法与广义线性标准复最小二乘法(WL-CNLMS)、广义线性变步长法(WL-VSS)的输出信干噪比。设定复标准最小二乘法与广义线性复标准最小二乘法的步长分别为0.2，0.1。变步长的参数为μ_min＝e^-6、μ_max＝3e^-3、和广义变步长参数为μ_min＝5e^-7、μ_max＝1.5e^-3、和从附图4中可以看出，与复标准最小二乘法和广义复最小二乘法相比，本发明的算法收敛速度更快。而且，与变步长法和广义变步长法相比，本发明的算法具有更高的输出信干噪比。还可以看出，考虑非圆性时的这几种方法要优于不考虑非圆性时的算法。

实验2输出均方误差与迭代次数的关系。

在实验中，每个变量的值得设置与上个实验是一样的。从附图5可以看出本发明的算法相对于广义线性复最小二乘法和复最小二乘法而言，收敛速度较快。本发明的收缩线性复最小二乘法和复最小二乘法在稳态时近似有相等的均方误差，同样，本发明的收缩广义线性复最小二乘法和广义复最小二乘法在稳态时近似有相等的均方误差。而且，由于考虑了非圆性，基于广义线性的方法有更好的性质。因为扩展的阵列孔径使收缩广义复最小二乘法对α的选择更敏感，则从附图5(a)中可以看出，当Q＝1时，本发明的收缩的广义线性复最小二乘法在稳态时要稍次于广义复最小二乘法。从附图5(b)中可以看出，当Q＝2时，本发明的收缩广义线性复最小二乘法在稳态时要稍优于广义复最小二乘法。而且不像基于线性的算法，Q值得大小对收缩线性复最小二乘法和复最小二乘法影响很小。附图6是比较本发明的算法与具有不同步长值的复最小二乘法和广义复最小二乘法。与附图5(b)相比，附图6(a)中的复最小二乘法和广义线性复最小二乘法具有更快的收敛速度，因为它们的步长值分别为0.008，0.004，是附图5(b)中的8倍。从附图6(a)中可以看出，广义复最小二乘法和复最小二乘法分别收敛到-4dB和0dB。然而，在附图5(b)中，μ＝0.001时，则它们分别收敛到-8dB和-4dB。附图6(b)为显示本发明的算法与步长分别为μ＝0.00025，μ＝0.0005的广义线性复最小二乘法与复最小二乘法的均方误差的比较。尽管复最小二乘法与广义线性复最小二乘法可以与本发明算法达到相同的稳态值，但是与附图5(b)相比，它们需要更大的迭代次数。前者分别需要200，400次迭代，后者分别需要150，250次迭代。因此本发明的的算法无论在收敛速度还是在均方误差方面都要优于复最小二乘法和广义线性复最小二乘法。

在附图7中，为比较本发明的算法与复标准最小二乘法、广义线性复标准最小二乘法、变步长法和广义线性变步长法的均方误差。复标准最小二乘法、广义线性复标准最小二乘法、变步长法和广义线性变步长法的参数设置与实验1中是相同的。从附图7中可以看出，本发明的的收缩线性复最小二乘法和收缩广义线性复最小二乘法分别需要60，50次迭代达到稳态。然而，复标准最小二乘法和义线性复标准最小二乘法分别需要100，150次迭代达到稳态。因此考虑非圆性时的收敛速度要快于不考虑非圆性时。尽管，变步长法和广义线性变步长法与本文算法有近似的收敛速度，但是，它们在稳态时，有很大的失调。由此可知，本发明算法有较高的收敛速度和较小的均方误差。

以上内容是结合具体的优选实施方式对本发明所作的进一步详细说明，不能认定本发明的具体实施只局限于这些说明。对于本发明所属技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干简单推演或替换，都应当视为属于本发明的保护范围。

Claims (2)

1.一种用于信号处理的收缩线性复最小二乘方法，所述方法应用到波束形成中，其特征在于：所述方法包括以下步骤：

1)考虑一M阵元的均匀线阵，接收一个远场窄带信号s₀(k)，对应的波达角为θ_d，令x(k)表示其接收的样本数据矩阵，得到x(k)＝a(θ_d)s₀(k)+n(k)，其中为期望信号的导向矢量，Δ代表相邻阵元间的阵列间隔，λ代表波长， 其中，η(k)是与期望信号和干扰均不相关的背景噪声；

2)计算阵列的输出y＝ω(k)^Hx(k)，由最小均方误差准则得 使J[ω(k)]最小，则得到ω(k+1)＝ω(k)+μe^*(k)x(k)；

3)用可变步长μ_k来代替上述的μ值，得到 设权值误差矢量为v(k)＝ω(k)- ω_opt，ω_opt(k)为最优权矢量，则得到权值误差矢量的更新过程其中，是最优的权矢量的波形输出与期望信号之间的误差；

4)在k时刻时，波束器的输出与期望信号之间的先验误差为其中无噪声时的先验误差为

5)类似地，后验误差为ε(k)＝ε_opt(k)+ε_f(k)，其中无噪声时的后验误差为

6)通过计算可得到ε_f(k)与e_f(k)之间的关系为：

ε_f(k)＝(1-μ_k||x(k)||²)e_f(k)-μ_kε_opt(k)||x(k)||²，

对其平方的两边同时对μ_k求导数并且使导数等于0则得到

7)根据上述公式对步骤(6)进行化简得当μ_k是常数时，上式肯定成立；实际上，在稳态时，μ_k与x(k)、e(k)相比变化比较慢，因此，认为它们是近似不相关的，则可得

8)在实际应用中，通常E[||x(k)||²]是已知的，E[|e(k)|²]是通过估计出的，但是，e_f(k)是未知的，很难通过求解E[e_f(k)|²]来解上述步长μ_k；

9)通过收缩去噪方法使e(k)恢复出e_f(k)：即利用

f[e_f(k)]＝0.5|e_f(k)-e(k)|²+α|e_f(k)|，

使此式最小，则可得到从而代入到中得到E[e_f(k)|²]的估计量；

10)将上述E[e_f(k)|²]、E[|e(k)|²的估计量代入则得到收缩线性最小二乘法得步长值从而代替步骤2中的μ得到所述收缩线性复最小二乘方法的权值更新过程。

2.一种用于信号处理的收缩广义线性复最小二乘方法，所述方法应用到波束形成中，其特征在于：包括以下步骤：

1)考虑一M阵元的均匀线阵，接收一个远场窄带信号s₀(k)，对应的波达角为θ_d，令x(k)表示其接收的样本数据矩阵，得到x(k)＝a(θ_d)s₀(k)+n(k)，其中为期望信号的导向矢量，Δ代表相邻阵元间的阵列间隔，λ代表波长， 其中，η(k)是与期望信号和干扰均不相关的背景噪声；

2)当C_x＝E[x(k)x^T(k)]≠0_M×M时，则此时需要考虑信号的非圆性，则此时的扩展的数据为：

计算阵列的输出

3)由最小均方误差准则使最小，并且则此时权值更新过程为

4)设v₁(k)＝ω₁-ω_opt，v₂(k)＝ω₂-ω_opt，其中，η(k)是与期望信号和干扰均不相关的背景噪声，则得到权矢量误差的更新过程 则可写成矩阵形式为：

其中，是扩展的权矢量的波形输出与期望信号之间的误差；

5)通过上述公式得到扩展的无噪后验误差与先验误差之间的关系为 又有无噪后验误差和先验误差分别为：

6)将瞬时后验误差平方，再对其求关于μ_k的导数为0，得到

7)根据上述公式并化简得到当μ_k是常数时，上式肯定成立；实际上，在稳态时，μ_k与x(k)、相比变化比较慢，因此，认为它们是近似不相关的，则可得

8)其中，可通过求得，但是，是未知的，很难通过求解来解上述步长μ_k；通过收缩去噪方法，得到将其代入到下式中即可得到 的估计值：

9)将上述的估计量代入则得到收缩广义线性复最小二乘法得步长值从而代入得到权值的更新过程。